第六章 正态条件下回归的推论
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第六章 正态条件下回归的推论. 问题的提出. 在前述各章中我们假定随机扰动项服从均值 =0 ，方差等于（常数），独立同分布。但是，并没有假定随机扰动项服从何种具体的分布。 由于没有假定服从何种具体的分布，因而无法计算随机扰动项取不小于某值的概率，因而也无法计算估计量取某种值的概率，也就无法对统计量进行假设检验和进行区间估计。 点估计给出是某个具体的数值，无法给出相应的可靠性，也就是我们得出的结论的缺乏可靠性，从而降低了结论的有效性与实用性。 如果假定随机扰动项服从正态分布，那么估计量就可立即得到相应的区间估计及其概率，也就是结论具有了可靠性。. 同方差 = 常数，协方差 =0. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第六章 正态条件下回归的推论
问题的提出• 在前述各章中我们假定随机扰动项服从均值 =0 ，方差
等于（常数），独立同分布。但是，并没有假定随机扰动项服从何种具体的分布。
• 由于没有假定服从何种具体的分布，因而无法计算随机扰动项取不小于某值的概率，因而也无法计算估计量取某种值的概率，也就无法对统计量进行假设检验和进行区间估计。
• 点估计给出是某个具体的数值，无法给出相应的可靠性，也就是我们得出的结论的缺乏可靠性，从而降低了结论的有效性与实用性。
• 如果假定随机扰动项服从正态分布，那么估计量就可立即得到相应的区间估计及其概率，也就是结论具有了可靠性。
种假定呢？为什么要进一步作出这
的性质是什么？、、现在，假定
布总之仍然不知是什么分
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同方差 = 常数，协方差 =0同方差 = 常数，协方差 =0
nxn ， x
Z 自变量与随机扰动项无关，从而自变量之间也无关。X 是确定性变量， Y 只有垂直变动
解决问题的思路• 首先，复习有关正态分布的一些结论• 进而假定随机扰动项服从正态分布• 导出估计量也服从正态分布• 给出关于估计量的假设检验和区间估计• 再给出利用模型进行预测的可靠性，使
模型能够运用于实际
有关正态分布的一些结论• 1 、正态分布的线性组合也服从正态分布• 2 、标准正态分布的平方和服从卡平方分
布• 3 、标准正态分布除以卡平方分布及其自
由度的商，服从 t 分布• 4 、两个卡平方分布分别除以各自自由度
的商之比服从 F 分布
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第一节 问题的引入• 1 、假定随机扰动项服从正态分布，导出
Yi 也服从正态分布• 2 、一元模型中斜率也服从正态分布• 3 、一元模型中截距也服从正态分布• 4 、回归估计系数的分布的总结
1 、假定随机扰动项服从正态分布，导出Yi 也服从正态分布
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然服从正态分布正态分布的线性组合仍
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2 、一元模型中斜率也服从正态分布
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同理即
且也服从正态分布
然服从正态分布正态分布的线性组合仍
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3 、一元模型中截距也服从正态分布
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4 、回归估计系数的分布的总结
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第二节 问题的解决• 1 、解决问题的关键是样本带来了总体的信
息，所以用样本的信息去估计总体的信息。• 2 、用残差去估计总体的随机扰动项，进而
用残差的方差去估计随机扰动项的方差• 3 、构造残差的方差为随机扰动项方差的无
偏估计量。• 4 、随机扰动项方差的估计量 S2 的分布
1 、解决问题的关键是用样本残差去估计总体的随机扰动项
• 解决问题的关键是用样本残差去估计总体的随机扰动项。
• 进而用样本残差的方差 S2 去估计随机扰动项的方差—— 2
• 最后，在随机扰动项服从正态分布的假定下，导出样本残差方差 S2 的性质或分布
2 、随机扰动项方差的估计量
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也服从正态分布服从正态分布，从而
为什么是n-k-1?（第三节）
3 、随机扰动项方差估计量的性质• （ 1 ）无偏性 E(S2)=2
• （ 2 ）随机扰动项方差估计量 S2 服从卡方分布，自由度 = n-k-1
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第三节 派生内容：自由度• 1 、什么是自由度• 2 、对应于平方和分解的自由度的分解• 3 、 k 元模型中随机扰动项的自由度为什
么 =n-k-1?
1 、什么是自由度• 模型中样本值可以自由变动的个数，称为
自由度• 自由度 = 样本个数 - 样本数据受约束条件
（方程）的个数• 例如，样本数据个数 =n ，它们受 k+1 个
方程的约束（这 n 个数必须满足这 k+1 个方程）
• 那么，自由度 df = n-k-1
数据个数与约束方程• Y1+Y2+Y3=7
• Y1=7
• 那么 Y2 、 Y3 中只有 1 个是自由的。• 又如：• Y1+Y2+Y3+Y4=7
• Y1=7
• 那么， Y2 、 Y3 、 Y4 中只有 2 个是自由的
2 、对应于平方和分解的自由度的分解
•自由度 = 变量个数 - 约束方程个数•TSS=RSS+ESS dfT=dfR+dfE
•dfT=n-1
•dfR=k
•dfE=dfT-dfR= n-1-k = n - (k+1)
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所以，
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3 、 k 元模型中随机扰动项的自由度为什么
=n-k-1?
的由来。个方程求出。这就是过上列
个通个是自由的，其余中只有个
的自由度个方程的约束。因此，受个变数这里共有
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求导）（对
求导）（对
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第四节 回归系数的假设检验• 1 、大样本与小样本• 2 、斜率的分布• 3 、回归系数假设检验的意义• 4 、假设检验的原理• 5 、假设检验的种类• 6 、 F 检验的步骤• 7 、 t 检验的步骤• 8 、回归分析进行假设检验的步骤
1 、大样本与小样本• 中心极限定理告述我们：• 随机变量 X 无论服从什么分布，只要它的方差
存在，只要样本个数 n 充分的大， X 的平均数就服从正态分布。
• 那么，充分大在实际应用中怎样掌握呢？• 凡是 n >30 ，我们就可以认为它具有此种极限
性质，称为大样本。• 否则，就称为小样本，小样本不具有此种极限
性质。
2 、斜率的分布• （ 1 ）已知 2 或大样本情形
• （ 2 ）未知 2 且为小样本情形
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3 、回归系数假设检验的意义• 通过 F 检验只是对方程作为一个整体进
行检验，只要其中一个或几个自变量的系数显著不为零，整个方程就是有意义的。
• 但是，还必须继续对各个自变量的系数进行检验，否则方程中会包含一些对因变量从统计意义上说没有意义的自变量
3 、回归系数假设检验的意义• 例如： Y^=1.78+1.56X1+0.036X2• 对多元回归除了进行整体检验外，还需要分别对 X1 和
X2 的系数进行 t 检验。• 对 X1 的系数检验，计算出来的 t 大于临界值，拒绝H0 ，
即 X1 的系数与 0 有显著的差异，认为 X1 对 Y 有意义；• 对 X2 的系数检验，计算出来的 t 小于临界值，不拒绝
H0 ，认为 X2 的系数与 0 没有本质的差异，虽然它 =0.036 ，于是认为 X2 对 Y 没有意义，是方程中的累赘，应剔除，重新估计方程。
• 因此，要求方程中所有系数都应与 0 差异显著。
4 、假设检验的原理• 1 、提出二择一的假设 H0 （往往与试验目的相反）与 HA （往往是欲得到的结论）
• 2 、给定显著水平（小概率）• 3 、在 H0成立下，收集数据，寻找检验统计量（如 t 、 F ），肯
定知道统计量的分布，可计算各种取值的概率• 4 、找出小概率发生的临界值• 5 、将样本值和 H0代入检验统计量进行计算• 6 、将计算结果与临界值比较，若大于临界值，小概率事件发生，根据小概率原理，在一次试验中小概率事件是不会发生的。现在，居然发生了。错在哪里？
• 7 、原来是假设 H0错了，因为一切都是在 H0成立下推证的，于是拒绝H0 。否则，不拒绝H0
大海里捞针——反证法• H0 ：一棵针掉进了大海里（海底只有一棵针）• HA ：海底不只一棵针• 显著水平 =0.01 （小概率）• 进行试验——到海底捞针• 通常用大海里捞针比喻不可能发生的事• 现在，一次潜水（试验）就捞上一棵针，这掉下
的一棵针居然被我们捞上来，不可能发生的事件发生了，于是拒绝 H0 ，认为大海里不只一个针。
两类错误之一——弃真• 1 、 H0 ：海底只有一棵针。但一次试验捞了上来。因
为小概率事件发生，必须拒绝（ H0 ）。然而海底真的只有一棵针，结论说不只一棵针。犯弃真错误了，只有拒绝H0时才会犯弃真错误
• 2 、此时犯了弃真的错误，但是犯弃真错误的可能性，事先已经控制——只有显著水平（小概率）那么大
• 3 、所以拒绝不仅是坚决的，而且犯错误的概率（冒险率是事先控制的）也很小。所得结论的可靠性 = 1-
• 4 、所以，人们提出的 H0 通常是无效的
犯两类错误之二——纳伪• H0 ：某某（高考的考生） = 大学生（准予参考就是提出
这个假设，即假设他是优秀青年）• 进行抽样试验——参加高考• 检验统计量——考试总分（包括加分）• 众所周知，大学生乃同龄人中的佼佼者，而该某某平时素质和学业平平，距高等学府之路遥遥，被录取（总分超过报考学校的录取线）的概率很小。 H0成立下，优秀毕业生考分低于录取线（失常）的概率很小。
• 在此次抽样中他的总分喜煞人，由于小概率事件（优秀者失常）没有发生，于是不能拒绝H0 。某某顺利进入重庆某学院，显然属于纳伪。
不拒绝 H0 是无可奈何• 某某进入高校，招生犯了纳伪的错误• 进行检验时，没有事先控制纳伪的概率——无
法度量犯纳伪的可能性。也就不能给出不拒绝H0 结论（录取进大学）的可靠性（ 1- ）。
• 就本次试验而言，不拒绝 H0 是无可奈何的。• 千万不可，以接受 H0 作为我们研究的结论。欲证明 H0成立必须继续抽样、继续检验，并采用功效函数。
• 所以某某进校后不断地被抽样、被检验
5 、假设检验的种类• 1 、参数检验• 已知分布形式，检验分布的参数，例如
检验均值或检验方差• 2 、非参数检验• 检验随机变量的分布形式，例如是否服
从正态分布• 本课程主要讨论参数检验
6 、假设检验的步骤—— t 检验为例
• 1 、提出假设 H0 和 HA
• 2 、收集数据估计出 b^
• 3 、计算出 2 的估计量 s2
• 4 、计算检验统计量 t （代入假设 H0 ）• 5 、根据显著水平，查出临界值 t• 6 、作出统计推断：如果 t>t ，拒绝H0；否则
不拒绝H0 。 t 的绝对值越大，自变量对因变量的作用越显著。
比较，下结论（绝对值）与
查出临界值根据
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在置信区间外，拒绝
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F 检验的步骤• 假定随机扰动项 u 服从正态分布。检验目标是联合检验，• （ 1 ）提出假设 H0: b1 = b2 =b3 =……=bk=0
• （ 2 ）适合的检验统计量
• （ 3 ）根据冒险率，确定临界值 F• （ 4 ）将计算出的 F 与临界值 F 比较• （ 5 ）下结论：若 F>临界值 F ，则拒绝 H0；若 F<=临界值 F ，则
不拒绝 H0
• （ 6 ）结合经济学理论与经验，下经济学的结论或进行经济学分析
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7 、回归分析进行假设检验的步骤• （ 1 ）查看拟合优度，进行 F 检验，从整体上判断回归
方程是否成立，如果 F 检验通不过，无须进行下一步；否则进行下一步
• （ 2 ）查看各个变量的 t 值及其相应的概率，进行 t 检验，如果相应的概率小于给定的显著水平，该自变量的系数显著地不为 0 ，该自变量对因变量作用显著；否则系数与 0 无显著差异（本质上 =0 ），该自变量对因变量无显著的作用，应从方程中删去，重新估计方程。
• （ 3 ）但是，一次只能将最不显著（相应概率最大）的删除。
第五节 预测• 1 、预测的定义• 2 、利用模型进行预测的种类• 3 、一般水平的预测• 4 、个体水平的预测• 5 、预测的精度• 6 、滞后模型进行预测• 7 、案例分析——假日旅馆房间收入的预测• 8 、指数平滑预测
1 、预测的定义• 预测是对于未来或未知的预计与推测• 预测不是臆测，这里的预测是科学的预测，它是建立在对预测对象认识、分析和科学的推理基础之上的。
• 由于客观世界的复杂性和不确定性与人类认识的矛盾，以及预测科学（又称未来学）仍然处于成长阶段，还有预测手段的不完善，尤其是与进行预测人员的素质、知识、经验、魄力、胆略、价值取向密切相关，所以预测既是一门科学又是一门艺术。
2 、利用模型进行预测的种类• （ 1 ）定性预测与定量预测• （ 2 ）模型预测与非模型预测
– 即利用回归直线或其它模型进行预测，由于回归直线本身有一个变动幅度（随抽样不同而不同），也一定存在误差。
– 一般水平预测与个别值的预测– 点预测与区间预测
• （ 3 ）超长期预测、长期预测、中期预测、短期预测
• （ 4 ）情景预测
3 、一般水平的预测• 关于平均水平的预测——关于 E(y^)=a^+b^x 均值的
预测• 因为随机扰动项的平均数 =0 ，所以随机扰动项对预
测值没有影响• 随机扰动项有一个变动幅度，由于没有考虑随机扰
动项的变动幅度• 因此，预测的方差会相应的小些• 为什么一般水平的预测也会存在预测误差呢？因为 a
^ 和 b^ 随着样本的不同而不同，有一个变动幅度，所以 E(y^) 也有一个变动幅度。
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= 平均数时，预测误差最小xi
影响预测误差的因素
• 1 、 （ 1- ） t 预测误差（只有这么多信息，可靠性预测误差 ，可靠性 预测误差 ）
• 2 、 x 均值预测误差• 3 、 x 方差 预测误差• 4 、 n 预测误差
1,
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ba
4 、个体水平的预测• 是关于个别值（ Yi ）的预测，• 因为一个 Xi 会对应多个 Yi ，由于考虑了随
机扰动项的变动（一般水平预测，随机扰动项 =0 ，不于考虑）
• 个别值总是在均值附近振动外再加一个随机扰动项的变动，所以个体预测值的变动幅度大些。
• 个体水平的预测是关于 Yi=a+bXi+ui 的预测
1,
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）（已知
个别值的预测误差自然比一般水平的预测误差增大
5 、滞后模型进行预测
7 、案例分析——假日旅馆房间收入的预测
• 已知（美国 1970-1980年间）：• 房间总收入 =
• 房间租用率 X 房间总数 X 平均租金• 要求：• 根据美国假日旅馆近年来的年报和美国政府公布的资料，预测假日旅馆明年房间总收入？
REV OCCP RRATE ROOMS GNP PGNP UNEMP CPR697. 3471 68. 5 15. 55 179364. 0 922. 7 91. 45 4. 90 7. 72813. 7161 67. 4 16. 50 200464. 0 1077. 6 96. 01 5. 90 5. 11962. 5911 70. 7 16. 87 221113. 0 1185. 9 100. 00 5. 60 4. 691121. 7400 70. 6 17. 63 246913. 0 1326. 4 105. 69 4. 90 8. 151223. 5500 68. 3 18. 38 267032. 0 1434. 2 114. 92 5. 60 9. 871369. 2100 65. 4 20. 86 274969. 0 1549. 2 125. 56 8. 50 6. 331539. 0700 68. 4 22. 17 278064. 0 1718. 0 132. 11 7. 70 5. 351780. 4900 71. 2 24. 56 278957. 0 1818. 0 139. 83 7. 00 5. 602160. 9780 74. 3 27. 81 286529. 0 2156. 1 150. 05 6. 00 7. 992605. 0000 73. 8 32. 65 296251. 0 2413. 9 162. 77 5. 80 10. 912915. 5300 71. 5 36. 80 303578. 0 2627. 4 177. 45 7. 10 12. 29
资料（ LX4\SHM31 ）
变量名 指标含义及单位FJZSR 房间总收入，百万美圆FZ 房租，平均每天租出房间的百分比FJSHM 假日旅馆房间总数GNP 美国国民生产总值（用现价计）PGNP 表示GNP隐含的价格因素，用以修正GNP剔除价格因素SHYL 美国失业率SYZQLL 主要商业证券利率
预测步骤• 1 、预测房间租用率 FJZYL
• 2 、预测平均房租 FZ
• 3 、预测房间数目 FJSHM
• 4 、预测房间总收入• =FJZYL X FZ X FJSHM
分析房间租用率• 假日旅馆的房间租用率与美国经济形势
有关，而失业率是一个反映经济形势的很好的指标
• 而且，经验表明短期利率是反映和预测今后一般经济活动很好的指标
• 当然，不能仅用失业率的下降趋势来解释租用率的上升，它们还受发展趋势的影响，所以生成一个增长趋势指标 QSH
租用率关于失业率和趋势回归
考虑不知道当期值不能预测
当含有被解释变量滞后值滞后就不使用趋势变量
引入商业证券利率
预测房租
预测房间数目
Variable Coefficient Std. Error T-Statistic Prob.
SHYL -1.854182 0.385229 -4.813194 0.0013QSH 0.784188 0.134062 5.849461 0.0004C 69.87705 2.329669 29.99441 0.0000
R-squared 0.831986 Mean dependent var 70.00909Adjusted R-squared 0.789983 S.D. dependent var 2.703499S.E. of regression 1.238950 Akaike info criterion 0.655529Sum squared resid 12.27998 Schwartz criterion 0.764046Log likelihood -16.21373 F-statistic 19.80757Durbin-Watson stat 1.556777 Prob(F-statistic) 0.000797
租用率关于失业率 和趋势回归
• 由于不能事先得到 1981年的失业率，所以不能利用上述方程进行预测，
• 但是方程反映出变量之间的关系，进一步证实租用率与失业率有非常相似的周期
• 不过，假日旅馆的租用率呈上升趋势，大约每年递增 0.7%
8 、指数平滑预测
10
1
1
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ˆˆˆ
1
1
平滑常数
期的平滑值（预测值）在平滑序列
期的实际值在平滑序列
期的平滑值（预测值）在平滑序列
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ty
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t
t
ttt
指数平滑法的使用
指数平滑报告表
第六节 复习与提高• 1 、随机扰动项的分布• 2 、因变量 Yi 的分布• 3 、回归分析估计量的分布• 4 、影响预测的精度因素
1 、随机扰动项的分布
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估计出结论可靠性）和区间为了进行假设检验（给
2 、因变量 Yi 的分布
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3 、回归分析估计量的分布
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的分布和 yyii
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4 、影响预测的精度因素• 1 、 （ 1- ） t 预测误差
（只有这么多信息，可靠性预测误差 ，可靠性 预测误差 ）
• 2 、 x 均值预测误差• 3 、 x 方差 预测误差• 4 、 n 预测误差
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