АлгебрА. 9 клАс - ister.in.ua · У посібнику запропонована...
TRANSCRIPT
О.С. Істер
АлгебрА. 9 клАс
ВпрАВи. сАмостійні роботи.
темАтичні контрольні роботи. ЗАВдАння для експрес-контролю
Видання третє, доповнене
ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН
УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72 І89
Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва
ISBN 978-966-10-1987-3 © Навчальнакнига–Богдан,майновіправа,2011
Істер О.С.І89 Алгебра.9клас:Вправи.Самостійніроботи.Тематичніконтрольні
роботи.Завданнядлякорекціїзнань.—Тернопіль:Навчальнакнига–Богдан,2011.—160с.
ISBN 978-966-10-1987-3
У посібнику запропонована повна добірка матеріалів з алгебри 9-го класу відповідно до шкільної програми . вправи, рівневі самостійні ро-боти, тематичні контрольні роботи та завдання для корекції знань.
Призначений для вчителів, методистів та учнів загальноосвітніх навчальних закладів.
ББК 22.1я72
П е р е д м о в аПосібник містить дидактичні матерівали з курсу алгебри 9-го кла-
су: 830 вправ, 11 рівневих самостійних робіт, кожна з яких подана у 6 варіантах (три рівні по два рівноцінні варіанти); 6 тематичних контрольних робіт, кожна з яких подана у двох рівноцінних варі-антах та 5 наборів завдань для проведення рівневої корекції знань (кожен у двох варіантах); 8 тематичних контрольних робіт, кожна з яких подана у двох рівноцінних варіантах та 7 наборів завдань для проведення рівневої корекції знань (кожен у двох варіантах).
Назви розділів та пунктів посібника відповідають назвам тем про-грами, тому посібник легко адаптується до підручників Істер О.С., «Алгебра – 9», Бевз Г.П., Бевз В.Г., «Алгебра – 9», Мерзляк А.Г. та інші «Алгебра – 9», Біляніна О.Я., та інші «Алгебра – 9». Для зручнос-ті користування посібником у назві кожної самостійної роботи, тема-тичної контрольної роботи чи завдання для корекції знань відбито їх тематику. В кінці посібника наведено відповіді та вказівки до деяких вправ. До самостійних, тематич них контрольних робіт та завдань для корекції знань відповідей немає. Тому вчитель, придбавши посібник на весь клас (або один примірник на парту), може використовувати його під час будь-якого уроку (закріплення нових знань, перевіряння знань, корекції знань тощо).
Назви розділів та пунктів посібник відповідають назвам тем про-грами, тому посібник легко адаптується до будь-якого підручника. Для зручності користування посібником у назві кожної самостійної роботи, тематичної контрольної роботи чи завдання для корекції знань відбито їх тематику. В кінці посібника наведено відповіді та вказівки до деяких вправ. До самостійних, тематичних контрольних робот та завдань для корекції знань відповіді відсутні. Тому вчитель, придбавши посібник на весь клас (або один примірник на парту) може використовувати його під час будь-якого уроку (закріплення нових знань, перевірки знань, корекції знань тощо).
Нижче розглянемо деякі особливості посібника та роботи з ним.
4 Передмова Передмова 5
1. Вправи. Посібник містить вправи для класних і домашніх ро-біт. Вправи, рекомендовані для домашнього виконання підкреслені. Задачі, позначені кружечком (°), відповідають початковому та серед-ньому рівням навчальних досягнень; задачі без цієї позначки — до-статньому та високому рівням навчальних досягнень. Достатня кіль-кість дасть змогу вчителю використовувати посібник практично на кожному уроці та давати по ньому домашні завдання.
2. Самостійні роботи. У посібнику подано добірку рівневих са-мостійних робіт. Вони позначені буквою С з відповідним номером. Після номера вказано одну з літер А, Б або В (наприклад, С–2Б) від-повідно рівню цієї роботи:
А — самостійна робота, що відповідає початковому та середньому рівням навчальних досягнень;
Б — самостійна робота, що відповідає достатньому рівню навчаль-них досягнень;
В — самостійна робота, що відповідає високому рівню навчальних досягнень.
Для кожного рівня подано два рівноцінні варіанти. Кожна само-стійна робота містить 3 завдання і розрахована на 15–30 хв. (залежно від теми). Самостійні роботи мають, як правило, навчальний харак-тер і не призначені для оцінювання знань учнів. Якщо вчитель захо-че оцінити роботу, то кожне завдання рівня А автор пропонує оціню-вати в 2 бали, рівня Б — в 3 бали, рівня В — в 4 бали. Таким чином, максимальна оцінка за роботу рівня А — 6 балів, рівня Б — 9 балів, рівня В — 12 балів. Під час оцінювання кожного завдання вчитель може застосовувати систему, що подана нижче (для оцінювання те-матичної контрольної роботи). Рівень самостійної роботи, що виконує учень, як правило, визначає вчитель.
3. Тематичні контрольні роботи (надалі — ТКР). Кожна ТКР містить як завдання, що відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень (вони позначені кружечками), так і завдання, що відповідають достатньому та високому рівням на-вчальних досягнень. Всі завдання оцінено в балах таким чином, що максимально оцінка за ТКР дорівнює 12 балам. Кожна ТКР роз-рахована на один урок (40—45 хв). Звичайно, вчитель може збільши-ти або зменшити як кількість ТКР, так і кількість завдань у кожній ТКР, змінивши при цьому оцінювання в балах таким чином, щоб сума балів дорівнювала 12.
Автор пропонує на першому етапі вести оцінювання кожного за-вдання в звичній для вчителя математики системі «плюс-мінус»:
« + » (плюс) — учень повністю розв’язав вправу;«±» (плюс-мінус) — хід розв’язування вправи правильний, але до-
пущено помилки логічного або обчислювального характеру, які при-вели до неправильної відповіді;
« » (мінус-плюс) — завдання не закінчено, але учень суттєво набли-зився до повного розв’язання, виконавши, не менше його половини;
«–» (мінус) — учень почав розв’язувати вірно (наприклад, зробив малюнок, записав фрагмент розв’язання), але виконав завдання менше ніж на половину;
«0» (нуль) — учень не починав завдання або почав невірно.На другому етапі вчитель переводить оцінку з термінології «плюс-
мінус» в бали. Пропонується наступна шкала.
Максимальний бал за завдання
Оцінки в системі “плюс-мінус”.Переведення в бали
+ ±
–1 1 0,5 0,5 02 2 1,5 1 0,53 3 2–2,5 1–1,5 0,54 4 3 2 1
Природним є те, що оцінкою роботи є сума балів, отримана учнем за виконання кожного завдання окремо. Якщо сумою є не ціле число (а саме — це число має п’ять десятих), то кори с тує мося звичним пра-вилом округлювання (наприклад, 9,5»10).
4. Корекція знань (надалі — КЗ). Підвищити оцінку за тему учень може під час КЗ. Кожна КЗ розрахована на 10–15 хви-лин, тому вчитель може провести її, наприклад, на перерві. КЗ запропонована у посібнику — рівнева. Якщо учень за ТКР отримав 1, 2 або 3 бали, то вчитель може запропонувати йому завдання для корекції знань Середній рівень, якщо 4, 5 або 6 балів — то на достатній рівень, якщо 7, 8, 9, 10 або 11 балів — то Високий рівень Кожен з рівнів, що відповідає рівням на-вчальних досягнень (середньому, достатньому та високому) містить завдання, сума балів яких до рівнює 3. Кожне завдан-ня оцінює вчитель у системі «плюс-мінус», а потім переводить
6 Передмова
в бали (див. таблицю вище).Автор пропонує визначати остаточну оцінку за тему наступним
чином.Якщо учень під час КЗ набрав ...
... то остаточною оцін-кою за тему є ...
Приклад
0 балів оцінка, отримана учнем за ТКР
1 бал оцінка, отримана учнем за ТКР + 1 бал
Учень отримав за ТКР 5 балів. Під час КЗ на дос татній рівень набрав 1 бал. Остаточна оцінка за тему 5 + 1 = 6 (балів).
2(3) бали максимальний бал ниж-чого рівня (для почат-кового — 3 бали, для середнього — 6 балів, для достатнього — 9 ба-лів) + 2(3) бали
Учень отримав за ТКР 5 балів. Під час КЗ на дос татній рівень набрав 2 бали. Остаточна оцінка за тему 6 + 2 = 8 (балів).
Якщо під час КЗ учень бездоганно виконав завдання на середній чи достатній рівень, то вчитель може запропонувати йому завдання більш високого рівня.
Відвідайте наші сторінки в Інтернеті http://i.com.ua/~ister/ і http://www.bohdan-books.com/
Бажаємо успіхів!
в П р а в иІ. Повторення матеріалу за курс алгебри 8 класу
1°. Скоротіть дріб:
1) 5 2015a c
ac− ; 2) a ab
b a
2 26 3
−−
; 3) 5 1042
xx
−−
;
4) x xx
2 4 43 6− +
−; 5) y
y y
2
2 316
4−−
; 6) aa a
3
28
2 4+
− +.
2°. Скоротіть дріб:
1) 5 102 4a ya y
−−
; 2) p pqq p
2 510 2
−−
; 3) 9 392
+−m
m;
4) x xx
2
210 25
25+ +
−; 5) m
m m
2
7 816
4−+
; 6) y yy
2
33 9
27+ +
−.
3°. Виконайте дію:
1) 2 13
26
x x−−
+ ; 2) m nm
n mmn
−−
−2 ;
3) xx
xx
−−
−−−
22 6
13 9
; 4) 49
232 2a a a−
−+
;
5) 63 2
2 52x
xx
−− − ; 6) 2
3 63
41
2
2aa a
a++
− −−
− .
4°. Подайте вираз у вигляді дробу:
1) 3 26
14
m m−−
+ ; 2) b aab
a bb
−−
−2 ;
3) aa
aa
−−
−−−
13 12
32 8
; 4) 24
122 2x x x−
−+
;
5) 84 5
2 12m
mm
−− − ; 6) 3
2 63
91
2
2xx x
x++
− −−
− .
8 Вправи Вправи 9
5°. Виконайте дію:
1) a bc
cab
2
2124
⋅ ; 2) aa
aa
2
316
84
4−
⋅+
;
3) a aa
aa
2 24 42 6
95 10
+ +−
⋅−+
; 4) mb2
2
;
5) −
2 2
4
3ab
; 6) −
35 3
4mn
;
7) 45
215
2
2ab
ab
: ; 8) m nm n
mn nm n
2 2 2
3 2 6−
+++
: ;
9) 9 6 42 1
27 84 1
2 3
2+ +
−−
−y yy
yy
: .
6°. Виконайте дію:
1) aa
aa
2
29
279
3−
⋅−
; 2) a aa
aa
2
26 9
42 43 9
− +−
⋅−−
; 3) −
ab
7 2
3;
4) −
4 2
3
3mn
; 5) 914
421
2
3ab
ab
: ; 6) xy ya b
x ya b
+−
−−
2 2 2
3 2 6: .
7. Спростіть вираз:
1) 44
24
2+−
⋅+
−
mm
mm
m ;
2) 11
11
1 112 3a
aa a a−
−+
+ +
+
−
: ;
3) a ba b
a ba b
aba b
+−
−−+
−
: ;2 2
4) 77
4949
77
12
2
2xxx x
x+
++−
−−
+: .
8°. Обчисліть:
1) 0 04, ; 2) 11125
; 3) 49 64⋅ ; 4) 81121
;
5) 2 5 2, ;( ) 6) −( )8 1 2, ; 7) 5 45⋅ ; 8) 5213
.
9°. Обчисліть:
1) 0 16, ; 2) 2 4649
; 3) 9 36⋅ ; 4) 25169
;
5) −( )1 77 2, ; 6) 113
2
; 7) 7
112; 8) 4 5 72, .⋅
10°. Спростіть вираз:1) 4 5 8x x x+ − ; 2) 4 64 81a a a+ − ;3) 3 27 48−( ); 4) 3 4 24 3 24 2−( ) + .
11°. Спростіть вираз:1) 2 7 18a a a+ − ; 2) 32 18 50+ − ;3) 6 24 54m m−( ); 4) 18 14 2 7 7− −( ) .
12. Виконайте дію:1) 5 2 3 2−( ) +( ); 2) 5 18 5 2 2−( ) +( );3) 5 7 5 7+( ) −( ); 4) 2 7 12 12 7 84+( ) −( ) − ;
5) 5 32
−( ) ; 6) m m+( ) −7 2 72
.13°. Розв’яжіть рівняння:
1) 2x2 – 18 = 0; 2) x2 = 7; 3) 7x – x2 = 0;
4)2x2 + 8 = 0; 5) 116
02x = ; 6) 18
49
02x x− = .
14°. Розв’яжіть рівняння:1) 27 – 3x2 = 0; 2) –8,1x2 = 0; 3) 4x2 + 1 = 0;
4) x2 + 9x = 0; 5) x2 – 15 = 0; 6) x x2
99 0− = .
15°. Розв’яжіть рівняння:1) x2 – 6x + 5 = 0; 2) 2x2 – x + 3 = 0; 3) 10x2 – 3x – 0,4 = 0; 4) x2 + 2x – 7 = 0; 5) (x + 3)2 = 2x + 6; 6) –x(4x + 1) = (x + 2)(x – 2).
16°. Розв’яжіть рівняння:1) x2 – 5x + 4 = 0; 2) 3x2 – x + 2 = 0; 3) 10x2 + 5x – 0,6 = 0; 4) x2 + 4x – 1 = 0; 5) (x – 2)2 = 3x – 8;
6) − − −
= −( ) +( )2
313
1 12x x x x x .
10 Вправи Вправи 11
17. Розв’яжіть рівняння:
1) 25
45
3252x x x−
−+
=−
;
2) 42
2 322x xx
x x−− =
−−
;
3) 73
1 186 92y y y−
+ =− +
;
4) 41 9
33
49 6 12 2 2−
++
=+ +m m m m m
.
18. Розв’яжіть рівняння:
1) 32
32
242y y y+
−−
=−
; 2) 53
3 232x xx
x x+− =
−+
;
3) 52
1 144 42t t t−
+ =− +
; 4) 34 4 1
42
31 42 2 2x x x x x+ +
−+
=−
.
19. Розв’яжіть рівняння:
1) xx x x x
++ +
+−
=−
39 3 1
327 1
13 12 3 ;
2) 13 4 12
12
22 33 2
−− − +
−−
=+( ) −( )
yy y y y y y
.
20°. Побудуйте графік функцій:
1) y = 4x – 5; 2) y x= − +12
3; 3) y x=13
;
4) yx
= −6 ; 5) y x= ; 6) y = x2.
21°. Побудуйте графік функцій:
1) y = –4x + 7; 2) y x= −13
5; 3) y = –0,4x 4) yx
=8 .
ІІ. Нерівності
Числові нерівності
а) Порівняння чисел 22°. Порівняйте числа:
1) 1 34
і 178
; 2) 2,25 і 214
; 3) 0,6 і 37
;
4) 4,08 і 4 17
; 5) −12
і −13
; 6) −17
і –0,2;
7) −1 38
і –1,375; 8) –0,05 і −3
50.
23°. Порівняйте:
1) 2 512
і 2 38
; 2) 18
і 0,125; 3) 0,4 і 27
;
4) 0,3 і 16
; 5) −14
і −13
; 6) −119
і –1,16;
7) −34
і –0,75; 8) –0,14 і −750
.
24°. З чисел –4; –3,7; –3,6; –3,1; –3 виписати ті, при підстановці яких замість x отримаємо правильну нерівність:1) x < – 3,2; 2) x > –3,5.
25°. Порівняти з нулем значення виразів:1) (–4,1)2; 2) 3,213;3)(–7,13)3; 4) 048; 5) (–2,11)32,82; 6) (–5,1)7(–2,8)5;
7) (–5,31)2 113
8
; 8) 5,12003015.
26°. Порівняти з нулем значення виразів:
1) (–8,13)5; 2) 417
41
; 3) 02003;
4) (–8,3)6; 5) (–8,1)4 6) (–5)1302;
7) 113
112
48 3
⋅ −
; 8) (–2,7)2 ⋅
11000
3
.
Самостійні роботи 105
С а м о С т і й н і р о б о т иПовторення матеріалу з курсу алгебри 8 класу
І варІаНтС–1А
1. Виконати дії:
1) a ba
ba
−−
−−−2 2939
; 2) m mxm
xm
2
222
1−
⋅−
.
2. Розв’язати рівняння:
1) x x2 7 0− = ; 2) 13
23
1 02x x+ − = .
3. Побудувати графік функції: y = 6x
.
С–1Б1. Виконати дії:
1) 2 24 4
2
2 2 2 2m mm n
mn nn m
+−
++
−; 2) mx m
xx
x x−+
−+ +
32 6
96 9
2
2: .
2. Розв’язати рівняння:
1) (x + 2)2 = 43 – 6x; 2) 3 21
43
3 11 3
2xx
xx
xx x
−−
+−+
=+
− +( )( ).
3. Розв’язати графічно рівняння: 3 2x x− = = 2х – 6.С–1В
1. Виконати дії:
1) 24
22
2
2 2
2
2xy x
x yy
xy y−
−−
+; 2) y y y
yy y
y
3 2
2
23 3 11
2 12 2
+ + +−
+ +−
: .
2. Розв’язати рівняння:1) (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) = 2x(2x – 1)(2x + 1) + x2;
2) 1 1 213 3 4y y y y y−
++
=−
.
3. Розв’язати графічно рівняння: − = −12 1x
x .
ІІ варІаНтС–1А
1. Виконати дії:
1) 24 42 2
−−
−+−
ab
a bb
; 2) ab
baa a
2
29
55
3−
⋅+
.
2. Розв’язати рівняння:
1) x x2 8 0+ = ; 2) 15
45
1 02x x+ − = .
3. Побудувати графік функції: y = – 6x
.
С–1Б1. Виконати дії:
1) ab aa b
b bb a
−−
+−−2 2
2
2 293 39
; 2) xx x
xpx x
2
24
4 48 4
2−
+ +−+
: .
2. Розв’язати рівняння:
1) (x – 1)2 = 29 – 5x; 2) 2 74
21
2 4 114 1
2xx
xx
x xx x
−−
+++
=− −
− +( )( ).
3. Розв’язати графічно рівняння: 3 2x x− = .
С–1В1. Виконати дії:
1) m mnm n
nn mn
2
2 2
2
224
22
+−
+−
; 2) 5 53 3 1
12 1
2
3 2 2−
− + −+
− +a
a a aa
a a: .
2. Розв’язати рівняння:1) (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2) = 3x(1 – 3x)(1 + 3x) + x2;
2) 416
14
144 3 3y y y y y−
=−
++
.
3. Розв’язати графічно рівняння: 2 8− = −x
x.
Тематичні контрольні роботи 127
ІІ варІаНт1° (2 бали) Порівняти вирази, якщо a > b:
1) a + 3 і b + 3; 2) 1,7a і 1,7b;3) –a і –b; 4) –2a і –2b.
2° (2 бали) Розв’язати нерівність:1) 6x ≤ 9; 2) 5 – 3x > 17 + x.
3° (2 бали) Розв’язати систему нерівностей:
1) 4 5 113 2 20
xx
− ≥+ <
,; 2) 6 1 7
5 4 3 1( ) ,
( ).x x
x x− >
− > +
4 (4 бали) Знайти множину розв’язків нерівності:
1) x x−+ <
23 6
43
;
2) (x – 5)(x + 5) – 2x(5 – x) > 3(x + 1)2.5 (2 бали) Відомо, що 20 < a < 40, 4 < b < 10. Оцінити значення ви-
разу
1) 2x – 3y; 2) xy
.
6 (2 бали) При яких значеннях a квадратне рівняння x2 – 2(a + 1)x + + a2 = 0 не має коренів?
т е м а т и ч н і к о н т р о л ь н і р о б о т иТКР-1. Нерівності.
Розв’язування нерівностей з однією змінною
І варІаНт1° (2 бали) Порівняти вирази, якщо m < n:
1) m + 2 і n + 2; 2) 2,1m і 2,1n;3) – m і – n; 4) – 3m і – 3n.
2° (2 бали) Розв’язати нерівність:1) 4x ≥ 18; 2) 4 – 2x < 10 + x.
3° (2 бали) Розв’язати систему нерівностей:
1) 3 4 52 5 17xx
− ≥+ <
,; 2) 5 1 6
4 3 2 1( ) ,
( ).x x
x x− >
− > +
4 (4бали) Знайти множину розв’язків нерівності:
1) x x++ >
35 10
65
;
2) (x – 4)(x + 4) – 2x(2 – x) < 3(x + 1)2.5 (2 бали) Відомо, що 10 < a < 20, 2 < b < 5. Оцінити значення ви-
разу:
1) 4а – 3b; 2) ab
.
6 (2 бали) При яких значеннях a квадратне рівняння x2 – 2(a – 1)x + + a2 = 0 має два різних корені?
Завдання для експрес-контролю 139
З а в д а н н я д л я е к С П р е С - к о н т р о л ю
ЕК-1. Нерівності
І варІаНт
Середній рівень1° (1 бал) Порівняти вирази, якщо a > b:
1) a – 3 і b – 3; 2) −a2
і −b2
.
2° (1 бал) Розв’язати нерівність: 4 + x < 11 – 2x.
3° (1 бал) Розв’язати систему нерівностей:3 4 8
6 3x
x x− <
+ ≤
,.
Достатній рівень
1 (1 бал) При яких значеннях змінної має зміст вираз 5 7− x ?2 (2 бали) Знайти цілі розв’язки системи нерівностей:
( )( ) ( ) ,( ) ( ) .x x x x xx x− + − + >
− − + ≤ −
1 1 3 22 3 5 2 10
Високий рівень1 (1 бал) При яких значеннях змінної має зміст вираз
53 7
216
62x
x xx
−+
−+ − ?
2 (2 бали) Два натуральних числа відносяться, як 2:7, а їх сума не більша, ніж 56. Які значення може приймати більше з цих чисел?
ІІ варІаНт
Середній рівень1° (1 бал) Порівняти вирази, якщо x < y:
1) x – 2 і y – 2; 2) −x3
і −y3
.
2° (1 бал) Розв’язати нерівність:5 + x < 11 – 3x;
3° (1 бал) Розв’язати систему нерівностей:2 4 6
9 4x
x x− ≤
+ <
,.
Достатній рівень1 (1 бал) При яких значеннях змінної має зміст вираз 9 8− x ?2 (2 бали) Знайти цілі розв’язки системи нерівностей:
( )( ) ( ) ,( ) ( ) .x x x x xx x− + − + >
− − + ≤ −
2 2 4 32 2 5 3 10
Високий рівень1 (1 бал) При яких значеннях змінної має зміст вираз
4 9 725
972x
xx
x− +
−+
−?
2 (2 бали) Два натуральних числа відносяться, як 3:5, а їх сума не більша, ніж 51. Які значення може приймати більше з цих чисел?
148 Додаток Відповіді 149
д о д а т о кРозміщення коренів квадратного тричлена
х1 і x2 — корені квадратного тричлена f(x) = ax2 + bx+c (x1 ≤ x2)
Умови на корені a > 0 a < 0 Узагальнення
x1 < A, x2 < A
х1хх2 А хх1 х2
f� �А� � a2b
− <
>≥
ba
A
f AD
20
0
,
( ) ,.
А хх1 х2
f� �А� � a
2b
− <
<≥
ba
A
f AD
20
0
,
( ) ,.
− <
⋅ >≥
ba
A
a f AD
20
0
,
( ) ,.
x1 < A < x2
х1хх2А
Ахх1 х2f� �А
f(A) < 0А х
х1 х2f� �А
f(A) > 0
a · f(A) < 0
x1 > A, x2 > A
х1хх2А
А хх1 х2
f� �А � � a2b
− >
>≥
ba
A
f AD
20
0
,
( ) ,.
Ах
х1 х2
f� �А � � a2b
− >
<≥
ba
A
f AD
20
0
,
( ) ,.
− >
⋅ >≥
ba
A
a f AD
20
0
,
( ) ,.
в і д П о в і д і34. 2), 3), 7). 39.1) Вказівка. x x x2 212 37 6 1+ + = + +( ) . 40. 1) Вказівка. x x x2 28 17 4 1+ + = + +( ) . 41. 2), 3). 45. 1) Вказівка. x x x x x3 2 22 2 1 2− + − = + −( )( ).
Далі врахувати, що x ≥ 2 . 2) Вказівка. 55
11
45 1x x
xx x+
−−
=+ +( )( )
. Далі вра-
хувати, що x > 0 . 46. 1). Вказівка. y y y y y3 2 27 7 7 1+ + + = + +( )( ) . Далі враху-
вати, що y ≥ −7 . 2) Вказівка. yy
yy y y+
−++
=+ +2
35
62 5( )( )
. Далі врахувати, що
y > 0 . 48. Вказівки. 1) x y x y x y2 2 2 28 4 2 2+ + − + = − + −( ) ( ) ( ) ; 2) x x y y x y2 2 2 24 2 5 2 1− + + + = − + +( ) ( ) x x y y x y2 2 2 24 2 5 2 1− + + + = − + +( ) ( ) ; 3) x y x y xy y x x y2 2 2 2 21 1 1+ + − + + = − + − + −( ) ( ) ( ) ( )
x y x y xy y x x y2 2 2 2 21 1 1+ + − + + = − + − + −( ) ( ) ( ) ( ) ; 4) 2 4 1 22 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )x xy y y x y y x− + − − = − + − + . 49. Вказівки. 2) x y x y x y2 2 2 22 1 1 1+ − + − = − + −( ) ( ) ( ) ; 3) x y x y x y2 2 2 22 4 5 1 2+ − − + = − + −( ) ( ) ;4) 5 12 10 2 32 2 2 2 2x xy y x y x y− + = − + +( ) . 50. Вказівка. x y xy x y x y x y3 3 2+ − + = − +( ) ( ) ( )
x y xy x y x y x y3 3 2+ − + = − +( ) ( ) ( ) . 51. Вказівка. a b ab b a a b a b3 3 2− − − = − +( ) ( )( ) . 52. Вказівка. a b ab a b+
− =−
2 2
2( ) . 55. 1) Вказівка. Оскільки a b= −1 , то
a b b2 2 20 5 12
2 1+ − = −, ( ) . 56. Добудок крайніх членів менший за добуток се-
редніх. 57. Ні. 58. 1) − <2 8 ; 2) − <2 6 ; 3) 20 12> ; 4) 14 6> ; 5) 2 5 5, < ;
6) 2 3 13
< . 59. 1) − > −3 6 ; 2) 2 5> − ; 3) 10 26< ; − > −5 13 ; 4) 4 6< ; − > −2 3 .
62. 1) a b+ > +4 4 ; 2) 5 1 5 1, ,a b> ; 3) − < −3 8 3 8, ,a b ; 4) a b− > −2 2 ;
5) 2 2− < −a b ; 6) − < −a b
17 17. 63. 1) p q− < −8 8 ; 2) 1
818
p q< ;
3) p q+ < +0 02 0 02, , ; 4) − > −p q ; 5) 1 1− > −p q ; 6) − > −1 2 1 2, ,p q . 64. 1) a > 0 ; 2) a < 0 ; 3) a > 0 ; 4) a > 0 . 65. 1) m > 0 ; 2) m < 0 ; 3) m > 0 ; 4) m > 0 . 66. b b b a a a− − + +2 1 1 2; ; ; ; ; . 67. q q q p p+ + − −19 1 8 17; ; ; ; . 68. 1) a b< + 3; 2) a – 2 < b; 3) –a > –b – 2; 4) –(a – 2)> –b. 69. 1) m + 2 > n; 2) m > n – 8; 3) –m + + 1 < –n + 1; 4) m + 2 > n – 3. 70. 1) 8a > 6b; 2) 5a > b; 3) –6a < –4b. 71. 1), 2) Так. 72 1), 2) Ні. 73. 1), 4) ,5) Так. 2), 3) 6). Ні. 74. 1) 13 < 17; 2) 6 > 4. 75. 1) – 1 < 16;
2) 0 > –4. 76. 1) 40 > 2; 2) 110
150
> . 77. 1) 35 > 15; 2) 15
310
< . 78. 1), 2), 4), 5) Так.
3), 6) Ні. 79. Ні. 80. 1) Ні. 2) Так. 81. 1), 3), 4), 6) Так. 2), 5) Ні. 87. 1) b – a > 0;
2) a – b < b; 3) 17b – 18a > a; 4) 53a b
b−
< . 88. 1) 3a + 2b > 28; 2), 4) порівняти
неможливо; 3) 5a – b > 23. 89. Вказівка. Використати двічі чи тричі нерів-ність Коші та почленно перемножити отримані нерівності. 90. Див. вказівку до вправи №89. 92. 1) –1 < x + 1 < 4; 2) –4 < x – 2 < 1; 3) –4 < 2x < 6; 4) –3 <
150 Відповіді Відповіді 151
< –x < 2; 5) – 9 < –3x < 6; 6) − < − <1 52
1, ;x 7) –10 < 3x – 4< 5; 8) –10 < 2 – 4x < 10.
93. 1) 1 < y – 4 < 4; 2) 8 < y + 3 < 11; 3) 30 < 6y < 48; 4) – 8 < –y < –5; 5) –16 <
< –2y < 10; 6) –20 < –3y + 4 < –11; 7) 38 < 8y – 2 < 62; 8) 18
1 13
< <y
. 95. 1), 3), 4)
Додатнє; 2) від’ємне. 96. 1) –3a + 6 > 0; 2) 18
14
0a − < ; 3) (a – 2)(a – 3) > 0;
4) aa
−−
<2
90 . 97. 10 1
x< − або 10 1
x> . 98. 1) 5 < x + y < 14; 2) –2 < x – y < 7;
3) 6 < xy < 40; 4) 12
3 13
< <xy
. 99. 1) 24 < a + b < 50; 2) 10 < b – a < 36; 3) 80 < ab < 400;
4) 2 10< <ba
. 101. 1) 10 < 2a + b < 14; 2) 59 < 3a + 7b < 76; 3) 54 < 8b – 5a < 75;
4) 56 < 7ab < 140; 5) 10 52
25< <ba
; 6) 316 20
910
<−
−<
b aa b
. 102. 1) 4 < 4a + 3b < 20;
2) − < − < −29 8 14
12a b ; 3) –8 < –a – 2b < 16; 4) 1 54
4, .< <ab
103. 3) Ніяких;
4) 3. 122. 1) (–5; 1]; 2) (–∞; 4); 3) [7; +∞); 4) [1; 2]. 123. 1) (–∞; –2]; 2) [0; 4); 3) (–2; 3); 4) (2; +∞). 134. 1) [7; 10]; 2) [–2; 2]; 3) (–∞; 2]; 4) [– 2; 2); 5) (2; 7); 6) ∅ . 135. 1) (0; 7) 2) [–1; 1); 3) (2; 4); 4) ∅ . 136. 1) (–2; 12); 2) (–2; 1]; 3) [7; 10]; 4) (–∞; 4); 5) (1; +∞); 6) (–∞; 1) ∪ (2; 4]. 137. 1) [1;7]; 2) (–3; 2]; 3) (–5; 7); 4) (–∞; +∞). 150. 3) x ≤ 2,4; 4) x < –2; 5) x < –1,4; 6) x ≥ –44. 151. 1) x > –1; 2) x > –3; 3) x ≥ –0,5;
4) x ≥ –13; 5) x > 1; 6) x ≤ –3. 152. 2) x ≥ 5; 3) x < 9; 4) x > 6. 153. 3) x < 78
; 4) x > 35
.
154. 1) x < 1,25; 2) x ≤ –10; 3) x < –8; 4) x ≥ 3; 5) x ≤ 12
; 6) x ≤ –20. 156. a < 1 27
.
157. 1) x > 0; 2) x < –8. 158. 2) 1; 2; 3; 4. 159. 1) 5. 160. 1) 1; 2) –2. 161. 2) (–∞; 6,5);
3) (–1 23
; +∞). 162. 2) [0; +∞); 3) (–∞; –116
]. 163. x ≥ 3,5; 2) x ≤ 514
; 3) x > –4;
4) 3 ≤ x < 4 або x > 4; 5) x < –1 або –1 < x < 1 або 1 < x < 1,6. 165. 1) a > –5; 2) a < 7. 166. 1) a = 0; 2) a = 0. 167. 1), 4) x — будь-яке число; 2), 3) нерівність не має розв’язків. 168. 1), 4) x — будь-яке число; 2), 3) нерівність не має розв’язків. 169. a = 3. 170. 1) a < –2; 2) a > 1; 3) a ≠ 1. 171. 1) b < 1,8; 2) b < 0 або 0 < b < 0,25;
3) немає таких b. 172. 1) c > 1 27
; 2) − < <1 124
1c або c > 1. 173. Якщо a > 0, то
xa
>2 ; якщо a < 0, то x
a<
2 ; якщо a = 0, то нерівність не має розв’язків;
2) якщо a > 0, то x ≥ 0; якщо a < 0, то x ≤ 0; якщо a = 0, то x — будь-яке число; 3) якщо a > 0, то x < 0; якщо a < 0, то x > 0; якщо a = 0, то нерівність не має
розв’язків; 4) якщо a > 0, то xa
> −3 ; якщо a < 0, то x
a< −
3 ; якщо a = 0, то x —
будь-яке число. 174. 1) Якщо a > 2, то xa
<−3
2; якщо a < 2, то x
a>
−3
2; якщо
a = 2, то x — будь-яке число; 2) якщо a > 0, то x > 1; якщо a < 0, то x < 1; якщо a = 0, то не має розв’язків; 3) якщо a > –1, то x ≤ 0; якщо a < –1, то x ≥ 0; якщо
a = –1, то x — будь-яке число. 175. 1) Якщо a > –2, то x aa
≥−+
32
; якщо a < –2,
то x aa
≤−+
32
; якщо a = –2, то x — будь-яке число; 2) якщо a > 4, то x < –4; якщо
a = 4, то не має розв’язків; якщо a < 4, то x > –4; 3) якщо a = 1, то не має розв’язків; якщо a > 1, то x > a +1; якщо a < 1, то x < a + 1; 4) якщо a = 5, то x — будь-яке число; якщо a = –5, то не має розв’язків; якщо a < –5 або a > 5,
то xa
≤+1
5; якщо –5 < a < 5, то x
a≥
+1
5. 176. Більшою за 15,5 см. 178. 56.
179. 510. 180. 73 920. 187. 1) (–∞; 2). 188. 1) (–0,15; 0,9). 189. 1) (–∞; 23
); 2) [1 56
; +∞).
190. 3) [ 2 23
; 12). 191. 10 < x < 50. 192. 3) Система не має розв’язків. 193. 2) 2;
3; 4; 5. 194. 1) (–∞; 1]; 3) (–3,5; 2]; 4) ( 57
; +∞). 195. 1) [ 2 13
; +∞); 2) [ −117
35
; );
3) немає значень х, при яких вираз має зміст; 4) (–4; 13). 196. Система не має розв’язків; 2) [–5; 1]. 197. 2) (–∞; 0,6). 198. 1) (2,4; 18). 199. 1), 3) Система не має розв’язків; 2) (–∞; 2,8); 4) х — будь-яке число. 200. 1) Система немає розв’язків; 2) (–∞; 10). 201. 1) a > 5; 2) при будь-якому а; 3) a > 3; 4) a ≤ 3. 202. 1) a ≥ –13. 204. 1) якщо a > 3, то 3 < x < a; якщо a ≤ 3, то система не має
розв’язків; якщо a > 5, то x > a; якщо a = 5, то x > 5. 205. − ≤ <25
35
x ; 4) –3 ≤ x ≤ 0;
6) 1 ≤ x ≤ 14. 206. 2) − ≤ <12
52
x ; 4) 0 ≤ x ≤ 10; 6) –7 ≤ x ≤ 9. 207. 1) 1 ≤ x ≤ 3;
2) –4 ≤ x ≤ 2; 3) –2 ≤ x < 3; 4) –3 < x < 4; 5) 5 < x < 8; 6) –2 ≤ x ≤ 5; 7) 78
1≤ <x ;
8) − < <1 23
3x . 209. 1) 3 < x < 7; 2) − ≤ <35
35
x . 210. 1) − < <1 23
1 45
x ; 2) –7,5 ≤
≤ x ≤ –0,5. 211. 1) 6 < x < 12; 2) 3 < x < 3 13
; 3) Система не має розв’язків.
212. 1) 0 13
≤ <x ; 2) 0 < x ≤ 1; 3) 1 ≤ x < 2. 213. 1) Система не має розв’язків;
2) 16 < x < 18; 3) 15
23
< <x ; 4) Система не має розв’язків. 214. Від 2 м до 12 м.
215. Від 20 дм до 28 дм. 216. 56. 217. 54. 218. 16. 219. –1 < a < 1. 220. a < –6. 221. a < 0 або a > 1. 222. 0 ≤ a ≤ 8. 223. 1) –3 < x < 3; 2) –2,5 ≤ x ≤ 2,5; 3) –2 < x < 6; 4) –6 ≤ x ≤ –1; 5) –2,5 ≤ x ≤ 6,5; 6) –23 < x < 25. 224. 1) x < –4 або x > 4; 2) x ≤ –2
162 Зміст Зміст 163
З м і С тПЕрЕДМОва .............................................................................................3
вПравИ .......................................................................................................І. Повторення матеріалу за курс алгебри 8 класу. ..........................ІІ. Нерівності ........................................................................................
Числові нерівності. .......................................................................................Основні властивості числових нерівностей ...............................................Почленне додавання і множення нерівностей. ........................................Застосування властивостей числових нерівностей для оцінювання значення виразу. ....................................................................Нерівності зі змінними. ...............................................................................Числові проміжки. ........................................................................................Лінійні нерівності. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Геометрична інтерпретація множини розв’язків нерівності. ...................................................................................Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язуванння. Геометрична інтерпретація множини розв’язків системи нерівностей ....................................................................................................Рівняння, нерівності та системи нерівностей, що містять змінну під знаком модуля. .............................................................................................Доведення нерівностей. ...............................................................................
ІІІ. Квадратична функція ..................................................................Функції.Область визначення і область значень функції. .......................Властивості функцій. ...................................................................................Найпростіші перетворення графіків функцій. .........................................Квадратний тричлен, його корені. .............................................................Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. ...................Виділення квадрата двочлена із квадратного тричлена. .......................Функція y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, її графік і властивості..............................Квадратична нерівність. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною графічним методом ...........................Метод інтервалів. .........................................................................................Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними ........Розв’язування текстових задач за допомогою систем рівнянь ................
IV. Числові послідовності ...................................................................Числові послідовності ..................................................................................Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії ...............................................................................Сума перших n членів арифметичної прогресії .......................................
Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена геометричної прогресії. ................................................................................Сума перших n членів геометричної прогресії. ........................................Нескінченно спадна геометрична прогресія зі знаменником |q| < 1 та її сума. .......................................................................................................Періодичні дроби. .........................................................................................Розв’язування вправ і задач на прогресії. .................................................
V. Елементи прикладної математики. ..............................................Математичне моделювання. Приклади математичного моделювання .................................................................................................Наближені значення чисел і величин. ......................................................Абсолютна і відносна похибки наближень. Оцінка похибок. .................Додавання, віднімання, множення і ділення наближених значень ..........................................................................................................Відсоткові розрахунки. Формули простих і складних відсотків. ............
СаМОСтІЙНІ рОБОтИ ...............................................................................С-1. Повторення матеріалу з курсу алгебри 8 класу ......................С-2. Числові нерівності та їх властивості. ........................................С-3. Лінійні нерівності з однією змінною. ........................................С-4. Системи лінійних нерівностей. ..................................................С-5. Функції. Властивості функції. ....................................................С-6. Квадратний тричлен. ..................................................................С-7. Функція y=ax2+bx+c, a„0. ...........................................................С-8А. Квадратична нерівність. ..........................................................С-9А. Розв’язання систем рівнянь другого степеня. .......................С-10А. Арифметична прогресія. ........................................................С-11А. Геометрична прогресія. ..........................................................С-12А. Елементи прикладної математики. ......................................
тЕМатИЧНІ КОНтрОЛЬНІ рОБОтИ .........................................................ТКР-1 Числові нерівності та їх властивості. Розв’язування нерівностей з однією змінною. ...........................................................ТКР-2. Системи лінійних нерівностей з однією змінною. Доведення нерівностей. ......................................................................ТКР-3. Функції. Властивості функцій. Квадратний тричлен. .......ТКР-4. Квадратична функція. Квадратична нерівність. ...............
164 Зміст Для нотаток 165
ТКР-5. Системи рівнянь другого степеня з двома змінними .........ТКР-6. Послідовності. Арифметична прогресія. ..............................ТКР-7. Геометрична прогресія. ..........................................................ТКР-8. Елементи прикладної математики. .....................................ТКР-9. Підсумкова робота за 9-й клас. .............................................
ЗавДаННЯ ДЛЯ ПрОвЕДЕННЯ КОрЕКЦІЇЇ ЗНаНЬ ...............................КЗ-1. Числові нерівності та їх властивості. Розв’язування нерівностей з однією змінною. ...........................................................КЗ-2. Системи лінійних нерівностей з однією змінною. Доведення нерівностей. ......................................................................КЗ-3. Функції. Властивості функції. Квадратний тричлен ...........КЗ-4. Квадратична функція. Квадратична нерівність. ..................КЗ-5. Системи рівнянь другого степеня з двома змінними ...........КЗ-6. Послідовності. Арифметична прогресія .................................КЗ-7. Геометрична прогресія .............................................................КЗ-8. Елементи прикладної математики .........................................
відповіді та вказівки до вправ ................................................................