第二章函数的作用

1

本章将学习函数的概念及有关知识，了解函数的用途。

第一步：弄清有关的基本概念，如常量、变量、定义域等等。

第二步：理解函数的实质——变量之间的对应关系。熟悉构成函数的要素——定义域、对应关系和值域。了解函数的表示法，如公式法、图像法、表格法。

第三步：了解函数的基本属性。如单调性、奇偶性、有界性、周期性。

本章将介绍用数学软件 Mathematic 作函数的图形。

第二章函数的作用

2

第二章函数的作用

§2-1 现实生活中的问题与函数的概念

§2-2 函数的特性

*§2-3 建立函数的模型

3

一、现实生活中的问题二、函数的概念三、基本初等函数四、简单函数五、复合函数

六、初等函数七、反函数八、函数的表示方式

九、用Mathematica画图


4

解：设圆柱形罐头盒的高为 h由题意得：


一、现实生活中的问题例 1 ．一听罐头盒要用多少铁皮某罐头厂要生产容积为 Vcm3 的圆柱形罐头盒，需要求出罐头盒表面积 S 与底半径 r 的关系 , 来计划使用铁皮的量。

hr2

r

h

rr

r

r

r

答：罐头盒表面积 S 与底半径 r 的关系是

hrV 2

rhrS 22 2

2r

Vh

02

2 rr

VrS

则得：

02

2 rr

VrS

5


例 2 ．钟表问题

我们知道钟表分针 1 小时走一圈 , 时针 1 小时走一个整点，因此，任意两个整点之间时针与分针都会重合，则时针与分针在 0-12 点内能重合 12 次 .

问题 : 这 12 次重合的时间各是多少 ?

若用 x 表示时针与分针重合的整点数， y 表示重合时的分钟数，你能表示出 y 与 x 的关系吗？

6

12

6

9 3

xy 分钟分针旋转角度

y 分钟时针旋转角度

时针每分钟转

5.0

6012

360

经过 y分钟后时针与分针重合

y分钟转 0.5y

660

360

y6

分针每分转

y分钟转x 小时时针旋转角度

x 小时 =60x 分钟x 小时转 0.5× 60x

7


5.0

6012

360y5.0

660

360y6

yyx 65.05.060

.5.5

30xy

解：由题意得 :

y分钟时针旋转

分针每分转 y分钟分针旋转

则有 :

即 :

x 小时 =60x 分钟

x 小时时针旋转　 0.5× 60x

时针每分钟转

8


x, y 的取值情况如下表 :

x 0 1 2 3 4 5

y 0 5.45 10.91 16.36 21.82 27.27

答：这 12 次重合的时间各是 0 点 ,1 点 5.45分 ,2 点 10.91 分 ,3 点 16.36 分等。

x 6 7 8 9 10 11

y 32.73 38.18 43.64 49.09 54.55 60

9


例 3 ．我国工薪人员应纳多少税根据中华人民共和国个人所得税法规定 : 个人工资 ,

薪金所得应纳个人所得税，应纳税所得额的计算为：工资、薪金所得，以每月收入额减除费用八百元后的余额，为应纳税所得额 . 最后列出下面的税率表：

个人所得税率表（工资、薪金所得适用）

10


级数全月应纳税所得额税率（ % ）

1 不超过 500 元的部分 5

2 超过 500 元到 2000 元的部分 10

3 超过 2000 元到 5000 元的部分 15

4 超过 5000 元到 20000 元的部分 20

5 超过 2000 元到 40000 元的部分 25

6 超过 4000 元到 60000 元的部分 30

7 超过 60000 元到 80000 元的部分 35

8 超过 80000 元到 100000 元的部分 40

9 超过 100000 元部分 45

11

故应纳税；100

10)2100(25 xy


当元时 , 纳税部分是 , 税率为 .1600x %521001600 x

所以 ;100

5)1600( xy

当元时 , 其中 1600 元不纳税 ,500 元应纳的税 . 即 ,

36002100 x %5

25100

5500

再多的部分 , 即按纳税 .2100x %10

按税法规定当元时 , 不必纳税， y=0.1600x

解：设其工资，薪金所得 x 元，应缴纳税款 y 元，即列出 y 与 x 之间的关系。

12


当元时 , 其中 1600 元不纳税 ,500 元应纳税 ,%566003600 x

1500 元应纳的税 , 即（元）； %10 150100

101500

依此可列出各部分y与x之间的关系。

再多的部分 , 即按纳税 .%153600x

故他应纳税款为 ; 100

15)3600(15025 xy

13


2. 确定函数的两个要素

二、函数的概念

1. 函数的定义

14


1 ．函数的定义

定义：设有两个变量 x 和 y ，若当变量 x 在实数的某

一范围 D 内任意取定一个数值时，变量 y 按照一定的规律

f 有唯一确定的值与之对应，则称对应规律 f 是 D上的函数

，有时也简称因变量 y 是自变量 x 的函数。

自变量因变量函数 f 的定义域

f(D)＝ {f(x)|x∈D} 称为函数的值域

。

记作 y=f (x) ， x∈D

15

xx

邻域：开区间称为以为中心，以为半径的邻域，简称为点的邻域，记为．

xx , 0 ,x

函数的定义域一般用区间或集合的形式表示，有时也用邻域表示．

x 邻域：开区间称为以为中心，以为半径的邻域，简称为点的邻域，记为．

xx , 0 ,x x

不包括中心点的邻域称为点的空心邻域，记为． ,x̂x

x

,x

xx x

,x̂

16


2 ．确定函数的两个要素

（2）定义域

（1

）对应规律

（ 3 ）相同函数的判断

17


如果同时研究几个不同的函数，即不同的对应规律，就必须用不同的记号加以区别，如 f ， g ， φ ， ψ ，…… 等等，有时为了简便起见，可用 y=y(x) 表示一个函数，这样 y 既代表对应规律又代表因变量 .

（ 1 ）对应规律

如 y = f( x ) （ x ∈D ），或 S= f( t ) （ t ∈D ） .

在没有其他含义时，表示同一函数 , 因为 y 的值由 x 在 D上所取的值通过 f 就能完全确定，所以常常省略 y ,而把一个函数简记为 f ( x ) ( x ∈D ） .

注意：

18


1)(3)(2)( 2 f

1)3(3)3(2)3( 2 f

472 2 xx

例 4 ．求上例中的 f (-3) ， f (x+1) 。

解：

自变量的平方乘以 2加自变量的 3倍减

1.

132)( 2 xxxf例 3 ．就是一个特定的函数

f 确定的对应规律为：

即对自变量实行的操作是：

8

1)1(3)1(2)1( 2 xxxf

19


（ 2 ）定义

域

（ b）如果该函数有实际背景，则它的定义域还要根据问题的实际条件来确定。

（ a）如果一个函数是由数学表达式给出，而定义域没有具体的规定，那么它的定义域就是使得函数在数学上有意义的自变量所取数值的全体。

20


（ⅰ）函数表达式的分母中是否含有自变量，考虑含自变量的分母不为零；

02,2

1)(

x

xxf如：

对于初等函数，可从以下几个方面考虑：

（ⅱ）函数表达式的开偶数次方中是否含有自变量，考虑含自变量的被开方式大于等于零；

02x3sin3,2x3sin3)x(f （如：）

21

如：


（ⅲ）函数表达式的对数符号 log 的真数中或底数中是

否含有自变量，考虑含自变量的真数大于零，含自变量的

底数大于零且不等于 1 ；

11

01

023

,)23(log)( 1

x

x

x

xxf x

k

2

( )ⅳ 函数表达式的正切符号 tan( ), 括号中的表达式是

否含有自变量 ,考虑含自变量的表达式不等于 ;

k

xxxf

22,

2tan)(如： , （ k 为整数

)

22


k

( )ⅴ 函数表达式的余切符号 cot( ) ，括号中的表达式中

是否含有自变量，考虑含自变量的表达式不等于 ;

kxx

xf 2

,2

cot)(如： , （ k 为整数

) ( )ⅵ 函数表达式的反正弦符号 arcsin( ),括号中的表达式中是否含有自变量，考虑含自变量的表达式大于等于 -1 小于等于 1;

1141,)14arcsin()( xxxf如：

23


（ⅶ）函数表达式的反余弦符号 arccos( ) ，括号中的表达式中是否含有自变量，考虑含自变量的表达式大于等于 -

1 小于等于 1 ；

111,)1arccos()( 22 xxxf如：

（ⅷ）对函数表达式进行以上七个方面的考虑后，列出不等式组，不等式组的解即为函数的定义域。

表示函数的定义域常用区间、集合两种方法 .

24


}43|{}23|{ xxxx

]4,3()2,3[ x

7

1x2arcsin

6xx

12

例 5 ．求函数的定义域。

17

121

06

062

2

x

xx

xx

4x3||2x3

4x3

2x||3x

3x,2x

解不等式组得：

所求函数的定义域是：

即

解：列出使函数在数学上有意义的不等式组：

25


0x

0x

（ 3 ）相同函数的判

断 2ln xy xy ln2例 6 ．与是不是相同的函数。2ln xy 解：的定义域为 :

xy ln2 的定义域为 :

两函数定义域不同 ,

xy ln22ln xy 与不是相同的函数。

26


|| xy 2xy 例 7 ．与是不是相同的函数。

所以与是相同的函数。2xy || xy

2xy || xy 解：与的定义域都是全体实数 R ，

且对应规律相同 ,

27


3 ．对数函数 y = loga x ( a > 0,且 a ≠ 1) ，定义域：

(0 ， +∞).

三、基本初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数．这五种函数统称为基本初等函数． 1 ．幂函数 y = xa ( a 为实数 ) ，该函数的定义域由常数 a 确定，该定义域总包含区间 ( 0 ，＋∞ ) .

2 ．指数函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) ，定义域

为： (–∞ ， +∞).

28


4 ．三角函数

正弦函数 y=sinx ，定义域为： (–∞ ， +∞)

余弦函数 y=cosx ，定义域为： (–∞ ， +∞)

正切函数 y=tanx ，定义域为：

余切函数 y=cotx ，定义域为：

正割函数 y=secx ，定义域为：

余割函数 y=cscx ，定义域为：

},2

|{ Zkkxx

},|{ Zkkxx

},|{ Zkkxx

},2

|{ Zkkxx

29


5 ．反三角函数

反正弦函数 y=arcsinx ，定义域为： [-1,1]

反余弦函数 y=arccosx ，定义域为： [-1,1]

反正切函数 y=arctanx ，定义域为： (–∞ ， +∞)

反余切函数 y=arccotx ，定义域为： (–∞ ， +∞)

30


由基本初等函数经过四

则运算所得到的函数。

五、复合函数

在实际问题中，我们常常遇到由

几个较简单的函数构成一个较为复杂

的函数的问题。

四、简单函数：

31


例 8 ．有一质量为 m 的物体，以初速度 v0竖直上抛

，在不考虑空气阻力的前提下，求物体上行过程中动能

E 与时间 t 的函数关系。

32

上式即为动能 E 与时间 t 的函数关系。

],0[,)(2

1 020 g

vtgtvmE

2

2

1mvE

解：由物理学知，如果物体的运动速度为 v, 则其动能 E

与速度 v 之间的函数关系为 ①

而竖直上抛运动物体在上行过程中的速度 v 与时间 t 之间

的函数关系为（其中 g 为重力加速

度）将②式代入①式，得

)0(0 vgtvv ②

33


1 ．定义：

)(xu )(ufy

))(( xfy

设函数的定义域为 U ，而函数的

定义域为 X , 值域为 U* ，并且 U* 包含在 U 内，那么

对于 X 中的每一个 x 经过中间变量 u ，相应地得到唯

一确定的一个值 y, 于是 y 经过中间变量 ,而成为的函

数，记为 , 这种函数称为复合函数．其中

x 称为自变量 , y 称为因变量 , u 称为中间变量 .

34


例 9 ．将下列函数 y 表示成 x 的复合函数 :xvvuey u 3,sin,(1

) xvvuuy cos,2,ln 2 (2) uey 解 :

(2)

(1)

注意：并非任意两个函数都能构成复合函数 .

能不能构成复合函数 , 只要看的定义域是否为非空集 ,若不为空集 ,则能构成复合函数 ,否则不能构成复合函数 .

))(( xfy

vesin )3sin( xe Rx ,

uy ln )2ln( 2v )cos2ln( 2 x Rx ,

35


uarcsiny 2x2u 例 10. 函数与能否构成复合函数 .

解 :

uy arcsin

22 xu

上述函数复合后定义域为空集 , 所以

与不能构成复合函数。

uy arcsin x,)2arcsin( 2x

36


把一个复合函数拆成几个简单函数的复合

例 11 ．分析下列复合函数的结构

解：（ 1 ）是由

13 xy

2.复合函数的结构分析：

13 xy （ 1 ）

复合而成的。

uy 1, 3 xu

37


解 :（ 3 ）是由

1sin 2 xey

2)1

(arcsinx

y (2)

1sin 2 xey(3)

（ 2 ）是由 2)1

(arcsinx

y 解 :x

v1

, vu arcsin, 2uy

复合而成的。

复合而成的。

vu sin, uey 1, 2 xwwv ,

38


bxexy x sin)1( 2

xxxy 53 logtan

六、初等函数定义：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成，并且能用一个式子表示的函数，叫做初等函数。

)0(2 acbxaxy例如：

凡不是初等函数的函数 ,皆称为非初等函数。

39


七、反函数定义 :

设给定 y 是 x 函数 y=f(x), x∈D, 若把 y 作为自变量 ,

x 作为函数 , 则由关系式 y=f(x) 所确定的函数 , y∈

f(D) 称为函数 y=f(x) 的反函数 ,而 y=f(x) 称为直接函数 .

习惯上总是用 x 表示自变量 ,而用 y 表示因变量 , 因此 ,

往往把改写成称为函数 y=f(x) 的矫形反函数 ,记作 y = f--1(x) 。所以 , 我们常称函数 y=f(x) 的反函数为直接反函数。

)( yx

)( yx )(xy

)( yx

40


例如： y=2x+1, y=sinx, y=ln(3x-1) 等 , 都是函数的公式法表示方式。

八、函数的表示方式函数至少可以用三种不同的常用方法来表示：公式法、表格法和图象法 .1 ．公式法：公式法是把一个函数通过指明运算的数学式子表示出来，依照它从自变量的值可以计算出因变量的对应值 , 其特点是精确、完整，便于理论上分析研究。

函数公式法有很多种表示形式（分段函数、隐函数、

参数方程）

41


例如 : 函数是一个分段函数 ,它的定义域是

1,2

10,)(

2

xx

xxxf

),0[ x

2)( xxf

如:例3。

定义：在自变量 x 的不同取值范围内，函数有不同的解析表达式，这样的函数叫做分段函数．

当时 , ),1( x

]1,0[x当时 ,

（ 1 ）分段函数

xxf 2)(

42


例 3 中的函数可表示为

101600,100

45)101600(800021625

10160081600,100

40)81600(70001462

8160061600,100

35)61600(60008625

6160041600,100

30)41600(50003625

4160021600,100

25)21600(3000625

216006600,100

20)6600(450175

66003600,100

15)3600(15025

36002100,100

10)2100(25

21001600,100

5)1600(

16000,0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

y

43


分段函数是函数公式法表示方式函数公式法表示方式，它是一个在

其定义域的不同部分用不同数学表示的不同部分用不同数学表示的函数 ,注意

分段函数不是由几个函数组成不是由几个函数组成 ,而是一个函数而是一个函数 ,只

不过是在定义域的不同部分用不同的数学表达式表

示 .

44


（ 2 ）隐函数前面所说函数 y可以用自变量 x 的关系式 y=f(x

) 表示，这种函数称为显函数，但是实际问题中有时会遇到另一类函数，例如等，是由一个含 x 和 y 的方程 F(x,y)=0 所确定的函数，这类函数称为隐函数 . 由含 x 和 y 的方程 F(x,y)=0所确定的函数，称为隐函数 .

222, Ryxxye yx

45


（ 3 ）由参数方程所确定的函数

定义：参数方程确定 x 与 y 的函数

关系，称为由参数方程所确定的函数。

例如 :斜抛运动方程为确定了 y 是 x 的函数 .

2

2

1gttvy

tvx

y

x

46


在实际中，常将一系列的自变量值与对应的函数值列成

表，如对数表、三角函数值表等，如此表示函数的方法叫

做函数的表格表示法，简称表格法。

表格法不但是为了应用上的便利，同时也避免了函数计

算中的麻烦，且可以表示不知道数学表达式时的函数 ,这

在自然科学与工程技术上是常用的。

2. 表格法 :

47


由直径 D 可以读出对应的 I 值 ,表格法的特点是简明方便 ,缺点是自变量的取值有限。

4437.032.027.022.019.016.03.262.962.652.342.031.831.63熔断电流 I(安 )

107.06.05.04.03.53.01.220.9150.8130.710.610.5590.508直径D

( 毫米 )

下表是常见的保险丝在不同直径时的熔断电流

例 12 ．保险丝的熔断电流和直径之间的关系

48


例 13. 在自动记录气压计中 , 有一个匀速转动的圆柱

形记录鼓 ,印有坐标方格的记录纸就裹在这鼓上 ,记录鼓

每 24 小时转动一周 ,气压计指针的端点装有一支黑水笔 ,

笔尖接触着记录纸 , 这样经过 24 小时之后 , 取下的记录

纸上就描画了一条曲线 , 这条曲线表示气压 P随时间 t变

化的函数关系 .

3 ．图像法：

49


例 14.下图的心电图 (EKG)显示两个人的心率摸式 ,一位正常 ,另一位不正常 ,尽管也可以构造一个心电图函数的近似公式 ,但很少这样做 ,这种重复出现的图形正是医生需要了解的 ,从图象上看这些重复图形远比从公式上看要容易的多 ,而每个心电图都把一个显示电流活动的函数表示为一个相对于时间的函数 .

50


九、用Mathematica画图 1. 显函数的图形作图命令： Plot[{函数 1 ，函数 2 ，函数 3…},{ 自变量

，自变量最小值，自变量最大值 }，参数 1-> 参数值 1 ，参数 2-> 参数值 2 ，… ]。

说明：在同一坐标系中输出一元函数 1 ，函数 2 ，……

的图象（曲线）。

51


例 15 ．在同一坐标系中画出

的图像 .

3

532 ,, xyxyxy

( 其输入输出情况如图2-1)

( 操作)

例题 :

52


图 2-1

其输入输出情况如图

53


例 16 ．作出的图像。x

ey

x

1

例题：（操作）

（其输入输出情况如图2-2）

54

图 2-2

其输入输出情况如图


55


例 17．作出函数的图形 .

1,2

10,)(

2

xx

xxxf

例题：（操作）

（其输入输出情况如图 2-3 ）

56


图 2-3

输入输出如图

57


2 ．由参数方程所确定的函数的图形

作图命令： ParametricPlot[{ 带参数函数 1 ，带参数函

数 2}， { 参数，参数最小值，参数最大值 }，操作参数 1->

操作参数值 1 ，操作参数 2-> 操作参数值 2 ，… ]

说明：在直角坐标系中输出由参数函数 1 ，参数函数 2 ，

所确定的函数图像（曲线）。

58


例 18．将一小球以初速度为 9米 / 秒，与水平方向的夹角为 45°的方向向上斜抛，画出小球运动的轨迹。（操作

）解：斜抛运动的参数方程为

2

2

1

4sin9

4cos9

gtty

tx

0y当时 ,

29877.1,0 tt解得

所以

]29877.1,0[t

由参数方程作图，其输入输出情况如图2-4

59


图2-4

60


注意事项：1. 例题中用到各种函数类型的作图函数

（ 1 ）普通方程作图 :“Plot[{函数 1, 函数 2, 函数 3…},自变量，自变量最小值 ,自变量最大值 },参数 1-> 参数值 1,参数 2-> 参数值 2,…]”, 如例15、例16、例17。

（ 2 ）参数方程作图 :“ParametricPlot[{ 带参数函数1,带参数函数 2},{ 参数 ,参数最小值 ,参数最大值 },操作参数 1-> 操作参数值 1,操作参数 2-> 操作参数值 2,…]”. 如例18。

61


2. 使用 <作图函数 >的软件时 , 注意灵活

应用操作参数 ( 查看帮助系统 ), 这样可以作

出更漂亮的图形 .

62

§2-1 现实生活中的问题与函数的概念 3 ．自定义函数

（ 1 ）不带附加条件的自定义函数定义函数的规则是 : 在 f[x_]:= 或 f[x_]=的后面紧跟一个

以 x 为变量的表达式，其中 x_称为形式参数。调用自定义函数 f[x_]时，只需用实在参数（变量和数值

等）代替其中的形式参数 x_即可。如果用“ f[x]=表达式”定义一个函数，那么这个规则仅对 x 成立，即 f[x]中的 x 不能用任何其他东西取代。在运行中可用“ f[x_]:=.”清除函数 f[x_]的定义，用“ Clear[f]”清除所有以 f为函数名的函数定义。

如例15就是先定义函数，再用 <作图函数 >作图 .

63


(2) 带附加条件的自定义函数 :

在使用“ f[x_]:=表达式”定义函数时 ,可以附加条件 ,附加条件放在表达式后面，通过“ /；”与表达式连接。其形式为 :“f[x_]:=表达式 /；条件” . 在调用函数 f[x_]时 ,实在参数必须满足附加条件，系统才调用函数。

（ 3 ）也可以用函数“Which[ 条件 1, 表达时 1,条件

2, 表达式 2,…]”自定义函数。如例15、例17。

64


（ 4 ）附加条件的表示：

“附加条件”经常写成用关系运算符连接着的两个表

达式，称为关系表达式。

关系表达式的一般形式为：

“<表达式 ><关系运算符 ><表达式 >”。

关系运算符有 :

“= =”（等于）、“ !=” (不等于 )、“ >” ( 大于 )、

“ >=”( 大于等于 )、“ <”(小于 )、“ <=”(小于等

于 ) 。

65


（ 5 ）多条件组合的表示：用一个关系表达式只能表示一个条件，如表示多个条

件的组合，必须用逻辑运算符将多个关系表达式组织到一起。

常用的逻辑运算符有 : “！”（非）、“ &&”(与 )、“ ||”(或 )。用逻辑运算符连接起来的表示判定条件的表达式为逻辑表达式。

66


逻辑表达式的值一般有三个：真、假、非真非假。

逻辑表达式的一般形式有：

(1)“<关系表达式 > <逻辑表达式 > <关系表达式 > <逻辑表达式 ><关系表达式 >”

(2)“<关系表达式 > <逻辑表达式 > <关系表达式>”(3)“< 逻辑表达式 >< 关系表达式 >”

67


一、函数的几种特性二、从解析式判断函数特性三、从图像中观察函数的特性

68


从图形中可以看到：图形有升有降，有的对称，有的呈周期变化规律，有的值域有限，这些反映出函数的几种特性：

周期性

单调性

奇偶性

有界性

69


Mxf )(I

I

M1 ．有界性 :

若存在正数使得在区间上 , 则称在上有界。

)(xf I设函数在某区间上有定义

有界函数的值域有限 , 其图像受限于两水平直线之间 .

xy sin ),( 1|sin| x如：在内有界，因为

70


若对于区间内任意两点 , , 当时 , 有

, 则称在上单调增加 ,区间称为单调增区间 ; 若

, 则称在上单调减少，区间称为单调减区间。

单调增区间或单调减区间统称为单调区间 .

)()( 21 xfxf

1x 2x

)(xf

I)()( 21 xfxf

)(xf

I

I

I

I

2. 单调性

21 xx

71

因为


在单调增加区间，函数图形从左至右向上走；在单调减少区间，函数图形从左至右向下走。

如：在内单调减少 , 在内单调增加 .2xy )0,( ),0(

)0,(, 21 xx ,且时 21 xx 22

21 xx ，有

所以在内单调减少；2xy )0,(

),0(, 21 xx ,且时 21 xx 22

21 xx ，有

所以在内单调增加。2xy ),0(

而

72


Ix

)()( xfxf

)(xf

)()( xfxf

I)(xf

设为关于原点对称的区间 , 若对于任意 , 都有

, 则称为偶函数；若 , 则

称为奇函数。

奇函数图像关于原点为对称；偶函数图像关于 y 轴为对称。

3. 奇偶性

73


是非奇非偶函数 .

3)( xxf

)()()( 33 xfxxxf

3

2

)( xxf

)()()( 3

2

3

2

xfxxxf

xexf )(

例如：

是奇函数 ,

),( x因为，

是偶函数 ,

),( x因为，

74


T Ix ITx )()( xfTxf )(xf

若存在不为零的数 , 使得对于任意 , 有且，则称为周期函数 ,通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。

周期函数的图像呈周期变化规律

4. 周期性

如：是以为周期的函数 , 因为基本初等函数中，三角函数都是周期函数

。

2

)cos()2cos( xx xy cos

75


5. 极值点 :

设函数在的某邻域内有定义 , 且对此邻域内任一点

，均有，则称是函数的一个极大值；同理，如果对此邻域内任一点，均有，则称是函数

的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

)(xf

)(xf 0x

)()( 0xfxf )( 0xf

)( 0xxx

)()( 0xfxf )( 0xf )(xf

)( 0xxx

76

如：


1)( 23 xxxxf

1x )1(f

)3

1(f

3

1x

其图形见图

0 图 2-8

是极小值。是极大值点，是极大值；

是极小值点，

77


三、从图像中观察函数的特性例 24. 用 Mathematica画出函数的图像 ,指出函数

具有哪些函数特性？ (操作）

xxy sin

解：函数的定义域为 ),(

用 Mathematica画图，其输入输出情况如图2-9

78


图 2-9

无界函数

偶函数

非周期函数

有无穷多个极大值

点和极小值点

79


从图中可以看出 :

1. 函数是无界函数 ;

2. 函数是偶函数 ;

3. 函数非周期函数；

4. 函数有无穷多个极大值点和无穷多个极小值点；

80


极值点可用Mathematica的

内置函数 FindMinimum[函数 , {x, x0}] 求出 ,

( 其中 x0 是极值点的估计值 ) 其输入输出

情况如图2-10.

（操作）

81


图 2-10

5. 在 (0,20)内单调

增加区间为 :

( 0 , 2.02876 )

∪( 4.91318 , 7.97867 )

∪( 11.0855 , 14.2074 )

∪( 17.3364 , 20 ) ;

单调减少区间为 :

( 2.02876 , 4.91318 )

∪( 7.97867 , 11.0855 )

∪( 14.2074 , 17.3364 )

82


注意事项 :

例题中用到了求极值函数“ FindMinmu

m[函数 ,{x,x0}].

( 其中 x0 是极值点的估计值 ).

第二章 函数的作用

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第二章函数的作用