110

3. Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев: Учебник. – М.: Гардарики, 2002. – 531 с.4. Математика и информатика: Учеб. пособие для студентов педагогических вузов / Н.Л. Стефанова,

В.Д. Будаев и др. – М. Высш. шк., 2004. – 349 с.5. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 560 с.

– (Серия “ Высшее образование”).6. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике: Учеб. пособие для вузов (гуманит. спец-ти).

– М.: Агар, 1999. – 332 с.

Ермак Е.А., Филиппов В.А.

ГРАФИЧЕСКИЙ ЯЗЫК КАК СРЕДСТВО УГЛУБЛЕНИЯПОНИМАНИЯ СТУДЕНТАМИ СОДЕРЖАНИЯ КУРСА

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

При освоении студентами понятий математического анализа очень важно не только соот-ветствие логике предмета, но и обеспечение оптимальных условий организации процесса встра-ивания каждого из научных понятий в семантическое поле студента. Для этого, в свою очередь,необходимо учитывать особенности организации процесса понимания студентом новой ин-формации. Одна из существенных особенностей этого процесса состоит в том, что его невер-бальные компоненты сильнее связаны с представлениями об информации, чем вербальные.Соответственно, мы считаем, что логико-информационная модель понятия из курса мате-матического анализа позволит получить в процессе изучения этого понятия студентамизначительный дидактический результат, если эта модель, наряду с символической ивербальной составляющими, будет включать в себя также и графическую составляю-щую. Таким образом, роль графического языка в процессе изучения студентами понятий мате-матического анализа оказывается весьма существенной. Вместе с тем, бездумное, формальноеиспользование графики при обучении математическому анализу может нанести значительныйвред математической культуре студента, если уровень математической строгости примененияграфического языка окажется недопустимо низким, приведёт к искажению, грубой “вульгариза-ции” смысла математических понятий и утверждений. Как известно из психологии, важнымусловием формирования и развития математического понятия в сознании человека являетсясохранение при моделировании объектов, входящих в объём понятия, всех существенных свойствэтого понятия в сочетании с максимальным варьированием несущественных свойств. Обеспе-чить это сочетание традиционными средствами преподавателю удаётся далеко не всегда, соот-ветственно, весьма полезным и уместным является осмысленное, целесообразное включениеинформационно-коммуникационных технологий в процесс преподавания.

Рассмотрим примеры того, как графический язык может быть дидактически эффек-тивно использован на основе применения программного обеспечения MathCAD при изуче-нии тригонометрических рядов.

Пример 1. Дан тригонометрический ряд

111

Построить графики четырёх первых частичных сумм этого ряда. Какой вид будет иметьграфик частичной суммы этого ряда при достаточно большом количестве слагаемых? Какимбудет график суммы этого ряда? Сравнить свойства суммы этого ряда со свойствами его час-тичных сумм.

Используя MathCAD в режиме реального времени, преподаватель демонстрирует графи-ки частичных сумм ряда, что обеспечивает последовательное получение студентами ответов напоставленные вопросы.

Положим S1 x( ) φ x( ) φ x( ) sin x( ):=

S2 x( ) ψ x( ) ψ x( ) sin x( )sin 3x( )

3

+:=

Рис. 1

Аналогично получаем график третьей частичной суммы, а затем – четвёртой (Рис. 2):

S4 x( ) ξ x( ) ξ x( ) sin x( )sin 3 x⋅( )

3

+sin 5 x⋅( )

5

+sin 7 x⋅( )

7

+:=

Рис. 2

MathCAD даёт возможность преподавателю в режиме реального времени задавать раз-личные количества слагаемых частичных сумм данного ряда: 10; 50; 100; 1000 и т. д.

Например, для 10 слагаемых график приобретёт вид, представленный на рис. 3.

Sn x( )

1

10

k

sin 2 k⋅ 1−( ) x⋅[ ]2 k⋅ 1−( )∑

=

:=

6 4 2 0 2 4 6

6

4

2

2

4

φ x( )

ψ x( )

6 4 2 0 2 4 6

4

2

2

4

φ x( )

ψ x( )

ξ x( )

112

Рис. 3.

Аналогично, для 100 слагаемых: (Рис. 4).

Sn x( )

1

100

k

sin 2 k⋅ 1−( ) x⋅[ ]2 k⋅ 1−( )∑

=

:=

Рис. 4.

Видим, что уже на рис. 4 графическим языком оказываются выражены свойства суммыданного ряда.

S x( )∞n

1

n

k

sin 2 k⋅ 1−( ) x⋅[ ]2 k⋅ 1−( )∑

=

lim→

:=

В отличие от частичных сумм данного ряда S(x) не является непрерывной при любомзначении аргумента.

Пример 2. Дан тригонометрический ряд

6 4 2 0 2 4 6

4

2

2

4

φ x( )

ψ x( )

ξ x( )

Sn x( )

6 4 2 0 2 4 6

4

2

2

4

φ x( )

ψ x( )

ξ x( )

Sn x( )

113

Построить графики четырёх первых частичных сумм этого ряда. Какой вид будет иметьграфик частичной суммы этого ряда при достаточно большом количестве слагаемых? Какимбудет график суммы этого ряда? Сравнить свойства суммы этого ряда со свойствами его час-тичных сумм.

Действуя аналогично тому, как показано в примере 1, преподаватель в реальном временидемонстрирует последовательность изображений, приведённую ниже на рисунках 5-8.

S1 x( ) φ x( ) φ x( ) sin x( ):=

S2 x( ) ψ x( ) ψ x( ) sin x( )sin 2x( )

2−:=

Рис. 5

S3 x( ) ξ x( ) ξ x( ) sin x( )sin 2 x⋅( )

2

−sin 3 x⋅( )

3

+:=

Рис. 6

S4 x( ) χ x( ) χ x( ) sin x( )sin 2 x⋅( )

2

−sin 3 x⋅( )

3

+sin 4 x⋅( )

4

−:=

6 4 2 0 2 4 6

4

2

2

4

φ x( )

ψ x( )

6 4 2 0 2 4 6

4

2

2

4

φ x( )

ψ x( )

ξ x( )

114

Рис. 7

Sn x( )

1

n

k

1−( )k 1− sin k x⋅( )k

⋅∑=

:=

Рис. 8

Обоснованное и методически грамотное использование преподавателем графического язы-ка на основе MathCAD в режиме реального времени даёт возможность студентам более осознан-но воспринимать понятия математического анализа, развивая математическую интуицию.

Литература:1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Ряды – М.: Наука, 1989. – С. 202-2062. Макаров Е. Г. Инженерные расчёты в Machcad. Учебный курс. – СПб.:Питер, 2005. – 448 с.

6 4 2 0 2 4 6

4

2

2

4

φ x( )

ψ x( )

ξ x( )

χ x( )

6 4 2 0 2 4 6

4

2

2

4

φ x( )

ψ x( )

ξ x( )

χ x( )

Sn x( )