Двоични релации

1. Определение

Нека А и В са две множества. Всяко подмножество R на декартовото произведение на АxB се нарича бинарна (двоична) релация от А в В.

Ако <а,b>R, тогава се казва, а е релация R с b, и се записва aRb.

Ако А и В са едно и също множество, казва се още, R е релация, дефинирана в А.

2. Примери Нека А={1,3} и В={0,1,2}. Релацията

С={<x,y>|x>y, xA и yB} се състои от следните двойки числа: <1,0>,<3,0>,<3,1> и <3,2>. Броят на всички елементи на множеството AxB е |A|x|B|=2x3=6;

За самостоятелна работа: Нека А={2,3,5} и В={y|yN, 10<y<20}. Релацията

С={<a,y>|a дели y, аA и yB}. Намерете двойките от дадената релация и броя на всички елементи от AxB.

Нека R е бинарна релация в множеството А={1,2,3}, дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xA, yA, x+y е четно число}. Намерете двойките от дадената релация и броя на всички елементи от AxА.

3. Свойства на релациите

Нека А е множество и R е бинарна релация дефинирана в А. Релацията R се нарича: Рефлексивна, ако всеки елемент е в релация

R сам със себе си, т.е. xRx за всяко xA; Симетрична, ако един елемент x е в релация с

друг елемент y, то и y е релация R с x, т.е. от xRy следва, че yRx за всяко x, y A;

Антисиметрична, ако x е в релация R с y, и ако y е в релация R с x, то x=y, т.е. от xRy и yRx следва, че x=y за всяко x, y A;

Транзитивна, ако x e в релация R с y, и ако y e в релация R с z, то x е релация R с z, т.е. от xRy и yRz следва, че xRz за всяко x, y, z A;

4. Графично представяне на свойствата на релациите

Рефлексивност

Симетричност

Антисиметричност

Транзитивност

x

x y

x

x

y

z

5. Пример 1: Нека R е бинарна релация в

множеството А={1,2,3}, дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xA, yA, x+y е четно число}. Елементите на R са <1,1>, <1,3>, <2,2>, <3,1>, <3,3>.

Графично представяне:

1 3 2

6. Примери за определяне на свойства

Нека R е дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xZ+, yZ+, x+y е четно число}. Определете свойствата на тази релация.

Нека R е дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xZ+, yZ+, x+y е нечетно число}. Определете свойствата на тази релация.