ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ

ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ

АЛГЕБРА ЛОГИКИ

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ

БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ КОМПЬЮТЕРА

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА.

Клод Шеннон (1916-2001). Его исследования позволили применить алгебру логики в вычислительной технике

Логика

Аристотель (384-322 до н.э.). Основоположник формальной логики (понятие, суждение, умозаключение).

Джордж Буль (1815-1864). Создал новую область науки - Математическую логику (Булеву алгебру или Алгебру высказываний).

Логика – это наука о формах и способах мышления.

Первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель.

Формы мышления

Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки

предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.

Высказывание - это формулировка своего понимания окружающего мира.

Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо

утверждается или отрицается. По поводу высказывания можно сказать, истинно

оно или ложно.

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или

нескольких суждений может быть получено новое суждение.

Понятие

•Единичные понятия: самая высокая гора в Европе, этот стол, Москва и т.д.

•Общие понятия: красота, металл, доброта, глупость, лес, коллектив и т.д.

•Абстрактные понятия: вес, жесткость, цвет, вселенная, человечество и т.д.

•Конкретные понятия: круг, дом, пламя, битва и т.д.

Примеры понятий:

Рядом с названием предмета перечислены его признаки. Какие из них являются существенными для данного предмета?

А) Ученик - высокий; умный; одет в форму; на спине - ранец; посещает школу; любит книги; много знает; овладевает знаниями; учится; веселый.

Б) Ромашка - полевой цветок; имеет белые лепестки и желтую середину; лекарственное растение; неприхотливый цветок; цветок, растущий у дороги.

Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны, чтобы с их помощью отличить данный предмет от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы в множество.

Любое понятие характеризуется содержанием и объемом.

Содержание понятия - совокупность (множество) его признаков. Среди

признаков предмета есть существенные и второстепенные. Содержание понятия

может меняться в зависимости от знаний, от точки зрения и т.д. Например, для

обычного человека содержанием понятия "вода" являются следующие ее

признаки: прозрачная, жидкая, безвкусная, ее пьют, утоляя жажду. Для химика

вода - вещество, содержащее водород и кислород, компонент многих реакций.

Объем понятия - множество предметов, к которым прилагается понятие.

Например, объем понятия "четырехугольник": параллелограмм, ромб,

прямоугольник, квадрат, трапеция. Между объемом и содержанием понятия

существует важное соотношение: при увеличении содержания понятия

уменьшается его объем и наоборот.

Расположите и запишите понятия в порядке расширения их объемов:

насекомое, живое существо, комар.

Понятие

Комар, насекомое, живое существо.

Высказывание (суждение) - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:

Алупкинский дворец находится в Крыму.

Кащей Бессмертный – скупой и жадный.

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Без стука не входить!

Откройте учебники.

Ты выучил стихотворение?

Высказывание

Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием:

Это высказывание ложное.

Высказывание или нет?

Зимой идет дождь.

Снегири живут в Крыму.

Кто к нам пришел?

У треугольника 5 сторон.

Как пройти в библиотеку?

Переведите число в десятичную систему.

Запишите домашнее задание

в математической логике – утверждение, истинность которого (в общем случае) зависит от значений входящих в него переменных.

Высказывания

Частные(3>5)

Общие(y>5)

Истинные(1=1)

Тождественно истинные(x2+1)>0

Ложные(-5<-10)

Тождественноложные

( (x2+y2)<0 )

Зависящие от условий

(x+y<0)

Высказывание

– цепочка фактов, общих положений и умозаключений. Умозаключение

представляет собой переход от сведений, которыми мы располагаем до

рассуждения (посылок или условий), к выводам. Правильный способ

умозаключений из истинных посылок всегда ведет к истинным выводам.

Общее

Частное

Дедукция

Индукция

Рассуждение

Алгебра логики определяет правила записи, вычисления значений,

упрощения и преобразования высказываний.

В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют

логическими переменными.

Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему

логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно -

нулём (В = 0).

0 и 1 называются логическими значениями.

Алгебра логики

Простые и сложные высказыванияВысказывания бывают простые и сложные.

Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием.

Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.

Название логической операции Логическая связка

Инверсия (логическое отрицание) «не»; «неверно, что»

Дизъюнкция (логическое сложение) «или»

Конъюнкция (логическое умножение) «и»; «а»; «но»; «хотя»

Импликация (логическое следование) если – то;

Эквивалентность (логическая равнозначность) тогда, и только тогда

Логические операции имеют следующий приоритет:инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым

двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и

только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Другое название: логическое умножение.

Обозначения: , , &, И.

А В А&В

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Логические операции

Таблица истинности: Графическое представление

A BА&В

BA

Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум

высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся

ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Другое название: логическое сложение.

Обозначения: V, |, ИЛИ, +.

А В АVВ

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1



А V В

Инверсия - логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Другое название: логическое отрицание.Обозначения: НЕ, ¬ , ¯ .

А Ā

0 1

1 0



Ā A

В естественном языке – «Если A, то B»;

Обозначение – →

Логические операцииИмпликация – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым

двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся

ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание)

истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Таблица истинности:

А В АВ

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

А B A B

Графическое представление

Логические операцииЛогическая эквивалентность (равнозначность) – это логическая операция,

ставящая в соответствие каждым двум высказываниям составное высказывание,

являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания

одновременно истины или одновременно ложны.

В естественном языке – «Тогда и только тогда и в том и только том случае»;

Обозначение – ↔

А В А↔В

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Таблица истинности:

A B

Графическое представление

A↔B

A B

50 –

все

учен

ики

Решаем задачу. №1В 10-х классах учатся 50 человек. Факультатив по математике посещают 36 человек, по физике - 20 человек, на тот и другой факультатив записаны 10 учеников.

К а к о е к о л и ч е с т в о у ч а щ и х с я н е п о с е щ а ю т ф а к у л ь т а т и в ы ?

1). 36 - 10 = 2636

10

26

20

462). 26 + 20 = 46

3). 50 – 46 = 4

4 ученика не посещают факультативов.

Пусть А = «На Web-странице встречается слово «линкор"», В = «На

Web-странице встречается слово «крейсер"».

В некотором сегменте сети Интернет 5 000 000 Web-страниц. В нём

высказывание А истинно для 4800 страниц, высказывание В - для 4500

страниц, а высказывание АVВ - для 7000 страниц.

Для какого количества Web-страниц в этом случае будут истинны

следующие выражения и высказывание?

а) НЕ (А ИЛИ В);

б) А и B;

в) На Web-странице встречается слово «линкор" И НЕ встречается

слово «крейсер".

Решаем задачу. №2

Всего WEB-страниц: 5 000 000

ВКрейсер: 4500

АЛинкор: 4800 A или B

7000

Не ( А или B )

5 000 000-7 000=4 993 000WEB-страниц

не содержат слово «линкор» и слово «крейсер»

Представим условие задачи НЕ (А или В) графически:

Для какого количества Web-страниц в этом случае будут истинны следующие выражения и высказывания?


б) А & B;

в) На Web-странице встречается слово "крейсер" И

НЕ встречается слово "линкор«.

А или В7000

АЛинкор:

4800



б) А & B;



ВКрейсер:

4500

А и не(В):7000 – 4500 = 2500

Представим условие задачи А и НЕ(B) графически:

На Web-странице встречается слово «линкор" И НЕ встречается слово «крейсер" 2500 раз.

В4500

А4800

А и НЕ(В)2500

А и В 4800 – 2500 = 2300

Представим условие задачи А и В графически:



б) А & B;



На Web-странице встречается слово «линкор" И слово «крейсер» 2300 раз

Построение таблиц истинности для логических выражений

подсчитать n - число переменных в выражении

подсчитать общее число логических операций в выражении

установить последовательность выполнения логических операций

определить число столбцов в таблице

заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции

определить число строк в таблице без шапки: m =2n

выписать наборы входных переменных

провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логическиеоперации в соответствии с установленной последовательностью

A B A&B AVA&B

А V A & B

n = 2, m = 22 = 4.

Приоритет операций: &, V

Пример построения таблицы истинности

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1

1 1 1 1

Законы алгебры-логикиЗаконы алгебры-логики

A & B = B & AA & B = B & A

A V B = B V AA V B = B V A

A&(BVC)= (A&B) V (A&C)A&(BVC)= (A&B) V (A&C)

AV(B&C) = (AVB)&(AVC)AV(B&C) = (AVB)&(AVC)

(A & B) & C = A & ( B & C)(A & B) & C = A & ( B & C)

(A V B) V C =A V ( B V C)(A V B) V C =A V ( B V C)

Переместительный Переместительный

Сочетательный Сочетательный

Распределительный Распределительный

Закон двойногоотрицания

Закон двойногоотрицания Ā = AĀ = A

A & Ā = 0A & Ā = 0

A V Ā = 1A V Ā = 1

A & 0=0; A &1 = AA & 0=0; A &1 = A

A V 0 = A; A V 1 = 1A V 0 = A; A V 1 = 1

A & A = AA & A = A

A V A = AA V A = A

Закон исключениятретьего

Закон исключениятретьего

Закон повторенияЗакон повторения

Законы операцийс 0 и 1

Законы операцийс 0 и 1

Законы общейинверсии

Законы общейинверсии

A & B = Ā V BA & B = Ā V B

A V B = Ā & B A V B = Ā & B

Свойства логических операций

A B C B&C A v (B & C) A v B A v C (A v B) & (A v C)

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

Распределительный закон для логического сложения:

A V (B & C) = (A v B) & (A v C).

Доказательство закона

Умножаем В на С и выводим результат.

0

0

0

0

0

0

1

1

Складываем А и В и выводим результат.

0

0

0

1

1

1

1

1

Складываем А и (В&С) и выводим результат.

0

0

1

1

1

1

1

1

Складываем А и C и выводим результат.

0

0

1

1

1

1

1

1

Умножаем (АvB) на (AvC )и выводим результат.

0

0

0

1

1

1

1

1

Равенство выделенных столбцов доказывает распределительный закон.

Задача. Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один

из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу.

Решение логических задач

На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы:

Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал.

Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля.

Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа.

Бабушка знала, что один из её внуков

(правдивый), оба раза сказал правду; второй

(шутник) оба раза сказал неправду; третий

(хитрец) один раз сказал правду, а другой раз -

неправду. Назовите имена правдивого, шутника

и хитреца.

Кто из внуков разбил вазу?

K B C

Утверждение Серёжи

Утверждение Васи

Утверждение Коли

K C

0 0 1 0 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 0 1 1 1 1 0 0

С В КС

Решение.Пусть К =«Коля разбил вазу», В =«Вася разбил вазу», С =«Серёжа разбил вазу».

Представим в таблице истинности высказывания каждого мальчика. Так как

ваза разбита одним внуком, составим не всю таблицу, а только её фрагмент,

содержащий наборы входных переменных: 001, 010, 100.

Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать в таблице строки,

содержащие в каком-либо порядке три комбинации значений: 00, 11, 01 (или 10).

Это первая строка.

Вазу разбил Серёжа, он - хитрец. Шутником оказался Вася. Имя правдивого

внука - Коля.

Упрощение логических выраженийУпростить логическое выражение до 3-х простейших операций:

)())(( CBACCBA 1). X Y = ¬X v Y

2). Преобразуем ¬X:

Х Y

=0

Аналогично для Y:

CBACBCACBACBACBA )()(

XY= CBABAACCBACBCACA )(

=1

CCBACCBACCBA )()()( ( 5 )

)()( CBACBACBACBACBA ( 6 )

CACBACCBACCBACBA )())(( ( 12, 16 )

CABCACACBA )1( ( 15, 16 )

BACCBAC ( 10 )

Справка

Решение логических задач упрощением логических выражений

На соревнованиях по легкой атлетике Андрей, Боря, Сережа и Володя

заняли первые четыре места. Но когда девочки стали вспоминать, как эти

места распределились между победителями, то мнения разошлись:

Даша: Андрей был первым, а Володя – вторым.

Галя: Андрей был вторым, а Борис – третьим.

Лена: Боря был четвертым, а Сережа – вторым.

Известно, что каждая девочка в одном утверждении ошиблась, а в другом

была права. Кто из мальчиков какое место занял?

Введем обозначения:

А1 – Андрей первый, В2 – Володя второй,

А2 – Андрей второй, Б3 – Борис третий,

Б4 – Борис четвертый, С2 – Сережа второй

Решение логических задач упрощением логических выражений

Условие того, что в каждом утверждении одно высказывание истинно, а другое ложно:

1 YX

Запишем это условие для высказываний каждой девочки:

Тогда логическое произведение всех трех выражений = 1;

;124 СБ 21 ВА 32 БА

преобразуем ;1 YXYX

После преобразований:

;1)2424()3232()2121( СБСББАБАВАВА

Так как один и тот же человек не может занять разные места, и разные спортсмены не могут находиться на одном месте, получим из первых 2-х скобок:

)3221322132213221( БАВАБАВАБАВАБАВА

;1)2424()32213221( СБСББАВАБАВА

Полученный результат умножим логически на 3-ю скобку:

;121 ВА ;132 БА ;124 СБ

;1243221 СББАВА А1=1; Б3=1; С2=1; => В4=1Ответ: Андрей – первый, Сергей – второй, Борис – третий, Володя - четвертый

0;00.16

1;1;11).15

)()()();()()(

:).14

;

:).13

)()();()(

:).12

;)(

:).11

).10

)().9

).8

)().7

)()()()().6

).5

).4

).3

).2

).1

AAA

AAAAA

CABACBACABACBA

ностиистрибутивдЗаконы

AAAAAA

остидемпотентниЗаконы

CBACBACBACBA

ностиассоциативЗаконы

ABBAABBA

ностикоммутативЗаконы

BABAA

BABAA

ABAA

ABAA

BABABABABA

BABA

BABA

BABA

BABA

AA

Дополнительный справочный материал

Базовые логические элементы

компьютера

ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных

сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся значением одной из

логических операций, называется логическим элементом.

Базовые логические элементы реализуют три базовые логические операции:

логический элемент «И» (конъюнктор) – логическое умножение;

логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) – логическое сложение;

логический элемент «НЕ» (инвертор) – логическое отрицание.

Любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации

трех базовых, поэтому любые устройства компьютера, производящие

обработку и хранение информации, могут быть собраны из базовых

логических элементов.

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими

собой электрические импульсы.

Есть импульс – логическое значение сигнала 1, нет импульса – значение 0.

&А

В

И (конъюнктор)

1А

В

ИЛИ (дизъюнктор) НЕ (инвертор)

А

Логические элементы

a b

F

Электрические схемы логических элементовЭлектрические схемы логических элементов

aF

ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ И

Электрическая схема модели логического элемента «И»

ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ ИЛИ

Электрическая схема модели логического элемента «ИЛИ»

ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ НЕ

Электрическая схема модели логического элемента «НЕ»

В конъюнктор поступают сигналы от входа А и от инвертора. Таким образом, F = A & B.

Какой сигнал должен быть на выходе при каждом возможном наборе сигналов на входах?

Решение. Все возможные комбинации сигналов на входах А и В внесём в таблицу истинности. Проследим преобразование каждой пары сигналов при прохождении их через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу. Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную схему.

А 0010

В 0101

& 0010 F

1010

A B F

0 0 0

0 1 0

1 0 1

0 1 0

В инвертор поступает сигнал от входа В.

Анализ электронной схемы

Полусумматор, сумматор

Арифметико-логическое устройство процессора (АЛУ) содержит в своем составе такие элементы как сумматоры. Они позволяют складывать двоичные числа.Сложение в пределах одного разряда (без учета возможной пришедшей единицы из младшего разряда) можно реализовать схемой, которая называется полусумматором. У полусумматора два входа (для слагаемых) и два выхода (для суммы и переноса).В отличие от полусумматора сумматор учитывает перенос из предыдущего разряда, поэтому имеет не два, а три входа.

A B S P

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

?

(trigger - защелка, спусковой крючок) - это устройство, позволяющее запоминать, хранить и считывать информацию.

Каждый триггер хранит 1 бит информации, т.е он может находиться в одном из двух устойчивых состояний — логический «0» или логическая «1».Триггер способен почти мгновенно переходить из одного электрического

состояния в другое и наоборот.

Триггер

Логическая схема триггера выглядит следующим образом:Входы триггера расшифровываются следующим образом — S (от английского Set - установка) и R (Reset - сброс). Они используются для установки триггера в единичное состояние и сброса в нулевое. В связи с этим такой триггер называется RS-триггер.Выход Q называется прямым, а противоположный — инверсный. Сигналы на прямом и инверсном выходах, конечно же, должны быть противоположны.

Q

Q

Пусть для определенности на вход S подан единичный сигнал, a R=0. Тогда независимо от состояния другого входа, который подсоединен к выходу Q (иначе говоря, вне зависимости от предыдущего состояния триггера), верхний по схеме элемент ИЛИ-НЕ получит на выходе 0 (результат ИЛИ равен 1, но его инверсия - 0). Этот нулевой сигнал передается на вход другого логического элемента, где на втором входе R тоже установлен 0. В итоге после выполнения логических операций ИЛИ-НЕ над двумя входными нулями этот элемент получает на выходе 1, которую возвращает первому элементу на соответствующий вход. Последнее обстоятельство очень важно: теперь, когда на этом входе установилась 1, состояние другого входа (S) больше не играет роли. Иными словами, если даже теперь убрать входной сигнал S, внутреннее распределение уровней сохранится без изменения.

Поскольку Q = 1, триггер перешел в единичное состояние, и, пока не придут новые внешние сигналы, сохраняет его. Итак, при подаче сигнала на вход S триггер переходит в устойчивое единичное состояние.

Q

Q

При противоположной комбинации сигналов R = 1 и S = 0 вследствие полной симметрии схемы все происходит совершенно аналогично, но теперь на выходе Q уже получается 0. Иными словами, при подаче сигнала на R-триггер сбрасывается в устойчивое нулевое состояние. Таким образом окончание действия сигнала в обоих случаях приводит к тому, что R = 0 и S = 0.

Триггер

ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ

Documents