Средние величины
DESCRIPTION
Средние величины. Средней величиной называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/1.jpg)
Средние величины
![Page 2: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/2.jpg)
Средней величиной называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.
![Page 3: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/3.jpg)
Объективность и типичность статистической средней обеспечивается лишь при определенных условиях
![Page 4: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/4.jpg)
Первое условие
Средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности. Для получения однородной совокупности необходима группировка данных, поэтому расчет средней должен сочетаться с методом группировок.
![Page 5: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/5.jpg)
Второе условие
Для исчисления средних должны быть использованы массовые данные.
В средней величине, исчисленной на основе данных о большом числе единиц (массовых данных), колебания в величине признака, вызванные случайными причинами, погашаются и проявляется общее свойство (типичный размер признака) для всей совокупности.
![Page 6: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/6.jpg)
Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.
Общие средние для однородной совокупности должны дополняться групповыми средними, характеризующими части совокупности
![Page 7: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/7.jpg)
Две категории средних
степенные средние; структурные средние.
![Page 8: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/8.jpg)
Степенные средние
средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая.
![Page 9: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/9.jpg)
Структурная средняя
характеризует состав статистической совокупности по одному из варьирующих признаков.
К этим средним относятся мода медиана.
![Page 10: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/10.jpg)
Виды средних величин
различаются тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
![Page 11: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/11.jpg)
Средняя арифметическая.
Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным, т.е. - это среднее слагаемое.
![Page 12: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/12.jpg)
Средняя арифметическая простая. осредняемый признак называется
вариантой и обзначается
средняя величина из вариант
обозначается
число вариант - частота -
ix
xnf
![Page 13: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/13.jpg)
Определить среднюю заработную плату рабочих бригады.
Порядковый номер рабочего Месячная зарплата, у.е.
1 493
2 561
3 609
4 718
5 850
6 894
7 901
8 1070
9 1203
10 1251
всего 8550
![Page 14: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/14.jpg)
В данном примере вариантой является зарплата каждого работника.
Общая сумма зарплаты - это фонд заработной платы, который может быть записан алгебраически:
где i = от 1 до n.
in xxxxx ...321
![Page 15: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/15.jpg)
Расчет можно выполнить по следующей формуле
Вставленная функция в EXCEL
AVERAGE ( )
у.е. 85510
8550
n
xx i
![Page 16: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/16.jpg)
Средняя арифметическая взвешенная
расчитывается, когда частоты не равны между собой
В этом случае совокупность сгруппирована и представлена в виде ряда распределения
i
ii
f
fxxвз
![Page 17: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/17.jpg)
Возрастной состав бригады рабочих
ВозрастКоличество
человекx f
26 224 321 223 6
итого 13
![Page 18: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/18.jpg)
Средний возраст рабочих бригады
Или расчет по формуле средней взвешенной
года 4,236232
6*232*213*242*26вз
x
4,2313
232323232323
21212424242626
x
![Page 19: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/19.jpg)
Расчет средней арифметической в интервальном ряду, задача 8.
Группы рабочих по количеству произведенной
продукции, шт., x
Число рабочих
, f
середина интервала,
x'
3-5 10 4
5-7 30 6
7-9 40 8
9-11 15 10
11-13 5 12
Итого 100 -
![Page 20: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/20.jpg)
Задача 8.
Каждый рабочий за смену производит в среднем 7,5 деталей
шт. 5,7100
750
100
12*515*1040*830*610*4'вз
f
fxx
![Page 21: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/21.jpg)
Свойства средней арифметической
1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна 0;
2. если от каждой варианты вычесть или к каждой варианте прибавить какое-либо произвольное постоянное число, то средняя уменьшится или увеличится на это же число;
3. если каждую варианту разделить или умножить на какое-либо произвольное число, то средняя уменьшается или увеличивается во столько же раз;
4. если все частоты разделить на какое-либо число, то средняя не изменится. Это свойство дает возможность абсолютное значение частот заменять их удельными весами.
![Page 22: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/22.jpg)
Свойство 1
ВозрастКоличество
человекОтклонение от
средней
x f
26 2 5,231
24 3 1,846
21 2 -4,769
23 6 -2,308
итого 13 0
fxx
![Page 23: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/23.jpg)
Свойство 2
ВозрастКоличество
человекВозраст
x f x+10=x’ x’f
26 2 36 72
24 3 34 102
21 2 31 62
23 6 33 198
итого 13 434
средняя 33,385
![Page 24: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/24.jpg)
Свойство 3
ВозрастКоличество
человекВозраст
x f x/10=x’ x’f
26 2 2,6 5,2
24 3 2,4 7,2
21 2 2,1 4,2
23 6 2,3 13,8
итого 13 30,4
средняя 2,338
![Page 25: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/25.jpg)
Свойство 4
ВозрастКоличество
человекВозраст
x f f/2=f’ xf’
26 2 1,0 26
24 3 1,5 36
21 2 1,0 21
23 6 3,0 69
итого 13 6,500 152
средняя 23,385
![Page 26: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/26.jpg)
Средняя гармоническая
является преобразованной средней арифметической. Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.
Применяется тогда, когда необходимые веса в исходных данных не заданы непосредственно. Они могут входить множителем в один из имеющихся показателей.
![Page 27: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/27.jpg)
Средняя гармоническая простая
Встроенная фукция в EXCEL
HARMEAN ( )
x
nгарx
1
![Page 28: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/28.jpg)
Например, автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скростью 40 км/час, а обратно - 60 км/час. Какова средняя скорость автомобиля?
Время поездок есть
тогда
21x
s
x
s
21x
s
x
s
x
s
x
s
![Page 29: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/29.jpg)
Сократив все члены равенства на s, получим
21
1111
xxxx
![Page 30: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/30.jpg)
Таким образом выполняется условие гармонической средней.
км/час 48
60
1
40
12
x
отсюда 60
1
40
12
x
![Page 31: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/31.jpg)
Средняя гармоническая взвешенная.
Применяется в тех случаях, когда известен объем совокупности и групповая средняя.
![Page 32: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/32.jpg)
Средняя гармоническая взвешенная.
номер цеха
средняя зарплата
за сентябрь
x
фонд зарплаты
M = xf
1 208 27040
2 220 26840
3 340 28900
итого - 324340
![Page 33: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/33.jpg)
Средняя гармоническая взвешенная.
рабочих число
всего зарплаты фондx
3 ц срзпл
3 ц фзпл
2 ц срзпл
2 ц фзпл
1 цеха зарплата средняя
1 цеха зарплаты фондвсего зарплаты фонд
x
![Page 34: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/34.jpg)
Средняя зарплата за сентябрь
x
MM
xгар
6,245
340
28900
220
26840
208
27040289002684027040
гар
x
![Page 35: Средние величины](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062422/568136ab550346895d9e4ff0/html5/thumbnails/35.jpg)
Правило мажорантности средних
кубквадрарифгеом ххххx гарм
86,27
20
5
1
2
12
гарм
x
05,45,662
5233
33
куб
x
5,32
52
арифx