行列式的计算是一个重要的问题 ,也是一个很麻烦的问题 .对于n阶行列式 ,当n很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算

几乎是不可能的 . 为此有必要对行列式的性质进行研究 , 从而简化行列式的计算 .

记 11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

D

a a a

11 21 1

12 22 2

1 2

n

nT

n n nn

a a aa a a

D

a a a

TD 为行列式 D的转置行列式 .

1.3 行列式的性质

称行列式

性质 1 行列式与其转置行列式相等 , 即

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

D

21

22212

12111

21

22221

11211

性质 2 互换行列式的两行 ( 列 ) 元素 , 则行列式变号 .

推论 1 若行列式中某两行元素对应相等 , 则行列式的值为零 .

性质 3 行列式某行元素都乘以数k 等于用 k乘以行列式 ,即

nnnn

inii

n

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

k

aaa

kakaka

aaa

21

21

11211

21

21

11211

推论 2 由性质 3知若行列式中某行 (列 )元素含有公因数k可以将数 k提到行列式外 .

, 则

推论 3 若行列式的某两行 ( 列 ) 元素对应成比例 , 则此行列式的性质 4 若行列式的某一行 ( 列 ) 是两组数之和 , 则这个行列式可

值为零 .

以写成两个行列式的和 , 即

nnnn

inii

n

nnnn

inii

n

nnnn

ininiiii

n

aaa

bbb

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

bababa

aaa

21

21

11211

21

21

11211

21

2211

11211

此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式 .

k倍加到另外一行 (列 )的对应元素上去 , 行列式的值不变 . 即

11 12 111 12 1

1 1 2 21 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2

nn

i j i j in jni i in

j j j j j j

n n nn n n nn

a a aa a a

a ka a ka a kaa a a

a a a a a a

a a a a a a

性质 5 把行列式中某行 ( 列 ) 元素的

D的值 ,其中

3402 2430 0132 5231

D

解 :

3402 2430 0132 5231

D

2 1

4 1

2

2

1 3 2 5 0 3 5 10 0 3 4 2 0 6 8 13

r r

r r

4 2

3 2

2

1 3 2 5 0 3 5 10 0 0 1 12 0 0 2 7

r r

r r

4 22

1 3 2 5 0 3 5 10 0 0 1 12 0 0 0 17

r r

5117)1()3(1

例 6 计算行列式

例 7 计算行列式D的值 ,其中

2111 1211 1121 1112

D

解法一 : 分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第一行得1 2 3 4

2 1 1 1 5 5 5 5 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

51 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2

r r r r

D

2 13 1

4 1

1 1 1 1 0 1 0 0

5 50 0 1 0 0 0 0 1

r rr r

r r

2 13 1 4 2

4 12

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1 3 0 0 1 4

r rr r r r

r rD

4 3

1 1 1 2 0 1 0 1

50 0 1 1 0 0 0 5

r r

例 8 计算行列式D的值 ,其中

解法二 : 利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得

1 2 4 1 1 3 2 1 2 1 3 2 0 5 6 2

D

2 1

3 12

1 2 4 1 1 2 4 1 1 3 2 1 0 5 6 2

02 1 3 2 0 3 5 0 0 5 6 2 0 5 6 2

r r

r rD

D的值 ,其中2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

( 1) ( 2) ( 3)( 1) ( 2) ( 3)( 1) ( 2) ( 3)( 1) ( 2) ( 3)

a a a ab b b b

Dc c c cd d d d

解 :

例 9 计算行列式

( 1) 加到后一列上去得2

2

2

2

2 1 2 3 2 52 1 2 3 2 52 1 2 3 2 52 1 2 3 2 5

a a a ab b b b

Dc c c cd d d d

再将第三列乘以 加到第四列上去，第二列乘以 ( 1)( 1)

第三列上去得 2

2

2

2

2 1 2 22 1 2 22 1 2 22 1 2 2

a ab b

Dc cd d

性质可得 .0D

解 : 把前一列乘以

加到

由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的

ijM

定义 6 在 n 阶行列式 nD中划去元素 ija 所在的第 i行和第 j

列的元素 , 剩下的( 1) ( 1)n n

1n 阶的行列式 ,称为元素 ija 的余子式 ,

ijM . 对 冠以符号 ji )1( 后称为元素 的代ija

数余子式 ,记为 ijA ,即ij

jiij MA )1(

1.5.1 余子式与代数余子式1.5 行列式按行（列）展开

个元素按原来的排法构成一个记作

引理 设 D是一个 n 阶行列式，如果其中第 i行所有元素除 ija

外都为零，那么这个行列式的值等于 ija 乘以它的代数ijA ，即余子式

ij ijD a A

积之和 , 即ininiiii AaAaAaD 2211 ),2,1( ni

njnjjjjj AaAaAaD 2211 ),2,1( nj

这个定理称为行列式按行 ( 列 ) 展开法则．

1.5.2 行列式按行（列）展开

定理 1 行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘

3 1 1 2 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3

D

例 10 算行列式D的值 ,其中

解： 1 3

4 3

23 3

3 1 1 2 5 1 1 1 5 1 1

5 1 3 4 11 1 3 1 1 ( 1) 11 1 1

2 0 1 1 0 0 1 0 5 5 0

1 5 3 3 5 5 3 0

c c

c cD

2 11 3

5 1 16 2

6 2 0 1 ( 1) ( 6) ( 5) 2 ( 5) 405 5

5 5 0

r r

例 11 计算行列式D 的值，其中a b a b

D b a b aa b a b

解：

2 1

3 1

1 1 1 1 0 02( ) 2( )

c c

c ca b b a b a a b b a a b

a b a b a b b a

22( ) 2( )[ ( )]a a b

a b a b a b a bb a

2 22( )( )a b a ab b

1 2 32 2 2 2 2 2

r r ra b a b a b a b a b

D b a b a b a b aa b a b a b a b

D 为

2111 2413 1021 3111

D

求 242221 32 AAA 的值 .解 : 242221 32 AAA 为行列式

2111 2413 1032 3111

1

D

按第二行的展开式 ,因此 242221 32 AAA 的值等于行列式 1D

例 12 设行列式

而

1 4

2 4

22 4

1 3

1 1 1 3 7 10 1 3 7 10 1

2 3 0 1 0 0 0 1 ( 1) ( 1) 1 5 4

3 1 4 2 1 5 4 2 5 7 1

1 1 1 2 5 7 1 2

c c

c cD

1 3

2 34

2 3 02 3

21 33 0 [2 ( 33) 3 ( 21)] 321 33

5 7 1

r r

r r

因此 :

332 242221 AAA

推论 n 阶行列式的D的任意一行 (列 )的各元素与另一行 (列 )

对应元素的代数余子式乘积之和等于零 , 即02211 sninsisi AaAaAa

或02211 nsnjsjsj AaAaAa

n

kjkik ji

jiDAa

1 0或

n

kkjki ji

jiDAa

1 0

作为定理 1 的推论 , 我们有：

2

2

9132513232213211

)(

x

xxf

0)( xf

2

22

32

2

33121312

00110001

9132513232213211

)(13

12

14

x

x

x

xxf

cccc

cc

)4)(1(3

4312031200110001

22

2

2)31( 34

xx

x

xcc

0)( xf

2,1 21 xx

例 13：设多项式 .试求 的根.解法一：

解得 的解为：

59,12 22 xx －或0)( xf 2,1 21 xx 0)( xf)(xf

解法二：由性质 2推论 3知，当 时，，故 为 的根。为由于 x 0)( xf的 4次多项式，因此，只有 4个根。

现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题 . 在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形 .

定理 2 如果线性方程组11 1 12 2 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

(1)

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

1.4 克莱姆法则1.6.1 克莱姆（ Cramer ）法则

的系数构成的行列式0

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

D

那么线性方程组 )1( 有解 ,并且解是惟一的 ,解可以由下式给出DD

xDD

xDD

x nn ,,, 2

21

1

其中 jD 是行列式D 中第 j 列换成方程组的常数项 nbbb ,, 21而得到的行列式 . 此定理称为克莱姆法则 , 克莱姆法则主要解决方程个数与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又是非常特殊、非常重要的方程组 .

例 14 解方程组1 2 3 4

1 2 4

2 3 4

1 2 3 4

2 5 8,3 6 9,

2 2 5, 4 7 6 0.

x x x xx x x

x x xx x x x

解 : 方程组的系数行列式

027

6741212060311112

D

81

6740212560391118

1

D 108

6 7012 15060911 182

2

D

27

6041252069311812

3

D 27

0741512090318112

4

D

所以方程组的唯一解为 :1,1,4,3 4321 xxxx

.

由克莱姆法则得 :

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0,0,

0

n n

n n

n n nn n

a x a x a xa x a x a x

a x a x a x

0

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

D

那么它只有零解 .

定理 3 如果齐次线性方程组

的系数构成的行列式

1.4.2 克莱姆法则的推论定理 4 若非齐次线性方程组无解或有多个解，则其系数

0D 行列式 推论 :如果齐次线性方程组有非零解 ,则它的系数行列式0D

例 15 为何值时 , 方程组

1 2

1 2

0,0

x xx x

有非零解 . 解： 由以上推论知 , 当齐次线性方程组有非零解时它的系数行列式 0D , 即

.

.

011

1 2

所以 1 .不难验证 ,当 1 时方程组确有非零解 .

0)1(0)3(2042)1(

321

321

321

xxxxxxxxx

111

1210)3)(1(30

111132421

D

例 16 问 取何值时，齐次线性方程组

有非零解？

解： 由以上推论知 , 当齐次线性方程组有非零解时它的系数行列式 0D , 即

111)2(00

110)3(

1111210

110)3(

)2)(3()2(00

110111

)3(

0D 32,0 或 32,0 或由 得 .不难验证，当时，该齐次线性方程组有非零解 .