١

للتوزیع االسى التحلیل البییزى

تحت اختبارات الحیاه

٢

ة من تحت فرض توزیع جاما العكسى كتوزیع قبلى بییزیة تقدیرات )١( ة المعاین فى حال النوع الثانى

:كالتاىل تقدميه بشكل مفصل وقد مت Shalaby (1990)قدم هذا البحث من قبل 1وبفرض ان كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين إذا 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

i r

r

i ri 1

rn r

i ri 1

y yr ( ) ( ) n r

i 1

1( [ y (n r )y ]

r

n!L(y | ) L f (y )[1 F(y )](n r)!

n! 1[ e ][e ](n r)!

n! 1 e .(n r)!

:ليكن r

i ri 1

u [ y (n r)y ].

:ادلة هو احلل للمع للمعلمة MLEمقدر اإلمكان األكرب

ˆ

ln L 0

: ويتم باخلطوات التالية

2

ln L ur ln ,

ln L r u .

:بوضع

ˆ

ln L 0

2

r

i ri 1

r u ˆ ˆ

y (n r)yuˆ ,r r

٣

:هو توزيع جاما العكسي على الشكل التاىل التوزيع القبلى للمعلمة واذا كان g 1

–g /( ) e ; g 1 , , 0.(g 1)

:للحصول على التوزيع البعدى نتبع التاىل

1g 1 (u )

0

g 1(r g-1)

–(r g-1)0

.

n!( )L(y | )d e d(g 1) (n r)!

n! (r g 1) (u ) .(g 1) (n r)!

0(u )(r g 1)

(r g)

( )L(y | )( y) ( u)

( )L(y | )d

(u ) e ,r g 1 ; , 0.(r g 1)

:هي العزوم غير المركزية للمعلمة

S S

0

(u )(r g 1)(r g s 1)

0

(r g 1)(r g s 1)

s

E( u) ( | u) d

(u ) e d(r g 1)

(u ) (u ) (r g s 1)(r g 1)

(r g s 1) (u ) ; r g 1, s 1, 2,....(r g 1)

لبييزي للمعلمة للمقدر ايتم التوصل (s=1)ييزي للمعلمة وتباينه ، فبوضع باستخدام العزوم غري املركزية ميكن التوصل للمقدر الب

كالتايل حتت فرض دالة مربع اخلسارة:

٤

*1

(r g 2)E( u) (u )(r g 1)(u ) ; r g 2.r g 2

: كما يلي وباستخدام العزم الثاين ميكن التوصل إىل تباين املقدر

2* 2

1

2 2

2

22

2

2

Var( ) E( u) E( u)

(u ) (u )(r g 3)(r g 2) (r g 2)

1 1(u ) ( )(r g 2)(r g 3) (r g 2)

(u ) .(r g 2) (r g 3)

*ويرمز له بالرمز املنوال البييزي للمعلمة 2 ميكن استنتاجه باتباع اخلطوات التالية و:

:إجياد اللوغاريتم الطبيعي لدالة التوزيع البعدي : أوال

(r g 1)(u ) (u )ln [ ( u)] ln (r g)ln .

(r g 1)

: كما يلي شتقاق طرىف املعادلة السابقة بالنسبة للمعلمةبا: ثانيا

2

ln [f( u)] (r g) (u ) .

:مبساواة املعادلة السابقة بالصفر وحل املعادلة يكون املنوال البييزي : ثالثا

٥

*2

(u ) ; r g 0.r g

* البعدىدالة الكثافة للمنوال

2 يتم استنتاجه باستخدام اخلطوات التالية:

:يصاغ املنوال البييزي باستخدام الوسط احلسايب كما يلي : أوال

*2

(u ) ur g r g r gu , .

r g r g

:أي أن *2u (r g) ( ).

: كل التاىلعلى الش (r,θ )يتبع توزيع جاما باملعلمتني Uمبا أن اإلحصاء: ثانيا ur

r 1h (u | ) u e , u 0.(r )

:حيث *2du (r g) d .

*للمنوال البييزي االحتمال فإنه ميكن إجياد دالة الكثافة

2 باستخدام دالة الكثافة لإلحصاءU كما يلي: *2

*2

( r g ) ( )r* r 1 * r 1

1 2 2

( r g ) ( )r * r 1 *

2 2

h ( ) (r g ) ( ) e (r g )(r )

1 r g( ) ( ) e ; 0.(r)

* البعدىالقيمة املتوقعة للمنوال 2 يتم إجياده كالتايل:

*2r ( r g ) ( )

* * * r 1 *2 2 2 2

1 r gE ( ) ( ) e d .(r )

٦

*باستخدام التعويض 2z ( ) يتم حل التكامل السابق كما يلي:

r ( r g ) z* r 12

0

r ( r g ) z ( r g ) zr r 1

0 0

r ( r 1) r

1 r gE ( ) (z )z e dz(r)

1 r g z e dz z e dz(r )

1 r g r g r g(r 1) (r)(r )

rr gr .r g

البعدى نوالامل ان ويتضح مما سبق*2 متحيز للمعلمة مقدر.

* البعدىمتوسط مربع اخلطأ للمنوال

2 :

البعدى نوالملامبا أن *2 متحيز للمعلمة مقدرθ فإن:

* *2 2M SE ( ) V ar ( ) .

* البعدىوبالتايل متوسط مربع اخلطأ للمنوال

2 : * * 22 2

* 2 * 22 2

M SE ( ) E ( )

E ( ) 2 E ( ) .

*وحلل املعادلة السابقة يتم إجياد أوال 22E[ ( ) ] كما يلي:

*2r ( r g ) ( )

2* 2 * * r 1 *2 2 2 2

1 r gE[( ) ] ( ) e d(r)

*باستخدام التعويض 2z ( ) يتم حل التكامل السابق كما يلي:

٧

r (r g)z* 2 2 r 12

0

r (r g)z (r g)z (r g)zr 1 r 2 r 1

0 0 0

r (r 2) (r 1

1 r gE[( ) ] (z ) z e dz(r)

1 r g z e dz 2 z e dz z e dz(r)

1 r g r g r g(r 2) 2 (r 1)(r)

) r

2

22

r g(r)

rr(r 1) 2 .r g r g

*وبالتعويض بقيمة 22E[ ( ) ] البعدىللمنوال ايف معادلة متوسط مربع اخلط *

2حنصل على:

* * 2 * 22 2 2

22 2

2 2

2

M SE ( ) E[ ( ) ] 2 E ( )

r rr(r 1) 2 2r g r g r g

r ( g ) .r g

فرتات التقدير البييزية للمعلمة

-1)100فرتات التقدير البييزية ميكن احلصول على :حبل املعادلتني املتماثلة للمعلمة %(

1

2

t

0 t

( u ) d , ( u ) d .2 2

:، أي أن 2tواحلد األعلى 1tللحد األدىن

1 2P(t t ) 1 . 1t(الفرتة , 2t ( 1)100هي فرتة التقدير البييزية- ع جاما مبعلمتني تتبع توزي ومبا ان ، املتماثلة للمعلمة %(

( u, r g 1) فإن:

1أي أن 2P(t t ) 1 حنصل عليها كالتاىل :

22(r g 1)

*222(r g 1)

2( u)

2 (r g)

٨

*2 22

12 2

2 * 22 1

2 2

* *2 2

2 2

12 2

2(r g )P 1

1 1P 12(r g )

2(r g ) 2(r g )P 1 .

: اى ان

* *2 2

2 2

12 2

2(r g ) 2(r g ),

2حيث لـيمثالن الحدين االدنى واالعلى لفترة الثقة 2

12 2

,

تستخرجان من جدول توزيع مربع كاى من الملحق

r)2 عند درجات حر ية )٥( g 1) . :اطرة بييز خم

: )املقدر غري املتحيز بأقل تباين للمعلمة ( االكرب ملقدر املكانخماطرة بييز :أوال

: فإن قدير غري متحيز للمعلمة م مبا أن 2

ˆ ˆM S E ( ) V ar ( ) .r

:هو خماطرة بييز ملقدر املكان االكرب

٩

0

2 g 1– g /

0g 1

-(g 3 )

2

; g 3 , r 0.

ˆ ˆr ( ) M SE ( ) ( ) d

e d(g 1)r

(g 3)r (g 1)

r (g 2)(g 3)

*خماطرة بييز للمقدر البييزي :ثانيا 1:

*مبا أن 1 قدير غري متحيز للمعلمة م فإن :

* *1 1M SE ( ) V ar ( ).

*وحيث أن 1

(u )r g 2

:كالتاىل U، فيجب إجياد دالة التوزيع لإلحصاء Uدالة يف اإلحصاء

0

ur gr 1 g 1

0

r 1 g 1( r g 1)

r 1 g 1( r g 1)

g (u ) h (u ) ( ) d

u e e d(r) (g 1)

u (r g 1) (u )(r) (g 1)

u (u ) .(r , g 1)

*ومنه ميكن استنتاج خماطرة بييز للمقدر البييزي 1 كما يلي:

* *1 1

0

2 r 1 g 1 ( r g 1)

20

( r g 3) g 1( r g 3 )

20

r ( ) Var ( ) g (u ) du

(u ) u (u ) du(r g 2) (r g 3) (r , g 1)

u(1 ) du.(r g 2) (r g 3) (r, g 1)

١٠

uzباستخدام التعويض ,

*يتم حل التكامل السابق وإجياد خماطرة بييز للمقدر البييزي 1 ي كما يل:

* للمنوال خماطرة بييز للمقدر البييزي: لثا ثا2:

* *2 2

0

2 2 g 1–g /

20

g 12–g / 2 2–g / 1–g / 2 –g /

20 0 0 0

g 1-(g 3) 2 -(g 3)

2

r( ) MSE( ) ( ) d

r ( g ) e d(g 1)(r g)

r e d g e d 2 g e d e d(r g) (g 1)

r (g 3) g (g 3)(r g) (g 1)

-(g 2) 2 -(g 1)

2

2 ; (r g) 3.

2 g (g 2) (g 1)

(r g 6)(r g) (g 2)(g 3)

*االن يتم حساب نسبة خماطرة بيييز للمقدر

1 بالنسبة للمقدر*2 كالتاىل:

* 2* 11 * 2

2

r( ) r(g 2)(g 3) rˆr( , ) ,r( ) (g 2)(g 3)(r g 2) (r g 2)

* 2* 22 2 2 2

r( ) (r g 6) r(g 2)(g 3) r(r g 6)ˆr( , ) ,ˆ (r g) (g 3)(g 3) (r g)r( )

:اى ان

* * * *1 2 1 2

ˆ ˆ ˆr( , ) r( , ) r( ) r( ) r( ).

(r 2) r* (r g 3) r 11 2

0

2

2

2

r g 3 .

r( ) (1 z) z dz(r g 2) (r g 3) (r,g 1)

(r,g 3)(r g 2) (r g 3) (r,g 1)

;(r g 2)(g 2)(g 3)

١١

*وهذا يعىن ان افضل مقدر ىف هذه احلالة هو 1.

rللنتائج السابقة وبوضع n فإننا حنصل على نتائج ختص العينة الكاملة. )توزیع المنتظم فى الفترةلتحت فرض ابییزیة تقدیرات) ٢( , ) ى ع قبل ة كتوزی ى حال ف

المعاینة من النوع الثانى

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Bhattacharya (1967)قبل قدم هذا البحث من 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

i r

r

i ri 1

rn r

i ri 1

y yr ( ) ( ) n r

i 1

1( [ y (n r )y ]

r

n!L(y | ) f (y )[1 F(y )](n r)!

n! 1[ e ][e ](n r)!

n! 1 e .(n r)!

:ليكن r

i ri 1

u [ y (n r)y ],

)هو التوزيع المنتظم فى الفترة كان التوزيع القبلى للمعلمة إذا و , ) التالى:

a 1

a 1 a 11

( a(a 1)( )) ; 0 .

:للحصول على التوزيع البعدى نتبع التاىل

١٢

0ua 1

–a –ra 1 a 1

ua 1–a –r

a 1 a 1

( )L(y | )( y) ( u)

( )L(y | )d

(a 1)( ) n! e(n r)!

(a 1)( ) n! e d(n r)!

u–(a r) – r

u–(a r) – r

e , .e d

:االن

u u u–(a r ) – r –(a r) – r –(a r) – r

0 0

2

(a r ) –(a r )u u u–(a r ) –r w w

2 20 0

e d e d e d

u u ulet w= = d dzz z

u u u ue d e d e dw w w w

u u(a r 1) (a r 1) 1 w (a r 1) 1 w

0 0

x -t (n 1)

0

u w e dw w e dw .

u u(r 1, ) (r 1, )

where (n,x)= e t dt.

u

–( a r 1)

( a r 1)

e( u ) , .u uu (r 1, ) (r 1, )

:كالتايل حتت فرض دالة مربع اخلسارة لبييزي للمعلمة احلصول على املقدر ايتم

١٣

u–(a r 2)

*

(a r 1)

u–(a r 2) (a r 2)

*

e dE( u) , .u uu (r 1, ) (r 1, )

u ue d u (r 1, ) (r 1, )

u uu (r 2, ) (r 2, ).u u(r 1, ) (r 1, )

:نتبع االتى *للحصول على تباين u

–(a r 3)2

(a r 1)

2 **

*

e dE( u) u uu (r 1, ) (r 1, )

u (r 3, u) y y, (n, y) (n, ) (n, ).(r 1, u)

:اذن

22 * ** 2

* *

22 * *

* 2

u (r 3,u) (r 2, u)Var( ) u(r 1, u) (r 2, u)

u (r 3,u) (r 2, u).

[ (r 1, u)]

rىف حالة العينة الكاملة حنصل على النتائج بوضع n وn

ii 1

u x

. 0ىف حالة املعاينة من النوع االول فإنt متثل زمن

دالة اإلمكان تعطى وعلى ذلك . تصبح متغريا عشوائيا rانتهاء التجربة واحملدد مسبقا من قبل الباحث وىف هذه احلالة فإن :كاآليت

n r0i

rn r

1 2 n i 0i 1

txr ( ) [( )]

i 1u( )

r

r

i 0i 1

L(x , x ,..., x | ) f (x )[1 F(t )]

1[ e ][e ]

1 e

where u x (n r)t .

١٤

ى مقارنة بییزیة تحت فرض التوزیع االسى بمعلمة ) ٣( ة كتوزیع قبل ة المعاین ى حال ف من النوع الثانى

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Bhattacharya (1967( قدم هذا البحث من قبل 1وبفرض ان ر احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين إذا كان لدينا اختبا 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

r

r

i ri 1

rn r

i ri 1

yr ( ) n ri

i 1

1[ y (n r)y ]

r

n!L(y | ) f (y )[1 F(y )](n r)!

yn! 1[ exp( )][e ](n r)!

n! 1 e .(n r)!

:ليكن

r

i ri 1

u [ y (n r)y ].

:توزيع التاىل الهو كان التوزيع القبلى للمعلمة إذا و

( e1) ,0 ; 0 .

:للحصول على التوزيع البعدى نتبع التاىل

١٥

0

u–r

u–r

0

u

e

e

( )L(y | )( y)

( )L(y | )d

1 n! e(n r)! ( u)

1 n! e d(n r)!

u– r

u– r

0

e .

e d

:االن

١٦

1bax 2x

10

uu– r

r 1r 12

ur 1 – r

r 1

ax e dx 2 K 2 abb

1let a= , r

e e( u) 2 uK 2

( u)

( u) e.

u2K 2

:كالتايل رةحتت فرض دالة مربع اخلسا لبييزي للمعلمة احلصول على املقدر ايتم ur 1

* 1–r

0

r 1

(r 2)r 1 2

r 2

r 1

r 2

r 1

( u)E( u) e d

u2K 2

( u) 1 u2 K 2uu2K 2

uK 2u .

uK 2

:نتبع االتى *للحصول على تباين

١٧

ur 12 2–r

0

r 1

(r 3)r 1 22

r 3

r 1

r 3

r 1

( u)E( u) e d .

u2K 2

1let a= , r, b u,

( u) 1 uE( u) 2 K 2uu2K 2

uK 2u .

uK 2

:اذن

2

r 3 r 2*

r 1r 1

2

r 3 r 1 r 22

r 1

u uK 2 K 2Var( ) u u

uK 2 u K 2

u u u uK 2 K 2 K 2 .uK 2

R(t)املقدر البييزى لدالة الصالحية :مبا ان

t-

R(t) e , :كالتاىل املقدر البييزى لدالة الصالحيةبإستخدام دالة خسارة مربع اخلطا ميكن اجياد و

١٨

*

0

u tr 1– r

0

r 1

(r 2)r 1 2

*r 2

r 1

r 1 r 12

r

R (t ) E[R(t)] R(t) ( | u) d

( u)e d .

u2K 2

1let a= , r,b u t,

( u) 1 u tR (t) 2 K 2(u t)u2K 2

u tK 2u

u tK

1

(r 1) r 12

r 1

u2

u tK 2t1 .u uK 2

:ايضا ميكن اجياد تباين دالة الصالحية ىف هذه احلالة كالتاىل

١٩

2* 2

2 2

0

u 2tr 1– r

0

r 1

r 1 (2

r 1

r 1

Var R (t) E R (t) u E(R(t ) u) ,

E[R (t )] R (t ) ( | u) d

( u)e d .

u2K 2

1let a= , r, b u 2t,

( u) u 2t E[R (t)] 2K 2 (u t)u2K 2

r 1)2

( r 1) r 12

r 1

u 2tK 22t1 .u uK 2

2* 2

2

(r 1) (r 1)r 1 r 12 2

r 1 r 1

Var R (t) E R (t ) u E(R(t) u)

u 2t u tK 2 K 22t t1 1 .u uu uK 2 K 2

( r 1) 22*

r 1 r 1 r 12

r 1

1 2t u 2t u u tVar R (t ) 1 K 2 K 2 K 2 .uuK 2

كتوزیع قبلى فى حالة المعاینة density-prior quasiتقدیرات بییزیة تحت فرض ) ٤(

من النوع الثانى

:مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل وقد Bhattacharya (1967) قدم هذا البحث من 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

٢٠

r

r

i ri 1

rn r

i ri 1

yr ( ) n ri

i 1

1( [ y (n r )y ]

r

n!L(y | ) f (y )[1 F(y )](n r)!

yn! 1[ exp( )][e ](n r)!

n! 1 e .(n r)!

:ليكن r

i ri 1

u [ y (n r)y ]

:هو حتت فرض ان التوزيع القبلى ل a ,0 .

:بعدى نتبع التاىل للحصول على التوزيع ال. Bhattacharya (1967( واملاخوذ من قبل

0

u–a –r

u–a –r

0

( )L(y | )( x) ( u)

( )L(y | )d

n! e(n r)!

n! e d(n r)!

u–(a r)

u–( r)

0

u(a r )

e

e d

1 u( ) eu (a r 1)

:كالتايل حتت فرض دالة مربع اخلسارة لبييزي للمعلمة احلصول على املقدر ايتم

٢١

( a r 1) 1

u(a r )* –(a r) 1

0

2

(a r ) 1* (a r ) 1 (a r) 1 w

20

* w

0

(u)E( u) e d .(r) (a r 1))

u u ulet w= = d dw.w w

(u) uu w e dw(a r 1) w

u w e dw(a r 1)

(u) u(a r 2) , r 2.(a r 1) a r 2

:ى نتبع االت *للحصول على تباين ( a r 1) 1

( a r ) 2 (a r ) 2

( a r 3) 1

2 w20

2w

0

2 2

u uE( u) u w e dw(a r 1) w

u w e dw(a r 1)

u u(a r 3) .(a r 1) (a r 2)(a r 3)

:اذن

22*

2 2

2

u uVar( )(a r 2)(a r 3) a r 2

u ua r 2 a r 3 .(r 2)(r 3) (r 2) (r 3)

دیرات ) ٥( ع تق رض التوزی ت ف انى تح وع الث ن الن ة م ة المعاین ى حال ة ف ى بییزی القبل

المرافق

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Bhattacharya (1967( قدم هذا البحث من قبل

٢٢

1وبفرض ان بار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين إذا كان لدينا اخت 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهداتrحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب

:دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة r

n r1 2 n i r

i 1

rn ri r

i 1

r

i rri 1

n!L(y , y ,..., y | ) f (y )[1 F(y )](n r)!

y yn! 1[ exp( )][exp( )](n r)!

n! 1 1exp( [ y (n r)y ].(n r)!

:ليكن r

i ri 1

u [ y (n r)y ]

:الشكل التاىل الختيار التوزيع القبلى املرافق من املعلوم ان دالة كثافة االحتمال البد ان يكتب على a ( ) b(x ) c( )d (x )]f (x | ) e .

:وعلى ذلك فإن n

ii 1

na ( )) c( ) d( x )]

L(y | ) L e .

:وعلى ذلك التوزيع القبلى املرافق يكتب على الشكل االتى

1 1a ( ) c( )]( ) e , :والتوزيع البعدى على الشكل االتى

2 2n

a ( ) c( )]2 1 2 1 i

i 1( | x) e , n, d(x ).

:ميكن كتابتها على الشكل التاىل Lحتت فرض التوزيع االسى فإن n

ii 1

n

ii 1

xr ln

x

r

1 1L e e a( ) ln ,c( )

:وعلى ذلك التوزيع القبلى املرافق هو

11 ln ]

( ) e ,

:اى ان

1 1

11

ln ] ]( ) e ( ) e .

:اى ان التوزيع القبلى املرافق هو توزيع جاما العكسى على الشكل التاىل

٢٣

1 ]1( ) e ,0< , , 0.( )

:للحصول على التوزيع البعدى نتبع التاىل

0u

–r –( 1)

u–r –( 1)

0

( )L(y | )( y) ( | u)

( )L(y | )d

e e

e e d

u–( r 1)

u–( r 1)

0

2

e .e d

u u ulet w= d dw.w w

:اذن

–( r 1)uw–( r 1)

20 0

–( r) –( r )w( r ) 1

0

u ue d e dww w

u uw e dw ( r).w w

:اذن (u )(r )

–(r 1)

(u )(r 1)

(u )( u) e(r )

u e .(u ) (r )

:التايل ك حتت فرض دالة مربع اخلسارة لبييزي للمعلمة احلصول على املقدر ايتم

٢٤

( r 1) 1

u(r )* –(r )

0

(r )(r )* w

20

* w

0

(u )E( u) e d (r )

(u ) u ue dw(r ) w w

(T ) w e dw(r )

(u ) (u )(r 1) , r 1.(r ) (r 1)

:نتبع االتى *للحصول على تباين

( r 2 ) 1

u(r )2 –(a r ) 1

0

(r ) 1(r )w

20

2w

0

2 2

(u )E( u) e d (r )

(u ) u ue dw(r ) w w

(u ) w e dw(r )(u ) (u )(r 2) .

(r ) (r 1)(r 2)

:اذن

22*

2 2

2 2

(u ) (u )Var( )(r 1)(r 2) (r 1)

(u ) (u )r 1 r 2 .(r 1) (r 2) (r 1) (r 2)

المقدر البييزى لدالة الصالحية

:لدالة الصالحية هىمبا ان t-

R(t ) e , :كالتاىل املقدر البييزى لدالة الصالحيةرة مربع اخلطا ميكن اجياد بإستخدام دالة خسا

٢٥

( r )( r ) 1

( r )

*

0( t u )(r )

–(r 1)

0

(r 1)(r )w

20

(r )w

0

R (t ) E[R(t)] R(t ) ( | u) d

(u ) e d (r )

(u ) t u t ue dw(r ) w w

(u ) (t u ) w e dw(r )

(u ) (r(r )

( r )

(r ) (r )

)(t u )

t u t1 .u u

:ايضا ميكن اجياد تباين دالة الصالحية ىف هذه احلالة كالتاىل

2* 2Var R (t) E R (t) u E(R(t) | u)

( r )( r ) 1

( r )

2 2

0(2t u )(r )

–(r 1)

0

(r 1)(r )w

20

(r )w

0

E[R (t)] R (t ) ( | u) d

(u ) e d (r )

(u ) 2t u 2t ue dw(r ) w w

(u ) (2t u ) w e dw(r )

(u ) (r(r )

( r )

(r ) (r )

)(2t u )

2t u 2t1 .u u

٢٦

2* 2

(r ) 2(r )

Var R (t) E R (t u) E(R(t | u)

2t t1 1 .u u

فى حالة المعاینة من النوع الثانى فى حالة نقص المعلومات عن التقدیر البییزى) ٦( 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nجم املرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احل n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

r

i ri 1

1r y n r y

1 2 r

n! 1L y , y ,..., y . en r !

:درات بییز تحت فرض التوزیع ألسي بمعلمتینایجاد مق:

r

i ri 1

let u y n r y .

:وبفرض ان

k

u

r 1

0

n! e dn r !

rn! u r.

n r !

:هو حتت فرض ان التوزيع القبلى ل

1g .

:هو فإن التوزيع البعدى ل

ur 1 r

ur

u e u r

1 u e .r

:مبا ان دالة الصالحية للتوزيع االسى هى

t

R(t) e .

:فإن التقدير البييزى لدالة الصالحية هو

٢٧

*

0

rt u

0

1r u tr 1

0

R (t) E R(t) x

R(t) x d

1 ue e dr

u e dr

2

u tu t u tlet d d

rr* r 1

0

rr

uR (t) u t e dr

u t u rr

r* tR (t) 1 .

u

ر المزدوج ) ٧( التقدیر البییزى لمتوسط الحیاة ودالة الصالحیة للتوزیع االسى ذو البت

فى حالة العینة الكاملة

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Shalaby (1994)قدم هذا البحث من قبل و قد مت عليها برت مزدوج تكون دالة كثافة االحتمال هلا على هلا التوزيع اآلسي باملعلمة Xإذا كانت

:الشكل التايل 1 2x t t

11 2

1 2 1 2

1 f(x| t <X< t ) = e (e e )

> 0 , 0 <t t ; t x t .

:كالتاىل من التوزيع اآلسي ذو البرت املزدوج تكون nدالة اإلمكان األعظم لعينة عشوائية حجمها

٢٨

n

ii 1

1 2

n

1 2 n 1 2 ii 1

x

n

nt t

L(x ,x ,...,x ; , t , t ) L f (x )

1 e = .

e e

1 2nu t t

n = e e e

1 2 1

1 2 1

n nu t t tn

n(T nt ) (t t )n

G Rn

= e e 1 e

= e 1 e .

= e 1 e

n

n

1 2 1 ii=1

where G = u-nt , R= t t ,u = x

:على الشكل هو توزيع جاما العكسي بفرض أن التوزيع القبلي للمعلمة h1h( ) e ; h, > 0 .

( 1)

)حيث أن 1) 1 < جاما و دالة هي . التوزيع البعدي للمعلمة جاما الناقصة التالية ىف احلصول على سوف نستفيد من دالة

m y

ajm

a

j 0

(m 1,a) y e dy

a = (m 1)e , m = 0,1,2, ...

j!

٢٩

:يكون التوزيع البعدي للمعلمة

0

L(x | ) ( )( | x) .L(x | ) ( ) d

0

(h+G) R-1 - --( +n) -n

0

(h+G) j R-1 n j 1- --( +n)

jj=00

(h+G+jR)-1n j 1 --( +n)

jj=0 0

f (x) L(x | ) ( ) d

h = e (1-e ) d( -1)

h = e e d( -1)

h = e d .( -1)

let w

2

h+G+jR h+G+jR (h+G+jR)= = d = - dw,w w

if =0 w= , if = w=0,

٣٠

-( +n)0-1n j 1-w

2jj=0

-1n j 1 1-( +n)n 2 -w

jj=0 0-1n j 1 1-( +n)

jj=0

h h+G+jR (h+G+jR) f (x) = e - dw( -1) w w

h = w h+G+jR e dw( -1)

h = h+G+jR ( n 1( -1)

1-( +n)-1n j 1

( n ) 1

jj=0

n 1-1 n j 1j

n 1jj=0

-11

-1 n j 1-1

j j

)

h ( n 1) h+jR = G 1+( -1) h

Ah = ( n 1)( -1) G

h = K ,( -1)

h+jRwhere A = 1+ , Kh

n 1j

n 1j=0

n 1

n j 1n 1

jjj=0

(h+G) R-1 - --( +n) -n

-11

(h+G) R- --( +n) -n

A( n 1)

G

GK( n 1) A

h e (1-e )( -1)( | u)

h K ,( -1)

K e (1-e ) ; >0 .

:هو U=u بشرط للمعلمة mالعزم الالمركزي ذو الرتبة ` m mm

0

( | u) E( ) ( | u) d , m 1,2,...

٣١

(h+G) R- --( +n-m) -n

0

(h+G) Rjn j 1- --( +n-m)

jj=00

(h+G+Rj)n j 1 --( +n-m)

jj=0 0

n j 1

j

=K e (1-e ) d

=K e e d

=K e d

=K

1-( +n-m)

j=0

n j 11-( +n-m) -( +n-m-1)

jj=0

n j 11-( +n-m) +n-m-1

jjj=0

nn 1

j

( +n-m-1) (G+h+Rj)

h+Rj =K G ( +n-m-1) (1+ )G

=K G ( +n-m-1) A

G =

j 1

+n-m-1 1-( +n-m)j

j=0n j 1

+n-1jjj=0

n j 1+n-m-1

jm jj=0n j 1

+n-1jjj=0

A G ( +n-m-1)

( +n-1) A

AG ( +n-m-1) = . where , m = 1,2,...

( +n-1) A

. mذو الرتبة الالمركزية و ميكن إجياد املتوسط و التباين من العزوم

R(tودالة الصالحية علمة لكل من املالبييزى التقدير )

:اخلسارة ملربع اخلطأ هو حتت فرض دالة *البييزىالتقدير

٣٢

n j 1+n-1-1

jjj=0* `1 n j 1

+n-1jjj=0

n j 1+n-2

jjj=0n j 1

+n-1jjj=0

*

AG ( +n-1-1)E( ) ( | u) .

( +n-1) A

AG ( +n-2) = . ,

( +n-2) ( +n-2) A

G =( +

n j 1+n-2

jjj=0n j 1

+n-1jjj=0

n j 1+n-3

j2 jj=02 `2 n j 1

+n-1jjj=0

n j 1+n-3

j2 jj=0n j 1

j

A. .

n-2) A

AG ( +n-3)E( ) ( | u) .

( +n-1) A

AG .

( +n-2)( +n-3)

+n-1

jj=0

.A

: )املخاطرة البعديه ( و منها يكون التباين البعدي 2* 2Var( ) E( ) E

2n j 1 n j 1+n-3 +n-2

j j2 j jj=0 j=0n j 1 n j 1

+n-1 +n-1j jj jj=0 j=0

A AG ( +n-3)= .

( +n-2)( +n-3) ( +n-2)A A

٣٣

املنوال البعدى

: ميكن إجياده باشتقاق دالة التوزيع البعدي كما يلي املنوال البعدي

(h+G) R- --( +n) -n

(h+G) R R- - --n -( +n)-1 -n -( +n)

R-(h+G) (h+G) R- - --( +n) -n-12 2

(h+--( +n+1)

( | u) K e (1-e ) d ( | u)

d

e (1-e ) -( +n) (1-e )

K (h+G) n( R)ee e (1-e )

-( +n) eK

G) R R- --n -n -( +n+2)

(h+G) (h+G+R) R- - --( +n-2) -(n+1)

R (h+G) R R- - - --n -( +n+1) -1

R R- --1

(1-e ) (h+G)(1-e )

e nR e (1-e )

(h+G) nR=K(1-e ) e -( +n)+ (1-e ) e

d ( | u) 0d

(h+G) nR-( +n)+ (1-e ) e

R R- --1

0

-( +n) +(h+G) nR(1-e ) e 0.

R R- --1

R-

1 (h+G) nR(1-e ) e ,( +n)

1 (h+G) nRe .( +n)

.عادلة غري اخلطية السابقة و يتم إجياد املنوال البعدي حبل امل

٣٤

تقدير االمكان االكرب

nG Rn

n nG R G Rn 1 n

2

n 1G R Rn

2

n 1G R R Rn

2 2

L(x | ) e 1 e ,

Gn e 1 e e 1 edLd Re n( e ) 1 e

n G nRe 1 e e 1 e

1R R

2 2

1R R

dL n G nR0 e 1 e 0d

n G nRe 1 e

1R Rˆ ˆ1ˆ (G nRe 1 e )

n

1Rˆ1 (G nR e 1 )

n

Rˆ1ˆ (G nRe ) .

n

وةةة كمماااللل

٣٥

لدالة الصالحية تقدير االمكان االكرب :ة هى حيث دالة الصالحي

2

1 2

t t

t te e R(t) .e e

وعلى ذلك مقدر االمكان االكرب لدالة .هلذه الدالة كرب هى مقدر املكان االكربوان اى دالة ىف مقدر االمكان اال :الصالحية هو

2

1 2

t tˆ ˆ

t tˆ ˆ

e eˆ R(t ) .e e

التقدير البييزى لدالة الصالحية 0R(t ر ایالة الصالحیة 1 حیث ( 0 2t t t

R*باستخدام دالة اخلسارة ملربع اخلطأ ميكن إجياد (t) حيث :

2

1 2

2

1 2 1

*

0t t

(h+G) R- --( +n) -nt t

0

t (t t )(h+G) R- --( +n) -n

t ( t t )0

R (t) E R(t )

= R(t ) ( |u) d

(e e ) = K e (1-e ) d(e e )

e (1 e ) =K e (1-e ) de (1 e )

2 1 11

``

(t t (t t ))(t t ) (h+G) R- --( +n) -n

R0

(R R )R (h+G) R- --( +n) -n

R0

`2 1 1

(1 e ) =K e e (1-e ) d(1 e )

(1 e ) =K e e (1-e ) d(1 e )

R t t , R t t

٣٦

` `

` `

R (R R ) (h+G) R- --( +n) -(n+1)

0

R (R R ) (h+G) jRn+j- --( +n)

jj=00

=K e (1 e ) e (1-e ) d

=K e (1 e ) e e d

` `

`

(jR+R h G) (R R )n+j --( +n)

jj=00

(jR+R h G) ((1+j)R h G)n+j n+j- --( +n) -( +n)

j jj=0 j=00 0

n+j

jj=0

=K e (1 e ) d

=K e d K e d

=K

`(jR+R h G) ((1+j)R h G)- --( +n) -( +n)

0 0

n+j

jj=0

` ( n 1) ( n 1)

n+j( n 1)

jj=0

`

e d e d

=K ( n 1)

(jR+R h G) ((1+j)R h G)

=K ( n 1)G

jR+R h( 1)G

( n 1) ( n 1)

n+j( n 1) ( n 1)

j j 1jj=0n+j-1

( n 1)jjj=0

`1 1

j j 1

(1+j)R h( 1)G

B A =

A

jR+R h (1+j)R hwhere B ( 1) ,A ( 1)G G

٣٧

للمعلمة ة ثقةفرت

1 ثقة ةفرت ميكن احلصول على 2(t , t ) HBD للمعلمة الىت جيب ان حتقق الشرطني التاليني و: :

2

1

1 2

t

t

(1) ( t u ) ( t u )

(2) f ( u ) d 1 .

:وحنصل على هذه الفرتة كالتاىل

1 1 2 2

11 2

2

12 11 2

2

(h+G ) R (h+G ) R- - - -t t t t-( +n) -n -( +n) -n

1 2nR-1 1 t[-(h+G )( - )]

t t( +n)1R-2 t

nR-1 t(h+G )[ )(t t )]t t( +n)1

R-2 t

(1) K t e (1-e ) K t e (1-e )

t 1-e( ) et

1-e

t 1-e( ) e .t

1-e

.ل املعادلتني السابقتني باستخدام احلاسب االىل ميكن احلصول على حدود الثقة وذلك حب : فيما يلى احلاالت اخلاصة من النتائج السابقة

2tعندما ) ا( ميكن احلصول على النتائج اخلاصة بالبرت من اليسار. 1tعندما ) ب( 0 من اليمني ميكن احلصول على النتائج اخلاصة بالبرت. 1عندما ) ج( 2t 0, t ميكن احلصول على النتائج اخلاصة بالتوزيع االسى مبعلمة واحدة ىف العينة الكاملة. ة ) ٨( ة العین ى حال ع االسى ف ة الصالحیة للتوزی اة ودال زى لمتوسط الحی التقدیر البیی

المراقبة من النوع الثانى من جھتین

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Shalaby (1990)البحث من قبل قدم هذا ٤

٣٨

مبعلمة وان أزمنة الفشل تتبع التوزيع األسي متثل أزمنة الفشل وضعت لالختبار n من احلجم عينة عشوائية بفرض وكانت االحصاءات الرتتيبية للعينه العشوائية هى

1 1 2n 1 n 2 n nY ,Y ,...,Y باعتبار أن و1 1 2n 1 n 2 n ny y ... y مت

من الوحدات زمن فشلهما اقل من 1nمت حتديدها قبل التجربة وبالتاىل فإن 1nحيث احلصول عليها1n 1y . 2ايضاn مت

من الوحدات صاحلة للعمل بعد الزمن 2nحتديدها قبل التجربة وبالتاىل فإن2n ny . 1اى ان 2(n n n ) حسبت

: مكان كالتايلاإل دالة كن احلصول على مي. للمعلمة املطلوب تقدير.ازمنة فشلها

21 2

1 2

1

n21

n 1 n ni 1 22

1

n n21* *i

1 2i n 11

n nn n

i n 1 n ni n 11 2

ny yyn n - - -

i n 11 2

ny t t- - --n

1 2

n!L f (y ) P(X y ) P(X y )n n

n! 1= e 1- e e n n

n!= e 1- e e n n

n2

1*1

nt--n -s

1 2

n!= e 1- e n n

1 2ns t t

n = e e e ,

: حيثn n2

1 2

n 11

* * *1 n 1 2 n n i 2 2 1 2

i

t y , t y ,s y n t ,n =n-n -n .

1العينة املراقبة من النوع الثاىن من جانب واحد حنصل عليها بوضع 2n 0 or n 0 :وزيع جاما العكسي هو ت للمعلمة بفرض أن التوزيع القبلي

: التوزيع البعدى ل هو

h1h( ) e ; h, > 0 .( 1)

٣٩

0

L(x | ) ( )( | x) ( | s).L(x | ) ( ) d

*1

1

*11

1

0

(s+h) t-1 - - n-( +n)

1 2 0

(s+h+jt )-1 n -j -( +n)

jj=01 2 0

-1 nj

jj=01 2

f (x) L(x | ) ( ) d

n! h = e (1-e ) dn n ( -1)

n! h = ( 1) e dn n ( -1)

n! h = ( 1) (nn n ( -1)

*

-(n-1) 1h+jt-1)s (1 ),n = +n .s

:هو وعلى ذلك التوزيع البعدى ل *1

1

1 1

1 1

(s+h) t- - n-n

*n n1 j -(n-1) (n -11

jj=0

n nj -(n -1) (n -1)

jjj=0

*11

j

( | s) k e (1-e )h+jt(k ) ( 1) (n -1)s (1 ) )

s

( 1) (n -1)s D ,

h+jtwhere D (1 ) .s

:هو s بشرط للمعلمة mالعزم الالمركزي ذو الرتبة

٤٠

*1

1

1 1

1 1

1

` m mm

0

(s+h) t- - n-(n -m)

0

n nj -(n -m-1) (n -m-1)

jjj=0

n nj (n -m-1)

jjj=0mn

j (n -1)jjj=

( | s) E( ) ( | s) d

k e (1-e ) d

=k ( 1) (n -m-1)s D

( 1) D(n -m-1) s

(n -1) ( 1) D

1n

0

,

m 1,2,...

. mذو الرتبة الالمركزية و ميكن إجياد املتوسط و التباين من العزومR(tودالة الصالحية لكل من املعلمة البييزى التقدير )

:اخلسارة ملربع اخلطأ هو حتت فرض دالة *البييزىالتقدير

1 1

1 1

1 1

1 1

n nj (n -2)

jjj=0* `1 n n

j (n -1)jjj=0

n nj (n -3)

j2 jj=02 `2 n n

j (n -1)jjj=0

( 1) Ds (n -2)E( | s) ( | s) ,

(n -1) ( 1) D

( 1) Ds (n -3)E( ) ( | s) .

(n -1) ( 1) D

٤١

1 11 1

1 11 1

1

2n nn nj (n -3) j (n -2)

j j2 2j jj=0 j=0n n2n n

j n -1) j (n -1)j jj jj=0 j=0

nj

2 j

Var( )

( 1) D ( 1) Ds (n -3) s.

(n -1) ( (n -1))( 1) D ( 1) D

( 1) Ds

(n -2)(n -3)

1 1 1

1 11 1

2n n n(n -3) j (n -2)j jjj=0 j=0

n nn nj (n -1) j (n -1)

j jj jj=0 j=0

( 1) D(n -3) .(n -2)( 1) D ( 1) D

املنوال البعدى

: ميكن إجياده باشتقاق دالة التوزيع البعدي كما يلي املنوال البعدي

*1

1

(s+h) t- - n-n( | s) k e (1-e ) *1

1

*1

1

* *1 1

1

(s+h) t- - n-n

t (h+s) (h+s)- - -n -(n +1) -n2

(h+s) t t* - -n -1-n 11 2

( | s) k e (1-e ) .d ( | s)

d

(h+s)(1-e ) e (-n ) e

kte (n (1-e ) e ) .

٤٢

* * *1 1 1

1

*1

*1

*1

(s h) t t t*nn 11 1

2 2

t* 1

1 1

t* 1

1 1

t*

1 1

n td ( | s) n s h0 e (1 e ) e (1 e ) 0d

n s h n t (e 1) 0

1 s h n t (e 1)n

1 s h n t e .n

.حبل املعادلة السابقة باستخدام احلاسب االىل ميكن إجياده املنوال البعدي

R(t)املقدر البييزى لدالة الصالحية

: مبا ان

t- * *1 2R(t) e , t < t<t

:كالتاىل املقدر البييزى لدالة الصالحيةبإستخدام دالة خسارة مربع اخلطا ميكن اجياد

٤٣

*1

1

*11 1

1 1

1 -(n -1

*0

0

(t+s+h) t- - n-n

0

(t+s+h+jt )n n -j -n

jj=0 0n n

j * -(n -1)1jj=0

nj

j

R (t ) E[R (t)] R(t ) ( | s) d

k e (1-e ) d

k ( 1) e d

k= ( 1) (t +s+h+jt )(n -1)

k ( 1) s(n -1)

-(n -1)

1 )

1 1

1 1

*n1

j=0

n nj n -1

1j *jj=0 1jn n

j n -1jjj=0

t+h+jt1s

( 1) Et+h+jt,E 1 .

s( 1) D

:ايضا ميكن اجياد تباين دالة الصالحية ىف هذه احلالة كالتاىل

2Var R(t) E(R(t) s) (E(R(t) s)) .

٤٤

*1

1

* *1 1

1 1 1

1 1

2 2

0

(2t+s+h) t- - n-n

0

(2t+s+h+jt ) tn - -n n-nj

jj=0 0

-(n -1)*n nj -(n -1) 1

jj=0

E[R (t)] R (t) ( | s) d

k e (1-e ) d

e (1-e ) dk ( 1)

(2t+h+jt )k ( 1) s 1(n -1) s

k(

1 1 -(n -1)

1 1

1 1

1 1

-(n -1)n *nj 1

jj=0n n

j (n -1)jj

j=0

n nj n -1

1 1j * *jj=0 1 1j jn n

j n -1jjj=0

2t+h+jt( 1) s 1s

n -1) ( 1) D

( 1) Ht+h+jt 2t +h+jt,E 1 ,H 1 .

s s( 1) D

2Var R(t ) E(R(t) s) (E(R(t) s))

1 11 1

1 11 1

2n nn nj n -1 j n -1

j jj jj=0 j=0n nn n

j n -1 j n -1j jj jj=0 j=0

( 1) H ( 1) E.

( 1) D ( 1) D

٤٥

دیر) ٩( ر اتتق ان االكب ین االمك ,للمعلمت ع االسى لل ین توزی ة بمعلمت ة العین ى حال ف الكاملة

بفـرض ان 1 2 nX X ,X ,...,X مــن احلجــم عينــة عشــوائية n لــه دالــة كثافــة االحتمــالع خمتــارة مــن توزيــ مــن الوحــدات

,االسى مبعلمتني الشكل التاىل والىت تاخذ:

x

1f (x; , ) e , x ,0 , e.w.

1باعتبار أن 2 ny y y 1حيث مت احلصول عليها 2 ny y , y , , y املعاملواملطلوب تقدير , . ميكن :اإلمكان كالتايل دالة احلصول على

n

ii 1

1 (y )

in

1L e , y ,

0معلومـــة حبيـــث ان بفـــرض ان املعلمـــة يـــتم ذلـــك بتصـــغري .واملـــراد تعظـــيم دالـــة االمكـــانn

ii 1

(y )

وذلـــك

:أكرب قيمة وحيث إن عندما يكون لـ1 2 ny , y , , y .

:هو ولذلك فإن املقدر للمعلمة1 2 n 1ˆ Min(X ,X , ,X ) Y .

.وبالتاىل عن 0مستقل عن وهذا يعىن ان : االن دالة االمكان تصبح

n

i 1i 1

1 (y y )

n

1L e .

:هو احلل للمعادلة مقدر اإلمكان للمعلمة

ˆ

ln L 0

٤٦

n

i 1i 1

n

i 1i 1

2

then :

(y y )ln L = - n ln - .

(y y )ln L n .

بوضع ˆ

ln L 0

: فان

i 12

(y y )n 0ˆ ˆ

,وبالتاىل فإن مقدرات االمكان للمعلمتني مها:

n

1 i 1 1i 1

1ˆˆ Y , (Y Y ) X Y .n

ˆاملقدرين ˆ, مستقلني النˆ, مستقلني اى ان التغاير بينهما يساوى صفر اى انˆ ˆCov( , ) 0 . .تم دراسة التوزيع املضبوط لكل من املقدريناالن ي

:دالة الكثافة االحتمالية املشرتكة لإلحصاءات الرتتيبية يف العينة تعطى كالتايل

n

ii 1

1 2 n 1 2 n

1 (y )

1 2 nn

g(y , y ,..., y ) n!f (y )f (y ) f (y )

n! e . ; y y y .

:نعترب التحويلة األحادية1 1 0 0

2 2 1

3 3 2

i i i 1 0

Z n (Y Y ),Y ,Z (n 1)(Y Y )Z (n 2)(Y Y )

Z (n i 1)(Y Y ) , i 1,2,...,n , Y 0

:والتحويلة العكسية هلا هي

n

i 1i 1

2

n

i 1i 1

(y y )n .ˆ ˆ

(y y )ˆ .

n

٤٧

1 2 ii

Z Z ZY ... , i 1,2, ,n,n n 1 n i 1

:نوجد جاكوبيان التحويل كالتايل ومنها1 1 1

1 2 n

2 2 2

1 2 n

n n n

1 2 n

y y y 1 0 0z z z ny y y 1 1 0 1z z zJ .n n 1

n!

1 1y y y 1n n 1z z z

:سوف نثبت ان n n

i ii 1 i 1

Z (Y ).

:مبا ان 1 1 1Z n(Y ) nY n

)٣-٥( :االن

n n

i ii 1 i 1

(Y ) Y n .

:فإن )٣-٥(بقيمتها ىف nوبالتعوئض عن

n n n

i i 1 1 i 1 1i 1 i 1 i 1

n n n n

i 1 1 i 1 1 i 1 ii 1 i 2 i 2 i 1

(Y ) Y Z nY Y nY Z

(Y Y ) Z (Y Y ) Z Z Z Z .

i)و iZدالة كثافة االحتمال املشرتكة لـ وعلى ذلك 1,2, ,n) تعطى كالتايل: n

ii 1

i

z[ ]

1 2 n n

zn [ ]

ii 1

1h(z ,z ,...,z ) e

1 e , 0 z ,

0 , e.w.

. باملعلمة متغريات عشوائية مستقلة ومتطابقة وكل منها يتبع التوزيع االسي iZمما يعين إن املتغريات

٤٨

: إن مباn n n

i i 1 i 1i 2 i 2 i 2

Z Y (n 1)Y (Y Y ),

:اى ان

n n n

i 1 i 1 ii 1 i 2 i 2

1 1 1ˆ (Y Y ) (Y Y ) Z .n n n

:هى لالحصاءالدالة املولدة للعزوم

n

ii=2

(n 1)ˆ

Z

n

tM (t) M (t) (1 ) .n

)ع جاما مبعامل والىت متثل الدالة املولدة للعزوم ملتغري عشوائى يتبع توزي , n 1)n

. وذلك الن: iZاملتغريات ,i 1,2,...n 1 متغريات عشوائية مستقلة ومتطابقة وكل منها يتبع التوزيع االسي باملعلمة .

الدالة املولدة للعزوم للمقدر n

ii 2

Z هى:

n

ii=2

(n 1)

ZM (t) (1 t ) .

توزيع اى ان n

ii 2

Z يتبع توزيع جاما مبعلمتني, (n 1) .

iZاملتغريات وذلك الن ,i 1,2,...n 1 متغريات عشوائية مستقلة ومتطابقة وكل منها يتبع التوزيع االسي باملعلمة . :الن ا

1ˆ Y

:الرتتيب االحصاء االصغروميكن احلصول على توزيعة من الصيغة التالية 1Yحيث

n 11 1 1

1 1n f (y ) 1 F(y ) , 0 y ,g (y )0 , e.w.

,يتبع التوزيع االسى مبعلمتني 1Yاى ان n.

:االن

11

Z 1ˆE( ) E( ) E(Z ) .n n n

٤٩

:ايضا .مقدر متحيز للمعلمة اى ان 2

112 2

Z 1ˆVar( ) Var( ) Var(Z ) .n n n

n n

i ii 2 i 2

1 1 n 1ˆE( ) E( Z ) E(Z ) .n n n

: ايضا.مقدر متحيز للمعلمة اى ان n n

2i i2 2

i 2 i 2

1 1 n 1ˆVar( ) Var( Z ) Var(Z ) .n n n

ˆˆمبا ان املقدران , مقدرين متحيزين فيمكن احلصول منهما على مقدرين غري متحيزين كالتاىل:

1 1 1

11 1

n n 1 nˆ ˆ(Y Y ), Y { [ (Y Y )]}n 1 n 1 n 1 n n 1

nY Y1Y [ (Y Y )] .n 1 n 1

:اى ان 1

1nY Yn (Y Y ), .

n 1 n 1

22

2 2

2

n n n 1 n n 1E( ) E( ) . , Var( ) .n 1 n 1 n (n 1) n

,n 1

2 2 2

2 2 2 2

1ˆE( ) E( ) E( ) ,n n n

1 1 1ˆVar( ) Var( ) Var( ) (1 ).n n n n 1 n n 1

:الثبات هل املقدرين مستقلني ام ال نتبع االتى االن

2

2 2 2 2

2

ˆ ˆ ˆ ˆn nˆCov( , ) Cov( , ) Cov( , )n 1 n 1 n 1 n 1

n n n (n 1)ˆ ˆ ˆCov( , ) Var( ) .(n 1) (n 1) (n 1) n

.n(n 1)

ˆˆاى ان املقدران , غري مستقلني .

٥٠

االن سوف نثبت ان n

i 1 1i 2

{ (Y Y ), Y }

احصاءات كافية للمعلمتنيˆˆ( , ) . نفرض ان :n

1 i 1i 2

U Y , V (Y Y )

. ومبا انˆˆ( , ) اى ان .مستقلني فإن اى دوال فيهما مستقلني(U, V) مبا .مستقلني ايضا

1Uان Y يتبع التوزيع االسى مبعلمتني,n اىل حيث دالة كثافته االحتمالية تاخذ الشكل الت:

n u

n1g (u; , ) e , u ,

0 , e.w.

:ومبا ان n n

i 1 ii 2 i 2

V (Y Y ) Z

,تتبع توزيع جاما مبعلمتني Vاى ان n 1 ، حيث دالة كثافته االحتمالية تاخذ الشكل التاىل:

vn 2

2 n-1

1g (v ; )= v e , v > 0.(n 1)

,V)للمتغريين اى ان التوزيع املشرتك U) هو:

n u vn 2n

n-1

1g (u,v) e v e , v > 0,u> .(n 1)

:االحتمال الشرطي موباستخدا

n

ii 1

1 (y )

n u vn 2n

n-1

1 eL(y; )h(y, u, v)

g(u, v) 1e v e (n 1)

٥١

n

ii 1

i

1 (y )n

v n un n 2

( y v n nu n )

n 2

n

ii 1

n 2

N

(n 2) i 1i 1

e

n v e (n 1)

(n 1) en v

( y v nu)(n 1) exp

n v

( y v ny )(n 1)v exp

n

(

n

(n 2) i 1i 2

n n

(n 2) i 1 i 1i 1 i 2

(n 2)

[ (y y ) v]n 1)v exp

n

[ (y y ) (y y )](n 1)v exp

n

(n 1)v .n

,وهذه النسبة ال تعتمد على اى ان .بل دالة فقط ىف املشاهداتn

i 1 1i 2

{ (Y Y ), Y }

احصاءات كافية مشرتكة

,للمعلمتني . :للحصول على مقدر ملتوسط التوزيع نتبع االتى

:مبا ان

1 1

ˆ ˆn ˆˆ ˆ, , Y Y , Y ,n 1 n 1

:ومبا ان

E(X) , :توسط التوزيع هو ملوعلى ذلك مقدر االمكان االعظم

1 1ˆˆ Y Y Y Y.

٥٢

:املقدر ملتوسط التوزيع الغري متحيز هو ˆ ˆ ˆn ˆˆ ˆ ˆ ˆ(n 1) Y.

n 1 n 1 n 1

1R(t)لدالة الصالحية exp (t ) , t :فإن املقدر الذى يعتمد على مقدرات املكان االعظم هو

1

11

t YR(t) exp , t Y .Y Y

ة لمعالم التوزیع االسى بمعلمتین بییزیة تقدیرات) ٠١( ةودال ة المعاین ى حال الصالحیة ف

من النوع الثانى

٤ 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

, تنيمبعلم االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم على الشكل التاىل:

x

1f (x; , ) e , x ,0 , e.w.

1 وباعتبار ان 2 ry y , y , , y للمعامل تقدير اجياد واملطلوبمت احلصول عليها, . دالة اإلمكان تعطى كاآليت:

:األسي بمعلمتین ایجاد مقدرات بییز تحت فرض التوزیع:

r

i ri 1

1r y n r yn! 1L y , e .n r !

:االن

٥٣

r r

i r i ri 1 i 1

r

i r 1 1 1i 1

1

r

i 1 r 1i 1

1

r

i 1 r 1 1i 1

y n r y y r n r y n r

y n n r y [ry ry ny

ny ]

y ry n r y n r y

ny n

y y n r y y n y .

r

i 1 r 1i 1

n!let s y y n r y y ;kn r !

11 s n y

r

kL y , e .

,ل حتت فرض التوزيع القبلى التاىل :

1a

1g , ;a, 0 , y .

,ل وعلى ذلك التوزيع البعدى هو:

1

11

1 s n ya r

1y s n ya r

0

k e, y .k e d d

:حيث

٥٤

1

1

1

1

ya r1

10

ya r 1

1

ya r 1

1

ya r 2

1

1k exp s n y d d

s n y a r 1d

a r 1 s n y d

a r 1 s n y .n a r 2

a r 21

a r 2

a r 2 nsk kns a r 2

11 s n ya r, x k e .

التوزيع البعدى ل : The marginal posterior of لـ

1

10

1 s n ya r

0

a r 1

1

a r 2a r 1

1

a r 2

a r 1

1

y , y d

k e d

k s n y a r 1

ns s n y a r 2 a r 2a r 2n a r 2 s

.s n y

1

1

y

ya r 1a r 2

1

E y d

n a r 2 s s n y d .

a r 1 a r 2 a r 2

٥٥

a r 1

1

a r 2

1

let u dv s n y

1du d v s n yn a r 2

1

1

ya r 2a r 21

ya r 2

1

a r 2 a r 2 a r 31

1

n a r 2 s s n yn a r 2

1 s n yn a r 2

1s s y sn a r 3

sy .n a r 3

بعدى ل التوزيع ال دى لـ : The Marginal

1

11

y1

1

y

1y s n ya r

1 s n ya r

sa r 1 n

sa r 2a r 1 n

y , y d

k e d

k en

k ens e , 0.

a r 2

sa r 2a r 2

0

a r 2a r3

s e da r 2s s a r 3

a r 2a r 3 ss .

a r 2a r 2

٥٦

1

sy ,n a r 3

s .a r 3

٥٧

٥٨

المراجع

:المراجع العربیة

o عمادة - جامعة الملك سعود –مقدمة في النظریة اإلحصائیة ، ) ١٩٩١(، أحمد عودة - ١ .شؤون المكتبات

o o مدیریة دار الكتب للطباعة والنشر –اإلحصاء الریاضي ، ) ١٩٩٠(، أمیر حنا هرمز -٢–

.الموصل –الجمهوریة العراقیة o o مكتبة المتنبى -الطبعة الثانیة –نظریة االحتماالت ، ) ٢٠٠٠(، منعم ثروت محمد عبد ال - ٣

. المملكة العربیة السعودیة –o o الطبعة الثالثة –مدخل حدیث لإلحصاء واالحتماالت ، ) ٢٠٠٨(، ثروت محمد عبد المنعم - ٤

.المملكة العربیة السعودیة –مكتبة العبیكان –o o المدخل الحدیث لإلحصاء واالحتماالت مع الحلول ل ، ) ٢٠٠٩(، ثروت محمد عبد المنعم - ٥

.المملكة العربیة السعودیة - مكتبة المتنبى –الطبعة االولى - مسالة ٧٠٨o o ١٠٣٥نظریة االحتماالت مع الحلول لحوالى ، ) ٢٠١٠(، ثروت محمد عبد المنعم - ٦

. ة المملكة العربیة السعودی –مكتبة المتنبي -الطبعة االولى –مسالةo o جدة –دار الشروق –الطبعة الثانیة –نظریة االحتماالت ، ) ١٩٨٨(، جالل الصیاد - ٦–

.المملكة العربیة السعودیة o o دار المریخ للنشر -الطبعة االولى –االستدالل االحصائى ، ) ١٩٩٣(، جالل الصیاد - ٧–

.المملكة العربیة السعودیة –الریاض

٥٩

o وزارة التعلیم –الجمهوریة العراقیة –طرق اإلحصاء ، ) ١٩٨٣(، سلیم ذیاب السعدي - ٨ .العالي والبحث العلمي

o o أساسیات االحصاء الریاضي ، ) ١٩٩٨(، علي عبد السالم العماوي وعلي حسین العجیلي - ٩

.جامعة الفاتح –إدارة المطبوعات والنشر –

o نظریة التقدیر ) ١(الحصائي ، االستدالل ا) أ ٢٠٠٠(‘عبد الحفیظ محمد فوزي مصطفى - ١٠

.مدینة نصر –القاھرة -، مجموعة النیل العربیة

o

o نظریة التقدیر ) ٢(، االستدالل االحصائي )ب ٢٠٠٠(عبد الحفیظ محمد فوزي مصطفى ، - ١١

.مدینة نصر –القاھرة -، مجموعة النیل العربیة

o o نظریة االحتماالت و ، ) ٢٠٠٠(،محمد إبراهیم عقیل و عبد الرحمن محمد أبو عمه -١٢

.المملكة العربیة السعودیة –جامعة الملك سعود –النشر العلمي و المطابع –تطبیقاتها o

:المراجع األجنبیة

1-Ashour , S.K and Salem, S.A (1990) An Introduction to Mathematical Statistics, I.S.S.R ,Cairo University. 2-Abdel Moneim, T.M. (1998), Bayesian estimation of the reliability function

of a two-parameter Cauchy distribution , The Egyptian Statistical Journal,

42(1),1-9.

3- Aitchison, J.& Brown J.A.C (1957), The Lognormal Distribution,

Cambridge:Cambridge University Press.

4-AL- Braheem ,F . M . (1990) Regression Models in Testing, Msc. Girls

College , Dammam.

٦٠

5-AL- Hussaini, E. K. & Jaheen, Z. F. (1994), Approximate bayes estimators

applied to the Burr model , Communications in Statistics-Theory and Methods,

23 (1), 99 - 121.

6-AL- Ohali , M . E . (2000) , Some Bayesian Predictions Based on Pareto

Distribution , Msc. Girls College , Dammam.

7-AL- mobaudh , E . A . (2010) , Estimates of Lognormal Distribution

Parameters Based on Bayesian Approach, Msc. Girls College , Dammam .

8- Balasooriya , U. & Balakrishnan, N. (2000) ,Reliability sampling plans for

lognormal distribution , based on progressively-censored samples , IEEE

Transactions on Reliability ,49(2),199-203 .

9-Basu , A . B . & Ebrahimi , N . (1991) , Bayesian approach to life testing and

reliability estimation using asymmetric, Journal of Statistical Planning and

Inference, 29, 21-31.

10-Barnett, V . B . &Lewis, T . (1994) ,Outliers in Statistical Data 3 ed.,Jon

Wiley ,New York.

11-Bekker, A., Roux, J.J.J & Mostert, P.J. (2000), A generalization of the

compound Ra10yleigh distribution: using bayesian methods on cancer survival

times , Communications of Statistics – Theory and Methods, 29(7), 1419-1433.

12-Bhattacharya, S . K . (1967) , Bayesian approach to life testing and reliability

estimation , Journal of American Statistical Association , 48-62 .

13-Box , G . E . P . , & Tiao , G . C . (1973) , Bayesian Inference in Statistical

Analysis , Reading , MA : Addison – Wesley .

٦١

14-Calabria, R. & Pulcini, G. (1996), Point estimation under asymmetric loss

functions for left-truncated exponential samples, Communications in

Statistics - Theory and Methods,25(3),585-600.

15-Chen, C. (2006), Tests of fit for the three- parameter lognormal distribution

,Computational Statistics & Data Analysis , 50 ,1418-1440 .

16-Cohen, C. (1963), Progressively censored samples in the life

testing,Technometrics ,(3).,327-339.

17-Consul,P. C.,(1984),On the distributions of the order statistics for a random

sample sizes,Statist.Nearland., 83,249-256.

1٦18-Crow, E.L. & Shimizu, K. (1988), Lognormal Distributions: Theory and

Applications,New York : Marcel Dekker.

19-Doetsch,G.(1970) Guide to the application of the Laplace and Z transform

U N R London.

20-Dahiya, R.C & Guttman,I. (1982), Shortest confidence and prediction

intervals for the log-normal, The Canadian Journal of Statistics ,10(4),277-291.

21-Dey, D.K. & Lee, T. (1992), Bayes computation for life testing and

reliability estimation , IEEE Transactions on Reliability, 41, 621-626 .

22- Grimshaw, S.D. ( 1993), Computing likelihood estimates for the generalized

Pareto distribution , Technometrics 35 (2), 185-191.

23-Gupta, D. ,and Gupta,R.C.,( 1984), On the distribution of order statistics for

a random sample size ,Statist.Nearland.,38, 13-19.

24-Howlader, H.A. & Sinha, S.K. (1984), Bayesian estimation of regression

parameters under a bivariate normal Prior, La Revue Publication de L'Institut de

Statistique de l'université de Paris, 29(1), 47-57.

25-Howlader, H. A. & Weiss, G. (1988), Bayesian reliability estimation of a two

parameter Cauchy distribution , Biometrical Journal , 30( 3), 329-337.

٦٢

26-Howlder, H.A. & Weiss, G. (1989), Bayes estimators of the reliability of

logistic distribution, Communications in Statistics-Theory and Methods , 18 (1),

245-259.

27-Johnson, N,L . & Kotz, S. (1970) Distributions in Statistics , Volume 1

Houghton Mifflin,Boston.

28-Johnson, N, Kotz, S, & Balakrishnan, N. (1994), Continuous Univariate

Distributions, Volume 1 (Second Edition.). New York .

29- Lee , P. M. (1989) , Bayesian Statistics : An Introduction , Arnold , London .

30- Lee, C.F. & Lee, J. C., Chapter 5 Normal and Lognormal Distribution in

Alternative Option Pricing Models: Theory, Methods, and Applications Kluwer

Academic Publishers, to appear.

31-Lindley, D.V. (1980), Approximate Bayesian ,Trabajos de Estabistica,

31,223-237.

32-Martz , H . F . & Waller , R . A . (1982) , Bayesian Reliability Analysis ,

New York , Wiley .

33- Padgett, W.J. & Johnson, L.J. (1983), Some bayesian lower bounds on

reliability function in the lognormal distribution, The Canadian Journal of

Statistics, 11(2),137-147.

34-Padgett, W.J. & Wei, L.J. (1977), Bayes estimation of reliability function

for the two-parameter lognormal distribution, Communications in

Statistics - Theory and Methods,A6(5),443-457.

35-Padgett, W.J. & Wei, L.J. (1978), Bayesian lower bounds on reliability

function for lognormal model, IEEE Transactions on Reliability, R-27(2),161-

165.

٦٣

36-Papadopoulos, A.S. (1983), Bayesian reliability of the Weibull failure model

with bivariate Characterization of the parameters,Metron, XLI(1-2), 95-112.

37-Singh P. K, Singh S. K. & Singh U. (2008), Bayes estimator of inverse

Gaussian parameters under general entropy loss function using Lindley's

approximation , Communications in Statistics - Simulation and

Computation, 37(9), 1750 – 1762.

38-Sinha, S.K. (1981), On the moment estimation of lognormal parameters,

IAPQR Transactions ,6(2), 83-88.

39-Sinha , S. K. (1983), Bayesian estimation of the mean of a normal

distribution when the coefficient of variation is known ,The Statistician Institute of

Statisticians ,32(3) ,339-345.

40-Sinha, S.K. (1985),Bayes estimation of the reliability function of normal

distribution , IEEE Transactions on Reliability, R-34(4),360-362.

41-Sinha, S.K. (1986), Bayes estimation of the reliability function of the inverse

Gaussian distribution , Statistics & Probability Letters 4, 319-323 .

42-Sinha, S.K. & Guttman,I. (1988), Bayesian analysis of life-testing

problems involving the Weibull distribution, Communications in Statistics.

Theory and Methods,17(2),343-356 .

43-Sinha, S.K. (1989),Bayesian inference about the prediction/credible intervals

and reliability function for lognormal distribution , Journal of the Indian

Statistical Association, 27,73-78.

44- Smith, D.L. & Naberejnev, D.G (2004) , Confidence intervals for the

lognormal probability distribution , Nuclear Instruments and Methods in Physics

Recscarch A ,518,754-763 .

٦٤

45- Shalaby,O.A. (1990) Bayesian comparison distribution given a Type Two

Censored From a One Parameter Exponential Distribution .J.King Saud Univ.

Vol. 2. Admin. Sci. (20)

46- Shalaby,O.A. and Yousef,M.H. (1992) Bayesian of the parameters of a

doubly truncated of weibull distribution ,The Egyptian Statistical Journal

ISSR,Cairo Univ. Vol 36, No. 1.

47-Shalaby O. A. (1993),Bayesian inference in truncated and censored

exponential distribution and reliability estimation, Communications in

statistics. Theory and methods, 22(1), 57-79.

48- Shalaby,O.A. (1994) Bayesian Inference In Truncated And Censored

Exponential Distribution And Relibility Estimation.

49- Shalaby,O.A. &Abdelmoneim, T.M. (1999) , Characterization of the three

parameters gamma distribution with mixing distributios The Egyptian

Statistical Journal ISSR.Cairo Univ. Vol 43 no. 1 .

50- Soliman, A.A. and AL-Ohaly,M.E. (2000),Bayes 2-sample prediction for

the pareto failure –model, JOURNAL OF THE Egyptian Mathematical

Society,Vol. 8(1).

51- Soliman, A.A. (2005),Estimation of parameters of life from progressively

censored data using Burr-XII model, IEEE Transactions on Reliability, 54(1),

34 – 42.

52-Sweet, A.L. (1990), On the hazard rate of the lognormal distribution, IEEE

Transactions on Reliability,39(3),325-328.

53-Szajnowski, W.J. (1977), Estimators of log – normal distribution parameters

, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems , AES-13(5),533-536.

54-Tierney, L. and Kadan,J.B. (1986),Accurate approximations for posterior

moments and marginal densities,J. Amer. Statist.Assoc.,81,82-86.

٦٥

55-Wasserman,L. (2004), All of Statistics A Concise Course in Statistical

Inference, Springer .

56-Wen, D. & Levy, M. S. (2001a), Blinex : A bounded asymmetric loss

function with application to Bayesian estimation, Communications in

Statistics - Theory and Methods,30(1),147-153.

57-Wen, D. & Levy, M. S. (2001b), Admissibility of bayes estimates under

Blinex loss for the normal mean problem, Communications in Statistics -

Theory and Methods,30(1),155-163.

58-Yang, Z. (2000),Predictive densities for the lognormal distribution and their

applications, Microelectronics Reliability, 40, 1051-1059.

59-Zelen , M . (1959),Factorial experimental in life testing,1 ,269-288 .

60-Zellner , A . (1971),Bayesian and non- bayesian analysis of the log-normal

distribution and log-normal regression, Journal of the American Statistical

Association , 66(334) ,327-330 .

61-Zellner , A. & Tobias, J. (2001),Further results on bayesian method of

moments analysis of the multiple regression model, International Economic

Review,42(1),121-140.

٦٦