٣٠١

الفصل الخامس

التحلیل البییزى لبعض التوزیعات

تحت اختبارات الحیاه

٣٠٢

بمعلمة واحدة التوزیع االسى) ١-٥( ان باالعتماد دالة الصالحیة تقدیر ولمتوسط الحیاة فترة ثقة) ١-١-٥( ى على دالة االمك ف

حالة العینة الكاملة )المعلمة (فترة ثقة لمتوسط الحياه) ا(

عينة بفرض أن. من الوحدات وضعت لالختبار وان االختبار ينتهي بعد فشل كل الوحدات nبفرض أن

:بدالة كثافة احتمالية ةعلممبعشوائية متثل أزمنة الفشل وان أزمنة الفشل تتبع التوزيع االسى x1f(x; ) = e , x , > 0 .

1باعتبار أن مشاهدات العينة و 2 nx , x , , x مت احلصول عليها واملطلوب تقدير متوسط زمن احلياة . دالة اإلمكان تعطى :كاآليت

n

i

i 1

x

1 2 n n

1L(x , x ,..., x | ) L e .

:هو الحل للمعادلة للمعلمة كبراال اإلمكانمقدر

n

ii 1

n

ii 1

2

ln L 0 .

then :

xln L = - n ln - .

xln L n .

بوضع ˆ

ln L 0

i: فان

2

xn 0.ˆ ˆ

n

ii 1

2

n

ii 1

xn ,ˆ ˆ

xˆ = x .

n

1 2 nX , X , , X

٣٠٣

: تبع التالىي توقعه وتباينهو ) exactالمضبوط ( توزيع إليجادn

ii 1

n

ii 1

XˆE( ) E(X) E( )

n1 1E(X ) n .n n

:يحسب كالتالي التباين للمقدر . مقدر غير متحيز للمعلمة أي ان n

ii 1

n

i2i 1

22

2

1ˆVar( ) = Var(X) = Var( X )n

1 = Var(X )n1 = n = .n n

1بمـا ان 2 nX , X , , X توزيــع إيجـاديمكن متغيــرات عشـوائية مســتقلة ولهــا نفـس التوزيــع فــ مــن الدالـة المولــدة للعــزوم

: كالتاليi

n

ii 1

n

ii 1

1X

n

X

n

X

n

M (t) (1 t ) , i 1, 2,...n,

M (t) (1 t ) .

tM (t) (1 ) ,n

) بمعلمتــــين الدالــــة المولــــدة للعــــزوم لمتغيــــر عشـــوائي يتبــــع جامــــا والتـــي تمثــــل , n)n اىG( , n)

n . ســــوف نثبــــت ان

دالـة كثافـة االحتمـال للمتغيـر . باتبـاع الخطـوات التاليـةوذلـك MVUEهو مقدر غير متحيـز بأقـل تبـاين أي المقدر تكون على الشكل التالي:

n ˆnn 1

2i

2 2 3

2

2 2 3 2

2 2

2

2

n( )ˆ ˆ ˆf( ) e , > 0.

(n)xln L n 2 ,

ln L n 2n nE( )

1 ˆVar( ) .ln L n nE( )

:نتبع اآلتي كافي إحصاء أن إلثبات

٣٠٤

i

i

x

n

x n-n

ii 1

1L = e ,

L = (1).( e ) , u= x ,

N(x) . K(u, ).

و N(x) =1 حيث ix

-nK(u, )= e

. n

ii 1

X U sufficient for .

ˆ sufficient for .

وبما ان n

ii 1

U= X إحصاء كافي للمعلمة وبالتالي فإنUˆ

n دالة فى احصاء كافى ن اىال( أيضاإحصاء كافي

: كالتالى االحتمال الشرطي مباستخدا وذلك بإستخدام ويمكن اثبات ذلك بطريقة اخرى .)هى احصاء كافىL(x, u)g(x | u) ,h(u)

:كالتالى Uيمكن الحصول على توزيع . Uلإلحصاء االحتمال دالة كثافة h(u)حيث n

i ii 1

nu

n-1

X E xp( ) U= X G( , n),

1( )h(u) = u e , u > 0.

(n)

u

n

u n 1n 1

n

L(x, u) g(x|u)=

h(u)

1 e (n) = ,u1 u e

(n)

=iU أنأي علــى عتمــدال ي g(x|u)ان حيــث X كــافي للمعلمــة إحصــاء وبالتــالي فــانUˆ n

كــافي إحصــاء . للمعلمة

دالـة فـى المعلمـة والمقـدر توزيعهـا ال يعتمـد ( قيمـة محوريـة إليجـاد اختبـارات فـروض نحتـاج أوللحصول على فترات ثقـة : حيث يمربع كالذلك سنستخدم العالقة بين توزيع الجاما وتوزيع ) على المعلمة

٣٠٥

un

n-1 e

nz

n 1 21

n nz zn 1

n 1 2 2n n

22n

1( )h(u) = u e , u > 0.

(n)

2ulet z

z dzu du = .2 2

1( ) zg (z) ( ) e (n) 2 2

1( ) ( ) z z e e(n) 2 (n) 2

Z .

:كالتالى ثقة ةومنها يمكن الحصول على فتر

2 2

12 2

ˆ2nP( ) 1 .

2

12

2

2

2

2

12

٣٠٦

2 2

12 2

2 2

12 2

1 1P( ) 1 .ˆ2n

ˆ ˆ2n 2nP( ) 1 .

:حيث

2 2

12 2

ˆ ˆ2n 2n,

2حيث لـيمثالن الحدين االدنى واالعلى لفترة الثقة 2

12 2

,

جدول توزيع مربع تستخرجان من

.2n عند درجات حر ية )٥( كاى من الملحق

دالة الصالحية تقدير )ا(

ا احتمال أن الوحدة صاحلة للعمل على األقل لفرتة معينة من الزمن) أو النظام(صالحية الوحدة .تعرف بأ 0 0 0R t P X t 1 F t .

مثال

:مصابيح وحسبت أزمنة فشلها وكانت 10فرض انه مت اختيار عينه عشوائية من ب125,189,210,351,465,580,630,760,810,870

ساعة ؟ 600إذا مت شراء مصباح من نفس النوعية، فما احتمال انه سيظل يعمل حىت على األقل

:الحــل عدم تعيني توزيع ألزمنة الفشل :اوال

:ميكن تقدير االحتمال كما يلي600عدد املصابيح اليت تعمل حىت الزمن

____________________________________= *0R t

عدد املصابيح املستخدمة يف االختبار

٣٠٧

= 4 .

10

x:حيث 499

:تعيني التوزيع اآلسي كتوزيع ألزمنة الفشل للمصابيح :ثانيا

0R(tالجياد توقع :نتبع التاىل (

0

0

0 00

nxt nn 1x

0

n 1 t nxnx

0

X G , nn

ˆ ˆR(t ) R(t ) g x dx

1 ne x e dxn

1 n x e dx.n

:دالة بسل هي ولكن

0

0

0

x

0t

t

tx

0

600499

1R t e dx

e .

ˆ ˆx R t e .

R 600 e 0.3006.

٣٠٨

r 1bax 2xrr 1

0

r r

n2

n

n2

n

ax e dx 2 k 2 abbntk k ,a 1, b

r n 1 r n 1 r 1 n

1 ntR(t) 2 k 2n nt

2 nt ntk 2 .n

اى ان متحيزاى ان مقدر دالة الصالحية 0R t أقل تباين لهليس مقدر . 0R(tالجياد تباين ) : نتبع التاىل

0

0

2tn nxx2 n 1

00

2nt nn n 1 y2 y nn 10

0

2nt yyn 1

0

e nR(t ) x e dx.n

nxlet y.

y x dy dx.n n

then :

1 nR(t ) y en n n

1 y e dy.n

2nta 1,b , n 1

r.

n r 1n r 1.

٣٠٩

n2 2

0 00 n

n2

0 0n

22

0 0 0

n n2 20 0 0 0

n n2

0

2nt 2ntR(t ) 2 k 2

2nt 2nt1 2 k 2 .n

ˆ ˆ ˆV ar R(t ) R(t ) R t

2nt 2nt nt nt2 4k 2 k 2n n

2nt2n

n nn2 2 20 0 02

n n

2 nn n222 20 0 0 0

n n

2nt nt nt2k 2 2 k 2n

2nt 2nt nt nt2 2k 2 k 2 .n n

:نتبع التاىل MVUEإلجياد املقدر الغري متحيز بأقل تباين 1إذا كانت nX , , X على سىأزمنة عشوائية للفشل وكل منها يتبع التوزيع األ

:الصورة التالية

x1f x e , x 0, 0.

املطلوب إجياد املقدر 0R t لداله الصالحية حبيث يكونMVUE فرض أن الدالة ب 1 2 nG x , x ,..., xمعرفة كاأليت:

1 1G x 1 x t0 e.w.

01 1 1

tG X 1 P X t (0)P X t R .

أي أن 1G X مقدر غري متحيز لداله الصالحية 0R t . Xˆوحيث أن إحصاء كايف وMVUE للمعلمة لتاىل لدالة الصالحية والذى له التقدير انا نعرف فإن

:MVUEالصفة

٣١٠

0

0

0 1

1 1 1 1t

1 1 1t

R t G(X ) | x)

G x g (x | x)dx

g (x | x)dx .

2قسمني يتم تقسيم العينة إىل 3 nX ,X ,..., X 1وX 2حيث 3 n 2 3 nX , X ,...,X Y , Y ,...,Y 1و 1X Y. ملتغري عشوائي ا ان الدالة املولدة للعزومسوف نثبت باستخدام

n

ii 2

Y Y

تنيجاما مبعتوزيع يتبع( ,n 1) : كالتاىل

n

ii 2

1n

Y i 2

(n 1)

t 1 t

1 t .

n

ii 2

n

ii 2

n 1

YY

n 1

YY .

n 1

t t 1 .n 1

, تنيجاما مبعلمتوزيع يتبع Yأي أن n 1n 1

. ,1Yمبا أن X 1مستقلني فإنY,X 1إذن التوزيع املشرتك للمتغريين .مستقلنيY,X

1

1

0

0

2 1 1 1 2

n 1n 1x yn 2n 1

x n 1 yn 1n 2

n

1 1 1 1 1t

1 1 1t

g x , y f x f y

n 11 e y en 1

n 1y e .

n 1

G x | x G x g x | x dx

g x | x dx

0

1

3 11

4t

n 1 1 n 1 y xn 22 1 n

g x , xdx .

g x

n 1g x , y y e .

n 1

٣١١

1

1

nx x n 1 ynx xy .

n 1

1 0n .1 n n 1

n 1 n 1

=J

n 2 nxn 11

3 1 n

n 2n 2 n x1

n

n 1 xnx ng x , x en 1 n 1 n 1 n 1

n n 1 xnx e .n 1 n 1 n 1

, تنيجاما مبعلمتوزيع يتبع Xولكن nn

:حيث

nxn

n 14 n

ng x x e .n

:وعلى ذلك

3 11 1

4

nxn 2 n 21

n

nxnn 1

n

g x , xg x | x

g x

n n 1 xnx en 1 n 1 n 1

n x en

n 2 n 2 nnx nxn

n 11n n 1 xnx e n x en 1 n 1 n 1 n

n 2n 2 n n 11

rn 21 n

1n

n n 1 n n 1 n 1 xnxxn 1 n 1 n 1

n n 1x nx x .

n

:وعلى ذلك

٣١٢

0

0

n 21 n n 2 1

1 1 n

n 2n 21

n

n 21

1

0 1 1 1 1t

1 1 1t

n n 1 xg x | x x nx 1n nx

n n 1 n x1n x nx

n 1 x1 ,0 x nx.nx nx

R t E G x | x G x g x | x dx

g x | x dx .

:وعلى ذلك

0

0

n 2nx1

0 1t

n 1nx1t

xn 1R t 1 dxnx nx

n 1 x1nx 1 | .nx n 1 nx

0

n 1nx1t

n 10

0

n 10

0 0

x1 |nx

t1 t nx.nx

tR t 1 , t nx.nx

وعلى ذلك 0R t له صفة مقدرMVUE حيث:

0t

0 0R t R t e .

وتباينه اقل من اى تباين ملقدر اخر لدالة الصالحية وسوف يرتك اجياد تباين 0R t كتمرين. لمتوسط الحیاة فى حالة المعاینة من النوع االول كبرتقدیر االمكان اال) ٢-١-٥(

املشـكلة عنـدما يـتم مناقشـةسـوف . يف اختبارات احلياة غالبا يكون من الضروري تقـدير متوسـط توزيـع أسـي مـن بيانـات مراقبـة وغــري . للوحــدة يعــرف) بالضــبط(إذا فشــلت الوحــدة يف هــذه الفــرتة فــإن زمــن الفشــل . الحــظ كــل وحــدة يف فــرتة معطــاة مــن الــزمنت

ــــــــــك فــــــــــإن املعــــــــــروف أن عمــــــــــر الوحــــــــــدة ي ــــــــــدنيا عــــــــــدد ثابــــــــــت مــــــــــن . زيــــــــــد عــــــــــن هــــــــــذه الفــــــــــرتةذل ــــــــــك بفــــــــــرض أن ل وعلــــــــــى ذل1املشاهدات 2 nx ,x , ,x مأخوذين من متغري عشوائي له توزيع أسي بدالة كثافة احتمال:

٣١٣

x1f (x) e , x 0 , 0.

iتعرف فقط إذا كانت ixحتت القيد أن ix T ,(i 1,2,...,n) 1 2 nT ,T , ,T

:حيث 1 2 nT ,T , ,T

1قيم معطاة و اليت يف تطبيقات كثرية تكون متساوية أي أن 2 nT T T

i ii

i i

let1 if x T

a0 if x T

n

ii 1

r a ,

، باســـتخدام املطلـــوب إجيــاد تقـــدير بنقطــة للمعلمـــة .متغــري عشـــوائي rو. عـــدد الوحــدات الـــيت تفشـــل ويســجل عمرهـــا rحيــث .طريقة اإلمكان األكرب

i i

i ii i

na 1 a

i ii 1

a xnT (1 a )

i 1

L (f (x )) (1 F(T ))

1 e e

nni i i i

i i 1i 1

a x (1 a )Ta

sr

e

e .

n

i i i ii 1

where s a x (1 a )T

sln L r ln ,

2

ln L r s

2

r s

then :

sˆ , r 0r

:حيث Sتوقع االحصاء سوف نوجد أوال لدراسة خصائص املقدر

٣١٤

n

i i i ii 1

E(S) E{ a X (1 a )T}

i i i i

since :E[a X (1 a )T ]

i i i iE(a X ) E(1 a )T , i i i i iE(a X ) E(a )E(X | a )

i i i i i i

i i i

(1)P(a 1)E(X | a 1) 0P(a 0)E(X | a 0)P(a 1)E(X | a 1)

iT

i i i iP(a 1) P(X T ) [1 e ] P , i

i

Ti

T x

0i i

i iT x

0

e

1x e dxE(X | a 1)

P(X T )

1x e dx.

(1 e )

iT x

0

i

1x e dx.

P

i

ii

i i

T x

0Tx x

T

00

x xT T20 0

1x e dx

1[ e x e dx]

1[ e x e ( 1) ]

i i

i i

i

T T

i

i i

T T

ii i T

i i ii i

i

Te (1 e )P TQ

then :

(1 e ) TeE(X | a 1)(1 e )

P TQ ,Q 1 P .P

٣١٥

i i ii i i i

i

i i i

then :P TQE(X | a 1)P(a 1) P

PP TQ .

)١-٥(

)٢-٥(

i

i i i i i

i i i i

i i i

i i

i i

i i iT

i

i i

E(1 a )T E(T) TE(a )T T[(1)P(a 1) (0)P(a 0)]T T[P(a 1)]T[1 P(a 1)]TP(a 0)TP(X T)

TeTQ .

:فإن ) ٢-٥(و)١-٥(ومن

i

i i i i i i i i iT

i

E[a X (1 a )T ] P TQ TQ

P (1 e ).

iTn n n

i i i i ii 1 i 1 i 1

E{ [a X (1 a )T ]} P (1 e ).

: هناك طريقة أخرى إلجيادn

i i i ii 1

E{ a X (1 a )T}.

i

i

T x xn

ii 1 0 T

(1) (2)

x 1[ e dx T e dx]

iT x

0

x(1) e dx,

:حيث بالتكامل بالتجزيءi

i

Tx xT

00

1[ x e ( 1) e dx

iTx x

i0

T e e

٣١٦

i iT T0

iT e [ e e ]

i iT T

iT e [1 e ].

i

i

i

xx T

i i iT

T

1 e(2) T e dx T Te .1

:فإن ) 2) (1(ومن n

i i i ii 1

E[ [a x T (1 a )]]

i i i

i

T T T

i iT

i

Te [1 e ] Te

[1 e ] P .

iT

i

where :

P [1 e ].

: متحيز درمق العينة املراقبة من النوع االول يف حالة اآلن سوف نثبت أن ˆ ˆ ˆCov(r, ) E(r ) E(r)E( )

iTn n

ii 1 i 1

sin ce :

ˆE(r ) E(S) P (1 e ) ,

n n

i ii 1 i 1

n

i ii 1n n

i i ii 1 i 1

E(r) E( a ) [E(a )]

[(1)P(a 1) (0)P(a 0)]

P(a 1) P(X T )

iTn

i 1n

ii 1

(1 e )

P .

٣١٧

n n

i ii 1 i 1

n

ii 1

ˆ ˆCov(r, ) P E( ) P

ˆP[ E( )].

n

ii 1

then :ˆCov(r, ) ˆE( ).

P

n

ii 1

then :ˆCov(r, )ˆE( ) .

P

asymptotic التوزيــع التقــرييب distrihutionللمقــدر االعظــمقــديرات اإلمكــان مميكــن احلصــول عليــه مــن خصــائص : حيث ميكن إثبات أن

2

n

ii 1

ˆ ~ N( , ).P

: حيث انه عندما تكون حجم ةالعينة كبريا فإن من خواص مقدرات االمكان االكرب ان

2

2

1ˆ N( , ),nI( )

ln LnI( ) E( )

وتباين ع التوزيع الطبيعى مبتوسط يتبتقريبا اى ان 2

n

ii 1P

.

:الربهان sln L r ln ,

n

i i i ii 1

s [a x (1 a )T ],

2

ln L r s

2

2 2 3

ln L r 2s .

٣١٨

2

2 2 3

ln L r E(S)E E 2

i2

P 2

i

3

P

i

i i2

i2

Tn

2 i 1

1 [2 P P ]

1 P

1 (1 e ).

لمتوسط الحیاة فى حالة المعاینة من النوع الثانى كبرتقدیر االمكان اال) ٣-١-٥( 1بفرض ان و إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

r حيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

i r

r

i ri 1

rn r

1 2 n i ri 1

y yr ( ) ( ) n r

i 1

1( [ y (n r)y ]

r

n!L(y , y ,..., y | ) L f (y )[1 F(y )](n r)!

n! 1[ e ][e ](n r)!

n! 1 e .(n r)!

:هو احلل للمعادلة للمعلمة MLEمقدر اإلمكان األكرب

ˆ

ln L 0

:ويتم باخلطوات التالية

r

i ri 1

r

i ri 1

2

[ y (n r)y ]ln L r ln

[ y (n r)y ]ln L r .

:بوضع

٣١٩

ˆ

ln L 0.

r

i ri 1

2

r

i ri 1

y (n r)yr ˆ ˆuˆ ,u= y (n r)y .r

. االن يتم دراسة التوزيع املضبوط للمقدر :دالة الكثافة االحتمالية املشرتكة لإلحصاءات الرتتيبية يف العينة تعطى كالتايل

r

i ri 1

1 2 r r

[ y (n r)y ]1g(y , y ,..., y ) exp( )

االن املطلوب اجياد توزيع r

i ri 1

U [ Y (n r)Y ]

.

:التحويلة األحادية بفرض1 1 0

2 2 1

3 3 2

i i i 1 0

Z n (Y Y ),Z (n 1)(Y Y )Z (n 2)(Y Y )

Z (n i 1)(Y Y ) , i 1,2,..., r , Y 0

:والتحويلة العكسية هلا هي1 2 i

iZ Z ZY ... , i 1,2, ,r,n n 1 n i 1

:وهذا يعىن ان r r

i r ii 1 i 1

Y (n r)Y Z U .

:جاكوبيان التحويل كالتايل يتم اجيادومنها

٣٢٠

1 1 1

1 2 r

2 2 2

1 2 r

r r r

1 2 r

y y yz z zy y y

n!z z zJ .(n r)!

y y yz z z

:ومنها r

ii 1

z( )

1 2 r r1g(z ,z ,...,z ) e .

. متغريات عشوائية مستقلة ومتطابقة وكل منها يتبع التوزيع االسي باملعلمة iZمما يعين إن املتغرياتiZ E xp( ) U G( , r).

:هو Uحيث ان توزيع r

ur-1

1( )h(u) = u e , u > 0.

(r)

ميكن إجياد توزيع كما ميكن r

ii 1

U Z

من الدالة املولدة للعزوم كالتايل:

i

r

ii 1

1Z

r

Z

M (t) (1 t ) , i 1,2,...r

M (t) (1 t ) .

)مبعلمتــني والــيت متثــل الدالــة املولــدة للعــزوم ملتغــري عشــوائي يتبــع جامـــا , r) .التوزيــع املضــبوط للمقــدر ميكــن اجيــاده مــن الدالـــة :املولدة للعزوم كالتاىل

r

ii 1

rˆ U

Zr

r

tM (t) M (t) M (t) (1 ) .r

)واليت متثل الدالة املولدة للعزوم ملتغري عشوائي يتبع جاما مبعلمتني , r)r.

:نتبع التاىل) exactاملضبوط ( إلجياد التوقع والتباين لتوزيع 1 1ˆE( ) E(U) (r ) .

r r.

٣٢١

. مقدر غري متحيز للمعلمة أي ان :حيسب كالتايل التباين للمقدر

r

ii 1

n

i2i 1

22

2

1ˆVar( ) = Var( Z )r

1 = Var(Z )n1 = (r )= . r r

:تكون على الشكل التايل ودالة كثافة االحتمال للمتغري n ˆr

r 1

r( )ˆ ˆ ˆf( ) e , > 0.

(r)

:.نتبع التاىل MVUEغري متحيز بأقل تباين أي الثبات أن املقدر

2

2 2 3

2

2 2 3 2

2 2

2

2

ln L r u2 .

ln L r 2r rE( )

1 ˆVar( ) .ln L r rE( )

. MVUEهو مقدر غري متحيز بأقل تباين أي أي أن املقدر :نتبع اآليت sufficientإحصاء كايف إلثبات أن

u

r

u-r

1L = e

L = (1).( e ) , N(x) . K(u, ).

و N(x) =1 حيث u

-rK(u, )= e .

U sufficient for .ˆ sufficient for .

r

ii=1

U= Z إحصاء كايف للمعلمة وبالتايل فإنUˆn

إحصاء كايف أيضا.

تنبؤ العینة الواحدة) ٤-١-٥(

٣٢٢

1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

ىف هذه احلالة فإن التنبؤ سيكون الحد . مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم للمشاهدات املتبقية ذات احلجم .وهى املشاهدات املرتبة املتبقية من احلجم

sإذا وضعنا r<nحيث r sy y للتعبري عن املشاهدة ذات الرتتيبs حيث 1 بشرط وجود املشاهدات syفإن فرتة ثقة للمشاهدة 2 ry , y , , y تعطى من النظرية التالية:

نظریة

:بفرض أن s rY YV ,U

1 بشرط وجود املشاهدات syللمشاهدة فرتة الثقة من جانب واحدوعلى ذلك 2 ry , y , , y ميكن اجيادها

:كالتاىل 0

s r0

s 0 r

P(V v ) 1 .Y YP( v ) 1 .

UP(Y uv Y ) 1 .

0ومبعلومية كل من 0vمن املعادلة السابقة ميكن احلصول على rv ,u, y فإن: s 0 rP(Y v u y ) 1 .

0على للفرتة هو دىن واالاحلد اال حيث r(0,v u y ) متثل فرتة ثقة ذات جانب واحد وبنفس الشكل والىت .ميكن احلصول على فرتة ثقة ذات جانبني

من املعادلة التكاملية 0vإلجياد 0v

0

g(v)dv 1 يكفي أن جند دالة كثافة االحتمالg(v) . بفرض ان:

s rZ Y Y , )تتبع توزيع جاما مبعلمتني Uو ,n)، اى انU ~ G( ,n).

: املطلوب توزيعZV ,U

Uو Zولذلك حنتاج إىل التوزيع املشرتك لـ

:ة ولنأخذ التحويل Zولذلك نوجد أوال توزيع

(n r)r 1 r 2 ny ,y , ,y

(n r)1 s n r

٣٢٣

r s

z y x w xx y , y y

x ةالعكسي ةوالتحويل w, y z w ومنه جاكوبيان التحويلJ 1. r 1 s r 1 n sn!f (x, y) f (x)f (y)[F(x)] [F(y) F(x)] [1 F(y)] ,

(r 1)!(s r 1)!(n s)!

0 x y n!let c

(r 1)!(s r 1)!(n s)!

:بفرض أن1 2 nX ,X , ,X

:تتبع التوزيع األسي حيث i,i,dهلا نفس التوزيع ومستقلة عينة عشوائيةx1f (x) e , x 0, 0,

rفإن التوزيع املشرتك الحصائيني األسيوحتت فرض التوزيع sY ,Y هو: 2 x x y x y(n s 1)r 1 s r 11f (x, y) c (1 e ) (e e ) e e 0 x y

let z y x y z w 0 z , w x x w 0 w ,

1 1| J | 1.

0 1

w (n r 1)w z (n s 1)zr 1 s r 1

1 2

1f (z,w) c (1 e ) e (1 e ) e 0 z ,0 w ,

z z w w(n s 1) (n r 1)s r 1 r 1

z 20

1f (z) c(1 e ) e (1 e ) e dw.

w

1let y e

w

11dy e dw

w

1dw e dy

حيث

٣٢٤

1z z (n s 1)s r 1 r 1 n r2 1 1 1

0z z (n s 1)s r 1

z z (n s 1)s r 1

1f (z) c(1 e ) e (1 y ) y dy

c (1 e ) e (n r 1,r)

n! (r 1)!(n r)!(r 1)!(s r 1)!(n s)! n!

(n r)! 1 (1 e ) e 0 z(s r 1)!(n s)!

ur 1

3 r

1f (u) u e ,u 0, 0;(r)

U ~ G( ,r) : مستقلني Z,Uمبا أن

4 2 3f (z,u) f (z)f (u). z z u(n s 1)r 1 s r 1

r 1

(n r)! 1f (z,u) u (1 e ) e e .(s r 1)!(n s)!(r 1)!

zlet vu

1 1w u , z vw 1

1

w v| J | w

0 1

1 1 1w u w u w(n s 1)r 1 s r 15 1 1r 1

cf (v,w ) w (1 e ) e e

1 1

1

1

w v w (1 v(n s 1))r s r 16 1 1r 1

0

ws r 1 (1 u(n s 1 j)r j1r 1

j 00

ws r 1 (1 u(n s 1) j)j r1 1r 1

j 0 0

cf (v) w (1 e ) e dw

s r 1c w ( 1) ej

s r 1c ( 1) w e dw .j

1w (1 v(n s 1) j)let y.

1y w (1 v(n s 1) j)

٣٢٥

1dy dw ,

1 u(n s 1) j

rs r 1

j y6 r 1

j 0 0

r 1 s r 1j r y

r 1 r 1j 0 0

s r 1j

r 1j 0

s r 1c y dyf (v) ( 1) ej 1 v(n s 1) j 1 v(n s 1) j

s r 1c 1( 1) y e dyj (1 v(n s 1) j)

s r 1 (r 1)c ( 1) .j [1 v(n s 1) j]

then : s r 1

j6 r 1

j 0

s r 1(n r)!r 1f (v) ( 1)j(s r 1)!(n s)! [1 v(n s 1) j]

s r 1j

r 1j 0

s r 1r 1( 1) 0 u .j(s r,n s 1) (1 v(n s 1) j)

.المعلمةهذا التوزيع ال يعتمد على

0

then :P(V v ) 1

0v

60

f (v)dv 1 .

0v 0من املعادلة السابقة ميكن احلصول علىv 0ومبعلومية كل من rv ,u, y فإن: s 0 rP(Y v u y ) 1 .

0حيث احلد االدىن واالعلى للفرتة هو r(0,v u y ) متثل فرتة ثقة ذات جانب واحد والىت. :ان عند الرغبة في إيجاد فترة ثقة ذات جانبين أي

P(a V b) 1 . b

6a

f (v)dv 1 .

:فإن b,aوبعد إيجاد

: تصبح

٣٢٦

s rY YP(a b) 1 .U

,ra,b,uومبعلومية كل من a,bمن املعادلة السابقة ميكن احلصول على y فإن:

r s rP(au y Y bu Y ) 1 .

rحيث احلد االدىن واالعلى للفرتة هو r(au y ,bu y ) نيمتثل فرتة ثقة ذات جانب والىت.

rعندما 1 فإن: s 2

j6 2

j 0

s 21 1f (v) ( 1) .j(s 1,n s 1) (1 v(n s 1) j)

rعندما 1,s n فإن : n 2

j6 2

j 0

n 21 1f (v) ( 1) .j(n 1,1) (1 v( 1) j)

ة فرض توزیع جاما العكسى كتوزیع قبلىتحت بییزیة تقدیرات) ٥-١-٥( فى حالة المعاین

من النوع الثانى

:كالتاىل تقدميه بشكل مفصل وقد مت Shalaby (1990)قدم هذا البحث من قبل 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

i r

r

i ri 1

rn r

i ri 1

y yr ( ) ( ) n r

i 1

1( [ y (n r )y ]

r

n!L(y | ) L f (y )[1 F(y )](n r)!

n! 1[ e ][e ](n r)!

n! 1 e .(n r)!

:ليكن r

i ri 1

u [ y (n r)y ].

٣٢٧

:هو احلل للمعادلة للمعلمة MLEمقدر اإلمكان األكرب

ˆ

ln L 0

: ويتم باخلطوات التالية

2

ln L ur ln ,

ln L r u .

:بوضع

ˆ

ln L 0

2

r

i ri 1

r u ˆ ˆ

y (n r)yuˆ ,r r

:هو توزيع جاما العكسي على الشكل التاىل التوزيع القبلى للمعلمة واذا كان g 1

–g /( ) e ; g 1 , , 0.(g 1)

:للحصول على التوزيع البعدى نتبع التاىل

1g 1 (u )

0

g 1(r g-1)

–(r g-1)0

.

n!( )L(y | )d e d(g 1) (n r)!

n! (r g 1) (u ) .(g 1) (n r)!

0(u )(r g 1)

(r g)

( )L(y | )( y) ( u)

( )L(y | )d

(u ) e ,r g 1 ; , 0.(r g 1)

٣٢٨

:هي العزوم غير المركزية للمعلمة

S S

0

(u )(r g 1)(r g s 1)

0

(r g 1)(r g s 1)

s

E( u) ( | u) d

(u ) e d(r g 1)

(u ) (u ) (r g s 1)(r g 1)

(r g s 1) (u ) ; r g 1, s 1, 2,....(r g 1)

لبييزي للمعلمة للمقدر ايتم التوصل (s=1)باستخدام العزوم غري املركزية ميكن التوصل للمقدر البييزي للمعلمة وتباينه ، فبوضع

كالتايل حتت فرض دالة مربع اخلسارة:

*1

(r g 2)E( u) (u )(r g 1)(u ) ; r g 2.r g 2

: كما يلي وباستخدام العزم الثاين ميكن التوصل إىل تباين املقدر

2* 2

1

2 2

2

22

2

2

Var( ) E( u) E( u)

(u ) (u )(r g 3)(r g 2) (r g 2)

1 1(u ) ( )(r g 2)(r g 3) (r g 2)

(u ) .(r g 2) (r g 3)

*ويرمز له بالرمز املنوال البييزي للمعلمة 2 ميكن استنتاجه باتباع اخلطوات التالية و:

٣٢٩

:إجياد اللوغاريتم الطبيعي لدالة التوزيع البعدي : أوال

(r g 1)(u ) (u )ln [ ( u)] ln (r g)ln .

(r g 1)

: كما يلي باشتقاق طرىف املعادلة السابقة بالنسبة للمعلمة: ثانيا

2

ln [f( u)] (r g) (u ) .

:مبساواة املعادلة السابقة بالصفر وحل املعادلة يكون املنوال البييزي : ثالثا

*2

(u ) ; r g 0.r g

* البعدىدالة الكثافة للمنوال

2 يتم استنتاجه باستخدام اخلطوات التالية:

:البييزي باستخدام الوسط احلسايب كما يلي يصاغ املنوال : أوال

*2

(u ) ur g r g r gu , .

r g r g

:أي أن *2u (r g) ( ).

: على الشكل التاىل (r,θ )يتبع توزيع جاما باملعلمتني Uمبا أن اإلحصاء: ثانيا ur

r 1h (u | ) u e , u 0.(r )

:حيث

٣٣٠

*2du (r g) d .

*للمنوال البييزي االحتمال فإنه ميكن إجياد دالة الكثافة

2 باستخدام دالة الكثافة لإلحصاءU كما يلي: *2

*2

( r g ) ( )r* r 1 * r 1

1 2 2

( r g ) ( )r * r 1 *

2 2

h ( ) (r g ) ( ) e (r g )(r )

1 r g( ) ( ) e ; 0.(r)

* البعدىالقيمة املتوقعة للمنوال 2 يتم إجياده كالتايل:

*2r ( r g ) ( )

* * * r 1 *2 2 2 2

1 r gE ( ) ( ) e d .(r )

*باستخدام التعويض 2z ( ) يتم حل التكامل السابق كما يلي:

r ( r g ) z* r 12

0

r ( r g ) z ( r g ) zr r 1

0 0

r ( r 1) r

1 r gE ( ) (z )z e dz(r)

1 r g z e dz z e dz(r )

1 r g r g r g(r 1) (r)(r )

rr gr .r g

البعدى نوالامل ان ويتضح مما سبق*2 متحيز للمعلمة مقدر.

٣٣١

* البعدىمتوسط مربع اخلطأ للمنوال 2 :

البعدى نوالملامبا أن *2 متحيز للمعلمة مقدرθ فإن:

* *2 2M SE ( ) V ar ( ) .

* البعدىوبالتايل متوسط مربع اخلطأ للمنوال

2 : * * 22 2

* 2 * 22 2

M SE ( ) E ( )

E ( ) 2 E ( ) .

*وحلل املعادلة السابقة يتم إجياد أوال 22E[ ( ) ] كما يلي:

*2r ( r g ) ( )

2* 2 * * r 1 *2 2 2 2

1 r gE[( ) ] ( ) e d(r)

*باستخدام التعويض 2z ( ) يتم حل التكامل السابق كما يلي:

r (r g)z

* 2 2 r 12

0

r (r g)z (r g)z (r g)zr 1 r 2 r 1

0 0 0

r (r 2) (r 1

1 r gE[( ) ] (z ) z e dz(r)

1 r g z e dz 2 z e dz z e dz(r)

1 r g r g r g(r 2) 2 (r 1)(r)

) r

2

22

r g(r)

rr(r 1) 2 .r g r g

*وبالتعويض بقيمة 22E[ ( ) ] البعدىللمنوال ايف معادلة متوسط مربع اخلط *

2حنصل على:

* * 2 * 22 2 2

22 2

2 2

2

M SE ( ) E[ ( ) ] 2 E ( )

r rr(r 1) 2 2r g r g r g

r ( g ) .r g

فرتات التقدير البييزية للمعلمة

-1)100فرتات التقدير البييزية ميكن احلصول على :حبل املعادلتني املتماثلة للمعلمة %(

٣٣٢

1

2

t

0 t

( u ) d , ( u ) d .2 2

:، أي أن 2tواحلد األعلى 1tللحد األدىن

1 2P(t t ) 1 . 1t(الفرتة , 2t ( 1)100هي فرتة التقدير البييزية- تتبع توزيع جاما مبعلمتني ومبا ان ، املتماثلة للمعلمة %(

( u, r g 1) فإن:

1أي أن 2P(t t ) 1 حنصل عليها كالتاىل : *

2 22

12 2

2 * 22 1

2 2

* *2 2

2 2

12 2

2(r g )P 1

1 1P 12(r g )

2(r g ) 2(r g )P 1 .

: اى ان

* *2 2

2 2

12 2

2(r g ) 2(r g ),

2حيث لـيمثالن الحدين االدنى واالعلى لفترة الثقة 2

12 2

,

تستخرجان من جدول توزيع مربع كاى من الملحق

r)2 عند درجات حر ية )٥( g 1) .

22(r g 1)

*222(r g 1)

2( u)

2 (r g)

٣٣٣

:اطرة بييز خم

: )املقدر غري املتحيز بأقل تباين للمعلمة ( االكرب ملقدر املكانخماطرة بييز :أوال : فإن قدير غري متحيز للمعلمة م مبا أن

2ˆ ˆM S E ( ) V ar ( ) .

r

:هو خماطرة بييز ملقدر املكان االكرب

0

2 g 1– g /

0g 1

-(g 3 )

2

; g 3 , r 0.

ˆ ˆr ( ) M SE ( ) ( ) d

e d(g 1)r

(g 3)r (g 1)

r (g 2)(g 3)

*خماطرة بييز للمقدر البييزي :ثانيا 1:

*مبا أن 1 قدير غري متحيز للمعلمة م فإن :

* *1 1M SE ( ) V ar ( ).

*وحيث أن 1

(u )r g 2

:كالتاىل U، فيجب إجياد دالة التوزيع لإلحصاء Uدالة يف اإلحصاء

0

ur gr 1 g 1

0

r 1 g 1( r g 1)

r 1 g 1( r g 1)

g (u ) h (u ) ( ) d

u e e d(r) (g 1)

u (r g 1) (u )(r) (g 1)

u (u ) .(r , g 1)

*ومنه ميكن استنتاج خماطرة بييز للمقدر البييزي 1 كما يلي:

٣٣٤

* *1 1

0

2 r 1 g 1 ( r g 1)

20

( r g 3) g 1( r g 3 )

20

r ( ) Var ( ) g (u ) du

(u ) u (u ) du(r g 2) (r g 3) (r , g 1)

u(1 ) du.(r g 2) (r g 3) (r, g 1)

uzباستخدام التعويض ,

*يتم حل التكامل السابق وإجياد خماطرة بييز للمقدر البييزي 1 كما يلي:

* للمنوال خماطرة بييز للمقدر البييزي: لثا ثا2:

* *2 2

0

2 2 g 1–g /

20

g 12–g / 2 2–g / 1–g / 2 –g /

20 0 0 0

g 1-(g 3) 2 -(g 3)

2

r( ) MSE( ) ( ) d

r ( g ) e d(g 1)(r g)

r e d g e d 2 g e d e d(r g) (g 1)

r (g 3) g (g 3)(r g) (g 1)

-(g 2) 2 -(g 1)

2

2 ; (r g) 3.

2 g (g 2) (g 1)

(r g 6)(r g) (g 2)(g 3)

*االن يتم حساب نسبة خماطرة بيييز للمقدر

1 بالنسبة للمقدر*2 كالتاىل:

(r 2) r* (r g 3) r 11 2

0

2

2

2

r g 3 .

r( ) (1 z) z dz(r g 2) (r g 3) (r,g 1)

(r,g 3)(r g 2) (r g 3) (r,g 1)

;(r g 2)(g 2)(g 3)

٣٣٥

* 2* 11 * 2

2

r( ) r(g 2)(g 3) rˆr( , ) ,r( ) (g 2)(g 3)(r g 2) (r g 2)

* 2* 22 2 2 2

r( ) (r g 6) r(g 2)(g 3) r(r g 6)ˆr( , ) ,ˆ (r g) (g 3)(g 3) (r g)r( )

:اى ان

* * * *1 2 1 2

ˆ ˆ ˆr( , ) r( , ) r( ) r( ) r( ).

*وهذا يعىن ان افضل مقدر ىف هذه احلالة هو 1.

rللنتائج السابقة وبوضع n فإننا حنصل على نتائج ختص العينة الكاملة. رةتحت فرض البییزیة تقدیرات) ٦-١-٥( )توزیع المنتظم فى الفت , ) ى ع قبل ى كتوزی ف

حالة المعاینة من النوع الثانى

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Bhattacharya (1967)قبل قدم هذا البحث من 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

i r

r

i ri 1

rn r

i ri 1

y yr ( ) ( ) n r

i 1

1( [ y (n r )y ]

r

n!L(y | ) f (y )[1 F(y )](n r)!

n! 1[ e ][e ](n r)!

n! 1 e .(n r)!

:ليكن r

i ri 1

u [ y (n r)y ],

)هو التوزيع المنتظم فى الفترة كان التوزيع القبلى للمعلمة إذا و , ) التالى:

a 1

a 1 a 11

( a(a 1)( )) ; 0 .

٣٣٦

:للحصول على التوزيع البعدى نتبع التاىل

0ua 1

–a –ra 1 a 1

ua 1–a –r

a 1 a 1

( )L(y | )( y) ( u)

( )L(y | )d

(a 1)( ) n! e(n r)!

(a 1)( ) n! e d(n r)!

u–(a r) – r

u–(a r) – r

e , .e d

:االن

u u u–(a r ) – r –(a r) – r –(a r) – r

0 0

2

(a r ) –(a r )u u u–(a r ) –r w w

2 20 0

e d e d e d

u u ulet w= = d dzz z

u u u ue d e d e dw w w w

u u(a r 1) (a r 1) 1 w (a r 1) 1 w

0 0

x -t (n 1)

0

u w e dw w e dw .

u u(r 1, ) (r 1, )

where (n,x)= e t dt.

u

–( a r 1)

( a r 1)

e( u ) , .u uu (r 1, ) (r 1, )

:كالتايل حتت فرض دالة مربع اخلسارة لبييزي للمعلمة احلصول على املقدر ايتم

٣٣٧

u–(a r 2)

*

(a r 1)

u–(a r 2) (a r 2)

*

e dE( u) , .u uu (r 1, ) (r 1, )

u ue d u (r 1, ) (r 1, )

u uu (r 2, ) (r 2, ).u u(r 1, ) (r 1, )

:نتبع االتى *للحصول على تباين u

–(a r 3)2

(a r 1)

2 **

*

e dE( u) u uu (r 1, ) (r 1, )

u (r 3, u) y y, (n, y) (n, ) (n, ).(r 1, u)

:اذن

22 * ** 2

* *

22 * *

* 2

u (r 3,u) (r 2, u)Var( ) u(r 1, u) (r 2, u)

u (r 3,u) (r 2, u).

[ (r 1, u)]

rىف حالة العينة الكاملة حنصل على النتائج بوضع n وn

ii 1

u x

. 0ىف حالة املعاينة من النوع االول فإنt متثل زمن

دالة اإلمكان تعطى وعلى ذلك . تصبح متغريا عشوائيا rانتهاء التجربة واحملدد مسبقا من قبل الباحث وىف هذه احلالة فإن :كاآليت

n r0i

rn r

1 2 n i 0i 1

txr ( ) [( )]

i 1u( )

r

r

i 0i 1

L(x , x ,..., x | ) f (x )[1 F(t )]

1[ e ][e ]

1 e

where u x (n r)t .

٣٣٨

ة ) ٧-١-٥( ع االسى بمعلم رض التوزی ة تحت ف ة بییزی ى مقارن ع قبل ة كتوزی ى حال ف المعاینة من النوع الثانى

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Bhattacharya (1967( قدم هذا البحث من قبل 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

r

r

i ri 1

rn r

i ri 1

yr ( ) n ri

i 1

1[ y (n r)y ]

r

n!L(y | ) f (y )[1 F(y )](n r)!

yn! 1[ exp( )][e ](n r)!

n! 1 e .(n r)!

:ليكن

r

i ri 1

u [ y (n r)y ].

:توزيع التاىل الهو كان التوزيع القبلى للمعلمة إذا و

( e1) ,0 ; 0 .

:نتبع التاىل للحصول على التوزيع البعدى

٣٣٩

0

u–r

u–r

0

u

e

e

( )L(y | )( y)

( )L(y | )d

1 n! e(n r)! ( u)

1 n! e d(n r)!

u– r

u– r

0

e .

e d

:االن

٣٤٠

1bax 2x

10

uu– r

r 1r 12

ur 1 – r

r 1

ax e dx 2 K 2 abb

1let a= , r

e e( u) 2 uK 2

( u)

( u) e.

u2K 2

:كالتايل حتت فرض دالة مربع اخلسارة لبييزي للمعلمة احلصول على املقدر ايتم ur 1

* 1–r

0

r 1

(r 2)r 1 2

r 2

r 1

r 2

r 1

( u)E( u) e d

u2K 2

( u) 1 u2 K 2uu2K 2

uK 2u .

uK 2

:نتبع االتى *للحصول على تباين

٣٤١

ur 12 2–r

0

r 1

(r 3)r 1 22

r 3

r 1

r 3

r 1

( u)E( u) e d .

u2K 2

1let a= , r, b u,

( u) 1 uE( u) 2 K 2uu2K 2

uK 2u .

uK 2

:اذن

2

r 3 r 2*

r 1r 1

2

r 3 r 1 r 22

r 1

u uK 2 K 2Var( ) u u

uK 2 u K 2

u u u uK 2 K 2 K 2 .uK 2

R(t)املقدر البييزى لدالة الصالحية :مبا ان

t-

R(t) e , :كالتاىل املقدر البييزى لدالة الصالحيةبإستخدام دالة خسارة مربع اخلطا ميكن اجياد و

٣٤٢

*

0

u tr 1– r

0

r 1

(r 2)r 1 2

*r 2

r 1

r 1 r 12

r

R (t ) E[R(t)] R(t) ( | u) d

( u)e d .

u2K 2

1let a= , r,b u t,

( u) 1 u tR (t) 2 K 2(u t)u2K 2

u tK 2u

u tK

1

(r 1) r 12

r 1

u2

u tK 2t1 .u uK 2

:ايضا ميكن اجياد تباين دالة الصالحية ىف هذه احلالة كالتاىل

٣٤٣

2* 2

2 2

0

u 2tr 1– r

0

r 1

r 1 (2

r 1

r 1

Var R (t) E R (t) u E(R(t ) u) ,

E[R (t )] R (t ) ( | u) d

( u)e d .

u2K 2

1let a= , r, b u 2t,

( u) u 2t E[R (t)] 2K 2 (u t)u2K 2

r 1)2

( r 1) r 12

r 1

u 2tK 22t1 .u uK 2

2* 2

2

(r 1) (r 1)r 1 r 12 2

r 1 r 1

Var R (t) E R (t ) u E(R(t) u)

u 2t u tK 2 K 22t t1 1 .u uu uK 2 K 2

( r 1) 22*

r 1 r 1 r 12

r 1

1 2t u 2t u u tVar R (t ) 1 K 2 K 2 K 2 .uuK 2

ة تحت فرض ) ٨-١-٥( ة density-prior quasiتقدیرات بییزی ى حال ى ف ع قبل كتوزی

المعاینة من النوع الثانى

:مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل وقد Bhattacharya (1967) قدم هذا البحث من 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

٣٤٤

r

r

i ri 1

rn r

i ri 1

yr ( ) n ri

i 1

1( [ y (n r )y ]

r

n!L(y | ) f (y )[1 F(y )](n r)!

yn! 1[ exp( )][e ](n r)!

n! 1 e .(n r)!

:ليكن r

i ri 1

u [ y (n r)y ]

:هو حتت فرض ان التوزيع القبلى ل a ,0 .

:للحصول على التوزيع البعدى نتبع التاىل . Bhattacharya (1967( واملاخوذ من قبل

0

u–a –r

u–a –r

0

( )L(y | )( x) ( u)

( )L(y | )d

n! e(n r)!

n! e d(n r)!

u–(a r)

u–( r)

0

u(a r )

e

e d

1 u( ) eu (a r 1)

:كالتايل حتت فرض دالة مربع اخلسارة لبييزي للمعلمة احلصول على املقدر ايتم

٣٤٥

( a r 1) 1

u(a r )* –(a r) 1

0

2

(a r ) 1* (a r ) 1 (a r) 1 w

20

* w

0

(u)E( u) e d .(r) (a r 1))

u u ulet w= = d dw.w w

(u) uu w e dw(a r 1) w

u w e dw(a r 1)

(u) u(a r 2) , r 2.(a r 1) a r 2

:نتبع االتى *للحصول على تباين ( a r 1) 1

( a r ) 2 (a r ) 2

( a r 3) 1

2 w20

2w

0

2 2

u uE( u) u w e dw(a r 1) w

u w e dw(a r 1)

u u(a r 3) .(a r 1) (a r 2)(a r 3)

:اذن

22*

2 2

2

u uVar( )(a r 2)(a r 3) a r 2

u ua r 2 a r 3 .(r 2)(r 3) (r 2) (r 3)

ى بییزیة فى حالة المعاینة من النوع الثانى تحت فرض التوزیع تقدیرات ) ٩-١-٥( القبل

المرافق

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Bhattacharya (1967( قدم هذا البحث من قبل

٣٤٦

1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهداتrحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب

:دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة r

n r1 2 n i r

i 1

rn ri r

i 1

r

i rri 1

n!L(y , y ,..., y | ) f (y )[1 F(y )](n r)!

y yn! 1[ exp( )][exp( )](n r)!

n! 1 1exp( [ y (n r)y ].(n r)!

:ليكن r

i ri 1

u [ y (n r)y ]

:الختيار التوزيع القبلى املرافق من املعلوم ان دالة كثافة االحتمال البد ان يكتب على الشكل التاىل a ( ) b(x ) c( )d (x )]f (x | ) e .

:وعلى ذلك فإن n

ii 1

na ( )) c( ) d( x )]

L(y | ) L e .

:وعلى ذلك التوزيع القبلى املرافق يكتب على الشكل االتى

1 1a ( ) c( )]( ) e , :والتوزيع البعدى على الشكل االتى

2 2n

a ( ) c( )]2 1 2 1 i

i 1( | x) e , n, d(x ).

:ميكن كتابتها على الشكل التاىل Lحتت فرض التوزيع االسى فإن n

ii 1

n

ii 1

xr ln

x

r

1 1L e e a( ) ln ,c( )

:وعلى ذلك التوزيع القبلى املرافق هو

11 ln ]

( ) e ,

:اى ان

1 1

11

ln ] ]( ) e ( ) e .

:ان التوزيع القبلى املرافق هو توزيع جاما العكسى على الشكل التاىل اى

٣٤٧

1 ]1( ) e ,0< , , 0.( )

:للحصول على التوزيع البعدى نتبع التاىل

0u

–r –( 1)

u–r –( 1)

0

( )L(y | )( y) ( | u)

( )L(y | )d

e e

e e d

u–( r 1)

u–( r 1)

0

2

e .e d

u u ulet w= d dw.w w

:اذن

–( r 1)uw–( r 1)

20 0

–( r) –( r )w( r ) 1

0

u ue d e dww w

u uw e dw ( r).w w

:اذن (u )(r )

–(r 1)

(u )(r 1)

(u )( u) e(r )

u e .(u ) (r )

:كالتايل حتت فرض دالة مربع اخلسارة لبييزي للمعلمة احلصول على املقدر ايتم

٣٤٨

( r 1) 1

u(r )* –(r )

0

(r )(r )* w

20

* w

0

(u )E( u) e d (r )

(u ) u ue dw(r ) w w

(T ) w e dw(r )

(u ) (u )(r 1) , r 1.(r ) (r 1)

:نتبع االتى *للحصول على تباين

( r 2 ) 1

u(r )2 –(a r ) 1

0

(r ) 1(r )w

20

2w

0

2 2

(u )E( u) e d (r )

(u ) u ue dw(r ) w w

(u ) w e dw(r )(u ) (u )(r 2) .

(r ) (r 1)(r 2)

:اذن

22*

2 2

2 2

(u ) (u )Var( )(r 1)(r 2) (r 1)

(u ) (u )r 1 r 2 .(r 1) (r 2) (r 1) (r 2)

البييزى لدالة الصالحيةالمقدر

:لدالة الصالحية هىمبا ان t-

R(t ) e , :كالتاىل املقدر البييزى لدالة الصالحيةبإستخدام دالة خسارة مربع اخلطا ميكن اجياد

٣٤٩

( r )( r ) 1

( r )

*

0( t u )(r )

–(r 1)

0

(r 1)(r )w

20

(r )w

0

R (t ) E[R(t)] R(t ) ( | u) d

(u ) e d (r )

(u ) t u t ue dw(r ) w w

(u ) (t u ) w e dw(r )

(u ) (r(r )

( r )

(r ) (r )

)(t u )

t u t1 .u u

:ايضا ميكن اجياد تباين دالة الصالحية ىف هذه احلالة كالتاىل

2* 2Var R (t) E R (t) u E(R(t) | u)

( r )( r ) 1

( r )

2 2

0(2t u )(r )

–(r 1)

0

(r 1)(r )w

20

(r )w

0

E[R (t)] R (t ) ( | u) d

(u ) e d (r )

(u ) 2t u 2t ue dw(r ) w w

(u ) (2t u ) w e dw(r )

(u ) (r(r )

( r )

(r ) (r )

)(2t u )

2t u 2t1 .u u

٣٥٠

2* 2

(r ) 2(r )

Var R (t) E R (t u) E(R(t | u)

2t t1 1 .u u

فى حالة المعاینة من النوع التقدیر البییزى فى حالة نقص المعلومات عن ) ١٠-١-٥(

الثانى 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

rحيث مبعلمة االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم n 1و 2 ry y , y , , y واملطلوب :دالة اإلمكان تعطى كاآليت . تقدير متوسط زمن احلياة

r

i ri 1

1r y n r y

1 2 r

n! 1L y , y ,..., y . en r !

:ایجاد مقدرات بییز تحت فرض التوزیع ألسي بمعلمتین:

r

i ri 1

let u y n r y .

:وبفرض ان

k

u

r 1

0

n! e dn r !

rn! u r.

n r !

:هو حتت فرض ان التوزيع القبلى ل

1g .

:هو فإن التوزيع البعدى ل

ur 1 r

ur

u e u r

1 u e .r

:مبا ان دالة الصالحية للتوزيع االسى هى

t

R(t) e .

٣٥١

:البييزى لدالة الصالحية هو فإن التقدير

*

0

rt u

0

1r u tr 1

0

R (t) E R(t) x

R(t) x d

1 ue e dr

u e dr

2

u tu t u tlet d d

rr* r 1

0

rr

uR (t) u t e dr

u t u rr

r* tR (t) 1 .

u

ر ) ١١-١-٥( ع االسى ذو البت ة الصالحیة للتوزی اة ودال زى لمتوسط الحی التقدیر البیی

المزدوج فى حالة العینة الكاملة

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Shalaby (1994)قدم هذا البحث من قبل و قد مت عليها برت مزدوج تكون دالة كثافة االحتمال هلا على هلا التوزيع اآلسي باملعلمة Xإذا كانت

:الشكل التايل 1 2x t t

11 2

1 2 1 2

1 f(x| t <X< t ) = e (e e )

> 0 , 0 <t t ; t x t .

:كالتاىل من التوزيع اآلسي ذو البرت املزدوج تكون nدالة اإلمكان األعظم لعينة عشوائية حجمها

٣٥٢

n

ii 1

1 2

n

1 2 n 1 2 ii 1

x

n

nt t

L(x ,x ,...,x ; , t , t ) L f (x )

1 e = .

e e

1 2nu t t

n = e e e

1 2 1

1 2 1

n nu t t tn

n(T nt ) (t t )n

G Rn

= e e 1 e

= e 1 e .

= e 1 e

n

n

1 2 1 ii=1

where G = u-nt , R= t t ,u = x

:على الشكل هو توزيع جاما العكسي بفرض أن التوزيع القبلي للمعلمة h1h( ) e ; h, > 0 .

( 1)

)حيث أن 1) 1 < جاما و دالة هي . التوزيع البعدي للمعلمة سوف نستفيد من دالة جاما الناقصة التالية ىف احلصول على

m y

ajm

a

j 0

(m 1,a) y e dy

a = (m 1)e , m = 0,1,2, ...

j!

٣٥٣

:يكون التوزيع البعدي للمعلمة

0

L(x | ) ( )( | x) .L(x | ) ( ) d

0

(h+G) R-1 - --( +n) -n

0

(h+G) j R-1 n j 1- --( +n)

jj=00

(h+G+jR)-1n j 1 --( +n)

jj=0 0

f (x) L(x | ) ( ) d

h = e (1-e ) d( -1)

h = e e d( -1)

h = e d .( -1)

let w

2

h+G+jR h+G+jR (h+G+jR)= = d = - dw,w w

if =0 w= , if = w=0,

٣٥٤

-( +n)0-1n j 1-w

2jj=0

-1n j 1 1-( +n)n 2 -w

jj=0 0-1n j 1 1-( +n)

jj=0

h h+G+jR (h+G+jR) f (x) = e - dw( -1) w w

h = w h+G+jR e dw( -1)

h = h+G+jR ( n 1( -1)

1-( +n)-1n j 1

( n ) 1

jj=0

n 1-1 n j 1j

n 1jj=0

-11

-1 n j 1-1

j j

)

h ( n 1) h+jR = G 1+( -1) h

Ah = ( n 1)( -1) G

h = K ,( -1)

h+jRwhere A = 1+ , Kh

n 1j

n 1j=0

n 1

n j 1n 1

jjj=0

(h+G) R-1 - --( +n) -n

-11

(h+G) R- --( +n) -n

A( n 1)

G

GK( n 1) A

h e (1-e )( -1)( | u)

h K ,( -1)

K e (1-e ) ; >0 .

:هو U=u بشرط للمعلمة mالعزم الالمركزي ذو الرتبة ` m mm

0

( | u) E( ) ( | u) d , m 1,2,...

٣٥٥

(h+G) R- --( +n-m) -n

0

(h+G) Rjn j 1- --( +n-m)

jj=00

(h+G+Rj)n j 1 --( +n-m)

jj=0 0

n j 1

j

=K e (1-e ) d

=K e e d

=K e d

=K

1-( +n-m)

j=0

n j 11-( +n-m) -( +n-m-1)

jj=0

n j 11-( +n-m) +n-m-1

jjj=0

nn 1

j

( +n-m-1) (G+h+Rj)

h+Rj =K G ( +n-m-1) (1+ )G

=K G ( +n-m-1) A

G =

j 1

+n-m-1 1-( +n-m)j

j=0n j 1

+n-1jjj=0

n j 1+n-m-1

jm jj=0n j 1

+n-1jjj=0

A G ( +n-m-1)

( +n-1) A

AG ( +n-m-1) = . where , m = 1,2,...

( +n-1) A

. mذو الرتبة الالمركزية و ميكن إجياد املتوسط و التباين من العزوم

R(tودالة الصالحية لكل من املعلمة البييزى التقدير )

:اخلسارة ملربع اخلطأ هو حتت فرض دالة *البييزىالتقدير

٣٥٦

n j 1+n-1-1

jjj=0* `1 n j 1

+n-1jjj=0

n j 1+n-2

jjj=0n j 1

+n-1jjj=0

*

AG ( +n-1-1)E( ) ( | u) .

( +n-1) A

AG ( +n-2) = . ,

( +n-2) ( +n-2) A

G =( +

n j 1+n-2

jjj=0n j 1

+n-1jjj=0

n j 1+n-3

j2 jj=02 `2 n j 1

+n-1jjj=0

n j 1+n-3

j2 jj=0n j 1

j

A. .

n-2) A

AG ( +n-3)E( ) ( | u) .

( +n-1) A

AG .

( +n-2)( +n-3)

+n-1

jj=0

.A

: )املخاطرة البعديه ( و منها يكون التباين البعدي 2* 2Var( ) E( ) E

2n j 1 n j 1+n-3 +n-2

j j2 j jj=0 j=0n j 1 n j 1

+n-1 +n-1j jj jj=0 j=0

A AG ( +n-3)= .

( +n-2)( +n-3) ( +n-2)A A

٣٥٧

املنوال البعدى

: ميكن إجياده باشتقاق دالة التوزيع البعدي كما يلي املنوال البعدي

(h+G) R- --( +n) -n

(h+G) R R- - --n -( +n)-1 -n -( +n)

R-(h+G) (h+G) R- - --( +n) -n-12 2

(h+--( +n+1)

( | u) K e (1-e ) d ( | u)

d

e (1-e ) -( +n) (1-e )

K (h+G) n( R)ee e (1-e )

-( +n) eK

G) R R- --n -n -( +n+2)

(h+G) (h+G+R) R- - --( +n-2) -(n+1)

R (h+G) R R- - - --n -( +n+1) -1

R R- --1

(1-e ) (h+G)(1-e )

e nR e (1-e )

(h+G) nR=K(1-e ) e -( +n)+ (1-e ) e

d ( | u) 0d

(h+G) nR-( +n)+ (1-e ) e

R R- --1

0

-( +n) +(h+G) nR(1-e ) e 0.

R R- --1

R-

1 (h+G) nR(1-e ) e ,( +n)

1 (h+G) nRe .( +n)

.و يتم إجياد املنوال البعدي حبل املعادلة غري اخلطية السابقة

٣٥٨

تقدير االمكان االكرب

nG Rn

n nG R G Rn 1 n

2

n 1G R Rn

2

n 1G R R Rn

2 2

L(x | ) e 1 e ,

Gn e 1 e e 1 edLd Re n( e ) 1 e

n G nRe 1 e e 1 e

1R R

2 2

1R R

dL n G nR0 e 1 e 0d

n G nRe 1 e

1R Rˆ ˆ1ˆ (G nRe 1 e )

n

1Rˆ1 (G nR e 1 )

n

Rˆ1ˆ (G nRe ) .

n

وةةة كمماااللل

٣٥٩

لدالة الصالحية تقدير االمكان االكرب :حيث دالة الصالحية هى

2

1 2

t t

t te e R(t) .e e

وعلى ذلك مقدر االمكان االكرب لدالة .هلذه الدالة املكان االكرب كرب هى مقدروان اى دالة ىف مقدر االمكان اال :الصالحية هو

2

1 2

t tˆ ˆ

t tˆ ˆ

e eˆ R(t ) .e e

التقدير البييزى لدالة الصالحية 0R(t ر ایالة الصالحیة 1 حیث ( 0 2t t t

R*باستخدام دالة اخلسارة ملربع اخلطأ ميكن إجياد (t) حيث :

2

1 2

2

1 2 1

*

0t t

(h+G) R- --( +n) -nt t

0

t (t t )(h+G) R- --( +n) -n

t ( t t )0

R (t) E R(t )

= R(t ) ( |u) d

(e e ) = K e (1-e ) d(e e )

e (1 e ) =K e (1-e ) de (1 e )

2 1 11

``

(t t (t t ))(t t ) (h+G) R- --( +n) -n

R0

(R R )R (h+G) R- --( +n) -n

R0

`2 1 1

(1 e ) =K e e (1-e ) d(1 e )

(1 e ) =K e e (1-e ) d(1 e )

R t t , R t t

٣٦٠

` `

` `

R (R R ) (h+G) R- --( +n) -(n+1)

0

R (R R ) (h+G) jRn+j- --( +n)

jj=00

=K e (1 e ) e (1-e ) d

=K e (1 e ) e e d

` `

`

(jR+R h G) (R R )n+j --( +n)

jj=00

(jR+R h G) ((1+j)R h G)n+j n+j- --( +n) -( +n)

j jj=0 j=00 0

n+j

jj=0

=K e (1 e ) d

=K e d K e d

=K

`(jR+R h G) ((1+j)R h G)- --( +n) -( +n)

0 0

n+j

jj=0

` ( n 1) ( n 1)

n+j( n 1)

jj=0

`

e d e d

=K ( n 1)

(jR+R h G) ((1+j)R h G)

=K ( n 1)G

jR+R h( 1)G

( n 1) ( n 1)

n+j( n 1) ( n 1)

j j 1jj=0n+j-1

( n 1)jjj=0

`1 1

j j 1

(1+j)R h( 1)G

B A =

A

jR+R h (1+j)R hwhere B ( 1) ,A ( 1)G G

٣٦١

للمعلمة ة ثقةفرت

1 ثقة ةفرت ميكن احلصول على 2(t , t ) HBD للمعلمة الىت جيب ان حتقق الشرطني التاليني و: :

2

1

1 2

t

t

(1) ( t u ) ( t u )

(2) f ( u ) d 1 .

:وحنصل على هذه الفرتة كالتاىل

1 1 2 2

11 2

2

12 11 2

2

(h+G ) R (h+G ) R- - - -t t t t-( +n) -n -( +n) -n

1 2nR-1 1 t[-(h+G )( - )]

t t( +n)1R-2 t

nR-1 t(h+G )[ )(t t )]t t( +n)1

R-2 t

(1) K t e (1-e ) K t e (1-e )

t 1-e( ) et

1-e

t 1-e( ) e .t

1-e

.ميكن احلصول على حدود الثقة وذلك حبل املعادلتني السابقتني باستخدام احلاسب االىل : فيما يلى احلاالت اخلاصة من النتائج السابقة

2tعندما ) ا( ميكن احلصول على النتائج اخلاصة بالبرت من اليسار. 1tعندما ) ب( 0 ميكن احلصول على النتائج اخلاصة بالبرت من اليمني. 1عندما ) ج( 2t 0, t ميكن احلصول على النتائج اخلاصة بالتوزيع االسى مبعلمة واحدة ىف العينة الكاملة. ة ) ١٢-١-٥( ى حال ع االسى ف ة الصالحیة للتوزی اة ودال التقدیر البییزى لمتوسط الحی

العینة المراقبة من النوع الثانى من جھتین

:بشكل مفصل كالتاىل وقد مت تقدميه Shalaby (1990)قدم هذا البحث من قبل ٤

٣٦٢

مبعلمة وان أزمنة الفشل تتبع التوزيع األسي متثل أزمنة الفشل وضعت لالختبار n من احلجم عينة عشوائية بفرض وكانت االحصاءات الرتتيبية للعينه العشوائية هى

1 1 2n 1 n 2 n nY ,Y ,...,Y باعتبار أن و1 1 2n 1 n 2 n ny y ... y مت

من الوحدات زمن فشلهما اقل من 1nمت حتديدها قبل التجربة وبالتاىل فإن 1nحيث احلصول عليها1n 1y . 2ايضاn مت

من الوحدات صاحلة للعمل بعد الزمن 2nحتديدها قبل التجربة وبالتاىل فإن2n ny . 1اى ان 2(n n n ) حسبت

: اإلمكان كالتايل دالة كن احلصول على مي. للمعلمة املطلوب تقدير.ازمنة فشلها

21 2

1 2

1

n21

n 1 n ni 1 22

1

n n21* *i

1 2i n 11

n nn n

i n 1 n ni n 11 2

ny yyn n - - -

i n 11 2

ny t t- - --n

1 2

n!L f (y ) P(X y ) P(X y )n n

n! 1= e 1- e e n n

n!= e 1- e e n n

n2

1*1

nt--n -s

1 2

n!= e 1- e n n

1 2ns t t

n = e e e ,

: حيثn n2

1 2

n 11

* * *1 n 1 2 n n i 2 2 1 2

i

t y , t y ,s y n t ,n =n-n -n .

1العينة املراقبة من النوع الثاىن من جانب واحد حنصل عليها بوضع 2n 0 or n 0 :هو توزيع جاما العكسي للمعلمة بفرض أن التوزيع القبلي

: التوزيع البعدى ل هو

h1h( ) e ; h, > 0 .( 1)

٣٦٣

0

L(x | ) ( )( | x) ( | s).L(x | ) ( ) d

*1

1

*11

1

0

(s+h) t-1 - - n-( +n)

1 2 0

(s+h+jt )-1 n -j -( +n)

jj=01 2 0

-1 nj

jj=01 2

f (x) L(x | ) ( ) d

n! h = e (1-e ) dn n ( -1)

n! h = ( 1) e dn n ( -1)

n! h = ( 1) (nn n ( -1)

*

-(n-1) 1h+jt-1)s (1 ),n = +n .s

:هو وعلى ذلك التوزيع البعدى ل *1

1

1 1

1 1

(s+h) t- - n-n

*n n1 j -(n-1) (n -11

jj=0

n nj -(n -1) (n -1)

jjj=0

*11

j

( | s) k e (1-e )h+jt(k ) ( 1) (n -1)s (1 ) )

s

( 1) (n -1)s D ,

h+jtwhere D (1 ) .s

:هو s بشرط للمعلمة mالعزم الالمركزي ذو الرتبة

٣٦٤

*1

1

1 1

1 1

1

` m mm

0

(s+h) t- - n-(n -m)

0

n nj -(n -m-1) (n -m-1)

jjj=0

n nj (n -m-1)

jjj=0mn

j (n -1)jjj=

( | s) E( ) ( | s) d

k e (1-e ) d

=k ( 1) (n -m-1)s D

( 1) D(n -m-1) s

(n -1) ( 1) D

1n

0

,

m 1,2,...

. mذو الرتبة الالمركزية و ميكن إجياد املتوسط و التباين من العزومR(tودالة الصالحية لكل من املعلمة البييزى التقدير )

:اخلسارة ملربع اخلطأ هو حتت فرض دالة *البييزىالتقدير

1 1

1 1

1 1

1 1

n nj (n -2)

jjj=0* `1 n n

j (n -1)jjj=0

n nj (n -3)

j2 jj=02 `2 n n

j (n -1)jjj=0

( 1) Ds (n -2)E( | s) ( | s) ,

(n -1) ( 1) D

( 1) Ds (n -3)E( ) ( | s) .

(n -1) ( 1) D

٣٦٥

1 11 1

1 11 1

1

2n nn nj (n -3) j (n -2)

j j2 2j jj=0 j=0n n2n n

j n -1) j (n -1)j jj jj=0 j=0

nj

2 j

Var( )

( 1) D ( 1) Ds (n -3) s.

(n -1) ( (n -1))( 1) D ( 1) D

( 1) Ds

(n -2)(n -3)

1 1 1

1 11 1

2n n n(n -3) j (n -2)j jjj=0 j=0

n nn nj (n -1) j (n -1)

j jj jj=0 j=0

( 1) D(n -3) .(n -2)( 1) D ( 1) D

املنوال البعدى

: ميكن إجياده باشتقاق دالة التوزيع البعدي كما يلي املنوال البعدي

*1

1

(s+h) t- - n-n( | s) k e (1-e ) *1

1

*1

1

* *1 1

1

(s+h) t- - n-n

t (h+s) (h+s)- - -n -(n +1) -n2

(h+s) t t* - -n -1-n 11 2

( | s) k e (1-e ) .d ( | s)

d

(h+s)(1-e ) e (-n ) e

kte (n (1-e ) e ) .

٣٦٦

* * *1 1 1

1

*1

*1

*1

(s h) t t t*nn 11 1

2 2

t* 1

1 1

t* 1

1 1

t*

1 1

n td ( | s) n s h0 e (1 e ) e (1 e ) 0d

n s h n t (e 1) 0

1 s h n t (e 1)n

1 s h n t e .n

.حبل املعادلة السابقة باستخدام احلاسب االىل ميكن إجياده املنوال البعدي

R(t)املقدر البييزى لدالة الصالحية

: مبا ان

t- * *1 2R(t) e , t < t<t

:كالتاىل املقدر البييزى لدالة الصالحيةبإستخدام دالة خسارة مربع اخلطا ميكن اجياد

٣٦٧

*1

1

*11 1

1 1

1 -(n -1

*0

0

(t+s+h) t- - n-n

0

(t+s+h+jt )n n -j -n

jj=0 0n n

j * -(n -1)1jj=0

nj

j

R (t ) E[R (t)] R(t ) ( | s) d

k e (1-e ) d

k ( 1) e d

k= ( 1) (t +s+h+jt )(n -1)

k ( 1) s(n -1)

-(n -1)

1 )

1 1

1 1

*n1

j=0

n nj n -1

1j *jj=0 1jn n

j n -1jjj=0

t+h+jt1s

( 1) Et+h+jt,E 1 .

s( 1) D

:ايضا ميكن اجياد تباين دالة الصالحية ىف هذه احلالة كالتاىل

2Var R(t) E(R(t) s) (E(R(t) s)) .

٣٦٨

*1

1

* *1 1

1 1 1

1 1

2 2

0

(2t+s+h) t- - n-n

0

(2t+s+h+jt ) tn - -n n-nj

jj=0 0

-(n -1)*n nj -(n -1) 1

jj=0

E[R (t)] R (t) ( | s) d

k e (1-e ) d

e (1-e ) dk ( 1)

(2t+h+jt )k ( 1) s 1(n -1) s

k(

1 1 -(n -1)

1 1

1 1

1 1

-(n -1)n *nj 1

jj=0n n

j (n -1)jj

j=0

n nj n -1

1 1j * *jj=0 1 1j jn n

j n -1jjj=0

2t+h+jt( 1) s 1s

n -1) ( 1) D

( 1) Ht+h+jt 2t +h+jt,E 1 ,H 1 .

s s( 1) D

2Var R(t ) E(R(t) s) (E(R(t) s))

1 11 1

1 11 1

2n nn nj n -1 j n -1

j jj jj=0 j=0n nn n

j n -1 j n -1j jj jj=0 j=0

( 1) H ( 1) E.

( 1) D ( 1) D

٣٦٩

دیر) ١٣-١-٥( ر اتتق ان االكب ین االمك ,للمعلمت ع االسى لل ین توزی ة بمعلمت ى حال ف العینة الكاملة

بفـرض ان 1 2 nX X ,X ,...,X مــن احلجــم عينــة عشــوائية n لــه دالــة كثافــة االحتمــالخمتــارة مــن توزيــع مــن الوحــدات

,االسى مبعلمتني الشكل التاىل والىت تاخذ:

x

1f (x; , ) e , x ,0 , e.w.

1باعتبار أن 2 ny y y 1حيث مت احلصول عليها 2 ny y , y , , y املعاملواملطلوب تقدير , . ميكن :اإلمكان كالتايل دالة احلصول على

n

ii 1

1 (y )

in

1L e , y ,

0معلومـــة حبيـــث ان بفـــرض ان املعلمـــة يـــتم ذلـــك بتصـــغري .واملـــراد تعظـــيم دالـــة االمكـــانn

ii 1

(y )

وذلـــك

:أكرب قيمة وحيث إن عندما يكون لـ1 2 ny , y , , y .

:هو ولذلك فإن املقدر للمعلمة1 2 n 1ˆ Min(X ,X , ,X ) Y .

.وبالتاىل عن 0مستقل عن وهذا يعىن ان : االن دالة االمكان تصبح

n

i 1i 1

1 (y y )

n

1L e .

:هو احلل للمعادلة مقدر اإلمكان للمعلمة

ˆ

ln L 0

٣٧٠

n

i 1i 1

n

i 1i 1

2

then :

(y y )ln L = - n ln - .

(y y )ln L n .

بوضع ˆ

ln L 0

: فان

i 12

(y y )n 0ˆ ˆ

,وبالتاىل فإن مقدرات االمكان للمعلمتني مها:

n

1 i 1 1i 1

1ˆˆ Y , (Y Y ) X Y .n

ˆاملقدرين ˆ, مستقلني النˆ, مستقلني اى ان التغاير بينهما يساوى صفر اى انˆ ˆCov( , ) 0 . .االن يتم دراسة التوزيع املضبوط لكل من املقدرين

:دالة الكثافة االحتمالية املشرتكة لإلحصاءات الرتتيبية يف العينة تعطى كالتايل

n

ii 1

1 2 n 1 2 n

1 (y )

1 2 nn

g(y , y ,..., y ) n!f (y )f (y ) f (y )

n! e . ; y y y .

:نعترب التحويلة األحادية1 1 0 0

2 2 1

3 3 2

i i i 1 0

Z n (Y Y ),Y ,Z (n 1)(Y Y )Z (n 2)(Y Y )

Z (n i 1)(Y Y ) , i 1,2,...,n , Y 0

:والتحويلة العكسية هلا هي

n

i 1i 1

2

n

i 1i 1

(y y )n .ˆ ˆ

(y y )ˆ .

n

٣٧١

1 2 ii

Z Z ZY ... , i 1,2, ,n,n n 1 n i 1

:ومنها نوجد جاكوبيان التحويل كالتايل1 1 1

1 2 n

2 2 2

1 2 n

n n n

1 2 n

y y y 1 0 0z z z ny y y 1 1 0 1z z zJ .n n 1

n!

1 1y y y 1n n 1z z z

:سوف نثبت ان n n

i ii 1 i 1

Z (Y ).

:مبا ان 1 1 1Z n(Y ) nY n

)٣-٥( :االن

n n

i ii 1 i 1

(Y ) Y n .

:فإن )٣-٥(بقيمتها ىف nوبالتعوئض عن

n n n

i i 1 1 i 1 1i 1 i 1 i 1

n n n n

i 1 1 i 1 1 i 1 ii 1 i 2 i 2 i 1

(Y ) Y Z nY Y nY Z

(Y Y ) Z (Y Y ) Z Z Z Z .

i)و iZدالة كثافة االحتمال املشرتكة لـ وعلى ذلك 1,2, ,n) تعطى كالتايل: n

ii 1

i

z[ ]

1 2 n n

zn [ ]

ii 1

1h(z ,z ,...,z ) e

1 e , 0 z ,

0 , e.w.

. متغريات عشوائية مستقلة ومتطابقة وكل منها يتبع التوزيع االسي باملعلمة iZمما يعين إن املتغريات

٣٧٢

: إن مباn n n

i i 1 i 1i 2 i 2 i 2

Z Y (n 1)Y (Y Y ),

:اى ان

n n n

i 1 i 1 ii 1 i 2 i 2

1 1 1ˆ (Y Y ) (Y Y ) Z .n n n

:هى لالحصاءالدالة املولدة للعزوم

n

ii=2

(n 1)ˆ

Z

n

tM (t) M (t) (1 ) .n

)والىت متثل الدالة املولدة للعزوم ملتغري عشوائى يتبع توزيع جاما مبعامل , n 1)n

. وذلك الن: iZاملتغريات ,i 1,2,...n 1 متغريات عشوائية مستقلة ومتطابقة وكل منها يتبع التوزيع االسي باملعلمة .

الدالة املولدة للعزوم للمقدر n

ii 2

Z هى:

n

ii=2

(n 1)

ZM (t) (1 t ) .

توزيع اى ان n

ii 2

Z يتبع توزيع جاما مبعلمتني, (n 1) .

iZاملتغريات وذلك الن ,i 1,2,...n 1 متغريات عشوائية مستقلة ومتطابقة وكل منها يتبع التوزيع االسي باملعلمة . :االن

1ˆ Y

:الرتتيب االحصاء االصغروميكن احلصول على توزيعة من الصيغة التالية 1Yحيث

n 11 1 1

1 1n f (y ) 1 F(y ) , 0 y ,g (y )0 , e.w.

,يتبع التوزيع االسى مبعلمتني 1Yاى ان n.

:االن

11

Z 1ˆE( ) E( ) E(Z ) .n n n

٣٧٣

:ايضا .مقدر متحيز للمعلمة اى ان 2

112 2

Z 1ˆVar( ) Var( ) Var(Z ) .n n n

n n

i ii 2 i 2

1 1 n 1ˆE( ) E( Z ) E(Z ) .n n n

: ايضا.مقدر متحيز للمعلمة اى ان n n

2i i2 2

i 2 i 2

1 1 n 1ˆVar( ) Var( Z ) Var(Z ) .n n n

ˆˆمبا ان املقدران , مقدرين متحيزين فيمكن احلصول منهما على مقدرين غري متحيزين كالتاىل:

1 1 1

11 1

n n 1 nˆ ˆ(Y Y ), Y { [ (Y Y )]}n 1 n 1 n 1 n n 1

nY Y1Y [ (Y Y )] .n 1 n 1

:اى ان 1

1nY Yn (Y Y ), .

n 1 n 1

22

2 2

2

n n n 1 n n 1E( ) E( ) . , Var( ) .n 1 n 1 n (n 1) n

,n 1

2 2 2

2 2 2 2

1ˆE( ) E( ) E( ) ,n n n

1 1 1ˆVar( ) Var( ) Var( ) (1 ).n n n n 1 n n 1

:االن الثبات هل املقدرين مستقلني ام ال نتبع االتى

2

2 2 2 2

2

ˆ ˆ ˆ ˆn nˆCov( , ) Cov( , ) Cov( , )n 1 n 1 n 1 n 1

n n n (n 1)ˆ ˆ ˆCov( , ) Var( ) .(n 1) (n 1) (n 1) n

.n(n 1)

ˆˆاى ان املقدران , غري مستقلني .

٣٧٤

االن سوف نثبت ان n

i 1 1i 2

{ (Y Y ), Y }

احصاءات كافية للمعلمتنيˆˆ( , ) . نفرض ان :n

1 i 1i 2

U Y , V (Y Y )

. ومبا انˆˆ( , ) اى ان .مستقلني فإن اى دوال فيهما مستقلني(U, V) مبا .مستقلني ايضا

1Uان Y يتبع التوزيع االسى مبعلمتني,n حيث دالة كثافته االحتمالية تاخذ الشكل التاىل:

n u

n1g (u; , ) e , u ,

0 , e.w.

:ومبا ان n n

i 1 ii 2 i 2

V (Y Y ) Z

,تتبع توزيع جاما مبعلمتني Vاى ان n 1 ، حيث دالة كثافته االحتمالية تاخذ الشكل التاىل:

vn 2

2 n-1

1g (v ; )= v e , v > 0.(n 1)

,V)اى ان التوزيع املشرتك للمتغريين U) هو:

n u vn 2n

n-1

1g (u,v) e v e , v > 0,u> .(n 1)

:االحتمال الشرطي موباستخدا

n

ii 1

1 (y )

n u vn 2n

n-1

1 eL(y; )h(y, u, v)

g(u, v) 1e v e (n 1)

٣٧٥

n

ii 1

i

1 (y )n

v n un n 2

( y v n nu n )

n 2

n

ii 1

n 2

N

(n 2) i 1i 1

e

n v e (n 1)

(n 1) en v

( y v nu)(n 1) exp

n v

( y v ny )(n 1)v exp

n

(

n

(n 2) i 1i 2

n n

(n 2) i 1 i 1i 1 i 2

(n 2)

[ (y y ) v]n 1)v exp

n

[ (y y ) (y y )](n 1)v exp

n

(n 1)v .n

,وهذه النسبة ال تعتمد على اى ان .بل دالة فقط ىف املشاهداتn

i 1 1i 2

{ (Y Y ), Y }

احصاءات كافية مشرتكة

,للمعلمتني . :نتبع االتى للحصول على مقدر ملتوسط التوزيع

:مبا ان

1 1

ˆ ˆn ˆˆ ˆ, , Y Y , Y ,n 1 n 1

:ومبا ان

E(X) , :توسط التوزيع هو ملوعلى ذلك مقدر االمكان االعظم

1 1ˆˆ Y Y Y Y.

٣٧٦

:املقدر ملتوسط التوزيع الغري متحيز هو ˆ ˆ ˆn ˆˆ ˆ ˆ ˆ(n 1) Y.

n 1 n 1 n 1

1R(t)لدالة الصالحية exp (t ) , t :فإن املقدر الذى يعتمد على مقدرات املكان االعظم هو

1

11

t YR(t) exp , t Y .Y Y

ص ال ) ١٤-١-٥( ى تخ ات الت ض النظری دیربع ةبییزال اتتق ة ی رض للمعلم ت ف تح

فى حالة العینة الكاملة معلومة و التوزیع االسى بمعلمتین

٤ 1 لتكن 2 nX ,X ,...,X االسى مبعلمتني عينة عشوائية من توزيع له دالة كثافة االحتمال, والىت تاخذ

:الشكل التاىل x

1f (x; , ) e , x ,0 , e.w.

معلومة واملطلوب اجياد توزيع وكانت n

ii 1

U X

. اهتمامنا هنـا ىف احلصـول علـى توزيـعU وذلـك السـتخدامه ىف

:احلصول على خماطرة بييز لبعض التوزيعات القبلية الىت ميكن استخدامها وهى هو توزيع جاما العكسي بفرض أن التوزيع القبلي للمعلمة ) أ(

)٤-٥(h1

1h( ) e ; h, > 0 ( 1)

)حيث أن 1) 1 < جاما و دالة هي :من العالقة التالية Uميكن احلصول على توزيع

)٥-٥ (0

h(u) g(u | ) ( )d .

g(uتوزيع حيث | ) اوجدهShalaby and Abdelmoneim (1990) باستخدام الدالة :هو و املميزة

)٦-٥( (u n )n

n 1g(u | ) (u n ) e ,u n .(n)

٣٧٧

:نظرية حتت شرط U وعلى ذلك التوزيع الشرطى للمتغري ) ٤- ٥(هو بفرض أن التوزيع القبلي للمعلمة

:هو Uاذا واذا فقط كان توزيع ) ٦-٥(هو املعطى ىف معلومية

n

(n 1)n 11

hf (u) (u n ) 1 h ,u n .(n, 1)

)٧-٥( ,n)حيث 1) 1دالة بيتا و .

:الربهان :الشرط الضرورى والكاىف للحالة السابقة يعطى كالتاىل

:الشرط الضرورى : اوالبفرض أن التوزيع و )٦-٥(هو املعطى ىف حتت شرط معلومية U إذا كان التوزيع الشرطى للمتغري

: كما سوف يثبت االن )٧-٥(هو Uتوزيع فإن )٥- ٥(وعلى ذلك تبعا ل )٤-٥(هو القبلي للمعلمة

1 10f (u) g(u | ) ( )d .

(u n ) h-n -1- -n 1 -

0

(u n h )-1 n 1 --(n+ )

0

h(u n ) e e d(n) ( -1)

h (u n ) e d( -1) (n)

2

(n )1 n 1-z

1 20

(u n h) (u n h)let =z =z

(u n h)d = dz.z

h (u n ) u n h (u n h)f (u) e dz( -1) (n) z z

٣٧٨

n+ -2 -z1 n 1 -(n+ )

0

1n 1 -(n+ 1) (n 1)

nn 1 -(n+ 1)

1

z e dzh (u n ) (u n h) (u n h)( -1) (n)

h u n(u n ) ( 1) h (n+ 1).( -1) (n) h

h u nf (u)= (u n ) ( 1) .(n, -1) h

:الشرط الكاىف : ثانياn

n 1 -(n+ 1)1

h-1 --

0n n 1 (n -1)

(n -1)

h u nf (u)= (u n ) ( 1)(n, -1) h

hg(u | ) e d( -1)

h (n -1) (u n ) [h (u n )](n) h

h-- 1

01

n 1 (n -1)

h-- 1

0

g(u | ) e h d .

h (n -1) (u n ) [h (u n )](n)

g(u | ) e h d

hn 1 --(n 1)

0

2

n 1-hz

(n 1) 20

(n -1)(u n ) (n) g(u | ) e d .[h (u n )]

1 1 1let z= = d dz.z z

(n -1)(u n ) 1(n) g(u | z) z e dz.[h (u n )] z

(n 1)

2h(n 1)

(u n ) (n -1) (n)L z g(u | z)[h (u n )]

٣٧٩

: ومعلمة التحويل hهى حتويلة البالس حيث hL حيث

:نظرية

:هو بفرض أن التوزيع القبلي للمعلمة ) ب(

12 h

2h( ) e ; h, > 0, >1. ( 1)

)٨-٥(

)حيث أن 1) 1 < جاما و دالة هي 2= وعندما حنصل على التوزيع االسى. اذا واذا فقط كان ) ٦-٥(هو املعطى ىف حتت شرط معلومية U وعلى ذلك التوزيع الشرطى للمتغري

:هو Uتوزيع

1 (n 1)

12 (n 3)2

2 (n 1)2hf (u) (u n ) K 2 h(u n ) ,u n .(n) ( 1)

)٩-٥(

k 1 za

k

n-1 n 2 z(u-n ) 2

n-1 z(u-n ) n

(u-n )n-1 n

(k) z e .h a

let k=n+ -1,a=(u-n ),h=h,(u-n ) z e (n)z g(u | z)

1g (u | z) (u-n ) e z .(n)

1let = ,z

1g(u | ) (u-n ) e ,u n .(n)

٣٨٠

Johnson and Kotz(1970) والىت متثل توزيع جاما املركب والذى له اربعة معامل واملعرف من قبل :الربهان

:الشرط الضرورى يعطى كالتاىل : اوال

بفرض أن التوزيع و) ٦-٥(هو املعطى ىف حتت شرط معلومية U إذا كان التوزيع الشرطى للمتغري

كما سوف يثبت االن )٩- ٥( هو Uفإن توزيع )٥- ٥(وعلى ذلك تبعا ل ) ٨-٥(هو القبلي للمعلمة :

2 20f (u) g(u | ) ( )d

(u n )-n -1-n 1 2 -h

0

(u n )1 n 1 - hn 2

0

h(u n ) e e d(n) ( -1)

h (u n ) e d .( -1) (n)

( n 2) (u n )h1 n 1 - zz

20

zlet h =z = .h

dzd = ,hh (u n ) z 1f (u) e dz

( -1) (n) h h

(u n )- z1 (n-1) -n-2 z

-n-20

(u n )h- zn 1 (n-1) -n-2 z

0

1h (u n ) z e dzh( -1) (n)h

1h (u n ) z e dz.h( -1) (n)

٣٨١

modified Bessel function aKباستخدام دالة بيسل املعدلة (b) من النوع الثالث من الدرجة حيث ؛ aمن

11 2 1 2

2 1

y-zz

1 ( )0 2

2K (2 y)z e dz . y

:فإن

( n 1)1 (n+1- )2

( n 1)

n 1 (n-1)

2

1 21 (n+ 1) 12 (n+ 3)

22

2h (u n )f (u) K 2 h(u n ) ,( -1) (n)

h h(u n )where y=h(u n ), , n 1

2hf (u) (u n ) K 2 h(u n ) ,u n .( -1) (n)

:الشرط الكاىف : ثانيا

( n 1)

2 20

1 (n+ 1) 12 (n+ 3)2

12 -h

0

f (u)= g(u | ) ( )d

2h (u n ) K 2 h(u n )( -1) (n)

h e g(u | )d .( -1)

٣٨٢

( n 1)

( n 1)

1 (n+ 3) n-121(n+ 1)2

n-1

1 2 -h

0

1 ( n 1)2

2 -hn-1

0

(u n ) (u n )2h K 2 h(u n )

(n) (u n )

h e g(u | )d

(u n )2 K 2 h(u n )h

(n) e g(u | )d .(u n )

( n 1)

2hn-1

1 ( n 1)2

(n) L ( g(u | ))(u n )

(u n )2 K 2 h(u n )h

حيث اجلانب االمين من املعادلة السابقة هو حتويلة البالس للدالة(u n )-n 2 e

Doetsch (1971).

(u n )-2 n 2n-1

(n) g(u | ) e .(u n )

(u n )n

n 1g(u | ) (u n ) e ,u n .(n)

:نظرية

٣٨٣

: هو بفرض أن التوزيع القبلي للمعلمة ) ج(

1 p q

p 1 q 13( ) ( ) 0< < ,p,q>0.

(p,q)

)١٠-٥(

اذا واذا فقط كان ) ٦-٥(هو املعطى ىف حتت شرط معلومية U وعلى ذلك التوزيع الشرطى للمتغري :هو Uتوزيع

(u n )-n 1

3 n

p n 1 q 1 uxU

(u n )-x

2

1f (u) (u n ) e(n) (p,q)

x xL ( ) (1 ) e .1 x 1 x

1 e ,u n .(1 x)

)١١-٥(

Uمتثل حتويلة البالس مبعلمة التحويلة ULحيث

:الشرط الضرورى يعطى كالتاىل : اوال بفرض أن التوزيع القبلي و)٦-٥(هو املعطى ىف حتت شرط معلومية U إذا كان التوزيع الشرطى للمتغري

كما سوف يثبت )١١-٥(هو Uفإن توزيع )٥- ٥(وعلى ذلك تبعا ل ) ١٠-٥(هو للمعلمة

:االن

3 30f (u) g(u | ) ( )d

٣٨٤

: اذن(u n )1 p q -

n 1 p n 1 q 13 0

f (u) (u n ) ( ) e d . (n) (p,q)

: بوضع

dz z dz .

(u n )-1n 1 p n 1 q 1 z3 n 0

1f (u) (u n ) z (1 z) e dz .(n) (p,q)

:بوضع

2

x z dxz x dz ,1 x 1 z (1 x)

:اذن n 1 p n 1 q 1

3 n 0

(u n )- (x 1)ux -uxx

2

(u n ) (u n )- -n 1 p n 1 q 1 uxx

Un 2

1 x xf (u) (u n ) ( ) (1 ) (n) (p,q) 1 x 1 x

1.e e e dx(1 x)

1 x x 1(u n ) e L ( ) (1 ) e e ),u n(n) (p,q) 1 x 1 x (1 x)

:الشرط الكاىف : ثانيا

٣٨٥

3 30

1 p 1 q 1

0

p 1 q 1 ux -ux20

p 1 q 1 uxU 2

n

f (u)= g(u| ) ( )d

1 z (1 z) g (u| z) dz (p,q)

1 x x 1 x= ( ) (1 ) g(u| )e e dx

(p,q) 1 x 1 x (1 x) 1 x

1 x x 1 xL ( ) (1 ) g (u| )( )e (p,q) 1 x 1 x (1 x) 1 x

1 (u n )(n) (p,q)

(u n ) (u n )- -n 1 p n 1 q 1 x

U

ux2

x xe L ( ) (1 ) e1 x 1 x

1 e ).(1 x)

:وبأخذ معكوس البالس لكل من الطرفني فإن p 1 q 1

2

(u n ) (u n )- -n 1 p n 1 q 1 x

n 2

x x 1 x( ) (1 ) g (u| )1 x 1 x (1 x) 1 x

1 x x 1= (u n ) e ( ) (1 ) e .(n) 1 x 1 x (1 x)

:بوضع

xz ,x 1

:اذن

(u n ) (u n )-n - - (1 z)n 1 z

n

zg(u | z) (u n ) e e .(n)

٣٨٦

:بوضع

z ,

n(u n ) (u n ) (u n )- -

n 1n

( )g(u | ) (u n ) e e e .

(n)

:اذن

(u n )n -n 1g(u | ) (u n ) e ,u n .

(n)

دیرات) ٥١-١-٥( ة تق ین بییزی ى بمعلمت ع االس الم التوزی ة لمع ى حال الحیة ف ة الص ودال

من النوع الثانى المعاینة

٤ 1وبفرض ان إذا كان لدينا اختبار احلياة من عينة مراقبة من النوع الثاين 2 ry y y هى الr االوىل من املشاهدات

, تنيمبعلم االسى توزيعالتتبع nاملرتبة واملاخوذة من عينة عشوائية من احلجم على الشكل التاىل:

x

1f (x; , ) e , x ,0 , e.w.

1 وباعتبار ان 2 ry y , y , , y للمعامل تقدير اجياد واملطلوبمت احلصول عليها, . دالة اإلمكان تعطى كاآليت:

:التوزیع األسي بمعلمتین ایجاد مقدرات بییز تحت فرض:

٣٨٧

r

i ri 1

1r y n r yn! 1L y , e .n r !

:االن

r r

i r i ri 1 i 1

r

i r 1 1 1i 1

1

r

i 1 r 1i 1

1

r

i 1 r 1 1i 1

y n r y y r n r y n r

y n n r y [ry ry ny

ny ]

y ry n r y n r y

ny n

y y n r y y n y .

r

i 1 r 1i 1

n!let s y y n r y y ;kn r !

11 s n y

r

kL y , e .

,ل حتت فرض التوزيع القبلى التاىل :

1a

1g , ;a, 0 , y .

,ل وعلى ذلك التوزيع البعدى هو:

1

11

1 s n ya r

1y s n ya r

0

k e, y .k e d d

:حيث

٣٨٨

1

1

1

1

ya r1

10

ya r 1

1

ya r 1

1

ya r 2

1

1k exp s n y d d

s n y a r 1d

a r 1 s n y d

a r 1 s n y .n a r 2

a r 21

a r 2

a r 2 nsk kns a r 2

11 s n ya r, x k e .

التوزيع البعدى ل : The marginal posterior of لـ

1

10

1 s n ya r

0

a r 1

1

a r 2a r 1

1

a r 2

a r 1

1

y , y d

k e d

k s n y a r 1

ns s n y a r 2 a r 2a r 2n a r 2 s

.s n y

1

1

y

ya r 1a r 2

1

E y d

n a r 2 s s n y d .

a r 1 a r 2 a r 2

٣٨٩

a r 1

1

a r 2

1

let u dv s n y

1du d v s n yn a r 2

1

1

ya r 2a r 21

ya r 2

1

a r 2 a r 2 a r 31

1

n a r 2 s s n yn a r 2

1 s n yn a r 2

1s s y sn a r 3

sy .n a r 3

التوزيع البعدى ل لـ دى : The Marginal

1

11

y1

1

y

1y s n ya r

1 s n ya r

sa r 1 n

sa r 2a r 1 n

y , y d

k e d

k en

k ens e , 0.

a r 2

sa r 2a r 2

0

a r 2a r3

s e da r 2s s a r 3

a r 2a r 3 ss .

a r 2a r 2

٣٩٠

1

sy ,n a r 3

s .a r 3

مقارنة بین زمن التجربة فى حالة العینة الكاملة والمعاینة المراقبة من النوع ) ٦١- ١-٥(

الثانى

اء التجربة بعد فشل ٤ بفرض اننا اجرينا اختبار حياة باستخدام عينة مراقبة من النوع الثاىن وقد مت ا واملطلوب مقارنة هذه التجربة بتجربة استخدمت فيها عينة كاملة حجمها من عينة حجمها تدامن الوح

يت التجربة بعد فشل كل الوحدات الىت عددها . وا

:و

ولحساب النسـبة بـين االسـلوبيين فـى المعاينـة وكيـف تـؤدى المعاينـة فـى حالـة المراقبـة مـن النـوع الثـانى الـى : أي القيمــة المتوقعــة للمتغيــرالــى حســاب لكاملــة فإننــا نحتــاج اختصــار زمــن التجربــة عــن المعاينــة ا

:المطلوب اوال إيجاد : أي و القيمة المتوقعة للمتغير

انه اذا اجرينا اختبار حياة باستخدام عينة مراقبة من النوع وبذلك نثبت اثبات ان هذه النسبة أقل منو باستخدام عينة كاملة حجمها افضل من اجراء التجربة الثانى و تم انهاء التجربة بعد فشل

. وانهاء التجربة بعد فشل كل الوحدات التى عددها

:سوف نثبت ذلك تحت فرض أن

r

nr

r

(1,n) (2,n ) (r,n )

n r

let X ,X , ,X

(1,r ) (2,r ) (r,r )X X , ,X

(r,r )X

(r,r)E(X )(r ,n )X(r,n)E(X )

(r,n )

(r,r )

E(X ).

E(X )

1

rr

r

(x )1f (x) e x n, 0.

٣٩١

:نتبع الخطوات التالية سوف

1 1

2 2 1

r r r 1

i

Z n(Y )Z (n 1)(Y Y )

Z (n r 1)(Y Y )

Z s ~ exp( ) ,i,i,d

1 1

2 2 1

r r r 1r

i ri 1

W YW Y Y

W Y Y

W Y

r

i ri 1

E( W ) E(Y )

i iZW s ~ exp( ),W .

n j 1 n j 1

r

i ri 1

r r

j 1 j 1

E(W ) E(Y )

1 .n j 1 n j 1

٣٩٢

:اى ان .اإلشارة سالبة دليل على حدوث توفير فى الزمن عند استخدم عينة مراقبة

.تعتمد على معامل التوزيع ال

:فإن عندما

r

rj 1

r

(r,n)j 1

r

(r,r)j 1

r

j 1(r,n)r

(r,r )j 1

r1

j 1r

1

j 1

r1

j 1r

1

j 1

1E(Y )(n j 1)

1E[X ]n j 1

1E[X ]r j 1

1E[X ] n j 1

1E[X ]r j 1

(n j 1)

(r j 1)

(n j 1)

(r j 1)

r r1 1

j 1 j 1(n j 1) (r j 1) .

r,n (r,r )E(X ) E[X ].

0

r

(r,r )i 1

1E[X ] .r i 1

r

i 1(r,n)r

(r,r)i 1

1( )E[X ] n i 1 .1E[X ] ( )r i 1

٣٩٣

:المطلوب ايضا حساب

.ال تعتمد على التوزيعو إثبات ان هذا االحتمال

واألخرى تجربتين مستقلين أحدهما األول

:مستقلني فإن مبا أن

r 1

r,rh (v) rv 0 v 1

r 1 r 1 n r2

n!rf (u,v) v u (1 u) 0 v 1(r 1)!(n r)!

1 v r n r

r 1

0 0

n!u 1(1 u)P(X Y) rv du dv,(r 1)!(n r)!

( r,n) (r,r)P(X X )

(r,n )

(r,r )

let x xx y.

r cut of rr cut of n

r 1 n rr,n (r,n )

n!g (x) (F(x)) (1 F(x)) f (x) x x , x(r 1)!(n r)!

r 1r,r (r,r )g (y) r(F(y)) f (y) , y x , y .

x, y

r,n r,r 1g (x)g (y) f (x, y).

let u F(x) , v F(y).

r 1 n rr,n

n!h (u) u (1 u) 0 u 1,(r 1)!(n r)!

P(X Y) P(U V) let w 1 u 1 v w 1. w u1 0

1 v v

٣٩٤

1 1r 1 r 1 n r

0 1 v1 1 r 1

r 1 j n j r

j 00 1 v11 n j r 1r 1

r 1 j

j 00 1 v

n!P(X Y) rv (1 w) w dwdv(r 1)!(n r)!

n 1 r 1n rv ( 1) w dwdv

r 1 j

n 1 r 1 wn rv ( 1)r 1 j n j r 1

r 1n 1 j

nr 1

j1 1r 1

r 1 r 1 n r j 1

j 0 0 0

( 1)v dv v (1 v) dv

(n r j 1)

j1 1r 1

r 1 r 1 n r j 1

j 0 0 0

r 1( 1)

jc (1 y) dy (1 y) y dy ,

(n r j 1)

n 1

c rn ,r 1

r 1j

j 0

1 2

r 1( 1)

jc I I ,

n j j 1

1r 1i i

1i 0 0

ir 1

i 0

r 1I ( 1) y dy

i

r 1( 1)

i,

i 1

1r 1

i n r j i 12

i 0 0

ir 1

i 0

r 1I ( 1) y dy

i

r 1( 1)

i.

n r j i 2

٣٩٥

.ال يعتمد على شكل التوزيع اى ان

:حتسب كالتاىل و ةللتوزيع االسى مبعلم النسبة المئوية لالختزال في زمن الحياةايضا يمكن حساب ـــات مـــن احلجـــماوال حنســـب ـــع أســـي قياســـي n القـــيم املتوقعـــة لإلحصـــاءات الرتتيبيـــة، يف عين مـــن توزي

وتسمى هذه القيم درجات ,r=1,2,…,10,n=2,3,…,10 حيث معطاة لقيمالتاىل عطاة يف اجلدول وامل .وهلا تطبيقات مفيدة يف االستدالل الالمعلمي score exponentialأسية

10 9 8 7 6 5 4 3 2

0.100 0.111 0.125 0.143 0.167 0.200 0.250 0.333 0.500 1 0.211 0.236 0.268 0.310 0.367 0.450 0.583 0.833 1.500 2 0.336 0.379 0.435 0.510 0.617 0.783 1.083 1.833 3 0.479 0.546 0.635 0.760 0.950 1.283 2.083 4 0.646 0.746 0.885 1.093 1.450 2.283 5 0.846 0.996 1.218 1.593 2.450 6 1.096 1.329 1.718 2.593 7 1.429 1.829 2.718 8 1.929 2.829 9 2.929 10

مثال

i ir 1 r 1 r 1

i 0 i 0 i 0

r 1 r 1 r 1( 1) ( 1)

n 1 j i iP(X Y) nr

r 1 n r j 1 i 1 n r j i 2

j ir 1 r

i 0 i 0

i jr 1 r

i 0 i 0

r 1 r 1( 1) ( 1)

n 1 j i n r j i 2 i 1nrr 1 n r j 1 (i 1)(n r j i 2)

r 1 r 1( 1)

n 1 j inr .

r 1 (i 1)(n r j i 2)

P(X Y)

( 1)

r n

٣٩٦

أزمنة احلياة بالساعات لوحدات . يف االختبار يف اختبارات احلياة، وضعت عينة عشوائية من احلجم حلساب التوفري . ساعة التجربة ميكن اعتبارهم متغريات عشوائية مستقلة من توزيع أسي مبتوسط حياة

اء التجربة بعد فشل الوحدة رقم متثل زمن انتهاء 5,9X كانت وإذا. يف زمن احلياة الكلي عند إميثل زمن انتهاء التجربة إذا أوقفنا التجربة بعد فشل 5,5Xو التجربة بعد فشل الوحدات اليت عددها

من توزيع من اجلدول السابق جند أنه لعينة عشوائية من احلجم. من عينة حجمها الوحدة رقم :وعلى ذلك . 2.283هى 5,5Yوالقيم املتوقعة ل 0.749هى 5,9Yأسي قياسي، فإن القيمة املتوقعة ل

5,5

5,9

E(X ) 100(2.283) 228.3,E(X ) 100(0.746) 74.6.

:وعلى ذلك النسبة املئوية لالختزال يف زمن احلياة هو

228.3 74.6100 67.32%.

228.3

تینبمعلم وایبلتوزیع ) ٢-٥( فى حالة العینة الكاملة بییز تقدیرات) ١-٢-٥(

:وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل Sinha and Gutman (1988)قدم هذا البحث من قبل جتارب يد يف جمتمعات احلياة املرتبطة بدراسات الصالحية و الكفاءة و فيعترب توزيع وابيل ملعلمتني منوذج م

و و طرق تقدير معامل وابيل بهذا البند سوف يكون اهتمامنا ىف و ألمهية هذا التوزيع ...اختبارات احلياة

.و تنيلكل من املعامل ةإجياد التوزيعات اهلامشية البعدي

1بفرض أن. من الوحدات وضعت لالختبار وان االختبار ينتهي بعد فشل كل الوحدات nبفرض أن 2 nX , X , , X عينة

:علمتني بدالة كثافة احتماليةمبعشوائية متثل أزمنة الفشل وان أزمنة الفشل تتبع توزيع وايبل

px

p 1pf x ,p x e ,p, 0 ,x 0.

:دالة االمكان تأخذ الصورة

n 9

100

(r 5)5

r 5

5n 5n 9

p

p

٣٩٧

pi

n

ii 1

xp 1nn n

ii 1

L x ,p f x ,p

p x e .

و على اعتبار التوزيع القبلي املقرتح من قبل Jeffreys' 1961

1,pp

فإن التوزيع البعدي للمعامل ,p حتت شرطx يعطى بالصيغة:

pi

pi

xn 1p 1 n 1 n

ixi 1n 1p 1 n 1

0 0

p e,p x , x .p e dpd

واقصر فترة ثقة لمعلمة الشكل بییز تقدیر ) أ(

pللمعلمة بييز تقدير:اوال مقلقلة و لذلك جنري التكامل بالنسبة هلا لنحصل على تعتربهنا 1 p x و هي دالة يف املعلمةp.

pi

pi

xn 1p 1 n 1

01 x

n 1p 1 n 1

0 0

p e dp x .

p e d dp

:حيث nn

1 p 1 n 1 p1 i

i 10

k p x dp.

:التالية تعطى بالصورة pلـ و كذلك جند أن القيمة املتوقعة

p

nnp 1 n 1 p

ii 1

nnp 1 n 1 p

ii 10

p 1 n 1

n 1npi

i 1

p x n

p x n dp

p k ,p 0.x

٣٩٨

nn

p 1 n p1 i 1

i 10

E p x p p x dp p x k dp.

Sinha and Gutman قبللك من ذو والىت مت احلصول عليها باستخدام احلاسب االىل بالطرق العددية

(1988). اقصر فرتة ثقة : ثانيا

فتره احتمال بییز المتماثله ذات الجانبین Sinha and Gutman (1988)لقد اوجد Symmetric 100(1-)% Two Side Bayes Probability Interval

ویمكن الحصول علیها بحل لالختصار تكتب ( pللمعلمه :المعادلتین

قسمت بالتساوى بین طرفى التوزیع البعدى حیث والفترة السابقة تسمى متماثلة الن :هو الحد االعلى بحیث أن هو الحد االدنى و

:وذلك بإتباع الشروط التالیة للمعلمة ) المرغوبه او المعتمدة(أقصر فترة ثقه كما اوجد

- - .

.له منوال وحید فإنه حصل على اعلى فترة ثقه ولما كان التوزیع البعدى ل .الفترات السابقة يتم الحصول عليها باستخدام الحاسب االلى بالطرق العددية

واقصر فترة ثقة القیاسلمعلمة بییز تقدیر ) ب(

.للمعلمة بييز تقدير : اوال

التوزيع البعدي املشرتك للمعلمتنيمبا ان ,p التالية الصيغة من يعطى:

pix

n 1 n 1p 1k,p x p e .n

(100 1 %TBPI

1

2

t

0

t

p x dp ,2

p x dp .2

1t

2t

1 2P(t p t ) 1 .

p

1 2P(t p t ) 1

1 1 1 2t x t x

p

٣٩٩

مقلقلة و لذلك جنري التكامل بالنسبة هلا لنحصل على pهنا تعترب 2 x و هي دالة يف املعلمة. :حنصل على pبالتكامل بالنسبة لـ

pix

n 1 p 1 n 12

0

kx p e dpn

.و اليت ميكن أن حتل بالطرق العددية أو باستخدام احلاسب :التالية تعطى بالصورة و كذلك جند أن القيمة املتوقعة لـ

pi

20

xn 1n p 1

0 0

E x x d

k p e dpdn

pix

n 1p 1 n

0 0

1 nn 1p 1 pi

0

n 1

p 1p

0 i

k p e d dpn

k p x n 1 dpn

k p dp.n 1 x

Sinha and Gutman وذلك من قبل احلصول عليها باستخدام احلاسب االىل بالطرق العددية مت والىت

(1988). وفترة ثقة بییز لدالة الصالحیة تقدیر) ج(

:حيث R(t)املقدر البييزى لدالة الصالحيةp

p

xtp 1

0

x

pR(t) P(X t) x e dx

e , t 0.

R(tفيمكن احلصول على التوزيع البعدى ل p,ومبا ان دالة الصالحية دالة ىف :كالتاىل (

٤٠٠

pt

p p

Let R(t ) R e ,w p

t tln R ,w p ,w pln R

:وعلى ذلك

ww

22

p p 1tw R| J | .t0 R(ln R)

R(ln R)w R

لكل منالتوزيع البعدي ومبا ان ,p حتت شرطx التالية يعطى بالصيغة:

pix

n 1p 1 n 1,p x p e .

وعلى ذلك دالة كثافة االحتمال املشرتكة لكل من w,R هى:

pip

p wi

xn 1 tp w

ln Rw n 12

(n 1)p w( x )(lnR ) tw n 1

2

t tg w,R | x w eln R R(ln R)

t tw eln R R(ln R)

pi

w

pxiwt

xw n 1 w (n 1) w ln Rt

w n 1n 1 wn

w t t eR ( ln R)

w 1(ln ) t RR R

٤٠١

wxiwt

nwi

i 1

nwi

i 1

w n 1n 1 wn

x( ) 1tw n 1 wn n 1

y 1w n 1 wn n 1 i

i

w 1(ln ) t RR R

1w t (ln ) RR1 xw t (ln ) R , y ,0 R 1,w 0.R t

)١٢-٥( :وهى Rحنصل على دالة كثافة االحتمال ل wبالنسبة ل ) ١٢-٥(بتكامل

nwi

i 1

nwi

i 1

nwi

i 1

nwi

i 1

y 1w n 1 wn n 1

30

y 1n 1 w n 1 wn

30

1 y 11 n 1 w n 1 wn

30 0

1 y 1w n 1 wn n 1

0 0

u

1g(R | x) k w t (ln ) R dwR

1k (ln ) w t R dw,R

1K (ln ) w t R dwdRR

1w t (ln ) R dR dwR

1Let u=ln u ln R eR

uR dR e du

0 ,1 0

nwi

i 1

nwi

i 1

u y 11 w n 1 wn n 1 u

30 0

u yw n 1 wn n 1

0 0

w n 1 wnn

w0i

i 1

nwnw n 1 wn i

wi 10

K w t u e e du dw

w t u e du dw

(n)w t dwy

x(n) w t .t

٤٠٢

والتى يتم الحصول عليها المقدر البييزى لدالة الصالحيةايجاد امكنبإستخدام دالة خسارة مربع الخطا ایضا .Sinha and Gutman (1988) الحاسب االلى بالطرق العددية وذلك من قبل باستخدام

. لدالة الصالحیةماثله ذات الجانبین تفتره احتمال بییز الم ؤدالة الصالحیة باستخدام دالة التنببییز ل تقدیر) د(

fإذا كانت (y | ) تمثل دالة كتافة االحتمال للمتغيرY تحت شرط و( ) التوزيع القبلى ل )و | x) هو التوزيع البعدى ل فإن دالة كثافة االحتمال للمتغيرY تحت شرطx هوh(y | x) يمكن

:الحصول عليها كالتالى h(y | x) f (y | ) ( | x)d .

:فإن دالة خسارة مربع الخطاتحت فرض .Y والتى تسمى دالة الكثافة التنبؤية ل*

|x

t

t

t

R (t) E [R(t ) | x] P(Y t | x) ( | x)d

f (y | ) ( | x)d

f (y | ) ( | x)d dy

f (y | x)dy.

: وبما ان . yالخاصة بالقیمة المستقبلیة والتى تمثل دالة الصالحیة

p pi

p pi

y xn 1p 1 p 1 n 1

0 0

x y

n 2p 1 n p 1

0 0

p 1 n p 1n 1p p

0 i

ph(y | x) y e p e d dp

p y e d dp

(n 1)p y dpx y

٤٠٣

p 1 nn 13 p p

0 i

1 p 1 p 1 nn 13 p p

0 0 i

p 1 n p 1n 1p p

0 0 i

np pip 1 n 1

00

npip 1 n 1

0

p 1 n 1 p ni

0

13

1h(y | x) k ( y) p dp,x y

1k ( ) y p dydpx y

p (n 1)( ) p y dydpp x y

x yp dp

(n 1) 1

x 0p dp

n1 p ( x ) dpn

k

p 1 n 1

p n0 i

n p 1n 1p p

0 i

p 1 n 1np

0 i

p dpn( x )

(n 1)n p ( y) dpx y

h(y | x) .(n 1)p dpx

:على التقدیر البییزى لدالة الصالحیة كالتالى وعلى ذلك یمكن الحصول

٤٠٤

p 1

p 1

p 1

t

n p 1

n 1p pt 0 i

p 1 n 1np

0 i

n p 1

n 1p p0 t i

p 1 n 1np

0 i

p 1n

n 1p p0 t i

p 1 n 1np

0 i

E(R(t) | x) h(y | x)dy

np y dpdyx y

(n 1)p dpx

np y dpdyx y

(n 1)p dpx

pynp dy dpp x y

(n 1)p dpx

p 1

p 1

p 1

p 1n

n 1p p0 t i

p 1 n 1np

0 i

n 1

np p0 i

p 1 n 1np

0 i

n 1

np p0 i

p 1 n 1np

0 i

pynp dy dpp x y

(n 1)p dpx

np dydpn x t

(n 1)p dpx

p dydpx t

.(n 1)p dpx

٤٠٥

لمعالم توزیع وایبل ذو البتر المزدوج فى حالة العینة الكاملة رات بییزیقدت) ٢-٢-٥(

تكون دالة كثافة بذلك و قد مت عليها برت مزدوج b, بمعلمتني ب وايبلهلا توزيع ا Xإذا كانت :االحتمال هلا على الشكل التايل

b b

1

b b2 1

(x t )b-1

1 2 (t t )

1 2 1 2

bx e f(x| t <X< t ) = , (1 e )

> 0 ,b>0, 0 <t t ; t x t .

:ميكن احلصول على دالة الصال حية كالتاىل

٤٠٦

یمكنتتت

b1 b

2

b b2 1

b1 b 2

2

2 b2 1

2 b2 1 b 2

2

b1

b 2 b 21 2 2

b

tt x

b-1( t t )

t

tt t

t t

1t t

t t

t

1t t t t

t

e R(t) = bx e dx

1 e

e e e1 (e e )

1 (e e ) e ee

e -e e e

e

22

b 21 2

t

1 2t t

e

, t t t .

e -e

:هو X للمتغري mالعزم الالمركزي ذو الرتبة b b1

2

2b b2 1

b

2

b b1 2 2

t xt (b m) 1

t` mm (t t )

xt m b-1x x t

be x e dx(x) E(X ) =

(1 e )

1 b x ( x )e dx e e

٤٠٧

:ليكن 1b

b 1bx bz x (z ) dz x dx.

b2

b1

t mzb

t

m b b2 1b

z e dz

t tm m( 1, ) ( 1, ),b b

:هى دالة جاما الغري كاملة واملعرفة كالتاىل (d,c)حيث

c d 1 z

0(d,c) z e dz,d 1.

mبوضع 1 ىف`

m (x) الوسط احلساىب ميكن احلصول عليه كالتاىل:

1 b b2 1b t t1 1E( ) ( 1, ) ( 1, ),

b b

:من التوزيع اآلسي ذو البرت املزدوج تكون nدالة اإلمكان األعظم لعينة عشوائية حجمها

nb bi 1

i 1

b b2 1

n

1 2 n 1 2 ii 1

( x nt )n

b 1n i

i 1n

t t( )

L(x ,x ,..., x ; ,b, t , t ) L f (x )

( x ) eb = .

1 e

بفرض n

ii 1

x

وعلى ذلك:

٤٠٨

nnb b b bt ti 1 2 1( )

i 1

( x nt )1 en

b 1bL e .

:على الشكل هو توزيع جاما العكسي بفرض أن التوزيع القبلي للمعلمة

h

( ,b) b e ; h, 0, > 0, 1,b B.

. التوزيع البعدي للمعلمة سوف نستفيد من دالة جاما الناقصة التالية ىف احلصول على

, تني للمعلماملشرتك التوزيع البعدي b يكون:

b b

0 0

L(x; ,b) ( ,b)( ,b | x) .L(x; ,b) ( ,b) d db

nb bn t t2 1( )b bi 1

i 1

nb bi 1

i 1

b2 1

b

0 0

( x nt ) 1 eb h- -n b 1 -( +n)

0 0

( x nt )b h- -n b 1 -( +n-1)-1

0 0

t tn j 1 j(

jj=0

L(x; ,b) ( ,b) d db

= b e e d db

= b e e

. e

b

)d db

٤٠٩

nb b bi 1 2

i 1

bn j 1n b 1 -( +n-1)-1

jj=0 0 0

(h x (n j)t jt )-

= b

. e d db.

:بوضع

bn j 1n b 1 n 1

1 jjj=0 0

I = (n+ -1) b (A (b)) db,

:حيث

n1b b b

i 1 2ji 1

A (b) (h x (n j)t jt )

, تني للمعلماملشرتك التوزيع البعديفإن b ياخذ الشكل التاىل:

nb bn t t2 1( )b b bi 1 2

i 1

-1 n b 1 -( +n)

(h x (n j)t jt ) 1 e ,-

( ,b | x)= I b

. e +n>1.

.ال ميكن تقديرة حتليليا وعلى ذلك التوزيع البعدى ال ميكن وضعة ىف صيغة مغلقة 1Iومبا ان التكامل

)املنوال ,b) البعدى للتوزيع

)املنوال ,b) ميكن إجياده باشتقاق دالة التوزيع البعدي كما يلي للتوزيع البعدى :

٤١٠

nb bb bt t i 12 1( )

i 1

1

(h x nt )-nln[1 e ] - .

ln ( | u) -ln I + (n- )lnb (b 1)ln ( +n)ln

)املنوال ,b) ميكن إجياده باشتقاق دالة التوزيع البعدي كما يلي للتوزيع البعدى :

b b2 1

nb bi 1

i 12

b b2 1

2

t t( )

(h x nt )ln ( ,b | u) ( +n) +

t tn( ).

[1 e ]

)املنوال ,b) احلصول عليه من احلل لنظام املعادلتني التاليتنيميكن إجياده للتوزيع البعدى :

التحليل البييزى ملعلمة القياس )ا(

:يتم احلصول عليه كالتاىل سالتوزيع البعدى اهلامشى ملعلمة القيا

٤١١

nb bn t t2 1( )b bi 1

i 1

B

10

B nb 1 -( +n)

10

(h x nt ) 1 e db-

( | x)= ( ,b | x)db

b= I

e

nb b bi 1 2

i 1

1j

B-( +n) n j 1n b 1

jj=01 0

(h x (n j) t jt )- db

Bn j 1( A (b) / )-( +n) 1 n b 1

1 jj=0 0

= bI

e

I b e , 0.

:هو حتت فرض دالة خسارة مربع اخلطا فإن التقدير البييزى للمعلمة 1

jB 1n j 1 ( A (b))1 n b 1 -( +n-1)

1jj=0 0 0Bn j 1

1 n b 1 1 -( +n-2)1 jjj=0 0

2

1Bn j 1

n b 1 ( +n-2)2 jjj=0 0

E( |x) = I b e d db , 0

= I b ( +n-2)(A (b)) db

I ,I

I ( +n-2) b (A (b)) d

b.

الجياد

:نتبع االتى التباين للتوزيع البعدى اهلامشى للمعلمة

٤١٢

1j

B 1n j 1 ( A (b))2 1 n b 2 -( +n-2)1jj=0 0 0

Bn j 11 n b 1 1 -( +n-3)

1 jjj=0 0

3

1Bn j 1

n b 1 ( +n-3)3 jjj=0 0

E( |x) = I b e d db , 0

= I b ( +n-3)(A (b)) db

I ,I

I ( +n-3) b (A (b))

db.

22

23 2

21 1

Bn j 1n b 1 ( +n-s-1)

s 1 jjj=0 0

Var( ) E( | x) E( | x)

I I ,I I

I ( +n-s-1) b (A (b)) db,

s 0,1,2,...

sالجياد الوسط احلساىب والتباين ال بد من حساب التكامالت 1I ,s 0,1,2. عدديا.

تقدير بييزية للمعلمة ةفرت

-1)100تقدير بييزية ةفرت ميكن احلصول على :حبل املعادلتني املتماثلة للمعلمة %(1

2

t

1 10 t

( u ) d , ( u ) d .2 2

:، أي أن 2tواحلد األعلى 1tللحد األدىن

1 2P(t t ) 1 . 1t(الفرتة , 2t ( 1)100هي فرتة التقدير البييزية- :وميكن احلصول عليها كالتاىل املتماثلة للمعلمة %(

٤١٣

1 1 1j

t tBn j 1( A ( b ) / )1 n b 1 -( +n)

1 1 jj=00 0 0Bn j 1

1 n b 1 ( +n-1)1 j jjj=0 10

Bn j 1n b 1 1

jj=0 0

( u ) d I b e d db

bI b (A (b)) ( +n-1,A ( )) db2 t

II b , I ,2 (( +n-1)

:ايضا Bn j 1

n b 1 ( +n-1)j jjj=0 20

a 1 y

z

I b b (A (b)) ( +n-1,A ( ))db,2 t

(a , z ) y e dy, a 0, (a , z ) (a ) (a , z )

(a , z ) (a ) (a , z ).

یمكن

وذلك بإتباع الشروط التالیة للمعلمة ) المرغوبه او المعتمدة(الحصول على أقصر فترة ثقه : )ا( 1) ب( 2P(t t ) 1 .

) ا(بالنسبة للجزء

:نتبع التاىل

1 1 1 2t x t x

1 1 1 2t x t x

٤١٤

1-( +n)j 1

1-( +n)j 2

1j 2

Bn j 1( A (b) / t )1 n b 1

1 1 jj=0 0

Bn j 1( A (b) / t )1 n b 1

2 1 jj=0 0Bn j 1

( A (b) / t )n b 1( +n)

jj=0 02Bn j 1

1

jj=0 0

t I b e db

t I b e db

b e dbtt

1

j 1( A (b) / t )n b 1

. b e db

) ب(بالنسبة للجزء 1 2P(t t ) 1 .

:نتبع التاىل

2 1-( +n)j 1

1

1 1-( +n) -( +n)j 1 j 1

1 2

tBn j 1( A (b)/t )n b 1

1jj=0 0 t

Bn j 1( A (b)/t ) ( A (b)/t )n b 1

1 jj=0 0 t t

Bn j 1

1 jj=0 0

b e d db (1 p)I

(1 p)I b e d e d

(1 p)I

n b 1 1 1j 1 j 2 b (n 1),A (b)/t (n 1),A (b)/t db.

1لها توزیع بعدى له منوال وحید فإن الفترة إذا كانت 2(t , t .تسمى اعلى فترة ثقة (

b الشكلالتحليل البييزى ملعلمة )ب(

:يتم احلصول عليه كالتاىل b الشكلالتوزيع البعدى اهلامشى ملعلمة

٤١٥

nb bt t2 1( )nb bi 1

i 1

nb b bi 1 2

i 1

20

nb 1 -( +n)

1 0

1 e d(h x (nt )-

nn j 1-( +n)

jj=0 1 0

h x (n j) t jt- d

( | x)= ( ,b | x)d

b= I

e

b I

e

(n 1)n nn j 1

b 1 b b bi 1 2jj=0 i 11

n b 1n j 1n+ -1

jjj=0

b= (n 1) h x (n j)t jtI

b (A (b)) .I

:هو bحتت فرض دالة خسارة مربع اخلطا فإن التقدير البييزى للمعلمة

Bn j 1

-1 n b 1 n+ -1jjj=0 0

Bn b 1 n+ -11

1 j0

E(b | x) I b (A (b)) db

J= ,J b (A (b)) db. I

:نتبع االتى الجياد التباين للتوزيع البعدى اهلامشى للمعلمة

٤١٦

Bn j 12 -1 n 2 b 1 n+ -1

jjj=0 0

Bn 2 b 1 n+ -12

2 j0

22

22 1

E(b | x) I b (A (b)) db

J= ,J b (A (b)) db,I

Var(b) E(b | x) E(b | x)

J J= .I I

1الجياد الوسط احلساىب والتباين ال بد من حساب التكامالت 2I,J ,J عدديا. bتقدير بييزية للمعلمة ةفرت

-1)100تقدير بييزية ةفرت ميكن احلصول على :حبل املعادلتني bاملتماثلة للمعلمة %(

1

2

t

2 20 t

(b u ) db , (b u ) db .2 2

:، أي أن 2tواحلد األعلى 1tللحد األدىن

1 2P(t b t ) 1 . 1t(الفرتة , 2t ( 1)100هي فرتة التقدير البييزية- :وميكن احلصول عليها كالتاىل املتماثلة للمعلمة %(

1 1

1

t t n j 1-1 n b 1 n+ -1

2 jjj=00 0

t n j 1n b 1 n+ -1

jjj=00

(b u) db I b (A (b)) db

I b (A (b)) db,2

:وایضا

2

B n j 1n b 1 n+ -1

jjj=0t

I b (A (b)) db.2

٤١٧

وفيما يلى احلاالت اخلاصة من النتائج السابقة 2tالنتيجة لتوزيع وايبل املبتور من اليسار حنصل عليها بوضع -

1النتيجة لتوزيع وايبل ىف حالة عدم حدوث برت حنصل عليها بوضع - 2t 0, t

bالنتيجة للتوزيع االسي مبعلمة واحدة حنصل عليها بوضع - 1

توزیع كوشى ) ٣-٥( - االمكان االكبر لمعالم توزیع كوشى تقدیرات ) ١-٣-٥(

1بفــرض أن. مــن الوحــدات وضــعت لالختبــار وان االختبــار ينتهــي بعــد فشــل كــل الوحــدات nبفــرض أن 2 nX , X , , X عينــة :حيث توزيع كوشىعشوائية متثل أزمنة الفشل وان أزمنة الفشل تتبع

12

2

122

2

122

x1f x; 1

x1

x .

تمع حيث .معلمة املقياس و) معلمة املوقع(هو وسيط ا

1باعتبار أن العينة 2 nx ,x ,...x 2معامل توزيع كوشى مت احلصول عليها فإننا نرغب يف تقدير, . :دالة اإلمكان تعطى كاآليت

1n 2n n 2

ii 1

L x

1n 22

ii 1

ln L n ln n ln ln x

2n

i22i 1

i

2 xln Lx

٤١٨

222 n i i i

22 22i 1i

2n n

i2 22 22 2i 1 i 1

i i

1 x 2 x xln L 2x

4 x 2

x x

2 ni

222i 1i

ni

222i 1i

2 x .2ln L

x

x4

x

n

22i 1i

ln L n 2x

222 n i

22 2 22i 1i

2n n

2 22 2 2i 1 i 1i i

2 x 2 .2ln L n

x

n 1 42x x

ni

22i 1 i

xln Lthen 2x

ni

22i 1 i

x0

x

n

22i 1i

ln L n 2 0x

حل املعادلتني انيا باستخدام برنامج على و أي حنصل على و تقدير لكل من وميكن احلصول على

. Mathematicaاحلاسب االىل مثل برنامج :من العالقة التالية k,hباستخدام احد الطرق العددية كطريقة نيوتن رافسون وذلك باحلصول على كما ميكن

2 2

20 0 0 0

2 2

200 0 0

ln L ln L ln Lhk ln Lln L ln L

٤١٩

12 2

20 0 0 00

2 20

200 0 0

ln L ln L ln Lh

.k ln Lln L ln L

حىت احلصول على technique iterationنستمر ىف عملية التكرارات .قيمتني مبدئيتني 0و 0حيث و 0عندما يكون الفرق بني 0و صغري جدا. ر االمكان االكبر لدالة الصالحیة یقدت) ٢-٣-٥(

:ميكن احلصول على دالة الصالحية لتوزيع كوشى كالتاىل

2t

1 1R t dxx1

xlet z z x

dx dz 1 2

11 z

1t

t

1

1

1dz tan z

1 ttan2

1 1 ttan2

دالة الصالحية ل ميكن احلصول على مقدر االمكان االكرب R t قدرات االمكان األكربت بالتعويض عن ˆ ˆ, ىف دالة الصالحية كالتاىل:

1 ˆt1R t tan .ˆ2

.االكرب لدالة الصالحية حنصل على تقدير االمكانوبذلك

٤٢٠

قدر بییز لدالة الصالحیةت) ٣- ٣-٥(

بييز لدالة الصالحية قدرتاجياد ميكن R t ل التوزيع القبلي حتت فرض , كالتايل:

1g , .

,ل و بالتايل فإن التوزيع البعدي هو:

1n 2n 1 2i

i 111 n 2n 1 2

ii 10

xg , x .

x d d

عند استخدام دالة خسارة مربع اخلطأ فإن التقدير البييزي لـ R t هو:

1n 21 n 1 2i

i 101n 2n 1 2

ii 10

1 1 ttan x d d2E R(t) x

x d d

)١٣-٥(

:وميكن وضع املعادلة السابقة على الصورة التالية

L Q( )

L Q( )

u e dE u x .

e d

)١٤-٥( :حيث

1 2 m( , ,..., ) و L ln L و هو لوغاريتم دالة إلمكان u دالة ىف و Q ln g و g هو التوزيع القبلي ل. هو التوقع للدالة )١٤-٥(أي أن u على

وكحالة خاصة حتت فرض توزيع كوشى فان . التوزيع البعدي لـ u R(t) و تستبدل باملعامل, و g تستبدل ب g , x و L تستبدل ب ln L , | x

2و1 2( , ) ( , )

: وحلساب التقدير البييزى لدالة الصالحية باستخدام تقريب لندىل فإننا حنتاج اىل حساب القيم التالية

٤٢١

2

11 1 22

uu 2 u u

2

22 1 2 112

uu 2 u u u

2

2 221 12 2 1

uu u u u

: التوزيع القبلى من

1g ,

1Q , Q lng , ln ln .

1 2

Q Q 1Q 0 , Q .

11 1 tu R(t) tan2

21 2

u 1u .t

:و ذلك ألن

21

2

22

22

du 1 1u .d t1

1 .t

1 .t

22 2

2

2 22

22

tdu 1 1u . .d t1

t1 . .t

t1 .t

:بضرب البسط و املقام يف

٤٢٢

22 2

1

t1u . .t

tu

:التاىل الشكل يكون على )١٤-٥( اى ان التقدير التقريىب لدالة ا لصالحية ىف

B ij i j ij ijk ij k

1u u u 2u Q L u2

11 1 1 11 12 1 2 12 21 2 1 21

22 2 2 22 111 1 11 11 111 2 11 12 112 1 11 21

112 2 11 22 121 1 12 11 121 2 12 12 122 1 12 21 122 2 12 22

211 1 21 11 211 2 21 12 212 1 2

1u [ u 2u Q u 2u Q u 2u Q2

1u 2u Q ] [L u L u L u2

L u L u L u L u L uL u L u L u

1 21 212 2 21 22 221 1 22 11

221 2 22 12 222 1 22 21 222 2 22 22

L u L uL u L u L u ].

11 11 12 12 12 1 12 22 2 22

2 2111 11 2 11 12 112 1 11 12 2 11 22 12

2 2122 1 11 22 12 2 12 22 222 1 22 12 2 22

1 2 2E R t x u [{ u u u u u u }2

1 1L u L 3u u 22 21 1L u 2 3u L u u2 2

حيث تستبدل املعامل 2, ىف املعادلة السابقة مبقدرات االمكان االكربˆ ˆ, .

12 21E L E L 0 يف املصفوفة:

:والىت تساوى

1

11 12

12 22

L LL L

٤٢٣

:وعلى ذلك

2 2B 11 11 22 2 22 111 11 222 2 22

1 2 1 1u u [u u u ] L L u2 2 2

حيث تستبدل املعامل 2, ىف املعادلة السابقة مبقدرات االمكان االكربˆ ˆ, .

:حيث

1111

1L

2222

1L

2 2

11 i iL 2 4 :حيث

122

i ix

2

12 i i 21L 4 x L

22 112

nL L

2 2111 i iL 4 x i 4

2 2222 i i3

2nL 4 3 4

یع الطبیعى اللوغارتمىوزالت٤-٥(

ایمان الخاصة بالطالبة من خالل رسالة الماجستیر Al-mobiad(2010)ھذا البند ماخوذ من قبل

كما ھو وذلك حتى نمكن اقدمھ تحت اشراف الدكتورة ثروت محمد عبد المنعم وسوف وذلك المبیض

12 2

211 12

2 212 22

2

lnL lnL

lnL lnL

٤٢٤

القارئ من التدرب على فك المعادالت من خالل ما اكتسبھ من االبحاث السابقة التى تناولناھا فى ھذا .ھد كبیر فى فك المعادالت الن الطالبة شرحت الخطوات بالتفصیلالفصل ولن یحتاج الباحث الى ج

االمكان االكبر فى حالة العینات المتتابعة من النوع الثانى تقدیرات)١-٤-٥(

كذلك وإلیجاد مقدرات اإلمكان األكبر لمعلمتي التوزیع الطبیعي اللوغاریتمي الجزءتم تخصیص ھذا

.ذلك باستخدام عینات ذات مراقبة متتابعة ودالتي الصالحیة و معدل الفشل لنفس التوزیع

من الوحدات المستقلة تحت التجربة ، وتم الحصول على أزمنة الحياة فقط للعينة ذات nبفرض أنه تم وضع m) الحجم n) m 1حيث يرمز لمفردات العينة بالرمز 2 mx (x ,x ,..., x ) وهي العينة ذات المراقبة ،

، و المرتبطة بنظام nو المختارة عشوائيا من عينة المشاهدات ذات الحجم mالمتتابعة من النوع الثاني ذات الحجم 1المراقبة 2 m(R ,R ,...,R 1و التي سوف يرمز لها بالرمز ( 2 mx (x ,x ,..., x ) . دالة اإلمكان للعينةx تعطى :كالتالي

)١٥-٥( im R2 2 2

i ii 1

L(x | , ) c f(x , , ) 1 F(x , , ) ,

:حیث

1 1 2 1 m 1c n(n 1 R )(n 2 R R ) ... (n m+1 R ... R ),

.ھما دالتي الكثافة و التوزیع على التوالي (.)F(.) , fو

:التوزیع اللوغاریتمي الطبیعي لھ دالتي الكثافة و التوزیع اآلتیتین

و )١٦-٥(2

21 (ln x )2 21f (x; , ) e , x > 0 , > 0, - < < .

x 2

)١٧-٥( 2

-

F(x, , ) F( ) (t) dt ,

:حیث

(t) تمثل دالة كثافة االحتمال للتوزیع الطبیعي القیاسي وln x

.

٤٢٥

:دالة الصالحیة للتوزیع اللوغاریتمي الطبیعي ھي

)١٨-٥ ( ln[t]R(t) ( )

ع الطبیعي القیاسي (.)حیث ع التوزی ر عشوائي یتب ا . دالة التوزیع لمتغی أو یمكن كتابتھ

:على الشكل التالي

ln[t]R(t) 1 ( )

:ودالة معدل الفشل ھي

)١٩-٥(

21 ln t2eH(t)

ln t2 t 1 ( )

فإن دالة اإلمكان في ) ١٥-٥(في المعادلة ) ١٧- ٥(و )١٦-٥(و بالتعویض من المعادلتین

:حالة التوزیع اللوغاریتمي الطبیعي تأخذ الصیغة التالیة

2m

i

ii 1

1 ln[x ] m( )R2

imm i 1

ii 1

1L(x; , ) e 1 F(x )x

:لوغاریتم دالة اإلمكان ھو

)٢٠-٥(

2m m mi

i i ii 1 i 1 i 1

ln L

1 ln[x ]mln[ ] ln[x ] ( ) R ln 1 F(x ) 2

:حیث

٤٢٦

i( ) توزیع الطبیعي القیاسي الدالة.

i

i i i-

F F(x ) F( ) (t) dt ,

2t-1 2i

ln x(t) ( 2 ) e , ,

;2L(xو للوصول لدالة اإلمكان , ) إلي نھایتھا عند نقطة داخلیة في فضاء المعالم

2( , ) ة وایتم إیجاد التفاضل الجزئي للوغاریتم دالة اإلمكان بالنسبة لكل معلمة مع المسا

:بالصفر للحصول على معادلتي اإلمكان التالیتین

2 2

2

ln L(x; , ) ln L(x; , )0 , 0

:یتم الحصول على حیث بالنسبة للمعلمة ) ٢٠-٥(بالتفاضل الجزئي للمعادلة ذلك و

m m

i i2

i 1 i 1 i

ln L 1 R F( 2) (ln[x] )2 1 F

m m

ii2

i 1 i 1 i

1 1 R( 2) (ln[x] ) ( )2 1 F

بوضع

ii

i

( )z1 F

: فإن

m m

i i2i 1 i 1

ln L 1 1( 2) (ln[x] ) R z2

)٢١-٥( m m

i i2i 1 i 1

1 [ (ln[x] ) R z ]

٤٢٧

حیث

ii

i

( )z1 F

. تمثل دالة الفشل

:یتم الحصول على 2بالنسبة للمعلمة ) ٢٠- ٥(وبالتفاضل الجزئي للمعادلة

m m

2 3 i i2

i 1 i 1 i

ln L m 1 R F(ln[x] ) ( 2 )2 1 F

m m

2 i ii

i 1 i 1 i

m 1 ln[x] R d( ) ( )1 F d

m m

2 ii i

i 1 i 1 i

m 1 ln[x] R( ) ( )1 F

m m2 i

i ii 1 i 1

m 1 ln[x] R( ) z

m m2 2 2

i i i3i 1 i 1

1 [ (ln[x] ) m R z ]

)٢٢-٥( m m

2 2i i i3

i 1 i 1

1 [ (ln x ) ( R z m)] .

:یتم الحصول على بالصفر ) ٢٢-٥(و ) ٢١-٥(و بمساواة

)٢٣-٥(

m m

i i2i 1 i 1

nL 1 [ (ln[x] ) R z ] = 0

m m22i i i32

i 1 i 1

ln L 1 [ (ln[x] ) ( R z m)] = 0

)٢٤-٥(

ویمكن الحصول على تقدیرات اإلمكان األكبر 2

, و ) ٢٣-٥(المعادلتین من

٤٢٨

ة ) ٢٤-٥( ة كطریق رق العددی د الط تخدام أح لوب (باس ون ) أس وتن رافس Newtonنی

raphson method وذلك بالحصول علىk,h التالیة ةمن العالق:

2 2

20 0 0 0

2 2

200 0 0

ln L ln L ln Lhk ln Lln L ln L

: حیث

12 2

20 0 0 00

2 20

200 0 0

ln L ln L ln Lh

.k ln Lln L ln L

0 0و دئیتین ین مب رارت . قیمت ة التك ي عملی تمر ف iterationنس technique ى حت

kو hعندما یكون و الحصول على لتینأو حل المعاد. صغیر جدا

ي) ٢٤-٥(و ) ٢٣-٥( ب اآلل ى الحاس امج عل تخدام برن باس ا امج آنی ل برن مث

Mathematica إلیجاد . 5 االصدار2 2 2

2 2

ln L ln L ln L, ,

:نتبع اآلتي

2 mi

i2 2i 1

ln L 1 z[ m R ],

i i i ii i i

i ii2

i i

( ) ( ) ( )(1 ( )) ( )1 ( )z ,1 ( )

i i i i i i( ) ( ) ( ) ( ) , ,

٤٢٩

i i ii i i

i2

i i

( ) ( )(1 ( )) ( )z1 ( )

2i i i i i

2i i

(1 ( )) ( ) ( )11 ( )

2ii i i i

2 2i i i i

( )(1 ( )) ( )11 ( ) 1 ( )

ii i

z z

2i i i

1 z z

i1 A

i i i1 z z

:حیث

i i i iA z z

2 mi

i2 2i 1

ln L 1 A[ m R ]

m

i i2i 1

1 [m R A ],

2 mi i

2 2i 1

ln L m R A[1 ].m

2 m m2 i i

i i i2 3i 1 i 1

ln L 1 z[ 2 (ln[x] ) R ( z )]

m m2 i i

i i i3i 1 i 1

1 z[ 2 (ln[x] ) R ( z )]

٤٣٠

m m2 i i

i i3i 1 i 1

1 z A[ 2 (ln[x] ) R ( ( 1) )]

m m2 i i

i i3i 1 i 1

1 z A[ 2 (ln[x] ) R ( ( 1) )]

m m

i i i i3i 1 i 1

1 [ 2 (ln[x] ) R (z A )]

m m

i i3i 1 i 1

1 [ 2 (ln[x] ) R B ] .

:حیث

i i i iB (z A ).

2 m m2 2

i i i2 2 4i 1 i 1

m m2 i i

i i i i i i3 2 2i 1 i 1

ln L 3[ (ln[x] ) ( R z m)][ ]1 z[2 ( R z m) R ( z )],

2i i i i i ii i2 2 2

( ) ( ) , ( ) , .

i i ii i i

i22

i i

( ) ( )(1 ( )) ( )z1 ( )

2i i i i

i i ii

22i i

( ) ( )(1 ( )) ( )z1 ( )

2 2i i i i i

22i i i i

z ( ) ( )11 ( ) 1 ( )

٤٣١

2 2ii i i i2

z 1 z z

i ii i2

z z z

i ii2

z A .

2 m m2 2

i i i2 2 4i 1 i 1

m m2 i i

i i i i i i i3i 1 i 1

ln L 3[ (ln[x] ) ( R z m)][ ]

1 [2 ( R z m) R ([ ]z [ A ])]

m m2 2

i i i4i 1 i 1

2m m2 i i i i

i i i i3i 1 i 1

3[ (ln[x] ) ( R z m)]

1 z A[2 ( R z m) R ( )]

m m2

i i i4 2 2i 1 i 1

m m

i i i i i i i i2 2 2i 1 i 1

3 3 3(ln[x] ) R z m

2 2m 1R z R (z A )]

m m2

i i i4 2 2i 1 i 1m

i i i2i 1

3 1 m(ln[x] ) R z

1 R B

m m2

i i i i i i4 2 2i 1 i 1

3 1 m(ln[x] ) (R z R B )

m m2

i i i i4 2 2i 1 i 1

3 1 m(ln[x] ) R (z B )

٤٣٢

m m2

i i i i4 2i 1 i 1

3 1(ln[x] ) ( m R (z B ))

m m2

i i4 2i 1 i 1

3 1(ln[x] ) ( m R C )

:حیث

i i i iC (z B ).

2 m m2

i i2 2 2 22 i 1 i 1

ln L 1 ln[x] 13 ( ) ( r rC ) .

ر ة الصالحیة H(t)و R(t)مقدرات اإلمكان األكب دل الفشل R(t)لكل من دال ة مع ودال

H(t) ن ى م ة تعط ة متتابع ة ذات مراقب تخدام عین ي باس اریتمي الطبیع ع اللوغ للتوزی

ادلتین ن )١٩-٥(و )١٨-٥(المع ل م ن ك ویض ع د التع والي بع ى الت ة و 2عل بقیم

: أي أن . و 2مقدرات اإلمكان األكبر

)٢٥-٥( ˆ ln[t]R(t) ( ),ˆ

21 ln[t ]2eH(t) .

ln[t]2 t 1 ( )

)٢٦-٥(

حیث) complete sample(في حالة النظام الخالي من المراقبة أو العینة الكاملة

٤٣٣

n=m , 1 2 mR R ... R 0 فإن دالة اإلمكان األكبر ومعادالت اإلمكان تصبح على

: التاليالشكل

)٢٧-٥(

2ni

i 1

1 ln[x ]-22

n2 2

n!L(x; , ) e 2

n

ii 1ˆ

ln L ˆln[x ] 0

n 22i2

i 1

ln L ˆln[x ] n 0

:كالتالي H(t)و R(t)و و 2لـ األكبر مقدرات اإلمكان نحصل علىو بالتالي

:فإن ) ٢٥-٥(من

n

ii 1

ˆln[x ] n 0

n

ii 1

1ˆ ln[x ].n

:فإن ) ٢٦-٥(من

n 22i

i 1

ˆln[x ] n

n2 2

ii 1

1 ˆln[x ]n

٤٣٤

2n n2

i ii 1 i 1

1 1ln ln[x ] ln[x ] .n n

:وبالتالي فإن

ˆ ln[t]R(t) ( ),ˆ

21 ln[t ]2eH(t) .

ln[t]2 t 1 ( )

فى حالة العینات 2تحت فرض توزیع قبلى معلم لمعلمة القیاسبییز تقدیرات)٢- ٤-٥( الكاملة

2بییز لمعلمة القیاس تقدیرات)ا(

مفروضـة قيمـة . معلومـة و ثابتـة ملتغري عشوائي وأن املعلمة قيمة 2سوف يفرتض أن معلمة القياس باسـتخدام توزيـع . من بيانات اختبار حياة سابقة أو بيانات على نفس الوحدات يف خـط اإلنتـاج موضـع الدراسـة

)باملعلمتني معكوس جاما , ) 2ة مرافـق للمعلمـ توزيـع قبلـيك 2 InverseGamma( , ) يكـون :التايل التوزيع القبلي على الشكل

)٢٨-٥( 212 1 22g( ; , ) ( ) ( ) e , 0,( , 0)

Tsokos (1972) , Padgett & Johnsonهـذا التوزيـع اسـتخدم يف دراسـة توزيـع وايبـل مـن قبـل (1983) .

ميكن احلصـول )٢٨-٥( التوزيع القبلي منو )٢٧-٥(و باستخدام دالة اإلمكان املعرفة يف حالة العينات الكاملة :على التوزيع البعدي كما يلي

٤٣٥

2 22 g( ) L(x; , )( | x)

f (x)

n2

ii 1

2 2

n2

ii 1

2 2

(ln x )-1 1nn1 1 -n 2

i2i=1

(ln x )-1 1nn1 1 -n 22

i2i=10

( ) ( ) e 2 x e

( ) ( ) e 2 x e d

n2

ii 1

2 2

n2

ii 1

2 2

(ln x )1

1 -n 22

(ln x )1

1 -n 222

0

1( ) e e

1( ) e e d

n2

ii 1

2

n2

ii 1

2

2 (ln x )1n( 1 )2 22

2 (ln x )1n( 1 )2 222

0

( ) e

( ) e d

:بوضع

n2

ii 1

2

2 (ln x )y

2

n2

i2 i 1

2 (ln x )

2y

n2

i2 i 1

2

2 (ln x )d dy

2y

n2

ii 1

2

2 (ln x )1n( 1 )2 22

2n n

2 2ni i( 1 ) yi 1 i 12

20

( ) e( | x)2 (ln x ) 2 (ln x )

( ) e dy2y 2y

٤٣٦

n2

ii 1

2

n( )2

2 (ln x )1n( 1 )2 22

nn ( 1 )2 y2i

i 1 0

( ) e

1 (ln x ) y e dy2

n2

ii 1

2

n( )2

2 (ln x )1n( 1 )2 22

n2

ii 1

( ) e

1 n(ln x ) ( )2 2

:بوضع n

* 2 *i

i 1

1 n(ln x ) ,2 2

*

* 2* 2 12 *

*

( ) e( | x)( )

)٢٩-٥ ( * *

*2

1*2 * * 2 * *

2( | x) ( ) e 0, , 0.

ــــاملعلمتني 2يالحــــظ أن التوزيــــع البعــــدي للمعلمــــة )٢٩-٥(مــــن املعادلــــة هــــو أيضــــا توزيــــع معكــــوس جامــــا ب

n* 2 *

ii 1

1 n(ln x ) و2 2

ــه إننــا ســوف نوجــد التقــديرات ، و ممــا جيــدر اإلشــارة إلي

ــة متتابعــة مــن النــوع الثــاين ، و لكــن عنــد حســاب التوزيــع ــة ، وكنــا نــود اســتخدام عين البيزيــة يف حالــة العينــة الكاملسة علـى البعدي وجدنا أنه ال ينتمي لنفس العائلة اليت ينتمي هلا التوزيع القبلي انه غري مرافق ولذلك اقتصرت الدرا

عنـد دراسـته Calabria and PuLcini (1992)نفـس املشـكلة صـادفت الباحـث . العينـات الكاملـة لتوزيع معكـوس وايبـل فلـم يسـتطع إجيـاد توزيـع قبلـي مرافـق للعينـات املتتابعـة واكتفـى بدراسـة توزيـع قبلـي ال معلمـي

AL- Hussaini and Jaheenو AL- Ohali (2006)بينمــا اسـتطاع . للعينـات املتتابعـة .إجياد التقديرات البيزية يف حالة العينات املتتابعة (1994)

هـذا وميكـن .خمتلفـة حتت فرض دوال خسـارة 2يف اجلزء التايل سوف حنصل على مقدر بييز ملعلمة املقياس ـــة الفشـــل ـــز لدالـــة الصـــالحية ودال كمـــا جـــاء ىف رســـالة اســـتخدام االســـلوب املســـتخدم ىف اجيـــاد مقـــدرات بيي

.املاجستري

٤٣٧

مقدر بييز املضبوط حتت فرض دالة خسارة مربع اخلطا)ا(

* *

2

12 *2 2 2sq * * 2

0

E[ ] e d( )

*

**

2

*2 2

*0

e d .( )

)٣٠-٥(

بوضع*

2y

و بالتايل فإن *

2

y

و*

22d dy

y

:فإن ) ٣٠-٥(و بالتعويض يف

* ** * *

2 y* 2

0

E[ ] e dy( ) y y

**

2 y*

0*

**

**

* *

*2

*

y e dy( )

( 1)( )

( 1)( 1) ( 1)

E[ ] ,( 1)

:حتت فرض دالة اخلسارة مربع اخلطأ هو 2بييز ملعلمة املقياس مقدرو بالتايل فإن *

2sq * .

( 1)

:حتت فرض دالة اخلسارة االنرتوبيا املعممة 2مقدر بييز ملعلمة املقياس ) ب(

1

q q2 2int E

٤٣٨

**

2

2

1*

q2 2 2 q 2int * *

0

eE ( ) d

( )

* *

2**

2 (q 1) 2*

0

( ) e d .( )

:بوضع *

2y

:فإن

* *2 2

2 d dyy y

*

** * *

(q 1) y* 2

0

( ) e dy ,( ) y y

*

q*q 1 y

*0

(y) e dy ,( )

q**

* (q ) ,( )

:حتت فرض دالة اخلسارة األنرتوبيا املعممة هو 2بييز ملعلمة املقياس مقدربالتايل فإن

1

q q*2 *int * (q ) .

( )

: (LINEX)حتت فرض دالة اخلسارة اخلطية األسية 2مقدر بييز ملعلمة املقياس ) ج(

22 cinx

1 ln E[e ] .c

**

2

22 2

1*

2 c c 2inx * *

0

eE[e ] e d

( )

)٣١-٥(

* *2

2 2 ** c

( 1) 2*

0

e ( ) d ,( )

٤٣٩

:باالستفادة من دالة بسل اليت على الشكل r 1bax 2r x

(r-1)0

ax e dx 2 K (2 ab) .b

* عندما *r 1,a c,b التالية تصبح على الصورة ) ٣١-٥(فإن:

**

*

*2

** * ( )

c2 K (2 c ) .( )

:وبالتايل فإن

**

*

*2

2 *inx * * ( )

1 cln 2 K (2 c ) .c ( )

Simulation Studyدراسة احملاكاة على مدى كفاءة وسلوك طرق التقدير اليت مت الوصول عليهـا يف هـذا اجلـزء البـد مـن عمـل مقارنـات للوقوف

تتبــع التوزيــع اللوغــارمتي الطبيعــي nعدديــة باســتخدام دراســة احملاكــاة حيــث يــتم توليــد عينــة عشــوائية مــن احلجــم : باتباع اخلطوات اآلتية

ـــني) ١( ) للمعلمتـــني ألي قيمت , ) و ( > 0, > 0) 2يـــتم توليـــد مـــن توزيـــع جامـــا العكســـي الـــوارد يف ).٢٨-٥(املعادلة

يـتم توليـد جمموعـات مـن البيانـات ذات أحجـام و معلوميـة املعلمـة ) ١(الناجتـة مـن 2باستخدام قيمة ) ٢( . 50(10)خمتلفة من التوزيع اللوغارمتي الطبيعي

. وذلك باستخدام نظام توليد العينات ذات املراقبة املتتابعة وباستخدام برنامج يتم إعداده هلذا الغرض 2.25يف هذا املثال وباعتبار )2سيتم توليد قيم خمتلفة للمعلمة ) معلومة اعتماد علـى قـيم خمتلفـة ملعـامل

)التوزيع القبلي , ) 2للمعلمة كاآليت: ــــار القــــيم )١( )باختي , )=(9,1),,(10,1),(11,1),(9,2),(10,2),(11,2) ــــد ســــتة قــــيم مت تولي

ـــــــــــــــــب 2للمعلمـــــــــــــــــة ـــــــــــــــــى الرتتي ـــــــــــــــــت عل ــــــا العكســـــــــــــــــي فكان ـــــــــــــــــع جامـــــــــــ باســـــــــــــــــتخدام توزي2 0.0930109,0.15663,0.12688,0.172181,0.185025,0.179918.

لقـــيم )٢(2( , ) (0.0930109,2.25),(0.15663,2.25),(0.12688,2.25),

(0.172181,2.25),(0.185025,2.25),(0.179918,2.25). مت توليـــد

. n=10(50)جمموعات من البيانات ذات احلجم

٤٤٠

باستخدام النتائج يف مت حساب مقدرات اإلمكان األكرب للمعلمة )٣(ML و

ML . ا ملعلمة الشكل )٤( . 2مقدرات بييز املختلفة مت حساNمت تكرارهــا ) ٥(إىل ) ١(اخلطــوات الســابقة مــن )٥( 1000 مــره و مت حســاب متوســط التقــدير

(AV) و متوسط مربع اخلطأ(MSE) لكل حالة من حاالت حجم العينة حيث:

2N N ii

i 1 i 1

AV , MSEN N

.متثل املقدر متثل املعلمة ، حيث مت اعتبــار قــيم املعــامل املســتخدمة يف توليــد البيانــات و الــدوال املعتمــدة عليهــا هــي القــيم الصــحيحة )٦(

true values التاليةداول اجل ىفللمعامل و النتائج العددية للحسابات مت عرضها:

n=10من احلجم

li int sq ML ( , )

0.108647 (0.00010415)

0.0794765 (0.000309492)

0.108897 (0.000489507)

0.0784758 (0.00170063)

(9, 1)

0.211341(0.00134569)

0.154931(0.000691752)

0.212283(0.00234816)

0.0143794(0.00541244)

(9,2)

0.122054 (0.000379084)

0.0910037 (0.00461683)

0.122351 (0.00173543)

0.135181 (0.00459072)

(10,1)

0.202669(0.00143392

0.15134(0.00159009)

0.203471(0.00116285)

0.16043(0.00668462)

(10,2)

0.105328 (0.000189408)

0.0798214 (0.0025859)

0.105532 (0.00088222)

0.110152 (0.00326042)

(11,1)

0.184616(0.00112254

0.140105(0.00192993)

0.185234(0.000631114)

0.147243(0.00601216)

(11,2)

٤٤١

n=20

li int sq ML ( , )

0.104613(0.0000968908)

0.0825242(0.000269803)

0.104778(0.000396112)

0.0862957(0.000854259)

(9, 1)

0.201984(0.0012335)

0.159565(0.000667797)

0.202594(0.00174491)

0.160646(0.00271308)

(9,2)

0.130544(0.000434896)

0.104149(0.00319207)

0.13079(0.00135819)

0.144278(0.00255872)

(10,1)

0.19819(0.00137617)

0.158264(0.00130474)

0.198747(0.00111611)

0.172934(0.00340466)

(10,2)

0.130544(0.000434896)

0.104149(0.00319207)

0.110297(0.000724654)

0.117434(0.00161124)

(11,1)

0.185272(0.00113556)

0.149388(0.00142512)

0.185733(0.000795962)

0.167083(0.00312005)

(11,2)

n=30

li int sq ML ( , )

0.102407(0.0000929052)

0.0845821(0.000243329)

0.102529(0.000343757)

0.0889398(0.000601277)

(9, 1)

0.195408(0.00115551)

0.161568(0.000656907)

0.19585(0.00135996)

0.164182(0.00190742)

(9,2)

0.13675(0.000475868)

0.1138(0.00231833)

0.136961(0.00108784)

0.149646(0.00181175)

(10,1)

0.193678(0.00131546)

0.161272(0.00119996)

0.194094(0.00100279)

0.174009(0.00241778)

(10,2)

0.11415(0.000222249)

0.0955973(0.00136927)

0.11429(0.000599336)

0.121656(0.00111271)

(11,1)

0.182729(0.00110557)

0.15314(0.0012557)

0.183085(0.000779926)

0.168834(0.00220439)

(11,2)

٤٤٢

n=40

li int sq ML ( , )

0.0993148(0.000087045)

0.0846061(0.000214896)

0.0994079(0.000240066)

0.0881042(0.000405069)

(9, 1)

0.190255(0.00109549)

0.162217(0.000650191)

0.190597(0.00109967)

0.164698(0.00151922)

(9,2)

0.140444(0.000499071)

0.120293(0.00177532)

0.140625(0.000877889)

0.151816(0.00131461)

(10,1)

0.193271(0.00130555)

0.165618(0.000952209)

0.193611(0.000860005)

0.178481(0.00167176)

(10,2)

0.11627(0.000229043)

0.100035(0.00105241)

0.116389(0.000464539)

0.123204(0.000721703)

(11,1)

0.183674(0.001115)

0.158121(0.00100223)

0.183971(0.000729982)

0.173769(0.0016212)

(11,2)

n=50

li int sq ML ( , )

0.0991311(0.0000866091)

0.0863554(0.000184489)

0.0992093(0.000223454)

0.0900798(0.000326625)

(9, 1)

0.187997(0.00106643)

0.163883(0.000548439)

0.188277(0.000892079)

0.166934(0.00111628)

(9,2)

0.142201(0.000508991)

0.12438(0.00144362)

0.142358(0.000732338)

0.152065(0.000986908)

(10,1)

0.191524(0.00127996)

0.167585(0.000845707)

0.191807(0.000755173)

0.179083(0.00132919)

(10,2)

0.119523(0.000242328)

0.1004896(0.000833835)

0.119631(0.000430318)

0.126169(0.000684085)

(11,1)

0.182724(0.00110207)

0.160437(0.000887872)

0.182974(0.000670562)

0.17436(0.0013101)

(11,2)

٤٤٣

: التعليق على النتائج بصورة عامه فإن مقدرات بييز أفضل من مقدرات اإلمكان وذلك عندماn 30 وهذا ما كان متوقع

. بزيادة حجم العينة يقل متوسط مربع اخلطأ وهذا ما كان متوقع. عند املقارنة بني دوال اخلسـارة يف الغالـب تكـون دالـة اخلسـارة االنرتوبيـا املعممـة هلـا أقـل متوسـط مربـع

.خطأ بينما داليت اخلسارة املربعة واآلسية اخلطية متقاربتني جدا يف سلوكهما ونالحظ أنه عند ثبات 1إذا كانت 2فإن التقدير أفضل منه عندما و نستخلص منه انه

) .عالقة عكسية ( فإن التقدير يصبح أفضل ا قلت قيمة كلم جند أنه عند ثبات و تغري 9فإن أفضل تقدير يكون عندما 11مث و أخريا

10 و بالتايل فإنه عند تتغري قيمة فإن دوال اخلسارة ليس هلا سلوك معني.

.بالباحثةوملزيد من املعلومات ميكن الرجوع اىل رسالة املاجستري اخلاصة

ب تیرنى وكادینبییز لدالة الصالحیة باستخدام تقریی تقدیر)ب(

ادین ي وك ة تیرن وذلـك Tiernsy and Kadane (1986)واملقدمـة مـن یمكن استخدام طریق : على الصيغة التالية) اى دالة ىف معلمة واحدة( 2بييز ألي دالة يف مقدرجياد ال

* *

2

12 *2 2

* * 20

u( )E[u( )] e d .( )

)٣٢-٥( فى البند الذى یلیه سوف نهتم بهذا .ال ميكن حله بالطرق التحليلية )٣٢-٥( التكامل حيث ان

.التقریب فى وجود معلمتین

Kadane Approximate-The Tierney تقریب تیرنى وكادین

: نظریـة

٤٤٤

ذا كان التوزیع البعدي للدالة nعندما تكون )uكبیرة بدرجة كافیة وا ) ) یعطى)Lحیث ) أو السالب(تتركز علي نصف خط األعداد الموجب ) بیانات ) ھو لوغاریتم دالة

L(xاإلمكان | ) و( ) ھو لوغاریتم التوزیع القبلىg( ) فإن L g تتركزیمكن التعبیر عنه بالصورة ) ٣٢- ٥(حول قیمة عظمى وحیدة فإن التكامل المعرف في

:اآلتیةn *( )

n ( )

e dE[u( ) | x] .

e d

)٣٣-٥( :حیث

*1 1( ) L , ( ) ln u Ln n

ولذلك من الصعب الحصول على شكل محدد لنتيجة هذه التكامالت من الحاالت فى كثير ولما كان فى حالة ( باستخدام شكل تقریبى بصیغة تیرنى وكادینیمكن كتابتها )٣٣- ٥(المعادلة

:الصورة التالیة على )وجود معلمة واحدة نهتم بها

* ** nBTu e .

)٣٤-٥(

:حیث * هي القیمة العظمى لـ * و منوال التوزیع البعدي والقیمة العظمى لـ هو :و

*

2 2 *2 * 2

2 2,

٤٤٥

ى انه حيقق الشرط لتطبيق هذه الطريقة وهو )٢٩-٥(التوزیع البعدي فى وال ومعرف عل آحادي المنداد 2لتطبيـق صـيغة تقريـب تـريين و كـادين إلجيـاد مقـدرات بييـز ألي دالـة يف .الجزء الموجب لخط األع

:نتبع اآليت

:هو 2لوغاريتم دالة التوزيع القبلي ل

212 2 12( ) = ln g( ) ( ) ( ) e ,

:هو و لوغاريتم دالة اإلمكان

2ni

i 1

1 ln[x ]- ln22

n2 2

n!ln L(x | , ) ln[ e ] ,2

:نتبع اخلطوات التالية ) ٣٤-٥(تیرني وكادین المعرفة في صيغة وحلساب

*

* 22n ( 1)ln , ;

)٣٥-٥(

*

* * 2 * *2n ln u ( 1)ln ,

)٣٦-٥( :نتبع التالى ) ٣٥-٥(فى التى تعظم الدالة 2 القیمة وللحصول على

* *

2 2 4

( 1) ,

* *

2 2 4

( 1)0 0.

*2

*( 1)

. )٣٥- ٥(فى التى تعظم الدالة 2ھى قیمة 2حیث

:اوال نحسب وللحصول على

2

22

:حیث

٤٤٦

2 * *

2 2 32

( 1) 2 ,

:فى المعادلة السابقة نحصل على 2والتعویض عن

2

2 2

* *

2 * *2 2 3* *

(v 1) 2( ) ( )(v 1) (v 1)

:كما یلى وذلك للحصول على 2والتى نساویھا ب * *

2* *

2 3* *

* 3 * * 32

*2 *2

* 3 * * 32

*2

* * 32

*2

( 1) 2 ,( ) ( )( 1) (v 1)

(v 1) (v 1)2 ,

( 1) 2 ( 1) ,

(1 2 )( 1) ,

*2

2* * 2

1* *2

*

,(1 2 )( 1)

(1 2 ) ( 1) .

:نتبع التالى ) ٣٦-٥(فى *التى تعظم الدالة 2وللحصول على القیمة

* * *

2 2 4

u ( 1) ,u

)٣٧-٥( :بالصفر نحصل على ) ٣٧-٥(بمساواة

* * *

2 2 4

u ( 1)0 0u

٤٤٧

القیمة للحصول على Mathematicaالمعادلة السابقة امكن حلھا عددیا باستخدام الحاسب االلى وذلك باستخدام برنامج 2 :اوال نحسب*وللحصول على . *التى تعظم الدالة

2 *

22

:حیث

2 * 2 * *

2 2 4 42

u u u ( 1) 2 ,u

)٣٨-٥(

uحیث ,u 2المشتقة االولى والثانیة للدالةu( ) 2بالنسبة ل. وھنا سوف نقتصر على

uبوضع وذلك حالة خاصة R(t) ) 2ولكن یمكن تطبیقھا الى دالة فى مثال فى ایجاد

:تكون u فإن المشتقات الجزئیة لـ وعلى ذلك )مقدر لدالة الفشل

2

32

(ln[ t] )2e (ln[t] )u ,2 2

2 2

72

2

(ln ) (ln[ t ] )2 2

(ln[t ] )2 2

1 2u e 3 e8

2 (ln[t] ) e (ln[t] ) .

:نحصل على 2بالقیمة ) ٣٨- ٥(فى 2والتعویض عن

2

2 2

*

22

*والتى نساویھا ب 2( ) وذلك للحصول على* . ھذا و قد تم الحصول على*عددیا باستخدام الحاسب االلى . Mathematicaوذلك باستخدام برنامج

٤٤٨

خطوات احلصول على مقدر بييز لدالة الصالحية حتت فرض دالـة اخلسـارة مربـع اخلطـأ باسـتخدام وفیما یلى

:) ٣٤-٥(صیغة تیرني وكادین

**

* 2 22

1* *n ( ) ( ) 2

BT * * 20

R(t)u e E[R(t)] e d .( )

* 2 2

* ** 2 * 2

2 22 2 2 2

*n ( ) ( )

[ ln[u] ( 1)ln[ ] ( 1)ln[ ] ]*

1* *2

*

e

e(1 2 ) ( 1)

* ** 2 * 2

2 2* * [ln[u] ( 1)ln[ ] ( 1)ln[ ] ]

1* *2

e(1 2 ) ( 1)

* * *

* 2 *2 * *

*

[ln[u ] ( 1)ln[ ] ( 1)ln[ ] ]( 1)* *

( 1)1

* *2

e(1 2 ) (v 1)

* ** 2 * *

2 ** * [ln[u] ( 1)ln[ ] ( 1)ln[ ] ( 1)]

( 1)1

* *2

e(1 2 ) ( 1)

٤٤٩

* *2 *

2 ** * ln[ ] ( 1) ln[ ] 1 ]

( 1)1

* *2

e(1 2 ) ( 1)

توزیع بییر االثنى عشر )٥-٥(

من النوع الثانى العینات المراقبة االمكان االكبر فى حالة تقدیرات)١- ٥-٥( :وقد مت تقدميه بشكل مفصل كالتاىل L- Hussaini & Jaheen, (1994)قدم هذا البحث من قبل ٤

تم تخصیص ھذا البند إلیجاد مقدرات اإلمكان األكبر و مقدرات بییز التقریبیھ لمعلمتي توزیع بییر

االثنى عشر و كذلك دالتي الصالحیة و معدل الفشل لنفس التوزیع ، و ذلك باستخدام المعاینة من النوع

.الثانى

من وحدات الفشل المرتبة تظهر rالثاني ، فإن دالة اإلمكان ألول إذا كان لدينا اختبار الحياة من عينة مراقبة من النوع

1باعتبار أن : من الوحدات تكون nمن عينة مكونة من 2 ry y y ايجاد تم الحصول عليها والمطلوبلمعلمتي توزیع بییر االثنى عشر و كذلك دالتي الصالحیة و معدل الفشل لنفس االمكان االكبرمقدرات :دالة اإلمكان تعطى كاآلتي . التوزیع ،

r

n r1 2 n i r

i 1

n!L(y , y ,..., y | c, k) L f (y )[1 F(y )] .(n r)!

)٣٩-٥(

.ھما دالتي الكثافة و التوزیع على التوالي و

:لھ دالتي الكثافة و التوزیع اآلتیتین توزیع بییر الثانى عشر

c 1 c (k 1)

c k

f (x;c, k) ckx (1 x ) , x 0,c 0, k 0;F(x;c, k) 1 (1 x ) , x 0.

:ھي لتوزیع بییر الثانى عشر دالة الصالحیة

F(.) , f(.)

٤٥٠

c kR(t) (1 t ) , t 0.

:ودالة معدل الفشل ھي

:تأخذ الصیغة التالیة النوع الثانىالمعاینة من فإن دالة اإلمكان في حالة

rn r

i ri 1

n!L(y | c, k) L f (y )[1 F(y )] .(n r)!

:دالة اإلمكان في حالة توزیع بییر الثانى عشر تأخذ الصیغة التالیة

r r n rr r c 1 c (k 1) c ki i r

i 1 i 1

c 1r n rr r c kirc (k 1)

i 1 i

c 1r n rr r c kirc c k

i 1 i i

cr r i

n!L c k y (1 y ) (1 y )(n r)!

yn! c k (1 y )(n r)! (1 y )

yn! c k (1 y )(n r)! (1 y )(1 y )

yn! c k(n r)!

1r r n rc k c k

i rci 1 i 1i

(1 y ) (1 y )(1 y )

c 1

c

kctH(t) , t 0.(1 t )

٤٥١

r rc ci i

i 1 i 1

rc ci r

i 1

c 1r k (n r) ln(1 y ) k ln(1 y )r r i

ci 1 i

k ln(1 y ) k (n r) ln(1 y )r r

r r kT

c 1ri

ci 1 i

yn! c k e e(n r)! (1 y )

n! c k v(c; y) e(n r)!

n! c k v(c; y)e ,(n r)!

yv(c; y)(1 y )

r

c cr i

i 1,T T(c | y) (n r) ln(1 y ) ln(1 y ).

:لوغاریتم دالة اإلمكان ھو

)٤٠- ٥(

ln L r ln k r ln c ln v(c; y) kT.

:یكون كالتالى kمعلومة فإن مقدر االمكان االكبر ل cبافتراض ان

MLrk .T

یمكن cو kر االمكان االكبر لكل من یقدت فإن مجھولتین c,kإذا كان كال المعلمتین

و كذلك cبالنسبة للمعلمة) ٤٠-٥(و ذلك بالتفاضل الجزئي للمعادلة الحصول علیھ

مع المساواة بالصفر للحصول على kبالنسبة للمعلمة) ٤٠-٥(بالتفاضل الجزئي للمعادلة

:معادلتي اإلمكان التالیتین

)٤١- ٥(

ln L ln L0, 0c k

٤٥٢

ة و ة كطریق رق العددی د الط تخدام أح لوب (باس ون ) أس وتن رافس newton raphsonنی

method ادلتین السابقتین ر من المع ان األكب دیرات اإلمك -٥(ویمكن الحصول على تق

٤١(.

لتوزیع بییر الثانى ودالة معدل الفشل رات اإلمكان األكبر لكل من دالة الصالحیة یقدت

أي أن .فى كل من الدالتین c,kˆاإلمكان األكبر ببقیمة مقدرات cو k من عشر تعطى التعویض عن كل

:مقدر االمكان االكبر لدالة الصالحیة ھو

ˆc kR(t) (1 t ) , t 0.

:ومقدر االمكان االكبر لدالة معدل الفشل ھو

c 1

c

ˆ ˆkctH(t) , t 0.(1 t )

نوع الثانىلت بییز فى حالة العینات المراقبة من اتقدیرا)٢- ٥-٥(

:التالیة سوف یفترض توزیع قبلى مشترك لمعلمتي الموقع و القیاس یعطى بالصورة الجزء ھذا فى

1 2kc1

1 1

c1

2

g(k,c) g (k | c)g (c),

cg (k | c) k e , ( 1), 0,( 1)

1g (c) c e , 0, 0,( )

:اى ان

R(t)H(t)

٤٥٣

kc c11

1

k 1c( )

1

k 1c( )k

11

c 1g(k,c) k e c e( 1) ( )

c k e( 1) ( )

Rc k e ,

R ( 1) ( ) , ( 1), 0, 0, 0

)٤٢-٥( :على الشكل التاىل ميكن كتابتهتوزیع بییر الثانى عشر فى معالم u(c,k)البییزى الى دالة المقدر

0 0

E(u(c,k)) u(c,k)q(c,k | y)dcdk,

)٤٣-٥(

q(c,kحیث | y) لالتوزیع البعدى c,k ویمكن الحصول علیھ باتباع الخطوات التالیة:

k 1c( )r r kT

k 1kT c( )r r

c ck(T )r r

q(c,k | y) L(y | c,k)g(c,k)

c k v(c;y)e c k e

c k v(c;y)e

c k v(c;y)e ,c 0,k 0

)٤٤-٥(

:لوغاريتم التوزيع البعدى تعطى كالتاىل

٤٥٤

r

ii 1

rci

i 1

Q(c,k | y) lnq(c,k | y)

( r) ln c +( r) ln k (c 1) ln y

c cln(1 y ) k(T ) .

)٤٥-٥(

.ا مصعب احلصول عليها فسوف نستخدم تقريبنب حلسا) ٤٣-٥(ولما كانت الصیغة فى

تقریب لندلى ) أ(

تقريب صول علىللح )٤٤- ٥( (c,k) ل املشرتك البعدىسوف يستخدم التوزيع باستخدام تقريب لندىل حتت فرض دالة دالة الصالحية ودالة الفشل و c,kلكل من املعاللمتني) ٤٥-٥( ىفللمقدر البييزى

uبصورة عامة للدالة .اخلسارة املربعة u( ) 1 و 2 k( , ,..., ) حتت فرض دالة و :ياخذ الشكل التاىل ) ٤٣-٥(ىف فإن مقدر بييز الى دالة ىفاخلسارة املربعة

L( ) ( )

L( ) ( )

u( )e dE u( ) .

e d

)٤٦-٥( ث )Lحی ) ان ة اإلمك اریتم دال و لوغ L(yھ | ) و( ) ى ع القبل اریتم التوزی و لوغ ھg( ). الصورة التالية عها على ضيمكن و ) ٤٦-٥(المعادلة:

Q( )

Q( )

u( )e dE u( ) .

e d

)٤٧-٥( :حيث

٤٥٥

Q( ) L( ) ( ) ln L(y | ) g( ) . )٤٨-٥(

1فإن صيغة تقريب الندىل ىف حالة معلمتني )٤٧-٥( للصيغة ىف 2( , ) كون على الصورة التالية ت:

B 30 12 21 12 12 21 03 211u u( ) A Q B Q C Q C Q B ,2

)٤٩-٥( :حيث

2 2

ij iji 1 j 1 1 2

2

i iji i j

QA u ,Q , , 0,1,2,3, 3,i, j 1,2,

u ufor i, j 1,2, u ,u and for i j.

2ij i ii j ij ii ij i ii ij j ii jj ijB (u u ) ,C 3u u ( 2 ),

:املصفوفةمعكوس ىف (ij)العنصر ijو* *

ij

2*ij

i j

Q ( Q ), i, j 1,2,

QQ .

1 عندتقدر )٤٩- ٥(الصيغة 2( , ) 1 وىف حالتنا فإن . للتوزيع البعدى املنوال 2( , ) (c,k) Qو Q(c,k | y) منوال التوزيع البعدى والذى يرمز له بالرمز .)٤٥-٥(املعطاه ىفD D(c ,k ) حنصل

:عليه حبل املعادلتني Q r c0 (T ),k k

)٥٠-٥(

٤٥٦

r rc

i i ii 1 i 1

Q r 1 1 dT0 ln y - y a - -k( ) ,c k dc

)٥١-٥( :حيث

ii c

i

ln y ra ,i 1,,..., r,k .c1 y T

ىف التالية حنصل على املعادلة الغري خطية )٥١-٥(ىف )٥٠-٥(الىت حنصل عليها من kبالتعويض عن قيمة

c التالية: h(c) 0.

:حيث r r

ci i i

i 1 i 1

r 1 (r+ ) 1 dTh(c) ln y - y a - - ( ) ,c (c+ T) dc

iy قيم وقد اثبت الباحثان انه الى فئة من ,0)متناقصة باطراد ىف h(c)فإن ) وتقطع احملور االفقىh(c*حبيث ان c*مرة واحدة ولتكن ) 0 . فإن )٥٠- ٥(وعلى ذلك منD D(c ,k ) هو املنوال الوحيد

)٤٤-٥(ىف للتوزيع البعدى,ijاوال حنسب القيم )٤٩-٥(الندىل ىف صيغة االن لتطبيق i, j 1,2 والىت متثل عناصر معكوس

*املصفوفة *ijQ ( Q ),i, j 1,2, حيث:

2*ij

i j

2 2r* c 211 i i2 2 2

i 12 r

c 2 c 2i i r r2

i 1

QQ ,

Q r d TQ - y a - k , c c dc

d T = y a (n r)y a ,dc

٤٥٧

:بوضع

2 rc 2i i2

i 1r

c 2 c 2r r i i

i 1

d TM=k y a , dc

M= (n r)ky a (k 1)N, N y a ,

* c 211 r r2

* *11 122 2

r* * c c22 12 i i r r2

i 1

rc cr r i i

i 1

rQ -(k+1)N-k(n r)y a ,c

r (r )Q M,Q ,c k

r 1Q ,Q y a (n r)y a B,k

1 dT 1B= = (n r)y a y a ,dc

:وعلى ذلك

1

211 12*

12 222

(r ) BcQ .

(r )Bk

:احملدد للمصفوفة السابقة هو

2 2*

2 2 2 2

c kdet(Q ) ,B k c (r )(c M )

٤٥٨

112 2 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2 * 2 2

(r )1B k (r )(Mc )c

(r )c (r )c ,B k c (r )(Mc ) D

D= c k det Q (r )(r Mc ) (Bck) .

12

222

2 2 2 2

2 2 2 2

B( )(r )(M

cBk

Bk c Bk c ,B k c (r )(Mc ) D

2 22

22

222

( )M Bk cc( ) D(r )(M

cBk

٤٥٩

2 2 2

22 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

Mk c k ( )B k c ( )(Mc )

k (Mc )B k c ( )(Mc )

k (Mc ) .D

:وباالضافة اىل ذلك

c 212 21 r r

03 303 2

Q 0,Q (N (n r)y aM (k 1)N 1(N ) M N ,

k k2(r ) 2(r ) MQ ,Q ,

k c c

حبيث Buوذلك للحصول على التقدير )٤٩-٥(عن القيم السابقة املذكورة اعاله ىف صيغة الندىل بالتعويض

Dتقدر عند منوال التوزيع البعدى ) ٤٩-٥(ان كل الدوال ىف D(c ,k ) . uللدالة u(c,k) حنصل على )٤٩-٥(ىف :

B 1 1 2 22

W 1u E u(c,k | y) u cW u kW u ,2D 2D

)٥٢-٥(

٤٦٠

2 2 2 211 12 21 22

2 3 31

2

2 22

3 2 2 4 2 2

W c (r )u Bk (u u ) k (r Mc )u ,

W (r ) 2(r ) sc 3(M N)Bkc (r )

2Bkc(r )(r Mc ),W 2(r )(r Mc ) Bck(r )

[2(r ) sc ] 2B k c (M N) c (r )(M N)(r Mc ).

Dالتوزيع البعدىمنوال تحسب عند ) ٥٢- ٥( كل الدوال فى D(c ,k ) حيث i 1,2,...,m . أي

توقع للدالةصيغة تقريبية لل هي ) ٥٢- ٥( أن u على التوزيع البعدي. حاالت خاصة

u تاذا كان u(c,k) c فإن )٥٢- ٥(ىف:

1

BL 2

Wc c 1 ,2D

Dواملقدرة عند D(c ,k ). u تاذا كان u(c,k) k فإن )٥٢- ٥(ىف:

2BL 2

Wk c 1 ,2D

Dعند واملقدرة D(c ,k ). اذا كان

c ku u(c,k) R(t) (1 t ) فإن )٥٢- ٥(ىف:

c

c1BL BL BLc

z kt ln tR R(t) 1 c c k k ln(1 t ),2D (1 t )

Dعند قدرة املو D(c ,k ). :حيث

٤٦١

22 c c

1 c

c 22 c 2 2 cc

ln tz c [(r )kt (kt 1)1 t

t ln t2Bk k ln(1 t ) 1 k (r c M) ln(1 t ) ].1 t

اذا كان

c 1

c

cktu u(c,k) H(t)(1 t )

:فإن )٥٢- ٥(ىف

2

2BL BL BLc

c z 1 ln t 1H H(t) 1 c c k k ,2D c (1 t ) k

Dعند القيمة D(c ,k ). :حيث

2

c2 c c c

2ln t ln t 1 ln tz (r ) 1 t 2kB .c(1 t ) (1 t ) c 1 t

Kadane Approximate-The Tierney تقریب تیرنى وكادین )ب(

Tiernsy and Kadane (1986)واملقدمة من یمكن استخدام طریقة تیرني وكادین .وذلك ىف وجود اكثر من معلمة

: نظریـةذا كان التوزیع البعدي nعندما تكون )u للدالةكبیرة بدرجة كافیة وا )

)mو , ,..., ) )أو السالب(تتركز علي نصف خط األعداد الموجب ) یعطى بیانات ()Lحیث ) ھو لوغاریتم دالة اإلمكان و( ) ھو لوغاریتم التوزیع القبلىg( ) فإن

L g یمكن ) ٤٦- ٥(تتركز حول قیمة عظمى وحیدة فإن التكامل المعرف في :التعبیر عنه بالصورة اآلتیة

n *

n

e dE[u( ) | x] .

e d

)٥٣-٥(

٤٦٢

:حیث

*

*

1 1L g , ln u L gn n

1 1Q( ) , ln u Q( ) ,Q( ) L g .n n

بصورة یمكن كتابتها )٥٣-٥(المعادلة Tiernsy and Kadane (1986) وباتباع :التالیة على الصورة تقریبیة

* *

1* 2 n

BTdetu e .det

)٥٤-٥( :حیث

* هي القیمة العظمى لـ* *, هي منوال التوزیع البعدي والقیمة العظمى لـ و *, المصفوفات للتفاضل الثانى لكل من سالب هما معكوس*, عند*, على

det*و .التوالى ,det مها احملددان للمصفوفتان*, . وعلى ذلكBTu ىف هذه احلالة هى تقريب . uتريىن وكادين للدالة

,* فإن لتوزيع بيري الثاىن عشر :مها على التواىل

*

c cr ln c (r )ln k ln v(c | y) k ( T) ,B

1 ln u(c,k) .n

)٥٥-٥( ميكن كتابتها على الصورة التالية ؛ )٥٤-٥(وعلى ذلك

* * *

1* 2 n c ,k c,k

BTdetu e .det

)٥٦-٥( :حيتاج اىل حساب القيم التالية )٥٦- ٥( التقدير السابق

حنسب القيم التالية detحلساب

٤٦٣

2

2 2

r1 1M , B,n n nc c k

r1 .nk k

1

2

2

1 (r ) BMn c n

B (r )n nk

2

2 2

2 2 2

c n(r ) Bc k nD ,

Bc k n k n(cM r )D D

2 2 2 2

2 2 2c k n (ckn)det .

DBc k (r )(c M r )

)٥٧-٥( Dالمنوال للتوزیع البعدى والذى یقدر عند D(c ,k )

يكون له c,kللمعلمتنييتطلب ان التوزيع البعدى ةوجيب التذكري ان استخدام هذه الطريقىف اجلزء التاىل مل نفك املعادالت بالتفصيل .توزيع حتت املناقشة لمنوال وحيد وقد حتقق ل

.فك املعادالت وكن نرتكها للقارئ لكى يتعلم حاالت خاصة

u اذا كان u(c,k) c ٥٦- ٥(ىف( :فإن

* * *1 1 D D

1* 2 n c ,k c ,kc

BTdet

c e .det

٤٦٤

:حیث

2 2 2

*c

c k ndet ,pp

2 2 2 2pp (r )(c M r ) B c k ,

*والىت تقدر عند القيمة *

1 1(c ,k ) املنوال ل* )حيث )٥٥-٥ u u(c,k) c .

u اذا كان u(c,k) k فإن )٥٦-٥(ىف:

* * *2 2 D D

1* 2 n c ,k c ,kk

BTdetk e .det

:حیث

2 2 2*k

c k ndet ,pp

2 2

R Rpp (r )(c M r ) (B ck) , :حیث

*عند القيمة والىت تقدر *

1 1(c ,k ) املنوال ل* )حيث ) ٥٥-٥ u u(c,k) k

اذا كان c ku u(c,k) R(t) (1 t ) فإن ) ٥٦-٥(ىف:

٤٦٥

* * *3 3 D D

1* 2 ˆ ˆˆ ˆn c ,k c ,kR

BTdetR (t) e .det

:حیث

2*R 2

R R

2c 2 c

R r r c

rc c c

R r r i i ci 1

nckdet ,

r r M c B ck

ln tM k 1 N k n r x a t ,1 t

1 ln tB (n r) x a x a t ,1 t

*والىت تقدر عند القيمة *

3 3(c ,k ) املنوال ل* )حيث ) ٥٥-٥u u(c,k) R(t)

اذا كان c 1

cckt1 t

u u(c,k) H(t) ,

فإن ) ٥٦-٥(ىف:

* * *4 4 D D

1* 2 ˆ ˆˆ ˆn c ,k c ,kH

BTdetH (t) e .det

:حيث

2*H 22

H

c 2H r r

nckdet ,

r 1 r 1 M c Bck

M k 1 N k(n r)x a

*والىت تقدر عند القيمة *

4 4(c ,k ) املنوال ل* )حيث ) ٥٥-٥u u(c,k) H(t) . تنبؤ العینتین لبییز تحت فرض توزیع باریتو) ٦-٥(

٤٦٦

معلمة الشكل غیر معلومة وحجم العینة ثابت ) ١- ٦-٥(

من خالل رسالة املاجستري منال داوود ابراهيم العوهلى حتت اشراف AL-Ohaly(2000)هذا البند ماخوذ من قبل د سليمان وسوف نقدمه كما هو وذلك حىت AL-Ohaly (2000) and Solimanايضا الدكتور امحد ابو ا

.حباث السابقة الىت تناولناها ىف هذا الفصل منكن القارئ من التدرب على فك املعادالت من خالل ما اكتسبه من االاى أن . مـــــن الوحـــــدات rوضـــــعت لالختبـــــار وان االختبـــــار ينتهـــــي بعـــــد فشـــــل مـــــن العينـــــة االوىل مـــــن الوحـــــدات nبفـــــرض أن

:حيث باريتوعينة عشوائية متثل أزمنة الفشل وان أزمنة الفشل تتبع توزيع

-( +1)f (x) x , >0, >0,x ;

)٨٥-٥(

F(x) 1 , >0, >0,xx

)٨٦-٥(

.معلمة الشكل معلمة املقياس و حيثمعلوم عنها و بفرض ان العينة االوىل ذات احلجم وعدم معلومية معلمة الشكل باعتبار معلومية معلمة القياس

:دالة اإلمكان تعطى كاآليت . املشاهدات

)٨٧-٥(

والذى اى ان كتوزيع قبلى مرافق للمعلمة باستخدام توزيع جاما مبعلمتني :ياخذ الشكل

1 2 nX ,X , , X

n

1 2 ry y y y r

n ri r

i 1

rr (n r ) ( 1) n

r ii 1

n!L( , | y) L f (y )[1 F(y )](n r)!

n! y [ y ] .(n r)!

(c,d)Gamma(c,d)

٤٦٧

)٨٨-٥(

:على الصورة التالية يكون التوزيع البعدى للمعلمة ) ٨٨-٥(و) ٨٧-٥(باستخدام نظرية بييز واملعادالت

)٨٩-٥( اى ان هو ايضا توزيع جاما باملعلمتني يالحظ ان التوزيع البعدى للمعلمة .

واملطلوب اجياد عينة مستقبلية ومستقلة عن العينة االوىل وذات احلجم الثابت بفرض ان : حيث من املشاهدات الى مشاهدة فرتات تنبؤ بييز :تعطى من فإن دالة الكثافة االحتمالية ل ىف العينة املرتبة هى املشاهدة ذات الرتتيب حتت فرض ان

:حيث

:حالة توزيع باريتو تاخذ دالة الكثافة الصيغة التالية وىف

)٩٠-٥(

c 1 d ce d( ) 0 , c,d 0 .(c)

( 1)r(r c) 1 n (n r ) d

r ri 1

( 1)r(r c) 1 n (n r) d

r ri 10

(r c) 1 r c (d u )

ri r

i 1 r

y e y( | y)

y e y d

(d u) e ,(r c)

x xu ln n ln .x

( | y) (d u),(r c)

Gamma((r c), (d u)

1 2 rz z z z mszz1 s m

szszsz

(m s) (s 1)*s 1 s s sh (z | , ) D (s) 1 F(z | , ) F(z | , ) f (z | , )

m

1 sD (s) s ,

s 1(m s 1)*

s 1s s s

h (z | , ) D (s) 1z z z

٤٦٨

اىل تؤول دالة الكثافة ) عدد صحيح موجب حيث (وباستخدام مفكوك ذات احلدين :الشكل التاىل

)٩١-٥( :تكون على الصورة فإن دالة كثافة بييز التنبؤية للمشاهدة )٩١-٥) (٨٩-٥(وباستخدام املعادلتني

)٩٢-٥( :حيث

:يتطلب حساب دالة الصالحية االتية بييز للمشاهدة تنبؤ للحصول على حدود

:وبعض املعاجلات الرياضية يتم احلصول على ) ٩١-٥(بالتعويض من املعادلة

)٩٣-٥( :يعطيا من مبستوى ثقة للمشاهدة املستقبلية واالعلى حدى تنبؤ بييز االدىن

s*sh (z | , )

(m s j 1)s 1 s 1j*

s 1 sjj 0 s s

h (z | , ) D (s) 1 ,z .z z

sz

*1 s s

(m s j 1)( r c) s 1 s 1j ( r c) (d u)1 jj 0s s0

(r c 1)( r c) s 1

1 j jj 0s s

p (z | y) h (z | , ) ( )d

(d u)D (s) 1 e dz (r c) z

(d u)D (s) (r c) a (d u) m ln ,z z

s 1j

j jja 1 ,m (m s j 1).

sz

s 1 s st

R(t) P z t | y p (z | y)dz .

(r c 1)s 1

(r c)s 1 j j s

j 0 s st

(r c)s 1j(r c)

1 jj 0 j

1P z t | y D (s)(d u) (r c) a (d u) m ln dzz z

a tD (s)(d u) (d u) m ln .m

L(y)U(y)sz100 %

٤٦٩

)٩٤-٥( .املختلفة للحصول على حدود وفرتات تنبؤ بييز لقيم )٩٣- ٥(املعادلة السابقة ميكن حلها عدديا باستخدام

حاالت خاصة عندما )ا(

وميكننا احلصول ،عادة يكون من املهم التنبؤ باقل مشاهدة عن املشاهدات املستقبلية ذات احلجم اقل ( حنصل على دالة الصالحية للمشاهدة )٩٣-٥(ىف املعادلة على ذلك بوضع

واالعلى حنصل على حدى تنبؤ بييز االدىن )٩٤-٥(ومن املعادتني ىف) مشاهدة .وسوف اتركها كتمرين مبستوى ثقة للمشاهدة املستقبلية

عندما ) ب( موعة حجمها عندما لو افرتضنا ان عندما متثل اوقات العمل بدون اعطال

موعة وهذا مفيد من الوحدات فإن التنبؤ باملشاهدة يعىن التنبؤ بعمر الوحدة االخرية ىف هذه احنصل على دالة الصالحية )٩٣-٥(ىف املعادلة وبوضع .اىل حد كبري ىف احلياة العملية

واالعلى حنصل على حدى تنبؤ بييز االدىن )٩٤-٥(ىفومن املعادتني للمشاهدة االخرية .وسوف اتركها كتمرين مبستوى ثقة للمشاهدة املستقبلية

معلمة الشكل غیر معلومة وحجم العینةعشوائى ) ٢- ٦-٥(

من املعلوم ىف كثري من البحوث البيولوجية والزراعية وجتارب التحكم ىف جودة االنتاج ان هناك لذا ،الدراسة السباب ليست حتت السيطرة احتمال كبري لفقد احد او بعض اعضاء العينة حتت

ميكن االخذ ىف االعتبار عند حساب فرتات التنبؤ لعينة مستقبلية ان يكون حجم هذه العينة غري وما تاثري ذلك على فرتات التنبؤ الناجتة ؟ هذا ما سنحاول االجابة عليه ، ثابت اى متغري عشوائى

.خالل هذا اجلزء

s

s

1P z L(y) | y ,2

1P z U(y) | y .2

s 1

m

s 11z

L(y)U(y)

1z100 %

s m

i(i 1,2,...m),zm

iz

s m

mzL(y)

U(y)mz100 %

٤٧٠

غري ثابت اى متغري عشوائى ة ومستقلة عن العينة االوىل حجمها عينة مستقبلي بفرض ان :والذى دالة كثافته االحتمالية على الشكل باملعلمة غري التام توزيع بواسون متغري عشوائى يتبع وبفرض ان ،

)٩٥-٥( فإن دالة الكثافة Gupta and Gupta (1984),Consul (1984)باالستعانة ببحثى

:متغري عشوائى تعطى من عندما تكون حيث التنبؤية الى مشاهدة مستقبلية

)٩٦-٥( :حيث

.ثابتة عندما تكون دالة الكثافة االحتمالية للمشاهدة ىف حالة فإن دالة كثافة بييز التنبؤية للمشاهدة )٩٦- ٥(و) ٩٥- ٥(و) ٩١- ٥(من املعادالت : هى )٩٥-٥(متغري عشوائى له دالة الكتلة االحتمالية حجم العينة

:حيث

:وتكون دالة الصالحية ىف هذه احلالة

)٩٧-٥(

1 2 rz z z z mm

m* ep (m) , m 1, 2,3,...

m!(1 e )

sz1 s m m

*s s

m s

1g(z | y) p (m)p(z | m)P(m s)

sp(z | m)szm

sz

m

(r c 1)r c ms 1

s j 1 jm s j 01 s s

(r c)Hg(z | y) a D (s) H m ln( )k z m! z

ws 1

1w 0

H (d u),k e .w!

s 1 s s

(r c)r c ms 1j

1 jm s j 01 j

P z t | y g (z | y)dz

aH tD (s) H m ln( ) .k m m!

٤٧١

حنصل مبستوى ثقة للمشاهدة املستقبلية واالعلى حدى تنبؤ بييز االدىن :للمعادلة عليهما باحلل العددى بالنسبة اىل

:لقيم1 1,

2 2

.على الرتتيب خاصة لةحا

عندما وميكننا احلصول ،عادة يكون من املهم التنبؤ باقل مشاهدة عن املشاهدات املستقبلية ذات احلجم

اقل ( حنصل على دالة الصالحية للمشاهدة )٩٧-٥(ىف املعادلة على ذلك بوضع مبستوى للمشاهدة املستقبلية واالعلى على حدى تنبؤ بييز االدىن واحلصول) .مشاهدة

.الرجوع اىل الرسالةمرتوك كتمرين او ثقة وجود قیمة منعزلة) ٣- ٦-٥( من اجلدير بالذكر ان دراسة احلاالت اخلاصة بوجود اكثر من قيمة منعزلة ىف العينة املستقبلية ينتج

عنه عالقات رياضية غاية من التعقيد مما جيعل امكانية احلصول على نتائج عملية هلذه احلاالت غاية . Banett and Lewis(1994)ىف الصعوبة

اى أن . من الوحدات rوضعت لالختبار وان االختبار ينتهي بعد فشل من العينة االوىل من الوحدات nبفرض أن 1 2 ry y ,y ,...y باعتبار معلومية معلمة لمتني مبع باريتوعينة عشوائية متثل أزمنة الفشل وان أزمنة الفشل تتبع توزيع

معلوم عنها املشاهدات و بفرض ان العينة االوىل ذات احلجم وعدم معلومية معلمة الشكل القياس عينة مستقبلية ومستقلة عن العينة االوىل وذات بفرض ان .

.ىف العينة تابعة لنفس التوزيع االحتماىل وإذا افرتضنا وجود قيمة منعزلة من النوع احلجم الثابت

L(y)U(y)sz100 %

t(r c )r c ms 1

j1 j

m s j 01 j

aH tD (s) H m ln( )k m m!

s 1

m

s 11z

L(y)U(y)1z

100 %

n

1 2 ry y y y 1 2 rz z z z

mo

٤٧٢

: حيث من املشاهدات الى مشاهدة واملطلوب اجياد فرتات تنبؤ بييز تعطى من الصيغة فإن دالة الكثافة االحتمالية ل ىف العينة املرتبة هى املشاهدة ذات الرتتيب حتت فرض ان

:التالية

m 1 m ss 2 *s ss 1

m ss 1 *s

m s 1s 1 *s

h(y | ) [(s 1)F 1 F F f (y | )

F 1 F f (y | )

(m s)F 1 F 1 F f (y | )].

الغیر المنعزلة بینما هما دالتى الكثافة والتوزیع لكل قیم حیث

. . على الترتیب المنعزلة هما دالتى الكثافة والتوزیع لكل قیم :وىف حالة توزيع باريتو تاخذ دالة الكثافة الصيغة التالية

اىل تؤول دالة الكثافة ) عدد صحيح موجب حيث (وباستخدام مفكوك ذات احلدين :الشكل التاىل

:حيث

szz1 s m

szszsz

s sf (y | ),F(y | ) y* *

s sf (y | ),F (y | ) y

o

o

o

(s 2) (m s)m 1

s 1s 1s s s s

(s 1) (m s)

o1

s s s

s

h(z | , ) [ (s 1) 1 1z z z z

1z z z

(m s) 1z

o(s 1) (m s 1)

s1s s s

], z .z z z

s*sh (z | , )

oj

oj

m 1

s s 1s

ms 2 s 2s 2 s 2j j

j jj 0 j 0s

(m 1)s 1 s 1jo j

j 0 s

h(z | , ) [z

(s 1) 1 (s 1) 1z

m s 1 ].z

٤٧٣

:تاخذ الدالة السابقة الشكل التاىل وبعد بعض االختصارات اجلربية

j s oj s

oj s

s 2m z , m z ,

s 2 jj 0s

s 1 m 1 z ,o j s

j 0

h(z | , ) D (s) [ s 1 b e ez

m s a e ],z

)٩٨-٥(

:حيث

معلومة ففى هذه احلالة يستخدم توزيع جاما غري معلومة ومعلمة القياس عندما تكون معلمة الشكل

:خذ الشكل التاىل ياوالذى كتوزيع قبلى مرافق للمعلمة باملعلمتني

:يكون على الشكل فإن التوزيع البعدى للمعلمة بعد احلصول على العينة

)٩٩-٥(

:تكون على الصورة فإن دالة كثافة بييز التنبؤية للمشاهدة ) ٩٧-٥(و )٩٨-٥(من املعادلتني

oj o jm m .

s 2 s 2j

2 j sj js

D (s) ,b 1 , (z , ) ln .z

(c,d)c 1 d ce d( ) 0 , c,d 0 .

(c)

y ( r c ) H(r c) 1

ri r

i 1 r

H e( | y) ,(r c)

x xu ln ln , H d u.x

sz

٤٧٤

اء التكامالت وعدد من االختصارات تاخذ الدالة السابقة الشكل التاىل :وبا

:يتطلب حساب دالة الصالحية االتية للحصول على حدود بييز للمشاهدة

:وبعض املعاجلات الرياضية يتم احلصول على ) ١٠٠-٥(بالتعويض من املعادلة

j s o j s

o j s

1 s s

( r c ) s 2( H m ( z , )) ( H m ( z , ))

jj 0

2 s 2( H ( m 1) ( z , ))0

o jj 0

f (z | y ) h (z | , ) ( )d

( H ) [(s 1) b e e( r c)

D (s)[( m s) a e ]d ,

( r c 1 )

( r c ) s 2 ( r c )

1 s 2 j j sj 0s

( r c 1)

oj s

s 1

o j oj s sj 0

(H ) (r c )f (z | y ) D (s) [(s 1) b (H m (z , )z

(H m (z , )

( m s) a [(H (m 1) (z , )] , z .

sz

s 1 s st

R(t) P z t | y p (z | y)dz .

s 2 (r c 1)(r c)s 2 j j s s

j 0st

s 1 (r c 1)oj oj s s

j 0st

s 2(r c)

2 j j ojj 0

o j oj

(s 1)P z t | y D (s)(H) (r c)[ b { (H m (z , ) }dzz

( m s) a (H (m 1) (z , ) dz ]z

D (s)(H) {(s 1) b ( (t,m ) (t,m )

( m s) a ( (t,m

s 1

j 0

1))],

٤٧٥

)١٠١-٥(

:حيث

:يعطيا من مبستوى ثقة للمشاهدة املستقبلية واالعلى حدى تنبؤ بييز االدىن

للحصول على حدود وفرتات تنبؤ بييز لقيم )١٠١- ٥(املعادلة السابقة ميكن حلها عدديا باستخدام .املختلفة

حاالت خاصة

عندما )ا(عادة يكون من املهم التنبؤ باقل مشاهدة ىف العينة املستقبلية الىت حتتوى على احد القيم املنعزلة من

حنصل على دالة الصالحية الال زمة حلساب )١٠١-٥(ىف دالة الصالحية نضع النوع :ىف الصورة) اقل مشاهدة( للمشاهدة حدود تنبؤ بييز

مبستوى ثقة للمشاهدة املستقبلية واالعلى حدى تنبؤ بييز االدىن وميكن احلصول على

.وسوف اتركها كتمرين عندما ) ب(

نضع الىت حتتوى على احد القيم املنعزلة من النوع املستقبليةللتنبؤ باملشاهدة االخرية ىف العينة حدود تنبؤ بييز حنصل على دالة الصالحية الال زمة حلساب )١٠١-٥(ىف دالة الصالحية

للمشاهدة املستقبلية واالعلى حدى تنبؤ بييز االدىن وبالتاىل على للمشاهدة .وسوف اتركها كتمرين مبستوى ثقة

(r c)1(t, x) H x (t, ) .x

L(y)U(y)sz100 %

s

s

1P z L(y) | y ,2

1P z U(y) | y .2

s 1

os 1

1z

(r c)(r c)s oP z t | y H H ( m 1) (t, ) .

L(y)U(y)1z

100 %

s m

o

s m

mzL(y)U(y)mz

100 %

٤٧٦

٤٧٧

المراجع

:المراجع العربیة

o عمادة - جامعة الملك سعود –مقدمة في النظریة اإلحصائیة ، ) ١٩٩١(، أحمد عودة - ١ .شؤون المكتبات

o o مدیریة دار الكتب للطباعة والنشر –اإلحصاء الریاضي ، ) ١٩٩٠(، أمیر حنا هرمز -٢–

.الموصل –الجمهوریة العراقیة o o مكتبة المتنبى -الطبعة الثانیة –نظریة االحتماالت ، ) ٢٠٠٠(، ثروت محمد عبد المنعم - ٣

. المملكة العربیة السعودیة –o o الطبعة الثالثة –مدخل حدیث لإلحصاء واالحتماالت ، ) ٢٠٠٨(، ثروت محمد عبد المنعم - ٤

.المملكة العربیة السعودیة –مكتبة العبیكان –o o المدخل الحدیث لإلحصاء واالحتماالت مع الحلول ل ، ) ٢٠٠٩(، ثروت محمد عبد المنعم - ٥

.المملكة العربیة السعودیة - مكتبة المتنبى –الطبعة االولى - مسالة ٧٠٨o o ١٠٣٥نظریة االحتماالت مع الحلول لحوالى ، ) ٢٠١٠(، ثروت محمد عبد المنعم - ٦

. المملكة العربیة السعودیة –مكتبة المتنبي -الطبعة االولى –مسالةo o جدة –دار الشروق –الطبعة الثانیة –نظریة االحتماالت ، ) ١٩٨٨(، جالل الصیاد - ٦–

.المملكة العربیة السعودیة o o دار المریخ للنشر -الطبعة االولى –االستدالل االحصائى ، ) ١٩٩٣(، الصیاد جالل - ٧–

.المملكة العربیة السعودیة –الریاض

٤٧٨

o وزارة التعلیم –الجمهوریة العراقیة –طرق اإلحصاء ، ) ١٩٨٣(، سلیم ذیاب السعدي - ٨ .العالي والبحث العلمي

o o أساسیات االحصاء الریاضي ، ) ١٩٩٨(، علي عبد السالم العماوي وعلي حسین العجیلي - ٩

.جامعة الفاتح –إدارة المطبوعات والنشر –

o نظریة التقدیر ) ١(، االستدالل االحصائي ) أ ٢٠٠٠(‘عبد الحفیظ محمد فوزي مصطفى - ١٠

.مدینة نصر –القاھرة -، مجموعة النیل العربیة

o

o نظریة التقدیر ) ٢(، االستدالل االحصائي )ب ٢٠٠٠(عبد الحفیظ محمد فوزي مصطفى ، - ١١

.مدینة نصر –القاھرة -، مجموعة النیل العربیة

o o نظریة االحتماالت و ، ) ٢٠٠٠(،محمد إبراهیم عقیل و عبد الرحمن محمد أبو عمه -١٢

.المملكة العربیة السعودیة –جامعة الملك سعود –النشر العلمي و المطابع –تطبیقاتها o

:األجنبیة المراجع

1-Ashour , S.K and Salem, S.A (1990) An Introduction to Mathematical Statistics, I.S.S.R ,Cairo University. 2-Abdel Moneim, T.M. (1998), Bayesian estimation of the reliability function

of a two-parameter Cauchy distribution , The Egyptian Statistical Journal,

42(1),1-9.

3- Aitchison, J.& Brown J.A.C (1957), The Lognormal Distribution,

Cambridge:Cambridge University Press.

4-AL- Braheem ,F . M . (1990) Regression Models in Testing, Msc. Girls

College , Dammam.

٤٧٩

5-AL- Hussaini, E. K. & Jaheen, Z. F. (1994), Approximate bayes estimators

applied to the Burr model , Communications in Statistics-Theory and Methods,

23 (1), 99 - 121.

6-AL- Ohali , M . E . (2000) , Some Bayesian Predictions Based on Pareto

Distribution , Msc. Girls College , Dammam.

7-AL- mobaudh , E . A . (2010) , Estimates of Lognormal Distribution

Parameters Based on Bayesian Approach, Msc. Girls College , Dammam .

8- Balasooriya , U. & Balakrishnan, N. (2000) ,Reliability sampling plans for

lognormal distribution , based on progressively-censored samples , IEEE

Transactions on Reliability ,49(2),199-203 .

9-Basu , A . B . & Ebrahimi , N . (1991) , Bayesian approach to life testing and

reliability estimation using asymmetric, Journal of Statistical Planning and

Inference, 29, 21-31.

10-Barnett, V . B . &Lewis, T . (1994) ,Outliers in Statistical Data 3 ed.,Jon

Wiley ,New York.

11-Bekker, A., Roux, J.J.J & Mostert, P.J. (2000), A generalization of the

compound Ra10yleigh distribution: using bayesian methods on cancer survival

times , Communications of Statistics – Theory and Methods, 29(7), 1419-1433.

12-Bhattacharya, S . K . (1967) , Bayesian approach to life testing and reliability

estimation , Journal of American Statistical Association , 48-62 .

13-Box , G . E . P . , & Tiao , G . C . (1973) , Bayesian Inference in Statistical

Analysis , Reading , MA : Addison – Wesley .

٤٨٠

14-Calabria, R. & Pulcini, G. (1996), Point estimation under asymmetric loss

functions for left-truncated exponential samples, Communications in

Statistics - Theory and Methods,25(3),585-600.

15-Chen, C. (2006), Tests of fit for the three- parameter lognormal distribution

,Computational Statistics & Data Analysis , 50 ,1418-1440 .

16-Cohen, C. (1963), Progressively censored samples in the life

testing,Technometrics ,(3).,327-339.

17-Consul,P. C.,(1984),On the distributions of the order statistics for a random

sample sizes,Statist.Nearland., 83,249-256.

1٦18-Crow, E.L. & Shimizu, K. (1988), Lognormal Distributions: Theory and

Applications,New York : Marcel Dekker.

19-Doetsch,G.(1970) Guide to the application of the Laplace and Z transform

U N R London.

20-Dahiya, R.C & Guttman,I. (1982), Shortest confidence and prediction

intervals for the log-normal, The Canadian Journal of Statistics ,10(4),277-291.

21-Dey, D.K. & Lee, T. (1992), Bayes computation for life testing and

reliability estimation , IEEE Transactions on Reliability, 41, 621-626 .

22- Grimshaw, S.D. ( 1993), Computing likelihood estimates for the generalized

Pareto distribution , Technometrics 35 (2), 185-191.

23-Gupta, D. ,and Gupta,R.C.,( 1984), On the distribution of order statistics for

a random sample size ,Statist.Nearland.,38, 13-19.

24-Howlader, H.A. & Sinha, S.K. (1984), Bayesian estimation of regression

parameters under a bivariate normal Prior, La Revue Publication de L'Institut de

Statistique de l'université de Paris, 29(1), 47-57.

25-Howlader, H. A. & Weiss, G. (1988), Bayesian reliability estimation of a two

parameter Cauchy distribution , Biometrical Journal , 30( 3), 329-337.

٤٨١

26-Howlder, H.A. & Weiss, G. (1989), Bayes estimators of the reliability of

logistic distribution, Communications in Statistics-Theory and Methods , 18 (1),

245-259.

27-Johnson, N,L . & Kotz, S. (1970) Distributions in Statistics , Volume 1

Houghton Mifflin,Boston.

28-Johnson, N, Kotz, S, & Balakrishnan, N. (1994), Continuous Univariate

Distributions, Volume 1 (Second Edition.). New York .

29- Lee , P. M. (1989) , Bayesian Statistics : An Introduction , Arnold , London .

30- Lee, C.F. & Lee, J. C., Chapter 5 Normal and Lognormal Distribution in

Alternative Option Pricing Models: Theory, Methods, and Applications Kluwer

Academic Publishers, to appear.

31-Lindley, D.V. (1980), Approximate Bayesian ,Trabajos de Estabistica,

31,223-237.

32-Martz , H . F . & Waller , R . A . (1982) , Bayesian Reliability Analysis ,

New York , Wiley .

33- Padgett, W.J. & Johnson, L.J. (1983), Some bayesian lower bounds on

reliability function in the lognormal distribution, The Canadian Journal of

Statistics, 11(2),137-147.

34-Padgett, W.J. & Wei, L.J. (1977), Bayes estimation of reliability function

for the two-parameter lognormal distribution, Communications in

Statistics - Theory and Methods,A6(5),443-457.

35-Padgett, W.J. & Wei, L.J. (1978), Bayesian lower bounds on reliability

function for lognormal model, IEEE Transactions on Reliability, R-27(2),161-

165.

٤٨٢

36-Papadopoulos, A.S. (1983), Bayesian reliability of the Weibull failure model

with bivariate Characterization of the parameters,Metron, XLI(1-2), 95-112.

37-Singh P. K, Singh S. K. & Singh U. (2008), Bayes estimator of inverse

Gaussian parameters under general entropy loss function using Lindley's

approximation , Communications in Statistics - Simulation and

Computation, 37(9), 1750 – 1762.

38-Sinha, S.K. (1981), On the moment estimation of lognormal parameters,

IAPQR Transactions ,6(2), 83-88.

39-Sinha , S. K. (1983), Bayesian estimation of the mean of a normal

distribution when the coefficient of variation is known ,The Statistician Institute of

Statisticians ,32(3) ,339-345.

40-Sinha, S.K. (1985),Bayes estimation of the reliability function of normal

distribution , IEEE Transactions on Reliability, R-34(4),360-362.

41-Sinha, S.K. (1986), Bayes estimation of the reliability function of the inverse

Gaussian distribution , Statistics & Probability Letters 4, 319-323 .

42-Sinha, S.K. & Guttman,I. (1988), Bayesian analysis of life-testing

problems involving the Weibull distribution, Communications in Statistics.

Theory and Methods,17(2),343-356 .

43-Sinha, S.K. (1989),Bayesian inference about the prediction/credible intervals

and reliability function for lognormal distribution , Journal of the Indian

Statistical Association, 27,73-78.

44- Smith, D.L. & Naberejnev, D.G (2004) , Confidence intervals for the

lognormal probability distribution , Nuclear Instruments and Methods in Physics

Recscarch A ,518,754-763 .

٤٨٣

45- Shalaby,O.A. (1990) Bayesian comparison distribution given a Type Two

Censored From a One Parameter Exponential Distribution .J.King Saud Univ.

Vol. 2. Admin. Sci. (20)

46- Shalaby,O.A. and Yousef,M.H. (1992) Bayesian of the parameters of a

doubly truncated of weibull distribution ,The Egyptian Statistical Journal

ISSR,Cairo Univ. Vol 36, No. 1.

47-Shalaby O. A. (1993),Bayesian inference in truncated and censored

exponential distribution and reliability estimation, Communications in

statistics. Theory and methods, 22(1), 57-79.

48- Shalaby,O.A. (1994) Bayesian Inference In Truncated And Censored

Exponential Distribution And Relibility Estimation.

49- Shalaby,O.A. &Abdelmoneim, T.M. (1999) , Characterization of the three

parameters gamma distribution with mixing distributios The Egyptian

Statistical Journal ISSR.Cairo Univ. Vol 43 no. 1 .

50- Soliman, A.A. and AL-Ohaly,M.E. (2000),Bayes 2-sample prediction for

the pareto failure –model, JOURNAL OF THE Egyptian Mathematical

Society,Vol. 8(1).

51- Soliman, A.A. (2005),Estimation of parameters of life from progressively

censored data using Burr-XII model, IEEE Transactions on Reliability, 54(1),

34 – 42.

52-Sweet, A.L. (1990), On the hazard rate of the lognormal distribution, IEEE

Transactions on Reliability,39(3),325-328.

53-Szajnowski, W.J. (1977), Estimators of log – normal distribution parameters

, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems , AES-13(5),533-536.

54-Tierney, L. and Kadan,J.B. (1986),Accurate approximations for posterior

moments and marginal densities,J. Amer. Statist.Assoc.,81,82-86.

٤٨٤

55-Wasserman,L. (2004), All of Statistics A Concise Course in Statistical

Inference, Springer .

56-Wen, D. & Levy, M. S. (2001a), Blinex : A bounded asymmetric loss

function with application to Bayesian estimation, Communications in

Statistics - Theory and Methods,30(1),147-153.

57-Wen, D. & Levy, M. S. (2001b), Admissibility of bayes estimates under

Blinex loss for the normal mean problem, Communications in Statistics -

Theory and Methods,30(1),155-163.

58-Yang, Z. (2000),Predictive densities for the lognormal distribution and their

applications, Microelectronics Reliability, 40, 1051-1059.

59-Zelen , M . (1959),Factorial experimental in life testing,1 ,269-288 .

60-Zellner , A . (1971),Bayesian and non- bayesian analysis of the log-normal

distribution and log-normal regression, Journal of the American Statistical

Association , 66(334) ,327-330 .

61-Zellner , A. & Tobias, J. (2001),Further results on bayesian method of

moments analysis of the multiple regression model, International Economic

Review,42(1),121-140.

٤٨٥

٤٨٦

المالحق

x; p) ( جدول حساب ) ١( ملحق r

0x

. لمتغیر عشوائي یتبع توزیع بواسون

zZ0(P(جدول المساحات تحت المنحنى الطبیعي القیاسي ) ٢( ملحق . f),(جدول القیم الحرجة ) ٣( ملحق 21 لتوزیعF 05.0عند( ).

f),(جدول القیم الحرجة ) ٤( ملحق 21 لتوزیعF 01.0عند( ).

2جدول القیم الحرجة ) ٥( ملحق 2لتوزیع.

t جدول القیم الحرجة ) ٦( ملحق . tلتوزیع

٤٨٧

) :١(ملحق

x; p) ( حساب جدولr

0x

بواسون توزیع یتبع عشوائي لمتغیر

1.0 .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1

.368 .407 .449 .497 .549 .607 .670 .741 .819 .905 0

.736 .772 .809 .844 .878 .910 .938 .963 .982 .995 1

.920 .937 .953 .966 .977 .986 .992 .996 .999 1.00 2

.981 .987 .991 .994 .997 .998 .999 1.00 1.00 3 x

.996 .998 .999 .999 1.00 1.00 1.00 4

.999 1.00 1.00 1.00 5 1.00

6

[Devore (1995)] :المصدر عن

٤٨٨

x; p) ( حساب جدول ) :١( ملحق تابعr

0x

بواسون توزیع یتبع عشوائي لمتغیر

20.0 15.0 10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .002 .007 .018 .050 .135 0 .000 .000 .000 .001 .003 .007 .017 .040 .092 .199 .406 1 .000 .000 .003 .006 .014 .030 .062 .125 .238 .423 .677 2 .000 .000 .010 .021 .042 .082 .151 .265 .433 .647 .857 3 .000 .001 .029 .055 .100 .173 .285 .440 .629 .815 .947 4 .000 .003 .067 .116 .191 .301 .446 .616 .785 .916 .983 5 .000 .008 .130 .207 .313 .450 .606 .762 .889 .966 .995 6 .001 .018 .220 .324 .453 .599 .744 .867 .949 .988 .999 7 .002 .037 .333 .456 .593 .729 .847 .932 .979 .996 1.00 8 .005 .070 .458 .587 .717 .830 .916 .968 .992 .999 9 .011 .118 .583 .706 .816 .901 .957 .986 .997 1.00 10 .021 .185 .697 .803 .888 .947 .980 .995 .999 11 .039 .268 .792 .876 .936 .973 .991 .998 1.00 12 .066 .363 .864 .926 .966 .987 .996 .999 13 .105 .466 .917 .959 .983 .994 .999 1.00 14 .157 .568 .951 .978 .992 .998 .999 15 .221 .664 .973 .989 .996 .999 1.00 16 .297 .749 .986 .995 .998 1.00 17 .381 .819 .993 .998 .999 18 X .470 .875 .997 .999 1.00 19

.559 .917 .998 1.00 20

.644 .947 .999 21

.721 .967 1.00 22

.787 .981 23

.843 .989 24

.888 .994 25

.922 .997 26 .948 .998 27 .966 .999 28 .978 1.00 29 .987 30

.992 31 .995 32 .997 33 .999 34 .999 35 1.00 36

٤٨٩

)٢(ملحق

القیاسي الطبیعي المنحنى تحت المساحات جدولP(0<Z<z)

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 0.2 .079 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986 3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

[Daniel (1978)]عن: المصدر

٤٩٠

)٣(ملحق f),(جدول القیم الحرجة 21 لتوزیعF 05.0(عند(

1

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120

1 161.4

199.5

215.7

224.6

230.2

234.0

236.8

238.9

240.5

241.9

243.9

245.9

248.0

249.1

250.1

251.1

252.2

253.3 254.3 2 18.5

1 19.0

0 19.1

6 19.2

5 19.3

0 19.3

3 19.3

5 19.3

7 19.3

8 19.4

0 19.4

1 19.4

3 19.4

5 19.4

5 19.4

6 19.4

7 19.4

8 19.49 19.5

0 3 10.13

9..55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63

6. 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.36 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.07 17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78

23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73 25 2.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71 26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.58 1.80 1.75 1.69 27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67 28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65 29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62 40 4.08 3.23 2.48 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39 120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35 1.25 3.84 3.84 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00

[Devore (1995)]عن :المصدر

٤٩١

)٤(ملحق

f),(جدول القیم الحرجة 21 لتوزیعF 01.0(عند( 1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120

1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6106

6157

6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366 2 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.47 99.48 99.49 99.50 3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87

26.69 26.60 26.50 26.41 26.32 26.22 26.13

4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 13.46 5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11 9.02 6 13.57 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.72 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88 7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65 8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.03 4.95 4.86 9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.40 4.31 10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.00 3.91 11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.40 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.60 12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45 3.369

.07 13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.41 4.30 4.19 4.10 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25 3.17 14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.80 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09 3.00 15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96 2.87 16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.55 3.41 3.26 3.18 3.10 3.02 2.93 2.84 2.75 17 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 3.16 3.08 3.00 2.92 2.83 2.75 2.65 18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57 19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49 20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42 21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36 22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31 23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26 24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.03 2..89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21 25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17 26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.96 2.81 2.66 2.58 2.50 2.42 2.33 2.23 2.13 27 7.86 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.20 2.10 28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.90 2.75 2.60 2.52 2.44 2.35 2.26 2.17 2.06 29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 2.87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.14 2.03 30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30 2.21 2.11 2.01 40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 3.89 2.80 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.92 1.80 60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 3.72 2.63 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.60 120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 3.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 3.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.47 1.32 1.00

٤٩٢

)٥(ملحق

2جدول القیم الحرجة 2لتوزیع

.995 .99 .975 .95 .90 .10 .05 .025 .01 .005 1 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 2.706 3.843 5.025 6.637 7.882 2 0.010 0.020 0.051 0.103 0.211 4.605 5.992 7.378 9.210 10.593 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 6.251 7.815 9.348 11.34 12.834 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.14 13.27 14.865 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 9.236 11.07 12.83 15.08 16.746 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 10.64 12.59 14.44 16.81 18.547 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 12.01 14.06 16.01 18.47 20.278 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 13.36 15.50 17.53 20.09 21.959 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 14.68 16.91 19.02 21.66 23.58

10 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 15.98 18.30 20.48 23.20 25.1811 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 17.27 19.67 21.92 24.72 26.7512 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 18.54 21.02 23.33 26.21 28.3013 3.565 4.107 5.009 5.892 7.041 19.81 22.36 24.73 27.68 29.8114 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 21.06 23.68 26.11 29.14 31.3115 4.600 5.229 6.262 7.261 8.547 22.30 24.99 27.48 30.57 32.7916 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 23.54 26.29 28.84 32.00 34.2617 5.697 6.407 7.564 8.682 10.08 24.76 27.58 30.19 33.40 35.7118 6.265 7.015 8.231 9.390 10.86 25.98 28.86 31.52 34.80 37.1519 6.843 7.632 8.906 10.11 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.5820 7.434 8.260 9.591 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.56 39.9921 8.033 8.897 10.28 11.59 13.24 29.61 32.67 35.47 38.93 41.3922 8.643 9.542 10.98 12.33 14.04 30.81 33.92 36.78 40.28 42.7923 9.260 10.19 11.68 13.09 14.84 32.00 35.17 38.07 41.63 44.1724 9.886 10.85 12.40 13.84 15.65 33.19 36.41 39.36 42.98 45.5525 10.51 11.52 13.12 14.61 16.47 34.38 37.65 40.64 44.31 46.9226 11.16 12.19 13.84 15.37 17.29 35.56 38.88 41.92 45.64 48.2927 11.80 12.87 14.57 16.15 18.11 36.74 40.11 43.19 46.96 49.6428 12.46 13.56 15.30 16.92 18.93 37.91 41.33 44.46 48.27 50.9929 13.12 14.25 16.14 17.70 19.76 39.08 42.55 45.77 49.58 52.3330 13.78 14.95 16.79 18.49 20.59 40.25 43.77 46.97 50.89 53.6731 14.45 15.65 17.53 19.28 21.43 41.42 44.98 48.23 52.19 55.0032 15.13 16.36 18.29 20.07 22.27 42.58 46.19 49.48 53.48 56.3233 15.81 17.07 19.04 20.86 23.11 43.74 47.40 50.72 54.77 57.6434 16.50 17.78 19.80 21.66 23.95 44.90 48.60 51.96 56.06 58.9635 17.19 18.50 20.56 22.46 24.79 46.05 49.80 53.20 57.34 60.2736 17.88 19.23 21.33 23.26 25.64 47.21 50.99 54.43 58.61 61.5837 18.58 19.96 22.10 24.07 26.49 48.36 52.19 55.66 59.89 62.8838 19.28 20.69 22.87 24.88 27.34 49.51 53.38 56.89 61.16 64.1839 19.99 21.42 23.65 25.69 28.19 50.66 54.57 58.11 62.42 65.4740 20.70 22.16 24.43 26.50 29.05 51.80 55.75 59.34 63.69 66.76

[Devore(1995)] عن : المصدر

٤٩٣

)٦( ملحق

t جدول القیم الحرجة tلتوزیع

.0005 .001 .005 .01 .025 .05 .10

636.62 318.31 63.657 31.821 12.706 6.314 3.078 1 31.598 22.326 9.925 6.965 4.303 2.920 1.886 2 12.924 10.213 5.841 4.541 3.182 2.353 1.638 3 8.610 7.173 4.604 3.747 2.776 2.132 1.533 4 6.869 5.893 4.032 3.365 2.571 2.015 1.476 5 5.959 5.208 3.707 3.143 2.447 1.943 1.440 6 5.408 4.785 3.499 2.998 2.365 1.895 1.415 7 5.041 4.501 3.355 2.896 2.306 1.860 1.397 8 4.781 4.297 3.250 2.821 2.262 1.833 1.383 9 4.587 4.144 3.169 2.764 2.228 1.812 1.372 10 4.437 4.025 3.106 2.718 2.201 1.796 1.363 11 4.318 3.930 3.055 2.681 2.179 1.782 1.356 12 4.221 3.852 3.012 2.650 2.160 1.771 1.350 13 4.140 3.787 2.977 2.624 2.145 1.761 1.345 14 4.073 3.733 2.947 2.602 2.131 1.753 1.341 15 4.015 3.686 2.921 2.583 2.120 1.746 1.337 16 3.965 3.646 2.898 2.567 2.110 1.740 1.333 17 3.922 3.610 2.878 2.552 2.101 1.734 1.330 18 3.883 3.579 2.861 2.539 2.093 1.729 1.328 19 3.850 3.552 2.845 2.528 2.086 1.725 1.325 20 3.819 3.527 2.831 2.518 2.080 1.721 1.323 21 3.792 3.505 2.819 2.508 2.074 1.717 1.321 22 3.767 3.485 2.807 2.500 2.069 1.714 1.319 23 3.745 3.467 2.797 2.492 2.064 1.711 1.318 24 3.725 3.450 2.787 2.485 2.060 1.708 1.316 25 3.707 3.435 2.779 2.479 2.056 1.706 1.315 26 3.690 3.421 2.771 2.473 2.052 1.703 1.314 27 3.674 3.408 2.763 2.467 2.048 1.701 1.313 28 3.659 3.396 2.756 2.462 2.045 1.699 1.311 29 3.646 3.385 2.750 2.457 2.042 1.697 1.310 30 3.551 3.307 2.704 2.423 2.021 1.684 1.303 40 3.460 3.232 2.660 2.390 2.000 1.671 1.296 60 3.373 3.160 2.617 2.358 1.980 1.658 1.289 120 3.291 3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282

[Devore (1995)]عن :المصدر

٤٩٤