РОТАЦИОННИ ТЕЛАСъдържание:

Прав кръгов цилиндър Прав кръгов конус Пресечен кръгов конус Сфера Кълбо

Прав кръгов цилиндър

ЕЛЕМЕНТИ: Основи – еднакви кръгове,

лежащи в успоредни равнини. Радиус ( r ) – радиусът на

основите. Ос на цилиндъра (OO1) –

перпендикулярна на равнините на основите.

Образуващи ( l ) – всички отсечки, успоредни на оста и с краища върху окръжностите на основите.

Височина – разстоянието между равнините на основите.( h = l = OO1)

СЕЧЕНИЯ: Успоредни – сечения с

равнини, успоредни на основите. Представляват кръгове, еднакви с основите. Центровете им лежат върху оста на цилиндъра.

Осни – сечения с равнини, минаващи по оста на цилиндъра.

Представляват правоъгълници, две от срещуположните страни на които са диаметри на основите, а другите две са образуващи на цилиндъра.

На чертежа е показано едно от осните сечения – ABCD.

ПОВЪРХНИНА И ОБЕМ S - лице на околната повърхнина P - периметър на основата (дължина на

окръжност) B - лице на основата ( лице на кръг ) S1 - лице на повърхнината на цилиндъра

V - обем на цилиндъра

lrhrlBhBV

rrlBSS

rB

rP

lPhPS

....

222

2

..

22

21

2

ЗАДАЧИ:Внимание! В решенията на задачите и в крайните резултати числото

π обикновено се записва като буквена константа и не се замества с приблизителната му стойност 3,14. Заместване се прави в задачите с практическо съдържание.

Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с радиус r = 3 cm и образуваща l = 10 cm.

Отг. S1 = 78π cm2; V = 90π cm3

Задача 2. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с радиус r = 4 cm и лице на осното сечение 96 cm2.

Отг. S1 = 126π cm2; V = 192π cm3

Задача 3. Радиусът на прав кръгов цилиндър е 50 cm, а развивката на околната му повърхнина е квадрат. Намерете обема на цилиндъра.

Отг. V = 25.104π2 cm3

Задача 4. Варел с диаметър 60 cm и височина 120 cm е напълнен с вода на височина 90 cm. Колко литра вода са необходими, за да се напълни варелът?

Отг. ≈ 85 литра

Прав кръгов конусЕЛЕМЕНТИ:

Основа – кръг к ( О; r ). Връх – т. Q, нележаща в равнината

на основата. Радиус ( r ) – радиусът на основата. Ос – отсечка, свързваща върха с

центъра на основата (на чертежа – OQ ) и перпендикулярна на равнината на основата.

Образуващи (образувателни) – всички отсечки, на които единият край е върха на конуса, а другият е върху окръжността на основата. Те имат една и съща дължина l ( на чертежа – AQ и BQ ). Те образуват околната повърхнина на правия кръгов конус.

Височина ( h ) – разстоянието от върха до равнината на основата. ( h = OQ )

обра

зува

ща

радиус

ос

основа

връх

СЕЧЕНИЯ: Успоредни – сечения с

равнини, успоредни на основата. Представляват кръгове с център върху оста на конуса.Ако k1 ( О1; r1 ) е успоредно сечение на разстояние h1 от върха , то:

h

h

r

r 11

Осни – сечения с равнини, минаващи по оста на конуса.

Представляват равнобедрени триъгълници с основа–диаметър на конуса и бедра–две образуващи. Височина към основата им (същевременно медиана и ъглопо-ловяща ) е оста на конуса.

Познатите ни от 9-ти клас задачи за решаване на равнобедрен и

правоъгълен триъгълник можем да използваме за намиране на елемен-ти на конуса, участващи в осното мусечение.

Ако разглеждаме образуващите като наклонени, а оста - като перпендикуляр от върха към равнината на основата, то радиусите към точките от окръжността на основата са ортогонални проекции на образуващите, чиито край са тези точки. Чрез познатите ни метрични и тригонометрични зависимости, приложени за правоъгълния триъгълник със страни основните елементи на конуса, може да се намират техните дължини, както и ъгълът между образуващите и основата.

Повърхнина и обем:S - лице на околната повърхнинаB - лице на основата ( лице на кръг )S1 - лице на повърхнината на конуса

V - обем на конусаr – радиус на конусаl – дължина на образуващатаh – височина на конуса

hrhBV

rrlBSS

rB

rllrS

.3

1.

3

1

.2.2

1

2

21

2

Задачи:Задача 1. Намерете повърхнината S1 и обема V на прав кръгов конус с

радиус 3 cm, образуваща 5cm и височина 4 cm.

Отг. S1 =24π cm2; V = 12π cm3

Задача 2. Намерете повърхнината и обема на конус

с радиус 5 cm и височина 12 cm.

( Упътване: Разгледайте един от еднаквите правоъгълни

триъгълници AOQ или BOQ и с теорема на Питагор

намерете хипотенузата му. Какъв елемент на конуса е тя? )

Отг. S1 = 90π cm2; V = 100π cm3

Задача 3. Образувателната на прав кръгов конус е 12 cm и

сключва с равнината на основата ъгъл 60°. Намерете

обема на конуса.

Отг. V = 72√3 cm3

Задача 4. Осното сечение на прав кръгов конус е равностранен триъгълник с лице 4√3 cm2. Намерете околната повърхнина на конуса.

Отг. S = 8π cm2

Прав пресечен кръгов конус

ЕЛЕМЕНТИ: Основи – кръговете k1( O1; R ) и

k2( O2; r), лежащи в успоредни равнини.

Ос – отсечката О1О2, перпендикулярна на основите.

Образуващи ( образувателни ). Всички образуващи на правия пресечен конус са с равни дължини ( l ).

Височина – разстоянието между равнините на основите (h ). Височина е всяка отсечка, перпендикулярна на основите и с краища върху тях. ( h = O1O2 ).

Осно сечение

Осно е сечението на пресечения конус с равнина, минаваща по неговата ос.Всяко осно сечение е равно-бедрен трапец с основи, рав-ни на диаметрите 2R и 2r и бедро – образуващата l. Висо-чината му е равна на височи-ната на пресечения конус. Построена както е показано на чертежа, тя, заедно с образуващата AD = l и отсечката AP = R–r са страни на правоъгълен триъгълник.

Повърхнина и обем Околна повърхнина S:

Повърхнина на пресечения конус (пълна повърхнина ) S1:

Обем V:

lrRS

22221 rRlrRrRSS

22

3

1rRrRhV

Задачи:Задачи:Задача 1. Задача 1. Намерете повърхнината Намерете повърхнината SS11 и обема и обема VV на пресечен конус на пресечен конус

с радиуси на основите 4 с радиуси на основите 4 cmcm и 1 и 1cmcm, образуваща , образуваща 5 cm5 cm и височина и височина 4 cm4 cm..

Отг. Отг. SS11 = 42 = 42ππ cm cm22; V = 28; V = 28ππ cm cm33

Задача 2. Задача 2. Намерете обема на пресечен конус сНамерете обема на пресечен конус с

радиуси на основите 7радиуси на основите 7cmcm и 2 и 2cmcm и образуваща и образуваща

13 13 cmcm..Упътване:Упътване: Разгледайте правоъгълния триъгълник Разгледайте правоъгълния триъгълник APDAPD в осното сечение. в осното сечение.

Една от страните му е елемент на пресечения конус, участващ във Една от страните му е елемент на пресечения конус, участващ във

формулата за обема, чиято дължина не знаете. Намерете я с помощ-формулата за обема, чиято дължина не знаете. Намерете я с помощ-

та на теоремата на ……та на теоремата на ……

Отг. Отг. VV = = 268268ππ cm cm33

Задача 3. Задача 3. Намерете околната повърхнина на пресечен конус с Намерете околната повърхнина на пресечен конус с радиуси на основите 6радиуси на основите 6cmcm и 2 и 2 cmcm, ако образуващата сключва с , ако образуващата сключва с долната основа ъгъл 60долната основа ъгъл 60°°. . (Може да използвате чертежа.)(Може да използвате чертежа.)

Отг. Отг. S = 64S = 64ππ cm cm22

Задачи от ротационни тела:Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с

радиус 3 cm и диагонал на осното сечение 10 cm.

Задача 2. Височината на прав кръгов цилиндър е с 10 cm по-голяма от радиуса на основата, а лицето на пълната повърхнина е 144π cm2. Намерете радиуса и височината на цилиндъра.

Задача 3. Периметърът на осното сечение на прав кръгов конус е 36 cm, а образувателната е 13 cm. Намерете обема на конуса.

Задача 4. Радиусът на прав кръгов конус 3 cm, а образувателната сключва ъгъл 45° с основата. Намерете околната повърхнина на конуса.

Задача 5. Образувателната на пресечен конус е 17 cm, височината му е 15 cm, а околната повърхнина - 544π cm2. Намерете радиусите на основите му.

Упътване: От формулата за S след заместване намерете R + r. От правоъгълния триъгълник, образуван от височината, образувателната и отсечката с дължина R – r намерете R – r . Решете в система двете уравнения с неизвестни R и r.

Сфера

СфератаСферата е е множество от точки множество от точки в пространството, в пространството, които се намират които се намират на дадено на дадено разстояние R от разстояние R от дадена точка О – дадена точка О – център на сферата.център на сферата.

А

R

Елементи на сферата: Център на сферата – точката

О

Радиус на сферата: OA=OB=OC=OD=R

Хорди на сферата – отсечки, свързващи две точки от сферата (например ВС)

Диаметър на сферата – хорда, минаваща през центъра (например АВ и CD)

Голяма окръжност на сферата – пресечната линия на сферата с равнина, минаваща през центъра О (например к1 (О;R), к2 (О;R) и к3 (О; R)

R

R

Взаимно положение на сфера и права

OO 1 = d > R

Сферата и правата g нямат общи точки

OO 1 = d < RСферата и правата имат две общи точки. Правата g е секуща за сферата.

OO 1 = d = RПравата g е допирателна (тангента) към сферата

Взаимно положение на сфера и равнина

Разстоянието от центъра на сферата до равнината е по-голяма от радиуса R.. Сферата и равнината нямат общи точки.

Разстоянието от центъра на сферата до равнината (ОО 1 ) е равно на радиуса (ОО 1 = R). Равнината е допирателна към сферата.

Разстоянието от центъра на сферата до равнината (ОО 1 ) е по-малко от радиуса (ОО 1 < R). Равнината пресича сферата. Сечението е окръжност к (О 1 ;r)

Лице на повърхнината на сфера

S = 4πR 2

Кълбо

Множеството от точките на сфера и всички нейни вътрешни точки се нарича кълбо.

Центърът О и радиусът R на сферата се наричат център и радиус на кълбото.

Сечението на кълбото с равнина, минаваща през неговия център, се нарича голям кръг на кълбото.

R R

Всяко сечение на кълбото с равнина е кръг. Ортогоналната проекция на центъра О на кълбото върху секущата равнина съвпада с центъра О 1 на този кръг.

Колкото по-малко е разстоянието от центъра на кълбото до секущата равнина, толкова по-голям е радиусът на сечението.

Ако d е разстоянието от центъра на кълбото до центъра на някое негово сечение (кръг с радиус r), с помощта на чертежа и теорема на Питагор за правоъгълния триъгълник АОО 1 , в който като страни участват отсечката, свързваща центровете, радиусът на кълбото и радиусът на сечението се получава метричната връзка:

r

AO1 = r

= d2 + r2

= r 2

222 dRr Следователно:

Обем на кълбо

3

3

4RV