• Геометријска тела - разни полиедри, лопте, купе и друга, вековима су збуњивали математичаре кроз историју због своје тродимензионалности и комплексности. Највећу скупину геометријских тела чине полиедри, али постоји само 5 врста правилних полиедара. • То су тетраедар (са 4 стране), коцка (са 6 страна), октаедар (са 8 страна), додекаедар (са 12 страна) и икосаедар (са 20 страна). Стране ових тела најчешће су троуглови, а могу бити и квадрати (код коцке) и петоугаоници (код додекаедра).

Разне врсте полиедара поређаних по броју својих

страна

Правилни полиедри

Тетраедар (4 стране)

Коцка (6 страна)

Октаедар (8 страна) Додекаедар (12 страна)

Икосаедар (20 страна)

Квадар

Квадар је геометријско тело омеђено са шест међусобно нормалних правоугаоних површи. Ове површи се деле на три пара међусобно наспрамних, паралелних и једнаких површи, које се могу описати са три дужине a, b и c (c је некад означено и са h). Ове три дужине се још редом зову ширина, дужина и висина квадра.Специјалан случај квадра коме су све ивице једнаке се зове коцка.

ФормулеСледи преглед чешће коришћених формула квадра:

Површина

Запремина

Мале дијагонале

Велика дијагонала

Коцка

Коцка (грч. хеxáедрон - тело са шест површина; код нас хексаедар) је један од пет правилних полиедара. Омеђена је са шест квадратних површи спојених тако да образују тело са дванест дужи и осам темена.Коцка је специјалан случај квадра коме су све странице једнаке.

ФормулеСледе неке од чешће коришћених формула које се везују за коцку.

Површина

Запремина

Мала дијагонала

Велика дијагонала

Некада се мала дијагонала обележава са d а велика са D. Овде је мала обележена са d1, а велика са d2, да би се избегла вишезначност са теменом D.

Пирамиде

• Пирамиде су геометријска тела са троугластим страницама које се се сусрећу у једној тачки на врху.

• Египатске пирамиде за основу имају квадрат и називају се квадратне пирамиде. Попречни пресек такве пирамиде такође је квадрат.

• Он се добија када се пирамида пресече попречно и паралелно са основом.

• Тетраедри су слични пирамидама, али они имају четири троугласте странице (3 стране и основа) једнаке величине и троугласти попречни пресек.

Пирамида може бити правилна или неправилна. Правилна пирамида је она код које основу чини правилан многоугао.

Пирамида, такође, може бити права или коса. Права пирамида је она код које се пројекција темена на основу поклапа са тежиштем основе.

Површина пирамиде једнака је збиру површина основе и страница. Основа може бити било који многоугао, док су странице заправо троуглови.

Површина пирамиде се израчунава: , где је: M - површина омотача , B -

површина основе Запремина пирамиде се рачуна по

формули: ,

где је: B - површина основе , H - висина пирамиде

Ваљак или цилиндар

Ваљак или цилиндар (од грчке речи kýlindros — котрљати, ваљати) је конвексно геометријско тело. Може се дефинисати помоћу једне елипсе и дужи у простору. Уколико се једно теме дате дужи постави у центар дате елипсе, а елипса непрекидно умножава дуж ње, добијено тело ће бити управо ваљак. При том су радијуси ове елипсе такође радијуси ваљка, дужина дате дужи је дужина изводнице ваљка, а растојање између равни којима припадају две најудаљеније елипсе висина ваљка. Права којој припада дата дуж се назива оса ваљка. Елипса од које је развој тела кренуо се назива база ваљка. Површ која ограничава ваљак, када му се одузму две елипсе са центрима у теменима дате дужи, се зове омотач ваљка.

Уколико је оса ваљка нормална на базу ваљка, тело се зове прави ваљак, код кога су дужине изводнице и висине једнаке. У супротном се ради о косом ваљку, чија је изводница увек дужа од висине. Зависно од тога да ли је база права елипса или круг, ваљак се зове елиптични, односно кружни ваљак.

Површина ваљка (P) се одређује као збир површине омотача ваљка и двострука површина његове базе. Површина омотача се одређује као производ дужина обима базе и изводнице ваљка. Општа формула за површину ваљка гласи:

при чему P(B) представља површину базе, а P(M) површину омотача ваљка. Површина омотача је већ описана као:

Запремина ваљка (V) се одређује као производ површине базне елипсе и висине ваљка. Њена општа формула би гласила:

где B представља површину базе, а h висину ваљка.

Купа или конус

Купа (или конус) је геометријско тело. Може се дефинисати као геометријско место тачака које чине све дужи између елипсе, која се налази у једној равни, и тачке, која се налази изван те равни. Ова елипса се још назива база купе, а тачка њено теме.

Права која пролази кроз теме и центар базе купе се назива њеном осом. Уколико је ова права и нормална на базу купе, купа се назива правом. У супротном се ради о косој купи.

Растојање између темена купе, и његове пројекције на раван базе купе се назива висином купе.

Свака дуж која спаја теме и неку од ивичних тачака базе се назива изводницом купе.

Код праве купе све изводнице имају једнаку дужину, док код косе купе постоје највише две изводнице са истом дужином.

Површина купе Површина купе се увек рачуна као збир површина њеног омотача и њене базе. Омотач купе је скуп свих дужи које спајају теме купе са ивицом основице купе. У случају да је база круг, његова ивица би била кружница.

Покривени угао се према пуном кругу (тј. 2π) односи као обим базе купе према обиму круга са полупречником s, што би дало следећи израз:

Површина базе је површина круга полупречника r, што износи Sb = r²π.

Збир ове две вредности даје површину купе:

S = So + Sb = rsπ + r2π = rπ(s + r)

Запремина купеЗапремина купе се увек може представити као трећина производа површине њене базе са растојањем темена од равни у коме се налази база. Ово растојање се још зове и висина купе.

Пример може бити кружна купа код које је Pb = r²π. Из претходног израза следи да је запремина ове купе:

Запремина косе и праве елиптичне купе се разликује само у бази: