Теорема отсчетов в приложении к задаче...

1VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014

Теорема отсчетов Теорема отсчетов в приложении к задаче интерполирования данныхв приложении к задаче интерполирования данных

Центральный Институт Авиационного Моторостроения им. П.И. Баранова111116, Россия, г. Москва, ул. Авиамотороная, 2, www.ciam.ru

Ханян Гамлет СократовичС.н.с., к.т.н., IEEE Member

[email protected], [email protected]


Теорема отсчетов для сигнала конечной длительности в ограниченной полосе частот

Формула теоремы отсчетов как инструмент интерполирования данных

Интерполяционная формула Ньютона и метод полиномиальных сплайнов

Численные эксперименты по интерполированию тригонометрических функций

Сравнение ошибок интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайнов

Обсуждение результатов исследования и выводы

СодержаниеСодержание


Теорема отсчетов для сигнала конечной длительности в ограниченной полосе частотТеорема отсчетов для сигнала конечной длительности в ограниченной полосе частот

Формула для интерполирования отсчетов цифровой реализации сигнала

верна для полигармонического сигнала с целыми и полуцелыми безразмерными частотамиM гармоник с номерами от P до Q:

TFNTtFnttNttFN

ttGFttFGtsts n

n

nnN

nn

,0,/;/)(sin

)(sin)()1(sin)()( 0

1

0

Ограничимся для простоты нулевым индексом полосы G = 0, четным числом узлов интерполяции

(N mod 2=0) при t0=0, и введем безразмерное время n =Ft и безразмерную частоту m = f T, где F-

частота дискретизации, T - длительность сигнала. Тогда интерполяционная формула примет вид:

NnNnnN

nnss

N

nnn

0;

/)(sin)(sin1

0

.2/)1(,...,2/1;)/2cos( NmNnmasn

и условию теоремы (тождественности преобразования: sn = sn )

будет удовлетворять гармонический сигнал с полуцелой частотой:

(Ханян Г.С., МЭС’2012)

mmm

Q

Pmmmm aTmftfats ,0,/)(;)2cos()(

}.2/{|2/1}{|1

}]{2/1}[{]2/)1[(

]2/[}){1](2/1}[{]2/)1[(

NNGPQM

NGGNGNQ

NNGGNGNP

0}{,02

,2

1

GN

NG

NGN


Интерполяционная формула НьютонаИнтерполяционная формула Ньютона

0)0( ssn

2102210210

0)2(

2)1(

)2(2

)2)(1(2

2243

snn

snnsnn

nsss

nsss

ssn

,...3,2,1;0;)()!(!

)1(

0

1

0

)1()(

NNnknnNn

sss

N

n

N

k

nnN

Nn

Nn

Рекуррентная формула для восстановления функции Рекуррентная формула для восстановления функции ssnn по ее N+1 эквидистантным отсчетам по ее N+1 эквидистантным отсчетам ssnn

N N = 0= 0 (кусочно-постоянная интерполяция) (кусочно-постоянная интерполяция)

N N = 1= 1 (линейная интерполяция) (линейная интерполяция)

10100)1( )1()( snsnnssssn

N N = 2= 2 (квадратичная интерполяция) (квадратичная интерполяция)

N N = 3= 3 (кубическая интерполяция) (кубическая интерполяция)

6)2)(1(

)33(2

)1()2()( 3210210100

)3( nnnssss

nnsssnssssn

332102321032100 6

332

4526

291811n

ssssn

ssssn

sssss

3

32

2

32

1

32

0

32

632

243

256

66116

snnn

snnn

snnn

snnn


Интерполирование методом сплайнов и по формуле теоремы отсчетовИнтерполирование методом сплайнов и по формуле теоремы отсчетов

Интерполирование в серединных точках Интерполирование в серединных точках nn = n + = n +1/21/2 с помощью: с помощью:

1

0

)(2/1 /)2/1(sin

)1()1( N

k

kkn

en Nkn

s

Ns

e) - формулы теоремы отсчетов

d) - кусочно-постоянного сплайна

a) - линейного сплайна

b) - квадратичного сплайна

c) - кубического сплайна

nd

n ss )(

2/1

21)(

2/1

nnan

sss

8

63 21)(2/1

nnnb

n

ssss

16

5155 321)(2/1

nnnnc

n

sssss

nn +1/2

n +1/2 n+3/2n

nn +1/2 n+3/2 n+5/2

1,...,1,0;),(),( Nnss nln

nlNn - периодическими

Сплайны l=Сплайны l=1,2,3,01,2,3,0-го порядка:-го порядка:

l

m

mnml

nln nnas

0,,

),( )( - полиномиальными

3,2,1;)1,(),(1

lss nln

nln - непрерывными

Используемые сплайны являются:Используемые сплайны являются:

n n +1 n +2 n +3n


.2/)1(0;)(11

)(1

0

22/1

)(2/1

Nmss

Nam

N

nn

jnS

Численные эксперименты по интерполированию тригонометрических функцийЧисленные эксперименты по интерполированию тригонометрических функций

Осциллограммы сигнала и отклонений от него результатов интерполированияОсциллограммы сигнала и отклонений от него результатов интерполирования

edcbajsss

NNnss

nj

n

n

,,,,;

1,2

1,...,2,

2

1,1,

2

1,0;

)(

ЗаЗа погрешность интерполяциипогрешность интерполяции принимается относительное (нормированное по амплитуде принимается относительное (нормированное по амплитуде aa) средне-) средне-квадратичное отклонение вычисленных ординат гармонического сигнала частотыквадратичное отклонение вычисленных ординат гармонического сигнала частоты mm от известных:от известных:


Зависимости погрешности

интерполяции S (m) от частоты

m сигнала, изменяющейся

с шагом m =1/10 при числе

узлов N=32 и начальной фазе:

=/4, =/2, случайной.

Сравнение ошибок интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайновСравнение ошибок интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайнов


Сравнение ошибки интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайновСравнение ошибки интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайнов

Зависимости погрешности

интерполяции S (m) от частоты

m сигнала, изменяющейся

с шагом m =1/10, 2/N

при числе узлов N=128, 256

и начальной фазе =/4.


ЗаключениеЗаключение

Исследованы возможности применения формулы теоремы отсчетов для сигнала конечной длительности в качестве вычислительного средства по интерполированию ограниченного числа данных измерений колебательных процессов.

Осуществлена компьютерная верификация доказанной в 2012 г. версии теоремы отсчетов, что позволяет расценивать математические условия формулировки теоремы не только как достаточные, но и как необходимые.

Проведен сравнительный анализ погрешностей основанного на теореме отсчетов метода интерполирования и методов полиномиальных сплайнов первых трех порядков и показано преимущество над ними предлагаемого в работе тригонометрического метода применительно к дискретным полигармоническим сигналам.

Теорема отсчетов в приложении к задаче...

Documents