1

改进教学设计 , 提高学生的高层次数学思维能力

鲍建生

华东师范大学数学系jsbao@math.ecnu.edu.cn

一、问题的提出一些研究认为：• 中国学生善于解决问题，但不善于提出问题；• 中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数学问题；• 中国学生缺少批评性思维和创新意识；• 中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？

你同意上述观点吗？

（相关研究： Brenner, Herman, Ho, & Zimmer, 1999; Cai, 1995, 1997, 1998, 2000; Gu, 1997; Miura et al., 1988; Stevenson, Lee, Chen, & Lummis, 1990; Stigler & Perry, 1988; Wang, J and Lin, E., 2005 ）

存在的问题

数学认知水平测试 17 年前后比较（青浦实验“新世纪行动”研究小组， 2008）

研究聚焦

如何提高学生的高层次数学认知能力？

4

二、研究思路

1. 分析框架2. 基本假设3. 现状调查4. 聚焦课堂5. 实验设计

5

1 、分析框架

概念界定

水平模型

分类模型

因素模型

指标体系

过程模型

布卢姆认知领域教育目标分类

7

动词层面

新 版 （ Anderson,et al,2001）

事实知识（ Factual Knowledge ）

概念知识（ Conceptual Knowledge ）

程序知识（ Procedual Knowledge ）

元认知知识（ Metacognitive Knowledge ）

知识维度(Knowledge

Dimension ）

旧 版 （ Bloom,1956）

名词层面

评价（ Evaluation ）

综合（ Synthesis ）

分析（ Analysis ）应用（ Application ）

了解（ Comprehension ）知识（ Knowlodge ）

创造（ Create ）

评价（ Evaluate ）分析（ Analyze ）应用（ Apply ）

理 解 （ Understand）

记 忆 （ Remember）

认知过程维度（ Cognitive process Dimension ）

威尔逊的目标分类（ 1989）

8

水平 类别 指标A 计算 A1 ：具体事实的知识；

A2 ：术语的知识；A3 ：实施算法的能力．

B 领会 B1 ：概念的知识；B2 ：原理、规则、通则的知识；B3 ：数学结构的知识；B4 ：把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力；B5 ：延续推理思路的能力；B6 ：阅读和解释问题的能力．

C 运用 C1 ：解决常规问题的能力；C2 ：做出比较的能力；C3 ：分析已知条件的能力；C4 ：识别格局、同型性和对称性的能力．

D 分析 D1 ：解决非常规问题的能力；D2 ：发现关系的能力；D3 ：构造证明的能力；D4 ：批评证明的能力；D5 ：形成和证实通则的能力．

QUASAR的目标分类（ Stein & Smith, 1998 ）

9

低水平任务 高水平任务记忆型任务

包括对已学过的事实、法则、公式以及定义的记忆重现或者把事实、法则、公式和定义纳入记忆系统．使用程序不能解决，因为不存在某种现成的程序或因为完成任务的限定时间太短而无法使用程序．模糊——这种任务包括对先前见过的材料的准确再现以及再现的内容可以明白而直接地陈述．与隐含于已学过的或再现的事实、法则、公式和定义之中的意义或概念无任何联系．

无联系的程序型算法化．程序的使用要么是特别需要，要么明显基于先前的教学、经验或对任务的安排．成功完成任务需要的认知要求有限．对于应做些什么和如何做几乎是一目了然．与隐含于程序之中的意义或概念无任何联系．更强调得出正确答案而不是发展数学的理解．不需要解释或需要的解释仅仅是对解题程序的描述．

有联系的程序型为了发展对数学概念和思想的更深层次理解，学生的注意力应集中在程序的使用上．暗示有一条路径可以遵循（显性地或隐性地），这种路径即是与隐含的观念有密切联系的、明晰的、一般性程序．常用的呈现方式有多种（如可视图表、学具、符号、问题情景）．在多种表现形式之间建立起有助于发展意义理解的联系．需要某种程度的认知努力．尽管有一般的程序可资遵循，但却不能不加考虑地应用．为了成功完成任务和发展数学的理解，学生需要参与存在于这些程序中的观念．

做数学需要复杂的、非算法化的思维．（即任务、任务讲解、或已完成的例子没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径借鉴）．探索和理解数学观念、过程和关系的本质．对自己的认知过程自我调控．启用相关知识经验，并在任务完成过程中恰当使用．要求学生分析任务并积极检查对可能的问题解决策略和解法起限制作用的因素．需要相当大的认知努力，也许由于解决策略不可预期的性质，学生还会有某种程度的焦虑．

青浦实验的目标分类

10

1

10

F2

F1

分析

运用领会

概念

计算

数学教学目标分类四层次架构

11

较低认知水平 较高认知水平

① 计算——操作性记忆水平

② 概念——概念性记忆水平

③ 领会——说明性理解水平

④ 分析——探究性理解水平

高层次数学认知能力的评价指标

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1. 发现并形成合适的数学问题：从各种情境中发现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适的数学问题；

2. 特殊化与一般化：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；

3. 解决非常规的和开放性的数学问题；4. 数学建模：分析出条件和结论间主要关系或重

点步骤；形成假设或初步的数学模型；5. 严格的数学推理与证明。

2 、基本假设

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从目前国内外已有的研究结果来看，影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个：

1. 学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动（如 Huntley, Rasmussen, Villarubi, Sangtong, & Fey, 2000; Stein, Smith, Henningsen, & Silver, 2000; Thompson & Senk, 2001; Reys, Reys, Lappan, & Holliday, 2003 ）；

2. 针对高认知层次数学任务的教学策略（ Golkar, 2003; Hiebert, et al., 1997; Meyer, 2003; NCTM, 2000, 1991; Silver & Smith, 1997; Van de Walle, 2004 ）。

3 、现状调查

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存在的问题：课程因素

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4分析水平8%

3领会水平45%

2概念水平32%

1计算水平15%

1计算水平2概念水平3领会水平4分析水平

教材题目认知水平归类统计图（华师版的八年级）

中英期望课程的探究水平（鲍建生， 2002 ）

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

识记 理解 探究

英国中国

中美初中数学课程在数学认知水平上的差异

数学认知水平

0. 00%

20. 00%

40. 00%

60. 00%

80. 00%

计算 概念 领会 分析

中国新加坡

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存在的问题：课堂教学1.小步子：学生缺少数学探究的机会

2.赶进度：学生缺少数学探究的空间

3.套题型：学生缺少数学探究的意识

4.重技巧：学生缺少数学探究的策略

5.看分数：学生缺少数学探究的动力

6.牵着走：学生缺少数学探究的氛围

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存在的问题：解题教学

1.教师只管自己讲，学生：①不理解；②不动脑筋；③缺乏兴趣

2.过分强调对题型的死记硬背；3.过分强调解题的技巧，不重视通性通法；4.简单问题复杂化；5.题量太大，教师蜻蜓点水，学生一知半解；6.对解题过程缺乏回顾和总结；7.没有做到举一反三。

4 、聚焦课堂

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课堂

教

学

教学设计

教学行为

典型事件

教学机智

认知过程

教学设计

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教学设计

目标分析目标分析

学情分析学情分析

任务分析任务分析

背景分析背景分析

导入设计导入设计

问题设计问题设计

情境设计情境设计

活动设计活动设计

5 、实验设计实验周期： 3 年，每年一轮。实验的基本假设是：

高认知水平的数学任务

针对高水平任务的有效的教与学方式

改进学生在高认知水平数学任务上的表现

实验设计： （ 1 ）日常教学的渗透；（ 2 ）活动课；（ 3 ）课外长作业。

研究方法：（ 1 ）提升、保持、下降课堂教学数学认知水平的因素分析；（ 2 ）教学案例分析；（ 3 ）数学认知水平测试；（ 4 ）跟踪访谈；等。

实验班：实验学校的全体学生；

对比班：实验学校参与实验前的同年级学生。

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三、预研究• 教师问卷调查

学生数学认知水平的现状 影响学生数学认知水平的因素 提高学生数学认知水平的策略

• 学生认知水平的测试 ( 五个方面单独测试 )• 教学案例分析

任务设计 ; 认知分析 ; 教学策略 .

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预研究：教学任务设计

1. 发现问题、提出问题的能力2. 折纸中的数学3. 一次方程组的应用4. 一题多解5. 探究勾股数6. 模式构建7. 林福来提供的案例

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什么是“好的”数学任务一个好的数学任务必须：

1.是容易接受的（不需要大量的技巧）2.有多种解题方法（或者至少有多种思路）3.蕴涵了重要的数学思想（好的数学）4.不故设陷阱 (通性通法 )5.可以进一步开展和一般化（导致丰富的数学探索活动） ——匈菲尔德， 1994

有些数学是具有开创性的，有发展的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐变成一种游戏了。

——陈省身， 2004

1 、发现问题与提出问题

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案例 1 ：茅以升教学法 每次上课的前十分钟，茅以升先指定一名学生，让他就前次学习课程提出一个疑难问题，从学生所提问题的深浅，可知他对课程的领会程度，以及自己是否作过深入的钻研和探讨。问题提得好，或教师都不能当堂解答的，给提问学生打满分。如提不出问题，则由另一学生提问，前一学生作答。

著名教育家陶行知先生曾亲自带领教育科学生来听茅以升的课，对他的教学方法评价很高，认为“这的确是个崭新的教学上的革命，是开创了我国教育的一个先例，值得推广”。

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老师我们在课前通过预习，基本掌握了一些关于函数奇偶性的知识，看看大家有没有发现什么问题呢，现在把它提出来，我们一起来讨论讨论吧。

2xy 2xy 2xy

1. 有奇函数，有偶函数，那么有没有既奇又偶的函数呢？

2. 想知道奇偶函数运算结果的奇偶性3. 奇偶函数可不可以是分段函数呢？4. 对奇偶函数的定义域有没有要求呢？5. 怎么判断一个函数是奇偶函数呢？如果只验证一个只值满足定义能不能判断这个函数的奇偶性呢？

6. 正比例函数是一个奇函数，我想知道那么一般的一次函数呢？我们学过的二次函数呢？

7. 常值函数是不是奇函数或者是偶函数呢？

8. 奇偶函数在结构上有什么特征呢？

案例 2 ：函数的奇偶性学生提出的问题

2 、折纸中的数学

30

案例 1 ：正方形折纸

如图１、图２所示，一张正方形纸片 ABCD，将 B折至 AD的中点 E，折痕为 FG．将 C折至 AD的中点 E，ML为折痕．你能得到哪些结论？

K

H

EA D

B C

F

G

图 1

N

P

EA D

B C

F

M

L

G

图２

1. △ AEF的边长之间的关系为勾 3、股 4 、弦 5．

2. △ AEF 、△ DKE 、△ HKG相似．

3. DK : DC = 2:3．4. GH : DC = 1:8．5. HK 的长度等于△ DKE 的内切圆半径．

6. FM : AB = 1:2．7. EN : NP = 5:3．

结论

案例 2 ： TIMSS操作性测试

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给你 9张白纸，一把剪刀和一个信封。你的任务是：用剪刀剪出下面给定的图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀：

要得到下面的图形，在不实际折叠的情况下，想象一下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出最后剪的这一刀：

案例 3 ：等腰三角形的三线合一

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3 、一次方程组的应用

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聪明的牧场主

15

12

11

牧场主麦克每周轮换使用他的三个相邻的牧场．为了省钱，他运用所学的数学知识设计了三个合用的门，如图，每两扇门都能恰好关住一个牧场．

一个具有灵气的基础案例上海 51 中学一毕业生在和平饭店发

现在地下室通向 10 层楼三根导线的电阻不同。如何测量？

cxz

bzy

ayx

,

,

他想到解联立方程

4 、一题多解：等腰三角形的判定

证明等腰三角形的判定定理：有两个内角相等的三角形是等腰三角形 .

A

B C

第 1 步：利用情境变式激发探究兴趣

A

原題

已知：∠ B = C, ∠

求证： AB = AC.

情境性变式：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的∠ B 和 ∠ C ）相等的三角形是等腰三角形” . 但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的∠ C和边 BC. 请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？

B C

第 2 步 : 学生独立探究

问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗

方法 1 ：量出 ∠ C的大小 ; 作 ∠ B ＝∠ C; 则∠ B 的一条边和∠ C 的一条边的延长线交于点 A.

方法 2 ：作边BC 的垂直平分线与∠ C 的另一边的延长线交于点 A.

方法 3 ：如图，将长方形纸片对折使点 B 和点 C 重合，找到∠ C 与折痕的交点 A

第 3步：证明定理学生自己发现的不同证法：：

证法 2 ：过 A 作 AD垂直于 BC, 证明 △ ABD ACD≌ △

证法 5 ：证明 △ ABC ACB≌ △证法 4 ：（反证法）： 假设 AB>AC, 那么 ∠ C > B.∠

证法 1 ：作∠ A 的平分线，然后证明：△ ABT ACT≌ △

錯誤 !

证法 3 ：过 A 作 BC边上的中线，证明：

ABM ACM

解题三部曲

原始问题

通过改变条件或结论得到多种变式

问题

一题多变

用多种方法解决问

题一题多解

将解法运用于多种情形

一法多用

5 、探究勾股数

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第一步：列出一些简单的勾股数组（ 3 ， 4 ， 5 ），（ 5 ， 12 ， 13 ），（ 6 ， 8 ， 10 ），（ 7， 24 ， 25 ），（ 8 ， 15 ， 17 ），（ 9 ， 40 ， 41 ），（ 10， 24 ， 26 ）， -------第二步：寻找规律

1. 整数乘以勾股数仍然是勾股数2. 在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个数 a 是奇数，那么弦等于大的一个数加 1 ，并且 a可以从 3 开始，取遍所有奇数

3. 在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个是偶数，那么弦等于大的一个数加 2

4. 在互质的勾股数组中，弦是奇数5. 在互质的勾股数组中，勾股中的偶数与弦之和是一个平方

数6. 任意一组互质的勾股数都可以表示为 （ |m2 — n2| ， 2mn ， m2 + n2 ）

6 、模式构建1. 如图是一个边长为 3 的大立方体，它由 27 个单位立方体组成，将大立方体的六个面都涂上同一种颜色，分别求恰有 1 面涂色、 2 面涂色、 3 面涂色以及没有被涂色的小立方体的个数；

2. 如果是一个边长为 4 的立方体呢？3. 如果是一个边长为 5 的立方体呢？4. 如果是一个边长为 n的立方体呢？

812× （ n - 2

）

6× （ n - 2 ） 2

（ n - 2 ） 3

8365427

824248

81261

n…543

3面涂色

2面涂色

1面涂色

0面涂色

7 、高认知层次的数学活动 ( 林福来 )

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四、研究目标

1. 构建涉及高层次数学认知能力的问题系列；

2. 提炼促进学生高层次数学认知能力的教学策略。

45

46

高认知水平保持的七个要素

①给思维和推理搭“脚手架”；② 为学生提供元认知方法；③示范高水平的操作行为；④ 维持对证明、解释或意义的强调；⑤任务建立在已有知识基础上；⑥在概念间建立联系；⑦适当的探索时间。

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高认知水平下降的六个因素

①情境问题常规化，教师包办代替；② 重点转移到追求答案的正确、完整，不注重意义、理解、概念获得等方面；③时间过多或过少；④ 课堂管理问题；⑤给学生的任务不恰当，指向不明；⑥教师对学生低层次结果或过程迁就。

从经验中学习

青浦实验（如变式教学） GX 实验 基本图形分析法 上海育才的“读读、议议、练练、讲讲 " （段力佩 ）

李庾南“自学、议论、引导”教学法

孙维刚的 “结构教学法” 邱学华的“尝试教学法” 馬明、陳振宣、赵宪初、吳正

宪、杨象富等大批的名师和不知名的优秀教师

挖掘和提炼优秀的教学经验 梳理国内外的学习理论研究成果

解释

理论模型研究课题研究方法

新的模型

建构

谢 谢 ！网站 : 数学教育研究论坛

网址 : maths.teacherclub.com.cn/