Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию

Российский государственный университет нефти и газа

им. И.М. Губкина

Кафедра физики http://physics.gubkin.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 155 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА γ=VP CC

ПО МЕТОДУ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Москва

3

Лабораторная работа № 155

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА

γ=VP CC ПО МЕТОДУ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА

I. Цель и содержание работы

Целью работы является изучение газовых законов. Содержание работы – определение отношения молярных те-

плоемкостей воздуха γ=VP CC .

II. Краткая теория работы

Всякий газ может находиться в различных состояниях, отли-чающихся параметрами состояния (давлением P , температурой T , объемом V , плотностью ρ и т.д.). Уравнение, устанавливающее связь между давлением, объемом и температурой, называют урав-нением состояния.

Для идеального газа уравнение состояния имеет вид:

RTMmPV = , (1)

где m – масса газа, M – масса одного моля, R – универсальная га-зовая постоянная.

Если при переходе некоторой массы газа из одного состояния в другое один из параметров остается постоянным, уравнение (1) имеет вид

const=PV ( const=T – изотермический процесс),

const=TV ( const=P – изобарический процесс),

const=TP ( const=V – изохорический процесс).

При высоких давлениях (порядка десятков атмосфер) реаль-ные газы не подчиняются уравнению (1), причины этого обуслов-лены наличием собственных размеров молекул и силами взаимо-действия между ними, что и должно быть учтено в соответствую-щих уравнениях.

4

Из уравнений, предложенных для реальных газов, наиболее простым является уравнение Ван-дер-Ваальса. Для одного моля га-за mV оно имеет вид:

( ) RTbVVaP mm

=−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2 , (2)

где P – внешнее давление, оказываемое на газ, 2mVa – внутреннее

давление газа, появляющееся из-за сил притяжения между молеку-лами, b – поправка, учитывающая часть объема, занятого молеку-лами газа. При уменьшении плотности свойства всех реальных га-зов приближаются к свойствам идеального газа и уравнение (2) пе-реходит в уравнение(1).

Запишем закон сохранения энергии (первое начало термоди-намики) dAdUdQ += (3) где dQ – количество тепла, подводимого к газу. Это тепло затра-чивается на работу газа PdVdA = и на изменение его внутренней энергии dU .

Количество тепла, которое нужно подвести к газу (веществу) или отнять от него для изменения его температуры на один градус, называется теплоемкостью газа (вещества).

Теплоемкость, отнесенная к единице массы вещества, называ-ется удельной теплоемкостью удc .

Теплоемкость, отнесенная к одному молю вещества, называ-ется молярной теплоемкостью C .

Удельная и молярная теплоемкости связаны выражением

MCc =уд . (4)

Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происхо-дит нагревание тела.

Пусть один моль газа нагревается при постоянном давлении ( const=P , изобарический процесс). В этом случае получаемое га-зом тепло идет на увеличение его внутренней энергии и на совер-шение газом работы.

dTdA

dTdU

dTdQC

PP +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=const

(5)

5

Если один моль газа нагревается при постоянном объеме, то для нагревания его на один градус требуется меньшее количество тепла, так как работа газом не совершается, 0== PdVdA .

dTdU

dTdQC

VV =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=const

(6)

Найдем связь между PC и VC . Для этого продифференцируем

уравнение (1) и найдем dTdA для изобарического процесса.

RdTMmVdPPdV =+ (7)

Учтем, что 0=VdP , тогда для одного моля газа dARdTPdV == .

RdTdA

= (8)

Подставив (6) и (8) в (5), получим для молярных теплоемкостей RCC VP += (9)

Отношение γ=VP CC (γ – показатель адиабаты) зависит только от числа степеней свободы i молекулы газа.

Число степеней свободы определяется числом атомов в моле-куле и характером связи между ними. Для одноатомного газа 3=i , для двухатомного газа с жесткой связью 5=i (с упругой связью

7=i ), для трех и более атомов (нелинейная молекула, жесткая связь) 6=i .

На каждую степень свободы молекулы (согласно закону рав-нораспределения энергии по степеням свободы) приходится энер-

гия, равная 2

kT . (Здесь k – постоянная Больцмана.)

Внутреннюю энергию одного моля идеального газа можно найти по формуле

2

iRTU = , (10)

где АkNR = , АN – число Авогадро. Продифференцируем выражение (10) по температуре и под-

ставим в выражение (6). Тогда получим для молярной теплоемко-сти при изохорическом процессе

2

iRCV = (11)

6

Согласно (9) RiRRCC VP +=+=2

.

Отсюда найдем отношение V

P

CC

i

iCC

V

P 2+==γ (12)

Формула (12) справедлива и для отношения удельных теплоемко-стей.

Величина γ входит в уравнение Пуассона const=γPV , (13) описывающего адиабатический процесс в газах.

Адиабатическим процессом называется процесс, протекаю-щий без теплообмена с окружающей средой. Если процесс протека-ет достаточно быстро (например, при быстром расширении или сжатии газа), то его можно считать практически адиабатическим и при отсутствии тепловой изоляции.

Закон Пуассона (13) может быть представлен также через па-раметры PT и TV . Для этого используют уравнение Менделеева – Клапейрона (1).

Так, например, выразив V из (1), и, подставив в (13), получим const1 =γγ− TP . (14)

Выразив P из (1) и, подставив в (13), получим const1 =−γTV . (15) Первое начало термодинамики для адиабатического процесса ( 0=dQ ) принимает вид dTCdUdA V−=−= (16)

Из выражения (16) видно, что адиабатическое расширение со-провождается понижением температуры, а адиабатическое сжа-тие – повышением температуры.

III. Описание установки и метода выполнения работы

Установка смонтирована в комплекс. Все элементы установки представлены на рис. 1.

7

Основной элемент установки – стеклянный баллон (объемом л25,3=V ) расположен за передней панелью. В целях безопасности

на баллон в рабочем состоянии надет мешок из плотной ткани.

Рис. 1 Блок-схема установки

Посредством крана К1 стеклянный баллон может быть соеди-нен с насосом (в данной работе это груша-помпа, при помощи ко-торой в баллон накачивается воздух) или, наоборот, отсоединен от него.

Кран К2 соединяет (или перекрывает) стеклянный баллон с другим сосудом (известного или неизвестного объема). В нашей работе он должен быть закрыт.

Стеклянный баллон снабжен краном К3, рукоятка которого выведена на переднюю панель прибора (внизу). Кран К3 соединяет баллон с атмосферой и позволяет быстро сбрасывать давление газа в нем. При повороте рукоятки из положения “открыт” в положение “закрыт” (или обратно) срабатывает микропереключатель, подклю-

В атмосферу

Часы-таймер

Верхний бачок

Ш5

К3К насосу

Ш1 Осушитель К1 Баллон К нижнему бачку

Ш3

К объему V2

Нижний бачок

Ш4 К2

Ш2

8

ченный к секундомеру. Результатом является измерение времени открытого или закрытого состояния крана.

За передней панелью установлен осушитель (стеклянный бал-лончик с силикагелем).

Дифференциальный водяной манометр состоит из нижнего и верхнего бачков, соединенных прозрачной трубкой. Вблизи трубки расположена линейка, по которой отсчитывается уровень жидкос-ти.

Необходимо учесть, что манометр измеряет давление в мил-лиметрах (мм) водяного столба. 1 мм водяного столба соответству-ет, примерно, 10 Па.

Исследуемый газ подается в стеклянный баллон при помощи груши-помпы (насоса) через штуцер Ш1. При этом происходит удаление осушителем влаги из газа.

Чтобы измерить давление в баллоне, штуцер Ш3 шлангом со-единяют со штуцером Ш4. Если штуцер Ш5 открыт в атмосферу (как в данной работе), манометр измеряет превышение давления в резервуаре над атмосферным. (Если штуцер Ш5 соединен с другим резервуаром, то манометр измеряет разность давлений в них.)

Штуцер Ш2 служит для подключения другого резервуара. (В данной работе не используется.)

Жидкость (вода) заливается лаборантом в нижний бачок через штуцер Ш4 с помощью резиновой груши со шлангом так, чтобы начальный уровень жидкости находился напротив нулевого деле-ния шкалы линейки. (В противном случае, надо обратиться к лабо-ранту.) Верхний бачок служит предохранителем: он принимает в себя воду при случайном превышении предельного значения дав-ления в нижнем бачке.

Часы-таймер предназначены для измерения времени с точно-стью 0,01с. Кнопка MODE – выбор режима работы. В режиме “се-кундомер” мигает надпись в верхней части дисплея. Кнопка DATE/UP в режиме “секундомер” поочередно запускает и останав-ливает отсчет времени. Кнопка ALT/SET, нажатая при остановлен-ном отсчете времени, сбрасывает (обнуляет) отсчет и показания дисплея. Кнопка ALT/SET, нажатая в процессе отсчета времени, фиксирует показания дисплея, но не останавливает отсчета време-ни.

9

(Дроссели ДР 1 и ДР 2 предназначены для изучения видов те-чения газа в трубе и измерения вязкости воздуха. В данной работе не используются.)

Упражнение. Определение отношения γ=VP CC

методом Клемана-Дезорма

Пусть мы имеем баллон с газом, находящийся при атмосфер-ном давлении 0P и комнатной температуре 0T . (Кран К3 открыт.)

Закроем кран К3 и накачаем в баллон воздух до некоторого давления 1P . Через некоторое время (1-2 мин.) вследствие теплооб-мена с окружающей средой температура в баллоне станет комнат-ной 0T . По водяному манометру устанавливается разность давлений

101 hPP =− , где 1h – высота столбика жидкости. Единица массы газа при этом занимает объем 1V . Это состояние соответствует точке 1 (см. рис.2). Параметры данного состояния 101 ,, VTP .

Откроем на короткое время (до 2 с) кран К3, соединяющий баллон с атмосферой. При этом воздух, находящийся в баллоне, быстро (адиабатически) расширится и вследствие этого охладится до температуры 1T , а давление будет равно атмосферному 0P . Еди-ница массы газа займет объем 2V . Это состояние соответствует точке 2 (см.рис.2). Параметры данного состояния 201 ,, VPT .

Рис. 2. Графики процессов: 1 – 2 – адиабата, 2 – 3 – изохора.

Как только кран оказывается закрытым, температура (вследст-вие теплообмена) начинает повышаться до комнатной 0T и (так как

P1

P2

P0

P

V

T0

T1

V2

1

3

2

V1

T0

10

процесс изохорический) давление также повышается до 2P . При этом по водяному манометру устанавливается разность давлений

202 hPP =− , где 2h – высота столбика жидкости. Это состояние со-ответствует точке 3 (см.рис.2). Параметры данного состояния

,2P 20 ,VT . Получим расчетную формулу для γ в нашей работе. Переход из состояния 1 в состояние 2 описывается уравнени-

ем Пуассона. Для состояний 1 и 2 запишем уравнение адиабатиче-ского процесса (см. 14). γγ−γγ− = 1

100

11 TPTP или ( ) ( ) 1

0110−γγ = PPTT (18)

Переход из состояния 2 в состояние 3 – изохорический. По-этому параметры состояний 2 и 3 связаны следующим соотношени-ем 0210 PPTT = . (19)

Возведем уравнение (19) в степень γ, получим: γγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

2

1

0

PP

TT

Приравняем правую часть последнего уравнения к правой части уравнения (18):

1

0

1

0

2

−γγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛PP

PP (20)

Подставим в (20) ,101 hPP += и 202 hPP += , где 1h – давление, превышающее атмосферное в состоянии 1, и 2h – давление, превы-шающее атмосферное в состоянии 2.

1

0

1

0

2 11−γγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ph

Ph (21)

Так как 1h и 2h намного меньше 0P , то, разложив в ряд обе части уравнения (21), будем иметь:

( )0

1

0

2 111Ph

Ph

−γ+=γ+ или ( ) 12 1 hh −γ=γ .

Откуда и получим расчетную формулу для γ:

)( 21

1

hhh−

=γ (22)

11

IV. Порядок выполнения работы 1. Убедитесь, что штуцеры Ш3 и Ш4 соединены шлангом (при этом стеклянный баллон соединен с манометром), а груша-помпа при-соединена к крану К1. Убедитесь, что кран К1 открыт, а краны К2 и К3 закрыты (при этом стеклянный баллон не соединяется с атмо-сферой.) 2. Осторожно накачайте в баллон воздух до давления 180 – 200 мм водяного столба. Закройте кран К1.. Подождите 1 – 2 минуты до ус-тановления комнатной температуры 0T воздуха в баллоне. 3. Определите показание манометра 1h и запишите его значение в таблицу. 4. Включите часы в режим “секундомер”, обнулите их показания, нажав сначала DATE/UP, а затем ALT/SET. 5. На короткое время (до 1 – 2 с) откройте кран К3, повернув руко-ятку крана по часовой стрелке до упора, а затем закройте, повернув назад. (Время открытого состояния крана автоматически покажет таймер.) В этом случае газ адиабатическим путем из состояния 1 переходит в состояние 2 (см. рис.2).

Таблица

№ измерения. 1h , мм 2h , мм 21 hh − , мм γ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6. Подождите 1 – 2 минуты, пока не установится комнатная темпе-ратура (изохорный процесс). Определите по манометру избыточное давление 2h , установившееся в результате этого процесса, и запи-шите его значение в таблицу.

12

7. Чтобы привести газ в начальное состояние, откройте кран К3, со-единяющий баллон с атмосферой, и подождите до опускания жид-кости в начальное положение. 8. Откройте кран К1, закройте кран К3. Убедитесь, что кран К2 за-крыт. 9. Повторите пункты 2 – 7 еще девять раз, записывая полученные данные в таблицу.

V. Обработка результатов измерений 1. Исходя из полученных данных, подсчитайте по формуле (22) ве-личину γ. Данные запишите в таблицу. 2. Оцените абсолютную погрешность величины γ. Вычисления слу-чайной погрешности серии измерений проводить, как для прямых

измерений: )1(

)(2

−γΔ∑

=γΔ α nnnt i , где )(ntα – коэффициент Стью-

дента, n – число измерений. Необходимо, также, учесть приборную погрешность δ= 0,02 , которую надо прибавить к случайной. 3. .Окончательный результат представьте в виде

∑γΔ±γ=γ ,

где γδγγ ⋅+Δ=Δ ∑ .

VI. Контрольные вопросы

1. Напишите уравнение состояния для идеального газа. Каков физи-ческий смысл универсальной газовой постоянной R?

2. .Какой процесс называется изохорическим? изотермическим? изо-барическим? адиабатическим? Нарисуйте в координатах PV гра-фики этих процессов.

3. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его для всех изопроцессов. Как меняется температура газа при адиабатиче-ском процессе?

13

4. Дайте определение удельной и молярной теплоемкостей газа. По-лучите соотношение между теплоемкостями при постоянном дав-лении и постоянном объеме.

5. Что называется числом степеней свободы молекулы? Получите формулу для γ через число степеней свободы молекулы. Каково численное значение γ для одно-, двух- и многоатомного газов?

6. Расскажите о методе определения γ в данной работе? 7. Напишите уравнение состояния для реального газа. Поясните фи-зический смысл поправок в нем.

8. Как определяется погрешность серии измерений γ в данной рабо-те?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики Т.1 - М. Наука, 1977. 2. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М. Наука, 1978.