初中数学九年级 上册( 苏科版 )

§1.3.1 平行四边形的性质

　平行四边形

对边平行边

{ 角

对角线

{ 对边相等对角相等

互相平分

在表格相应的空格内打“√”（课本 13 页）

定理： 平行四边形的对边相等 ;

平行四边形的对角相等 ;

平行四边形的对角线互相平分．

要想证明 AB=CD ， AD=BC ，

只需证∠ BAC=∠DCA ，或∠ BCA=∠DAC ．

怎么想 怎么写

只要证△ ABC≌△CDA ，

A D

B C

已知：如图，在　 ABCD 中．求证： AB=CD ， AD=BC ．　

　证明：平行四边形的对边相等．

证明 : 连结 AC.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD ， AD∥BC ．∴ ∠BAC=∠DCA ，∠ BCA=∠DAC ．在△ ABD 和△ DCA 中， ∠BAC=∠DCA ( 已证 ) ， AC=CA ( 公共边 ) ， ∠BCA=∠DAC ( 已证 ) ．∴△ABC≌△DCA (ASA) ．∴AB=CD ， AD=BC( 全等三角形的对应边相等 ) ．

A D

B C

已知：如图，在　 ABCD 中．求证： AB=CD ， AD=BC ．　

试证明 平行四边形的对角相等 .

A D

B C

试证明 ：平行四边形的对角线互相平分．

要想证明 AO=CO ， BO=DO ，怎么想 怎么写

只要证△ AOB≌△COD或△AOD≌△COB,

已知：如图，在　 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ． 求证： AO=CO ， BO=DO ．　

A D

B C

O

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD ， AD∥BC ( 平行四边形的定义 ) ， AB=CD ( 平行四边形的对边相等 ) ．∴∠1=∠2 ，∠ 3=∠4 ．在△ AOB 和△ COD 中， ∠1=∠2( 已证 ) ， AB=CD( 已证 ) ，∠3=∠4( 已证 ) ，∴△AOB≌△COD(ASA) ．∴AO=CO ， BO=DO( 全等三角形的对应边相等 ) ．

已知：如图，在　 ABCD 中， AC,BD 相交于点 O ． 求证： AO=CO ， BO=DO ．　

A D

B C

O１

２３４

定理 平行四边形的对角线互相 平分． 　　

定理 平行四边形的对角相等．

定理 平行四边形的对边相等．

A D

B C

已知：如图，在　 ABCD 中．求证：∠ A=∠C ，∠ B=∠D ．　

证明 :∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD ， AD∥BC ．∴ ∠B+∠C=180° ， ∠ A+∠B=180° ．∴ ∠A=∠C ．同理可得，∠ B=∠D ．

已知：如图，在　 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ． 求证： AO=CO ， BO=DO ．　

要想证明 AO=CO ， BO=DO ，

只需证 AB=CD ，

怎么想 怎么写

只要证△ AOB≌△COD ，

A D

B C

O

只需证△ ABC≌△CDA ．

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD ， AD∥BC ．∴∠1=∠2 ，∠ 3=∠4 ．在△ ABC 和△ CDA 中， ∠1=∠2( 已证 ) ， AC=CA( 公共边 ) ，∠3=∠4( 已证 ) ，∴△ABC≌△CDA(ASA)∴AB=CD ( 全等三角形的对应边相等 ) ．在△ AOB 和△ COD 中， ∠1=∠2( 已证 ) ， AB=CD( 已证 ) ，∠3=∠4( 已证 ) ，∴△AOB≌△COD(ASA) ．∴AO=CO ， BO=DO( 全等三角形的对应边相等 ) ．

A D

B C

O１

２３４

AB=CD

要证 BE =DF ，只需证△ ABE≌△CDF ．只需证 AB =CD ， AE =CF ． ∠A=∠C ．

怎么想 怎么写

　　已知：如图，在 ABCD 中， E ， F 分别是 AD ， BC 的中点． 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　求证： BE=DF ．

例题

C

EＡ

Ｂ

D

F

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ( 平行四边形的对角相等 ) ，AB=CD ， AD=BC ( 平行四边形的对边相等 ) ．∵ Ｅ， F 分别是 AD ， BC 的中点，∴ AE= AD ， CF= BC ．∴ AE=CF ．∴△ABE≌△CDF(SAS) ．∴BE=DF( 全等三角形的对应边相等 ) ．

1

2

1

2

C

EＡ

Ｂ

D

F

拓展一

C

Ａ

Ｂ

DE

ＦF

Ｅ

　　如果 AE= AD ， CF= BC ， BE 与 DF

相等吗？

1

3

1

3

　　如果 AE= AD ， CF= BC ， BE 与 DF

相等吗？

1

4

1

4

　　如果 AE= AD ， CF= BC ， BE 与 DF

相等吗？

1

n

1

n

E

Ｆ

　　已知：如图，在 ABCD 中， 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　求证： BE=DF ．

拓展二

C

Ａ

Ｂ

D

　 BE∥DF ．

F

Ｅ

　　　　　　　　　　　　　　　 E ， F 分别是 AD ， BC 的中点．

　

C

Ａ

Ｂ

D

F

Ｅ

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD ( 平行四边形的对边相等 ) ．∵BE∥DF ，∴ 四边形 BEDF 是平行四边形( 平行四边形的定义 ) ．∴BE=DF( 平行四边形的对边相等 ) ．

例 2 、如图，在□ ABCD 中，点 E ， F 在对角线 AC 上，且 AE=CF ．请你以点 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并证明它和图中已有的某一线段相等（只需证明一组线段相等即可）．（ 1 ）连结 _________ ．（ 2 ）猜想： ______=______ ．（ 3 ）证明：

小试身手　　　　已知：如图， ABCD 的对角线 AC ， BD

相交于点 O ，过点 O 的直线与 AD ， BC 分别相交于点 E ， F ．　　求证： OE=OF ．

A D

B C

O

E

F

要证 OE =OF ，只需证△ AOE≌△COF或△ DOE≌△BOF ．只需找两个三角形全等的条件．

怎么想 怎么写

　　已知：如图， ABCD 的对角线 AC ， BD相交于点 O ，过点 O 的直线与 AD ， BC 分别相交于点 E ， F ．　　求证： OE=OF ．

A D

B C

O

E

F

A D

B C

O

E

F

　　已知：如图， ABCD 的对角线 AC ， BD相交于点 O ，过点 O 的直线与 BA ， DC 的延长线分别相交于点 E ， F ．　　求证： OE=OF ．

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ( 平行四边形的对角线互相平分 ) ， AD∥BC ．∴∠OAE=∠OCF ．在△ AOE 和△ COF 中， ∠OAE=∠OCF ( 已证 ) ， AO=OC( 已证 ) ， ∠AOE=∠COF( 已证 ) ，∴△AOE≌△COF (ASA) ．∴OE=OF( 全等三角形的对应边相等 ) ．

小试身手　　

1 ．判断题（对的在括号内填“∨”，错的填“ ×” ） （ 1 ）平行四边形两组对边分别平行；（ ） （ 2 ）平行四边形的四个内角都相等；（ ） （ 3 ）平行四边形的相邻两个内角的和等于 180° ；（ ） （ 4 ）如果平行四边形相邻两边长分别是 2cm 和3cm ，那么周长是 10cm ；（ ） （ 5 ）在平行四边形 ABCD 中，如果∠ A=35° ，那么∠ B=55° ；（ ）

2 ．平行四边形的周长为 30 ，两邻边的差为 5 ，则其较长边是 ____ ____ ．※3 ．在□ ABCD 中， AC=10 ， BD=6 ，则边长AB ， AD 的可能取值为（ ）．（ A ） AB=4 ， AD=4 （ B ） AB=4 ， AD=7 （ C ） AB=9 ， AD=2 （ D ） AB=6 ， AD=2※4 ．平行四边形一边长为 12cm ，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）．（ A ） 8cm 和 14cm （ B ） 10cm 和 14cm （ C ） 18cm 和 20cm （ D ） 10cm 和 34cm

　　已知：如图，直线 a∥b ， AB∥CD ． 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　求证： AB=CD ．

得出结论 :

夹在两条平行线间的平行线段相等．

Ａ

b

a

B

C

D

E

F

…

　　已知：如图，直线 a∥b ， AB∥CD∥EF ． 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　求证： AB=CD=EF ．

学有所获

　　研究四边形问题常用的思考方法－－将四边形问题转化为三角形问题．

性质定理

平行四边形的对边相等

平行四边形的对角相等

平行四边形的对角线互相平分