Откуда к нам пришла Откуда к нам пришла геометрическая прогрессиягеометрическая прогрессия??

Воробьева Екатерина, Максимова Татьяна, 9 Г, сош № 13

г. Балаково

Цель нашего исследованияЦель нашего исследования

Мы хотим узнать: где, когда и почему Мы хотим узнать: где, когда и почему зародилось учение о геометрической зародилось учение о геометрической прогрессиипрогрессии

У нас есть гипотезаУ нас есть гипотеза

Мы думаем, что учение о прогрессиях возникло давно в результате практической деятельности человека. Точное место, где зародилось это учение назвать будет сложно

У нас есть планУ нас есть план

• Изучить материал пп. 18 – 20 учебника Алгебра. 9 класс/ Макарычев и др. - М.: Просвещение, 2006 г.

• Подобрать дополнительный материал по теме в библиотеке и сети Интернет.

• Подобрать старинные задачи на геометрическую прогрессию.

• Сделать выводы. Оформить презентацию.

Что мы уже знаем о Что мы уже знаем о геометрической прогрессиигеометрической прогрессии

• Определение: геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

• Обозначение: (bn).

• Формула n-го члена: bn=b1 . qn -1, где q –знаменатель прогрессии• Формула суммы первых n членов:

• Характеристическое свойство:

1

)1(1

q

qbS

n

n

11 nnn bbb

Немного историиНемного истории

Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Это и понятно – ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Что же касается геометрической прогрессии, то впервые она упоминается в легенде об индийском принце Сираме.

Легенда об индийском принцеЛегенда об индийском принце

Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так далее до 64-го поля. Нетрудно сосчитать, используя формулу

, что количество зерна, нужное для расплаты, составляет примерно

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря , и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Так может принцу стоило поближе познакомиться с математикой?

1

)1(1

q

qbS

n

n

18105,18

Геометрическая прогрессия в Геометрическая прогрессия в старинных задачахстаринных задачах

В старинной арифметике Магницкого можно найти такую забавную задачу: Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: - Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.Тогда продавец предложил другие условия:-Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 0, 25 коп., за второй – 0,5 коп., за третий – 1 коп. и т. д. Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?Решим эту задачу

Геометрическая прогрессия в Геометрическая прогрессия в старинных задачах старинных задачах

(продолжение)(продолжение)За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

копеек. Сумма эта равна

копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

32432 2...22212

1

4

1

4

34194303

4

12

124

122

22

21

Геометрическая прогрессия в Геометрическая прогрессия в старинных задачахстаринных задачах

Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык – Юнкером и Математики партикулярным учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике(1795)«служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб.. 35 коп. Спрашивается число его ран».Решим задачу.Составляем уравнение 65535 = 1 + 2 + 22 + 23 + …+ 2 x – 1 или

Откуда имеем: 65535 = 2x и x = 16 – результат, который легко находим подбором.При столь великодушной системе вознаграждения воин должен был получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы получить награду в 655 руб. 35 копеек.

1212

12265535

1

xx

ВыводыВыводы

В ходе работы мы убедились в правильности наших догадок. Учение о геометрической прогрессии имеет давнюю историю. Задачи на эту тему встречаются у разных народов и точный возраст открытия геометрической прогрессии неизвестен, но из текстов задач понятно, что возникло это учение в результате практической деятельности человека более двух тысячелетий назад

РесурсыРесурсы

• Учебник. Алгебра. 9 класс/Ю. Н. Макарычев и др. - М.: Учебник. Алгебра. 9 класс/Ю. Н. Макарычев и др. - М.: Просвещение, 2006 г.Просвещение, 2006 г.

• Л. Ф. Пичугин. За страницами учебника алгебры. - М.: Л. Ф. Пичугин. За страницами учебника алгебры. - М.: Просвещение,1999 г.Просвещение,1999 г.

• Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. Ред. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. Ред. М. Д. Аксенова. - М.: Аванта +, 2001 г.М. Д. Аксенова. - М.: Аванта +, 2001 г.

• Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. – М.: Триада Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. – М.: Триада – Литера, 1994 г.– Литера, 1994 г.

• http://math.ruhttp://math.ru