第第 77 章 位移法章 位移法

§7-1 位移法概述§7-2 位移法未知量的确定§7-3 杆端力与杆端位移的关系§7-4 利用平衡条件建立位移法方程§7-5 位移法举例§7-6 基本体系和典型方程法§7-7 对称性的利用§7-8 其它各种情况的处理

主 要 内 容主 要 内 容

§7-1§7-1 位移法概述位移法概述 ● 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。

分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种： 以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。第二种： 以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。

结构 在外因作用下 产生 内力变形 内力与变形间存在关系

§7-1§7-1 位移法概述位移法概述 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。● 位移法是以力法作为基础的。

下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。 结点位移与杆端位移分析

BD伸长：DA伸长： 22

DC伸长： 22

杆端位移分

析

由材料力学可知：NDB

EAFL

222NDA NDC

EAF FL

杆端力与杆端位移的关系

D 结点有一向下的位移 △FP

A B C

D

45o 45o

§7-1§7-1 位移法概述位移法概述 0

2 22 2

(2 2)2

NDB NDC NDA P

P

Y

F F F F

EA FL

建立力的平衡方程

由方程解得： 2(2 2)

PLEA

位移法方程

把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：2

2 2 2 2P

NDB NDA NDCF PF F F

由结点平衡： NDC

NDBNDA

Fp

D

§7-1§7-1 位移法概述位移法概述

③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程；

⑤ 结点位移回代，得到杆端力。

总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式；

④ 解方程，得到结点位移；

§7-2§7-2 位移法未知量的确定位移法未知量的确定 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。● 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 （初学时）。 ● 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 ● 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的 EA=∞ 。

只有一个刚结点 B ，由于忽略轴向变形， B 结点只有 B

B

只有一个刚结点 B ，由于忽略轴向变形及 C结点的约束形式， B 结点有一个转角和水平位移 B BH

A

B C

A

B C例 1 ： 例 2 ：

§7-2§7-2 位移法未知量的确定位移法未知量的确定

A

B C

D

例 3 ：

有两个刚结点 E 、 F 、 D 、 C ，由于忽略轴向变形， E 、 F 、 D 、 C 点的竖向位移为零， E 、 F 点及 D 、 C 点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：E F C D EF CD

A

D C

B

E F例 4 ：

有两个刚结点 B 、 C ，由于忽略轴向变形， B 、 C 点的竖向位移为零， B 、 C点的水平位移相等，因此该结构的未知量为： B C BC

§7-2§7-2 位移法未知量的确定位移法未知量的确定 有两个刚结点 B 、 C ，由于忽略轴向变形及 B 、 C 点的约束， B 、 C 点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未知量为： B C

桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为： .AH AV BH BV DH

刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。结论：

A B C D

例 5 ：

A B

CD

例 6 ：

排架结构，有两个铰结点 A 、 B ，由于忽略轴向变形， A 、 B 两点的竖向位移为零， A 、 B 两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为： AB

EA=∞A B

C D

§7-2§7-2 位移法未知量的确定位移法未知量的确定

两跨排架结构，有四个结点A 、 B 、 C 、 D ，同理 A 与 B 点、 D 与C 点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但 D 结点有一转角，因此该结构的未知量为： AB DC D

例 7 ：

EA=∞A B

C D

E F G

例 8 ：

§7-2§7-2 位移法未知量的确定位移法未知量的确定

C D E CH DV 该题的未知量为

对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。

A B

C

D

E

A B

C

D

E

例 9 ：

§7-2§7-2 位移法未知量的确定位移法未知量的确定

分析方法： 该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移的分析方法：假设 B 结点向左有一个水平位移△， BC杆平移至 B’C’ ，然后它绕 B’ 转至 D 点。

结论：该题有两个未知量：其中 BA杆的线位移为：△BC杆的线位移为：

Sin

B

△例 10 ： B’

C’

A

B

C D

刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。§7-3§7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系

B刚结点 B 处：两杆杆端都发生了角位移 ； 杆长为： L未知量为： B

q

A

BCEI

EI

q

B CEI

B

B

对于 BC 杆：其变形及受力情况与：一根一端固定一端铰结的单跨超静定梁，在均布荷载 q以及在固定端 B 处有一角位移 作用下的情况相同，其杆端力可以用力法求解。 BC 杆

B 对于 BA 杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超静定梁，在 B 端发生了角位移 的结果 , 其杆端力也可以用力法求解。

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系

结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。

B

B

ABA 杆

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系

弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。

为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。

正弯矩：对杆端是顺时针转的，对结点是逆时针转的。 下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系1 、两端固定单元，在 A 端 发生一个顺时针的转角 。A

4 4

2 2

AB A A

BA A A

EIM iLEIM iL

由力法求得：

2 、两端固定单元，在 B 端 发生一个顺时针的转角 。B

由力法求得： 4 4

2 2

BA B B

AB B B

EIM iLEIM iL

A BEI,LMAB MBA

A

A BEI,LMAB MBA

B

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系3 、两端固定单元，在 B 端 发生一个向下的位移 。

由力法求得： 2

2

6 6

6 6

AB

BA

EI iML LEI iML L

4 、一端固定一端铰结单元，在 A 端 发生一个顺时针的转角 。A

由力法求得： 3 3

0

AB B B

BA

EIM iL

M

△

A B

EI,LMAB

MBA

A BEI,LMAB

A

MBA

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系

由力法求得： 2

3 3

0

AB

BA

EI iML L

M

6 、一端固定一端滑动单元，在 A 端 发生一个顺时针的转角 。A

由力法求得： AB A B

BA A A

EIM iLEIM iL

5 、一端固定一端铰结单元，在 B 端 发生一个向下的位移 。

MAB

A BEI,LMBA

△

MAB MBA

A BEI,L

A

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系

由材力可知： NAB

NBA

EAFLEAFL

由力法求得：

7 、两端铰结单元，在 A 端 发生一个轴向位移 。

8 、两端铰结单元，在 B 端 发生一个轴向位移△。

NAB

NBA

EAFL

EAFL

△

EA,LA B

EAL △EA

L △

△

EA,LA B

EAL △ EA

L △

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系 ● 前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。 ● 前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采用叠加原理进行。

两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：4 2 6

4 2 6

FAB A B AB

FBA B A BA

M i i i ML

M i i i ML

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系 一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：

3 3

0

FAB A AB

BA

M i i ML

M

一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：F

AB A AB

FBA A BA

M i M

M i M

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系 利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。

例：

B4 2BA B ABEI EIM ML L

杆长为： L未知量为： B

B

BC 杆：可看作一端固定，一端铰结的梁，在 B 端发生了转角 以及在均布荷载作用下，杆端弯矩表达式：

B

BA 杆：可看作两端固定的梁，但是在 B 端支座发生了转角 ，方向假设为顺时针，杆端弯矩表达式：

A

EI

B C

EIq

2

3 08Bc B AB

EI qLM ML

§7-3 §7-3 杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系例：

2

2

2

B 2

6412

6212

BA B BC

AB BC

EI EI qLML LEI EI qLML L

未知量 2 个：B BC

32316

0

PBC B

CB

F LEIML

M

BA 杆：可看作两端固定的梁，在 B 端支座发生了转角 水平位移 ，还有均布荷载作用下，杆端弯矩表达式：B BC

BC 杆：可看作一端固定，一端铰结的梁，在 B 端发生了转角 、以及在集中力作用下，杆端弯矩表达式：B

q EI

2EI

A

BC

FP

L

L/2 L/2

§7-4 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程利用平衡条件建立位移法方程基本思路 —— 先拆、后装，即：1 ）化整为零——逐杆写出杆端弯矩式表达式；2 ）拼零为整——汇交于刚结点的各杆端弯矩 应满足 ，对于任意 的脱离体都应满足 或 。

0M 0X

0Y

§7-4 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程利用平衡条件建立位移法方程

B MBC

MBA

0BC BAM M 2

7 08BqLi ——位移法方程

BA 杆：杆端弯矩表达式：B4 2BA B AB

EI EIM ML L

BC 杆：杆端弯矩表达式：2

3 08Bc B AB

EI qLM ML

建立位移法方程：取 B 结点，应该满足 : 0BM

A

EI

B C

EIq

杆长为： L未知量为： B

例 :

例：

未知量 2 个：B BC

2

0 6 310 012 16BA BBC

i qL PLiM ML

—位移法方程①

2

2

2

B 2

6412

6212

BA B BC

AB BC

EI EI qLML LEI EI qLML L

BA 杆：杆端弯矩表达式：

32316

0

PBC B

CB

F LEIML

M

BC 杆：端弯矩表达式：

§7-4 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程利用平衡条件建立位移法方程

建立位移法方程：取 B 结点由 :0BM

q EI

2EI

A

BC

FP

L

L/2 L/2

B

C

FP

FQBA

FNBA

MBA

§7-4 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程利用平衡条件建立位移法方程

求 FQBA, 取 BA 杆 , 由0AM

2

26 12

2

BA ABQBA

B

M M qLFL

i i qLL L

0QBAF ……②

把 FQBA 代入②式 , 得 :

2

6 12 02B

i i qLL L

---- 位移法方程②

建立位移法方程：取 BC截面由 :0X FQBA

q

FQABMAB

MBA

B

A

§7-5 §7-5 位移法举例位移法举例

杆长为： L

B

4

2

BA B

AB

EIMLEIML

BA 杆

2

38Bc B

EI qLML

BC 杆

1. 确定未知量B未知量为 :

2. 写出杆端力的表达式

3. 建立位移法方程取 B 结点，由 , 得 :0BM

2

7 08BqLi ……①

A

EI

B CEI

q例 1:

§7-5 §7-5 位移法举例位移法举例4. 解方程，得 :

2

56BqLi

5. 把结点位移回代，得杆端弯矩 6. 画弯矩图2 2 2

2 2

2

356 8 14

456 14

28

BC

BA

AB

iqL qL qLMi

iqL qLMi

qLM

qL2

8

qL2

14

qL2

28A

BC

M图

§7-5 §7-5 位移法举例位移法举例例 2 ：

1. 位移法未知量未知量： B BV

2. 杆端弯矩表达式 2

2

6 2412

12812

AB B

BA B

i qLM iLi qLM iL

33BC BiM iL

3. 建立位移方程取出 B 结点 :

FQBA FQBC

BMBCMBA

FP

0 0B BA BCM M M 2911 0

12Bi qLiL

……①

0

0QBA QBC P

Y

F F F

……②

L L

q FP

2EI EIA B C

§7-5 §7-5 位移法举例位移法举例求 FQBA

A BqMAB

FQABFQBA

MBA

2

0

212 12 2 L

2

A

AB BCQBA

B

M

M M qLFL

i i qL L

求 FQBC BMBC

FQBCFQCB

C

2

0

3 3

BCc QBC

B

MM FL

i iL L

把 FQBCFQBA 代入方程②中得：2 2

2

12 24 3 3 02

9 27 02

B B P

B P

i i qL i i FL L L Li i qL FL L

……②

后面的工作就省略了。

§7-5 §7-5 位移法举例位移法举例例 3 ： 1. 位移法未知量未知量： 1 2 D

2. 杆端弯矩表达式

3. 建立位移方程

EA=∞

EA=∞

A

B

C

D

E

F

G

FP

FP

EI

EIEI

EI

L 1L 2

L

122

122 2

122 2

2 121 1

22

3

64

62

33 ( )

3

AB

DC D

CD D

DE D

FG

EIMLEI EIML LEI EIML LEI EIML LEIML

……①

D

MDE

MDCD

D 1 D 2 12 22 2 1 1

0

EI 6EI EI 3EI4 3 ( )L L L L

0

M

§7-5 §7-5 位移法举例位移法举例

132

12 32 2

0

2

3

6 12

QBA QDC QGF P

QBA

QDC D

X

F F F F

EIFLEI EIFL L

0X

2 12 31 1

23

2 1 23 3 31 1

21

3 3 ( )

3

3 3 3

3

QED QGF P

QED D

QGF

D P

F F F

EI EIFL LEIFL

EI EI EIL L LEI FL

取出 EG截面： 取出 BEG截面：FP

FP

FQBA FQDC

FQGF

E

B

G

… …②

§7-5 §7-5 位移法举例位移法举例

位移法方程： 1 1 23 2 3 3

2 2 2

3 6 12 3 2D PEI EI EI EI FL L L L

… … ③

1 1 23 2 3 32 2 2

3 6 12 3 2D PEI EI EI EI FL L L L

… … ③

2 1 23 3 3 21 1 1

3 3 3 3D P

EI EI EI EI FL L L L

… … ②

D 1 D 2 12 22 2 1 1

EI 6EI EI 3EI4 3 ( ) 0L L L L

… … ①

小结：（ 1 ）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移 ) 思路与方法基本相同；（ 2 ）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比， 在具体作法上增加了一些新内容： ▲在基本未知量中，要含结点线位移； ▲在杆件计算中，要考虑线位移的影响； ▲在建立基本方程时，要增加与结点线位移对 应的平衡方程。

§7-5 §7-5 位移法举例位移法举例

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法1 、位移法基本体系1 ）基本体系——单跨超静定梁的组合体。（用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待）。2 ）构造基本体系（ 1 ）在每个刚结点处添加一个附加刚臂 —— 阻止刚结点转动（不能阻止移动）；（ 2 ）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆 —— 阻止结点线位移（移动）。

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法例：构造图示结构位移法的基本体系。

▲ 未知量 2 个：B

基本体系 在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。

经过以上处理，原结构就成为一个由 n 个独立单跨超 静定梁组成的组合体——即为位移法的基本体系。

在有线位移的结点处先加一链杆，阻止线位移，然后再让其发生线位移。EI

EI

A

BC

L

q

L

q

原结构

2 、利用基本体系建立位移法方程1 ）基本原理 —— 先锁、后松。锁住——将原结构转换成基本结构。把原结构“拆 成”孤立的单个超静定杆件；放松——将基本结构还原成原结构。即强行使“锁 住”的结点发生与原结构相同的转角或线 位移。

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

22 ）位移法典型方程的建立与求解）位移法典型方程的建立与求解

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程基本体系和典型方程法法

EI

EI

A

BC

q

L

L

原结构 EI

EI

A

BC

q

基本体系3 i

4 i

2 i M1 图 ×Z1

M2 图 ×Z2

qL2

8

Z1=1Z1 Z2

Z2=1

MP 图

= =

+ +6EIL2

6EIL2

在 M1 、 M2 、 MP 三个图中的附加刚臂和链杆中一定有力产生，而三个图中的力加起来应等于零。

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

3 i4 i

2 i M1 图 ×Z1

Z1=1Z1

基本体系 EI

EI

A

BC

q Z2

qL2

8 MP 图

+6EIL2

6EIL2

M2 图 ×Z2

Z2=1

+

=

k11k21

F1P

k22

F2Pk12

附加刚臂和链杆上产生的力

附加刚臂和链杆上产生的力

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

位移法典型方程11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

00

P

P

k Z k Z Fk Z k Z F

由反力互等定理可知： ij jik k

在 M1 、 M2 、 MP三个图中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：

方程中的系数和自由项就是 M1 、 M2 、 MP三个图中刚臂和链杆中产生的附加力。

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法求系数和自由项——方法是：取各个弯矩图中的结点或截面 利用平衡原理求得。

21

6

60

QBAiFL

iX kL

由 M2 图：

12

0

6BM

ikL

2

12QBA

iFL

0X 22 2

12ikL

11

0

7BM

k i

由 M1 图：3i

4i

k11

k11k21FQBA

6i/L

k12

k12k22FQBA

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法由 MP 图：

2

1

0

8

B

P

M

qLF

20 0PX F

把系数和自由项代入典型方程，有：2

1 2

1 22

67 08

6 12 0

i qLiZ ZL

i iZ ZL L

——位移法方程

F1P

qL2

8

F1PF2PFQBA=0

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法3 、解方程，得结点位移4 、画弯矩图 1 21 2 n n PM M Z M Z M Z M

1 21 2 n n PM M Z M Z M Z M

计算步骤 :1 、确定未知量，画出基本结构；2 、画出 M1 、… MP图；3 、求出系数和自由项，得到位移法方程；4 、解方程，得到结点位移；5 、按下式画弯矩图：

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法如果结构有 n个未知量，那么位移法方程为：

其中： 11 22 nnk k k 是主系数，永远是正的。12 31 24k k k 是副系数，有正有负。

由反力互等定理可知： ij jik k

ijk ——物理意义是：由第 j个结点位移发生单位位移 后，在第 i个结点位移处产生的反力。

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

00

0

n n P

n n P

n n nn n np

k Z k Z k Z Fk Z k Z k Z F

k Z k Z k Z F

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法例 1 ：用典型方程法计算图示结构，杆长均为 L ， EI 为常数。

解： 1 、未知量： B E V

2 、基本结构如上图所示3 、位移法方程 11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

000

P

P

p

k Z k Z k Z Fk Z k Z k Z Fk Z k Z k Z F

M

AB C

ED L L

L原结构C

M

AB

ED

Z3

Z1

Z2

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法4 、求系数和自由项

3i i

4i

k11

11

0

8BM

k i

取 B 结点：

2ik21

21

0

2EM

k i

取 E 结点：

FQED

FQBA FQBC

k31 31

3

0

0

3

QBA

QBC

QED

iFL

F

F

ikL

取 BE截面：

Z1=1

A B

ED

i4i

2i

3i

M1 图

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

2i

k12

12

0

2BM

k i

取 B 结点：

4i

4i

k22

22

0

8EM

k i

取 E 结点：

32

0

0

6

6

QBA

QBC

QED

F

F

iFLikL

取 BE截面：

FQED

FQBA FQBC

k32

Z2=1

4i

2i

2i

4i

M2 图

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

3i/L

k13

13

0

3BM

ikL

取 B 结点：

6i/L

k23

23

0

6EM

ikL

取 E 结点： 2

33

3

0

12

15

QBA

QBC

QED

iFL

F

iFLikL

取 BE截面：

FQED

FQBA FQBC

k33

Z3=1

3i/L

6i/L6i/L M3 图

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

MP 图 MF1P

1

0B

P

M

F M

取 B 结点：

F2P

2

0

0E

P

M

F

取 E 结点：

3

0

0

0

0

QBA

QBC

QED

P

F

F

F

F

取 BE截面：

FQED

FQBA FQBC

F3P

M

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法把系数和自由项代入位移法典型方程中，得：

1 2 3

1 2 3

1 2 32

38 2 0

62 8 0

3 6 156 0

iiZ iZ Z MLiiZ iZ ZL

i i iZ Z ZL L L

后面的计算省略了。

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法例 2 ：用典型方程法计算图示桁架，杆长 EA 为常数。

解： 1 、未知量：CH CV DH CV BH 2 、基本结构如上图所示

原结构

3 、位移法方程

11 12 2 15 5 1

21 1 22 2 25 5 2

31 1 32 2 35 5 2

41 1 42 2 45 5 4

51 1 52 2 55 5 5

0

0

0

0

0

p

p

p

p

P

k Z k Z k Z F

k Z k Z k Z F

k Z k Z k Z F

k Z k Z k Z F

k Z k Z k Z F

B

C D

A

FP1

FP2 FP1

FP2

Z4

Z2

基本体系B

C D

A Z5

Z3

Z1

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法4 、求系数和自由项

k41

k31

取 D 结点： 31

41

0

0

0

X

EAkL

Y

k

k51 51

0

24

X

EAkL

取 B 结点：

取 C 结点：11

0

24

4 24

X

EA EAkL L

EAL

21

0

24

Y

EAkL

B

C D

A

Z1=1

EA2L

k21

k11

EAL

N1 图EAL

EA2L

EA2L

EAL

小结： —— 与力法进行对此分析。位移法分析超静定结 构，其解题步骤与方法同力法极为相似。 （ 1 ）确定基本未知量，取基本体系。

未知量： 力法——多余未知力； 位移法——未知角位移、线位移。

基本体系： 力法——静定结构； 位移法——单跨超静定梁的组合体。

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

（ 2 ）列典型方程 建立方程 力法——去掉多余约束处的位移条件； 条件： 位移法——附加约束上约束反力的平衡 条件。 方程的 力法——变形协调方程； 性质： 位移法——力的平衡方程。

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

（ 3 ）作 MP 、 图，求系数和自由项M 力法： 先作出静定结构分别在载荷 FP 、多余未知力 作用下的弯矩图 MP 、 ；Mi

1iX

然后应用图乘法求出载荷 FP ，单位多余未知力（ xi=1)所引起的去掉多余未知力处的位移，即系数和自由项： Δ i P 、 δ i j 、 δii 、 δ j j ；

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

位移法： 先作出基本体系分别在载荷 FP 、单位位移（ i=1)作用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表画）； 然后利用结点或截面的平衡，求出刚臂中的反力矩和链杆中的反力，即位移法的系数和自由项 F i p 、 k i j 、k i j 、 k ii ：

（ 4 ）解典型方程，求基本未知量 力法： 解多元一次方程组，求得多余未知力 xi； 位移法： 解多元一次方程组，求得结点角位移与结点线位移

Zi 。（ 5 ）绘制最后内力图——采用迭加法。

§7-6 §7-6 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法

i i pM M X M i i PM M Z M

力法：位移法：

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用 对于对称结构用位移法求解时，可以取半刚架进行计算，所以下面先介绍半刚架的取法。

红线是结构在对称荷载作用下的变形，对称点 C 的位移和内力如下：0 00 0

0 0

CH NC

CV QC

C C

FF

M

取半刚架如左图所示：C

在 C 点用滑动支座描述它的位移和内力

C

以单跨刚架为例1 、奇数跨对称刚架在对称荷载作用下

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用 红线是结构在对称荷载作用下的变形，对称点 C 的位移和内力如下：

0 00 0

0 0

CH NC

CV QC

C C

FF

M

取半刚架如左图所示：

2 、偶数跨对称刚架在对称荷载作用下 以双跨刚架为例C

B

C

在 C 点应用固定支座描述它的位移和内力， CB 杆由于处在对称轴上，弯矩等于零，因此没有必要画上去。

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用 红线是结构在反对称荷载作用下的变形，对称点 C 的位移和内力如下：

0 00 0

0 0

CH NC

CV QC

C C

FF

M

取半刚架如左图所示：在 C 点应用竖向可动铰支座描述它的位移和内力

3 、奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下 以单跨刚架为例C

C

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用 红线是结构在反对称荷载作用下的变形，在对称点 C 处只有一对剪力FQC 存在。

取半刚架如下图所示：

4 、偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下 以双跨刚架为例I

C

B

对原结构进行改造，如图 1 、图 2 所示。

C

I/2I/2图 1

FQC

图 2

C

I/2

FP FP

小结： （ 1 ）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零； （ 2 ）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零； （ 3 ）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和； （ 4 ）在对称结构计算中，对取的半结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用谁。

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用例 1 ：利用对称性计算图示结构， EI 为常数。

解：由于有两根对称轴，可以取 1/4 刚架进行计算。 原结构 1 、未知量： A

2

2

212

224

2 2

AE A

EA A

AF A FA A

EI qLMLEI qLMLEI EIM ML L

2 、杆端弯矩表达式：L

q

qL

A

C

B

D

基本体系

qA

EF

L/2

L/2

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用0 0A AE AFM M M

2

412AqLi …… ①

3

48AqLEI

2

2

24

12

AE

EA

qLM

qLM

2

2

24

24

AF

FA

qLM

qLM

3 、建立位移法方程

4 、解方程，得：

5 、回代，得杆端弯矩：

6 、画弯矩图 qL2

24qL2

24

qL2

24qL2

24

qL2

12

M 图

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用例 2 ：利用对称性计算图示结构。 所有杆长均为 L ， EI也均相同。

原结构 解： 1 、由于该结构的反力是静定的， 求出后用反力代替约束。

2 、该结构有两根对称轴，因此 把力变换成对称与反对称的。

= =

原结构 = 对称 + 反对称

FP FP

FP/2 FP/2

FP/2

FP/2FP/4 FP/4

FP/4 FP/4

FP/2

FP/2 FP/4 FP/4

FP/4 FP/4+

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用

原结构 对称情况，只是三根柱受轴力，由于忽略向变形，不会产生弯矩，因此不用计算。

反对称情况，梁发生相对错对，因此会产生弯矩，但左右两半是对称的，可取半刚架计算。 由于对称，中柱弯矩为零，因此可以不予考虑。

FP/4

FP/2

FP/4

FP/4 FP/4

FP/2

FP/2 FP/4 FP/4

FP/4 FP/4+

FP/2

§7-7 §7-7 对称性的利用对称性的利用反对称情况的半刚架：

此半刚架还是个对称结构，荷载是反对称的，因此还继续可取半刚架。

对此进行求解

64

62

6

AB A

BA A

AC A

iM iLiM iL

M i

610 0AiiL

0AM … …①

反对称=

2

2

6 12

0

6 124

QAB A

PA

i iFL L

Y

Fi iL L

…②

1 、未知量： ( )A

2 、杆端弯矩：

3 、建立位移法方程： FP/4

FP/4 FP/4A

BC

FP/4FQAB

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理1 、支座移动时的计算例：图示结构的 A 支座发生了一个转角，用位移法求解。

1 、未知量： B BC 解：3

64 2

62 4

BC B

BA B BC

AB B BC

M iiM i iLiM i iL

未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把支座移动看作是一种广义的荷载。

2 、杆端弯矩：

L

A

B

CEI

EI

L

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理3 、建立位移法方程：

0

67 2 0

B

B

M

ii iL

……①

0

0QBA

X

F

2

6 6 12

BA ABQBA

QBA B BC

M MFL

i i iFL L L

取 BC截面：

2

6 6 12 0B BCi i iL L L

……②

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理2 、温度发生变化时的计算例：图示结构的温度较竣工使发生了变化，用位移法求解。

B1 、未知量： 解：

未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把温度变化看作是一种广义的荷载。

2 、杆端弯矩：

BA杆轴线处温度提高 17.5°,杆件伸长： 17.5×L× BC杆轴线处温度提高 15°,杆件伸长： 15×L×

由温度引起的侧移： 1517.5

BA

BC

LL

B的位置

B

A

CL

EI

EI

L

200150

100B’

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理6 54 15

6 52 15

3 3 103 17.52

BA B

AB B

BC B

i EIM i LL hi EIM i LL hi EIM i LL h

3 、建立位移法方程： 100 7 27.5 0B BEIM i ih

……①

L

B

A

CEI

EI

L

B’

200150

100

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理3 、组合结构的计算例：用位移法求解图示组合结构。

1 、未知量： 解： C H

2

38

3

64

62

CB c

DB H

CE c H

EC c H

BA H

qLM i

iML

iM iLiM iL

EANL

3 、建立位移法方程： 0cM

2

0

6 27 08

CB CE

C H

M M

i LiL

… …①

2 、杆端弯矩和轴力： LL

L

EIEIEI

EAA

ED

CB

q

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理取 BC截面 :

0

0QBD QCB BA

X

F F N

2

2

2 2

2

3

6 12

3 6 12 0

6 15 0

BD H

CE C H

H C H H

C

iFLi iFL L

i i i EAL L L Li i EAL L L

… …②

q

FQBD FQCE

FNBA

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理4 、弹性支座的计算例：用位移法求解图示有弹性支座的结构。

1 、未知量： 解： B CV

2 、杆端弯矩： 2 2

2

4 212 1233

8

BA B AB B

BC B CV

qL qLM i M i

i qLM iL

3 、建立位移法方程： 0BM

2 2

0

37 012 8

BA

B CV

BC

i qL qLiL

M M

……①

q

EI EICBA LL

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理取 C 结点：

0Y

2

0

338 2

QCB YC

CVBQCB

YC CV

F F

ii qL qLFL L

F k

2

3 3 02 8B CV CVqL i i qL k

L L ……②

C

FYC

FQCB

q

FQCB

FQBC

MBC

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理

2 、杆端弯矩：

5 、带斜杆刚架的计算例：用位移法求解图示有斜杆的刚架。

2BA BC

1 、未知量： 解： B 2

2

64 2( 2 )

62 22 ( 2 )

BA B

AB B

EI EIMEL LEI EIML L

EI

EI

A

BC

FP

L

L L

FP

EI

EI

△ △

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理5 、带斜杆刚架的计算

3 、建立位移法方程： 33BC BiM iL

2

2 2

3(4 )2

3 6( 2) 0( 2 )

0B

BEI EI

LLEI EIL L

M

0 0

2 0P QBA BA

M

F L F L M

FQBA

FP

MBA

O

2

2

2

3 2 6

4 2 9 2 0

2 2

3 2 0

B

B P

BEI EI EIPLL L L

E

EI EI F LL L

IL

2 2

6 12 22 2 2QBA BEI EIFL L L

2 3

3 6B

EI EIL L

其中：

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理6 、有无剪力杆件结构的计算例：用位移法求解图示有无剪力杆件的刚架。

常规计算未知量是： B BC

剪力是静定的

A

BC

EIEI

FPZ1

基本体系A

B

CEI

EI L

L

FP

原结构A

B

一端固定一端滑动单元

但请注意： BA杆的剪力是静定的 , 若只把 B 结点的转角固定起来 , 它的受力与一端固定一端滑动单元相同。因此 , 此题的未知量可只取一个 : 。B

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理杆端弯矩：

316P

BC B

BA B

AB B

F LM i

M iM i

AB杆的杆端弯矩，应按一端固定一端滑动单元来写。位移法方程：

0

34 016

B

PB

M

F Li

… …①

上述计算方法称为：无剪力法。只能用于上列结构，即有侧移的杆件其剪力是静定的。

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理特别要提醒的是固端弯矩的计算：FP

FP

A

B

C

D

E

i

i ii

AB杆的固端弯矩：用 FP查一端固定一端滑动单元。 AB杆的固端弯矩：应用 2FP查一端固定一端滑动单元。原因是：上层的力对下面层有影响，例如 AB杆的剪力是：FP ， BC杆的剪力是 2FP 。

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理7 、有刚度无穷大杆件的刚架计算例：用位移法求解图示有刚度无穷大杆件的刚架。

由于 CD杆的抗弯刚度为无穷大，因此 C 、 D 结点不可能发生转角，即： 未知量只有：0C D

CD

由于 BA杆只能绕 A 点转动，因此 BA杆的侧移为 ， BC杆的侧移为 。又由于 BC杆的刚度无穷大，不可能发生弯曲变形，为了保持原先的夹角，BA杆的 B 端必然发生转角 。

2

L

EI=∞

A B

C D

FP

EI

EI=∞

A

B

CL

L L

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理杆端弯矩：

2

2

4 6 22 ( 2 )

2 6 22 ( 2 )

BA

AB

EI EIMLL L

EI EIMLL L

位移法方程：0 0 2 0P QBA BAM F L F L M

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理8 、支座位移也可以作为未知量例：用位移法求解图示刚架。

此题未知量通常只取一个 ，是把 BC杆看作一端固定一端铰结单元。 同样也可取两个未知量 ，这时是把 BC杆看作两端固定单元。B C

B

杆端弯矩：4 22 4

BC B C

CB B C

M i iM i i

42

BA B

AB B

M iM i

A

EI

B C

EIM

§7-8 §7-8 其它各种情况的处理其它各种情况的处理位移法方程：

MMBC

MBA

B

取 B 结点取 C 结点MCB

C

0 8 2B B CM i i M ……①

解方程，得：7 14B CM Mi i

0 2 4 0C B CM i i ……②

其结果与取一个未知量 的完全相同。