Основні методи розв ’ язування тригонометричних...
DESCRIPTION
Основні методи розв ’ язування тригонометричних рівнянь. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Основні методи розв’язування
тригонометричних рівнянь
Мультимедійний підручник розкриває поняття тригонометричного рівняння та
всі основні способи розв’язання тригонометричних рівнянь. Він допоможе
вчителям математики при викладанні теми тригонометричні рівняння і нерівності ” в
10класі , а також учням 10-го класу підготуватися і до ДПА та ЗНО з
математики .Данний матеріал повністю відповідає діючій програмі з математики
(академічний рівень)
Роботу виконали : Панченко Марина та Педан Поліна
учениці 10 класу ліцею природничо-наукового навчання
м. Жовтих Вод. Керівник проекту:
Шкаран Ніна Іванівна- вчитель математики вищої категорії
Означення тригонометричних рівнянь.
Рівняння, які містять змінну під знаком тригонометричної функції, називається тригонометричним.
Як правило, розв’язування тригонометричного рівняння зводиться до розв’язування
рівняння виду sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a,
які називають найпростішими тригонометричними рівняннями.
22.04.23 4
Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
Z∈nn, πarcctgaxR,∈aa,ctgx
Z,∈nn, πarctgaxR,∈aa,tgx
Z∈n1),(2n πx1,cosxn, π2x1,cosxn, π2
πx0,cosxЗокрема,
Z∈nn, π2arccosax1,≤aa,cosx
Z∈nn, π22
πx1,sinxn, π2
2
πx1,sinxn, πx0,sinxЗокрема,
Z∈nn, πarcsina(-1)x1,≤aa,sinx n
I.Рівняння, алгебраїчні відносно однієї з тригонометричних функцій.
Приклад 1. Розв’язати рівняння cos2x+3sinx=2Розв’язання:
Враховуючи, що cos2x=1-2sin2 x,дістаємо 1-2sin 2x+3sinx-2=0,тобто 2sin 2x-3sinx+1=0. Нехай sinx=t, тоді рівняння 2t 2 -3t +1=0 маємо розв’язки t=1 та t=|1/2.Отже,sinx=1, або sinx=1/2. Звідси, x= Zn,2
2 n
Znnx n ,6
)1(
Рівняння,які зводяться до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних
функціїПриклад 2. Розв’язати рівняння
8
2cossincossin 33 xxxx
.∈,416
)1-(
,4
)1(4
,2
24,
8
24sin
4
1
,8
22cos2sin
2
1
,8
2)cos(sincossin
1
1
22
Zkk
x
kx
xx
xx
xxxx
k
k
Відповідь:
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння 2sin²x-7sinx+3=0 Розв'язанняНехай sinx=t, де |t|≤1, тоді одержемо: 2t²-7t+3=0t1=3 – не задовольняє умову |t|≤1;t2=½.Отже, t2=½ маємо sinx=½, тох=(-1)ⁿ arcsin½ +Пn, nЄZ;х=(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ.Відповідь:(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ
Приклад 4. Розв'язати рівняння cos²x+3sinx=2 Розв'язання:1- 2sin²x+3sinx-2=0;2sin²x-3sinx+1=0;Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді 2t²-3t+1=0;t1=1 або t2=½Отже, sinx=1 або sinx=½.Звідси x=П/2 +2Пn, nЄZ або x=(-1)ⁿ П/6+Пn,
nЄZ.
Відповідь:П/2 +2Пn, nЄZ; (-1)ⁿ П/6+Пn, nЄZ.
Приклад 5. Розв'яжіть рівняння cos2x-5sinx-3=0; Розв'язання1-2sin²x-5sinx-3=0;2sin²x+5sinx+2=0; Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді2t²+5t+2=0;t1=-2 – не задовольняє умову |t|≤1;t2=-½
Ζn,Ïn6Ï
-1)(:³äïîâ³äü
Ζn,Ïn6Ï
-1)(x;21
-xsin,Îòæå
1n
1n
∈
∈
+
+==
+
+
II.Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою формул і
розкладанням на множникиПриклад 6. Розв'яжіть рівняння 2sinxcos2x-1+2cos2x-sinx=0; Розв'язання:Згрупуємо додатки в лівій частині рівняння:(2sinxcos2x-sinx)+(2cos2x-1)=0;sinx(2co2x-1)+(2cos2x-1)=0;(2cos2x-1)(sinx-1)=0;2cos2x-1=0; cos2x=½; 2x=±П/3+2Пn, nЄZ;
x=±П/6+Пn, nЄZ sinx=-1; x=-П/2+2Пk,kЄZ; x=-П/2+2Пk, kЄZ;
x=-П/2+2Пk, kЄZ;Відповідь: ±П/6+Пn, nЄZ; -П/2+2Пk, kЄZ.
Приклад 7. Розв'яжіть рівняння 2cosxcos2x=cosx; Розв'язання: cosx(2cos2x-1)=0;cosx=0; x= П/2+Пn, nЄZ; x= П/2+Пn,
nЄZ;2cos2x-1=0; cos2x=½; x=±П/6+Пk,
kЄZ.
Відповідь: П/2+Пn, nЄZ; ±П/6+Пk, kЄZ.
Приклад 8.Розв'яжіть рівняння cos²x+cos²2x+cos²3x+cos²4x=2; Розв'язання:Скористаємося формулами пониження степеня:
4+ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0;(cos2x+cos8x)+(cos4x+cos6x)=0;2cos5xcos3x+2cos5xcosx=0;2cos5x(cos3x+cosx)=0;2cos5x2cos2xcosx=0;cos5x=0, x= П/10+ Пn/5, nЄZ; cos2x=0, x= П/4+ Пk/2, kЄZ; cosx=0 , x= П/2+ Пm, mЄZ;Відповідь: П/10+ Пn/5, nЄZ; П/4+ Пk/2, kЄZ; П/2+ Пm, mЄZ.
;2=2
x8cos+1+
2x6cos+1
+2
x4cos+1+
2x2cos+1
Приклад 9. Розв'язати рівняння cos7x+sin5x=0; Розв'язання Замінимо дане рівняння рівносильнимcos7x+cos(П/2-5x)=0 і розкладемо ліву частину
на множники:2cos(П/4+x)cos(П/4-6x)=0;Рівняння cos(П/4+x)=0 або cos(П/4-6x)=0 мають
розв'язки x= П/4+Пn і x= П/8+ Пk/6, n, k Є Z, множини яких
не перетинаються.Відповідь: П/4+Пn і П/8+ Пk/6, n, k Є Z
Приклад 10. Розв'яжіть рівняння tgx+ =3 Розв'язання Оскільк и =1+ tg²x, то дане рівняння можна записати так:tgx+(1+tg²x)=3;Звідси tg²x+tgx-2=0.Нехай tgx=t, тоді t²+t-2=0; (t+2)(t-1)=0; t=-2 або t=1.Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності
двох рівнянь tgx=1 => x= П/4+Пn, nЄZ tgx=-2 => x= -arctg2+ Пn, nЄZВідповідь: П/4+Пn; -arctg2+ Пn, nЄZ
x²cos
1
x²cos
1
22.04.23 16
III.Рівняння, однорідні відносно sinx та cosx
xтаx
відносностепеняогоnрівняннями
ричнимитригонометиодноріднимназивають
aaaде
xanxxaxa
видуРівняння
n
nnn
cossin
-
,∈n нулю, дорівнюють не однозначно які
числа,-дійсні-,...,,
,0cos...cossinsin
10
1-10
Приклад 11. Розв'яжіть рівняння 7sin²x-8sinxcosx-15cos²x=0; Розв'язання: При cosx=0 рівняння не має коренів, тому
розділимо обидві його частини на cos²x≠0.
Одержимо 7tg²x-8tgx-15=0;tgx=-1; => x=-П/4+Пn, nЄZtgx=15/7; => x=-arctg15/7+ Пn, nЄZ
Відповідь:-П/4+Пn; -arctg15/7+ Пn, nЄZ
Приклад 12. Розв'яжіть рівняння 3sin²x+sin2x=2; Розв'язання: Це рівняння не є однорідним. Проте його
можна легко звести до однорідного:3sin²x+2sinxcosx=2(sin²x+cos²x);sin²x+2sinxcosx-2cos²x=0;tg²+2tgx-2=0;tgx=(-1±√3).Відповідь: x= arctg(-1±√3)+ Пn, nЄZ.
Приклад 13. Розв'яжіть рівняння: 2sinx-3cosx=2; Розв'язання :Скористаємося формулами подвійного аргументу
та основною тригонометричною тотожністю:4sinx/2cosx/2 – 3(cos²x/2 - sin²x/2)=
2(cos²x/2+sin²x/2);sin²x/2+4sinx/2cosx/2-5cos2x/2=0.Поділимо обидві частини останнього рівняння на
cos²x/2 і зробимо заміну tgx/2=t. Отримуємо: t²+4t-5=0;t1=1; => x=П/2+ 2Пn; t2=-5; => x=-2arctg5+2Пn, nЄZ.Відповідь: П/2+ 2Пn; -2arctg5+2Пn, nЄZ.
Рівняння виду asinx+bcosx=c (ab≠0)
1≤a
с-≤1-:'
,,.)γsin(
,)γsincosγcos(sin
γsin;γcos
.0≠,
.
22
22
22
2222
22
bумовизаязкирозвмаєяке
рівняннядісталиОтжеba
cxабо
cxxba
виглядіуподаморівнянняТодіba
b
ba
a
baщоОчевидно
кутаодопоміжногВведенняспосібІ
22.04.23 21
.рівнянняквадратнеДістанемо
t+1t-1
=
2x
tg+1
2x
tg-1=xcos;
t+1t2
=
2x
tg+1
2x
tg2=xsin
:кутаополовинногтангенс
черезxcosтаxsinвиразимоіt=2x
tgПозначимо
ипідстановкноїуніверсальняЗастосуван.спосібІІ
2
2
22
2
Приклад 14.Розв’зати рівняння:
І спосіб: Введемо допоможний кут:
ІІ спосіб: Застосуємо універсальну підстановку( b≠-c,втрати розв’язків не буде )
Відповідь:
;2=)xcos21
+xsin23
2(
;1cos6
sinsin6
cos xx
;1)6
sin(
x nєnxn ,23
,226
-x
;Ζ,23
,3
1
2;
3
1
;0132-3;2t1
t-1
1
32,
22
2
2
2
nЄПnП
xx
tgt
ttt
tтодіt
xtg
;,23
nєПnП
x
2,cosxsinx3 =+
V.Рівняння,що розв’язуються за допомогою заміни sinx cosx=t
23
±
1-t=x2sin±тобто,t=xcos+xcosxsin2±sin
,t=)xcos±x(sinто,t=xcos±xsinякщо2222
22
Приклад15. Розв’язати рівняння:
Розв’язання:
отже,це рівняння не має розв’язків.
Відповідь:
0=12+)xcos-x(sin12-x2sin
-1<2
13-=)
4П
-xsin(2=cosx-sinx -13=tпри
,1= tабо -13=t;0=13-t12+ t0,=12+12t-t-1
:рівнянняодержуємотоді,t=xcos-sinНехай.хЄR:ОДЗ
0=12+)xcos-x(sin12-x2sin
1
2122
;,44
-1)(;2
1)
4
П-sin(;1)
4
П-sin(2,1cos-sin n nЄПn
ППxxxxx
;,44
-1)( n nєПnПП
x
Прикалад 16. Розв’яжіть рівняння:
Розв’язання:
Відповідь:
22.04.23 24
0;0)- t(t0;t-;1-t1 1;-2sin;sincos
:;sincos2sin1222
tttxtxx
xєZОДЗxxx
;xsin+xcos=x2sin+1
1=)4П
-xcos(2;1=xcos+xsin;1=t
-1,=tgx,0=xcos+xsin,0=t
Ζk,Ïk24Ï
4Ï
x
Ζn,Ïn4Ï
-x
∈
∈
++±=
+=
Ζk,Ïk24Ï
4Ï
x;Ζn,Ïn4Ï
-x ∈∈ ++±=+=
VI.Розв’язування рівнянь із врахуванням обмеження функцій
sinx i cosxПриклад 17. Розв’язати рівняння:
Розв’язання:
22.04.23 25
;2=x5sin+xsin
.∈,5
2
10,15sin
∈,22
П x1,sinx
:рівняннюданому у рівносильн
рівнянь,систему язуєморозв'Отже, 1.sin5x та1sinx
одночасно коли випадку,у тому лишебуде Рівність
2. ≤sinx 5 sinx ≤2-
межах в змінюється рівняння частині правійу вираз
то1, ≤sin5x≤ 1- 1; ≤sinx≤1-,
kПkП
xx
nПn
щоВраховуючи
22.04.23 26
;чиселцілихмножиніна
язки'розвмає5Пk2
+10П
=Пn2+2П
рівнянняколи
,тоділишеязки'розвмаєСистема
Ζ∈
∈
∈
n,Ïn22Ï
x:²äïîâ³äü
Ζn,Ïn22Ï
x),n51(5Ï2
10Ï
xòîìó
Ζn,n51kçêè'ðîçâÿìàºìîâèïàäêóöüîìóÓ
+=
+=++=
+=
Приклад 18. Розв’язати рівняння
Розв’язання:
22.04.23 27
;2
1)sin
3
4sin( xП
∈,,,8
7arcsin-1)(,
8
5arcsin-1)(,
8
1arcsin-1)(:
∈,,,8
7arcsin-1)(;
8
7-sin
,8
5arcsin-1)(
8
,5sin
,8
1arcsin-1)(,
8
1sin
.10
,1≤4
3
8
1-1)( ≤1-
'
Ζ∈,4
3
8
1-1)(sin,Ζ∈,
6-1)(sin
3
4
;2
1)sin
3
4sin(
1lkn
1l
k
n
n
nn
lknдеПlxПkxПnxВідповідь
lknдеПlxx
Пkxx
Пnxx
рівняннядістанемоnзначенняхцихПриnтаn
прилишеуєтьсявикористовякаn
умовизалишеязкирозвмаєрівнянняостаннє
nnxзвідкиnПnП
xП
xПмаємо
Приклад 19. Розв’язання рівняння:
Розв'язання:Зведемо рівняння до вигляду
Проте sin π х≤1, а (х-1/2)²+1≥1,тому рівність можлива лише за умови:
sinπx=1, π х= х=
Відповідь:
54-4sin4 2 xxx
1)1/2-(sin 2 xx
;11)1/2-( 2 x nєn,П2
2
П
1/21/2=x
1/2
VII. Тригонометричні рівняння з параметрами
Приклад 20. Розв’язати рівняння:
Розв’язання:
Відповідь:
a=xsin+xcos
nЄПnа
хТоді
аЄтобтоa
aПxaxx
,22
arccos4
П-
2;2-;1≤2
2)
4cos(;sincos
;'
)∞;2(∪)2;- ∞-(
немаєязківрозв
aЄпри
;')∞;2(∪)2;- ∞-(
,22
arccos4
-2;2-
немаєязківрозвaЄприа
na
xаЄпри
Приклад 21. Розв’язати рівняння:
Розв’язання:Нехай sinx=t,|t|≤1, t²+2(a-1)t-4a=0, D/4=(a-1)²+4a= = a ²-2a+1+4a = (a+1)²≥0;t=-a+1+a+1=2 – не задовільняє умову |t|≤1t=-a+1-a-1 = -2a; |-2a| ≤1; 2|a| ≤1; |a| ≤1/2sinx=-2a; Відповідь: при ає[-½;½],
04a-1)sinx-2(a²xsin
nЄna ,)2arcsin((-1)x 1n Ζ,П)2arcsin((-1)x 1n nєna