9.4137 النسبة الذهبية − أعداد فيبوناتيش تفّوق رحوبوت

9.4 النسبة الذهبيّة

رسمتم يف الفّعالّية السابقة مستطيالت أطوال أضالعها أعداد متجاورة يف

متوالية فيبوناتيش.

مثل:

1 × 2 2 × 3 3 × 5 5 × 8

نبحث النسبة بني أضالع هذه املستطيالت، ونتعرّف عىل النسبة الذهبّية.

النسبة الذهبية

أ. جدوا النسبة بني طول الضلع الطويل وطول الضلع القصري لكّل مستطيل من املستطيالت التالية املسّجلة قياساتها .1يف الجدول.

قياسات املستطيل2 × 31 × 52 × 83 × 135 × 218 × 3413 × 21

12 النسبة بني األضالع=2

ب. ماذا ميكنكم القول عن النسب اّلتي نتجت؟

ت. ما املعنى الهنديّس للظاهرة اّلتي وجدمتوها؟

كّلام تقّدمنا يف متوالية املستطيالت اّلتي أطوال أضالعها هام عددان فيبوناتشيان متجاوران، تقرتب النسبة بني أطوال

األعداد إىل …1.6180339 اّلتي نسّميها النسبة الذهبّية.

أمامكم متوالية كسور مدمجة مسّجلة من اليسار إىل اليمني. .2

11

11 1 1

11

11+

++

+ +

11

1 1 11

11+

++ +

11 1 1

11+

+ +1 1 1

1+ +

أ. حّولوا إىل كسور بسيطة وعرشّية. ابدأوا من اليسار )انتبهوا إىل القانونّية(.

ب. قارنوا بني النتائج اّلتي حصلتم عليها هنا والنتائج اّلتي تظهر يف مهّمة 1.

9.4 النسبة الذهبية − أعداد فيبوناتيش تفّوق رحوبوت138

هل تعلمون؟

النسبة الذهبّية هي عدد كان معروًفا للرياضيني مّدة زمنّية

}. يعتقد طويلة. هذا عدد غري نسبّي رمزه اليوناين فاي

الباحثون أّن أحد تالميذ فيثاغوروس اكتشف هذا العدد.

املستطيل الذهبي هو املستطيل اّلذي أطوال أضالعه تحّقق

النسبة الذهبية. هنالك عالقات كثرية بني النسبة الذهبّية

واملستطيل الذهبّي والحيوانات، النباتات، الفّن والفّن

املعامرّي. مثاًل: واجهة مبنى البارثيون اّلذي ُبني يف اليونان

القدمية قبل حوايل 2500 سنة، وقد ُخّطط بطريقة تحّقق

قياساته النسبة الذهبّية )انظروا إىل الصورة(.

باإلضافة إىل ذلك، من الجدير بالذكر أن هنالك من يّدعي

ا من النسب القريبة أن اإلعجاب بالنسبة الذهبّية زائد. يّدعون أّن السبب لإلعجاب الزائد مرتبط بوجود عدد كبري جدًّ

للنسبة الذهبّية، لذا قد يؤّدي عدم الدّقة يف القياسات )حّتى القليلة منها( إىل االستنتاج أّن هذه النسب تعّب عن

النسبة الذهبّية.

فّتشوا يف اإلنرتنت عن أمثلة للنسبة الذهبّية واملستطيل الذهبّي.

زاوية الحاسوب

أ. حّضوا جدواًل إلكرتونيًّا كالجدول التايل. .3

CBA

النسبة بني أعداد فيبوناتيش كسور مدمجة1متوالية فيبوناتيشمتجاورة

2222

1.51.533

4

2، وجّروا. ب. سّجلوا يف الخلّية A4 قاعدة إلنتاج متوالية فيبوناتيش ابتداًء من العدد

ت. سّجلوا يف الخلّية B4 قاعدة للنسبة بني أعداد فيبوناتيش املجاورة، وجّروا.

ث. سّجلوا يف الخلّية C4 قاعدة تعتمد عىل الخلّية السابقة إلنتاج الكسور املدمجة، وجّروا. عىل ماذا حصلتم؟

9.4139 النسبة الذهبية − أعداد فيبوناتيش تفّوق رحوبوت

رأينا يف املهاّم السابقة أّن: .4

21 متساويتان حّتى األجزاء من مائة )وقريبتان من النسبة الذهبية(. 34 13 َو

21 - النسبتني

رأينا يف الفّعالّيات السابقة أّن:

- حاصل رضب عددين يف مكانني زوجّيني متتالني يف متوالية فيبوناتيش أو حاصل رضب عددين يف مكانني

فردّيني متتالني يختلف ب 1 عن مرّبع العدد املوجود بينهام.

أ. ارشحوا كيف هاتان الصفتني ُمرتبطتان ببعضهام؟

ب. ارشحوا ملاذا كّلام تقّدمنا يف املتوالية نحصل عىل نسب قريبة أكرث وأكرث من بعضها؟

الذهبيّ املستطيل

ارسموا، يف دفاتركم، أربعة مستطيالت متساوية. .5ارسموا يف كّل مستطيل قطعة توازي الضلع القصري، بحيث ينتج مرّبع ومستطيل إضايّف. يف أّي مستطيل، من بني املستطيالت اإلضافّية، النسبة بني األضالع هي األقرب إىل النسبة

بني أضالع املستطيل األصيّل؟

املستطيل الذهبّي هو املستطيل اّلذي يحّقق الصفة التالية:

إذا قمنا بقص مرّبع، من املستطيل، طول ضلعه كطول الضلع القصري، فينتج مستطياًل يشبه املستطيل األصيّل.

نسّمي املستطيل الذهبّي هكذا، ألّن النسبة بني أطوال أضالعه هي نسبة ذهبّية.

معطى مستطيل، قصّوا منه مربّع )انظروا الرسمة(. .6

أ. ماذا يجب أن يتحّقق يك يكون املستطيل مستطياًل ذهبيًّا؟

إرشاد: سّجلوا طول الضلع الكبري يف البسط.

ب. ارمزوا ب إىل النسبة الذهبّية:

بّينوا أّن التناسب اّلذي سّجلتموه يف بند أ يكافئ املعادلة الرتبيعّية

إرشاد:

. حّلوا املعادلة ل

الحّل املوجب هو النسبة الذهبّية.

ba

a

9.4 النسبة الذهبية − أعداد فيبوناتيش تفّوق رحوبوت140

يف هيئة املحاور الّتي أمامكم: .7

- رُسم مرّبع الوحدة.

)، ورمزوا إىل القطعة , )1 1 ) َو , )21 0 - رُسمت قطعة بني النقطتني

.r بالحرف

.r وِنصف ُقطره ( , )21 0 - ارسموا قوس دائرة مركزه يف النقطة

اإلحدايّث x لنقطة التقاء القوس مع محور x هي النسبة الذهبّية.

ارشحوا ملاذا.

نحافظ على لياقة رياضّية

يف كّل مرّبع سحرّي أمامكم، مجموع األعداد يف كّل سطر، كّل عمود ويف القطرين متساٍو. .1

أكملوا املرّبعني السحريني دون استعامل اآللة الحاسبة.

72

51

101-

21

21

181-

1 31

92

ب.أ.

عّبوا مبساعدة خّط كرس واحد. .2

15432

= 4أ. 32= ت.

652 = ج.

154

32 1+

= 4ب. 32 2+

= ث. 65 22 =-

ح.

أُحجية

2 اكتبوا هذه النسبة الذهبّية بواسطة 4 أرقام َو 4 عملّيات حسابّية. 1 5+ النسبة الذهبّية هي:

إرشاد:

4 2=

r

x1

y

21

21 5+