三、小结 思考题三、小结 思考题二、曲线凹凸性与拐点二、曲线凹凸性与拐点

一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法

高等数学三高等数学三④④高等数学三高等数学三④④

2/232/23

按照定义，单增函数的图形自左向右为上升的曲线；单减函数的图形自左向右为下降的曲线，如下图；

x

y

o

)(xfy

x

y

o

)(xfy

a b

A

B

0)( xf 0)( xf

⑵ 判定方法

.],[)(,0)(3

;],[)(0)(2

],[)(0)(1),(),,()(],[)(

上是常数在那么上单调减少在，那么上单调增加；在，那么

内若在，设

baxfyxf

baxfyxf

baxfyxfbabaCxfbaCxfy

a b

B

A

1 、单调性的判定1 、单调性的判定⑴ 图形分析

定理 1

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3/233/23

证 ),,(, 21 baxx ,21 xx 且 应用拉氏定理 , 得

)())(()()( 211212 xxxxfxfxf

,012 xx

,0)(),( xfba 内，若在 ,0)( f则

).()( 12 xfxf .],[)( 上单调增加在 baxfy

,0)(),( xfba 内，若在 ,0)( f则

).()( 12 xfxf

.],[)( 上单调减少在 baxfy 定理证毕。

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4/234/23

例 1

解

.1的单调性讨论函数 xey x

.1 xey

,)0,( 内在 ,0y函数单调减少；

,),0( 内在 ,0y.函数单调增加

注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性。

).,(: D又

⑶ 例题分析

x

y

o

1 xey

1 xey x

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5/235/23

2 、单调区间求法2 、单调区间求法⑴ 问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在 各个部分区间上单调。⑵ 定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则 该区间称为函数的单调区间。

⑶ 分界点：导数等于零的点 ( 驻点 ) 和不可导点，可能是 单调区间的分界点。⑷ 单调区间求法 :

.,)(,0)(5

;),(,),,)(,(4

;,,,)(0)(3

);(2);,()(1

211

21

反之递减在该区间递增则若内导数的符号确定区间

不存在的点的根及求出求导数的定义域确定

xfxf

bcccca

cccxfxf

xfbaxf

n

n

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6/236/23

例 2解

.31292)( 23 的单调区间确定函数 xxxxf

).,(: D12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx

得，即解方程 0)2)(1(6,0)( xxxf

.2,1 21 xx

时，当 1 x ,0)( xf 上单调增加；在 ]1,(

时，当 21 x ,0)( xf 上单调减少；在 ]2,1[

时，当 x2 ,0)( xf 上单调增加；在 ),2[

故单调区间分为 ，]1,( ，]2,1[ ).,2[

.函数的图形如右上所示

x

y

o

)(xfy

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7/237/23

例 3

解

.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf

).,(: D

)0(,3

2)(

3 x

xxf

.,0 导数不存在时当 x

时，当 0 x

,0)( xf 上单调增加；在 ),0[ 时，当 x0,0)( xf 上单调减少；在 ]0,(

单调区间为 ，]0,( ).,0[ .函数的图形如右上所示

3 2xy

x

y

o

注意：区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性。

例如 , ,3xy ,00 xy .),( 上单调增加但在

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8/238/23

例 4

证

.)1ln(,0 成立试证时当 xxx

),1ln()( xxxf 设 .1

)(xx

xf

则

,0)(),0(,),0[)( xfxf 可导，且上连续在

上单调增加；在 ),0[

,0)0( f),0()(0 fxfx 时，当

,0)1ln( xx即 ).1ln( xx 从而

3、利用单调性证明不等式3、利用单调性证明不等式

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9/239/23

⑴ 问题：如何研究曲线的弯曲方向？

x

y

o

x

y

o 1x 2x

)(xfy

图形上任意弧段位于所张弦的上方

x

y

o

)(xfy

1x 2x

图形上任意弧段位于所张弦的下方

A

B

C1、曲线凹凸的定义1、曲线凹凸的定义

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10/2310/23

．或凸弧凸的向上上的图形是在那么称

若恒有或凹弧凹的向上上的图形是在那么称

恒有上任意两点若对上连续在区间设

)()()(

,2

)()()

2(

);()()(

,2

)()()

2(

,,,)(

2121

2121

21

Ixf

xfxfxxf

Ixf

xfxfxxf

xxIIxf

⑵ 定义

;)(],[)(,)(),(],,[)(

的或凸内的图形是凹在那么称的或凸内的图形是凹且在若

baxfbabaCxf ⑶ 闭区间

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11/2311/23

x

y

o

)(xfy

x

y

o

)(xfy

a b

A

B

递增)(xf

a b

B

A

0y 递减)(xf 0y

⑵ 定理 2

.],[)(,0)(),(2

;],[)(,0)(),(1,),(],,[)(

上的图形是凸的在则内若在上的图形是凹的在则内若在

内具有一阶和二阶导数在设

baxfxfba

baxfxfbababaCxf

2、曲线凹凸的判定2、曲线凹凸的判定⑴ 图形分析

证明略。

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12/2312/23

例 5 .3的凹凸性判断曲线 xy

解 ,3 2xy ,6xy

时，当 0x ,0y

为凸的；在曲线 ]0,(

时，当 0x ,0y

为凹的；在曲线 ),0[

.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到，

⑶ 例题分析

x

y

o

3xy

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13/2313/23

连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点 。 ⑴ 定义：

注意：拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。

⑵ 拐点的求法 1 ：);(:1 xf 求步骤

3、曲线的拐点及其求法3、曲线的拐点及其求法

;)(0)(:2 00 xxfxxf 不存在的点及的实根解步骤

.,;,,)(:3

00

0

不是拐点反之是拐点若符号改变的符号来定拐点两侧据步骤二中的步骤xx

xfx

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14/2314/23

例 6 .143 34 的拐点及凹、凸的区间求曲线 xxy

解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32

(36 xxy,0y令 .

32

,0 21 xx得

x )0,( ),32( )3

2,0(0 32

)(xf

)(xf

0 0

凹的 凸的 凹的拐点 拐点

)1,0( )2711,3

2(

).,32[],3

2,0[

],0,(

凹凸区间为

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15/2315/23

⑶ 拐点的求法 2:

.)())(,(,0)(,0)(,)(

00

000

的拐点是曲线那么而且的邻域内三阶可导在设

xfyxfxxfxfxxf

例 7 .)]2,0([cossin 的拐点内求曲线 xxy

解 ,sincos xxy ,cossin xxy .sincos xxy

,0y令 .4

7,

43

21

xx得

2)4

3(

f ,0 2)4

7(

f ,0

内曲线有拐点为在 ]2,0[ ).0,

47

(),0,4

3(

.)())(,(,)( 000

的拐点也可能是连续曲线点不存在若

xfyxfxxf

注意 :

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16/2316/23

例 8 .3 的拐点求曲线 xy

解 ,0时当 x ,31 3

2

xy ,94 3

5

xy

.,,0 均不存在是不可导点 yyx

,0,)0,( y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在

,0,),0( y内在 .),0[ 上是凸的曲线在

.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy

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17/2317/23

1 、单调性的判定一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法

2、单调区间的求法3、利用单调性证明不等式

二、曲线凹凸性与拐点二、曲线凹凸性与拐点1、曲线凹凸的定义2、曲线凹凸的判定3、曲线的拐点及其求法

三、小结三、小结1 、判单调性是拉氏的重要应用 .2 、单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式 .

练习：第 151 页 1 ； 34 单； 9 （ 1 ）； 10 。思考题思考题

作业：第 151 页 2 ； 3478 （ 4 ）； 5 ； 11 ；13 。

3 、曲线的弯曲方向——凹凸性 ;4 、改变弯曲方向的点——拐点。

若 0)0( f ，是否 能 断定 )(xf 在原点的充分小 的邻域内单调递增？

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18/2318/23

不能断定 . 例

0,0

0,1

sin2)(

2

x

xx

xxxf

)0(f )1

sin21(lim0 x

xx

01

但 0,1

cos21

sin41)( xxx

xxf

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19/2319/23

)21

2(

1

kx当 时，

0)

21

2(

41)(

kxf

k

x2

1当 时， 01)( xf

注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增．

k 00 x)(xf

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-0.075

-0.05

-0.025

0.025

0.05

0.075

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20/2320/23

一 、 填 空 题 ：1 、 函 数 71862 23 xxxy 单 调 区 间 为 _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

2 、 函 数 21

2

x

xy

在 区 间 [ - 1 , 1 ] 上 单 调 _ _ _ _ _ _ _ _ ，

在 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 上 单 调 减 .3 、 函 数 22 ln xxy 的 单 调 区 间 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，

单 减 区 间 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

二 、 确 定 下 列 函 数 的 单 调 区 间 ：

1、 xxx

y694

1023

；

2、 3 2))(2( xaaxy ( 0a )；3、 xxy 2sin .

高等数学三高等数学三④④高等数学三高等数学三④④

21/2321/23

三 、 证 明 下 列 不 等 式 ：1 、 当 0x 时 ， 22 1)1ln(1 xxxx ；2 、 当 4x 时 ， 22 xx ；

3 、 若 0x ， 则 3

6

1sin xxx .

四 、 方 程 )0(ln aaxx 有 几 个 实 根 .

五 、 设 )( xf 在 [ ba , ] 上 连 续 ， 在 ( ba , ) 内 )( xf , 试 证 明 ： 对 于 [ ba , ] 上 任 意 两 1x ， 2x 有

2

)()()

2( 2121 xfxfxx

f

[ 提 示 ： 方 法 （ 1 ）

0)( xf ， )( xf 单 增 ； 方 法 （ 2 ） 0)( xf ， 利 用 泰 勒 公 式 ]

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22/2322/23

一、1、 ),3[],1,( 单调增加, ]3,1[ 单调减少；2、增加, ),1[],1,( 3、 ]1,( , ),1[ ； ]1,0(],1,(];1,0(),0,1[ .

二、1、在 ),1[],2

1,0(),0,( 内单调减少,

在 ]1,2

1[ 上单调增加；

2、在 ),[],3

2,( aa 内单调增加,

在 ],3

2[ aa 上单调减少；

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23/2323/23

3、 在 ]32

,2

[

kk

上 单 调 增 加 ,

在 ]22

,32

[

kk

上 单 调 减 少 , ),2,1,0( k .

四 、 ( 1 )e

a1

时 没 有 实 根 ；

( 2 )e

a1

0 时 有 两 个 实 根 ；

( 3 )e

a1

时 只 有 ex 一 个 实 根 .