ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. Лекція...
TRANSCRIPT
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Цель изучения математики в общеобразовательной школе - развитие логического мышления: умение выдвигать гипотезы, доказывать истинность или ложность утверждений.
Другие цели и одновременно способы достижения основной цели:
1) Знакомство с математическими объектами (структурами);2) Изучение свойств этих объектов;3) Использование этих свойств для решения задач в отношении этих объектов (математические задачи);4) Использование этих объектов как моделей для решения прикладных задач;5) Знакомство с методами решения стандартных и нестандартных задач;6) Практика решения стандартных и нестандартных задач.
Этапы подбора метода решения задачи:
1) Анализ особенностей постановки задачи для оценки, является ли задача стандартной;
2) Если задача стандартная, использовать соответствующий алгоритм решения;3) Если задача нестандартная, оценить, является ли задача типичной (тип задачи
определяется её объектом и требованием);4) Если задача типичная, попробовать использовать соответствующие методы
решения задач такого типа;5) Если задача нетипичная, попробовать использовать методы решения задач,
имеющих аналогичные особенности.
Формы умозаключений: дедукция, индукция, аналогия
Дедукция - последовательное получение утверждений-следствий из уже известных истинных утверждений путем умозаключений по законам логики.Процесс решения любой математической задачи записывается в виде последовательности утверждений.Именно поэтому математика является дедуктивной наукой.Многие задачи решаются только дедуктивными соображениями.
Пример дедуктивного умозаключения
1. Щоб знайти жінку , потрібні час та гроші, отже:Woman = Time x Money.
2. «Час – це гроші», отже:Time = Money.
3. Таким чином:Woman = Money x Money,
Woman = Money2.
4. «Гроші – корінь усіх проблем», отже:
Money = Problems.
5. Таким чином:Woman = Problems.
Запись дедуктивных умозаключений фиксирует, как решена задача.
Но для обучения математическому мышлению (и мышлению вообще) важно то, почему выбран именно такой метод решения, то есть какие свойства имеет задача такие, что именно этот метод позволил ее решить.
Метод: решение от начала до конца (от условия задачи к ее решению).Типы задач: традиционный путь решения нематематических задач методом математического моделирования: составление системы уравнений, каждое из которых моделирует одну из частей условия задачи и решения этой системы.
Метод: решение от конца к началу.
Тип задачи: последовательность операций, при которой первая операция применяется к неизвестному, а каждая следующая - к результату предыдущей операции.Решение получается в результате выполнения последовательности обратных операций, начиная с результата конечной операции и заканчивая искомыми значениями неизвестного.
Примеры: 1) уравнение соответствующей структур, 2 ) последовательная уценка товара (от начала до конца или от конца к началу).
Метод: сближение начала и конца (т.е. условия задачи и ее решения).
Тип задачи: геометрические задачи на построение (предполагаем, что задача решена, чертим искомую фигуру и изучаем ее , пытаясь найти зависимости между ее элементами).
Метод: сведение решения исходной нестандартной задачи к решению нескольких стандартных задач.
Частный случай: когда решение нестандартной задачи сводится к решению одной стандартной задачи и при переходе к ней нет промежуточных задач.
Пример: решение любых тригонометрических уравнений сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.
Метод: разбиение условия задачи на части и создание для каждой из них собственной математической модели (геометрическая фигура или уравнения), тогда решение исходной задачи определяется либо как пересечение таких фигур (метод геометрических мест), или как решение системы таких уравнений (метод составления системы уравнений).
Типы задач: один из главных математических методов решения задач как математических , так и нематематических.Яркий пример последовательного применения анализа (разбиение) и синтеза (пересечение геометрических мест или решение системы).
Метод: введение вспомогательного элемента. Цель:
1) установить связи между элементами объекта задачи, 2 ) свести задачу к подзадачам.
Примеры : 1) замена переменной, 2) проведение линий, плоскостей и т.д.
Индукция - от частного к общему.
• выделение базового частного случая и использование его для решения исходной задачи,
Пример: решение квадратного уравнения в общем виде, на базе простейшего частного случая:x2 = u, (u > 0) → (x+d)2 = u, (d – const) ↔ x2 + 2dx +d2 = u → x2 +px + q = 0
• суперпозиция (линейная комбинация) отдельных решений исходной задачи для получения ее общего решения.
Примеры: суперпозиция частных решений в задачах планиметрии.
• переход к рассмотрению задачи при граничных значениях одного или нескольких параметров из условия задачи и использования результатов анализа полученных отдельных задач для решения исходной задачи.
Метод математической индукции
Метод индуктивный по форме и дедуктивный по сути, как и каждый
математический метод доказательства.
Тип задачи: доказать справедливость бесконечной последовательности
утверждений, которые отличаются друг от друга только значением натурального
параметра.
Хотя тип задачи только один, но соответствующих утверждений много, поэтому
метод широко применяется.
Сравнение - применяется для установления сходства объектов (путем сопоставления) и их различия (путем противопоставления).
Сравнение – основа анализа, применяется для установления сходства объектов (путем сопоставления) и их различия (путем противопоставления ) .
Суть основных объектов алгебры – уравнений и неравенств – заключается в сравнении
величин в левой и правой частях.
Метод: сравнение двух объектов через третий.
Примеры:
1) а=b, c=b → а=c;
2) а||b, c||b → а||c;
3) y=f(x), y=g(x) → f(x)=g(x).
4) если прямые а и b параллельны одной плоскости, то они перпендикулярны между
собой;
5) если прямая а перпендикулярна плоскости S, а прямая b параллельна прямой а, то
прямая b перпендикулярна плоскости S.
Важный частный случай: когда третий элемент b принадлежит общей части множеств, к
которым относятся элементы a и c.
Пример: в стереометрии элементы, лежащие в разных плоскостях, связываются между
собой через отрезок, принадлежащий прямой пересечения этих плоскостей.
Метод:
1) вычисление величини А двумя способами,
2) сравнение полученных величин А1, А2 и использование результатов сравнения.
Варианты использования результатов сравнения:1) уравнение А1 = А2 может помочь в решении задачи;2) неравенство А1 ≠ А2 может привести к противоречию;3) сравнение через третью величину a:когда А1> a, А2 <a, имеем противоречие,когда А1 ≥ a, А2 ≤ a, получаем уравнение А1 = А2.
Переформулирование задачи - переход к задаче, которая имеет тот же решение, но другую форму представления.Решение является инвариантом операции переформулировки.
1) переформулирование том же языке:Примеры : 1) переход от уравнения к равносильному, 2) изменение формы представления отдельных элементов задачи (2 = 1 +1, 1 = a : a; 0 = 2 – 2, умножение и деление на одно и то же выражение, разложение на множители, приведение подобных, представление произведения в виде суммы и т.д.);
2) переход с одного языка на другой:Типы задач:1) для решения прикладных задач - метод математического моделирования, 2) для решения математических задач: переход от алгебраического языка к
геометрическому, переход от геометрического языка к алгебраическому.
Метод: группировка элементов постановки задачи и обработка этих групп. Это может помочь решить задачу или свести ее к подзадачам.Примеры: решение уравнений и неравенств.
Аналогия
Формы аналогии при решении задач:
подобиеПример: при решении геометрических задач на построение - предварительное построение фигуры, подобной искомой;
родственная задача как основа для решения исходной.Примеры родственных задач:
1) задача с граничными значениями некоторых параметров исходной задачи (частный случай),
2) вспомогательная фигура при решении геометрических задач на построение,
3) подобная фигура как один из видов родственной фигуры,
4) задача, в постановке которой изменены одно или несколько условий.
Пример: к реке набрать воды: родственная задача, когда дома находятся по разные стороны реки;
изоморфизм (полная аналогия).
Доказательство или опровержение утверждения
Метод: сведение к противоречию.
Это сведение проводится таким образом, чтобы полученное противоречие решало
задачу.
Тип задачи: доказательство утверждения.
Метод: доказательство от противного.
Может рассматриваться как частный случай метода сведения к противоречию.
Тип задачи: доказательство утверждения.
Метод: контрпример.
Тип задачи: опровержение общего утверждения.
Инвариант
• Метод: тождественное преобразование выражений. При этом изменяется форма выражения, а его числовое значение не меняется, то есть оно является инвариантным относительно этого преобразования.Пример: переход от данного уравнения к равносильному.
• Метод: нахождение и использование инварианта последовательности операций.
Типы задач: 1) дана последовательность операций, в частности, преобразований объекта, надо вычислить или оценить результат этой последовательности (метод: найти инвариант последовательности операций, который помогает ответить на вопрос задачи);Пример: последовательное разрывание куска бумаги на 5 частей
2) вычислить или оценить объект (метод: найти такое преобразование объекта, при котором искомая величина является инвариантом и в преобразованном объекте она может быть вычислена).
Пример : 1) паук и муха, 2) за водой к реке.
Примеры инвариантов: четность (нечетность) , длина линии, плоскость, периодичность (чередование ), признаки делимости, остатка от деления, раскраска и т.д.
Ассорти методов
• Метод: перебор всех вариантов.Варианты, по определению, изолированные друг от друга.
• Метод: подбор одного или нескольких решений задачи и переход к задаче нахождения других решений, или доказательство того, что других нет.
• Метод последовательных приближений: пошаговое приближение ко всему результату.Примеры: метод половинного деления, метод касательных, метод секущих для приближенного вычисления изолированного корня функции;
• Метод: сужение области поиска решения: 1) разделение области поиска пополам, когда нет критерия для большего сужения (т.е. метод половинного деления) 2) другие способы сужения области поиска.
• Метод: рекурсия.
• Метод: поиск решения в форме с неопределенными элементами (параметрами, функциями).
• Метод : переход к более общей задаче1 ) путем замены числового значения параметра буквенным.
Принцип Дирихле
Тригонометрические уравнения. Основные методы решений
Тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений. Решение
тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки).
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах. П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0, преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1. Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0, sin x · cos x – sin 2 x = 0, sin x · ( cos x – sin x ) = 0,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
Р е ш е н и е. cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x, 2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x, cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 , cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1) cos 4x = 0 , 2) sin 3x = 0 , 3) sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos (или sin) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan. П р и м е р. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , корни этого уравнения: y1 = 1, y2 = 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере: П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =
= 7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2),
2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0,
tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0,
. . . . . . . . . .
5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида: a sin x + b cos x = c , где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р. Решить уравнение: 2 sin 2x · sin 6x = cos 4x. Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть в сумму: cos 4x – cos 8x = cos 4x , cos 8x = 0, 8x = / 2 + k, x = / 16 + k / 8. 7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3.
Таким образом, решение даёт только первый случай.
2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители
или
или решений нет
Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.
Решением уравнения является:
Ответ:
3. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
Пусть , тогда
или
Т.к.
при , то корней нет.
Ответ:
4. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение
или
Ответ: ;
5. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
а) Найдем область определения функции.
Областью определения данного уравнения является:
б) Решим данное уравнение.
Ответ:
6. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени
Пусть , тогда
или
Т.к.
при , то корней нет.
Ответ:
7. Решение тригонометрических уравнений как однородное
Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.
, где
- действительные числа. - показатель однородности.
Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому
тождеству, значит . Разделим обе части на , получим
Ответ:
8. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента
Т. к. , то корни есть.
Разделим обе части уравнения на , получим
Т. к. и , то существует такой угол , что , а , тогда получим
Ответ:
Теория.
1) если , то уравнение однородное.
2) если и (то есть хотя бы одно из чисел или не равно 0), то разделим
обе части уравнения на , получим
Т. к. и , то существует такой
угол , что , тогда
а) если, т. е. , то корней нет.
в) если, т. е. , тогда
Т. к. , то корней нет.
9. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки
(1)
(2)
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит
необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.
Проверка.
Если , тогда
- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.
Ответ:
10. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного
Уравнение вида решается следующей заменой
, , ,
Способ I
Пусть , , , , получим
или
(3)
Разделим на , получим
Т. к. , при , то корней нет.
Ответ:
Теория.
, при
Доказательство:
Шесть способов решения уравнения (3).
1. применение формулы .
2. через .
3. привести к однородному уравнению второй степени.
4. способ введения вспомогательного аргумента.
5. с помощью неравенства , при .
6. метод оценки левой и правой частей уравнения.
Способ II
или
Разделим на , получим
Т. к. , при , то корней нет.
Ответ:
11. Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок)
12. Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала
Пример №1
Решим уравнение 2.
или
Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.
Ответ: ,
Пример №2
Решим уравнение 2.
Решим квадратное уравнение относительно .
и то корней нет.
Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.
Ответ:
I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям
Схема решения
Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.
Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1)n arcsin a + πn, n Є Z.
tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Шаг 3. Найти неизвестную переменную.
Пример.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Решение.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Замена переменной
Схема решения
Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.
Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).
Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
Шаг 4. Сделать обратную замену.
Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
Пример.
2cos2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Решение.
1) 2(1 – sin2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.
3) 2t2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Метод понижения порядка уравнения
Схема решения
Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:
sin2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.
Пример.
cos 2x + cos2 x = 5/4.
Решение.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 · cos 2x = 3/4;
cos 2x = 1/2;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Однородные уравнения
Схема решения
Шаг 1. Привести данное уравнение к виду
a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)
или к виду
б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
Шаг 2. Разделить обе части уравнения на
а) cos x ≠ 0;
б) cos2 x ≠ 0;
и получить уравнение относительно tg x:
а) a tg x + b = 0;
б) a tg2 x + b arctg x + c = 0.
Шаг 3. Решить уравнение известными способами.
Пример.
5sin2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.
Решение.
1) 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0;
5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0;
sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0/cos2 x ≠ 0.
2) tg2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Пусть tg x = t, тогда
t2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 или t = -4, значит
tg x = 1 или tg x = -4.
Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул
Схема решения
Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.
Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.
Пример.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Решение.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;
Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.
Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень важными, их развитие требует значительных усилий, как со стороны ученика, так и со стороны учителя.
С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении
элементов тригонометрии.
Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом.
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.
2. Решение уравнений методом разложения на множители.
3. Решение однородных уравнений.
4. Введение вспомогательного аргумента.
Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции.
2. Решение уравнений методом разложения на множители.
3. Решение однородных уравнений.
Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:
соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 ).
При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на cos 2 x для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.
Запомним это уравнение: при рассмотрении следующего метода – введение вспомогательного аргумента, решим его другим способом.
4. Введение вспомогательного аргумента.
Рассмотрим уже решенное предыдущим методом уравнение:
Как видим, получается тот же результат.
Рассмотрим еще один пример:
В рассмотренных примерах было, в общем, понятно, на что требуется разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент. Но может случиться, что не очевидно, какой делитель выбрать. Для этого существует специальная методика, которую мы сейчас и рассмотрим в общем виде. Пусть дано уравнение:
Разделим уравнение на квадратный корень из выражения (3), получим:
asinx + bcosx = c,
тогда a 2 + b 2 = 1 и, следовательно, a = sinx и b = cosx . Используя формулу косинуса разности, получим простейшее тригонометрическое уравнение:
которое легко решается.
Решим еще одно уравнение:
Сведем уравнение к одному аргументу – 2 x с помощью формул двойного угла и понижения степени:
Аналогично предыдущим уравнениям, используя формулу синуса суммы, получаем:
что тоже легко решается.
Решите самостоятельно, определив предварительно метод решения:
Введение вспомогательного аргумента
Метод основан на преобразовании выражения , где a и b – постоянные, не обращающиеся в нуль одновременно.
Введем угол , положив
.
Тогда:
где находится из уравнения .
Пример . Решить уравнение .
Решение. Так как , то и уже являются соответственно
косинусом и синусом определенного угла; ясно, что этот угол . Таким образом, получаем
.
Решая это уравнение, имеем .
Ответ: .
Уравнение, рассмотренное в последнем примере, имеет вид . Однако решить такие уравнения можно и другими методами.
Метод рационализации для уравнения вида
Известно, что если , то выражаются рационально
через .
Вводим вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно вспомогательного неизвестного.
Данное уравнение можно переписать в виде
.
Положим , тогда получим
.
Решим данное уравнение и получим следующие ответы
1. если , то у уравнения нет корней;
2. если , то ;
3. если , то .
Пример. Решить уравнение .
Решение. - уравнение имеет решение.
.
1) ;
2) .
Ответ: .
Приведение к однородному для уравнения вида
Данное уравнение перепишем в виде
,
т.е. имеем однородное уравнение
.