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課後照顧師資班 --數學作業指導

許 長 壽

高雄市陽明國小

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課後照顧數學作業指導

1. 認識92數學正綱

2. 數學成語謎

3.數學指導的技巧

4.常見的數學問題釐清

5.數學益智遊戲

6.數學網路資源

7.玻利亞解題四步驟

8. 結語

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92 正綱的實施狀況目前實施 89年暫綱的年級 4 年級、 5年級、 6年級 ( 但是教材均有融入 92年綱要 )目前實施 92年正綱的年級 1 年級、 2年級、 3年級及國中所有年級 預計 99年 9月時國中小均實施 92年正綱

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國小數學課程標準之發展史 (1)57 年以前：八次課程標準修訂（民國 18年 ,20年 ,21 年 ,25 年 ,31 年 ,37 年 ,41 年 ,51 年）。

57 ～ 64 年：國民小學數學暫行課程標準。 學科名稱由「算術」改為「數學」。 九年國教開始實施。

64 ～ 82 年：國民小學數學課程標準。 用皮亞傑的理論當基礎。 開始大量使用數學教具。 課程最穩定的時代。

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82 ～ 90 年： 82年版課程標準。 主張知識是由學童主動建構的。 捨棄 64年版某些難以和學童解釋的數學項目。

90 ～ 94 年：九年一貫數學領域課程暫行綱要。94 年以後： 94 年修訂版九年一貫數學領域課程綱要。

國小數學課程標準之發展史 (2)

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國小數學教科書之發展史

64 年以前：由國立編譯館本聘請專家編寫。(舟山模式 )

64 ～ 82 年：由板橋教師研習會先編寫實驗課本，實驗後再修正成部編本。 ( 板橋模式 )

82 ～ 90 年：部編本及民間版本混用。90 ～ 94 年：只有民間版。94 年以後：民間版本以及部編本混用。 ( 目前國小只有數學有部編本 )

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82 年課程標準的教學特色鼓勵兒童勇於表達自己的解題方式，能夠以多元的態度來欣賞別人的想法。

教學方式的多元化。課堂不是只有教師的單向授課。課堂上教師讓學童能分組合作解題，也能適時給予學童發表討論的機會。

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暫行綱要的缺失

對於學生計算能力不足的疑慮。

無法銜接高中數學課程。

教材落後別的國家。

以階段畫分的能力指標在一綱多本政策下的缺失。

時數縮減。

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傳統的國中課程大部份再納入，能與高中數學課程銜接。

在各階段能力指標下再訂各年級的分年細目。 實施時程按步就班。 提高時數。 (用上限 15% ，再加一彈性課程） 一年級就出現直式紀錄。整數加減乘除計算不限位數。電算器很晚才引入。

92綱要的特色

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這樣的標準，我們可以在以 1999 年加州課程標準或 2000 年 NCTM 的課程標準；新加坡；日本；中國（上海）；香港等不同國家的教科書版本裡看到。

92 綱要與世界各國接軌

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92 綱要的能力指標及分年細目。第一階段：一至三年級由第一階段的能力指標再細分為 1， 2，3年級的分年細目。

第二階段：四至五年級第三階段：小六及國一第四階段：國二及國三

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暫行綱要能力指標說明：

N-1-1 能初步掌握非負整數數詞序列的規律，並能以具體的量、聲音、圖像、數字，進行說、讀、聽、寫、做的活動，表徵 2000 以內的數。

N-1-2 能掌握 10 、 100 、 1000 和 1及100 和 10之間的關係，做數的二階單位化聚。

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92 正綱能力指標說明 (一 )

N-1-01 能說、讀、聽、寫一萬以內的數，比較其大 小，並作位值單位的換算。1-n-01 能認識 100 以內的數及「個位」、「十位」的 位名，並進行位值單位的換算。1-n-02 能認識 1元、 5元、 10 元、 50 元等錢幣幣值， 並做 1 元與 10 元錢幣的換算。1-n-03 能運用數表達多少、大小、順序。1-n-07 能進行 2個一數、 5個一數、 10個一數等活動。

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2-n-01 能認識 1000 以內的數及「百位」的位 名，並作位值單位換算。2-n-02 能認識錢幣的幣值有 100 元、 500 元等， 並作 10元與 100 元錢幣的換算。2-n-03 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並 在具體情境中認識遞移律。（同 2-a-01 ）2-a-01 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在 具體情境中認識遞移律。（同 2-n-03 ）3-n-01 能認識 10000 以內的數及「千位」的位 名，並進行位值單位換算。

92 正綱能力指標說明 (二 )

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92 正綱國民小學階段的目標第一階段：能掌握數、量、形的概念。第二階段：能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感。

小學畢業前：能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念。

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英文數字的書寫習慣，是從右邊數起，每三位加逗號 ( ， )如： 1,234,567 或 432,567,890

中文數字是每四位為一單位，但書寫習慣是不加任何記號 為了方便讀出數字，可仿英文寫數字的方法，從右邊數起，每四位數字畫一個虛線，如此就很方便可以讀出數字，又不容易寫錯

(1) 較大整數的讀法

如 123 4567 或 4 3256 7890

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(2) 整數的位值單位換算 ( )個十萬是一億。

兆位

千億位

百億位

十億位

億 位

千萬位

百萬位

十萬位

萬位

1 0 0 0

( )個千萬是十億。 ( )個百萬是千億。 ( )個十萬是一千萬。 ( )個萬是一億。

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(3) 學生計算錯誤的可能原因題目抄下來抄錯把運算符號看錯計算未完成數字寫不清楚位值未對齊而算錯數字沒有寫清楚而算錯

答案抄錯計算錯誤

如 : 128

× 312

256

128

1536

乘數百位的 3尚未算，就以為算完了

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(4) 學生寫應用題的錯誤的可能原因題意不瞭解搞不清楚已知什麼?要求什麼?計算題會犯的錯誤未寫答答未寫單位答的單位寫錯未看清楚問什麼單位要同單位才可相加減

一瓶礦泉水重 600公克，同樣的礦泉水 5瓶重幾公斤 ?

600 ×5=3000

答：3000公斤一片磁片厚 5毫米，一本書厚 0.3公分，磁片和書共幾公分 ?5+0.3=5.3 答：5.3公分

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(5) 有單位和無單位的區別：

6

1

6

5例 1：小明有 塊餅乾，吃掉了 塊餅乾，還剩多少塊餅乾？

6

1例 2：小明有 塊餅乾，吃掉了6

5，還剩多少塊餅乾？

例 1 及例 2 的題目中，只差在「

6

1

塊餅乾」和「6

1」

例 1 中，6

5

6

1皆為同單位 ,故直接用減法即可，解法：及

例 2 中，

6

1

6

5

6

1無單位 ,故是吃掉全部的

)6

11(

6

5

6

1也就是剩下全部的

6

5

解法：

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(6) 加法常見的錯誤忘了進 1不對稱相加把加 0當成乘以 0(N+0=0)應進 1卻借 1進位時多進了 1不該進 1卻進 1跨越進位基本加法不熟

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(7) 減法常見的錯誤忘了借 1不對稱相減N-0=0應借 1卻進 1借位時多借了 1不該借 1卻借 1跨越借位基本減法不熟大數減小數 不夠減用 0代替 忘了加被減數

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(8) 生活數學生活上，許多商家賣商品時，常常用 9這個數字來賣，如 99,199,299,……等，如此我們可以用估算，算出大概的錢，也可算出正確的錢

一件衣服 199 元，買 4件大概要多少錢 ? 199 接近 200 ， 200× 4=800 大約 800 元一件衣服 199 元，買 4件要多少錢 ?

199 接近 200 ， 200× 4=800 ， 800-4=796

買四件衣服，各是 99,199,399,499 元， 大概要多少錢？

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(9) 減法的另一種算法500-136 ，這類題目對某些學生是有困難的，如果學生一直教不會，其實可以用另一種技巧來算

500-136=499-135將被減數和減數同時少 1，其差不變

4000-2835=( )-( )

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(10) 適當用交換律來算乘法(1)較多位數在被乘數， 較少位數在乘數例 1:72×456 ，可用 456×72 來算

(2)將 0省略不算後，較多位數在被乘數，較少位數在乘數例 2:800×75 ，可用 75×800 來算

(3)同數字的乘法，放在乘數，例 2:88×74 ，可用 74×88 來算

如 : 74

× 88

592

592

6512

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(11) 個位數字是 5自乘的計算 假設這個數的十位數字是a，因為個位數字是5，那麼這個數字就是10a+5。

25)1(10025100100)510( 22 aaaaa

由上面公式就可知道，末二位數字一定是25 ，至於百位以上的數字，則是十位數字×( 十位數字 +1) 。

例如： 35×35 的百位以上的數字就是 3×4=12 ，因此答案就是 1225

請心算出： 75×75=( )

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(12) 格乘法的介紹

要做 476×753 ，先畫 3×3 的格子，將被乘數寫在上面，再把乘數寫在右邊，

最後的答案就是在外圍的數字 358428 。

4 7 6

3 2

8

4

9

4

2

7

5 2

0

3

5

3

0

5

8 1

2

2

1

1

8

3

4 2 8

請用格乘法計算 89×78

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(13) 整數乘法常犯的錯誤 忘了進位 把乘 0 當作加 0 把積的位置放錯 乘錯 加錯 進位後要先加再乘 ( 正確為

先被再加 )

(1) 74 (2) 60 × 8 × 5

562 305

(3) 612 (4) 26×104 × 8 2448 488 6128568

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(14) 以四捨五入法算到小數第幾位時，是否要多算一位？以四捨五入法求到小數第二位 　 【例 1 】 【例 2 】 【例 3 】 3 7

0.12 0.14 0.66

8)1.0 7 )1.0 6)4.0

8 7 3 6

20 30 40

16 28 36

4 2 4

4 恰好是 8 的一半， 2 比 7 的一半少， 4 比 6 的一半大，所以下一位商是 5 ， 所以下一位商小於 5 ， 所以下一位商大於 5 ，因此要進位， 因此不進位， 因此要進位，答案是 0.13 答案是 0.14 答案是 0.67

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(15) 利用同餘法來驗算 (一）在數學上，要找出同餘的數很簡單，只要將這個數分解成每個數字，再相加即可，如果這個數還是大於 9，就再將這個數分解成每個數字，再相加即可，一直算到這個數字是個位數字為止。如果這個數字是9，則與它同餘的數字就是 0。

如： 345 和 12 同餘 (3+4+5) ，也和 3同餘(1+2) 。

又如： 729 和 18 同餘 (7+2+9) ，也和 9同餘 (1+8) ，也和 0同餘。

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(15) 利用同餘法來驗算 (二） 986 (23) (5)+ 237 (12) (3) 1223 (8)因為 5+3=8 ，所以表示我們算對的機會很大。

7637 (23) (5)- 958 (22) (4) 6689 (29) (11) (2)因為 5-4=1≠2 ，所以表示我們一定算錯哦！請再重新算一遍哦！

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(15) 利用同餘法來驗算 (三） 370 (10) (1) × 425 (11) (2) 1850 740 1480 156250 (19) (10) (1) 因為 1×2=2≠1 ，所以

表示我們一定算錯哦！請再重新算一遍哦！

258 (15)(6)(10)(1)28)7249 (22)(4) 56 164 140 249 224 25 (7)因為 1×6+7=13 ， 13同餘於 4 ，所以表示我們算對的機會很大。用同餘來驗算除法，也需用被除數＝除數 ×商＋餘數

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(16) 除法估商法則 (一 ) 除 9同被，末位加 1 某數除以 9，其估商可為某數相同之

數；末位時其估商為某數加 1。 (除 9 是指除數的最高位數字是 9，

以下同此說明 ) 1△△△÷9△=1　 2△△△÷9△=2　 除 3△△△÷9△=3 4△△△÷9△=4 9 5△△△÷9△=5 6△△△÷9△=6 同 7△△△÷9△=7 8△△△÷9△=8 被 9 小△△÷9 大 =9 9同△△÷9同 =1 大同 9 大△△÷9 小 =1 前進

2

94) 2162

18 1

9) 162 94) 9870

9

72

9

978) 94866

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(16) 除法估商法則 (二 ) 除 8 加 1 某數除以 8，其估商可為該某數加 1。

1△△△÷8△=2 2△△△÷8△=3 　 除 3△△△÷8△=4 4△△△÷8△=5 8 5△△△÷8△=6 6△△△÷8△=7 加 7△△△÷8△=8 8 小△△÷8 大 =9 1 8同△△÷8同 =1 8 大△△÷8 小 =1 大同 9△△△÷8△=1 前進

5

86) 4386

1

8) 9160

9

84) 75684

3 823) 288873

35

(16) 除法估商法則 (三 ) 除 7 加 1（四以下加 1）又有加 2（五以上加 2）

1,2,3,4等數除以 7，其估商為原數加 1；又 5,6除以 7，其估商為原數加 2。

1△△△÷7△=2 2△△△÷7△=3 　 四以下 3△△△÷7△=4 加 1 4△△△÷7△=5 5△△△÷7△=7 五以上 6△△△÷7△=8 加 2 7 小△△÷7 大 =9 7同△△÷7同 =1 7 大△△÷7 小 =1 大同 8△△△÷7△=1 前進 9△△△÷7△=1

1

75) 900

7

7) 539

1

2

710) 106720

4 732) 333972

36

(16) 除法估商法則 (四 ) 除 6 加 2 某數除以 6，其估商可為該某數加 2。

1△△△÷6△=3 2△△△÷6△=4 　 除 3△△△÷6△=5 6 4△△△÷6△=6 加 5△△△÷6△=7 2 6 小△△÷6 大 =9 6同△△÷6同 =1 6 大△△÷6 小 =1 大同 7△△△÷6△=1 8△△△÷6△=1 前進 9△△△÷6△=1

4

69) 2967

6

6) 456

5

63) 3642

1 623) 7750

37

(16) 除法估商法則 (五 )除 5雙倍 某數除以 5，其估商可為某數的 2倍。

1△△△÷5△=2 除 2△△△÷5△=4 　 5 3△△△÷5△=6 雙 4△△△÷5△=8 倍 5 小△△÷5 大 =9 5同△△÷5同 =1 5 大△△÷5 小 =1 6△△△÷5△=1 大同 7△△△÷5△=1 8△△△÷5△=1 前進 9△△△÷5△=1

2

57) 1824

6

5) 320

7

6

52) 3744

9 54) 52608

38

(16) 除法估商法則 (六 )除 4雙頭 雙頭是被除數及除數，某數除以 4其估商可為被除數與除數 4之和或差。

1△△△÷4△=3(4-1) 除 4 2△△△÷4△=6(4+2) 　 3△△△÷4△=7(4+3) 雙 頭4 小△△÷4 大 =9 4同△△÷4同 =1 4 大△△÷4 小 =1 5△△△÷4△=1 6△△△÷4△=1 大同7△△△÷4△=18△△△÷4△=2 前進9△△△÷4△=2

3

47) 1824

7

4) 300

2

42) 9660

9426) 40044

39

(16) 除法估商法則 (七 )除 3三倍 某數除以 3，其估商可為某數的 3倍。

1△△△÷3△=3 除 3 2△△△÷3△=6 　 3 小△△÷3 大 =9 三倍 3同△△÷3△=1 3 大△△÷3 小 =1 4△△△÷3△=1 5△△△÷3△=1 6△△△÷3△=2 大同 7△△△÷3△=2 8△△△÷3△=2 前進 9△△△÷3△=3

2

31) 7316

6

3) 201

2

3

38) 9500

3 36) 13644

40

(16) 除法估商法則 (八 )除 2 作 5 某數除以 2，其估商可為 5。

1△△△÷2△=5 除 2 作 5 2 小△△÷2 大 =9 　 2同△△÷2同 =1 2 大△△÷2 小 =1 3△△△÷2△=1 4△△△÷2△=2 5△△△÷2△=2 6△△△÷2△=3 大同 7△△△÷2△=3 8△△△÷2△=4 前進 9△△△÷2△=4

1

29) 3770

5

2) 114

2

3

27) 621

8 9267) 225081

41

(16) 除法估商法則 (九 )

除 1繁雜，牢記另表 被除數 2以上，則自行估商 被除數和除數同時為 1，可看下表 被除數少除數 1， 2時，商即作 9 被除數少除數 3， 4時，商即作 8

被除數少除數 5， 6時，商即作 7 被除數少除數 7， 8時，商即作 6 被除數少除數 9 　時，商即作 5 (此處的被除數與除數的比較是比被除數與除數的次高位數字 )

2( 自行估商 )

15) 3120

7(1比 6少 5)

16) 1152

5(0比 9少 5)

19) 1056

9(0比 1少 1)112) 10165

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(17) 整數除法常犯的錯誤 算出來的餘數比除數大或和除數一樣

把 0記錯位置 估錯商 用大數減小數 乘錯 減錯 不知道哪個是餘數 ? 哪個是商

被除數和除數顛倒

51 230

6) 312 2)406

30 4

12 6

6 6

6 0

61

19) 1139

114 19 19 0

43

(18) 除法、分數及比 4÷5 到底是五分之四，還是四分之五呢？ 4 4 4 = ÷ = ： 5 5　　 5

6:4=( )

30÷40=( )

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(19) 誰當被除數 ?誰當除數 由於三年級引入除法時，幾乎都是大數除以小數，因此養

成學生大數才能除以小數的迷思概念，到四年級，學到除法可用分數表示，以及商可為小數，學生便對應用題中，哪一個要當被除數，哪一個要當除數感到混淆。

其實可用題目的“每…”或“一…”來尋得蛛絲馬跡，因為“每…”或“一…”就是把原來的個數做等分，所以它後面所接的數，一定當除數，而另一個數就是被除數。

例１： 3個人分 4個大餅，每人得幾個大餅？題目是問「每人得幾個大餅」，所以「人」當除數解法為 4÷3

例２：小明走 6 步可走 5公尺 ,平均一步走幾公尺 ?

解法為 5÷6

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(20) 小數加減法常犯的錯誤 與整數加減法同樣的錯誤 位值沒有對齊 小數末尾是 0未處理 忘了點小數點 小數點點錯位置

小數加減法只要對齊小數點，位值就會自動對齊

(1) 3.2 (2) 7.6 ＋ 4 － 5.6

3.6 2.0

(3) 6.1 (4) 1 2.7－ 1.8 ＋ 1.2 4 3 1.3 9

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(20) 小數乘法常犯的錯誤 與整數乘法同樣的錯誤 小數末尾是 0未處理 忘了點小數點 小數點對齊 ( 與加法搞混 ) 小數點點錯位置 ( 正確為：被乘

數和乘數小數點後面的位數之和 )

小數乘法是唯一不用對齊位值的直式計算，且學生容易搞混加減法和乘法

(1) 3.4 (2) 0.6 × 4 × 5

12.6 3.0

(3) 0.8 (4) 1.2 7× 0.2 × 0.4 1.6 5.0 8

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(21) 小數除法常犯的錯誤 與整數除法同樣的錯誤 商的小數點寫錯位置 餘數的小數點寫錯位置 忘了點小數點 搞不清楚要求什麼？ ( 有時候除到商為整數即可，要寫餘數，有時候又四捨五入到小數第一位）

除數是小數的除法，商的小數點要與新被除數的小數點對齊，而餘數要與舊的小數點對齊

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(22) 整數四則計算常犯的錯誤 忘了要先乘除後加減 忘了將還沒有算的數字抄下

來

整數四則計算的三個原則：(1) 有括號先算(2) 先乘除後加減(3) 由左至右

例 1： 5+3 ×4

=8 ×4

=32

例 2： 700-125-45-65

=575-45(少了 -65)

=530-65

=465

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(23) 利用長度的單位關係，導出面積和體積的單位關係 (一 ) 先回到 1平方公尺的定義， 1平方公尺就是邊長為 1

公尺的正方形面積。換個說法就是邊長為 100 公分的正方形面積。

那邊長為 100 公分的正方形面積，就可以用正方形面積公式來算，也就是邊長×邊長，代入 100 公分 (cm)×100 公分 (cm)=10000 平方公分 (cm2) 。 (算這個算式時，不但要算 100×100=10000 ，也要算 cm×cm= cm2)

如此可以推出 1平方公尺 (m2)=10000 平方公分 (cm2)

50

(23) 利用長度的單位關係，導出面積和體積的單位關係 (二 )先回到 1 立方公尺的定義， 1立方公尺就是邊長為 1公尺的正方體體積。

換個說法就是邊長為 100公分的正方體體積。

那邊長為 100公分的正方體體積，就可以用正方體體積公式來算，也就是邊長×邊長×邊長，代入 100公分 (cm)×100公分 (cm)×100公分 (cm)=1000000 立方公分 (cm3) 。 (算這個算式時，不 -但要算 100×100×100=1000000 ，也要算 cm×cm×cm = cm3)

如此可以推出 1立方公尺 (m3)=1000000 立方公分 (cm3)

51

(24)量的單位換算—長度 30公里25公尺=( )公尺。 3.7公尺=( )公分

公里

公尺

公分

毫米

3 0 0 2 5

3 7 0

52公尺 3公分 =( )公分。 5.2公里 =( )公尺。3公尺 =( )毫米

52

(24)量的單位換算—重量 87020公斤=( )公噸 5公斤6公克=( )公克

公噸

公斤

公克

8 7 0 2 0

5 0 0 6

5公噸 40公斤=( )公斤。 4.39公斤=( )公斤 ( )公克

53

(25) 分數的分母及分子

為什麼分數的分母要在下面？　因為分數的原先用法是只有在真分數，分母就是分數

的媽媽，分子就是分數的兒子，因為媽媽比兒子大，才可以將兒子背起來，所以分母要在下面，而分子要在上面。

如何判別真分數和假分數？　“分母比分子大”是真的，所以是真分數；而”分子

大於或等於分母”是假的，所以是假分數。

54

(26) 如何記速度的公式速度的單位應是每秒幾公尺，寫成數學式是

所以就可以推測速度＝距離 ÷ 時間

再從上面的公式移項，就可得到距離＝速度×時間時間＝距離 ÷速度

密度的單位是每立方公分幾公克，寫成數學式是所以就可以推測密度＝質量 ÷體積

秒公尺

3cm

g

55

(27) 幾月的日期是怎麼來的 ?天文學家測出一年約 366日，因此將單月訂為 31日

( 大月 )，而雙月訂為 30日 ( 小月 )(31+30)×6=61×6=366 。

有個皇帝叫 August(奧古斯都 ) ，他是八月生日，他覺得他的生日怎麼是小月，因此就將八月改成大月

但如此，七八九就連續三個月是大月，因此，再將 9月改成小月 ,10 月改成大月 ,11 月改成小月 ,12 月改成大月

這樣，卻多了 1天，恰好，以前 2月常發生災難，因此 2 月減成 29天

後來發現一年真正是 365.2422日，因此才會有平年是 365日，而閏年是 366日，而平年那一年又得少一天，因此決定再減災難的 2月一天

56

　　 1 　 2　　 3 　　 4 5 6

(28) 數三角形個數的問題— 將每個小圖形編號來數 　　

先找單一圖形是三角形的：有 1,2,3,4,5,6共 6個。 再找兩個複合圖形是三角形的：有 13,24,56共 3個。 再找三個複合圖形是三角形的：有 123,124,135,246,356,456共 6個。 再找四個複合圖形是三角形的：找不到。 再找五個複合圖形是三角形的：找不到。 最後找六個複合圖形是三角形的：有 123456共 1個。將上面的三角形個數加起來 6+3+6+1=16個，就是答案。

57

A

B C D

E F G

(28) 數三角形個數的問題— 用三個頂點構成三角形來數 　　

將左圖上每一個三角形的頂點都命名為 A,B,C,D,E,F,…… ,如右圖。然後從 A 開始，按照順序找三個頂點是否可構成三角形：ABD,ABG,ACD,ACE,ADE,ADG,AEF,AEG,AFG,BDE,BEG,CDG,CEG,DEF,DEG,DFG 共有 16個。值得注意的是，請按照英文字母的順序來找，比較不會漏數或重複數。

58

(29) 正方體展開圖的判斷 (1)

要判斷六連方塊是否為正方體的展開圖，最好的方法，就是將每個六連方塊都摺摺看，就知道了。考試時如果可以摺摺看，那麼對小朋友而言，就不是問題。用歸納法來排除不可能為正方體展開圖的六連方塊。

59

(29) 正方體展開圖的判斷 (2)

根據上頁的排除原則，判斷下列的六連方塊是否為正方體的展開圖？

乙

甲

丙

丁 戊己

60

(29) 長方體展開圖的判斷

甲 乙

丙 丁

61

(30) 一筆畫 ( 一 )

一筆畫：用一筆經過所有路線，但每條路線不能重複走兩次

62

(30) 一筆畫 ( 二 )

　　　　 2 4 3

2 4 4 2

4 4 3

2 4 4 2 2

2

2 3 3 3 3 尤拉定理：

(1)圖形的交叉點都有偶數條線段經過，則這個圖形可以一筆畫

(2)圖形的交叉點都有有 2個奇數條線段經過，其餘皆是偶數條線段經過，則這個圖形可以一筆畫

(3)圖形的交叉點都有 3個以上 (含 )奇數條線段經過，則這個圖形不可以一筆畫

63

(30) 一筆畫 ( 三 )

請用尤拉定理判斷下列哪些圖形可以一筆畫 ?如果可以的話，要從哪裡開始畫呢？

64

(30) 一筆畫 ( 四 )

請用尤拉定理判斷下列哪些圖形可以一筆畫 ?如果可以的話，要從哪裡開始畫呢？

65

(30) 一筆畫 ( 五 )

哪些阿拉伯數字可以一筆畫呢？　 1,……

哪些英文字母大寫可以一筆畫呢？ B,……

哪些英文字母小寫可以一筆畫呢？ a,……

哪些注音符號可以一筆畫呢？ ㄅ ,……

哪些國字可以一筆畫呢？ 　　 一 ,……

66

學生常見的數學疑問釐清 ( 一 ) 0 是不是偶數？ -2 是不是偶數 ? 0.2 是不是偶數 ?

92 綱要 173頁：個位數為 0,2,4,6,8 的整數稱為偶數

所以 0 和 -2都是偶數， 0.2 不是整數，所以不是偶數

有人將偶數定義成可被 2整除的數，那麼 0.2 是偶數， 0.1 也是偶數，故此定義是錯的。只能定義成「可以被 2整除的整數」

67

學生常見的數學疑問釐清 ( 二 ) 正方形是長方形嗎？正方體是長方體嗎？

從幼稚園開始，所有的教材，都將正方形和長方形視為不同類的圖形，一直到小四或小五時教到四邊形的包含關係，正方形才算是長方形的一個特殊例子

學生如果不容易懂，可以用正方形和長方形的定義來解釋：

正方形：四個邊都等長，四個角都是直角的四邊形

長方形：四個角都是直角的四邊形

由定義就可知，正方形滿足長方形的條件，所以正方形也是長方形

同樣的，正方體也是長方體

只是在沒有教包含關係時，正方形和長方形還是得視為不同類型的題目，這也是沒辦法的

68

學生常見的數學疑問釐清 ( 三 ) 正三角形是等腰三角形嗎？

一開始用邊長作三角形分類時，會三角形區分成正三角形和等腰三角形及不等邊三角形

等到學生可以熟悉包含關係後，可以用正三角形和等腰三角形的定義來解釋：正三角形：三個邊都一樣長的三角形等腰三角形：有兩個邊一樣長的三角形

由定義就可知，正三角形也滿足有兩個邊一樣長的三角形的條件，所以正三角形也是等腰三角形

69

學生常見的數學疑問釐清 ( 四 )到底是假分數？還是帶分數 ? 還是兩者皆是 ?還是兩者皆不是 ?4

51

計算分數加減法時，過程有時會出現，如：

4

12

4

51

4

3

4

21

b

ca 是帶分數的形式，所以

4

51 是帶分數

bcb

c 是假分數的形式，所以

4

51 不是假分數

70

學生常見的數學疑問釐清 ( 五 )

是不是分數 ?4

5.0

是分數的標準寫法，所以4

5.0 是分數)0( bb

c

71

學生常見的數學疑問釐清 ( 六 )

是不是分數 ?是不是有理數 ?4

2

是分數的標準寫法，所以)0( bb

c是分數

4

2

)0,,( bZbcb

c是有理數的定義，所以

4

2不是有理數

72

學生常見的數學疑問釐清 ( 七 )

是不是真分數 ?7

0

且 c＜ b 是真分數的定義，所以b

c是真分數

7

0

73

學生常見的數學疑問釐清 ( 八 ) 1 是質數，還是合數？還是都不是？ -2呢 ?

92 綱要 173頁對質數的定義：

一大於 1 的正整數只有 1 及本身兩個正因數時，稱為質數。

由定義就可知， 1 和 -2都不是質數

74

學生常見的數學疑問釐清 ( 九 ) 1.0 是整數，還是小數？還是都是？

凡是有小數點的數，就是小數，所以 1.0 是小數

雖然 1.0 和 1等值，但是 1.0還是算小數，不能算整數

75

學生常見的數學疑問釐清 ( 十 ) 32000 用無條件進入法取概數到千位，是多少 ?

32001呢 ?

32000 的千位後面三個數字都是 0 ，雖然是無條件進入法，也無法進位的，所以答案是 32000

32001 的千位後面還有 1 的數字，所以要進位成 33000

76

學生常見的數學疑問釐清 ( 十一 ) 0.1,0.2,…0.9 下一個數是一點零？還是零點十？

依照十進位的數字進位原則， 0.9 的下一個數是 1.0 ，而非 0.10 ，因為 0.9 是一位小數，所以下一位數字也是一位小數，所以是 1.0 ， 1.0 和 1等量，所以答案也可以是 1

個位 十分位

0 9

1 0

77

學生常見的數學疑問釐清 ( 十二 ) 為什麼小數後面的數，不用讀出位值？

78.123讀做七十八點一二三，而不讀七十八點一百二十三

早期教科書小數後面的位值，也是有讀出來的，上面的數字讀作七十八點一分二厘三毫，後來覺得這種讀法太麻煩，因此才省略小數部份的位值，而只要讀出數字即可，至於整數部份還是讀出位值

78

學生常見的數學疑問釐清 ( 十三 ) 學生在做應用題時，被乘數和乘數可以調換順序嗎？

原則上，引入乘法意義時，要求學生要按照幾的幾倍的順序來寫，一直到教了乘法交換律後，就不必限制被乘數和乘數的順序

目前國內，還是有相當比例的老師，要求學生絕不能調換順序，將數學的學習狹隘化，我們應花多一點時間，在小朋友其他常犯的錯誤上，才會有助於小朋友數學的學習

79

學生常見的數學疑問釐清 ( 十四 ) 乘法對加減法有分配律的性質，那除法有沒有同樣的性質？

cbcac

b

c

a

c

bacba

)(

cbcac

b

c

a

c

bacba

)(

除法對加減法有前分配律性質

bcacb

c

a

c

ba

cbac

)(

bcacb

c

a

c

ba

cbac

)(

除法對加減法沒有後分配律性質

80

多人玩的數學益智遊戲： 跳棋 大老二、接龍、九九、橋牌、撿紅點、 13張、吹牛 拉密牌 四色牌

81

雙人玩的數學益智遊戲： 猜數字遊戲 (大太了 ,太小了 ) 。 猜數字遊戲 (幾 A幾 B的遊戲 )。 放直棋 (三子棋 ) 畫三角形遊戲 搶 30 遊戲 攻佔城堡 (拿石頭遊戲 ) 四連環 畫數字遊戲 五子棋、暗棋、象棋、西洋棋、圍棋、西瓜圍棋

82

單人玩的數學益智遊戲： 搬移遊戲 數獨、數牆、數壹、數和、數迴、數間、數連、數龍 智慧盤 數字反轉 七巧板 河內之塔 倉庫世家 孔明棋、青蛙棋

83

國小數學的網路資源： 教學網站。 評量及練習網站。 有關數學的益智遊戲 其他有關數學的東西 (如 :謎語…… )

(1)昌爸工作坊 (2)尤怪之家 (3)博愛國小許俊文老師的數學園地 (4) 陽明國小許長壽老師的數學練習題 (5) 數學部編版教科書網站 (6) 國立台灣科學教育館—數學遊戲

84

一、問題解決的重要性 : 有一次，在一個非正式的聚會裏，一個社會科學家問

一位數學博士：“教數學最主要教些什麼呢 ?“數學家答覆是“問題的解決。”要回去時，這位數學家問：”教社會科學主要教些什麼呢 ?“每一個答案都是“問題的解決。”所有成功的工程師、科學家、社會科學家、律師、會計師、醫師、忙碌的經理 ..等等，都必須是好的問題解決者。雖然人們所遭遇的問題可能是非常的不一樣，但是它們都有共同的方法，來幫助問題的解決變得更容易。

85

二、玻利亞的解題四步驟 : 現代解題之父—玻利亞，於西元 1887 年出生於匈牙

利，在他的求學過程中，他對發現的過程和數學答案的獲得很有興趣，他的教學中強調發現的過程比只發展適當的技巧來的重要，為了提倡問題解題的方法，他發展出下列四個步驟：步驟 1 ：理解問題步驟 2 ：擬定計劃步驟 3 ：實行計畫步驟 4 ：回顧

86

步驟 1 ：理解問題你了解題目所有字的意思嗎 ?你能用自己的話來重新表達問題的意思嗎 ?你知道題目給你哪些已知條件呢 ?你知道題目要求什麼呢 ? 有足夠的已知條件嗎 ?( 有些已知條件是隱藏的，如一星期有 7天 )

有多餘的已知條件嗎 ? 問題是不是和你以前解決過的問題差不多呢 ?

87

步驟 2 ：擬定計畫(1)猜測和測試。 (2) 畫圖。(3)列表。 (4)簡化問題。(5)找到規律性。 (6) 使用數字的性質。(7) 使用例子。 (8) 利用公式。(9) 使用模式。 (10) 解相等的問題。(11)倒推法。

88

步驟 3 ：實行計畫 以步驟 2的方法來做做看，一直到問題解決為止。

給你自己一段合理的時間來解決問題。假如沒有成功，可以從其他人中找尋線索， 或者把放問題放在一旁一段時間，或許哪天你可能有突然出現的靈感。

不要害怕，有時重頭想或者用新的方法將可以解題成功。

89

步驟 4 ：回顧 答案對嗎？合理嗎？驗算答案看看。 你能找到一個較簡單的答案嗎？ (可以約分或化成帶分數或將小數點後面的 0省略 )

25÷ ( )=5

( )=25× 5=125

將 125 代入原式得

25÷ 125=5

不合理，

所以算法是錯的

一大袋糖果有 7888顆糖果，平分給若干小朋友，每人分得 34顆，共有幾位小朋友？

7888×34=268192

因為根本不可能有二十多萬的小朋友來分

所以算法是錯的

90

練習和問題的區別： 解練習題就是解你已經解過的差不多的題目；而解問

題，你必須經過思考，並且嘗試一些從沒做過的步驟。 對於小孩子來說，假使”練習”中在解題的部份需要

許多種創意的步驟就屬於”問題”。 例 1:3+2 。例 2: 將 96枝鉛筆平均分給 16位小朋友，每位得幾枝？

做練習對學習數學而言是有價值的，練習幫助你的數學概念能夠更清楚，並且在你解題時也能適用。

後面學習到的技巧應該幫助你成為一個好的問題解決者，也應該引導你如何幫助其他人發展他們的問題解決技巧。

91

數學解題的過程：

數學式子的解答

原始問題的解答

解題

翻譯

翻譯

檢查

數學式子的問題原始問題

要解一個問題，必須先翻譯題目的字，變成使用數學符號的相等問題，再解決這個相等的問題，然後再判斷答案是否正確。上圖就是數學解題的過程。

92

問題實例 (1)

知剛每個月要存多少錢 , 一年才能存 720 元呢 ?”

(1)這個題目的”已知條件”是什麼？ (2)這個題目要求的是什麼？ (3) 解這個題目你還需要知道什麼知識？ (4)列出這個題目的數學算式 (不寫答案 )： (5) 算出數學算式的答案： (6) 寫出原題目的答案： (7)你算的答案對嗎？驗算看看：

93

問題實例 (2)： 馨葦想用 100 元去銀行換 1 元和 5元的硬幣，她總共有幾種換法？ (可以全部換成 1元的硬幣，也可以全部換成 5元的硬幣 )

　　解這個題目用玻利亞的哪一個方法比較好？

5 元的個數

20 19 18 17 … 1 0

1 元的個數

0 5 10 15 … 95 100

94

問題實例 (3)： 一塊披薩用直線的切法切 4刀，最多可以切成幾片？解這個題目用玻利亞的哪一個方法比較好？

95

問題實例 (4)： 畫出切 5刀能切成最多片的簡圖。 畫出切 6刀能切成最多片的簡圖。

切的刀數 1 2 3 4 5 6

最多可以切成幾片 2 4 7 11 16 22

根據上表不使用畫圖的方式來預測切成 7刀時，最多可以切成 ( )片。你是怎麼預測的？

96

問題實例 (5)： 餐廳有許多正方形的桌子，把它們緊靠排在一起時，

1張桌子可以排 4 張椅子， 2張桌子可以排 6 張椅子。(如下圖 )50 張桌子橫的併在一起時，可以排幾張椅子？

(1)3 張桌子時可以排幾張椅子？畫畫看。

(2)4 張桌子時可以排幾張椅子？畫畫看。

97

問題實例 (6)：(3)不畫圖預測5張桌子時可排幾張椅子？

(4)找出任意張桌子排的椅子數的模式。

(5)根據前一題所找出的模式，算出50張桌子所排的椅子數。

(6)請問你用了玻利亞的哪些方法？

98

問題實例 (7)：宴會裏有 20個人，每個人都要跟別人握一次手，那麼總共有幾次握手的動作 ?

1.假如宴會裏只有 2個人，那麼有幾次握手的動作呢？

2.假如宴會裏只有 3個人，那麼有幾次握手的動作呢？

3.假如宴會裏只有 4個人，那麼有幾次握手的動作呢？

4.假如宴會裏只有 5個人，那麼有幾次握手的動作呢？

5. 請你預測宴會裏有 6個人，會有幾次握手的動作呢？

6. 請你找出規律性，並算出原問題的答案。

99

結語—數學指導成功的要件

1.充實自己的數學專業知識

2. 讓學生寫好回家功課

3. 讓學生學好數學

4. 讓學生考好數學

5. 讓學生喜歡數學