МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Факультет радиоэлектроники летательных аппаратов Кафедра теоретической радиотехники

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

Лабораторная работа: «Исследование переходных процессов в

колебательном контуре»

2006

2

Цель работы. Анализ переходных процессов в колебательном контуре общего вида, сопоставление экспериментальных результатов с предвари-тельно рассчитанными параметрами, анализ влияния элементов колебатель-ного контура на характер переходного процесса.

1. Краткие теоретические сведения

Переходным называется процесс изменения токов и напряжений в цепи при ее переходе от одного установившегося режима к другому. Переходные процессы возникают в цепи при её коммутации (подключении цепи к источ-нику питания или отключении от него), при скачкообразном изменении на-пряжения (тока) источника или параметров элементов цепи. Характер пере-ходного процесса зависит от типа цепи, начальных условий и от анализируе-мой величины (ток или напряжение). Под начальными условиями понимают значения тока и напряжения на элементах схемы в момент времени непо-средственно перед коммутацией.

В данной работе исследуется переходной процесс в линейной цепи второго порядка под действием скачка источника напряжения e(t) или источ-ника тока i(t) от одной заданной величины до другой заданной величины, на-пример:

( )⎩⎨⎧

><

=+

−

.0,,0,

tEtE

te (1)

Переходной процесс представляет собой сумму собственной (свобод-ной) и вынужденной (установившейся) реакций:

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

>+<

= −

,0,,0,0

tststs

tsвынсоб

(2)

где s(t) – ток или напряжение между заданными узлами цепи. Собственная реакция высокодобротной резонансной цепи определяется

выражением:

( ) ( ) 0,arg2cose 0 >+⋅⋅= − tStfSts tсоб πα , (3)

где |S| и arg S представляют собой амплитуду и начальную фазу собственной реакции цепи, а параметры α и f0 называются показателем (декрементом) за-тухания и резонансной частотой контура соответственно.

3

КЗ⇒ ⇒ ХХ

t = 0– и t → ∞

L C

Рис. 1. Эквивалентные схемы реактивных элементов по постоянному току.

Высокодобротным считается контур, у которого выполняется условие 2π f0 >> α (обычно более чем в 5…10 раз). Резонансную частоту контура можно оценить по формуле:

CLf

⋅⋅=

π21

0 , [Гц]. (4)

Показатель затухания для последовательного (рис. 2 а) и параллельного (рис. 2 б) колебательных контуров определяются следующим образом:

Lr

посл 2=α , [рад/сек], RCпар 2

1=α , [рад/сек]. (5)

Для высокодобротного контура общего вида (рис. 2 в) можно прибли-жённо считать

RCLr

парпосл 21

2+=+≅ ααα . (6)

Для оценки независимых начальных условий (напряжения на ёмкости и тока через индуктивность) и вынужденной реакции цепи на заданное воздей-ствие необходимо ёмкость заменить на холостой ход (ХХ), а индуктивность – на короткое замыкание (КЗ) согласно рис. 1. Далее можно найти искомые ве-личины по эквивалентной схеме для значения тока или напряжения источни-ка до скачка или при t → ∞.

Для оценки зависимых начальных условий необходимо индуктивность и ёмкость заменить эквивалентными источниками тока или напряжения со-ответственно согласно рис. 3, а величину внешнего источника принять рав-ной заданному значению тока или напряжения источника после скачка.

r L

Ce(t)

а) последовательный

контур

R L Ci(t)

б) параллельный

контур

r

C

L

R e(t)

в) контур общего вида

Рис. 2. Типы колебательных контуров.

4

uC(0–) C uC(0–)

iL(0–)L iL(0–)

Рис. 3. Эквивалентные схемы реактивных элементов для t = 0+ .

После замены реактивных элементов искомые начальные условия и ус-тановившееся значение в колебательном контуре находятся путём расчёта цепи по постоянному току.

При анализе переходных процессов в линейных цепях необходимо помнить, что ток через индуктивность и напряжение на ёмкости являются переменными состояния цепи и не могут измениться скачком:

( ) ( ) ( ) ( )+−+− == 00,00 CCLL uuii . (7)

Пример графика переходного процесса в колебательном контуре для величины, не являющейся переменной состояния контура показан на рис. 4.

По графику переходного процесса можно определить следующие па-раметры колебательного контура:

Период собственных колебаний контура:

00 1 fT ≅ ; (8)

длительность переходного процесса:

α≅ 3.. прперT ; (9)

добротность колебательно контура:

0.. TTQ прпер≅ . (10)

s(t)

t

s(0–)

s(0+)

sвын

α1

| S | T0

α3.. ≈прперT

Рис. 4. Переходной процесс в колебательном контуре.

5

2. Порядок выполнения работы

1. Для схемы и параметров элементов колебательного контура, проана-лизированной в лабораторной работе «Исследование частотных характери-стик колебательного контура», рассчитайте резонансную частоту по формуле (4) и показатель затухания по формуле (6).

2. Нарисуйте эквивалентные схемы заданной цепи и определить иско-мую реакцию для трёх моментов времени:

а) t = 0– ; б) t = 0+ ; в) t = ∞. 3. Оцените амплитуду собственной реакции колебательного контура,

время переходного процесса и нарисуйте реакцию на заданном элементе ко-лебательного контура при скачкообразном изменении тока (напряжения) ис-точника. Согласуйте полученный график с преподавателем.

4. Запустите лабораторную работу, набрав в командном окне програм-мы Matlab

>> lab03 Выберете тип анализируемой цепи, искомую реакцию и задайте чис-

ленные значения элементов колебательного контура согласно своему вариан-ту.

Для получения переходного процесса нажмите кнопку «График пере-ходного процесса». Зарисуйте полученный график переходного процесса и сравните его с графиком, нарисованным в п. 3.

По графику переходного процесса в колебательном контуре определите резонансную частоту, добротность контура.

5. Измените параметры колебательного контура: ёмкость (нечётный номер варианта) или индуктивность (чётный номер варианта), зарисуйте графики переходных процессов колебательного контура и по полученным графикам рассчитайте значения резонансной частоты и добротности контура. Результаты занесите в таблицу 1.

Таблица 1 0,2⋅C (0,2⋅L) 0,5⋅C (0,5⋅L) C (L) 2⋅C (2⋅L) 5⋅C (5⋅L)

C, нФ (L, мГн)

f0 Q

6

6. Путём изменения параметров элементов колебательного контура до-бейтесь следующих характеристик цепи:

а) const0 =f , const=Q , ( ) 00 25,0' KK ⋅= … ;

б) const0 =K , const=Q , ( ) 00 25,0' ff ⋅= … ;

в) const0 =f , const0 =K , ( ) QQ ⋅= 55,0' … . Занесите в отчет промежуточные результаты подбора элементов на ка-

ждом шаге поиска. Запишите полученные значения параметров элементов колебательного контура, зарисуйте полученные графики переходных процес-сов.

7. Напишите комментарии и выводы по работе: В выводах необходимо отразить следующее:

− сравнить значения резонансной частоты и добротности колебательного контура, определённых по АЧХ и ФЧХ цепи и по графику переходного про-цесса;

− сравнить теоретический и экспериментальный графики переходного процесса в колебательном контуре;

− дать физическое объяснение (по схеме) поведения переходного процес-са в моменты времени t = 0– , t = 0+ и t = ∞;

− проанализировать зависимости резонансной частоты и добротности от величины параметра колебательно контура и физически объяснить поведение этих графиков;

− указать, за счёт каких элементов колебательного контура было получе-но необходимое изменение его характеристик и объяснить физически, поче-му именно эти элементы позволили получить желаемые результаты.

7

3. Варианты заданий

Параметры контура Вар. Схема Частотная характеристика Q f0, кГц С, нФ / L, мГн 1. 1 ( ) IUjK CCU =ω 6 10 С = 3 … 8

2. 1 ( ) IIjK CCI =ω 7 12 L = 0,5 … 0,54

3. 1 ( ) IUjK LLU =ω 8 14 С = 10 … 14

4. 1 ( ) IIjK LLI =ω 9 16 L = 0,6 … 0,64

5. 1 ( ) IUjK RRU 11 =ω 10 18 С = 20 … 24

6. 1 ( ) IIjK RRI 22 =ω 11 20 L = 0,7 … 0,74

7. 2 ( ) IUjK LLU =ω 6 22 С = 35 … 39

8. 2 ( ) IIjK LLI =ω 7 24 L = 0,8 … 0,84

9. 2 ( ) IUjK CCU =ω 8 26 С = 50 … 54

10. 2 ( ) IIjK CCI =ω 9 28 L = 0,9 … 0,94

11. 2 ( ) IUjK RRU 11 =ω 10 30 С = 70 … 74

12. 2 ( ) IIjK RRI 22 =ω 11 10 L = 0,55 … 0,59

13. 3 ( ) EIjK LLI =ω 6 12 С = 85 … 89

14. 3 ( ) EUjK LLU =ω 7 14 L = 0,65 … 0,69

15. 3 ( ) EIjK CCI =ω 8 16 С = 95 … 99

16. 3 ( ) EUjK CCU =ω 9 18 L = 0,75 … 0,79

17. 3 ( ) EIjK RRI 22 =ω 10 20 С = 60 … 64

18. 3 ( ) EUjK RRU 11 =ω 11 22 L = 0,85 … 0,89

19. 4 ( ) EIjK CCI =ω 6 24 С = 40 … 44

20. 4 ( ) EUjK CCU =ω 7 26 L = 0,95 … 0,99

21. 4 ( ) EIjK LLI =ω 8 28 С = 30 … 34

22. 4 ( ) EUjK LLU =ω 9 30 L = 1,0 … 1,2

23. 4 ( ) EIjK RRI 22 =ω 10 10 С = 25 … 29

24. 4 ( ) EUjK RRU 11 =ω 11 12 L = 1,3 … 1,5

25. 5 ( ) IUjK RRU 11 =ω 6 14 С = 105 … 109

8

Параметры контура Вар. Схема Частотная характеристикаQ f0, кГц С, нФ (L, мГн)

26. 5 ( ) IIjK RRI 11 =ω 7 16 L = 1,7 … 1,9

27. 5 ( ) IUjK LLU =ω 8 18 С = 112 … 115

28. 5 ( ) IIjK LLI =ω 9 20 L = 2,0 … 2,2

29. 5 ( ) IIjK CCI =ω 10 22 С = 119 … 122

30. 5 ( ) IUjK CCU =ω 11 10 L = 2,4 … 2,7

31. 5 ( ) IUjK RRU 22 =ω 12 12 С = 124 … 127

32. 5 ( ) IUjK RRU 33 =ω 13 14 L = 2,8 … 3,1

33. 6 ( ) EIjK RRI 11 =ω 6 16 С = 128 … 132

34. 6 ( ) EUjK RRU 11 =ω 7 18 L = 3,3 … 3,6

35. 6 ( ) EIjK CCI =ω 8 20 С = 135 … 139

36. 6 ( ) EUjK CCU =ω 9 22 L = 3,8 … 4,2

37. 6 ( ) EIjK LLI =ω 10 24 С = 141 … 144

38. 6 ( ) EUjK LLU =ω 11 26 L = 4,3 … 4,7

39. 6 ( ) EIjK RRI 22 =ω 12 28 С = 145 … 149

40. 6 ( ) EIjK RRI 33 =ω 13 30 L = 4,8 … 5,3

9

Типы схем Тип схемы Схема

1

i(t) R1 C

LiL(t)

uL(t)

uR1(t)R2 uC(t)

iR2(t) iC(t)

2

i(t) R1 LC

iC(t)uC(t)

uR1(t)R2 uL(t)

iR2(t) iL(t)

3 R1

C

L iL(t)

uL(t)uR1(t) R2uC(t)

iR2(t) iC(t)

e(t)

4 R1

L

C iC(t)

uC(t)uR1(t) R2 uL(t)

iR2(t) iL(t)

e(t)

5

i(t)

R2

C LR1u(t)

iL(t)uL(t)

uR2(t)

uC(t)iC(t)

R3 uR3(t)iR1(t)

6

R2

C

i(t)

uL(t)

R3 uC(t)

iR3(t) iC(t)

LiL(t)

iR2(t)

e(t)

R1uR1(t)