ГЕНЕРИСАЊЕ ОСНОВНИХ КОМБИНАТОРНИХ ОБЈЕКАТА

ГЕНЕРИСАЊЕ ГЕНЕРИСАЊЕ ОСНОВНИХ ОСНОВНИХ

КОМБИНАТОРНИХ КОМБИНАТОРНИХ ОБЈЕКАТАОБЈЕКАТА

др Ђура Паунићдр Ђура ПаунићДепартман за математику и Департман за математику и

информатику, ПМФ Нови информатику, ПМФ Нови СадСад

Генерисање основних Генерисање основних комбинаторних објекатакомбинаторних објеката

Комбинаторни објекти су врло Комбинаторни објекти су врло погодни за програмирање:погодни за програмирање:

• Захтевају врло мало предзнање за Захтевају врло мало предзнање за формулацију и схватање проблема.формулацију и схватање проблема.

• Поступци су алгоритамске природе Поступци су алгоритамске природе тако да је њихово програмирање тако да је њихово програмирање једноставно.једноставно.

• Ручно генерисање комбинаторних Ручно генерисање комбинаторних објеката је врло досадно и лако се објеката је врло досадно и лако се греши.греши.

Погодни примери у Погодни примери у наставинастави

Комбинације без понављањаКомбинације без понављања Комбинације са понављањемКомбинације са понављањем Варијације са понављањемВаријације са понављањем Пермутације у лексикографском Пермутације у лексикографском

пореткупоретку Општи поступак генериања Општи поступак генериања

комбинаторних објеката бектрекомкомбинаторних објеката бектреком Краљице на шаховској табли.Краљице на шаховској табли.

Комбинације без Комбинације без понављањапонављања

Када се комбинације без понављања Када се комбинације без понављања уреде, коришћењем лексикографског уреде, коришћењем лексикографског

поретка,поретка,

тада се добија следећи низ:тада се добија следећи низ:

(1, 2, 3) (1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 2, 4) (1, 2, 5) (1, 2, 5)

(1, 3, 4) (1, 3, 4) (1, 3, 5) (1, 3, 5) (1, 4, 5) (1, 4, 5)

(2, 3, 4) (2, 3, 4) (2, 3, 5) (2, 3, 5) (2, 4, 5) (2, 4, 5)

(3, 4, 5) (3, 4, 5)


(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, (1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 2, 5)2, 5)


(1, 3, 4) (1, 3, 5) (1, (1, 3, 4) (1, 3, 5) (1, 4, 5)4, 5)


(2, 3, 4) (2, 3, 5) (2, (2, 3, 4) (2, 3, 5) (2, 4, 5)4, 5)


(3, 4, 5)(3, 4, 5)


constconst maxnmaxn = 20; = 20;typetype niz = array[0 .. maxn] of integer;niz = array[0 .. maxn] of integer;

procedure print(var a : niz;procedure print(var a : niz; k : integer);k : integer);varvar j : integer;j : integer;beginbegin for j := 1 to k dofor j := 1 to k do write(a[j]:4);write(a[j]:4); writelnwritelnend; (* print*) end; (* print*)


procedure kombinacije(n, k : integer;procedure kombinacije(n, k : integer;

var ok : boolean);var ok : boolean);

varvar

a : niz;a : niz;

i : integer;i : integer;

beginbegin

if (1 <= n) and (k <= maxn) and if (1 <= n) and (k <= maxn) and

(1 <= k) and (k <= n)(1 <= k) and (k <= n)

thenthen

beginbegin ok := true;ok := true; i := 1;i := 1; a[1] := 0;a[1] := 0; while i > 0 do beginwhile i > 0 do begin while a[i] < n – k + i do beginwhile a[i] < n – k + i do begin a[i] := a[i] + 1;a[i] := a[i] + 1; if i < k then beginif i < k then begin a[i+1] := a[i];a[i+1] := a[i]; i := i + 1i := i + 1 endend else else print(a, k)print(a, k) end;end; i := i - 1i := i - 1 endendendendelseelse ok := falseok := falseend; (* kombinacije *)end; (* kombinacije *)

Рекурзивне комбинације Рекурзивне комбинације без понављањабез понављања

Рекурзивне процедуре се најлакше Рекурзивне процедуре се најлакше реализују тако да се направи реализују тако да се направи унутрашња рекурзивна процедура, а у унутрашња рекурзивна процедура, а у процедури се изведе иницијализација процедури се изведе иницијализација и позове унутрашња процедураи позове унутрашња процедура

procedure rkombinacije(n, k : integer;procedure rkombinacije(n, k : integer;

var ok : integer);var ok : integer);

varvar

a : niz;a : niz;


procedure nadji(i : integer);procedure nadji(i : integer);

beginbegin

if i <= k then beginif i <= k then begin

a[i] := a[i-1];a[i] := a[i-1];

while a[i] < n - k + i do beginwhile a[i] < n - k + i do begin

a[i] := a[i] + 1;a[i] := a[i] + 1;

nadji(i+1)nadji(i+1)

endend

endend

else else

print(a, k)print(a, k)

end; (* nadji *)end; (* nadji *)

beginbegin

if (1 <= n) and (k <= maxn) and if (1 <= n) and (k <= maxn) and

(1 <= k) and (k <= n) then(1 <= k) and (k <= n) then

beginbegin

ok := true;ok := true;

a[0] := 0;a[0] := 0;

nadji(1)nadji(1)

endend

elseelse

ok := falseok := false

end; (* rkombinacije *)end; (* rkombinacije *)

Комбинације са Комбинације са понављањемпонављањем

Комбинације са понављањем се Комбинације са понављањем се генеришу истим поступком као и генеришу истим поступком као и комбинације без понављања, јер комбинације без понављања, јер постоји бијекција између комбинација постоји бијекција између комбинација без понављања од без понављања од nn + + kk − 1 − 1 објекта објекта kk--те класе и комбинација са понављањем те класе и комбинација са понављањем од од nn објеката објеката kk-те класе.-те класе.

Ова бијекција се просто реализује Ова бијекција се просто реализује одузимањем редом бројева 0, 1, ..., одузимањем редом бројева 0, 1, ..., kk − − 1 1 од комбинација без понављањаод комбинација без понављања

Комбинације са Комбинације са понављањемпонављањем

(1, 2, 3), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 5), (1, (1, 33, , 44), ), (1, (1, 33, , 55)),,

− − 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2

(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 3), (1, (1, 22, , 22), ), (1, (1, 22, , 33)),,

((11, , 44, , 55), ), ((22, , 33, , 44), ), ((22, , 33, , 55), ), ((22, , 44, , 55), ), ((33, , 44, , 55))..

− − 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 1 2

((11, , 33, , 33), ), ((22, , 22, , 22), (), (22, , 22, , 33), ), ((22, , 33, , 33), ), ((33, , 33, , 33))..

Рекурзивне комбинације Рекурзивне комбинације са понављањемса понављањем

procedure printp(var a : nizprocedure printp(var a : niz

k : integer);k : integer);

varvar

j : integer;j : integer;

beginbegin

for j := 0 to k - 1 dofor j := 0 to k - 1 do

write(a[j+1]-j:4);write(a[j+1]-j:4);

writelnwriteln

end; (* printp*)end; (* printp*)

procedure rpkombinacije(n, k : integer;procedure rpkombinacije(n, k : integer;


varvar

a : niz;a : niz;



beginbegin

if i = k+1 then if i = k+1 then

printp(a, k)printp(a, k)

else beginelse begin

a[i] := a[i-1];a[i] := a[i-1];

while a[i] < n + i - 1 do beginwhile a[i] < n + i - 1 do begin

a[i] := a[i]+1;a[i] := a[i]+1;

nadji(i+1)nadji(i+1)

endend

endend


beginbegin

if (1 <= n) and (1 <= k) and if (1 <= n) and (1 <= k) and

(k <= maxn) then begin(k <= maxn) then begin


a[0] := 0;a[0] := 0;

nadji(1)nadji(1)

endend

elseelse


end; (* pkombinacije *)end; (* pkombinacije *)

Варијације са Варијације са понављањемпонављањем

Лексикографским уређивањем Лексикографским уређивањем варијација са понављањем добија варијација са понављањем добија сесе следећи низследећи низ

111, 112, 113, 121, 122, 123, 111, 112, 113, 121, 122, 123,

131,131, 132, 133, 211, 212, 132, 133, 211, 212, 213, 213,

221, 222, 223, 231, 232, 233, 221, 222, 223, 231, 232, 233,

311, 312, 313, 321, 322, 323, 311, 312, 313, 321, 322, 323,

331, 332, 333.331, 332, 333.

procedure varip(n, k : integer);procedure varip(n, k : integer);

varvar

a : niz;a : niz;


beginbegin

i := 1;i := 1;

a[1] := 0;a[1] := 0;

while i > 0 do beginwhile i > 0 do begin

while a[i] < n do beginwhile a[i] < n do begin

a[i] := a[i] + 1;a[i] := a[i] + 1;

if i < k then beginif i < k then begin a[i+1] := 0;a[i+1] := 0; i := i + 1i := i + 1 endend else else print(a, k)print(a, k) end;end; i := i - 1i := i - 1 endendend; (* varip *)end; (* varip *)

Варијације са Варијације са понављањемпонављањем

Примена варијација са Примена варијација са понављањемпонављањем

for i1 := dgr[1] to ggr[1] dofor i1 := dgr[1] to ggr[1] do

for i2 := dgr[2] to ggr[2] dofor i2 := dgr[2] to ggr[2] do

. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

for ik := dgr[k] to ggr[k] dofor ik := dgr[k] to ggr[k] do

obrada(k, i1, i2, ..., ik);obrada(k, i1, i2, ..., ik);

Нека је процедура Нека је процедура obradaobrada само само испис индексаиспис индекса

procedure obrada(var k : integer;procedure obrada(var k : integer;

var indeks : niz);var indeks : niz);

varvar

j : integer;j : integer;

beginbegin

for j := 1 to k dofor j := 1 to k do

write(indeks[j]:4);write(indeks[j]:4);

writelnwriteln

end; (* obrada *)end; (* obrada *)

procedure indeksi(k : integer;procedure indeksi(k : integer;

var dgr, ggr, indeks : niz);var dgr, ggr, indeks : niz);

varvar


beginbegin

i := 1;i := 1;

indeks[1] := dgr[1] - 1;indeks[1] := dgr[1] - 1;


while indeks[i] < ggr[i] do beginwhile indeks[i] < ggr[i] do begin

indeks[i] := indeks[i] + 1;indeks[i] := indeks[i] + 1;

if i < k then beginif i < k then begin

i := i + 1;i := i + 1;

indeks[i] := dgr[i] - 1indeks[i] := dgr[i] - 1

endend

elseelse

obrada(k, indeks)obrada(k, indeks)

end;end;

i := i - 1i := i - 1

endend

end; (* indeksi *)end; (* indeksi *)

ПермутацијеПермутацијеНека су пермутације уређене лексикографски.Нека су пермутације уређене лексикографски.

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

2 6 5 8 7 4 3 1 2 6 7 1 3 4 5 82 6 5 8 7 4 3 1 2 6 7 1 3 4 5 8 Почев од краја пермутације, уочимо низ Почев од краја пермутације, уочимо низ

растућих елемената (8 7 4 3 1). растућих елемената (8 7 4 3 1). Назовимо овај низ крајњи низ.Назовимо овај низ крајњи низ. У крајњем низу уочимо први елемент (7) који У крајњем низу уочимо први елемент (7) који

је већи од елемента испред крајњег низа (5) је већи од елемента испред крајњег низа (5) и заменимо та два елемента (7 8 5 4 3 1).и заменимо та два елемента (7 8 5 4 3 1).

Напишимо добијени крајњи низ (8 5 4 3 1) Напишимо добијени крајњи низ (8 5 4 3 1) у обрнутом редоследу (1 3 4 5 8).у обрнутом редоследу (1 3 4 5 8).

Процедура за пермутације у Процедура за пермутације у лексикографском уређењулексикографском уређењу

procedure LexiPerm(n : integer;procedure LexiPerm(n : integer;


varvar

a : niz;a : niz;

i, j, k, pom : integer;i, j, k, pom : integer;

beginbegin

if (1 <= n) and (n <= maxn) then beginif (1 <= n) and (n <= maxn) then begin


for i := 1 to n dofor i := 1 to n do

a[i] := i; a[i] := i;

repeatrepeat

print(a, n);print(a, n);

k := n - 1;k := n - 1;

while (k > 0) and (a[k] > a[k+1]) dowhile (k > 0) and (a[k] > a[k+1]) do

k := k - 1;k := k - 1;

if k > 0 then beginif k > 0 then begin

j := n;j := n;

while a[k] > a[j] dowhile a[k] > a[j] do

j := j - 1;j := j - 1;

pom := a[k];pom := a[k];

a[k] := a[j];a[k] := a[j];

a[j] := pom;a[j] := pom;

i := (n - k) div 2;i := (n - k) div 2;

for j := 1 to i do beginfor j := 1 to i do begin

pom := a[k+j];pom := a[k+j];

a[k+j] := a[n+1-j];a[k+j] := a[n+1-j];

a[n+1-j] := poma[n+1-j] := pom

endend

endend

until k = 0until k = 0

endend

elseelse


end; (* LexiPerm *)end; (* LexiPerm *)

Рекурзивне Рекурзивне пермутацијепермутације

procedure rpermutacije(n : integer;procedure rpermutacije(n : integer;


varvar

a : niz;a : niz;



varvar

mesto, temp : integer;mesto, temp : integer;

beginbegin

for mesto := i to n do beginfor mesto := i to n do begin

temp := a[i];temp := a[i];

a[i] := a[mesto];a[i] := a[mesto];

a[mesto] := temp;a[mesto] := temp;

if i < n thenif i < n then

nadji(i + 1)nadji(i + 1)

elseelse

print(a, n);print(a, n);

temp := a[i];temp := a[i];

a[i] := a[mesto];a[i] := a[mesto];

a[mesto] := tempa[mesto] := temp

endend


beginbegin

if (1 <= n) and (n <= maxn) then if (1 <= n) and (n <= maxn) then

beginbegin


for i := 1 to n dofor i := 1 to n do

a[i] := i;a[i] := i;

nadji(1)nadji(1)

endend

elseelse


end; (* rpermutacije *)end; (* rpermutacije *)

Општи поступак Општи поступак претраживањапретраживања

Претходни алгоритми Претходни алгоритми

су углавном били специјални су углавном били специјални

случајеви решавања случајеви решавања следећег следећег

апстрактног проблема:апстрактног проблема:

У скупу свих могућих У скупу свих могућих n--торки, за произвољно торки, за произвољно n, треба , треба наћи скуп решења (бар једно наћи скуп решења (бар једно или све). или све).

При том се При том се n-торка -торка ((rr11,,rr22,...),,...), коначне, коначне, али неодређене дужине, назива али неодређене дужине, назива решење ако задовољава кретеријуме решење ако задовољава кретеријуме за проверу решења. Свака за проверу решења. Свака компонента компонента rrii припада коначном припада коначном скупу скупу SSii могућих елемената за ту могућих елемената за ту компоненту. Скупови компоненту. Скупови SSii могу за сваку могу за сваку компоненту бити различити.компоненту бити различити.

procedure backtrack;procedure backtrack;

varvar


beginbegin

i := 1;i := 1;

dopustiv(T[1], S[1], r);dopustiv(T[1], S[1], r);


while not prazan(T[i]) do beginwhile not prazan(T[i]) do begin

izaberi(r[i], T[i]);izaberi(r[i], T[i]);

izbaci(r[i], T[i]);izbaci(r[i], T[i]);

if proveriresenje(r) thenif proveriresenje(r) then

print(r);print(r);

i := i + 1;i := i + 1;

dopustiv(T[i], S[i], r)dopustiv(T[i], S[i], r)

end;end;

i := i - 1i := i - 1

endend

end; (* backtrack *)end; (* backtrack *)

procedure rbacktrack;procedure rbacktrack;

procedure proba(i : integer);procedure proba(i : integer);

beginbegin

dopustiv(T[i], S[i], r);dopustiv(T[i], S[i], r);

while not prazan(T[i]) do beginwhile not prazan(T[i]) do begin

izaberi(r[i], T[i]);izaberi(r[i], T[i]);

izbaci(r[i], T[i]);izbaci(r[i], T[i]);


print(r);print(r);

proba(i + 1)proba(i + 1)

endend

end; (* proba *)end; (* proba *)

beginbegin

proba(1)proba(1)

end; (* rbacktrack *)end; (* rbacktrack *)

Коришћење скупова није увек Коришћење скупова није увек погодно, јер ти скупови могу погодно, јер ти скупови могу бити врло велики. Како сваки бити врло велики. Како сваки коначан скуп може да се коначан скуп може да се линеарно уреди може се линеарно уреди може се претпоставити да су скупови претпоставити да су скупови SSii линеарно уређени. Тада је линеарно уређени. Тада је могуће алгоритам могуће алгоритам модификовати тако да се модификовати тако да се користи само најмањи елемент користи само најмањи елемент у скупу на следећи начин:у скупу на следећи начин:

procedure ebacktrack;procedure ebacktrack;

varvar


beginbegin

i := 1;i := 1;

a[1] := - maxint;a[1] := - maxint;

a[i] := nadjisledeci(a[i],S[i],r);a[i] := nadjisledeci(a[i],S[i],r);


while a[i] < granica[i] do beginwhile a[i] < granica[i] do begin

r[i] := a[i];r[i] := a[i];

a[i] := nadjisledeci(a[i],S[i],r);a[i] := nadjisledeci(a[i],S[i],r);


print(r);print(r);

i := i + 1;i := i + 1;

a[i] := - maxinta[i] := - maxint

a[i] := nadjisledeci(a[i],S[i],r) a[i] := nadjisledeci(a[i],S[i],r)

end;end;

i := i - 1i := i - 1

endend

end; (* ebacktrack *)end; (* ebacktrack *)

К Р А ЈК Р А ЈХвала на пажњиХвала на пажњи

ГЕНЕРИСАЊЕ ОСНОВНИХ КОМБИНАТОРНИХ ОБЈЕКАТА

Documents