Теорія ймовірностей

Ми - практики і ми

пропонуємо вам розглянути

приклади розв'язування задач

Таблиця факторіалів1!=12!=1*2=23!=1*2*3=64!=1*2*3*=245!=1*2*3*4*5=1206!=1*2*3*4*5*6=7207!=1*2*3*4*5*6*7=50408!=1*2*3*4*5*6*7*8=403209!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=36288010!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800

 1)

Формула:

m-число сприятливих події фіналів, n-число всіх рівноможливих результатів.

P(A)- ймовірність випадкової події

Приклади

У фірмі таксі в даний момент вільно 20 машин: 10 чорних, 2 жовтих і 8 зелених. За викликом виїхала одна з машин. Знайдіть ймовірність того, що виїхало зелене таксі.

Розв'язання:

Подія A полягає в тому, що виїхало зелене таксі. Для зеленого таксі число сприятливих фіналів дорівнює 8. Загальне число машин одно 20, значить P (A) = 8/20 = 0.4

• При дворазовому киданні грального кубика в сумі випало 6 очок. Знайдіть ймовірність того, що в перший раз випало менше 3 очок.

Розв'язання:При дворазовому киданні можливі наступні випадання:1-й кидок - 2-й кидок1 - 52 - 43 - 34 - 25 - 1Нехай подія A полягає в тому, що в перший раз випало менше 3 очок.Число сприятливих фіналів для події A дорівнює 2, загальне число фіналів дорівнює 5отжеP (A) = 2/5 = 0.4

Приклади Знайти ймовірність того, що при киданні двох монет випаде два

герба. Розв'язання :Нехай, подія А – випало два герба, то простір елементівподій:А1 – Г,Г А2 – Г,ЦА3 – Ц,ГА4 – Ц,Ц Події А сприяє лише подія А1, то, m=1, n=4,тоді Р(А) = ¼. Розв'язання:• У скринці а – білих, b – чорних кульок. Із неї навмання взяли 1

кульку. Знайти й-сть того, що кулька – біла.П.А – взяли білу кульку, m - a n – a+bP(A) = m/nP (A) = a/а+b

Перестановка чисел

Формула перестановки: Pn= 1·2·3 …(n−1)·n= n!

Pn - будь-яка упорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів.

n-число всіх рівноможливих результатів

Приклади Всі рівноможливі комбінації овочів:

P3 = 3!

P3= 3 x 2

P3 = 6

• Записати усі можливі перестановки фігур:

, , , , ,

P3 = 3!

P3= 3 x 2

P3 = 6

Приклади Скількома способами можна скласти список із 9 прізвищ? Розв’язування.

Скількома способами можна розкласти вісім різних листів у вісім різних конвертів, якщо в кожний кладеться лише один лист ? Розв’язування. Р8 = 8! = 1·2·3·4·5·6·7·8=40320

Конверти можна розкласти 40320 способами. Із цифр 0, 1, 2, 3, 4 скласти всі можливі п’ятизначні числа так, що

в кожному числі цифри не повторюються. Скільки одержали чисел ?

Розв’язування. Р5 = 5! = 1·2·3·4·5=120 , а так як перша цифра в числі не

може бути 0, то

Р5 –Р4 =120-24=96 чисел можна скласти з даних цифр

362880

!9

9

9

РР

А- подія;m- число подій, які сприяють події Аn-загальна кількість подій простору елементарних подій

Формула

Приклад:У класі 20 чол. Скількома способами можна вибрати 2 чол. для конкурсу.

Рішення: n = 20m = 2. Використовуючи формулу отримаємо число вибірок:

380!18

20*19*18

)!220(

!20

20

2

A

n

mA

Приклад:У фінальній частині чемпіонату з футболу беруть участь 16 команд. Скількома способами можна розподілити золоті, срібні та бронзові нагороди?Рішення:

n = 16m = 3Використовуючи формулу отримаємо число вибірок:

336016*15*14!13

!16

)!1316(

!16

16

3

A

Скільки існує всього 7-цифрових телефонних номерів в кожному з яких жодна цифра не повторюється?

!3

!10

10

7А

1098765410

7А

60480010

7А

ЗадачаУчневі треба скласти 4 екзамени за 8 днів. Скільки способів існує?

!21

!25

25

4A

25

4A 22*23*24*25=303

600

(Комбінація)

Сполучення

Сполученнями із m елементів по n називаються такі сполуки, які містять n елементів з безлічі m елементів і відрізняються один від одного принаймні одним елементом.

Позначають Сmn

m-загальна кількість елементів, n - кількість відбираються

елементів

Сmn =

!)!(

!

nnm

m

Основні властивості числа комбінації

mnn

mn

nn

n

n

CC

C

nC

C

1

11

0

nnn

nnnnn

mn

mn

mn

mn

nmn

CCCCC

CCC

Cm

nC

2...

1

1

1210

11

1

Приклад1: Мається стопка з 25 книг. Скількома

способами можна вибрати 3 книги. Розв’язання Загальна кількість елементів m = 25, n =

3. Порядок не важливий, вибірки

відрізняються тільки складом книг. Використовуючи формулу отримаємо число вибірок :

С325 =

23003*2

25*24*23

!3)!325(

!25

Приклад2: У класі 7 хлопчиків і 14 дівчаток. 1 вересня випадковим

чином визначають двох чергових на 2 вересня. Скількома способами можна вибрати чергових.

Розв’язання

У класі всього 21 чол. , вибрати двох можна. m=21, n=2. Використовуючи формулу отримаємо С2

21 =

)(210!2)!27(

!21способів

Приклад 3:

Скількома способами можна вибрати трьох журі з 20 осіб?

Розв’язання:!3)!320(

!20320

C

!3!17

!20320 C

3*2

20*19*18320 C

20*19*6320 C

)(1140320 способівC

Приклад 4: Дано три букви А, В, С. Скласти всі

можливі комбінації з цих букв. Розв’язання ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA ( 6 комбінацій )

Приклади задач при вступі до вишів

Приклад 1№ 1. У змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 9

спортсменів з Данії, 3 спортсмена зі Швеції, 8 спортсменів з Норвегії та 5 - з Фінляндії. Порядок, в якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться з Фінляндії.

Розв’язання:Всього бере участь 9 +3 +8 +5 = 25 спортсменів. А так як фінів 5 осіб, то ймовірність того, що наостанньому місці буде спортсмен з Фінляндії : 5/25 = 1/5 = 0,2

Приклад 2

№2. У фірмі таксі в даний момент вільно 15 машин: 2 червоних, жовтих і зелених. За викликом виїхала одна з машин, що випадково опинилися найближче до замовниці. Знайдіть ймовірність того, що до неї приїде жовте таксі.

Розв’язання:Всього є машин, тобто до замовниці приїде

одна з п'ятнадцяти. Жовтих - дев'ять, і значить, ймовірність приїзду саме жовтої машини дорівнює 9/15, тобто 0,6.

Приклад 3№3. У випадковому експерименті кидають три гральні

кістки. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випаде 14 очок. Результат округлите до сотих.

Розв’язання:Всього різних варіантів випадання очок буде 6 * 6 * 6 =

216 Підрахуємо кількість сприятливих результатів, тобто

варіантів, в яких сума трьох кубиків дорівнювала 14. 6;6;2   6;2;6   2;6;65;5;4   5;4;5   4;5;54;4;6   4;6;4   6;4;46;5;3   6;3;5   5;6;3   5;3;6   3;5;6   3;6;5Всього 15 сприятливих результатів Ймовірність дорівнює 15/216 = 0,06944 ... ≈ 0,07

Приклад 4 №4. Учня попросили назвати число від 1

до 100. Яка ймовірність того, що він назве число кратне п'яти?

Розв’язання:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…,100.Кожне п'яте число з даної множини

ділиться на 5. Значить, ймовірність дорівнює 1/5.

Бажаємо вам успіху

В роботі приймали участь: Кругленко Ірина Сеньк Анна Євтушенко Аліна Кручина Катерина