sin xdx ³ -...

Контрольные задания по темам:

"Неопределенный интеграл", "Определенный интеграл", "Функции нескольких

переменных", "Дифференциальные уравнения"

Вариант 1 (16)

I. Найти первообразную:

1) 24 ln

dx

x x ; 2)

3

2

arctg

1

xdx

x ; 3) sin2

xx dx ; 4)

2

5 7

2 10

xdx

x x

; 5) 5cos sinx xdx .

II. Вычислить определенные интегралы:

1) 4

2

2

sin xdx

; 2) 3

3

1

4 8 1x x dx

.

III. Вычислить площадь:

1) 2 4y x x , 2y x ; 2) 6cos3 .

IV. Найти длину дуги линии:

5 sin ,

5 1 cos ,

x t t

y t

если 0 t .

V. Найти область определения функции:

z x y x y .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 22 3 8 4z x y x y в точке 0 1;1;1M .

VII. Найти xz и yz , если 2 2lnz x y .

VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 26 12 24 48z x x y y x y .

IX. Решить дифференциальные уравнения:

1) 1 0x ydx x dy ; 2) 2x y dx xdy , если 1 0y ;

3) 4 3 2 5 xy y y x e .

X. Решить систему дифференциальных уравнений: 5 ,

3 .

x x y

y x y



1) 3sin cosx xdx ; 2)

21 arcsin

dx

x x ; 3) 2ln xdx ; 4)

2

4 1

6 8

xdx

x x

; 5) 3 9

dx

x .


1) 2

2

0

cos xdx

; 2) 2

2

1

3 6 5x x dx

.


1) 2

2

xy , 0y , 2x , 4x ; 2) 4sin2 .


2cos cos2 ,

2sin sin 2 ,

x t t

y t t

если 0 t .


2ln 2z y x .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 28 10 5z x y x y в точке 0 2;1; 25M .

VII. Найти xz и yz , если

y

xz e .

VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 24 8 6 16 24 5z x x y y x y .


1) 2 9y dx x ydy ; 2) 3 2 22 2x y y x y , если 1 1y ; 3) 2 4 15y y y x .

X. Решить систему дифференциальных уравнений: ,

10 .

x x y

y x y



1) arcsin

21

x dxe

x ; 2) 5sin xdx ; 3) 2 xxe dx

; 4) 2

5 4

8 20

xdx

x x

; 5) 3ln

dx

x x .


1) 4

0

cos3xdx

; 2) 1

2

2

6 8 3x x dx

.


1) 2 4 3y x x , 0y ; 2) 3cos4 .

IV. Найти длину дуги линии: 2

2

cos sin cos ,2

sin cos sin ,2

tx t t t t

ty t t t t

если 0 1t .


1arcsin

xz

y

.

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 42 3 8 5z x y x y в точке 0 2;1;8M .

VII. Найти xz и yz , если 2 1 1sinz

x y

.

VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 24 12 8 16 4z x x y y x y .


1) 2

2

cos

9

yy

x

; 2) 2 2 2y x y x y , если 1 2y ; 3) 2 10 3siny y y x .


3 4 .

x x y

y x y



1) 7

2

tg 5

cos

xdx

x

; 2) 4 3 cosx xdx ; 3) 3sin cosxe xdx ; 4)

2

5 19

2 17

xdx

x x

;

5) 7sin xdx .


1) 2

4

sin 4 xdx

; 2) 2

2

2

3 2 15x x dx

.


1) xy e , 0y , 1x , 2x ; 2) 6sin4 .


2

3

12 ,

2

11 ,

3

x t t

y t

если 1 2t .


2 24z x y x .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 26 4 2 8z x y x y в точке 0 3; 2;48M .

VII. Найти xz и yz , если 3cos 2x yz .



1) 2 21 2y x x y ; 2) tgy

x y y xx

, если 16

y

; 3) 7 8 4 xy y y e .


3 .

x x y

y x y



1) 3

2

5 arcsin

1

xdx

x

; 2) 8cos sinx xdx ; 3) 3 2 sinx xdx ; 4)

2

8 15

6 13

xdx

x x

;

5) 4 2tg sin

dx

x x .


1) 12

3

cos6 xdx

; 2) 3

4

8 1x dx

.


1) 2

1y x , 2 2y x ; 2) 1 cos .


ln ,

arcsin ,

x t

y t

если

11

2t .


2 2ln 9z x y y .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 3ln ln 7z x y y x в точке 0 1;1;7M .

VII. Найти xz и yz , если arctgz x y .



1) 2 22 4x y y y ; 2)

y

xx y y xe , если 1 1y ; 3) 4 3y y x .


20 .

x x y

y x y



1) 21 arctg

dx

x x ; 2)

1

2 1

xdx

x

; 3) 2xe x dx ; 4)

2

7 3

8 12

xdx

x x

; 5) 2

sin

9 cos

xdx

x .


1)

2

sin 3cos2 3

x xdx

; 2)

2

3

6 7x dx

.


1) 2

2

xy , 1

2

xy ; 2) 4cos6 .


3 cos sin ,

3 sin cos ,

x t t t

y t t t

если 0 2t .


2arcsin

yz

x

.

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности:

2 25z x y x y в точке 0 3;4;13M .

VII. Найти xz и yz , если 2 2ln sin cosz x y .



1) 21y x y x y ; 2) x y

yy

, если

11

2y ; 3) 8 20 8 15y y y x .


5 .

x x y

y x y



1) 2

cos

16 sin

xdx

x ; 2) 2 3

dx

x x ; 3) ln 5x x dx ; 4)

2

8 13

4 40

xdx

x x

; 5) tg

2sin

c x dxe

x .


1)

2

2

sin 2 cos3

xx dx

; 2)

2

1

8 21x dx

.


1) 2 3 2y x x , 2y x ; 2) 1 cos .


2cos cos2 ,

2sin sin 2 ,

x t t

y t t

если 0

2t

.


24z x y x .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 3 9 12z x y x y в точке 0 1; 1; 3M .

VII. Найти xz и yz , если 3 1 1sinz

x y

.

VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 24 6 6 12 12 5z x x y y x y .


1) 1 2 x

y yy

; 2) 2 2x y x y y , если 1

2y

; 3) 9 6 xy y xe .

X. Решить систему дифференциальных уравнений: 5 8 ,

3 3 .

x x y

y x y



1) 4

2

3ctg 10

sin

xdx

x

; 2)

1 2 5

dx

x ; 3) cos

3

xx dx ; 4)

2

6 7

4

xdx

x

; 5) 5

2 31x x dx .


1)

3

22

4

cos2

xdx

; 2)

2

3

4 7x dx

.


1) 2 6 5y x x , 2 2y x ; 2) 3 1 cos .


sin cos ,

cos sin ,

t

t

x e t t

y e t t

если 0 1t .


ln 1z x y .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 26 4 7z x x y x y в точке 0 2; 1; 1M .

VII. Найти xz и yz , если 2ctg ln lnz x y .

VIII. Исследовать функцию на экстремум: 3 3 3z x y x y .


1) 2

3

1

y y y

x x

; 2)

yy

x , если 2y e e ; 3) 7sin 5cosy y x x .


4 3 .

x x y

y x y



1) 2xxe dx ; 2)

4

1 4

x dx

x

; 3) 2ln xdx ; 4)

2

8 16

2 8

xdx

x x

; 5) 2sin 3 1x x dx .


1) 4

3

2

sin cosx xdx

; 2)

1

3

6 5x dx

.


1) 2 2 4y x x , 2y x ; 2) 7cos2 .


2

2

2 sin 2 cos ,

2 cos 2 sin ,

x t t t t

y t t t t

если 0 t .


lnz x y x y .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 24 7 9z x y x y в точке 0 3;1;6M .

VII. Найти xz и yz , если cos 2x yz .

VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 2 8 10 7z x y x y .


1) 2 21 1x y dx y x dy ; 2) siny y

yx x

, если 12

y

; 3) 4 4 2 xy y y xe .


4 5 .

x x y

y x y



1) 2ln

dx

x x ; 2) 32 xx e dx ; 3) 3 1 cos

2

xx dx ; 4)

2

3 10

3 2

xdx

x x

; 5) 2 7

1 5

xdx

x

.


1) 2

sin 2 3cos2

xx dx

; 2)

1

2

4 1x dx

.


1) 26 2y x x , 2y x ; 2) 4sin .


sin 2 ,

cos2 ,

x t t

y t t

если

10

2t .


4 1z x y .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 23

6

x yz

точке 0

11;1;

3M

.

VII. Найти xz и yz , если arctgz x y .



1) 2arcsin 1 1y xdx x y dy ; 2) 2

2

x y yy

x

, если 1 1y ;

3) 212 20 4 3 5y y y x x .

X. Решить систему дифференциальных уравнений: 5 4 ,

2 3 .

x x y

y x y



1) 31 ln 1

dx

x x ; 2) 3

1 3

xdx

x

; 3) cos

3

xx dx ; 4)

2

3 5

4 5

xdx

x x

;

5) cos sinxe xdx .


1) 2

2

0

sin xdx

; 2) 3

2

4 9x dx

.


1) 2 2y x x , y x ; 2) 3cos4 .


3cos cos3 ,

3sin sin3 ,

x t t

y t t

если 0

2t

.


2 29z x y x y .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 2

2x yz точке 0 1;1;4M .

VII. Найти xz и yz , если 2 23 3y xz x e y e .

VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 28 4 16z x x y y x y .


1) 2

2

9

x yy

x

; 2)

x yy

x y

, если 1 0y ; 3) 4 3 8 5y y y x .


4 .

x x y

y x y



1) 24 sin 2 3x x dx ; 2) 9

xdx

x ; 3)

5

2

arctg

1

xdx

x ; 4) 2

5 8

6 25

xdx

x x

; 5) 2 xxe dx

.


1) 4

2

sin3xdx

; 2) 2

2

2

3 4 1x x dx

.


1) 2

2

xy , 2y x ; 2) 6sin3 .


cos ,

sin ,

t

t

x e t

y e t

если 0 1t .


arcsin3

x yz

.

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 3 9z x y x y точке 0 1;1;9M .

VII. Найти xz и yz , если 2 2

ln x yz e e .



1) 1 1x ye e y ; 2) 2cosy y

yx x

, если 14

y

; 3) 4 2 10y y x .


.

x x y

y x y



1) 2

cos

16 sin

dx

x ; 2) xe dx ; 3) 3sin xdx ; 4)

2

8 5

4 5

xdx

x x

; 5) 2 xxe dx

.


1)

2

cos2

xdx

; 2) 1

3

8 7x dx

.


1) 2 4y x x , 0y ; 2) 3cos4 .

IV. Найти длину дуги линии: 3

3

2cos ,

2sin ,

x t

y t

если 02

t

.


2 24 9z x y .


2 2z x y точке 0 3;4;5M .

VII. Найти xz и yz , если 2tgy

zx

.



1) 2cos3 siny x y ; 2) 2x yy e , если 0 0y ; 3) 4 15y y x .


3 4 .

x x y

y x y



1) 10

3 25x x dx ; 2) 2 xx e dx ; 3) 3cos xdx ; 4) 2

6 11

8 15

xdx

x x

; 5) 2

1 2

xdx

x

.


1)

3

2

4

sin 2 xdx

; 2)

2

1

8 1x dx

.


1) 22 4y x x , 2y x ; 2) sin .


2

arctg ,2

1ln 4 ,

2

tx

y t

если 0 1t .


ln 2z y x .

VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 22 5 8 17z x y x точке 0 2;1;14M .

VII. Найти xz и yz , если 2 2arcsin 1z x y .

VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 2 8 4z x y x y .


1) 0x y x dx x y y dy ; 2) 2 x

yy

, если 1 2y ; 3) 8 15 siny y y x .


.

x y

y x



1) 2 21 arctg

dx

x x ; 2) ln 1 x dx ; 3) 7sin cosx xdx ; 4)

2

3 10

6 25

xdx

x x

; 5)

7

1 7

xdx

x

.


1) 2

3

sin2

xdx

; 2) 1

3

2 13x dx

.


1) 2 6y x x , 4y x ; 2) 2cos2 .


sin3 ,

cos3 ,

x t t

y t t

если 1 0t .


2 2 1z x y x y .


2 2z x y x y точке 0 3;4;17M .

VII. Найти xz и yz , если ctg yz x .

VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 22 8 4 16 32z x y x y x y .


1) 2 5

sin 4

xy

y

; 2) 2sin

y yy

x x , если 1

4y

; 3) 39 6 xy y e .


3 2 .

x x y

y x y

sin xdx ³ -...

Documents