第八节复系数与实系数多项式的因式分解

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第八节复系数与实系数多项式的因式分解

第八节复系数与实系数多项式的因式分解

一、复系数多项式

二、实系数多项式

2© 2009, Henan Polytechnic University 2§8 §8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解

第一章多项式第一章多项式

1. 代数基本定理一、复系数多项式

若则在复数域( ) [ ] ,f x C x ( ( )) 1 ,f x ( )f x

上必有一根． C

推论 1 （代数基本定理的等价叙述）

( ) [ ] ,f x C x ( ( )) 1 ,f x 若则存在 [ ] ,x a C x

( ) | ( ) .x a f x使

即， ( )f x 在复数域上必有一个一次因式．


第一章多项式第一章多项式推论 2

复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即

则　　可约． ( ) [ ],f x C x ( ( )) 1,f x ( )f x

2. 复系数多项式因式分解定理

若则在复数域( ) [ ],f x C x ( ( )) 1,f x ( )f x

C上可唯一分解成一次因式的乘积．



推论 2

若则在 ( ) [ ],f x C x ( ( )) 1,f x ( )f x C

1 21 2( ) ( ) ( ) ( ) sr r r

sf x a x x x

1 2 , , Zsr r r +,其中是不同的复数， 1 2, , , s

上具有标准分解式

复根（重根按重数计算）．

若，则有 n个( ) [ ]f x C x ， ( ( ))f x n ( )f x



二、实系数多项式命题：若是实系数多项式的复根，则的共轭复数也是的复根．

( )f x

( )f x

若为根，则1

1 0( ) 0n nn nf a a a

两边取共轭有

∴ 也是为复根． ( )f x

1

1 0( ) 0n n

n nf a a a

证： 11 0( ) ,n n

n n if x a x a x a a R 设


第一章多项式第一章多项式实系数多项式因式分解定理

　　　　　，若，则可唯一

地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．

( ) [ ]f x R x ( ( )) 1f x ( )f x

证：对的次数作数学归纳．( )f x

① 时，结论显然成立 . ( ( )) 1f x

② 假设对次数 <n 的多项式结论成立．

设，由代数基本定理 , 有一复根． ( ( ))f x n ( )f x

若为实数 , 则，其中 1( ) ( ) ( )f x x f x 1( ) 1.f n


第一章多项式第一章多项式若不为实数，则也是的复根，于是 ( )f x

22 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x x x f x

设，则 a bi ,a bi 2 2a b R

即在 R 上　　　　是一个二次不可约多项式．2 ( )x x

2a R ,

从而 2( ) 2.f n

由归纳假设、可分解成一次因式与二次1( )f x 2( )f x

不可约多项式的乘积．由归纳原理，定理得证．



在 R 上具有标准分解式( ) [ ],f x R x ( )f x

1 2 121 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )s lk k k

n sf x a x c x c x c x p x q

推论 1

1 2 1 1, , , , , , , , , ,s r rc c c p p q q R 其中

1 1, , , , , ,s sk k l l Z

且　，即为2 4 0, 1,2i ip q i r 2i ix p x q

R 上的不可约多项式 .

2( ) rlr rx p x q



实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二

次不可约多项式，所有次数 3 的多项式皆可约 .



分别在实数域与复数域上分解因式例 1

(1) 6( ) 27;f x x

4 2( ) 2 25.f x x x (2)6 2 3 3( ) 27 ( ) 3f x x x 解 (1)2 4 2( 3)( 3 9)x x x

2 3 ( 3 )( 3 )x x i x i 4 2 4 2 23 9 6 9 9x x x x x

2 2 2 2 2( 3) 9 ( 3 3)( 3 3)x x x x x x


第一章多项式第一章多项式2 3 3 3 3

3 3 ( )( )2 2

i ix x x x

2 3 3 3 33 3 ( )( )

2 2

i ix x x x

6 2 2 227 ( 3)( 3 3)( 3 3).x x x x x x 6( ) 27f x x 在复数域上的分解式为 :

6 3 327 ( 3 )( 3 )( )

2

3 3 3 3 3 3( )( )( ).

2 2 2

ix x i x i x

i i ix x x

6( ) 27f x x 在实数域上的分解式为 :所以 ,



4 2 4 2 22 25 10 25 8x x x x x (2)

2 2 2( 5) 8x x 2 2( 2 2 5)( 2 2 5)x x x x

2( 2 2 5) ( 2 3 )( 2 3 )x x x i x i 2( 2 2 5) ( 2 3 )( 2 3 )x x x i x i

所以 , 在实数域与复数域上的分解式分别为 :4 22 25x x 4 22 25x x 2 2( 2 2 5)( 2 2 5);x x x x 4 22 25x x ( 2 3 )( 2 3 )x i x i

( 2 3 )( 2 3 ).x i x i



例 2分别求以 1 ， 1 ， -2 ， 3+i, ， 1-i 为根的次数最低的复

系数和实系数多项式 .

解 (1) 所求的复系数多项式为

2( ) ( 1) ( 2)( 3 )( 1 )f x x x x i x i 5 4 3 24 (1 2 ) 14 (20 6 ) 8 4 .x x i x x i x i

(2) 因实系数多项式以 3+i, ， 1-i 为根 , 故 3-i, ， 1+i 也是

所求多项式的根 , 所以所求多项式至少有 7 个根 . 分别为 :

1 ， 1 ， -2 ， 3+i ， 3-i ， 1+I ， 1-i.



从而 , 所求多项式为2( ) ( 1) ( 2)( 3 )( 3 )

( 1 )( 1 )

f x x x x i x i

x i x i

2 2 2( 1) ( 2)( 6 10)( 2 2)x x x x x x

7 6 5 4 3 28 21 6 68 144 124 40.x x x x x x x


第一章多项式第一章多项式附：单位根、单位原根

1nx 定义 1 多项式在复数域上的任一根都称为

n 次单位根 .

　事实上 , 在复数范围内的 n个复根为1nx

2 11, , , , n

2 2cos sin , 1ni

n n

2 2cos sin , 0,1, , 1.k k k

i k nn n

这里


第一章多项式第一章多项式定义 2 若 2 11, , , , n 是的全部根，1nx

则称为 n 次单位原根（简称原根） . 也就是说的任一根，都可经表示 .1nx

,k n k 2

2cos 1, k k k kk

n

1, 2, ,k n

易知如下性质 :



解

例 3 (1) 求在上与在上的标准分解式 . 5 1x C R

(2) 求在上与在上的标准分解式 . C R6 1x

（ 3 ）给出在上与在上的标准分解式 .1nx C R

5 2 3 41 ( 1)( )( )( )( )x x x x x x

6 2 3 4 51 ( 1)( )( )( )( )( )x x x x x x x

( 1)x

2 2( 1)( )( )( )( )x x x x x

2 22 4( 1)( cos 1)( cos 1)

5 5x x x x x



∴ 2 11 ( 1)( )( ) ( )n nx x x x x

② 在实数域范围内

,k n k ∵ 2

2cos 1, k k k kk

n

1, 2, ,k n

① 在复数范围内有 n个复根，1nx

2 2cos sin , 1ni

n n

2 11, , , , n 其中

（ 3 ）

2 2( 1)( )( )( )( )( )1x x x x x x 2 2( 1)( )( )( )1 1 1x x x xx x


第一章多项式第一章多项式∴ 　当 n为奇数时

2 1 11 ( 1)[ ( ) ]n n nx x x x 1 1 1 1

2 2 2 2 2[ ( ) ]n n n n

x x

2 22 1( 1)( 2 cos 1) [ 2 cos 1]

nx x x x x

n n

1

22

1

2( 1) ( 2cos 1)

n

k

kx x x

n


第一章多项式第一章多项式当 n为偶数时

2 1 11 ( 1)( 1)[ ( ) ]n n nx x x x x 2 2 2 2

2 2 2 2 2[ ( ) ]n n n n

x x

2 22 2( 1)( 1)( 2 cos 1) [ 2 cos 1]

nx x x x x x

n n

12

2

1

2( 1)( 1) ( 2 cos 1)

n

k

kx x x x

n


第一章多项式第一章多项式附 :( 根与系数的关系 )

设 n 次多项式1

1 0( ) ,n nn if x x a x a a R

的 n 个根是 1 2, , , ,nx x x

1 2 1

1 2 2 3 1 2

1 2 3 1 2 4 2 1 3

1 2

,

,

( 1) .

n

n n

n n n

nn n

x x x a

x x x x x x a

x x x x x x x x x a

x x x a

这个定理称为韦达定理 .

则有


第一章多项式第一章多项式例 4 已知多项式

3 2( ) 2 3 10f x x x x

试求的所有根 .( )f x

解因实系数多项式有一虚根 -2+i, 根据实系数多项式

的虚根成对定理 , ( )f x 还有根 -2+i,

为 , 则有韦达定理有 :

2 2 2i i 从而 , 2. 所以 , 所求的所有根为 2 , 2 ,2.i i

设的第三根( )f x

有一根 -2+i ，

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