مجتبي برخورداري :

[email protected] : مجتبي برخورداري

INA & DNA Methods

Design a Multivariable Controller for the Quadruple-Tank Process:

mailto:[email protected]?subject=mimo_design

مقدمه

ايده اصلي روش طراحي يک کنترل کننده قطري براي يک تابع

تبديل مربعي پس از دکوپله کردن نسبي

C.Lتفاوت و تشابه با روش .هردو مبتني بر تئوري نايکوييست تعميم يافته 88 استفاده مستقيم از تابع تبديل در روش

آرايه نايکوييست

محدوديت هالزوم مربعي بودن تابع تبديللزوم تبديل تابع تبديل به فرم غالب قطري

ساختار کنترل کننده

صفرها و قطب هاي سمت چپبا جبرانساز معکوس پذير و گويا

يک ساختار مناسب:

):Rosenbrock (1970)قضيه ) ( ) ( )a b cK s K K s K s

( ) ( ) ( )c b aK s K s K s K

طراحي دو مرحله اي:غالب قطري کردن ماتريس حلقه باز

براي هر حلقه بدون نگراني نسبت به SISOطراحي کنترل کننده هاي اندرکنش باقي مانده در سيستم

ياد آوري

نايکوييست تعميم ايده اصلي : يافته

قرار گيرد. نبايد داخل باند گرشگورين 1 0j ( )oQ s( )oI Q s DD باشد

در عمل:

( )oQ s در محدوده فرکانسي گسترده اي تا حد زياديDDمي شود

( )oI Q sشد DD

( )oI Q sنشد DD با يک جبرانساز قطري باندگرشگورين را

- دور مي کنيم بدون اينکه 1از پهناي آن

را زياد تغيير دهد.

و INAمقايسه DNAINADNA

CDDکردن ماتريس

1 1 1b aK s K G s

8RDDکردن ماتريس

( )a bG s K K s

آزادي عمل بيشتر در انتخابکنترل کننده

تشخيص دقيقتر رفتار سيستم حلقه بستهاز اطالعات سيستم حلقه باز

دستيابي به فرم غالب قطري در روش هاي آرايه نايکوييستمهمترين مساله

نکته: براي بعضي فرايند ها اساسا دستيابي به فرم غالب قطري ممکن نيست

چند روش دستيابي به فرم غالب قطري:

- سعي و خطا)ي هوشمند(1

فروبنيوس–- پرون 2

- شبه قطري سازي 3

دستيابي به فرم غالب سعي و خطاي هوشمندانهقطري

جابجايي ورودي ها با ماتريس هاي تبديل

استفاده از ماتريس هاي تبديل مقدماتي

دکوپله کردن در يک فرکانس خاص

:نکات بودن يک ماتريس و معکوس آنDDاستقالل

کننده در يک تابع اسکالرCDDمجوز ضرب هرستون جبرانساز

کننده در يک تابع اسکالر RDDمجوز ضرب هرسطر جبرانساز

دستيابي به فرم غالب قطري

سعي و خطاي هوشمندانه

مثال3 2

1( ) 1 2 2

4 31 3 2

s s s

G s s ss

s s

1 0 0

0 0 1

0 1 0

T

3 21

( ) 1 3 24 3

1 2 2

s s s

T G s s ss

s s

دستيابي به فرم غالب رو ش پرون- فروبنيوسقطري

مقياس بندي ورودي و خروجي

مقياس بندي خروجي هميشه قابل قبول نيست

( )G s

S

1S

X

yu

r( )K s


روش پرون- فروبنيوس

p داراي مقدار ويژه حقيقي و مثبت Mهر ماتريس مربعي اوليه مثبت مانند

بزرگ تر است و همه عناصر بردار ويژه آن به صورت حقيقي و مثبت قابل تعيين است.

که از ساير مقادير ويژه

Mpxبا عناصر مثبت و حقيقي و و

j

jiji

ip

jjij

ii

xmx

xmx

.1

max.1

min

x بردار ويژه راست پرون- فروبنيوس ماتريس M تبديل رابطه به تساوي

کردن :RDDکاربرد در محاسبه پيش جبرانساز قطري براي sGsGabssM diag1

skskdiagsK m,,1

jKjGRDDشود

اگر پيش جبرانساز قطري

به طوري که

2j i

jij jk

jkm

Seneta(1973)



:نتيجه

شدن است DDمي باشد،که معادل بيشترين درجه کمترين مقدار عبارت فوق ، p

)مساوي عناصر بردار ويژه راست پرون- فروبنيوسو به ازاي انتخاب عناصر قطر )K j

( )M jبدست مي آيدماتريس

تحقق جبرانسازمساله:

روش هاي پيشنهادي:

به T - استفاده از ماتريس ثابت1 Mجاي

2p در آن فرکانس با اين روش ممکن نيستDDدستيابي به ماتريس اگر در فرکانسينکته:

jmt ijw

ij max

)به طوري که تغييرات مشخصه فرکانسي- طراحي جبرانساز ديناميکي2 )K j

دامنه عناصر آن مشابه تغييرات مشخصه فرکانسي دامنه عناصر بردار ويژه راست

باشدپرون- فروبنيوس ( )M j

Mees(1981)

Munro(1985,1987)



مثال:

2

2

6 1

10 16 5 1( )2 2

15 200 2 1

s

s s sG Ss

s s s

ifg = finv(w,fg);

circles = fcgersh(w,ifg,1);

subplot(221); plotnyq(circles,'--');

معکوس ماتريس

رسم دواير گرشگورين



-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

REAL

IMA

G

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

REAL

IMA

G

-5 0 5 10 15 20 25-150

-100

-50

0

50

REAL

IMA

G

-30 -20 -10 0 10 20 30-50

0

50

100

150

200

REAL

IMA

G

نمودار نايکوييست و دواير گرشگورين تابع تبديل اصلي



-6 -4 -2 0 2 4-20

-15

-10

-5

0

5

REAL

IMA

G

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

REALIM

AG

-5 0 5 10 15 20 25-150

-100

-50

0

50

REAL

IMA

G

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-6

-4

-2

0

2

REAL

IMA

G

نمودارهاي روي قطر در مقياس بزرگ تر-20 -10 0 10 20

-20

-10

0

10

20

REAL

IMA

G

-1.5 -1 -0.5 0-30

-20

-10

0

10

REAL

IMA

G

-10 0 10 20 30-150

-100

-50

0

50

REAL

IMA

G

-2 -1 0-10

-5

0

REAL

IMA

G



Mمحاسبه ماتريس

[v,l,r] = fperron(w,nc);محاسبه مقدار و بردار ويژه پرون- فروبنيوس

omega = fdiag(w,fdiag(w,m));

m=abs(ifg);

nc = fmulf(w,finv(w,omega),m);

رسم مقدار ويژه و بررسي امکان موفقيت روش

نرمال کردن ماتريس بردار ويژه نسبت به درايه اول

رسم المان هاي بردار ويژه نرمال شده

طراحي درايه هاي جبرانساز به صورت گرافيکي



10-2

10-1

100

101

102

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

FREQUENCY

MA

G d

BPerron-Frobenius eigenvalue

مقدار ويژه پرون- فروبنيوس



10-2

10-1

100

101

102

-10

-5

0

5

10

15

FREQUENCY

MA

G d

BPerron-Frobenius eigenvector 2

درايه دوم بردار ويژه پرون- فروبنيوس نرمال شده



[kn,kd] = phlag(-20,8,-7);

phlag يا phleadطراحي جبرانساز با يکي از توابع

ميزان تغيير دامنه dbبر حسب

فرکانس شکست دوم

دامنه نهايي جبرانساز

رسم تغييرات فرکانس جرانساز و بررسي ميزان انطباق و اصالح طراحي

رسم سيستم جبران شده و بررسي ميزان موفقيت جبرانساز



10-2

10-1

100

101

102

-10

-5

0

5

10

15

FREQUENCY

MA

G d

BPerron-Frobenius eigenvector 2

درايه دوم بردار ويژه پرون- فروبنيوس نرمال شده به همراه جبرانساز طراحي شده



-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

REAL

IMA

G

-1.5 -1 -0.5 0-30

-20

-10

0

10

REAL

IMA

G

2 4 6 80

20

40

60

80

REAL

IMA

G

-40 -20 0 20 40-20

0

20

40

60

REAL

IMA

G

نمودار نايکوييست و دواير گرشگورين تابع تبديل جبران شده



-1 0 1

-2

-1

0

1

2

REAL

IMA

G

-1.5 -1 -0.5 0-30

-20

-10

0

10

REAL

IMA

G

2 4 6 80

20

40

60

80

REAL

IMA

G

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-1.5

-1

-0.5

0

REAL

IMA

G

1-نمودارهاي روي قطر در مقياس بزرگ تر 0 1

-2

-1

0

1

2

REAL

IMA

G

-1.5 -1 -0.5 0-30

-20

-10

0

10

REAL

IMA

G

2 4 6 80

20

40

60

80

REAL

IMA

G

-1 -0.5 0 0.5-6

-4

-2

0

2

REAL

IMA

G



sGsGabssM diag1ˆˆ

jGjK ˆˆ غالب قطري ستوني مي شود با استفاده از پرون- فروبنيوس INAدر روش

پرون- فروبنيوس بدست مي آيد چپاز درايه هاي بردار ويژه jK

بايد معکوس تحقق پذير داشته باشد

jK

خارج کند DDممکن است جبرانساز قطري، سيستم را از حالت

مي شود INA، CDDدر حالت : در اين روش

مي شود DNA، RDDدر حالت

دستيابي به فرم غالب -Pseudoرو ش قطري

diagonalizationجستجوي يک جبرانساز کلي تر

ايده : انتخاب مقياسي از قطري بودن،

انتخاب يک ساختار براي جبرانساز، بهينه سازي اين مقياس روي اين ساختار

Hawkinsروش ( )G s

K( ) ( )Q s G s K

( ) ( )Tij i jq j g j k

22

1 1

( ) ( )N N

Tj k ij k i k j

k i j k i j

J p q j p g j k

Min . .s t 1jk

حل با الگرانژ مالتي پالير

قابل تعميم به جبرانساز هاي ديناميک

طراحي کنترل کننده براي سيستم تانک هاي چهار گانه

INAروش

با روش پرون- فروبنيوسمرحله اول

1 0( ) 1.622 0.01946

00.01992

bK s s

s

طراحي يک جبرانساز قطري براي سيستم غالب قطري شدهمرحله دوم

معکوس عناصر بردار ويژه فروبنيوس نرمال شدهجبرانساز=عناصر قطر اصلي

ايده : استفاده از نتايج روش پرون- فروبنيوس در اين مرحله

مي کند عمل ثابت بهره يک مانند سيستم ايده آل شرايط در

-2 -1 0 1 2-20

-10

0

10

20

REAL

IMA

G

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

REAL

IMA

G

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

REAL

IMA

G

-2 -1 0 1 2-20

-10

0

10

20

REAL

IMA

G

طراحي کنترل کننده قطري

( )cK s

آرايه نايکوييست و باند هاي گرشکورين سيستم غالب قطري

0 0.5 1-5

0

5

10

REAL

IMA

Gd = 5

0 0.5 1-5

0

5

10

REAL

IMA

G

d = 40

0 0.5 1-5

0

5

10

REAL

IMA

G

d = 5

0 0.5 1-5

0

5

10

REAL

IMA

G

d = 40


( )cK s

باند هاي استروفسکي سيستم با بهره هاي فيدبک مختلف


( )cK s

براي هر دو حلقه40انتخاب بهره فيدبک

ˆمحاسبه کنترل کننده نهايي ( )bK s

ˆ ( )cK s

( )bK s

( )cK s

( ) ( ) ( )c bK s K s K s

تحقق کنترل کننده نهايي

0.0120 0.0003

0 0.0120A

0 1.5415

0 40.00B

0 0

0.0781 0.0030C

40 0

0 15.2076D

0 20 40 60 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

To:

Out

(2)

From: In(2)

0 20 40 60 80

System: sysg_closed I/O: In(2) to Out(2) Time (sec): 12 Amplitude: 0.999

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1From: In(1)

To:

Out

(1)

System: sysg_closed I/O: In(1) to Out(1) Time (sec): 4.46 Amplitude: 0.989

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

بررسي نتايج کنترل کننده نهايي

پاسخ پله سيستم حلقه بسته با کنترل کننده نهايي

output1

output

disturbance

Step1

Step

Saturation

In1

In2

Out1

Out2

Plant

Demuxx' = Ax+Bu y = Cx+Du

Controler

Control Signal satControl Signal

Band-LimitedWhite Noise


(-12,12)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

4

6

8

10

12

14


سيگنال کنترل محدود شده سيستم غيرخطي

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 1500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


پاسخ پله سيستم غيرخطي با سيگنال کنترل محدود شده


0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

پاسخ پله سيستم غيرخطي با سيگنال کنترل محدود شده

.C.L کنترل کننده


مرحله اول

طراحي براي نقطه کار ناکمينه فاز فرايند

با روش پرون- فروبنيوس

با جبرانساز ثابت

1.60002.5000

2.50001.50000GKb

کامل غالب قطري نشد

0.07113 + s

0.07113 + s 0.0017780

01)(sKb

DNAروش


آرايه نايکوييست مستقيم و باندهاي گرشگورين براي سيستم جبران شده با پيش جبرانساز قطري


مجزا براي هريک از کانال هاي سيستمPIدو کنترل کننده

طراحي يک جبرانساز قطري براي سيستم غالب قطري شدهمرحله دوم

014.0,5.1, 11 Ip KK 0005.0,12.0, 22 Ip KK

00.01562500

00.071131-00

0000.0625

0000.071131-

A

00

125.00

00

0125.0

B

0.019865-0.068172-00

000.124160.10909C

0.00021339-0

05.1D

تحقق جبرانساز نهايي


پاسخ پله سيستم ناکمينه فاز با کنترل کننده نهايي

پايان

iA

ia

ih

iسطح مقطع تانک

سطح مقطع سوراخ هاي خروجي

آبارتفاع

1v2v ولتاژهاي ورودي پمپ ها: ورودي هاي فرايند و

ولتاژهاي دريافتي از سنسورهاي سطح سنجخروجي ها: 1y2y و

21, kkنسبت دبي پمپ به ولتاژ پمپ

)1,0(, 21 نحوه تنظيم شيرهاثابت هايي مربوط به

( ) ( ) ( ) ( )a b dQ s G s K K s K s

( ) ( )c dK s K s F

1( ) [ ( ) ] ( )T s I Q s F Q s

( )H s ˆˆ ( ) ( )H s Q s F

:آنگاه ماتريس تابع تبديل حلقه بسته

ˆماتريسiiالمان ( )Q sتقريبي از رفتار ديناميکي حلقه بسته ˆiiq

1:بر اساس قضيه استروفسکيˆ ( ) ( ) ( )

( )ii i ii

q jl j

شعاع هاي گرشگورين 1فاکتور کوچکتر از

2

Out2

1

Out1

New Constants

sqrt

sqrt

sqrt

sqrt

1s

1s

1s

1s

V2

V1

F4

F3

F2

F1

C3

C2

C1

g2

g2

g2

g2

Kc

Kc

V1

V2

V2

CIN3

V1

CIN4

CIN2

F4

F3

F2

F1

C24

C13

C4

CIN1

Constant Definition

2

In2

1

In1

h1

h1

h2

h3

h4

مجتبي برخورداري :

Documents