Випадкова подія. Ймовірність випадкової події

Корені теорії ймовірностей сягають далекої глибини століть. Відомо, що в древніх державах Китаї, Індії, Єгипті, Греції вже використовувались деякі елементи імовірносних суджень для перепису населення, і навіть визначення чисельності військ ворога.

Але все ж таки початок теорії ймовірностей як науки приписують середині XVII століття. З історичних романів пам'ятаємо: це час королів і мушкетерів, прекрасних дам і шляхетних кавалерів. Як це не парадоксально, з ім'ям одного з них, причому реальної історичної особистості, пов'язаний початок теорії ймовірностей.

Засновником теорії ймовірностей вважають великого вченого, математика, фізика і філософа Блеза Паскаля (1623-1662). Але вважається, що вперше він зайнявся теорією ймовірностей під впливом питань, що поставив перед ним один з придворних французького двору шевальє де Мере (1607-1648). Неперевершений кавалер, розумний і освічений чоловік, де Мере захоплювався філософією, мистецтвом і був азартним гравцем! Але гра, виявляється, теж була для нього приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонує Паскалю два відомих питання, перше з яких він намагався розв'язати сам.

Питання були такі: 1. Скільки разів слід кидати два гральних

кубика, щоб випадків випадання одразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидань?

2. Як справедливо розділити поставлені на кін двома гравцями гроші, якщо вони з деяких причин закінчили гру передчасно?

Ці питання обговорювались у листах двох великих вчених Б. Паскаля і П. Ферма (1601-1665) і стали приводом для початкового введення такого важливого поняття, як математичне сподівання, і спроб формулювання основних теорем додавання і добутку ймовірностей.

Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654-1705). Його праця "Ars conjectandi" стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Він містив загальну теорію перестановок і сполучень. А відкритий ним відомий закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між ймовірністю якоїсь випадкової події і частотою її появи, що спостерігається безпосередньо з досліду.

Подальші успіхи теорії ймовірностей пов'язані насамперед з іменами вчених

А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), К. Гаусса (1777-1855), С. Пуассона (1781-1840) та

інших.

Основна мета вивчення теми «Елементи прикладної математики» – це оволодіння найпростішими способами розв'язування прикладних задач, а також способами оцінювання та подачі інформації про реальні фізичні, соціальні та хімічні процеси

План вивчення теми1. Основні поняття теорії ймовірностей.2. Означення події.3. Означення випробування.4. Означення випадкової події (може відбуватися або не відбуватися внаслідок певного випробування).5. Означення вірогідної події (обов'язково відбувається внаслідок певного випробування).6. Означення неможливої події (не може відбуватися внаслідок якогось випробування).7. Приклади випробувань і подій:1) випробування – постріл у мішень, події – А: «влучення у ціль»; В: «промах»;2) випробування – підкидання монети, події – А: «поява герба»; В: «поява цифри».8. Означення ймовірності випадкової події.9. Формула для обчислення ймовірності події А: Р(А)=т/п, де т – число випадків, що сприяють події А, п – число всіх можливих випадків.

Імовiрнiсть випадкової подiї

Класифiкацiя подiйУсi подiї подiляються на:1) вiрогiднi (достовiрнi) — подiї, якi обов'язково вiдбудуться за певних умов;2) неможливi — подiї, якi не вiдбудуться за жодних умов;3) випадковi — подiї, якi можуть вiдбутися або не вiдбутися за певних умов.

Імовiрнiсть випадкової подiї

Імовiрнiсть подiїІмовiрнiстю подiї A називають вiдношення числа сприятливих для цiєїподiї результатiв випробувань до числа всiх випробовувань.P(A)=т/п – формула обчислення ймовірності, де Р(А) – ймовірність події А; n — кiлькiсть усiх випробувань, m — кiлькiсть сприятливих випробувань.

Властивостi ймовірності будь-якої події

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1.2. Якщо A — вiрогiдна подiя, то P(A) = 1.3. Якщо A — неможлива подiя,

то P(A) = 0.4. Якщо A — випадкова подiя,

то 0 < P(A) < 1.

Задача 1

Для лотереї випущено 1000 білетів, з яких 400 виграшних. Яка ймовірність того, що придбаний один білет виявиться виграшним?

Задача 2

У ящику лежать 50 лампочок, з них 2 браковані. Забрали 20 не бракованих лампочок. Яка ймовірність того, що після цього навмання взята лампочка буде бракованою?

Задача 3

В урні є 25 однакових кульок, пронумерованих числами від 1 до 25. З урни

навмання беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що номер кульки

виявиться: а) меншим від 10; б) кратним 3;

в) кратним 2 і 3; г) меншим від 10.

Контрольні запитання 1. Наведіть приклад:

1) випадкової події;

2) неможливої події;

3) вірогідної події.

2. Чи може ймовірність деякої події А дорівнювати:1) 0,5; 2) 0; 3) -1; 4) 1; 5) 1,5.

3. В ящику мiстяться кульки:

3 — синього кольору,

2 — бiлого та5—червоного.

Яка ймовiрнiсть того, що навмання витягнута кулькабуде бiлого кольору?