Тема: Определённый интегралvm.stu.ru/task/defineintegral - 01.pdf ·...

Тема: «Определённый интеграл» Вариант №1 Вычислить с точностью до трех знаков после запятой

№ 1) dxxx∫ +3

0

3 21 ;

№ 2) ; ∫ −3

2

)1(ln dyyy

№ 3) dxxxx

∫ +++1

02

24

1133 ;

№ 4) dxxxx∫ −2

0

22 ;

№ 5) dxxsinxcos4π/

2π/

3

∫−

−

;

№ 6) ∫ −+

3

22 2x3x2

dx

№ 7) dx2)(x3

2)(x29

33 2

3 2

∫−+

−

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

№ 8) ∫∞

+04 1x16dxx

№ 9) ∫ −

1

03 x42

dx

Вычислить (с точностью до трех знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. № 10)

ϕ2cos3ρ = Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

tsin2ytcos2x

3

3

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12)

Ф: Oy

0xx4y2

=−=

Тема: «Определённый интеграл» Вариант №2 Вычислить с точностью до двух знаков после запятой

№ 1) dxxx

∫+

312

06

5

112 ;

№ 2) dxex0

2

2x

2∫−

−

№ 3) dx1x

3x5x23

22

24

∫ −+−

№ 4) dxx

x41

22

2

∫−

№ 5) ∫ +

2π

0 cosx2dx

№ 6) ∫− ++

0

22 4x2x

dx

№ 7) ( )∫ −+

2ln

0xx e3e

dx


№ 8) ∫∞

−14 1x16dxx16

№ 9) ∫ +−

3

12 96xxdx

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. № 10)

x3yxy 2

−==

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11)

( )( )πt0

tcosttsin2ytsinttcos2x

≤≤−=+=

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Оx0y0x

2yx:Φ

==

=+


№ 1) ∫ +

1

02

2

1xdxx ;

№ 2) dxxx

π

∫ ⋅2

0

cos ;

№ 3) ( )

dx1xx

2x3

22∫ −+

№ 4) dxx

9x6

34

2

∫−

№5) dxx2sin4π

0

3∫

№ 6) ∫−

− −+

2

52 21x4x

dx

№ 7) ∫ ++

5

0 1x3x2dx


№ 8) ∫∞

+04

3

116xdxx

№ 9) ∫+3

1

02

3

dxx

x1e

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. № 10

3xyxy

=

=

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

2π0

3sinρ 3

≤≤

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϕ

ϕ


Оу

14

y9

x:Φ

22

=+

Тема: «Определённый интеграл» Вариант №4

Вычислить с точностью до двух знаков после запятой

№ 1) dxxx

π

∫2

0

2cossin ;

№ 2) dxsinxxπ

0

2∫

№ 3) ( )∫ −

3

22 1xxdx

№ 4) ∫ −1

0

2 dxx4

№ 5) dx2xsin

π

0

4∫

№ 6) ∫ +−

5

163

2

xx613dxx

№ 7) ∫ −+++8

3

dx11x11x

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость. № 8

∫∞

−14 1x16

dxx

№ 9

( )∫−

3

1 3 5x3

dx


tsin7ytcos7x

3

3

=

=


2π0

3sin2ρ 3

≤≤

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϕ

ϕ


Ох1y

xy:Φ

23

==


№ 1) dxxcos1

xcos2π

0∫ +

№ 2) dxx∫−

21

21

2arccos ;

№ 3) ∫− +

1

1

5

2ydyy

№ 4) dxx4x

1x3

122

3

∫−

+

№ 5) dxx2sinxcos3π

0

3∫ ⋅

№ 6) ∫ +

2

12 xxdx

№ 7) ∫ +

8

3 1xdxx


( )∫∞− +

0

32 4x

dxx

№ 9

∫ −−1

31 13

)13(ln dxxx


ϕ3cos4ρ = Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

33 23 2 9yx =+ Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Охt)cos(16y

t)sin(t6x:Φ

−=−=



№ 1) ∫ +

34

43

2 1xdx

№ 2) dyyln1)(y2

1∫ −

№ 3) dxxx

3x2x33

23

2

∫ −−+

№ 4) ∫ −3

0

2 dxx3

№ 5) ∫3

0

2

π

dxxtg ;

№ 6) ∫−

++

21

21

2 5x4x4dx

№ 7) ∫ +−5ln

0x

xx

dx3e

1ee


∫∞

+03 43

2

8)(x

dxx

№ 9

∫ +−

1

41

2 1x9x20dx


ϕ2cos3ρ = Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

32

32

32

4yx =+ Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Oу2π/t0tsin4ytcos3x

:Φ

2

2

≤≤=

=


№ 1) ∫−

+

3

0 325 xdx

№ 2) dxex x∫−

−⋅0

21

2

№ 3) ( )∫ −

21

31

31xdxx

№ 4) ∫−

−3

3

22 dxx9x

№ 5) dxxx

∫ −

π

π2

3)cos1(sin

№ 6) ∫−

−+

1

21

2xx28

dx

№ 7) ∫ −

2ln2

2lnx 1edx


∫∞

+04 52 )16(x

dxx

№ 9

∫ −⋅−

1

21

2 )1(ln)1(2ln

xxdx


)cos1(2ρ ϕ−= Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

32 1)(xy +=

отсеченной прямой х=4 Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Oхyxxy

:Φ

2

2

=

=



№ 1) ∫+

2

04

3

4xdxx

№ 2) dxxcosxsinxπ

π∫−

⋅⋅

№ 3) ( )∫ −+

5

4 1)2( xxdx

№ 4) dxx

x11

26

2

∫−

№ 5) ∫ ⋅4

0

3sincos2π

dxxx

№ 6) ∫ ++

2

12 45ttdt

№ 7) ∫ −2ln

0

x dx1e


∫∞

+−42 1x4x

dxx

№ 9

dxxx

∫ −−3

2

0

3

32)32ln(


ϕ2sin2ρ2 =Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

6π/x0

x)ln(cos-1y≤≤

=


Oх2x

1)(xy:Φ

32

=−=


№ 1) ∫+e

dxxx

1

ln1

№ 2) ∫−

−

3/2

3/1x3 dx

ex

№ 3) ( )∫ −+

4

3 2x1)(xdx

№ 4) ∫ −1

0

32 dx)x(1

№5) ∫π

023 coscos dxxx

№ 6) ∫ ++

2

02 2x3x

dxx

№ 7) ∫ +

5

0 4xdxx


∫∞

− ++12 5)x4(xπ

dx

№ 9

∫ −

1

041 x

dxx


t)cos-(14y

t)sin(t-4x==


2π0

3cosρ 3

≤≤

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϕ

ϕ


Oх0y

x23y

y1x

:Φ2

=

=

−=



№ 1) ∫ +

1

08

3

1dz

zz

№ 2) dxx

xlne

12

2

∫

№ 3) ∫ −+1

032)(xdx3)x(2

№ 4) ∫+

1

3/3322 )x(1x

dx

№ 5) ∫ −32π/

0

2 dx16)x4cos(32

№ 6) ∫ +−

2

12 2x2x

dx5)(x-

№ 7) ∫ ++

4

0 1x21dx


∫∞

− ++12 5x4x

dxx

№ 9

dxxx

∫−

6

06 5)3sin1(

3cosπ


)сos2(1ρ ϕ+= Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

tsinytcosx 3

444


Oхπx0

0yxsiny

:Φ

≤≤==



№ 1) ∫ −

2π

4π

2 xcos1dx

№ 2) dxxlnx2e

0∫

№ 3) ( )∫ +−

3

22 1x1)(x

dx

№ 4) dxx

1x2

1

2

∫−

№ 5) dx1xsin

xcos2π/

02∫ +

№ 6) ∫− ++

1

12 5x2x

dx

№ 7) ∫ +

37

32 2x3

dxx


dxxxarctg

∫ +

π

π02 )41(

2

№ 9

dxxx

∫−

1

041

2


ϕ3sin2ρ =Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

32 1)(xy −=

от т. А (1;0) до т. B (6; 125 ) Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Oхy4xx4y

:Φ

2

2

=

=



№ 1) ∫++−

5

22 5x4x

dx

№ 2) dxxarctg1

0∫

№ 3) ( )∫ −+

+5

32

2

1x1)(xdx2)(x

№ 4) ∫ +

1

02/32 3)(x

dx

№ 5) ∫π

4π/

4 dtg ϕϕ

№ 6) ∫ +

8

62 x2xdx

№ 7) ∫ −−

3ln

2lnxx ee

dx


∫∞

++21

2 5)x4x(4πdx16

№ 9

∫− +

0

3/13 x31

dx


ϕcos2ρ +=Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

52 xy =

отсеченной прямой x=5 Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Oytsin5ytcos2x

:Φ

==



№ 1) ∫ +1

0

43 dxx54x

№ 2) dx2xcos2)(x

π

0∫ +

№ 3) dx1)(x

1x3x1

02

34

∫ +−+

№ 4) ∫ −2

1

2 dxx2

№5) dx2x3cos

2xcos

π

0∫ ⋅

№ 6) ∫−

1

21

2xx

dx

№ 7) ( )∫ +

1

04

2

x1dxx


∫∞

++02 5x4x4

dxx

№ 9

∫ −

1

543 43 x

dx


2xy

x11y

2

2

=

+=


ϕcosρ 3= Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Oyyx8

xy:Φ

2

2

=

=



№ 1) dx2xsin

π

π

2∫−

№ 2) dxx4sinx8π

0

2∫

№ 3) dx2)(x

3x2x0

12

25

∫− −

++

№ 4) ∫ +

1

022

2

1)(xdxx

№ 5) dxx3sinx5cos4π

0∫ ⋅

№ 6) dxxx1

8x20

21

2∫−

−−

−

№ 7) ∫− ++

0

13 1x1dx


∫∞

++

+

03 42 1)x4(x

dx2)(x

№ 9

∫2

02cos

π

dxx

e xtg

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. № 10 y2 = x+1, y2 = 9−x. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

)cos(13ρ ϕ−= Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Oх1x0x0yey

:Φx

====


№ 1) ∫2

12

x1

dxxe

№ 2) dyylny2

1

2∫

№ 3) ∫ ++

1

02 2x3x

dxx

№ 4) ∫−

6

3222 9xx

dx

№ 5) dxxcosxsin3π/

04

3

∫

№ 6) ∫−+

2

43

2x2x32

dx

№ 7) ∫ −+

2ln21

0xx

x

eedxe


dx4x

x3

02

2

∫∞

+−

№ 9

∫−

−1

02

arcsinxπ21

dxx1π

e2

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. № 10 y2 =x3, x=0, y=4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3cos2ρ 3 ϕ


хO3x

3x4y

:Φ

2

=

=


№ 1) ∫ −

2/1

12x1

dxx

№ 2) dx1)(x

1)(xln2

12∫ +

+

№ 3) ∫ −−+10

823

2

dxx6xx

3x

№ 4) ∫+

1

3/122 x1x

dx

№ 5) ∫6π/

0 xcosdx

№ 6) ∫ +−

2

6/12 1xx3dx

№ 7) ∫+

3 7

02

2

9 z

dzz


∫∞

+02 dx

x41x2arctg

π2

№ 9

∫−−

2

15 2 4xx4

dx


ϕ2sin4ρ =Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

2π/t0tsinytcosx

≤≤

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=2

2

55


хO0y

xx-2y:Φ

2

==


№ 1) ∫ +1

0

x22 dx)ex3(x3

№ 2) dx3)x(2arctg2

2/3∫ −

№ 3) ∫ +

3

124 xx

dx

№ 4) ∫ −2/3

2/1

2 dxx1

№ 5) ϕϕ dctg2π

6π

3∫

№ 6) ∫ +−

4

32

2

10x6xdxx

№ 7) ∫ +

5

0 1x3dxx


∫∞

+12 x)ln(1x

dx4

№ 9

∫π

2π/7 2 xcos

dxxsin


tsin2ytcos3x

==


32 x)4(3y9 −=

между точками пересечения с осью Оу Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

осьполярная12 )cos(ρ ϕ+=


№ 1) dxx

xcos2

2

π

9π∫

№ 2) dxx3)sin(xπ/2

0∫ +

№ 3) dxx1

x3

24

7

∫ −

№ 4) ∫++

3

022 x9)x(9

dx

№ 5) dxx5cosx3coscosx2π/

0∫ ⋅⋅

№ 6) ∫ +−

5

5,32 13x7x

dxx

№ 7) ∫− +++

2

031)(x1x

dx


∫∞

0

dxsinxx

№ 9

∫−

+

0

43 x43

dx

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. № 10 y2=9x, y=3x. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

ϕsin3ρ = Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

yOtsin7ytcos7x

:Φ

3

3

=

=



№ 1) ∫ +

3

16

2

x1dxx

№ 2) ∫e

1

2 dxxlnx

№ 3) ∫ −

3

24 1xdx

№ 4) ∫−4

2

2

dxx

4x

№ 5) dxxsinxcosπ

0

24∫ ⋅

№ 6) ∫ +−

3

22 5x4x

dx2)x-(3

№ 7) ∫ +−0

3lnx

x

dx1e

e1


∫−

∞− −

1

2 5lnx)4(xdx7

№ 9

∫−

2

132 2ln1)(x

dxx


πt00y

t)costt(sin3yt)sintt(cos3x

≤≤=

−=+=


2π/x3π/x)ln(sin-1y

≤≤=


хО

11y

16x

:Φ22

=+


№ 1) ∫t

1

dxx

x)(lnsin

№ 2) ∫−

0

3

3x/- dxe2)(x-

№ 3) ∫− −

0

13 1xdxx

№ 4) ∫− −−

2/1

2/122 x1)x(1

dx

№ 5) ∫6π/

0

6 dxxsin

№ 6) ∫− ++

2

2/32

2

dx4x3x

1)(x-

№ 7) ∫ +

2π/

0

dy4ysin

ycos


∫∞

+3/122 x3arctg)x9(1

dxπ

№ 9

∫ +−

3/1

02 2x9x9

dx

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. № 10 y2 =4x, x2 =4y. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

π2t0

t)cos(19yt)sin(t-9x

≤≤−=

=


Ох0x0y

1)(yx:Φ

23

==

−=


№ 1) ∫ −

2

12xln1x

dx

№ 2) ∫9π/

02 x3cosdxx

№ 3) ∫ ++−+3/3

023

2

dx1xxx

4x2

№ 4) ∫ −

2,5

032 )x(5

dx

№ 5) ∫ +π

2π/

dxxsin1

№ 6) ∫ +−

5

424 3x4x

dxx

№ 7) ∫ +−

5

2

2

1x1)(xdxx


∫∞

+2 2

2xarctgπ)x(4

dx

№ 9

∫2π/

0

3

xcosdxxsin3


2==

xxy 32


)cos(12ρ ϕ−= Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Oх06yx2

4xy:Φ

=−+=



№ 1) ∫ +8

3

dx1x

№ 2) ∫1

2/1

dxx)-(1arcsin

№ 3) ( )∫ −

5

42 1xxdx

№ 4) ∫−

2/1

032

4

)x(1

dxx

№ 5) ∫+4π/

6π/

dxx2sinxtg1

№ 6) ∫− ++

1

2/12

3

1xxdxx

№ 7) ∫ −−

2ln

0x2x e1e

dx


∫∞

⋅0

cos dxxx

№ 9

∫−

3

03 2

3

x9dxx9


2

2

x-2yxy

=

=


32 1)(xy −=

от т. А(2;-1) до т.В(5;-8) Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Oуtsin2y

tcos3x

:Φ

==


№ 1) dααcosαsin2π/

6π/

3∫ ⋅

№ 2) ∫3

1

dxx1arctg

№ 3) ∫ ++

2

02 4)1)(x(x

dx

№ 4) ∫−

2

324 3xx

dx

№ 5) ∫3π/

6π/3 dxxcosx2sin

№ 6) ∫ +−

10

72

3

2x3xdxx

№ 7) ∫ +

3e

1 xln1xdx


∫∞

−

0

x3 dxxe

№ 9

∫−

1

03 5

4

x1

dxx


0xx4y 32

=−=


π4tπ2

t)cos(17yt)sin(t-7x

≤≤−=

=


Oхxy

x2y:Φ

2

2

=

−=



№ 1) ∫6π/

18π/

dxx3ctg12

№ 2) ∫0

1-

dxx)-(1lnx

№ 3) dx4x5x

2xx9

724

2

∫ +−+−

№ 4) dxx

x164

24

2

∫−

№ 5) ∫ ⋅π

0

dxx3sinxsin

№ 6) dx15xx8

x5

32

2

∫−−

№ 7) ∫+

5ln

2lnxe1

dx


dxx1

x1x

x0

23

2

∫∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

№ 9

∫−

2

06

2

x64

dxx


ϕ43sinρ = Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11

2x0eey 2x/2x/

≤≤+= −


Oxxy

8xy:Φ

2

2

=

+−=



№ 1) ∫ −

1

0 x34dx

№ 2) ∫ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

0

dxx22хarcsin

№ 3) ∫ −+−

6

423 6xx6xdxx

№ 4) ∫ +3/7

0

23 dxx7x

№ 5) ∫ ⋅⋅π

4π/

dxx3sinx2sinxsin

№ 6) ∫ ++

1

02 5x4x

dx

№ 7) ∫3

2

e

e2 dxx)ln-(1x

xln


∫∞

+−02 1x2x2

dx

№ 9

∫ −

1

2/19 x21

dx


1y0xxy 3

===


⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

tsinytcosx 3

344


Ox0x

4)(xy:Φ

32

=+=



№ 1) ∫−

2

12x4

dxx

№ 2) ∫ +2

1

dx2)x(3ln

№ 3) ∫ +

2

13 1xdx

№ 4) dxx

8x8

3/244

2

∫−

№ 5) ∫2π/

3π/ xsindx

№ 6) ∫− −−

0

3/12x9x62

dx

№ 7) ∫ −

9

4

dx1x

x


∫∞

+12 1)(xx

dx

№ 9

∫−

5

13

2

1)31(x

dxx


07y-x6xy=+

=


3

2

ttyt3x

−=

=

петля Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Oy8y0xxy

:Φ3

===



№ 1) ∫e

1

2

dxx

xln

№ 2) dx9xx4

0

23∫ +

№ 3) ∫ ++3

146

5

dxxx1x

№ 4) ∫−

2

125 1xx

dx

№ 5) ∫2π/

0

5 dxxcos

№ 6) ∫ −+

7

42 10x3x

dx

№ 7) ∫ +

26

73/22

3

1)(xdxx


∫∞

−2e21)x(lnx

dx

№ 9

∫−−

2/3

12 2xx3

dx


2x0x

xx2y2y

2

x

==

−=

=

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. № 11 ϕsinρ 5= Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

xOtsinytcosx

:Φ

3

3

=

=



№ 1) ∫− −

0

12 9x4

dx

№ 2) ∫−

+0

1

x2- dxe1)(x

№ 3) dx1)(xx

2xx3

222

23

∫ −++

№ 4) ∫ −3

0

24 dxx9x

№ 5) dxxsinxcosπ

2π/

42∫ ⋅

№ 6) ∫−+

34

31

2x9x68

dx

№ 7) dx1x2

1x13

03∫ +

+


∫∞

+−1 2

43ln1)x5x(6

dx

№ 9

∫−

4

0 4 32 )x(16

dxx10


y4xx4

8y

2

2

=+

=


ϕcosρ 4= Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Ox03y2x2

xy2:Φ

2

=−+=



№ 1) dααsinαcos2π/

6π/

3∫ ⋅

№ 2) dxxtgx4π

0

2∫

№ 3) dx2)(xx

4x2x5

323

25

∫ −+−

№ 4) ∫+

3

02

3

x9

dxx

№ 5) ∫2π/

3π/3xsin

dx

№ 6) ∫−−

3

22x3x4

dx

№ 7) ∫+

12ln

5lnx 4e

dx


∫∞

+−12 2)x9x(9

dx

№ 9

∫ −

4/1

03 x41

dx


0y

xcosy1xy

==

+=


)cos(ρ ϕ+= 15 Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. № 12

Ox0y

xxy:Φ

2

=−=


№ 1) ∫4/π

022 )(xcos

dxx

№ 2) ∫1

0

dxxarctgx

№ 3) ∫ −

3/1

04

2

1xdxx

№ 4) ∫ −6

0

2 dxx6

№ 5) ∫π

0

4 dx2xsin

№ 6) ∫− ++

1

12 3x2x

dx

№ 7) ∫− −

1

1 x45dxx


∫∞

+−32 2x3x

dx

№ 9

∫ −

2/1

021)x(2

dx


tsin2ytcos2x

3

3

=

=


от точки А(0;0) до точки В(4;8) 32 xy =


Oу2xy

x212y

:Φ

2

=+

−=

Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания

№1. Вычислить определённые интегралы: 1) ∫ +

2

12 )1( xx

dx ;

2) ; 3) ∫e

dxx1

2ln dxxxxxx

∫ +−−+−4

323

2

221149 ; 4) ∫

+

1

02

3

1xdxx ;

5) ∫ +−

4/

022 sin5cos34

π

xxdx ; 6) dx

xxx

∫−−

−1

0223

112 ;

7) ∫ −−

3/10

3/2 13)13( xxdxx .

►1) Используя формулу Ньтона-Лейбница , вычисляем интеграл от дробно-

рациональной функции:

∫ −−b

a

aFbFdxxf )()()(

∫ +

2

12 )1( xx

dx =

01

1

1;0

;0

)()1(11

0

2

2

2

=−==

===+

+++≡++

+

CBA

ACBA

xxx

xCBxxAxCBx

xA

= ∫ ∫ +−

2

1

2

121 x

dxxxdx =

=12

)1ln(21

12

||ln 2xx +− = 2ln215ln

212ln +− =0,24;

2) Дважды применив метод интегрирования по частям, получим

∫e

dxx1

2ln =xvdxdv

dxxxduxu

==

==ln2ln2

= ∫−e

dxxexx

1

2 ln21

ln =

=xvdxdvxdxduxu

==

== ln =1

)ln(2ln2 exxxee −− =е-2=0,72;

3) Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Разложив знаменатель на простые множители, а затем полученную дробь — на простые дроби имеем:

dxxxxxx

∫ +−−+−4

323

2

221149 =

324

3924

624

211

)1)(1()2)((1()2)(1(1149211)2)(1)(1(

114922

1149

2

2

23

2

===

=−=−

=

==−=

−++−++−−≡+−

−+

−+

+=

−−++−

=+−−+−

CBA

CBA

xxx

xxCxxBxxAxxxC

xB

xA

xxxxx

xxxxx

=

= dxxxx∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−+

+

4

3 23

12

14 =

= ( )34

|2|ln3|1|ln2|1|ln4 −+−++ xxx = 4

24

4235ln ⋅⋅ =3,78;

4) ∫+

1

02

3

1xdxx =

1;20;111 222

======++xtxtdttdxxtxx =

= ∫−2

1

2 )1( dtttt = ∫ −

2

1

2 )1( dtt =12

31 3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − tt =0,2;

5) Подынтегральная функция является чётной относительно sinx и cosx, применим подстановку t=tgx:

∫ +−

4/

022 sin5cos34

π

xxdx =

4

2

22

22

2

;10;01

sin1

1cos

1

π====+

=+

=

+==

xtxtttx

tx

tdtdxtgxt

=

= ∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

−+

1

02

2

22

15

134)1(

tt

tt

dt = ∫ +

1

02 19tdt =

01

331 tarctg =0,42;

6) Разобьём данный интеграл на два интеграла таким образом, чтобы получить в числителе первого производную от квадратного трёхчлена, стоящего под знаком радикала в знаменателе, и

проведём необходимые преобразования. dxxx

x∫

−−

−1

0223

112 = ∫∫+−

−−−

−−−

1

02

1

02 )1(4

1923

224xdxdx

xxx =

=01

21arcsin19

01

238 2 +−−−−

xxx = ππ6

192

1938 +− =-6,05;

7) ∫ −−

3/10

3/2 13)13( xxdxx =

dttdx

xttx

xttx

32

3/103)1(31

3/21132

=

==+=

===−

=

= ∫ ⋅⋅+3

12

322

31 )1(

tttdtt = dt

ttt

∫+3

13

3

92 =

131

92

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

tt =0,59.◄

№2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость: 1) ∫+∞

∞− ++ 942 xxdx ; 2)

dxx

x∫−

+1

13 2

2 23 .

►1) ∫+∞

∞− ++ 942 xxdx = ∫

∞− ++

0

2 94xxdx + ∫

+∞

++02 94xxdx =

= ∫∫ +++

++ +∞→−∞→

b

ba

a xdx

xdx

02

0

2 5)2(lim

5)2(lim =

=05

2lim0

52

51lim

bxarctga

xarctgba

++

++∞→−∞→

=

= ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

−∞→ 52

51

52

51lim aarctgarctg

a+

+ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

++∞→ 5

25

152

51lim arctgbarctg

b=

5π ;

2) dxx

x∫−

+1

13 2

2 23 = dxx

x∫−

+0

13 2

2 23 + dxx

x∫

+1

03 2

2 23 =

= ( ) ( )dxxxdxxxa

a

b

b ∫∫−

+→−

−

−→+++

1

01

032

34

32

34

23lim23lim =

=a

xxb

xxab

16

79lim

16

79lim 3

137

31

37

00⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+→−→=157,43.◄

№3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=lnx и y=ln2x. ►Найдём точки пересечения данных кривых: (1;0) и (е;1). Воспользуемся формулой (21). Имеем:

, т.е. S=0,28 кв.ед.◄ ∫ −=e

dxxxS1

2 )ln(ln

№4. Вычислить длину дуги линии

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+−=

.sin2cos)2(;cos2sin)2(

2

2

ttttyttttx

π≤≤ t0

►Воспользуемся формулой (27). Находим подынтегральную функцию: ttdtdx cos2= ; tt

dtdy sin2= .

Тогда ∫ +=π

0

2222 )sin()cos( dtttttl =

= 32,103

3

0

2 ==∫ππ

dtt ед. длины.◄

№5. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной параболами и . 23 xy −= 12 += xy►Найдём точки пересечения парабол: (-1;2) и (1;2). Объём данного тела получаем как разность

объёмов V2–V1, где , . dxxV ∫−

−=1

1

222 )3(π dxxV ∫

−

+=1

1

221 )1(π

Таким образом, V= – = dxx∫−

−1

1

22 )3(π dxx∫−

+1

1

22 )1(π

= = =( )dxxx∫−

+−−1

1

2222 )1()3(π ∫−

−1

1

2 )88( dxxπ1

13

83

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−xxπ =

=33,5 куб.ед.◄

Тема: Определённый интегралvm.stu.ru/task/defineintegral - 01.pdf ·...

Documents