Андрей Соболевский - Вокруг Базельской задачи:...
TRANSCRIPT
Вокруг «Базельской задачи»Бернулли, Эйлер, Риман
Менголи, Валлис, Лейбниц, Апери, Зудилин, Матиясевич. . .
Андрей Соболевский
ИППИ РАН и ФКН НИУ ВШЭ
Малый ШАД, 22 ноября 2014
Леонард ЭйлерБазель, 1707–Санкт-Петербург, 1783
Lisez Euler ! lisez Euler !C’est notre maıtre a tous !
(Приписывается Пьеру-Симону Лапласу)
Базельская задача
Чему равна сумма следующего ряда:
1 +14+
19+
116
+ · · · =
= 1 +122 +
132 + · · ·+ 1
n2 + · · · =
=∑n>1
1n2 ?
Базельская задача
1. А есть ли вообще сумма у ряда∑
n>11n2 ?
2. Почему эта сумма должна быть равначему-то интересному?
Пьетро МенголиБолонья, 1626–1686
Болонья, 1650https://archive.org/details/ita-bnc-mag-00000846-001
Геометрическая прогрессия
1 +13+
19+
127
+ . . .
Σ = 1 + x + x 2 + x 3 + · · ·+ xn + . . .
= 1 + x · (1 + x + x 2 + · · ·+ xn−1 + . . . )
= 1 + x · Σ
x =13
Σ =32
Σ =1
1− xx = 1 Σ не определена
x = 2 Σ = −1
. . . в p-адическом смысле
Геометрическая прогрессия
1 +13+
19+
127
+ . . .
Σ = 1 + x + x 2 + x 3 + · · ·+ xn + . . .
= 1 + x · (1 + x + x 2 + · · ·+ xn−1 + . . . )
= 1 + x · Σ
x =13
Σ =32
Σ =1
1− xx = 1 Σ не определена
x = 2 Σ = −1
. . . в p-адическом смысле
Геометрическая прогрессия
1 +13+
19+
127
+ . . .
Σ = 1 + x + x 2 + x 3 + · · ·+ xn + . . .
= 1 + x · (1 + x + x 2 + · · ·+ xn−1 + . . . )
= 1 + x · Σ
x =13
Σ =32
Σ =1
1− xx = 1 Σ не определена
x = 2 Σ = −1 ?
. . . в p-адическом смысле
Геометрическая прогрессия
1 +13+
19+
127
+ . . .
Σ = 1 + x + x 2 + x 3 + · · ·+ xn + . . .
= 1 + x · (1 + x + x 2 + · · ·+ xn−1 + . . . )
= 1 + x · Σ
x =13
Σ =32
Σ =1
1− xx = 1 Σ не определена
x = 2 Σ = −1
. . . в p-адическом смысле
Гармонический ряд
Σ = 1 +12+
13+
14
13+
14⏟ ⏞
> 12
+15+
16+
17+
18
15+
16+
17+
18⏟ ⏞
> 12
+ . . .
> 1 +12+
12+
12+ · · · =∞
Гармонический ряд
Σ = 1 +12+
13+
14⏟ ⏞
> 12
+15+
16+
17+
18⏟ ⏞
> 12
+ . . .
> 1 +12+
12+
12+ · · · =∞
Гармонический ряд
Σ = 1 +12+
13+
14⏟ ⏞
> 12
+15+
16+
17+
18⏟ ⏞
> 12
+ . . .
> 1 +12+
12+
12+ · · · =∞
Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . .n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +13+
16+ · · ·+ 2
n(n + 1)
2n(n + 1)⏟ ⏞ 2n− 2
n + 1
+ . . .
=
⏞ ⏟ 21− 2
2+
⏞ ⏟ 22− 2
3+
⏞ ⏟ 23− 2
4+ · · ·+
⏞ ⏟ 2n− 2
n + 1+ . . .
= 2
Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . .n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +13+
16+ · · ·+ 2
n(n + 1)⏟ ⏞ 2n− 2
n + 1
+ . . .
=
⏞ ⏟ 21− 2
2+
⏞ ⏟ 22− 2
3+
⏞ ⏟ 23− 2
4+ · · ·+
⏞ ⏟ 2n− 2
n + 1+ . . .
= 2
Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . .n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +13+
16+ · · ·+ 2
n(n + 1)⏟ ⏞ 2n− 2
n + 1
+ . . .
=
⏞ ⏟ 21− 2
2+
⏞ ⏟ 22− 2
3+
⏞ ⏟ 23− 2
4+ · · ·+
⏞ ⏟ 2n− 2
n + 1+ . . .
= 2
Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . .n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +13+
16+ · · ·+ 2
n(n + 1)⏟ ⏞ 2n− 2
n + 1
+ . . .
=
⏞ ⏟ 21− 2
2+
⏞ ⏟ 22− 2
3+
⏞ ⏟ 23− 2
4+ · · ·+
⏞ ⏟ 2n− 2
n + 1+ . . .
= 2
Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . .n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +13+
16+ · · ·+ 2
n(n + 1)⏟ ⏞ 2n− 2
n + 1
+ . . .
=
⏞ ⏟ 21− 2
2+
⏞ ⏟ 22− 2
3+
⏞ ⏟ 23− 2
4+ · · ·+
⏞ ⏟ 2n− 2
n + 1+ . . .
= 2
Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . .n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +13+
16+ · · ·+ 2
n(n + 1)⏟ ⏞ 2n− 2
n + 1
+ . . .
=
⏞ ⏟ 21− 2
2+
⏞ ⏟ 22− 2
3+
⏞ ⏟ 23− 2
4+ · · ·+
⏞ ⏟ 2n− 2
n + 1+ . . . = 2
Обратные квадраты
. . . n . . .
1 4 9 16 . . . n2 . . .
Σ = 1 +1
2 · 2 +1
3 · 3 +1
4 · 4 + · · ·+ 1n · n + . . . =?
6 1 +1
1 · 2 +1
2 · 3 +1
3 · 4 + · · ·+ 1n(n + 1)
+ . . .
6 1 + 1 = 2
Обратные квадраты
. . . n . . .
1 4 9 16 . . . n2 . . .
Σ = 1 +1
2 · 2 +1
3 · 3 +1
4 · 4 + · · ·+ 1n · n + . . .
=?
6 1 +1
1 · 2 +1
2 · 3 +1
3 · 4 + · · ·+ 1n(n + 1)
+ . . .
6 1 + 1 = 2
Обратные квадраты
. . . n . . .
1 4 9 16 . . . n2 . . .
Σ = 1 +1
2 · 2 +1
3 · 3 +1
4 · 4 + · · ·+ 1n · n + . . .
=?
6 1 +1
1 · 2 +1
2 · 3 +1
3 · 4 + · · ·+ 1n(n + 1)
+ . . .
6 1 + 1 = 2
Джон Валлис, 1665
1 +14+
19+
116
+ · · · ≈ 1,645
Яков Бернулли, 1689
«Базельская задача»
Леонард Эйлер, E20 (1730)
1 + x + x 2 + x 3 + · · ·+ xn−1 =1− xn
1− x
y +y2
2+
y3
3+
y4
4+ · · ·+ yn
n=
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 +y2+
y2
3+
y3
4+ · · ·+ yn−1
n=
1y
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 +14+
19+
116
+ · · ·+ 1n2 =
∫ 1
0
dyy
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 + x + x 2 + x 3 + · · ·+ xn−1 =1− xn
1− x
y +y2
2+
y3
3+
y4
4+ · · ·+ yn
n=
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 +y2+
y2
3+
y3
4+ · · ·+ yn−1
n=
1y
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 +14+
19+
116
+ · · ·+ 1n2 =
∫ 1
0
dyy
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 + x + x 2 + x 3 + · · ·+ xn−1 =1− xn
1− x
y +y2
2+
y3
3+
y4
4+ · · ·+ yn
n=
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 +y2+
y2
3+
y3
4+ · · ·+ yn−1
n=
1y
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 +14+
19+
116
+ · · ·+ 1n2 =
∫ 1
0
dyy
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 + x + x 2 + x 3 + · · ·+ xn−1 =1− xn
1− x
y +y2
2+
y3
3+
y4
4+ · · ·+ yn
n=
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 +y2+
y2
3+
y3
4+ · · ·+ yn−1
n=
1y
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1 +14+
19+
116
+ · · ·+ 1n2 =
∫ 1
0
dyy
∫ y
0
1− xn
1− xdx
1,644934 ≈
𝜋2
6!
sin x = x − x 3
3!+
x 5
5!− x 7
7!+ . . .
e√−1x = cos x +
√−1 sin x
e√−1nx = cosnx +
√−1 sinnx = (cos x +
√−1 sin x )n =
=∑
06k6n
(nk
)√−1
k(sin x )k (cos x )n−k
sin
xnx
=∑
06ℓ6 n−12
(−1)ℓn(n − 1) . . . (n − 2ℓ)
(2ℓ+ 1)!(sin
xnx
)2ℓ+1(cos
xnx
)n−2ℓ−1
sin x =∑06ℓ
(−1)ℓ
(2ℓ+ 1)!x 2ℓ+1
sin x = x − x 3
3!+
x 5
5!− x 7
7!+ . . .
e√−1x = cos x +
√−1 sin x
e√−1nx = cosnx +
√−1 sinnx = (cos x +
√−1 sin x )n =
=∑
06k6n
(nk
)√−1
k(sin x )k (cos x )n−k
sin
xnx
=∑
06ℓ6 n−12
(−1)ℓn(n − 1) . . . (n − 2ℓ)
(2ℓ+ 1)!(sin
xnx
)2ℓ+1(cos
xnx
)n−2ℓ−1
sin x =∑06ℓ
(−1)ℓ
(2ℓ+ 1)!x 2ℓ+1
sin x = x − x 3
3!+
x 5
5!− x 7
7!+ . . .
e√−1x = cos x +
√−1 sin x
e√−1nx = cosnx +
√−1 sinnx = (cos x +
√−1 sin x )n =
=∑
06k6n
(nk
)√−1
k(sin x )k (cos x )n−k
sin
xnx
=∑
06ℓ6 n−12
(−1)ℓn(n − 1) . . . (n − 2ℓ)
(2ℓ+ 1)!(sin
xnx
)2ℓ+1(cos
xnx
)n−2ℓ−1
sin x =∑06ℓ
(−1)ℓ
(2ℓ+ 1)!x 2ℓ+1
sin x = x − x 3
3!+
x 5
5!− x 7
7!+ . . .
e√−1x = cos x +
√−1 sin x
e√−1nx = cosnx +
√−1 sinnx = (cos x +
√−1 sin x )n =
=∑
06k6n
(nk
)√−1
k(sin x )k (cos x )n−k
sin
x
nx =∑
06ℓ6 n−12
(−1)ℓn(n − 1) . . . (n − 2ℓ)
(2ℓ+ 1)!(sin
xn
x )2ℓ+1(cos
xn
x )n−2ℓ−1
sin x =∑06ℓ
(−1)ℓ
(2ℓ+ 1)!x 2ℓ+1
sin x = x − x 3
3!+
x 5
5!− x 7
7!+ . . .
e√−1x = cos x +
√−1 sin x
e√−1nx = cosnx +
√−1 sinnx = (cos x +
√−1 sin x )n =
=∑
06k6n
(nk
)√−1
k(sin x )k (cos x )n−k
sin x
nx
=∑
06ℓ6 n−12
(−1)ℓn(n − 1) . . . (n − 2ℓ)
(2ℓ+ 1)!(sin x
n
x
)2ℓ+1(cos xn
x
)n−2ℓ−1
sin x =∑06ℓ
(−1)ℓ
(2ℓ+ 1)!x 2ℓ+1
sin x = x − x 3
3!+
x 5
5!− x 7
7!+ . . .
e√−1x = cos x +
√−1 sin x
e√−1nx = cosnx +
√−1 sinnx = (cos x +
√−1 sin x )n =
=∑
06k6n
(nk
)√−1
k(sin x )k (cos x )n−k
sin x
nx
=∑
06ℓ6 n−12
(−1)ℓn(n − 1) . . . (n − 2ℓ)
(2ℓ+ 1)!(sin x
n
x
)2ℓ+1(cos xn
x
)n−2ℓ−1
sin x =∑06ℓ
(−1)ℓ
(2ℓ+ 1)!x 2ℓ+1
x − x 3
3!+
x 5
5!− x 7
7!+ · · · − x 19
19!
P(x ) = 6− 5x + x 2 = (2− x )(3− x ) = 6(1− x
2
)(1− x
3
)
Q(x ) = A(1− x
a1
)(1− x
a2
). . . (1− x
an
)[ai = 0]
sin x = x(1− x
𝜋
)(1 +
x𝜋
)(1− x
2𝜋
)(1 +
x2𝜋
)· · · =
= x(1− x 2
𝜋2
)(1− x 2
4𝜋2
)(1− x 2
9𝜋2
). . .
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)(1− x 2
16
). . .
P(x ) = 6− 5x + x 2 = (2− x )(3− x ) = 6(1− x
2
)(1− x
3
)
Q(x ) = A(1− x
a1
)(1− x
a2
). . . (1− x
an
)[ai = 0]
sin x = x(1− x
𝜋
)(1 +
x𝜋
)(1− x
2𝜋
)(1 +
x2𝜋
)· · · =
= x(1− x 2
𝜋2
)(1− x 2
4𝜋2
)(1− x 2
9𝜋2
). . .
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)(1− x 2
16
). . .
P(x ) = 6− 5x + x 2 = (2− x )(3− x ) = 6(1− x
2
)(1− x
3
)
Q(x ) = A(1− x
a1
)(1− x
a2
). . . (1− x
an
)[ai = 0]
sin x = x(1− x
𝜋
)(1 +
x𝜋
)(1− x
2𝜋
)(1 +
x2𝜋
)· · · =
= x(1− x 2
𝜋2
)(1− x 2
4𝜋2
)(1− x 2
9𝜋2
). . .
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)(1− x 2
16
). . .
P(x ) = 6− 5x + x 2 = (2− x )(3− x ) = 6(1− x
2
)(1− x
3
)
Q(x ) = A(1− x
a1
)(1− x
a2
). . . (1− x
an
)[ai = 0]
sin x = x(1− x
𝜋
)(1 +
x𝜋
)(1− x
2𝜋
)(1 +
x2𝜋
)· · · =
= x(1− x 2
𝜋2
)(1− x 2
4𝜋2
)(1− x 2
9𝜋2
). . .
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)(1− x 2
16
). . .
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)(1− x 2
16
). . .
= 1−(1 +
14+
19+
116
+ . . .)x 2 + . . .
=1𝜋x
(𝜋x − (𝜋x )3
3!+
(𝜋x )5
5!− . . .
)=
= 1− 𝜋2
6x 2 +
𝜋4
120x 4 + . . .
1 +14+
19+
116
+ · · · = 𝜋2
6
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)(1− x 2
16
). . .
= 1−(1 +
14+
19+
116
+ . . .)x 2 + . . .
=1𝜋x
(𝜋x − (𝜋x )3
3!+
(𝜋x )5
5!− . . .
)=
= 1− 𝜋2
6x 2 +
𝜋4
120x 4 + . . .
1 +14+
19+
116
+ · · · = 𝜋2
6
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)(1− x 2
16
). . .
= 1−(1 +
14+
19+
116
+ . . .)x 2 + . . .
=1𝜋x
(𝜋x − (𝜋x )3
3!+
(𝜋x )5
5!− . . .
)=
= 1− 𝜋2
6x 2 +
𝜋4
120x 4 + . . .
1 +14+
19+
116
+ · · · = 𝜋2
6
1+14+
19+
116+ · · · =
𝜋2
6!!!
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)· · · =
∏n>1
(1− x 2
n2
)
ln sin𝜋x − ln𝜋x =∑n>1
ln(1− x 2
n2
)
ddx
(ln sin𝜋x − ln𝜋x ) = 𝜋 ctg 𝜋x − 1x
=∑n>1
11− x2
n2
(−2x
n2
)=
= − 2x
∑n>1
∑k>1
x 2k
n2k
∑n>1
∑k>1
x 2k
n2k =1− 𝜋x ctg 𝜋x
2⇒ получаем
∑n>1
1n2k при k > 1
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)· · · =
∏n>1
(1− x 2
n2
)
ln sin𝜋x − ln𝜋x =∑n>1
ln(1− x 2
n2
)
ddx
(ln sin𝜋x − ln𝜋x ) = 𝜋 ctg 𝜋x − 1x
=∑n>1
11− x2
n2
(−2x
n2
)=
= − 2x
∑n>1
∑k>1
x 2k
n2k
∑n>1
∑k>1
x 2k
n2k =1− 𝜋x ctg 𝜋x
2⇒ получаем
∑n>1
1n2k при k > 1
sin𝜋x𝜋x
=(1− x 2
1
)(1− x 2
4
)(1− x 2
9
)· · · =
∏n>1
(1− x 2
n2
)
ln sin𝜋x − ln𝜋x =∑n>1
ln(1− x 2
n2
)
ddx
(ln sin𝜋x − ln𝜋x ) = 𝜋 ctg 𝜋x − 1x
=∑n>1
11− x2
n2
(−2x
n2
)=
= − 2x
∑n>1
∑k>1
x 2k
n2k
∑n>1
∑k>1
x 2k
n2k =1− 𝜋x ctg 𝜋x
2⇒ получаем
∑n>1
1n2k при k > 1
Дзета-функция
𝜁(t) =∑n>1
1n t
𝜁(1) не определена; 𝜁(2) =𝜋2
6, 𝜁(4) =
𝜋4
90, . . .
Рационально ли число 𝜁(3)?Нет (Роже Апери, 1978)
Рациональны ли 𝜁(2k + 1) при k > 1?
Известны частичные результаты:http://wain.mi.ras.ru/zw/
Дзета-функция
𝜁(t) =∑n>1
1n t
𝜁(1) не определена; 𝜁(2) =𝜋2
6, 𝜁(4) =
𝜋4
90, . . .
Рационально ли число 𝜁(3)?
Нет (Роже Апери, 1978)
Рациональны ли 𝜁(2k + 1) при k > 1?
Известны частичные результаты:http://wain.mi.ras.ru/zw/
Дзета-функция
𝜁(t) =∑n>1
1n t
𝜁(1) не определена; 𝜁(2) =𝜋2
6, 𝜁(4) =
𝜋4
90, . . .
Рационально ли число 𝜁(3)?Нет (Роже Апери, 1978)
Рациональны ли 𝜁(2k + 1) при k > 1?
Известны частичные результаты:http://wain.mi.ras.ru/zw/
Дзета-функция
𝜁(t) =∑n>1
1n t
𝜁(1) не определена; 𝜁(2) =𝜋2
6, 𝜁(4) =
𝜋4
90, . . .
Рационально ли число 𝜁(3)?Нет (Роже Апери, 1978)
Рациональны ли 𝜁(2k + 1) при k > 1?
Известны частичные результаты:http://wain.mi.ras.ru/zw/
Формула Эйлера
𝜁(t) =2t · 3t · 5t · 7t . . .
(2t − 1)(3t − 1)(5t − 1)(7t − 1) . . .=
=1
1− 12t
11− 1
3t
11− 1
5t
11− 1
7t
· · · =∏
p — простое
(1− 1
pt
)−1
Формула Эйлера
𝜁(t) =2t · 3t · 5t · 7t . . .
(2t − 1)(3t − 1)(5t − 1)(7t − 1) . . .=
=1
1− 12t
11− 1
3t
11− 1
5t
11− 1
7t
· · · =∏
p — простое
(1− 1
pt
)−1
Lisez Euler ! lisez Euler !C’est notre maıtre a tous !
(Приписывается Пьеру-Симону Лапласу)
Бернгард РиманГанновер, 1826—Селаска, 1866
Гипотеза Римана
Пояснение, добавленное после лекции. На предыдущем слайдекрасными и синими линиями показаны геометрические места, гдеобращаются в нуль соответственно вещественная Re 𝜁(t) и мнимаяIm 𝜁(t) части дзета-функции 𝜁(t), а черными точками — те места,где обращается в нуль сама 𝜁(t). Конечно, чтобы 𝜁(t) = 0,необходимо, чтобы одновременно Re 𝜁(t) = 0 и Im 𝜁(t) = 0,поэтому черные точки стоят на пересечениях красных и синихлиний. У внимательного слушателя может возникнуть вопрос,почему не отмечено пересечение красной и синей линий скоординатами (1, 0), отвечающее t = 1. Дело в том, что 𝜁(1) =∞,а в окрестности этой точки дзета-функция устроена так: приподходе к (1, 0) по красной линии Re 𝜁(t) = 0, но Im 𝜁(t)стремится к бесконечности, а при подходе по синей линии Re 𝜁(t)и Im 𝜁(t) меняются ролями. Следовательно, хотя нулевые линииуровня действительно пересекаются при t = 0, сама функция вэтой точке обращается не в нуль, а в бесконечность.
Юрий МатиясевичСанкт-Петербург
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat/personaljournal/
Спасибоза внимание!