Неравновероятные события

10 класс

2012г.

Неравновероятные события

Существует множество ситуаций, когда возможные события имеют различные вероятности реализации.Например:Когда сообщают прогноз погоды, то сведения о том, что будет дождь, более вероятно летом, а сообщение о снеге – зимой.Если вы – лучший ученик в классе, то вероятность сообщения о том, что за контрольную работу вы получили 5, больше, чем вероятность получения двойки.Если на озере живет 500 уток и 100 гусей, то вероятность подстрелить на охоте утку больше, чем вероятность подстрелить гуся.

Как определить вероятность выполнения определенного события?

Нужно количество событий определенного типа разделить наобщее количество событий.

Вероятность

Вероятность некоторого исхода события выражается в долях единицы и равна отношению количества повторений данного исхода события к общему числу повторений события: р=K/N,где К – величина, показывающая сколько раз произошло интересующее нас событие, N – общее число возможных исходов какого-то процесса.Пример: За контрольную работу по информатике получено 10 пятерок, 13 четверок, 5 троек и 2 двойки. Вася получил тетрадь с оценкой.

Чтобы определить, какова вероятность получения каждой оценки в примере, нужно подсчитать общее количество разных оценок, полученных за контрольную работу. Определив, какую часть от общего числа оценок составляют двойки, найдем вероятность получения двойки. Затем, определив, какую часть от общего количества составляют тройки, найдем вероятность получения тройки. Доля четвёрок среди всех оценок – это вероятность получения четверки, а доля пятёрок - это вероятность получения пятёрки.Предположим, мы посчитали, что всего оценок 30. N = К5 +К4+К3+К2=30 Среди них: К5=10 пятёрок, К4=13 четвёрок, К3=5 троек и К2=2 двоек. Тогда: вероятность пятерки: Р5=10/30=0,33;вероятность четверки: Р4=25/100=0,43;вероятность тройки: Р3=10/100=0,17;вероятность двойки: Р2=5/100=0,07.Обратите внимание, что сумма вероятностей возможных событий равна 1.

Зная вероятности событий, можно определить количество информации в сообщении о каждом из них. Согласно теории информации, для этого нужно решить показательное уравнение 2i=1/Р, т.е. I=log21/Р = - log2Pгде I – это количество информации в сообщении о неравновероятностном событии, P – вероятность события.В математике функцию вида y(x) = ax называют показательной.Функцию, обратную к показательной, называют логарифмической и обозначают log.Логарифмом числа b по основанию a называют такое число x, что ax = b. При этом пишут:x = loga b или ax = bЧисло a называют основанием логарифма. Часто используются логарифм по основанию 10 (он называется десятичным логарифмом и обозначается lg) и логарифм по основанию e ≈ 2,72 (натуральный логарифм, ln).

Вернемся к формуле и подсчитаем по этой формуле количество информации, содержащейся в сообщении о получении нашим учеником каждой из оценок.

Существует формула вычисления количества информации для событий с различными вероятностями, которую предложил в 1948 г. американский инженер и математик К.Шеннон.

I-количество информации, содержащейся в сообщении о любом из n событий, рi - вероятности отдельных событий.Для нашего примера:I = - (р5 log∙ 2p5 + р4 log∙ 2p4 + р3 log∙ 2p3 + р2 log∙ 2p2)= - (0,33 ∙log20.33 +0,43 log∙ 20,43 + 0,17 log∙ 20,17 + 0,07 log∙ 20,07)≈1,74 бит

Равновероятные события

Можно ли применить формулу К. Шеннона для равновероятных событий?Если p1=p2=..=pn=1/N, тогда формула принимает вид:

или

Формула Хартли является частным случаем формулы Шеннона.

ТаблицаN I N I N I N I

1 0,00000 17 4,08746 33 5,04439 49 5,61471

2 1,00000 18 4,16993 34 5,08746 50 5,64386

3 1,58496 19 4,24793 35 5,12928 51 5,67243

4 2,00000 20 4,32193 36 5,16993 52 5,70044

5 2,32193 21 4,39232 37 5,20945 53 5,72792

6 2,58496 22 4,45943 38 5,24793 54 5,75489

7 2,80735 23 4,52356 39 5,28540 55 5,78136

8 3,00000 24 4,58496 40 5,32193 56 5,80735

9 3,16993 25 4,64386 41 5,35755 57 5,83289

10 3,32193 26 4,70044 42 5,39232 58 5,85798

11 3,45943 27 4,75489 43 5,42626 59 5,88264

12 3,58496 28 4,80735 44 5,45943 60 5,90689

13 3,70044 29 4,85798 45 5,49185 61 5,93074

14 3,80735 30 4,90689 46 5,52356 62 5,95420

15 3,90689 31 4,95420 47 5,55459 63 5,97728

16 4,00000 32 5,00000 48 5,58496 64 6,00000

Задания

1. В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несёт сообщение, что достали белый шар?

2. В коробке лежат кубики: 10 красных, 8 зеленых, 5 желтых, 12 синих. Вычислите вероятность доставания кубика каждого цвета и количество информации, которое при этом будет получено.

Использованные источники

• Семакин И.Г. Информатика и ИКТ. Базовый уровень: учебник для 10-11 классов/ И.Г.Семакин, Е.К.Хеннер. – 8-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.

• http://festival.1september.ru/articles/503129/• http://pceu.ucoz.ru/file/formulashennona.pdf• http://do.gendocs.ru/docs/index-100748.html