Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезками прямых

, и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией

( )xfy =ax = bx =

a b1−ix ix

Разобьем отрезок на n частей

точками . При этом криволинейная трапеция разобьется на элементарных криволинейных трапеций. Заменим каждую такую криволинейную трапецию прямоугольником с основанием , где и

высотой , где -произвольно

выбранная внутри отрезка точка.

Площадь прямоугольника будет

равна , а площадь

всей криволинейной фигуры приблизительно будет равна сумме площадей всех прямоугольников:

.

Определение.

Выражение , где

, называется

интегральной суммой функции

на отрезке .

Определение.

Если существует конечный , не

зависящий ни от способа разбиения отрезка

на части, ни от выбора точек ,

то этот предел называется определенным интегралом функции на отрезке и

обозначается .

Замечание. С геометрической точки зрения

при равен

площади криволинейной трапеции

Теорема. Если функция непрерывна на

отрезке , то

существует и конечен, т.е.

существует и конечен .

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. , если .

Если функция непрерывна на то существует такая точка

что ],,[ ba∈ξ

).)(()( abfdxxfb

a

−=∫ ξ

ξ

)(xfy =

a b

],,[ ba

Теорема. Пусть - первообразная функции .

Тогда .

Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница, из которой следует, что для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции.

Вычислить .dxex

∫−3

0

3

=

−−=−=∫=∫

⋅−⋅−⋅−⋅−− 03

13

3

13

0

3

13

0

3

13

0

3 33 eeedxedxexx

x

( )e

e

ee

−−=

−−=−−= − 1

311

313 1

Теорема (Замена переменной в определенном интеграле). Пусть непрерывна на , а

функция непрерывна вместе

со своей производной на

отрезке , причем ,

. Тогда

.

∫ =−=∫

====

=−=

=+

=+

=+

2

1

23

0

2

2

21

2,3

1,0

2,1

1

1

1tdt

t

t

tx

tx

tdtdxtx

tx

tx

x

xdx

( ) ( ) =

−−

−=∫ ∫

−=−=−= 1

3

12

3

82

321212

2

1

2

1

2

1

322 t

tdttdtt

3

8

3

421

3

721

3

12

3

82 =⋅=

−=

+−−=

Теорема (Интегрирование по частям в определенном интеграле). Если функции , и их

производные и

непрерывны на отрезке , то

.

∫ =−=∫==

===

eee

x

dxxxx

xvdxdvx

dxduxu

xdx1

11

ln,

,lnln

111lnlnln1

11

=+−=−−=∫−= eexeedxxxeee

Замечание.

не является определенным интегралом.

Считается по определению, что

. Если этот предел

конечен, то , называемый

несобственным, сходится. Если же этот предел не является конечным, то интеграл расходится.

. Вычислить несобственный интеграл

(или установить его расходимость).

Этот несобственный интеграл расходится.

∫+∞

+02 4x

xdx

22

2 2 00 0

2

1 ( 4) 1lim lim ln( 4)

4 2 4 2

1lim (ln( 4) ln 4)

2

bb

b b

b

xdx d xx

x x

b

+∞

→+∞ →+∞

→+∞

+= = + =+ +

= + − = ∞

∫ ∫

Несобственный интеграл

20 4

dx

x

+∞

=+∫

1 1lim ( )

2 2 2 2 2 4b

barctg arctg

π π→+∞

= = +∞ = =×

Площадь такой фигуры, называемой криволинейной трапецией, вычисляют по

формуле .

Площадь фигуры в декартовых координатах.

0

( )xfy =

a bx

y

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций , , и двумя прямыми

и определяется по формуле

В случае параметрического задания кривой , площадь фигуры, ограниченной прямыми , осью Ох и кривой вычисляют по формуле где пределы интегрирования определяют из

уравнений .

,)()(2

1

∫ ′=t

t

dtttS ϕψ

)(),( 21 tbta ϕϕ ==

.

bxax == ,),( ),( tytx ψϕ ==

Площадь полярного сектора вычисляют по формуле

ϕϕβ

α

drS )(2

1 2∫=.

α β

)(ϕrr =

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

322 +−−= xxy

12 −= xy

Получим

( ) ( )[ ] =∫ −−+−−=−

dxxxxS1

2

22 132 ( )∫ =+−−−

1

2

2 422 dxxx

=

−+−

−

1

2

23

223

2 xxx

=

−+−+−=

++−−

−+−= 6

3

82

2

1

3

124

2

4

3

82

2

1

3

12

92

92

2

1832 =

−−=

+−−=

( )∫ =−+−=−

1

2

2 22 dxxx

Найти площадь эллипса . Параметрические уравнения эллипса

12

2

2

2

=+b

y

a

x

.sin,cos tbytax ==

у

a

b

о

.2

2)2sin2

1(4

2

1

2

2cos14sin4

)sin(sin4

2/0

2/

0

2/

0

2

0

2/

ababttab

dtt

abtdtab

dttatbS

πππ

πππ

==−=

=−==

=−=

∫∫

∫

х

Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

и лежащей вне круга радиуса :ϕ2cos22 ar =

=−=− ∫∫6/

0

226/

0

26/

0

2 )4

12sin

4

1(

22

12cos

2

1πππ

ϕϕϕϕϕ aada

da

2

ar =

)3

3(8

)62

3(

4)

63(sin

4

1 222 ππππ −=−=−= aaa

)3

3(2

2 π−= aS

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина ее дуги

, где –значения параметра,

соответствующие концам дуги .

( )tx ϕ= ( )ty ψ=

( )( ) ( )( ) dtttl

t

t∫ ′+′=2

1

22 ψϕ

21 t,t

Если кривая задана уравнением , то , где a, b–абсциссы начала

и конца дуги . Если кривая задана уравнением , то , где c, d–

ординаты начала и конца дуги

( )xfy =( )( ) dxxfl

b

a∫ ′+= 21

( )ygx = ( )( ) dyygld

c∫ ′+= 21

( )ba <

( )dc <

Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то

, где –значения полярного угла,

соответствующие концам дуги .

( )ϕρρ =

( )( ) ( )( ) ϕϕρϕρβ

α

dl ∫ ′+= 22

βα ,

Вычислить длину дуги кривой от точки до . , тогда

3xy =( )00,O ( )84,B

21

23

2

3xxy =

′

=′

=+= ∫ dxxl4

04

91

4

0

4 9 91 1

9 4 4xd x + + = ÷ ∫

( )32 4

0

4 2 9 81 10 10 1

9 3 4 27x = × + = − ÷

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле .

( )xfy =bxa ≤≤

bx,ax ==( )( )∫=

b

a

x dxxfπV 2

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле

.

( )ygx =dyc ≤≤ dy,cy ==

( )( )∫=d

c

y dyygV 2π

Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями и

Рис. 14

А

0

1

1

y

2xy =

xy =

xy =2xy =

Тогда ( ) ( ) =−= ∫∫1

0

221

0

2dxxdxxVx ππ

1 14

0 0

xdx x dxπ π= − =∫ ∫ =⋅−⋅1

0

51

0

2

52

xx ππ

10

3

52

πππ =−=