課程名稱課程名稱：：速率與速度速率與速度課程名稱課程名稱：：速率與速度速率與速度

編授教師：中興國中 楊秉鈞

速率與速度

速率與速度的意義 速率與速度： （ 1 ）意義：

速率： 與時間的比值＝速率 只描述物體運動的快慢，不包括方向，非向量。

速度： 與時間的比值＝速度 可描述物體運動的快慢及方向，為向量。

路徑

位移

t

LV

時間路徑

速率

t

XV

時間位移

速度

時間運動的長度運動快慢

速率與速度的單位 速率與速度： （ 2 ）單位：

常見單位：

單位換算： 10 cm / s ＝ m / s 。 90 Km / h ＝ m / s

時間單位長度單位 : 單位

t

XV

) hrKm ( 小時

公里 ) sm ( 秒

公尺 ) scm ( 秒

公分

0.1

25

sm

s

m

s

m25

18

590

3600

100090

1hr

1Km90 hr

Km 90

sm

hrKm

185

518

速率與速度的方向性 速率與速度： （ 3 ）方向性： 說明例：若物體運動，費時 t 秒：（ t2 － t1 △＝

t ）

0 AX BX

甲 乙

運動路徑 甲 → 乙 乙 →甲 甲 → 乙 → 甲路程（m ）位移（m ）

所花時間（ s ） t t t

速率（m/s ）

速度（m/s ）

方向性：速率無方向；速度的方向，與 的方向相同 速度＞ 0 ：表示朝 向運動 速度＜ 0 ：表示朝 向運動 速度＝ 0 ： 。

位移為零

正負

AB XX

AB XX ＞ 0AB XX

BA XX ＜ 0

)(2 AB XX

AA XX ＝ 0

t

XX AB

t

XX AB ＞ 0

t

XX AB

t

XX BA ＜ 0

t

XX AB 2

t

XX AA ＝ 0

位移

起點終點位移 XXX

速率與速度的比較 速率與速度： （ 3 ）速度的方向性： 比較： 二物體若速度相等，其速率必相等且運動方向必相同。 二物體若速率相等，其速率必相等但運動方向不一定相同。

甲、乙兩車：速度 ；速率 。

丙、丁兩車：速度 ；速率 。

乙

甲h

Km60

hKm60

丙h

Km60

丁h

Km60

相等 相等 相等不相等

方向相同

大小相等

範例解說1. 小王和家人於大坑登山步道健行，他幫爸爸計時，測得爸爸上山 的速率為 2.0 公里／小時，下山的速率則為 3.0 公里／小時，則： 爸爸往返此登山步道一趟的平均速率為何？ 公里／小時。 爸爸往返此登山步道一趟的平均速度為何？ 公里／小時。

hrKm

XX

XXXXL

4.2

652

32t

V

速率

0t

0

t

XV

度速

假設山路 X Km

X

X

2.40

barVreadV :

範例解說 2. 如圖為一時鐘，秒針長 15cm ，則當秒針由 3 的位置走到 6 的位置期間： 針尖的平均速率為何？ cm ／ s 。 針尖的平均速度為何？ cm ／ s ，方向 。

1.57

scm

L

57.115

153.140.5

15

r/4215t

V

四分之一個圓周長速率

scm2

15t

XV

215速度

2

速度對時間圖V－t

速度對時間圖 習慣以速度當 ，時間當 。 （ 1 ）物體靜止時： X-t 圖形呈 。 V-t 圖形呈 。 說明例：一物體的位置與時間關係如下表

位置 5 5 5 5 5 5

時間 0 1 2 3 4 5

靜止時的 V-t 圖特徵Y 軸

X 軸

落在 t 軸的水平線

013

55

01

55V

........34

34

12

12

n

n

t

X

tt

XX

tt

XX

t

X

X

5

t t

V

0

水平線

速度對時間圖： （ 2 ）物體等速運動時： X-t 圖形呈 。 V-t 圖形呈 。 說明例一：一物體的位置與時間關係如下表 位置 -1 0 1 2 3 4

時間 0 1 2 3 4 5

X

t

V

t

X-t 圖是向右的斜直線時 V 是正值的等速運動

等速運動的 V-t 圖特徵

斜直線

s

mt

X

tt

XX

tt

XX

t

X

n

n 113

02

01

0V

...1

....34

34

12

12

水平線（但不落在 t 軸上）

速度對時間圖： （ 2 ）物體等速運動時： X-t 圖形呈 。 V-t 圖形呈 。 說明例二：一物體的位置與時間關係如下表

等速運動的 V-t 圖特徵

斜直線水平線（但不落在 t 軸上）

位置 0 － 2 － 4 － 6 － 8 － 10

時間 0 2 4 6 8 10

X-t 圖是向左的斜直線時 V 是負值的等速運動

s

mt

X

tt

XX

tt

XX

t

X

n

n 12802

V

...2802

....34

34

12

12

X

t

V

t-1

速度對時間圖： （ 3 ）物體變速運動時： V-t 圖呈 或 。

其中 V-t 圖 斜直線為 運動

變速運動的 V-t 圖特徵斜直線 曲線（拋物

線 .. ）

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

等加速度

等加速度運動加速度運動

（變速）

V 漸增

V 由 0 漸增，再減少，又增加

V 由0 ， 漸增

V 漸減

V 漸增

V 由 0 ，漸增

V 漸減

V 漸減至 0 ，再漸增

V 由 0 ，漸增

等加速度運動

加速度運動

物體有折返的特徵 速度對時間圖： （ 4 ）物體折返的特徵： 或 的方向改變，即表示物體有折返情形 X-t 圖的折返特徵：呈 。 V-t 圖的折返特徵：呈 。

位移 速度位移方向變號（轉折）速度方向（或位移）變號時

X

t

V

t

t’t’

在 t’ 時刻，折返

在 t’ 時刻，折返

＋－

－

＋＋－

＋

速度對時間圖： （ 5 ） V-t 圖形與時間軸所夾的面積：面積的大小＝ 。 面積大小為正值時：表示位移 0 ，朝 向運動 面積大小為負值時，表示位移 0 ，朝 向運動 面積大小為零值時，表示位移 0 ， 。

V-t 圖下的面積意義

＋

位移＞ 正＜ 負＝ 無位移

kV

t

t

-k

V

tt

kV

t

t

ktX

－

ktX

＋k

V

t

b

t

2

)( tbkX

2

ktX

速度對時間圖的特徵： （ 1 ）物體 時 ：呈水平線且落於 t 軸 （ 2 ）物體 運動時：呈水平線 （ 3 ）物體 運動時：呈斜直線或曲線 其中 V-t 圖 斜直線為等加速度運動 （ 4 ）速度對時間圖的折返特徵：速度有 時。 （ 5 ）速度對時間圖下的面積＝ 。（指與 t 軸所夾的面積） （ 6 ）速度對時間圖的交點意義：表此時間下，二物體 相同。

V-t 圖的特徵靜止

等速度變速

變號位移

速度

V

（如：丙）（如：甲、乙、丁）（如：乙、丁）

VV

t’

VV

t’

VV

t’

VV

t’

延伸討論 t’ 時間下的位移

甲X

乙X

丙X

丁X

圖（一） 圖（二）

範例解說1. 圖（一）是甲運動過程的 X-t 圖與圖（二）是乙運動過程的 V-t 圖，則：

甲在運動過程中折返 次。 乙在運動過程中折返 次。

2. 元祐參加直線折返跑比賽，如圖是他比賽過程中速度與時間關係圖，則： （ ）在元祐比賽過程中，他跑步速度的方向總共改變幾次？ 　（ A ） 3 　（ B ） 4 　（ C ） 5 　（ D ） 8 。 若起跑點與折返點相距 15 公尺， 則他在比賽過程中共跑了幾公尺？ 公尺。

3

2

A

60

＋ － ＋ － ＋ ＋－

等速度運動

等速度運動 等速度運動： （ 1 ）同義詞：等速運動＝等速度運動＝等速度 運動 （ 2 ）意義： 是物體以 的方式運動，是 、 相等的運動 等速度運動的運動軌跡必為 。

（ 3 ）比較： 等速運動 等速率運動 等速率運動 為等速度運動

等速度 速率 方向

必為不一定

直線

A

B

等速度運動

等速率運動

直線

等時距下，間距相同。 直線軌跡。

方向不同 等時距下，間距相同。

等速度運動 等速度運動： （ 4 ）常見關係圖： 等速運動的平均速度 瞬時速度，速度處處相等。 位移＝ × 。

＝速度 時間 VtX

X

t

X

t

t

V

t

V

tVX

tVX

0....t-t

X-X

t

XV

12

12

0....t-t

X-X

t

XV

12

12

範例解說1. 某物體作等速度直線運動，其位置與時間的關係圖如圖所示，則： 此物體的速度為 公尺／秒。 圖中的時間軸之「？」值為若干秒？ 秒。 此物體的位置（ x ）與時間（ t ）的關係式為何？ 。

sm5

0-2

10-20

t

XV

5

sec5

50-t

25

0-t

10-35

t

XV

t

t

5

105

5202

10100

20,210,0

tX

aba

bba

batX

代入

X ＝ 5t ＋10

速度＝平均速度 （ in any Δt ）

範例解說2. 如附圖中沿直線運動的甲、乙二質點，其 X 與 t 的關係圖如下，則 ： t ＝ 3 秒時，甲、乙相距若干公尺？ 公尺。 乙車是否能追上甲車？ 。

sm4

0-1

0-4

t

XV

甲

sm1

0-2

0-2

t

XV

乙

mVtX 1234 甲

mVtX 331 乙

12m

3m 9m

9 否

範例解說3. 圖為甲乙兩車的位置與時間關係圖，則： 甲車作 運動，速度 m/s 。 乙車作 運動，速度 m/s 。 請將 X-t 圖改畫成 V-t 圖。 兩車出發後第 5 秒，兩車相距 公尺。

sm10

0-1

0-10

t

XV

甲

sm10

0-1

0-10-

t

XV

乙

等速 等速

10 -10

100

平均速度 與瞬時速度

平均速度與瞬時速率： （ 1 ）平均速度：可表示物體在行進的過程當中的約略之快慢及方向。 甲曲線為 運動：其平均速度 瞬時速度。 乙直線為 運動：其平均速度 瞬時速度。 當 Δt 為一段時間時， V 稱 ，其大小稱 。

平均速度

平均速度

12

12

tt

XX

t

XV

1...35

35

01

01

t

XV乙

＝≠

X

t

甲

乙

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

變速等速

.5212

35.5 2-1

t

XV甲

.....

5.0-68

87 8-6

t

XV

平均速率

平均速度與瞬時速率： （ 2 ）瞬時速度：指物體在行進的過程當中任一時刻的快慢及方向。 當 Δt 為極小瞬間時， V 稱 ，其大小稱 。 如何求出甲在 t1 時刻下的瞬時速度（簡稱 ）

瞬時速度

瞬時速度

X

t1t 2t

1X

2X

甲

丙12

1221

tt

XX

t

XV

割線乙

1

12t'1

'

tt

XX

t

XV

切線丙

當過 t1 的割線，逐漸使△ t

極小時，丙線成為過 t1 的切線 故甲在 t1 時刻下的瞬時速度， 等於丙切線的瞬時速度。 X-t 圖任一點的切線斜率，可表 示為該時刻的瞬時速度

速度

極小

瞬時速率

乙

Δt 趨近極小

瞬時速率與平均速率的比較

＝＝

瞬時速率

12

12

t-t

X-X

t

XV

0t

（ 3 ）瞬時速率與平均速率的比較： 若 t 與 t1 重合，直線 L 的速率即表示物體在 t1 時刻的 。 曲線 AB 兩點間的平均速率 直線 L1 的速率。 曲線 AB1 兩點間的平均速率 直線 L2 的速率。

瞬時速率示意圖

車子的里程錶

道路的速限交通標誌

起點 終點

1000 公尺0 公尺

500 公尺

1. 龜兔賽跑，其 X-t 圖如圖： 不計起點與終點，龜與兔中途相遇 次。 兔子總共休息 次：第一次在 ，休息了 分鐘。 第二次在 ，休息了 分鐘。

範例解說3

2 松樹下 20 草坪上 15

X-t 交點 相遇

300 m

1000 m

起點 終點

1000 公尺0 公尺

500 公尺

1. 龜兔賽跑，其 X-t 圖如圖： 先到終點，用了 分鐘走完全程，領先對手 分鐘，且 領先 公尺。 全程都作等速率運動的是誰？ 。平均速率＝ m/s 。

範例解說烏龜 50 5

1200m

200

sm

m

t

XV

4.060

24

min24050

01200

烏龜 0.4

X-t 斜直線 等速

1. 龜兔賽跑，其 X-t 圖如圖： 求出兔子在下列時間的平均速率？ 0～ 5 分鐘的平均速率＝ m/s 。 25～ 35 分鐘的平均速率＝ m/s 。 50～ 55 分鐘的平均速率＝ m/s 。 0～ 25 分鐘的平均速率＝ m/s 。 20～ 50 分鐘的平均速率＝ m/s 。 0～ 55 分鐘的平均速率＝ m/s 。

範例解說

1

12

12

t-t

X-X

t

XV

1.170.67

0.20.39

0.36

回家作業

找 Δt ，對應的位移 ΔX 。

2. 下圖為小尹沿一直線運動的速度和時間關係圖，則： 她在 10分鐘內的位移為多少公尺？ m 。 她在 10分鐘內的路程為多少公尺？ m 。 0～ 6 分鐘的平均速率＝ m/min 。 0～ 10 分鐘的平均速率＝ m/min 。 0～ 10 分鐘的平均速度＝ m/min 。

範例解說

1

28

44 6

4.42.8

36 m

36 m

－ 8 m

－ 8 m

時間位移

時間路程

速度速率 VV ;

X

mX 28836 mL 44836

範例解說3. 當沖天炮一飛沖天時，速度與時間關係圖如圖，若以向上的速度為正： 沖天炮何時開始下降？第 秒。 沖天炮最高飛到多高？ m 。 第八秒時，沖天炮是否已落在地面上？ 。

5

mX 5.12552

11

12.5

mX 5.7532

12

否，正在下落中，在離距地面 5 m高處。

7.5m12.5m

2X

1X

5 m

V 變化( 正轉負

)

＋

－

範例解說4. 將以下 X-t 圖，轉換成 V-t 圖：

V

t

甲、乙

V

t＋

－

範例解說4. 將以下 X-t 圖，轉換成 V-t 圖：

V

t

甲

乙

＋

－

V

t

＋

－

2：

1

1：

1

smV /2010

020100

smV /12040

2004020

課程結束