ПохіднаПохідна. Фізичний і . Фізичний і геометричний зміст похідної.геометричний зміст похідної.

Підготували учні Підготували учні

Похідна та диференційованістьдиференційованість функції Функція f має в точці x похідну:

Фізичний зміст похідної: Геометричний зміст похідної:

Функція Функція ff диференційована диференційована в точці в точці xx::

Функція Функція f f неперервна в точці неперервна в точці xx

Арифметичні операції надАрифметичні операції над диференційованими функціями диференційованими функціями u I vu I v::

Похідна складеної функції Похідна складеної функції y=f(u), y=f(u), u=u=фф(x):(x):

Похідна оберненої функції Похідна оберненої функції x=x=фф(y):(y):

Таблиця похіднихТаблиця похідних

Похідні вищого порядку:

x

xfxf

x ∆∆=

→∆

)()(' lim

0

t

tSt

t ∆∆=

→∆

)(lim)(

0υ )(' 0xftgk == λ

RxAxxa

xxxaxxAxf

x∈=∆

∆∆+∆=∆

→∆)(,0);(lim

,);()()(

0

,'')'( vuvu ±=± ,'')'( uvvuuv +=.

'''

2v

uvvu

v

u −=

''' uyy xux⋅=

)('

1)('

xfy =ϕ

...3,2,))'(()( )1()( == − nxfxf nn

В чому полягає суть В чому полягає суть фізичного та фізичного та геометричного змісту геометричного змісту похідної та як його похідної та як його використовувати в використовувати в математичних математичних задачах?задачах?

Ми були об'єднані в групиМи були об'єднані в групи

ЕКСПЕРТИ

НАУКОВЦІ І

ДОСЛІДНИКИ

НАУКОВЦІ ІІ

(група науковців І )

І.Ньютон сформулював дві основні І.Ньютон сформулював дві основні проблеми математичного аналізу:проблеми математичного аналізу:

1).1). Довжина шляху, який долається, є Довжина шляху, який долається, є постійною(тобто в будь-який постійною(тобто в будь-який момент часу); необхідно знайти момент часу); необхідно знайти швидкість руху у пропонований час;швидкість руху у пропонований час;

2).2). Швидкість руху постійно дана; Швидкість руху постійно дана; необхідно знайти довжину необхідно знайти довжину пройденого у запропонований час пройденого у запропонований час шляху.шляху.

1). Задача про миттєву швидкість:

2). Задача про знаходження змінного струму, який проходить по провіднику:

( ) )(tStV ′=

33). Друга похідна:). Друга похідна:

(t)

4). Приклад:

Висновок:Висновок:

(ГРУПА ДОСЛІДНИКІВ)

під редакцією М.І.Сканаві.під редакцією М.І.Сканаві.

ТТііло масло масою ою mm00 рухається прямолінійно рухається прямолінійно за закономза законом

S(t)= S(t)= ααtt22 +βt+ λ+βt+ λ

αα, , ββ, , λλ – –сталісталі

Довести, що сила яка діє на тіло сталаДовести, що сила яка діє на тіло стала

Задача 15.120.Задача 15.120.

Доведення:Доведення:

F=mF=m00aa

a(t)=V’(t)=S”(t);a(t)=V’(t)=S”(t);

S’(t)=(S’(t)=(ααtt22+ βt+ λ)’=2+ βt+ λ)’=2ααt+β;t+β;

a(t)=S”(t)=(2a(t)=S”(t)=(2ααt+ β)’=2t+ β)’=2αα;;

a(t)=2a(t)=2αα, ,

αα=const;=const;

Сила, що діє на тіло – стала.Сила, що діє на тіло – стала.

Задача 15.121

Тіло масою m0 рухається прямолінійно за законом

Довести, що сила, яка діє на тіло, пропорційна кубу пройденого шляху.

12

2)(

−=t

tS

Доведення

F=mF=m00aa;;

Сила, що діє на тіло, пропорційна кубу пройденого шляху.

( група науковців ІІ)

Nдотична січнаM

ДотичноюДотичною до кривої в до кривої в даній точці даній точці MM, , називається називається граничне граничне положення січноїположення січної MNMN, , коли точка коли точка N N прямує прямує вздовж кривої до вздовж кривої до точкиточкиMM. .

yy

xxxx ∆+00x

)( 0 xxf ∆+)( 0xf

y∆x∆x∆

αtgxf =)(' 0

)(' 0xftgk == α kk--кутовий коефіцієнткутовий коефіцієнт

))((')( 000 xxxfxfy −+=

рівняння дотичної до графіка функції рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою . в точці з абсцисою .

)(xfy =0x

<−≥

=0,

0,

kякщоarctgk

kякщоarctgk

πα

геометричного змісту похідноїгеометричного змісту похідної

(ГРУПА ДОСЛІДНИКІВ)(ГРУПА ДОСЛІДНИКІВ)

1) Обчисліть , якщо кут між дотичною проведеної до графіка функції у точці з абсцисою і додатнім напрямом осі OX, дорівнює .

Розв’язання

)1('f

)(xfy =10 =x

030

3

330)1(' 0 == tgf

2) До графіка функції проведено дотичну у точці з абсцисою . Обчисліть тангенс кута нахилу дотичної до додатнього напрямку осі абсциса.

Розв’язання

25,0 xy −=30 =x

.3)('

;3)3('

0 −=⇒=−=

αα tgtgxf

f

3) На малюнку зображено графік функції і дотичну до нього в точці з абсцисою .

)(xfy =0x

)(' 0xfy

x

1

1

)(xfy =

0x

РозвРозв’’язанняязання

,)(' 0 αtgxf =

,1350=α.1450 −=−tg

Знайти значення

4) На малюнку зображений графік функції та дотичні до нього в точках

. Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть .

)(xfy = 1x

2x )(')(' 21 xfxf +

y

x0045

1x2x

;145)(' 01 == tgxf

;00)(' 02 == tgxf

1)(')(' 21 =+ xfxf

Розв’язанняРозв’язання

5) Знайдіть, при яких значеннях параметра а дотична до графіка функції у точці з абсцисою проходить через точку N(3;4).

23 axxy +=10 −=x

.1

,23)23(4.

,2)23(

)1)(23(1

;23)1('

;23)('

;1)(

);)((')(

2

0

000

=+−−=⇒∈

+−−=+−++−=

−=−+=

+−=−+=

a

aayNт

axay

xaay

af

axxxf

axf

xxxfxfyРозв’язанняРозв’язання

Висновки групи Висновки групи

експертівекспертів

y1=k1x +b1, <=> k1=k2, <=> y1IIy2

y2=k2x +b2,

y1=k1x +b1, <=> k1·k2= -1, <=> y1 I y2

y2=k2x +b2,

Задача 1Задача 1

На параболНа параболі і yy= 4- = 4- XX вибрано дві вибрано дві точки з абсцисами точки з абсцисами xx= -1= -1 і і xx=3=3.. Через ці Через ці точки проведено січну. Знайти рівняння точки проведено січну. Знайти рівняння дотичної до параболи, яка дотичної до параболи, яка паралельна паралельна січній.січній.

Розв'язання

1) y = kx + b – рівняння січної

Дана січна проходить через точки :

(-1;3), (3;-5)

Складаємо рівняння січної:

3 = -k + b; 8= -4k,

-5 =3k + b; k= -2, то b=1

y= -2x +1 – рівняння січної

2)2)yy==ff((xx00) + ) + ff '( '(xx00)()(xx--xx00) – ) – рівняння рівняння дотичноїдотичної

ff((xx00)=4 - )=4 - xx0022;;

ff '( '(xx00)= -2)= -2xx00;;

y =4- xy =4- x0022 - 2x - 2x00((xx--xx00)),,

y = -2xy = -2x00x +xx +x0022 ++ 4, 4,

3) y1=kx +b1, y2=k2x +b2,

k1=k2 <=> y1||y2

4)За умовою паралельності прямих, маємо :

-2x0= -2

x0=1.

Отже, y = -2x-3 - шукане рівняння

дотичної.

Записати рівняння дотичної до Записати рівняння дотичної до графіка функції графіка функції ff((xx)= -)= -xx22+4,+4, яка яка перпендикулярна до прямої перпендикулярна до прямої xx-2-2yy+2=0.+2=0.

Задача 2Задача 2

Розв'язанняРозв'язання

y = f(xy = f(x00) +f '(x) +f '(x00)(x-x)(x-x00),),f (xf (x00) = -x) = -x0022+4,+4,f '(xf '(x00) = -2x) = -2x00,,yy= -= -xx0022 +4 - 2 +4 - 2xx00((xx--xx00),),yy= -2= -2xx00xx + +xx0022 +4 - +4 - рівняння дотичноїрівняння дотичноїyy= 0,5= 0,5xx +1 - +1 - рівняння прямої рівняння прямої

перпендикулярної до дотичноїперпендикулярної до дотичної

y1=k1x +b1 і y2=k2 +b2

k1· k2= -1<=>y1 I y2

За умовою перпендикулярності За умовою перпендикулярності прямих маємо :прямих маємо :

якщо якщо kk11= -2= -2xx00, , kk22=0=0,5,то -2,5,то -2xx00·0,5·0,5= -1,= -1,xx00=1.=1.

Отже, Отже, yy= -2= -2xx+5 -+5 - шукане рівняння шукане рівняння дотичної дотичної

Задача 3Задача 3 Знайти величину кута між двома

дотичними проведеними з точки (0;-1) до графіка функції y=x2.

Задача 4Знайти площу трикутника, утвореного

бісектрисами координатних кутів і дотичної до кривої y= в точці М(3;2)