МАТЕМАТИКА

Збирка задатака за осми разред основне школе

прво издање

АуториМирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић

ИлустроваоДушан Павлић

Рецензентидр Драгослав Херцег, редовни професор, Природно-математички факултет у Новом СадуЗорица Јончић, професор, XIV београдска гимназија у БеоградуВесна Станојевић, професор, ОШ „1 300 каплара“ у БеоградуНедељка Видовић, професор, ОШ „Ратко Митровић“ у БеоградуДарко Медан, професор, ОШ „Борислав Пекић“ у Београду

УредникСвјетлана Петровић

ЛекторИвана Игњатовић

Графичко обликовањеЈелена Рељић

ЦртежиМирјана Стојсављевић-Радовановић

Припрема за штампуЉиљана Павков

ИздавачКреативни центарГрадиштанска 8БеоградТел./факс: 011 / 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659

За издавачаЉиљана Маринковић

ШтампаПубликум

Тираж3.000

ISBN 978-86-7781-955-2

Copyright © Креативни центар 2012

Министар просвете и науке Републике Србије одобрио је издавање и употребу ове збирке за наставу математике у осмом разреду основне школе решењем број 650-02-00092/1/2012-06 од 23. 07. 2012.

Мирјана Стојсављевић-Радовановић

Љиљана Вуковић

88Збирка задатака за осми разред основне школе

Mатематика

Пробај и ово – Задаци за додатни рад

Водич

Додатна објашњења дефиниција и правила

Решени задаци који помажу у разумевању градива

Задаци основног нивоа*

Задаци средњег нивоа

Задаци напредног нивоа

* За одређивање нивоа највећег броја задатака коришћени су описи из документаОпшти стандарди постигнућа – образовни стандарди за крај обавезног образовањаза предмет математика. Документ је објављен на сајту www.mpn.gov.rs

Сличност троуглова

Пропорционалност дужи ............................................4–6 Талесова теорема......................................................6−11Сличност троуглова ................................................12−20

Линеарне једначине и неједначинес једном непознатом

Шта смо научили о полиномима ..........................22−23Линеарне једначине с једном непознатом ..........23−26Решења линеарне једначине с једном

непознатом..........................................................27−28Примена линеарних једначина ............................28−34Решавање линеарних неједначина с једном

непознатом.......................................................... 36–43

Тачка, права, раван

Одређеност праве и равни. Две праве................. 44–46Права и раван ......................................................... 46–49Две равни. Ортогонална пројекција..................... 49–54

Призма

Призма. Мрежа....................................................... 56–59Површина и запремина призме................59–65, 67–72Мерне јединице за запремину тела.

Запремина коцке и квадра................................ 65–67

Линеарна функција

Линеарна функција ................................................ 74–75График линеарне функције ................................... 76–79Нула, знак, раст и опадање линеарне

функције.............................................................. 80–84Линеарне функције – експлицитни

и имплицитни облик........................................... 85–88

Графичко представљање података

Графичко представљање података у облику дијаграма ............................................................ 91–97

Средња вредност и медијана ..............................97−100

Пирамида

Уочавање правоуглих троуглова кодпирамиде.........................................................105−107

Мрежа пирамиде................................................108−109Површина и запремина пирамиде ...................110−122

Системи линеарних једначина са две непознате

Решење система од две линеарне једначине са две непознате – графички приказ...........125−126

Решавање система од две линеарне једначине са две непознате – метода замене, метода супротних коефицијената .............................127−132

Примена система линеарних једначина..........132−138

Ваљак, купа, лопта

Ваљак – елементи. Мрежа ваљка......................141−143Површина и запремина ваљка ..........................144−151Купа – елементи. Мрежа купе...........................154−156Површина и запремина купе.............................156−167Лопта – елементи. Пресеци лопте и равни ......170−171Површина и запремина лопте...........................172−174

Систематизација теме

Сличност троуглова .......................................................21Линеарне једначине с једном непознатом .................35Линеарне неједначине с једном непознатом .............43Тачка, права, раван ................................................ 54–55Призма ..................................................................... 72–73Линеарна функција ................................................ 88–90Графичко представљање података ...................100−104Пирамида.............................................................123−124Системи линеарних једначина са две

непознате.........................................................139−140Ваљак....................................................................152−153Купа ......................................................................168−169

Лопта ....................................................................174−175

Пробај и ово ..............................5, 11, 18, 20, 28, 33−34, 40–43, 49, 54, 59, 62, 65, 67, 69, 71–72, 87–88, 107,

111−112, 115, 117, 120, 136−138, 143, 147−148, 151, 156, 158, 160, 165−166, 167, 171, 173−174

Резултати и упутства...........................................176−198

Тематски садржај

4

Сличност троуглова

Дате су дужи: a = 0,5 cm, b = 1 cm, c = 0,8 cm, e = 30 m, f = 2 f mm. Израчунај размере:a) a : c б) b : e в) a : e г) f : b

Милан је направио лимунаду с једним литром воде и 1 dl лимуновог сока.Маја је направила лимунаду од 0,5 литара воде и 0,5 децилитара лимуновогсока. Колика је размера воде и лимуновог сока у Милановој, а коликау Мајиној лимунади?

Милена је нацртала план своје собе у облику правоугаоника, у размери1 : 30. Ако су димензије правоугаоника 10 cm и 12 cm, колике су стварнедимензије Миленине собе?

Нацртај два квадрата чије су странице a = 2 cm и a1 = 3 cm.Нацртај њихове дијагонале и израчунај њихову размеру.

У табели су дате дужине страница два правоугаоника.

а) Попуни табелу.

Правоугаоник а b Обим Површина

I 12 cm 8 cm

II 15 cm 10 cm

б) Израчунај размеру одговарајућих страница ових правоугаоника.

в) Израчунај размеру обима првог и другог правоугаоника.

г) Израчунај размеру површина првог и другог правоугаоника.

Растојање између два места на географској карти је 8 cm.Колико је стварно растојање између тих места ако јегеографска карта рађена у размери 1 : 1 000 000?

У којој је размери рађена карта ако је стварно растојањеизмеђу два места 40 километара, а на карти 5 cm.

Странице правоугаоника стоје у размери3 : 4. Ако је краћа страница 12 cm, коликаје дужа страница правоугаоника?

Пропорционалност дужи - oбнављање

1

2

3

4

5

6

7

8

Једном центиметру накарти одговара 1 000 000центиметара у природи.

Ако су страницеправоугаоника a и b, ондаважи: a : b = 3 : 4.

5

Обим једнакокраког троугла је 108 cm, а однос основицеи крака је 4 : 7. Израчунај основицу и крак.

Дуж AB подељена је тачком C на дужи AC и CB тако да је AC : CB = 3 : 8.Ако је AC = 6 cm, колико је AB?

Дате су четири колинеарне тачке А, B, C и Dкао на слици.

A B C D

Ако је AB : BC = 1 : 2 и BC : CD = 2 : 3, колико је:

а) AB : CD б) AC : CD в) AC : BD?

Нека је дуж а подељена на дужи m, n и p, као на слици,тако да је m : n : p = 3 : 6 : 5.

m n pОдреди размере:

а) m : n б) m : p в) а : m

г) p : а д) а : (m + p) ђ) (m + n) : (n + p)

Дуж а подељена је на дужи m, n и p тако да је m : n = 4 : 3 и n : p = 3 : 4.Ако је m = 2 cm, колике су дужи n, p и а?

Нека је дуж а подељена на дужи m, n и p, тако да је m : n : p = 6 : 8 : 3.Ако је n = 4 cm, израчунај m, p и a.

9

10

11

12

13

14

а = 4k, b = 7k

Из AB : BC = 1 : 2,

следи AB BC12 .

Из BC : CD = 2 : 3,

следи CD BC32

.

Једнакости m : n = 3 : 6 и n : p = 6 : 5записујемо и на следећи начин:m : n : p = 3 : 6 : 5.

Пробај и ово

Нека је дуж AD подељена тачкама B и C тако да је AB : BC = 2 : 3 и AC : CD = 4 : 5.

A B C D

Колика је размера:а) AC : BD б) BC : BD в) AD : CD?

РешењеAB : BC = 2 : 3, AC = 5kAC : CD = 4 : 5, AC = 4m

NZS(5k, 4m) = 20 k m (k и m су узајамно прости бројеви)AC = 20 k m, AB = 8 k m, BC = 12 k m, CD = 25 k m

AB : BC = 8 : 12, AC : CD = 20 : 25

а) AC : BD = 20 : 37 б) BC : BD = 12 : 37 в) AD : CD = 45 : 25 = 9 : 5

6

Дуж AB подељена је тачкама P и Q тако да је AP : PB = 2 : 5и AQ : QB = 3 : 2. Колика је размера:

а) AP : AQ б) AQ : PQ в) QB : AB?

Дуж AB подељена је тачкама P и Q тако да је AP : PB = 1 : 6 и PB : PQ = 4 : 3.Колика је размера:

а) AB : AQ б) PQ : AP?

Дата је дуж AB = 12 cm. Конструиши тачке М и P на дужи ABтако да је AM : MB = 3 : 2 и AP : PB = 4 : 3.

а) Одреди размере AM : AP и MP : PB.

б) Колике су дужине дужи AM, MP и PB?

15

16

17

Ако су праве а и b на слици паралелне, израчунај непознату дуж x.а) б)

Нека су праве а и b паралелне. Израчунај непознату дуж x.

Ако је AC DE и ако је AC = 32,4 cm, AB = 16 cmи AD = 9,4 cm, израчунај DE.

Талесова теорема

1

2

3

a

b

2 cm

3 cm

3 cm

x

a

b

5 cm

8 cm7 cm

x

a

b

x

32 cm20 cm

10 cm

A B

C

E

D

A

3k 2k

Q B

DB = AB – AD = 6,6 cm

7

Нека су праве а и b паралелне. Израчунај непознату дуж x ако су подацина слици дати у центиметрима.

а) б)

Нека је четвороугао ABCD паралелограм и нека је CF DB.Одреди размере:

а) AB : AF б)F EB : CF

Праве a и b на слици пресечене су паралелним правама PQ и RS.Ако је OQ = 5 cm, OP = 6 cm, PQ = 4 cm, OS = 2,5 cm, израчунај RS и OR.

Краци угла �xOy пресечени су паралелним правамаy AC и BD.Ако је OD = 18 cm, CD = 4 cm, OA =12 cm и AC = 6 cm,израчунај OB и BD.

Нацртај дуж AB и подели је на:а) пет једнаких делова б) седам једнаких делова.

Нацртај дуж AB. Ако она представља обим правилногшестоугла, конструиши тај шестоугао.

Нацртај произвољну дуж AB. Конструиши дуж CD тако да је:

а) CD = 1,5AB б) CD = 37

AB в) CD = 52

AB г) CD = 0,8AB

4

5

6

7

8

9

10 Упутство за део задаткапод б): CD : AB = 3 : 7Дуж AB треба поделитина седам једнаких делова.

Погледај задатке 1 и 2,стр. 6 у уџбенику.

10,5

15

16

b x

a8,4

12,6 bx

a

5,6

A F

CD

E

B

P

OS

Q Rb

a

O A B x

C

Dy

8

Дуж AB подели тачком М у размери:а) АМ : MB = 3 : 4 б) AB : MB = 7 : 2 в) АМ : AB = 3 : 8

Нацртај дуж MN дужине 6 cm. а) Конструиши тачку P на тој дужи тако да је MN : MP = 5 : 2,

а затим израчунај MP и NP.б) Конструиши тачку Q на тој дужи тако да је MQ : QN = 4 : 1,

а затим израчунај MQ и QN.

На полуправој ОА конструиши тачку А1 тако да је:а) ОА : ОА1 = 3 : 2 б) ОА : АА1 = 3 : 2 в) ОА1 : АА1 = 3 : 2

Ако је BC DE и AC : CE = 3 : 1, нађи размере:а) AB : AD б) AE : CE в) BC : DE

Израчунај непознату дуж y на слици ако је DE AB и AD : DC = 2 : 3.

Краци угла пресечени су паралелним правама BC и DE.Израчунај AD и BC, ако је AC : AE = 4 : 5, BD = 12 cm и DE = 18 cm.

Нека су странице АC и AB и висина CD троугла АBC једнаке 15 cm,20 cm и 12 cm. Ако је DE AC, израчунај DE.

11

12

13

14

15

16

17

Израчунај AD, а затим примени Талесову теорему.

AB D

C

E

AB D

C

E

C

18 cm

A B

D Ey

C

A BD

E

9

Ако је АА1 = 16 cm, BB1 = 12 cm, AC = 20 cm, израчунај дужине дужи BC и А1B1.

Праве а и b на слици су паралелне. Ако је CS : CM = 5 : 8, напиши размере:а) PD : DS б) MP : CD

Дуж EC једнака је трећини дијагонале паралелограма ABCD. Одреди размере:a) AE : EC б) DE : EF в)F DC : AF

Пресечна тачка дијагонала једнакокраког трапеза дели дијагоналу у размери 3 : 2.а) Колика је размера основица трапеза?б) Када краке једнакокраког трапеза продужиш до њиховог пресека, добићеш два

једнакокрака троугла. Колика је размера крака једнакокраког трапеза и кракавећег једнакокраког троугла?

Тачка Е је средиште странице AB квадрата ABCD. Ако је CG DE, одреди размеру дужи:а) AF :F FC б) EF :F GC

Продужи краке правоуглог трапеза и њихов пресек означи са Е.Израчунај CE и DE.

18

19

20

21

22

23

A1

AC B

B1

SC

DPx

y

a b

M

A

E

FB

CD

A E GB

C

F

D

A B

D C6 cm

6 cm

18 cm

10

Основице једнакокраког трапеза су a = 18 cm и b = 6 cm. Израчунајдужине одсечака дијагонала ако је дијагонала d = 12 cm.

Основице једнакокраког трапеза су a = 15 cm и b = 7 cm и крак c = 10 cm.Израчунај растојање од темена краће основице трапеза до пресечне тачкеправих којима припадају краци трапеза.

24

25

Дате су дужи а, b и c. Конструиши дуж d тако да је:а) а : b = d : c б) а : c = b : d

РешењеЗадајмо прво дужи а, b, c.

а) Први коракНацртајмо произвољан угао xOy.Пренесимо дужи а и b на крак Oxтако да је ОА = а и OB = b.

Други коракПренесимо дуж c на крак Oyтако да је OC = c.

Трећи коракСпојмо тачке B и C јер дужи b одговара дуж c.Нацртајмо праву која садржи тачку А и паралелнаје са BC. Та права сече крак Oy у тачкиy D.Дуж OD је тражена дуж d, то јест d = OD.

Конструкција дужи d заснована је на Талесовој теореми.Како је AD BC, на основу Талесове теореме следи:ОА : OB = OD : OC, односно:

а : b = OD : c

Из а : b = OD : c и из захтева задатка a : b = d : c следи да је:OD = d.

б) Нацртајмо произвољан угао xOy. Пренесимо дужи а и c накрак Ox и дужx b на крак Oy тако да је ОА = а, OC = c и OB = b.

Спојмо тачке B и A јер дужи b одговара дуж a.

Нацртајмо праву која садржи тачку C и паралелнаје са AB. Та права сече крак Oy у тачкиy D.Дуж OD је тражена дуж d, то јест d = OD.

O

O

O

x

x

x

A

A

A

D

B

B

B

C

C

y

y

y

a

b

c

O xA

DB

C

y

11

Не израчунавајући дужину дужи, конструиши дуж x тако да је:x

а) x : 3 cm = 5 cm : 12 cm б) 42 mm :x x = 24 mm : 20 mmx

Дате су дужи а, b и c. Конструиши дуж x тако да је:xа) x : x а = b : c б) а : x = x b : c

Дате су дужи а и b. Конструиши дуж x тако да је:x

а) а : b = x :x а б) а : b = b : x

Дате су дужи m, n и p. Конструиши дуж x тако да је:x

а) x m np

= ⋅ б) x mp

2

Не израчунавајући дужину дужи, конструиши дуж x тако да је:x

a) x2

5 26cm

cm cmcm

= + б) x2 5 3

43, cm cm

cmcm+ =

Дате су дужи а, b и c. Конструиши дуж x тако да је:x

а) xb

a bc

= + б) xb c

ac+ =

Дат је квадрат странице а. Конструиши квадрат странице а1 тако да је а : а1 = 3 : 4. Колика је размера њихових површина? Колика је размера њихових обима?

26

27

28

29

30

31

32

Погледај решен пример.

а) Из x m np

= ⋅ следи да је x : m = n : p.

б) Из x mp

2

следи да је x : m = m : p.

Праве а, b и c на слици су паралелне.Ако је CS : CM = 2 : 3 и CS : CQ = 1 : 3, напиши размере:а) PD : DSб) MP : CDв) DS : DRг) CD : RQд) MS : SQђ) MP : RQ

Нека је CD EF AB, DC : EF = 4 : 3 иF EF :F AB = 1 : 2. Колика је размера:а) DP : FP б) PB : EP в) DC : AB г) DP : PA

33

34

Погледај решен пример,стр. 5.

Пробај и ово

A

E

F P

B

C

D

R

SC

DQPx

y

a b c

M