óóë õàí...
TRANSCRIPT
Ãåîìåòðèéí íýãæ õè÷ýýëèéí õºòºëáºð
Íýãæ ñýäýâ: Îëîí òàëñò
Õàìðàõ õ¿ðýý: 11 æèëèéí 11-ð àíãè
Çîðèëãî: Îëîí òàëñòûí òóõàé ìýäëýãòýé áîëæ ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóó, ã¿éöýä ãàäàðãóóã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Àðãà: Áîä, õàìòàð, õóâààëö, òàéëáàðòàé äàñãàë, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ
Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ñóðàõ áè÷èã, ¿ç¿¿ëýí, òàðààõ ìàòåðèàë
Àãóóëãà
Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààí- Îëîí òàëñò
- Äèàãîíàëü îãòëîë
- Ãóðâàí òàëñò ºíöºã
- Ïðèçì
- Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóó, ã¿éöýä
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
- Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿í
- Îëîí òàëñòûã ÿëãàõ, íýðëýõ- Äèàãîíàëü, äèàãîíàëü îãòëîëûã ¿ãýýð
õýëýõ, çóðàã äýýð òýìäýãëýõ- Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã
ÿëãàõ- Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé,
ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ- Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ
Öàã òºëºâëºëò
¹ Ýýëæèò õè÷ýýëèéí ñýäýâ Öàã
Õóãà öàà Çîðèëò
1Îëîí òàëñòûí åðºíõèé îéëãîëò 1
Îëîí òàëñòûã ÿëãàõ, íýðëýõ
2 Îëîí òàëñò ºíöºã 1 Îëîí òàëñò ºíöºã, ò¿¿íèé õýìæýýã ìýäýõ
3 Ïðèçì 1 Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ4 Áàòàòãàë 3
5 Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿í 2 Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèé òîìü¸îíû ãàðãàëãàà õèéõ, ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ6 Áàòàòãàë 1
7 Õÿíàëòûí àæèë 1 Ïðèçì ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã, ÷àäâàðûã ¿íýëýõ
1
Òºëºâëºëò 1. Ñýäýâ: Îëîí òàëñòûí åðºíõèé îéëãîëò
Çîðèëãî: Îëîí òàëñòûí òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ, ÿëãàí òàíèõ, îëîí òàëñòûí îðîé, èðìýã,
òàëñûã íýðëýõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
¯å
øàòÁàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Øèí
ý ìý
äëýã
á¿ò
ýýõ
(20
ìèí) Îãòîðãóéí áèåòèéí òîäîðõîéëîëòûã
ºãíº. Æèøýý ãàðãóóëæ ÿðèëöàíà.
Îëîí òàëñòûí òîäîðõîéëîëòûã ºãíº.
Òàëñ, èðìýã, îðîé , õºðø òàëñ ãýñýí
óõàãäàõóóíûã àñóóæ ÿðèëöàí
áè÷¿¿ëíý.
Îëîí òàëñòûí äèàãîíàëü, äèàãîíàëü
îãòëîëûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.
Îãòîðãóéä áàéãàà ÿìàð íýãýí þìûã
ýçýëæ áàéãàà îãòîðãóéí õýñãèéã
îãòîðãóéí áèåò ãýíý. Æèøýý: áºìáºã, íîì,
ø¿¿ãýý
Òºãñãºëºã òîîíû îëîí ºíöºãòººð
çààãëàãäñàí õàâòãàéí öýã¿¿äýýñ
á¿ðäýõ ãàäàðãóóòàé îãòîðãóéí
áèåòèéã îëîí òàëñò ãýíý.
A, B, C, D îëîí òàëñòûí îðîé,
AB, BC, CD îëîí òàëñòûí
èðìýã
ABCD òàëñ
Íýã òàëñ äýýð ¿ë îðøèõ
õî¸ð öýãèéã õîëáîñîí õýð÷ìèéã îëîí
òàëñòûí äèàãîíàëü, íýã òàëñ äýýð ¿ë
îðøèõ ãóðâàí îðîéã äàéðñàí
õàâòãàéãààð îëîí òàëñòûã îãòëîõîä
¿¿ñýõ îãòëîëûã äèàãîíàëü îãòëîë ãýíý.
Áàò
àòãà
õ
(18
ìèí)Áàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí
õóóäàñ 174, ¹1
1. 9 èðìýãòýé îëîí òàëñò çóð.
Ò¿¿íèé îðîé, èðìýã, òàëñóóäûã
íýðë¿¿ëíý.
2
Ãýð
èéí
äààë
ãàâà
ð (2
Ãýðò îëîí òàëñò çóðæ ò¿¿íèé
èðìýã, îðîé, òàëñóóäûã íýðýëýõ,
êóáûí èðìýã, îðîé, òàëñóóäûã
íýðëýæ, òýìäýãëýõ
Äààëãàâàð òýìäýãëýí õèéõ, óíøèõ
Òºëºâëºëò 2. Ñýäýâ: Îëîí òàëñò ºíöºã
Çîðèëãî: Îëîí òàëñò ºíöºã, ò¿¿íèé õýìæýýã ìýäýõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
¯å øàò Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Øèí
ý ìý
äëýã
á¿ò
ýýõ
Ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí òîäîðõîéëîëò ºãíº. Ýíý çóðàã äýýð ÿìàð õàâòãàé ºíöã¿¿ä áàéãààã àñóóíà.N òàëñò ºíöºã ãýæ ÿìàð ºíöºã áîëîõûã àñóóí òîäîðõîéëîëòûã ºãíºÃóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿äèéí íèéëáýðèéí òóõàé òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.
1-ð æèøýý: Õýðýâ ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õî¸ð õàüòãàé ºíöºã íü 700 áà 1000 áîë ãóðàâ äàõü ºíöãèéí àâ÷ áîëîõ á¿õ óòãûã îë.
Åðºíõèé îðîéòîé, õîñ õîñîîðîî åðºíõèé òàëòàé,
íýã õàâòãàéä ¿ë îðøèõ ãóðâàí
õàâòãàé ºíö㺺ð
õÿçãààðëàãäñàí îãòîðãóéí
õýñãèéã ãóðâàí òàëñò ºíöºã
ãýíý.
AOB, BOC, COA ãýñýí ãóðâàí õàâòãàé
ºíö㺺ð õÿçãààðëàãäñàí OABC ãóðâàí òàëñò
ºíöºã ä¿ðñëýãäæýý. AOB, BOC, COA
ºíöã¿¿äèéã ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿ä áóþó òàëñóóä ãýíý. Òàëñóóäûí
õîîðîíäîõ ºíöãèéã ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õî¸ð
òàëñò ºíöºã ãýíý. Åðºíõèé îðîéòîé, n øèðõýã
õàâòãàé ºíö㺺ð õçãààðëàãäñàí îãòîðãóéí
õýñãèéã n òàëñò ºíöºã ãýíý.
Ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿äèéí
íèéëáýð 2π-ýýñ áàãà áàéíà.
1-ð æèøýý: Ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿ä α, 700,1000 áîë òåîðåì2-îîð
{α<700+1000
α+700>1000
α+1000>700 áàéõ áà ýíäýýñ 300<α<1700
3
Áàò
àòãà
õÁàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí õóóäàñ 174, ¹7
7. Ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿ä à) 300,600, 200,á) 450,450, 900 â) 300,450, 600 áàéæ áîëîõ óó?
Ãýð
èéí
äààë
ãàâà
Ãýðèéí äààëãàâàðò 8, 9-ð äàñãàë
8. Õýðýâ ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õî¸ð õàâòãàé ºíöºã íü à) 700 áà 800 á) 1300 áà 1500 áîë ãóðàâ äàõü ºíöãèéí àâ÷ áîëîõ á¿õ óòãûã îë.
Òºëºâëºëò 3. Ñýäýâ: Ïðèçì
Çîðèëãî: Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã ÿëãàõ, ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
¯å øàò Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Øèí
ý ìý
äëýã
á¿ò
ýýõ
(21
ìèí)
1-ð æèøýý áîäëîãûã óíøóóëæ ñýäýëæ¿¿ëíý. Ýíýõ¿¿ áîäëîãûã áîäîõûí òóëä ïðèçì õýìýýõ áèåòèéã ñóäëàõ øààðäëàãà ãàð÷ èðíý.Ïðèçìèéí òîäîðõîéëîëò ºãíº.N ºíöºãò ïðèçì ãýñýí óõàãäàõóóíûã òàéëáàðëàíà.
Òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý. Ïðèçìèéí ºíäºð, äèàãîíàëü, äèàãîíàëü îãòëîë ãýñýí óõàãäàõóóíóóäûã òàéëáàðëàíà. Øóëóóí ïðèçì, íàëóó ïðèçì, õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàéãèéí îéëãîëòûã ºãíº.
Áîäëîãî. Çóðàãò ¿ç¿¿ëñýí àñàðûí ºðãºí 3.2ì, óðò 4ì áîëíî. Áóñàä õýìæýýñèéã 13-ð çóðàãò õàðóóëàâ. Àñàðûã î¸õîä õè÷íýýí ìåòð äààâóó îðîõ âý?Ñóóðü ãýæ íýðëýãäýõ 2 òàëñ íü õîîðîíäîî ïàðàëëåëü áºãººä õàðèí áóñàä òàëñóóä íü õîîðîíäîî ïàðàëëåëü èðìýã¿¿äýýð îãòëîëöäîã îëîí òàëñòûã ïðèçì ãýæ íýðëýíý.Ïðèçìèéí ñóóðèóä íü òýíö¿¿ îëîí ºíöºãò¿¿ä áàéõ áºãººä ñóóðü íü n ºíöºãò áàéõ ïðèçìèéã n-ºíöºãò ïðèçì ãýíý. Æèøýý íü, ïàðàëëåëåïèïåä áà êóá íü äºðâºí ºíöºãò ïðèçì þì.Òåîðåì.Àëèâàà ïðèçìèéí õî¸ð ñóóðü íü õîîðîíäîî òýíö¿¿ áºãººä õàæóó òàëñóóä íü ïàðàëëåëîãðàìì áàéíà.Ñóóðèéí õàâòãàéíóóäûí õîîðîíäîõ çàéã ïðèçìèéí ºíäºð ãýíý. Íýã òàëñàä õàðüÿàëàãäàõã¿é õî¸ð îðîéã õîëáîñîí õýð÷ìèéã ïðèçìèéí äèàãîíàëü ãýíý. ßìàð íýãýí äèàãîíàëü áà õàæóó èðìýãèéã äàéðñàí õàâòãàéãààð ïðèçìèéã îãòëîõîä ¿¿ñýõ îëîí ºíöºãòèéã ïðèçìèéí äèàãîíàëü îãòëîë ãýíý.Ïðèçìèéí õàæóó èðìýã¿¿ä ñóóðüò ïåðïåíäèêóëÿð áîë óã ïðèçìèéã øóëóóí ïðèçì ãýíý.
4
Áàò
àòãà
õ (1
7 ìè
í) Áàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí õóóäàñ 179-èéí 13, 15-èéã õèéëãýíý.
13. Áèåò¿¿äýýñ ïðèçìèéã ÿëãàíà.15. à)n ºíöºãò ïðèçì õè÷íýýí òàëñòàé âý? á)n øèðõýã òàëñòàé ïðèçìèéí ñóóðü ÿìàð îëîí ºíöºãò áàéõ âý?
â) ¿ç¿¿ðëýýã¿é 6 òàëñò õàðàíäàà õè÷íýýí òàëñòàé âý?
Ãýð
èéí
äààë
ãàâà
Ãýðèéí äààëãàâàðò 16-20-ð äàñãàë
17. Ãóðâàí ºíöºãò, äºðâºí ºíöºãò, òàâàí ºíöºãò, n ºíöºãò ïðèçìä õýäýí äèàãîíàëü òàòàæ áîëîõ âý?18. Ïàðàëëåëåïèïåäèéí äèàãîíàëü îãòëîë ÿìàð ä¿ðñ ãàðàõ âý?
Òºëºâëºëò 4. Õичээлийн сэдэв: Ïðèçì /Áàòàòãàë/ Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã ÿëãàõ, ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
17минут
19
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçì ãýæ ÿìàð îëîí òàëñòûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí
òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí
òàëáàéí òîäîðõîéëîëò ºãíº.
Æèøýý. Àäèë õàæóóò
ãóðâàëæèí ñóóðüòàé ïðèçìèéí
ãóðâàëæíû ñóóðü 3.2ì, îðîéãîîñ
ñóóðü ëóó áóóëãàñàí ºíäºð 1.2ì,
ïðèçìèéí ºíäºð 4ì áîë ïðèçìèéí
ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã
îë.
Бататгал: - 179-ð õóóäàñíû
№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã
áîäóóëíà.
Ïðèçìèéí á¿õ õàæóó òàëñûí òàëáàéí
íèéëáýðèéã ò¿¿íèé õàæóó
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýõ áà Sõ.ã
ãýæ òýìäýãëýíý. Ïðèçìèéí ã¿éöýä
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü õàæóó
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé äýýð õî¸ð
ñóóðèéí òàëáàéã íýìñýíòýé òýíö¿¿.
Æèøýý áîäëîãûã áîäñîí àðãà äýýðýý
òóëãóóðëàí áîäîëòûã õèéíý Sã.ã=
Sõ.ã+2Sc
Áîäîëò.
E îðîéãîîñ òàòñàí ºíäºð EF ãýâýë
BF= BC2
=3.22
=1.6ì áà EF=1.2ì òóë
∆ BFE :BE2=BF2+EF 2=2.56+1.44=4⇒BE=2
5
минут
2минут
Ä¿ãíýëò: Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí
òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí
òàëáàéã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí
ýñýõèéã ä¿ãíýõ
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 179-ð õóóäàñ
¹ 22, 23, 25
ì, Sõ.ã=
ì2, Sc=
2 ∙ SBEC=2∙BC ∙ EF2
=3.2 ∙1.2=3.84ì2
Sã.ã= Sõ.ã+2Sc=28.8+3.84=67.2
Уг хичээлээñ ойлгосон áîëîí
àíõààðàõ ç¿éëñèéã ÿðèëöàí
дүгнэõ
ªгөгдсөн бодлогыг áè÷èæ òýìäýãëýõ
Òºëºâëºëò 5. Õичээлийн сэдэв: Ïðèçì /Áàòàòãàë/ Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã ÿëãàõ, ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
6
2минут
20минут
16минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýæ þóã õýëýõ âý? Ïðèçìèéí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã õýðõýí îëîõ âý?Мэдлэг бүтээх:Ïåðïåíäèêóëÿð
îãòëîëûí
òîäîðõîéëîëò
ºãíº.
Òåîðåì,
ìºðäëºãºº áè÷¿¿ëíý.
Æèøýý. Øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü íü
AB=CD=13ñì, BC=11ñì áà
AD=21ñì òàëòàé àäèë õàæóóò
òðàïåö áîëíî. Ïðèçìèéí äèàãîíàëü
îãòëîëûí òàëáàé 180ñì2 áîë
ïðèçìèéí á¿òýí ãàäàðãóóãèéí
òàëáàéã îë.
Бататгал: - 179-ð õóóäàñíû
№ 26, 28-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã
áîäóóëíà.
Ä¿ãíýëò: Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí
òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí
òàëáàéã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí
ýñýõèéã ä¿ãíýõ
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 179-ð õóóäàñ
¹ 27, 29
Ïðèçìèéã èðìýãò íü ïåðïåíäèêóëÿð õàâòãàéãààð îãòëîõîä ¿¿ññýí îëîí ºíöºãòèéã ïåðïåíäèêóëÿð îãòëîë ãýíý.Òåîðåì. Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü ò¿¿íèé õàæóó èðìýãèéí óðòûã ïåðïåíäèêóëÿð îãòëîëûí ïåðèìåòðýýð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿.̺ðäëºãºº. Øóëóóí ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü ñóóðèéí ïåðèìåòðèéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿. Sõ.ã=l ∙ Pc
Áîäîëò. ABCD àäèë õàæóóò òðàïåöèéí Ñ îðîéãîîñ ºíäºð áóóëãàæ ñóóðèéã H ãýå.
HD= AD−BC2
⇒HD=5ñì, AH=AD-
HD=21-5=16ñì, ∆CHD :CH 2=CD2−HD2=132−52=169−25=144⇒CH=12ñì∆ AHC : AC2=AH 2+CH 2=162+122=256+144=400⇒AC=20
ñì
SA A 1C1C=180ñì2
⇒ A A1 ∙ AC=180⇒ A A1=180AC
=18020
=9
ñì,
Sõ.ã=A A1 ∙PABCD=9 ∙ (2∙13+11+21 )=522
ñì2
Sc=(AD+BC )∙CH
2=(21+11) ∙12
2=192
ñì2
Sã.ã=2Sc+Sõ.ã=2 ∙192+522=906ñì2
7
ªгөгдсөн бодлогыг áè÷èæ òýìäýãëýõ
Òºëºâëºëò 6. Õичээлийн сэдэв: Ïðèçì /Áàòàòãàë/ Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã ÿëãàõ, ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
17минут
19минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí
òàëáàé ãýæ þóã õýëýõ âý?
Ïðèçìèéí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí
òàëáàéã õýðõýí îëîõ âý?
Мэдлэг бүтээх:Ïàðàëëåëåïèïåäèéí òîäîðõîéëîëò
ºãíº.
Òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí
ºíäºð 12ñì, ñóóðèéí òàëóóä 4ñì,
3ñì áîë ñóóðèéí
Бататгал: - 179-ð õóóäàñíû
№ 30, 31-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã
áîäóóëíà.
Ä¿ãíýëò: Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí
òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí
òàëáàéã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí
ýñýõèéã ä¿ãíýõ
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 179-ð õóóäàñ
¹ 32, 35
Øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü íü
ïàðàëëåëîãðàìì áîë ò¿¿íèéã
ïàðàëëåëåïèïåä ãýíý. Ïàðàëëåëåïèïåä
íü òóñ á¿ð 4 ïàðàëëåëü èðìýãýýñ
òîãòîõ ãóðâàí õîñ, íèéò 12 èðìýãòýé
áà 6 îðîéòîé. Õîîðîíäîî ïàðàëëåëü 4
èðìýã íü ¿ëäñýí èðìýã¿¿äýä
ïåðïåíäèêóëÿð áàéâàë óã
ïàðàëëåëåïèïåäèéã øóëóóí ïàðàëëåëåïèïåä, ýñðýã òîõèîëäîëä
íàëóó ïàðàëëåëåïèïåä ãýæ íýðëýíý.
Á¿õ òàëñ íü òýãø ºíöºãò áàéõ
ïàðàëëåëåïèïåäèéã òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåä ãýíý.
Ïàðàëëåëåïèïåäèéí ýñðýã îðîéíóóäûã
õîëáîñîí õýð÷ìèéã ò¿¿íèé äèàãîíàëü
ãýíý.
8
Òºëºâëºëò 7 . Ñýäýâ: Ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿í
Çîðèëãî: Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
¯å øàò Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Øèí
ý ìý
äëýã
á¿ò
ýýõ
1-ð æèøýý áîäëîãûã òàâüæ ñýäýëæ¿¿ëíý.
çóðàã 26Çóðãààñ õàðàõàä çîîðü áàðèõ ãàçàð íü ïðèçì õýëáýðòýé áàéíà óó. Õè÷íýýí ì3 øîðîî ãàðàõûã îëíî ãýäýã íü øóëóóí ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿íèéã îëíî ãýñýí ¿ã.Òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.Áàòàëãààã õàìòðàí ÿðèëöàí õèéíý.
1-ð æèøýý: Íîãîîíû í¿õýí çîîðü áàðèõààð òàøóó ãàçðûã ñóðàõ áè÷ãèéí 26-ð çóðàãò ¿ç¿¿ëñýí áàéäëààð óõàõààð áîëæýý. Óã ãàçðûã áàðèõàä õè÷íýýí ì3 øîðîî ãàðàõ âý?Òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí ñóóðüòàé ïðèçì áàéíà.Òåîðåì. Øóëóóí ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿í ñóóðèéí òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿. V=Sc ∙ h
Ýõëýýä øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü ∠ ABC=90°áàéõ òýãø ºíöºãò ÀÂÑ ãóðâàëæèí áàéõ òîõèîëäîëä àâ÷ ¿çíý. ªãñºí ïðèçìýý òýãø ºíöºãò ABCD ñóóðüòàé, h
ºíäºðòýé ïàðàëëåëåïèïåä áîëãîí ã¿éöýýíý. ABCA1B1C1, CDAC1D1A1 ïðèçì¿¿ä õîîðîíäîî òýíö¿¿. Èéìä 2V ABC A 1B1C1=V ABCD A1B 1C 1D 1
=SABCD ∙ h=2 SABC ∙ h⇒V ABC A1B1C 1=SABC ∙h1-ð æèøýý. Ýíý ïðèçìèéí ñóóðü 3ì áà 16ì êàòåòòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí áºãººä
ºíäºð 10ì áàéâ. Sc=3 ∙162
=24 h=10 V=24
∙10=240ì3
Áàò
àòãà
õ
Áàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí õóóäàñ 187, ¹41, 42
41. çóðàãò ºãºãäñºí ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿íèéã îë.
46. äàðààõ ñóóðüòàé,h=8äì ºíäºðòýé ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿íèéã îë.
À) òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí a=24ñì, b=15ñì, α=900 á) Ǻâ ãóðâàëæèí a=b=c=5ñì â) ïàðàëëåëîãðàììûí a=4.5ñì, h=3ñì
Ãýð
èéí
äààë
ãà Ãýðèéí äààëãàâàðò 40, 43-ð äàñãàë
43. òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí õýìæýýñ¿¿ä 28ì, 42ì, 63ì áîëíî. Ò¿¿íòýé èæèë ýçëýõ¿¿íòýé êóáûí èðìýãèéã îë.
9
Òºëºâëºëò 8 . Ñýäýâ: Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿í/áàòàòãàë/
Çîðèëãî: Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
¯å øàò Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Ñýð
ãýýí
ñàí
àõ
Ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿íèéã õýðõýí îëîõûã
àñóóæ ÿðèëöàíà.
Æèøýý: Øóëóóí ïàðàëëåëåïèïåäèéí
ñóóðü õîîðîíäîî 60° ºíöºã ¿¿ñäýã 3ì
áà 5ì óðò òàëóóäòàé
ïàðàëëåë¿ãðàìì áàéâ. Èõ
äèàãîíàëü îãòëîëûí òàëáàé 63ì2 áîë
ïàðàëëåëåïèïåäèéí áàãà
äèàãîíàëèéí óðò áà ýçýëõ¿¿íèéã
îë.
Òåîðåì. Øóëóóí ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿í ñóóðèéí òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿. V=Sc ∙ h
ABCDA1B1C1D1 øóëóóí ïàðàëëåëåïèïåä àâúÿ. Ïàðàëëåëåïèïåäèéí áàãà äèàãîíàëü íü BD1=B1D . Ïàðàëëåëåïèïåäèéí ñóóðèéí BD äèàãîíàëèéí óðò îëú¸.
Êîñèíóñûí òåîðåì ¸ñîîð
⊿ ABD :BD2=AB2+AD2−2 AB∙ ADcos 60°=32+52−2 ∙3 ∙5 ∙ 12=19
. Ïàðàëëåëîãðàììûí äèàãîíàëèóäûí óðòûí êâàäðàòóóäûí íèéëáýð òàëóóäûí óðòûí êâàäðàòûí íèéëáýðòýé òýíö¿¿ áàéäàã ÷àíàð ¸ñîîð AC2+BD2=2 ( AB2+AD2 )⇒ AC2+19=2 (9+25 )=68⇒ AC2=68−19=49⇒ AC=7
ì. SA A 1c1c=AC ∙ A A1=63ì2⇒ A A1=637
=9ì.
BD12=B D2+D D1
2=19+81=100ì2
⇒B D1=10ì. Ñóóðèéí ïàðàëëåëîãðàììûí òàëáàé
SABCD=AB ∙ ADsin60°=3 ∙5 ∙ √32
=15√32
ì2.
V=S ABCD ∙h=15√32
∙9=135√32
≈116.9ì3
Áàò
àòãà
õ
Áàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí õóóäàñ 187, ¹44, 45
45. ãîëûí ýðãèéí äàëàíãèéí õºíäëºí îãòëîë íü òðàïåö õýëáýðòýé áºãººä ò¿¿íèé äýýä, äîîä ñóóðü õàðãàëçàí 3ì, 10ì, ºíäºð íü 3ì, õàæóó èðìýã¿¿ä íü 5ì, 3√2ì áîëíî.
À) 5êì óðò äàëàíä õè÷íýýí êóá ìåòð øîðîî îðîõ âý?
á) óã äàëàíãèéí äýýã¿¿ð íîãîî óðãàñàí ãàçðûí òàëáàéã îë.
10
Ãýð
èéí
äààë
ãàâà
ðÃýðèéí äààëãàâàðò 46, 47-ð äàñãàë
46. òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí õýìæýýñ¿¿ä 28ì, 42ì, 63ì áîëíî. Ò¿¿íòýé èæèë ýçëýõ¿¿íòýé êóáûí èðìýãèéã îë.
Òºëºâëºëò 9. Õичээлийн сэдэв: Ïðèçìèéí ýçýë¿¿í /Áàòàòãàë/ Ээлжит хичээлийн зорилго: Ëîãàðèôì òýíöýòãýë áèøèéã îðëóóëàõ àðãààð áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýæ þóã õýëýõ âý? Ïðèçìèéí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã õýðõýí îëîõ âý?Мэдлэг бүтээх:Æèøýý. Òýãø ºíöºãò
ïàðàëëåëîïèïåäèéí ãóðâàí òàëñûí
äèàãîíàëü 7, 8, 9 íýãæ óðòòàé
áîë ïàðàëëåëîïèïåäèéí
ýçýëõ¿¿íèéã îë.
Òàëñ á¿ð äýýð ÿìàð ãóðâàëæèí
¿¿ññýíèéã àñóóíà. Òàëñûí
äèàãîíàëü á¿ð òýãø ºíöºãò
ãóðâàëæíû ÿìàð òàë áîëæ áóéã
àæèãëóóëíà.
Бататгал: - 188-ð õóóäàñíû
№ 48, 50-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã
áîäóóëíà.
Ä¿ãíýëò: Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íòýé õîëáîîòîé
áîäëîãûã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí
ýñýõèéã ä¿ãíýõ
Ãýðèéí äààëãàâàð:
ªãñºí íºõöºëººð
A1B=7 ,BC1=9 ,
BD=8 áàéíà.
Òýãø ºíöºãò
ãóðâàëæèí
á¿ðèéí õóâüä Ïèôàãîðûí òåîðåì áè÷íý.
BC12=a2+c2; BD2=a2+b2 ;
B A12=b2+c2
{a2+c2=81
a2+b2=64b2+c2=49
⇒{c2−b2=17b2+c2=49
⇒2c2=66 , c2=33 , b2=16 , a2=48
V=a ∙b ∙ c=√a2 ∙ b2 ∙c2=√33 ∙16∙ 48=48√11
Äàñãàë áîäëîãûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ
òýìäýãëýíý.
11
2минут
Ñóðàõ áè÷èã 188-ð õóóäàñ
¹ 49, 51, 52
Òºëºâëºëò 10. Ñýäýâ:Õÿíàëòûí àæèë.
Çîðèëãî: Ïðèçì ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàðûã ¿íýëæ ä¿ãíýíý.
À âàðèàíò
1. Øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü íü 6ñì, 8ñì êàòåòòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí áàéâ.
Ïðèçìèéí ºíäºð íü 9 ñì áîë ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.
2. Ïðèçìèéí õàæóó èðìýã 6 ñì áà ñóóðèéí õàâòãàéòàé 600 ºíöºã ¿¿ñãýíý.
Ïðèçìèéí ºíäðèéã îë.
3. Ǻâ çóðãààí ºíöºãò ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 428ñì2 , õàæóó
òàëñûí äèàãîíàëü 5ñì áîë ò¿¿íèé ºíäºð áà ñóóðèéã îë.
4. Òðàïåöèéí ñóóðèóä 8ì, 4ì, ºíäºð íü 3ì. Òðàïåö ñóóðüòàé ïðèçìèéí ºíäºð 7ì áîë
ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.
Á âàðèàíò
1. Øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü íü 9ñì òàëòàé çºâ ãóðâàëæèí áàéâ. Ïðèçìèéí ºíäºð íü
5 ñì áîë ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.
2. Ïðèçìèéí õàæóó èðìýã 10 ñì áà ñóóðèéí õàâòãàéòàé 300 ºíöºã ¿¿ñãýíý.
Ïðèçìèéí ºíäðèéã îë.
3. Ǻâ äºðâºí ºíöºãò ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 536ñì2 , õàæóó
òàëñûí äèàãîíàëü 6ñì áîë ò¿¿íèé ºíäºð áà ñóóðèéã îë.
4. Ïàðàëëåëîãðàìûí òàë 5ì, ºíäºð íü 4ì. Ïàðàëëåëîãðàì ñóóðüòàé ïðèçìèéí ºíäºð
11ì áîë ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.
12
Ãåîìåòðèéí íýãæ õè÷ýýëèéí õºòºëáºð
Íýãæ ñýäýâ: Îëîí òàëñò /Ïèðàìèä 9öаг/
Õàìðàõ õ¿ðýý: 11 æèëèéí 11-ð àíãè
Çîðèëãî: Îëîí òàëñòûí òóõàé ìýäëýãòýé áîëæ ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóó, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé îëîõ, ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Àðãà: Áîä, õàìòàð, õóâààëö, òàéëáàðòàé äàñãàë, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ
Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ñóðàõ áè÷èã, ¿ç¿¿ëýí, òàðààõ ìàòåðèàë
Àãóóëãà
Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààí- Ïèðàìèä
- Ïèðàìèäûí ºíäºð, õàæóó èðìýã,
õàæóó òàëñ, àïîôåì
- Ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóó,
ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
- Ïèðàìèäûí îãòëîë, îãòëîãäñîí ïèðàìèä
- Îëîí òàëñòûã ÿëãàõ, íýðëýõ- Äèàãîíàëü, äèàãîíàëü îãòëîëûã ¿ãýýð
õýëýõ, çóðàã äýýð òýìäýãëýõ- Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã
ÿëãàõ- Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé,
ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ
Öàã òºëºâëºëò
¹ Ýýëæèò õè÷ýýëèéí ñýäýâ Öàã
Õóãà öàà Çîðèëò
1 Áàòàòãàë 1 Îëîí òàëñòûã ÿëãàõ, íýðëýõ Äèàãîíàëü, äèàãîíàëü îãòëîëûã
¿ãýýð õýëýõ, çóðàã äýýð 2 Ïèðàìèä 1
3 Áàòàòãàë 1
13
òýìäýãëýõ Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí
ïðèçìèéã ÿëãàõ Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí
òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ
4 Ïèðàìèäûí îãòëîë 1
5 Áàòàòãàë 1
6 Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í 1
7 Áàòàòãàë 1
8 Õÿíàëòûí àæèë 1
Òºëºâëºëò 1. Õичээлийн сэдэв: Ïðèçì /Áàòàòãàë/ Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
14
2минут
17минут
19минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçì ãýæ ÿìàð îëîí òàëñòûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Æèøýý. Ǻâ äºðâºí ºíöºãò
ïðèçìèéí äèàãîíàëü ñóóðèéí
õàâòãàéòàé 300 ºíöºã ¿¿ñãýõ áà
óðò íü 2 íýãæ
áîë ïðèçìèéí
á¿òýí
ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.
Бататгал: ÒªÌ äýýðõ áîäëîãî áîäóóëíà.
Ä¿ãíýëò: Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí
òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí
òàëáàéã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí
ýñýõèéã ä¿ãíýõ
Ãýðèéí äààëãàâàð:“Ìàòåìàòèêèéí òåñò” íîìíû
¹ 279, 280, 281
Ïðèçìèéí á¿õ õàæóó òàëñûí òàëáàéí
íèéëáýðèéã ò¿¿íèé õàæóó
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýõ áà Sõ.ã
ãýæ òýìäýãëýíý. Ïðèçìèéí ã¿éöýä
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü õàæóó
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé äýýð õî¸ð
ñóóðèéí òàëáàéã íýìñýíòýé òýíö¿¿.
Áîäîëò.
ºãñºí íºõöºëººð ABCD êâàäðàò,
B1D=2 ,∡BDB1=30° áàéíà. ∡BDB1
–èéí õóâüä 30°-èéí ýñðýã îðøèõ
êàòåò ãèïîòåíóçûí õàãàñòàé òýíö¿¿.
Ýíäýýñ BB1=BD2
=1,
BD=√B1D2−BB12=√4−1=√3
ABCD êâàäðàòûí òàëûã à ãýå.
BD2=a2+a2=2a2⇒ 3=2a2⇒a=√ 32 ,
Sã.ã=
2 (AD ∙D D1+DC ∙D D1+AD ∙DC )=2(√ 32 ∙1+1∙√ 32 +√ 32 ∙√ 32 )=2(2√ 32+ 32 )=4√3√2+3=3+2√6
Уг хичээлээñ ойлгосон áîëîí
àíõààðàõ ç¿éëñèéã ÿðèëöàí
дүгнэõ
ªгөгдсөн бодлогыг áè÷èæ òýìäýãëýõ
Òºëºâëºëò 2. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèä
15
Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò, ¿íäñýí íýð òîìü¸îã ìýäýæ, ò¿¿íòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Åãèïåòèéí ïèðàìèäûí òóõàé ñîíèðõîëòîé ìýäýýëëèéã ñóðàëöàã÷èäòàé ÿðèëöàíà.Мэдлэг бүтээх: Ïèðàìèäûí
òîäîðõîéëîëòûã ºãíº.Ïèðàìèäûã ñóóðèéí îëîí ºíöºãòººð ãóðâàëæèí, äºðâºí ºíöºãò, òàâàí ºíöºãò ïèðàìèä ãýæ àíãèëíà.Òåîðåì1(Õàæóó èðìýã¿¿ä íü òýíö¿¿ áàéõ ïèðàìèäûí ÷àíàð) Õýðýâ ïèðàìèäûí á¿õ õàæóó èðìýã¿¿ä òýíö¿¿ áîë ò¿¿íèé ºíäðèéí ñóóðèéí öýã, ñóóðèéí îëîí ºíöºãòèéã áàãòààñàí òîéðãèéí òºâòýé äàâõöàíà.Æèøýý. Ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí ñóóðü íü 3ñì áà 4ñì êàòåòóóäòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí áîëíî. Õýðýâ ýíý ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã¿¿ä 6–òàé òýíö¿¿ áîë ò¿¿íèé ºíäðèéã îë. Бататгал: 192-ð õóóäàñíû
№ 57, 59-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:
Ñóðàõ áè÷èã 192-ð õóóäàñ
¹ 53-56, 58, 60
Ñóóðü ãýæ íýðëýãäýõ íýã òàëñ íü ÿìàð íýã n-îëîí ºíöºãò, áóñàä òàëñ íü åðºíõèé îðîéòîé ãóðâàëæíóóä áàéõ îëîí òàëñòûã n ºíöºãò ïèðàìèä ãýíý.n îëîí ºíöºãòèéã ïèðàìèäûí ñóóðü, åðºíõèé S îðîéã ïèðàìèäûí îðîé, ïèðàìèäûí îðîéãîîñ ñóóðèéí õàâòãàéä áóóëãàñàí SO ïåðïåíäèêóëÿðûã ïèðàìèäûí ºíäºð, ïèðàìèäûí îðîéã ñóóðèéí îðîéíóóäòàé õîëáîñîí S A1 , S A2 ,…,S An õýð÷ì¿¿äèéã ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã¿¿ä, õàæóó èðìýã¿¿ä áîëîí ñóóðèéí òàëóóäààð áàéãóóëàãäñàí òàëñóóäûã ïèðàìèäûí õàæóó òàëñ, õàæóó òàëñûí îðîéãîîñ áóóëãàñàí SK ºíäð¿¿äèéã àïîôåì ãýíý. Õàæóó òàëñóóäûí òàëáàéí íèéëáýðèéã ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýýä Sõ.ã ãýæ òýìèäýãëýíý. Sõ.ã=S∆ S A1 A2+S∆S A 2A 3
+…+S∆ S An A 1
S.ã.ã= Sõ.ã+ Sñ
Áîäîëò. AB=3, BC=4, ∠ ABC=90° ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã¿¿ä òýíö¿¿ òóë SA=SB=SC=6 òåîðåì 1 ¸ñîîð ºíäðèéí ñóóðü íü Î íü ÀÂÑ òýãø ºíöºãò ãóðâàëæíûã áàãòààñàí òîéðãèéí áóþó ÀÑ ãèïîòåíóçûí äóíäàæ öýã áàéíà. ∆ ABC :AC=√32+42=5 áà
OC=12∙ AC=1
2∙5=5
2 ,
∆ SOC :SO=√l2−OC 2=√36−6.25=√29.75
Òºëºâëºëò 3. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèä /Áàòàòãàë/
16
Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò, ¿íäñýí íýð òîìü¸îã ìýäýæ, ò¿¿íòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïèðàìèä ãýæ ÿìàð îëîí òàëñòûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Ïèðàìèäûí òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.
Ǻâ ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.
Æèøýý. Ǻâ äºðâºí ºíöºãò
ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë 14 ñì,
õàæóó èðìýã 10 ñì áîëíî.
Ïèðàìèäûí à) ºíäºð á) õàæóó
ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.
Бататгал: - 192-ð õóóäàñíû
№ 61, 62, 63-ä ºãºãäñºí
áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ä¿ãíýëò: Ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã, ºíäºð
çýðýã ïèðàìèäòàé õîëáîîòîé
áîäëîãûã õýðõýí áîäîæ ñóðñíûã
¿íýëíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 193-ð õóóäàñ
¹ 64-66
Òåîðåì 2. Ïèðàìèäûí õàæóó òàëñóóä ñóóðèéí õàâòãàéòàé òýíö¿¿ ºíöã¿¿ä ¿¿ñãýæ áàéâàëÀ) ªíäðèéí ñóóðèéí öýã, ñóóðèéí îëîí ºíöºãòºä áàãòñàí òîéðãèéí òºâòýé äàâõöàíà. Á) Õàæóó òàëñûí àïîôåìóóä õîîðîíäîî òýíö¿¿ áàéíà.Ñóóðü íü çºâ îëîí ºíöºãò áàéäàã ïèðàìèäûí ºíäºð ñóóðèéí òºâ äýýð áóóæ áàéâàë ò¿¿íèéã çºâ ïèðàìèä ãýíý. Ǻâ ïèðàìèäûí ºíäðèéã àãóóëñàí øóëóóíûã ò¿¿íèé òýíõëýã ãýíý. Á¿õ èðìýã íü òýíö¿¿ áàéõ ãóðâàëæèí ïèðàìèäûã òåðàýäð ãýíý.Áîäîëò. ºãñºí íºõöºë ¸ñîîð AB=BC=CD=AD=14ñì, SA=SB=SD=SC=10 ñìÀ) ∆ ABC :AC=√142+142=14√2 ñì,
OC=12AC=7√2 ñì.
∆ SOC :OS=h=√102−(7 √2)2=√2
Á) Sõ.ã=pc ∙ l⇒ pc=4 ∙142
=28 ñì
l=SM=√h2+OM2=√2+49=√51, Sõ.ã=28√51 ñì2
Äàñãàë áîäëîãûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Òºëºâëºëò 4. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèä /Áàòàòãàë/
17
Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò, ¿íäñýí íýð òîìü¸îã ìýäýæ, ò¿¿íòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïèðàìèä ãýæ ÿìàð îëîí òàëñòûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Ïèðàìèäûí òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.
Ǻâ ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.
Æèøýý. À óðòòàé èðìýã á¿õèé
çºâ òåòðàýäðèéí ñóóðèéí íýã
èðìýã áà ýñðýã èðìýãèéí
äóíäàæèéã äàéðñàí õàâòãàé,
òåòðàýäðèéí ñóóðèéí òàëñòàé
¿¿ñãýõ ºíöãèéí õýìæýýã îë.
Бататгал: - 192-ð õóóäàñíû
№ 67, 68 -ä ºãºãäñºí áîäëîãûã
áîäóóëíà.
Ä¿ãíýëò: Ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã, ºíäºð
çýðýã ïèðàìèäòàé õîëáîîòîé
áîäëîãûã õýðõýí áîäîæ ñóðñíûã
¿íýëíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 193-ð õóóäàñ
¹ 69, 70
Áîäîëò. ºãñºí íºõöºë ¸ñîîð ABCD òåòðàýäð, á¿õ èðìýã òýíö¿¿, S öýã DC-èéí äóíäàæ áîë
∠ SO1C=α=?
O1C=√AC2−O1 A
2
4=√a2− a2
4= a2 √3
SC=DC2
=a2 , ∆ DCA íü çºâ
ãóðâàëæèí òóë AS íü ∆ DCA ºíäºð áîëíî.
SCCO1
=sinα⇒ sinα=
23a
23a√3
=√33
,
α=arcsin √33
Äàñãàë áîäëîãûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Òºëºâëºëò 5. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèäûí îãòëîë 18
Ээлжит хичээлийн зорилго: Oãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé îëîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ǻâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Äèàãîíàëü îãòëîë, îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëòûã ºãíº.
Æèøýý. Îãòëîãäñîí çºâ 4 ºíöºãò ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàëóóä 8ì áà 4 ì. ªíäºð íü 3ì áîë á¿òýí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.Бататгал: - 196-ð õóóäàñíû
№ 73, 76-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ä¿ãíýëò: Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí ýñýõèéã ä¿ãíýõ
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 196-ð õóóäàñ
¹ 74, 75
À) Ïèðàìèäûí íýã òàëñ äýýð ¿ë îðøèõ
2 õàæóó èðìýãèéã äàéðñàí îãòëîëûã
ïèðàìèäûí äèàãîíàëü îãòëîë ãýíý.
Á) Ïèðàìèäûã ñóóðüòàé íü ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð îãòëîõîä ïèðàìèä íü íýã ïèðàìèä áà ººð íýã îëîí òàëñò áîëîí õóâààãäàíà. Òýð ¿¿ññýí îëîí òàëñòûã îãòëîãäñîí ïèðàìèä ãýíý.Çóðàã äýýð îãòëîãäñîí ãóðâàëæèí ïèðàìèä áàéíà. Îãòëîãäñîí ïèàìèäûí õàæóó òàëñ á¿ð íü òðàïåö áàéíà. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ïàðàëëåëü õî¸ð òàëñûã äýýä, äîîä ñóóðü ãýíý. ABC äýýä ñóóðü, A1B1C1 äîîä ñóóðü, îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí 2 ñóóðèéí õàâòãàéí õîîðîíäîõ çàéã îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ºíäºð ãýíý. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó òàëñóóäûí ºíäðèéã óã õàæóó òàëñûí àïîôåì ãýíý. Áîäîëò. ºãñºí íºõöºë ¸ñîîð AB=BC=CD=AC=8, A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=4, B1H=3 ∆ ABD :BD=√AB2+AD2=√64+64=8√2, ∆ A1B1D1 :B1D1=√ A1B1
2+A1D12=√16+16=4 √2
,
HB=BD−B1D1
2=8√2−4√2
2=4√2
2=2√2
∆ BH B1 :B B1=√BH2+B1H2=√8+9=√17 ,
BM=AB−A1B1
2=8−4
2=2
∆ BB1M :B1M=√B B12−BM2=√17−4=√3
, Sõ.ã=
4 ∙ SA A1B1 B=4 ∙AB+A1B1
2∙B1M=4 ∙ 8+4
2∙√3=24√3
ñì2
Òºëºâëºëò 6. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèäûí îãòëîë /Áàòàòãàë/
19
Ээлжит хичээлийн зорилго: Oãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé îëîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ǻâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.̺ðäëºãºº. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèóäûí òàëáàéí õàðüöàà íü òýäãýýð ñóóðèóäààñ ïèðàìèäûí îðîé õ¿ðòëýõ çàéíóóäûí õàðüöààíû êâàäðàòòàé òýíö¿¿.
Æèøýý. Îãòëîãäñîí çºâ äºðâºí ºíöºãò ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã 10ñì, àïîôåì íü 8 ñì, õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 640ñì2 áîë ñóóðèéí òàëóóäûã îë.
Бататгал: - 196-ð õóóäàñíû
№ 77, 78-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ä¿ãíýëò: Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí ýñýõèéã ä¿ãíýõÃýðèéí äààëãàâàð:
Ñóðàõ áè÷èã 196-ð õóóäàñ ¹ 79, 80
Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèóä õîîðîíäîî òºñººòýé áàéíà. Òýð òºñººãèéí õàðüöàà íü òýäãýýð ñóóðèóäààñ ïèðàìèäûí îðîé õ¿ðòýëõ çàéíóóäûí õàðüöààòàé òýíö¿¿.Áàòàëãàà. Îãòëîãäñîí ïèðàìèä íü ABC A1B1C1 áîëîã. Ïàðàëëåëü õàâòãàéíóóä íýã õàâòãàéã ïàðàëëåëü øóëóóíóóäààð îãòîëíî. Èéìä AB∥ A1 B1, BC ∥B1C1, CA ∥C1 A1⇒∆ SAB ∆S A1B1∆ SBC ∆ SB1C1 ,∆ SCA ∆S C1 A1⇒
SAS A1
= SBS B1
= SCSC1
= ABA1B1
= BCB1C 1
= CAC1 A1
⇒∆ ABC ∆ A1B1C1
Áîäîëò. A A1=BB1=CC1=DD1=10ñì, B1Ì=8, Sõ.ã=640ñì2
∆M B1B:MB=√B1B2−B1M2=√100−64=6
A1B1=x ãýâýë AB=A1B1+2MB=x+2∙6=x+12Sõ.ã=
SA A 1B1B=AB+A1B1
2∙B1M= x+12+x
2∙8=640⇒ 4 (2 x+12 )=640⇒ 2x+12=160⇒2 x=148⇒ x=74 ,
A1B1=74 , AB=74+12=86ñì
ªãºäñºí äàñãàë áîäëîãûã õèéíý.
Òºëºâëºëò 7. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í
20
Ээлжит хичээлийн зорилго:Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ǻâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Òåîðåì1-èéã áè÷¿¿ëæ áàòàëãààã õàìòðàí õèéíý.Òåîðåìîîñ ãàðàõ ìºðäëºãººã áè÷¿¿ëíý.Òåîðåì2. Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í íü ñóóðèéã òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿.
V=13Sc ∙ h, ýíä Sc ïèðàìèäûí
ñóóðèéí òàëáàé, h-ïèðàìèäûí ºíäºðÆèøýý. Ǻâ ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí àïîôåì íü 10ì, ñóóðèéí òàë íü 6ì áîë ýçëýõ¿¿íèéã îë.Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã îëîõûí òóëä þó, þó õýðýãòýéã àñóóíà.Ñóóðü íü çºâ ãóðâàëæèí òóë çºâ ãóðâàëæíû òàëáàéã îëíî.
Бататгал: - 200-ð õóóäàñíû
№ 81, 82-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:
Ñóðàõ áè÷èã 200-ð õóóäàñ ¹ 83, 84
Òåîðåì1. Èæèë ºíäºðòýé, òýíö¿¿ ñóóðèéí òàëáàéòàé ïèðàìèäóóä íü èæèë ýçëýõ¿¿íòýé áàéíà.Áàòàëãàà. Óã õî¸ð ïèðàìèäûã ñóóðèóä íü íýã α õàâòãàéä, îðîéíóóä íü óã α õàâòãàéí íýã òàëä îðøèæ áàéõààð áàéðëóóëíà. Ïèðàìèäûí ºíäð¿¿äèéã îãòëîõ, α õàâòãàéòàé ïàðàëëåëü α 1 õàâòãàé òàòíà. Õýðýâ SO1
SO=k ãýâýë áèäíèé ¿çñýí
îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèóäûí òóõàé òåîðåì ¸ñîîð õî¸ð ïèðàìèäûí îãòëîëûí òàëáàéíóóä íü õîîðîíäîî òýíö¿¿ k 2S áàéíà. Íýãýíò îãòëîëûí òàëáàéíóóä òýíö¿¿ òóë Êàâàëüåðèéí çàð÷ìààð óã ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í íü òýíö¿¿ þì.̺ðäëºãºº. Ïèðàìèäûí ñóóðèéã òýíö¿¿ õýñã¿¿äýä õóâààâàë, ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í ìºí òýíö¿¿ õýñã¿¿äýä õóâààãäàíà.
Áîäîëò. V=13Sc ∙ h
Sc=a2√34
=36 √34
=9√3ì2,
∆ SOM :OM=a2=62=3 ,
SO=h=√SM 2−OM2=√100−9=√91V=1
3Sc ∙ h=
13∙9√3 ∙√91=3√273ì3
Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í îëîõ òîìü¸îã àøèãëàí áîäëîãî äàñãàëûã õèéíý.
Òºëºâëºëò 8. Õичээлийн сэдэв: Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í
21
Ээлжит хичээлийн зорилго: Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ǻâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã
õýëýõ âý?
Мэдлэг бүтээх:Òåîðåì3-èéã áè÷¿¿ëæ
áàòàëãààã õàìòðàí õèéíý.
Æèøýý. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí
ºíäºð 15ì, ýçýëõ¿¿í íü 475ì3,
ñóóðèóäûí òàëáàéí õàðüöàà
4:9 áîëíî. Ñóóðèóäûí òàëáàéã
îë.
Бататгал: - 201-ð õóóäàñíû
№ 87, 88, 89-ä ºãºãäñºí
áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 179-ð õóóäàñ
¹ 85, 86, 90
Òåîðåì 3. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàëáàé íü S áà S1, ºíäºð h áîë ýçëýõ¿¿í íü
V=h3(S+√S ∙S1+S1) áàéíà.
∎ îãòëîãäñîí ïèðàìèäàà á¿òýí ïèðàìèä áîëòîë ã¿éöýýõýä á¿òýí ïèðàìèäûí ºíäºð íü h+x áàéñàí ãýæ ¿çüå. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí äýýä, äîîä
ñóóðèóäûí òºñººãèéí õàðüöàà íü h+xx
áàéíà. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèóäûí òàëáàéí õàðüöàà íü òýäãýýð ñóóðèóäààñ ïèðàìèäûí îðîé õ¿ðòëýõ çàéíóóäûí õàðüöààíû êâàäðàòòàé òýíö¿¿ ãýñýí ìºðäëºãºº
¸ñîîð SS1
=( h+xx )
2
⇒ x=h√S1
√S−√S1 èéìä
V=13 (S (h+x )−S1 x )=13 (S h√S
√S−√S1−S1
h√S1√S−√ S1 )=h
3 (S+√S ∙S1+S1)
.Áîäîëò. H=15ì, V=475ì3. Äýýä, äîîä ñóóðèóäûí òàëáàé S , S1 ãýâýë S1S
= 49⇒ S1=
49S áà òåîðåì3 ¸ñîîð
V=h3 (S+√S ∙ S1+S1 )⇒
13∙15( 49 S+√ 49 S2+S)=475⇒ 49 S+ 2
3S+S=95⇒ 19
9S=95⇒ S=45
ì2 , S1=49S=49∙45=20ì2.
Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í îëîõ òîìü¸îã àøèãëàí áîäëîãî äàñãàëûã õèéíý.
22
Òºëºâëºëò 9. Ñýäýâ:Õÿíàëòûí àæèë.
Çîðèëãî: Áºìáºðöºã ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàðûã ¿íýëæ ä¿ãíýíý.
À âàðèàíò
1. Ǻâ äºðâºí ºíöºãò ñóóðüòàé ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë 4ñì, ïèðàìèäûí ºíäºð 5ñì
áîë õàæóó èðìýãèéã îë.
2. Îãòëîãäñîí çºâ äºðâºí ºíöºãò ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàëóóä 10 ì áà 4ì. ºíäºð íü 6ì
áîë á¿òýí ãàäàðãóóãèéí òîìü¸îã îë.
3. Ǻâ ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí àïîôåì íü 13 ñì, ºíäºð íü 12ñì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.
4. Ïèðàìèäûí ñóóðü íü 3ì áà 4ì òàëòàé òýãø ºíöºãò áîëíî. Õàæóó èðìýã á¿ð íü
10ì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.
Á âàðèàíò
1. Ǻâ äºðâºí ºíöºãò ñóóðüòàé ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë 6ñì, õàæóó èðìýã íü 10ñì
áîë ïèðàìèäûí ºíäðèéã îë.
2. Îãòëîãäñîí çºâ çóðãààí ºíöºãò ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàëóóä 6 ì áà 4ì. ºíäºð íü 3ì
áîë õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.
3. Ǻâ ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí àïîôåì íü 5 ñì, ºíäºð íü 4ñì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.
4. Ïèðàìèäûí ñóóðü íü 3ì áà 4ì òàëòàé òýãø ºíöºãò áîëíî. Õàæóó èðìýã á¿ð íü
10ì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.
Ãåîìåòðèéí íýãæ õè÷ýýëèéí õºòºëáºð
23
Íýãæ ñýäýâ: Ýðãýëòèéí áèå /8öаг /
Õàìðàõ õ¿ðýý: 11 æèëèéí 11-ð àíãè
Çîðèëãî: Ýðãýëòèéí áèåèéí øèíæ ÷àíàðóóäûã íýýæ, òýäãýýðèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Àðãà: Áîä, õàìòàð, õóâààëö, òàéëáàðòàé äàñãàë, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ
Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ñóðàõ áè÷èã, ¿ç¿¿ëýí, òàðààõ ìàòåðèàë
Àãóóëãà
Ñóäëàãäàõóóíû òîãòîëöîî Óð óõààíû òîãòîëöîî
Öèëèíäð, ò¿¿íèé
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿í
Êîíóñ, ò¿¿íèé ãàäàðãóóãèéí
òàëáàé
Êîíóñûí ýçýëõ¿¿í
Ýðãýëòèéí áèå(öèëèíäð, êîíóñ)-¿¿ä òýäãýýðèéí àíãèëàë, ýëåìåíòèéí óõàãäàõóóíû òîäîðõîéëîëòûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð, òýìäýãëýëýýð ãýõ ìýò îëîí õýëáýðýýð èëýðõèéëýõ, ò¿¿íèéãýý áàéãàëü íèéãìèéí îð÷èíòîé õàðèëöàõ õàðèëöààíû õýðýãë¿¿ð áîëãîí àøèãëàõ
Ýðãýëòèéí áèåòýä õàìààòàé á¿õ óõàãäàõóóí õàðèëöàí áàéðøèë áîëîí õýìæýýñèéí ÷àíàðûã ñóäëàí èëð¿¿ëæ ò¿¿íèéãýý ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð, òýìäýãëýëýýð òîìú¸îëîí ó÷èðëàí áàòëàõ, áàòàòãàõ ãàðãàëãàà õèéõ
Öàã òºëºâëºëò
¹ Ýýëæèò õè÷ýýëèéí ñýäýâ Öàã
Õóãà öàà Çîðèëò
1 Áàòàòãàë 1 Ýðãýëòèéí áèå(öèëèíäð, êîíóñ)-¿¿ä
òýäãýýðèéí àíãèëàë, ýëåìåíòèéí óõàãäàõóóíû òîäîðõîéëîëòûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð, òýìäýãëýëýýð ãýõ ìýò îëîí õýëáýðýýð èëýðõèéëýõ, ò¿¿íèéãýý áàéãàëü íèéãìèéí îð÷èíòîé õàðèëöàõ õàðèëöààíû õýðýãë¿¿ð áîëãîí àøèãëàõ
Ýðãýëòèéí áèåòýä õàìààòàé á¿õ óõàãäàõóóí õàðèëöàí áàéðøèë áîëîí õýìæýýñèéí ÷àíàðûã ñóäëàí èëð¿¿ëæ ò¿¿íèéãýý ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð, òýìäýãëýëýýð òîìú¸îëîí ó÷èðëàí áàòëàõ, áàòàòãàõ ãàðãàëãàà õèéõ
2 Öèëèíäð 1
3 Áàòàòãàë 1
4 Êîíóñ 1
5 Êîíóñûí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 1
6 Êîíóñûí ýçëýõ¿¿í 1
7 Áàòàòãàë 1
8 Õÿíàëòûí àæèë 1
Òºëºâëºëò 1. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í
24
Ээлжит хичээлийн зорилго:Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ǻâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã õýëýõ âý?
Мэдлэг бүтээх:Æèøýý. Ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí ñóóðèéí íýã òàëûã äàéð÷ ýñðýã èðìýãòýé ïåðïåíäèêóëÿð áàéðëàõ õàâòãàé ñóóðèéí íýã õàâòãàéòàé 450 ºíöºã ¿¿ñãýíý. Ýíý îãòëîëä 5, 6, 9 íýãæ òàëóóäòàé ãóðâàëæèí ¿¿ññýí áîë òàëáàé íü õýäýí êâ.íýãæ áàéõ âý?
Бататгал: - 200-ð õóóäàñíû
№ 81, 82-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 200-ð õóóäàñ
¹ 83, 84
Áîäîëò. ºãñºí íºõöºëººð AM=5, MC=6, AC=9∡MDB=45°
Îëîõ íü, SABC=?
SABC=AC ∙ DB2
, AM 2−x2=62−(9−x )2;25−x2=36−81+18 x−x2⇒18x=70⇒ x=359
DM=√25−122581 =209 √2
DB=√2DM 2=√2∙ 40081 ∙2=409
SABC=AC ∙ DB2
=9 ∙ 4092
=20
Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í îëîõ òîìü¸îã àøèãëàí áîäëîãî äàñãàëûã õèéíý.
Òºëºâëºëò 2. Õичээлийн сэдэв: Öèëèíäð25
Ээлжит хичээлийн зорилго: Öèëèíäðèéí òîäîðõîéëîëò, ÷àíàðûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð èëýðõèéëýõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
19минут
17минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Åãèïåòèéí ïèðàìèäûí òóõàé ñîíèðõîëòîé ìýäýýëëèéã ñóðàëöàã÷èäòàé ÿðèëöàíà.Мэдлэг бүтээх:Ýðãýëòèéí áèåò¿¿ä äîòðîîñ
õàìãèéí õÿëáàð áèåò íü öèëèíäð
þì.
Öèëèíäð ãàäàðãóó
×èãë¿¿ëýã÷
Áàéãóóëàã÷óóä ãýñýí
óõàãäàõóóíóóä òàéëáàðëàí
öèëèíäðèéí òîäîðõîéëîëò ºãíº.
Öèëèíäðèéí òýíõëýãèéã íü
äàéðñàí õàâòãàéãààð îãòëîõîä
¿¿ñýõ òýãø ºíöºãò îãòëîëûã
öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîë ãýæ
íýðëýíý.
Æèøýý. Öèëèíäðèéã òýíõëýãýýñ
íü √3 çàéòàé áºãººä òýíõëýãòýé
ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð îãòëîõîä
ñóóðèéí òîéðãîîñ 60° íóì òàñàëñàí
áàéæýý. Öèëèíäðèéí ºíäºð 10 ñì
áîë îãòëîëûí òàëáàéã îë.
Бататгал: 79-ð õóóäàñíû
№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:
Ñóðàõ áè÷èã 179-ð õóóäàñ
¹ 22, 23, 25
Íýã õàâòãàé äýýð ¿ë îðøèõ òîéðîã, øóëóóí õî¸ð ºã÷ýý. Òîéðãèéí öýã íýã á¿ðèéã äàéðóóëñàí ºãñºí øóëóóíòàé
ïàðàëëåëü øóëóóí òàòàõàä ¿¿ñýõ ä¿ðñèéã äóãóé öèëèíäð ãàäàðãóó ãýíý.
Òîéðãèéã öèëèíäð ãàäàðãóóãèéí ÷èãë¿¿ëýã÷, òàòñàí øóëóóíóóäûã áàéãóóëàã÷óóä
ãýíý. Öèëèíäð ãàäàðãóóã îãòîëñîí ïàðàëëåëü õî¸ð õàâòãàéãààð õàøèãäñàí áèåèéã öèëèíäð ãýíý. Õýðýâ ýäãýýð õàâòãàé íü áàéãóóëàã÷óóäàä ïåðïåíäèêóëÿð áîë øóëóóí öèëèíäð ãýíý. Ýñðýã òîõèîëäîëä íàëóó öèëèíäð ãýíý.Îãòëîã÷ õî¸ð õàâòãàé äýýð îðøèõ õî¸ð äóãóéã öèëèíäðèéí ñóóðèóä, ñóóðèéí òîéðãóóäûã õîëáîñîí öèëèíäðèéí ãàäàðãóóãèéí õýñãèéã õàæóó ãàäàðãóó ãýíý. Ñóóðèóäûí õàâòãàéí õîîðîíäîõ çàéã öèëèíäðèéí ºíäºð, ñóóðèóäûí òºâèéã äàéðñàí øóëóóíûã öèëèíäðèéí òýíõëýã ãýíý.Áîäîëò. OH=√3 , AB=60° , A A1=10 ñì áàéã. Ñóóðèéí òîéðîãò AB=60° òóë ∠ AOB=60° áàéíà. AO=BO ó÷ðààñ AOB íü çºâ ãóðâàëæèí áºãººä OH íü óã ãóðâàëæíû ºíäºð òóë ∠ AOB=30° áîëíî.
∆OHA :ctg30°=OHAH
⇒ AH=√3√3
=1,
AB=2 AH=2ñì èéìä SA A 1B1B=A A1∙ AB=10 ∙2=20ñì2
ªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
26
Òºëºâëºëò 3. Õичээлийн сэдэв: Öèëèíäð /Áàòàòãàë/Ээлжит хичээлийн зорилго: Öèëèíäðèéí òîäîðõîéëîëò, ÷àíàðûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð èëýðõèéëýõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Öèëèíäð ãýæ ÿìàð áèåèéã õýëýõ âý? Öèëèíäð òýíõëýã, òýíõëýã îãòëîë ãýæ þóã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Öèëèíäðèéí ýçëýõ¿¿íèé òåîðåìûã
áè÷¿¿ëíý.
Æèøýý. Çóñëàíãèéí õàøààíä 5ì
äèàìåòðòýé, 1.8ì ºíäºðòýé
öèëèíäð õýëáýðèéí áàññåéí
áàéãóóëàâ. Áàññåéíèéã ò¿¿íèé
õàíàíû äýýä èðìýãýýñ 0.2 ì
äîîãóóð ò¿âøèíòýé áîëòîë óñààð
ä¿¿ðãýõèéí òóëä õè÷íýýí ëèòð
óñ øààðäàëàãàòàé âý?
Бататгал: 79-ð õóóäàñíû
№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:
Ñóðàõ áè÷èã 179-ð õóóäàñ
¹ 22, 23, 25
AB=CD íü òýíõëýã îãòëîëûí íýã òàë, AD=BC=2 R íü òýíõëýã îãòëîëûí íºãºº òàë áîëíî. Öèëèíäðèéã àëü íýã áàéãóóëàã÷èéíõ íü äàãóó ç¿ñýýä äýëãýâýë íýã òýãø ºíöºãò, õî¸ð èæèë äóãóé ¿¿ñíý(çóðàã). Ýíý òýãø ºíöºãòèéí òàëáàé íü öèëèíäðèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé Sõ.ã áîëîõ áà òýãø ºíöºãòèéí íýã òàë íü öèëèíäðèéí ºíäºð AB=h áà õàðèí íºãºº òàë áîëîõ AE íü R ðàäèóñòàé òîéðãèéí óðò òóë 2πR áîëíî. Èéìä Sõ.ã=AB∙ AE=2πR ∙h áîëíî. Öèëèíäðèéí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü Sã.ã= Sõ.ã+2 ∙ Sc=2πR ∙h+2π R2=2 π R (R+h) áéíà.Òåîðåì. Ñóóðèéí ðàäèóñ íü R, ºíäºð íü h áàéõ öèëèíäðèéí ýçëýõ¿¿í íü V=Sc ∙ h=π R2∙ hÁîäîëò. 5ì äèàìåòðòýé, 1.8-0.2=1.6ì ºíäºðòýé öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëú¸. R=2.5ì, h=1.6ì òóë V=π ∙6.25∙1.6≈31.4ì3(π ≈3.14), 1ë=1äì3 áºãººä 1ì3=1000äì3 òóë áàññåéíä V=3.14ì3=31400ë óñ øààðäëàãàòàé.
ªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
27
Òºëºâëºëò 4. Õичээлийн сэдэв: ÊîíóñЭэлжит хичээлийн зорилго: Êîíóñûí òîäîðõîéëîëò, ÷àíàðûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð èëýðõèéëýõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
20минут
16минут
2минут
Мэдлэг бүтээх:
SO ºíäðèéã êîíóñûí òýíõëýãý ãýíý. Êîíóñûã òýíõëýãèéã íü äàéðñàí õàâòãàéãààð îãòëîõîä ¿¿ñýõ îãòëîëûã ò¿¿íèé òýíõëýã îãòëîë ãýíý.Êîíóñûã ñóóðü áà ñóóðüòàé ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð õàøèãäñàí êîíóñûí õýñãèéã
îãòëîãäñîí êîíóñ ãýíý.1-ð æèøýý. 9ì ºíäºðòýé êîíóñûã ñóóðüòàé íü ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð îãòëîâ. ¿¿ññýí
îãòëîëûí òàëáàé ñóóðèéí òàëáàéãààñ 4 äàõèí áàãà áîë îãòëîãäñîí êîíóñûí ºíäðèéã îë.Бататгал: 79-ð õóóäàñíû
№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã
179-ð õóóäàñ ¹ 22, 23, 25
Òîéðãèéí îðøèõ õàâòãàéí ãàäíà îðøèõ
S öýãèéã òîéðãèéí öýã òóñ á¿ðòýé
õîëáîñîí øóëóóíóóäààñ òîãòñîí
ãàäàðãóóã äóãóé êîíóñ ãàäàðãóó ãýíý.
Òîéðãèéã êîíóñ ãàäàðãóóãèéí
÷èãë¿¿ëýã÷, øóëóóíóóäûã ò¿¿íèé
áàéãóóëàã÷óóä, S öýãèéã îðîé ãýæ
íýðëýíý.
Êîíóñ ãàäàðãóó áà ò¿¿íèé îðîéã
äàéðàõã¿é ÷èãë¿¿ëýã÷èéã àãóóëäàã
õàâòãàéòàé ïàðàëëåü
ÿìàð íýãýí õàâòãàé
õî¸ðûí õîîðîíä õàøèãäñàí
îãòîðãóéí áèåòèéã êîíóñ ãýíý.
Îãòëîã÷ õàâòãàé äýýð
îðøèõ äóãóéã êîíóñûí ñóóðü ãýíý.
Êîíóñûí îðîéãîîñ ñóóðèéí îðøèõ
õàâòãàéä òàòñàí ïåðïåíäèêóëÿðûã
êîíóñûí ºíäºð ãýíý. Õýðýâ óã
ïåðïåíäèêóëÿðûí ñóóðü íü êîíóñûí
ñóóðèéí äóãóéí Î òºâòýé äàâõöàæ
áàéâàë êîíóñûã øóëóóí äóãóé êîíóñ ãýíý.
O1O=OS−O1S=9−O1S áà O1 A1=R1 ,OA=R ãýå.
S1=π R12
S=π R2 }⇒ S1S
=π R1
2
π R2=
R12
R2=14⇒ R1
R=12,
∆O1S A1 ∆OSA⇒S O1SO
=R1R
=12, SO1=
92=4.5⇒O1O=9−4.5=4.5
28
Òºëºâëºëò 5. Õичээлийн сэдэв: Êîíóñûí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéЭэлжит хичээлийн зорилго: Êîíóñûí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéí òîìü¸îã áàòëàõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ, ò¿¿íèéã áîäëîãî áîäîõîä àøèãëàõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Мэдлэг бүтээх:Êîíóñûã àëü íýã áàéãóóëàã÷èéíõ
íü äàãóó ç¿ñýýä, õàâòãàé äýýð
äýëãýâýë çóðãàãò ä¿ðñýëñýí
äýëãýýñ ãàðíà.
Æèøýý. Êîíóñûí ñóóðèéí ðàäèóñ
áà ºíäðèéí õàðüöàà 3:4 áà
ñóóðèéí òàëáàé íü 36π áîë
ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã
îë.
Бататгал: 79-ð õóóäàñíû
№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã
179-ð õóóäàñ ¹ 22, 23, 25
Çóðãààñ õàðàõàä êîíóñûí ã¿éöýä
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü ò¿¿íèé l
ðàäèóñòàé òîéðãèéí 2πR óðòòàé AC
íóìä òóëñàí ñåêòîðûí òàëáàé áà êîíóñûí
ñóóðèéí Sc=π R2 òàëáàéí íèéëáýðòýé
òýíö¿¿.
Ñåêòîðûí òàëáàé íü íóìûí óðòûã
ðàäèóñààð ¿ðæ¿¿ëñíèé õàãàñüàé
òýíö¿¿ òóë
Sõ.ã=12AC ∙ SA=1
2∙2πR ∙ l=πRl ýíäýýñ
êîíóñûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü
ò¿¿íèé ñóóðèéí òîéðãèéí óðò,
áàéãóóëàã÷ õî¸ðûí ¿ðæâýðèéí õàãàñ
áàéíà ãýæ ãàðíà. ã¿éöýä
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü Sã.ã=
πRl+π R2=πR(l+R)
Áîäîëò. Ñóóðèéí ðàäèóñ R, áàéãóóëàã÷
l õî¸ðûã îëîõ õýðýãòýé.
S=36π R2⇒π R2=36π⇒R=6 ºãñºí
íºõöºë ¸ñîîð Rh
=34⇒h=8
∆ SOA :SA2=SO2+AO2=64+36⇒ l=SA=10⇒
Sã.ã¿ πR (l+R )=π ∙6 (10+6 )=96 π
ªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
29
Òºëºâëºëò 6. Õичээлийн сэдэв: Êîíóñûí ýçýëõ¿¿íЭэлжит хичээлийн зорилго: Êîíóñûí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ òîìü¸îã áàòëàõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ, ò¿¿íèéã áîäëîãî áîäîõîä àøèãëàõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
18минут
18минут
2минут
Мэдлэг бүтээх:Êîíóñò áàãòñàí, áàãòààñàí
ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.
Êîíóñûí ýçëýõ¿¿íèé òîìü¸îíû
ãàðãàëãààã õèéíý. Ä¿ãíýëò
áóþó òåîðåì áè÷¿¿ëíý.
Òåîðåì. Êîíóñûí ýçëýõ¿¿í íü
ò¿¿íèé ñóóðèéí òàëáàéã ºíäðººð
¿ðæ¿¿ëñíèé ãóðàâíû íýãòýé
òýíö¿¿ áàéíà.
Æèøýý. Öààòàí èðãýäèéí
àìüäàðäàã óðöûí ñóóðèéí
äèàìåòð íü 4ì áà áàéãóóëàã÷
ìîäíû óðò √13ì áîë óðöûí
ýçëýõ¿¿íèéã îë.
Бататгал: 79-ð õóóäàñíû
№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã
179-ð õóóäàñ ¹ 22, 23, 25
Îðîé íü êîíóñûí îðîéòîé äàâõàöäàã,
ñóóðü íü êîíóñûí ñóóðèéí òîéðîãò
áàãòñàí ýñâýë òîéðãèéã áàãòààñàí
ïèðàìèäûã õàðãàëçàí óã êîíóñò áàãòñàí
ýñâýë áàãòààñàí ïèðàìèä ãýíý.
Êîíóñò çºâ n ºíöºãò áàãòààãààä õàæóó
òàëñûí òîî áóþó n-èéã õÿçãààðã¿é
îëøðóóëàõàä ïèðàìèäûí ñóóðèéí
òàëáàéí õÿçãààð íü êîíóñûí ñóóðèéí
òàëáàé ãàðàõ áà õàðèí ïèðàìèäûí ºíäºð
íü ÿìàãò êîíóñûí ºíäºðòýé òýíö¿¿ õýâýýð
áàéíà. Óã ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã V n,
ñóóðèéí òàëáàéã íü Sn ãýå. Ïèðàìèäûí
ýçëýõ¿¿íèé òîìü¸î ¸ñîîð
V n=13Sn ∙ h=
π3R2h. Ýíäýýñ äàðààõ
òåîðåì ãàðíà.
Áîäîëò. Äèàìåòð íü 4ì òóë R=2ì, l=√13ì òóë
h=√l2−R2=√13−4=3ì
V¿ π3R2h=π
3∙22 ∙3=4 π ì3
ªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
30
Òºëºâëºëò 7. Õичээлийн сэдэв: Êîíóñûí ýçëýõ¿¿í/Áàòàòãàë/
Ээлжит хичээлийн зорилго: Êîíóñûí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ òîìü¸îã áàòëàõ, ó÷èðëàí
¿íäýñëýõ, ò¿¿íèéã áîäëîãî áîäîõîä àøèãëàõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Мэдлэг бүтээх:Îãòëîãäñîí êîíóñûí õàæóó
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä
ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ
òîìü¸îã õýëíý.
Æèøýý. Òýãø ºíöºãò òðàïåöèéí
áàãà ñóóðü íü 4ñì áà ºíäºð íü 6√3ñì, èõ ñóóðü õàæóó òàëòàéãàà
30° ºíöºã ¿¿ñãýæ áàéâ. Ýíý
òðàïåö áàãà õàæóó òàëàà òîéðîí
ýðãýõýä ¿¿ññýí áèåòèéí ã¿éöýä
ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.
Бататгал: 79-ð õóóäàñíû
№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã
179-ð õóóäàñ ¹ 22, 23, 25
Îãòëîãäñîí êîíóñûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí
òàëáàéã îëîõäîî îãòëîãäñîí êîíóñûã
ã¿éöýýæ á¿òýí êîíóñ áîëãîîä òîì êîíóñûí
õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàéãààñ
æèæèã êîíóñûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí
òàëáàéã õàñäàã.
Sõ.ã=πl(R+R1),
Sã.ã=πl (R+R1 )+π R2+π R12
Áîäîëò. ¿¿ññýí áèåò íü îãòëîãäñîí êîíóñ
áîëîõ íü õàðàãäàæ áàéíà. Áîäëîãîä ºãñºí
¸ñîîð OO1 A A1 íü òýãø ºíöºãò òðàïåö
òóë O1 A1=4ñì, A1 K=6√3 ,∠K AA1=30°
áàéíà.
∆ A1KA :sin 30°=A1 KA A1
⇒ A A1=A1 Ksin 30°
=12√3
ñì, cos30°= AK
A A1⇒ AK=A A1 cos30
°=18
ñì, ÎÀ=4+18=22ñì
Sã.ã=
πl (R+R1 )+π R2+π R12=π (4+22 ) ∙12√3+π ∙42+π ∙222=312π √3+500π
ªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.31
Òºëºâëºëò 8. Ñýäýâ:Õÿíàëòûí àæèë.
Çîðèëãî: Ýðãýëòèéí áèå ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàðûã ¿íýëæ ä¿ãíýíý.
À âàðèàíò
1. Ñóóðèéí ðàäèóñ íü 3ì, ºíäºð íü 4ì áàéõ öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîëûí
äèàãîíàëèéã îë.
2. Öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîë íü 84ì2 òàëáàéòàé êâàäðàò áîëíî. Öèëèíäðèéí
ñóóðèéí òàëáàéã îë.
3. AB=3, CD=5 òàëòàé ABCD òýãø ºíöºãò CD òàëàà òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ñýõ
öèëèíäðèéí à) õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé á) ýçýëõ¿¿íèéã îë.
4. Êîíóñûí áàéãóóëàã÷ 4ñì, ò¿¿íèé òýíõëýã îãòëîëûí îðîé äàõü ºíöºã 600 áîë
êîíóñûí ñóóðèéí òàëáàéã îë.
5. 5ñì, 8ñì êàòåòòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí ãèïîòåíóçýý òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ñýõ
ýðãýëòèéí áèåòèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.
Á âàðèàíò
1. Ñóóðèéí ðàäèóñ íü 5ì, ºíäºð íü 7ì áàéõ öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîëûí
äèàãîíàëèéã îë.
2. Öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîë íü 68ì2 òàëáàéòàé êâàäðàò áîëíî. Öèëèíäðèéí
ñóóðèéí òàëáàéã îë.
3. AB=6, CD=5 òàëòàé ABCD òýãø ºíöºãò CD òàëàà òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ñýõ
öèëèíäðèéí à) õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé á) ýçýëõ¿¿íèéã îë.
4. Êîíóñûí áàéãóóëàã÷ 6ñì, ò¿¿íèé òýíõëýã îãòëîëûí îðîé äàõü ºíöºã 300 áîë
êîíóñûí ñóóðèéí òàëáàéã îë.
5. 5ñì, 7ñì êàòåòòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí ãèïîòåíóçýý òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ñýõ
ýðãýëòèéí áèåòèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.
32
Ãåîìåòðèéí íýãæ õè÷ýýëèéí õºòºëáºð
Íýãæ ñýäýâ: Ýðãýëòèéí áèå
Õàìðàõ õ¿ðýý: 11 æèëèéí 11-ð àíãè
Çîðèëãî: Áºìáºðöºã, áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöãèéí òóõàé ìýäëýã ýçýìøèí áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ýçýëõ¿¿í îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Àðãà: Áîä, õàìòàð, õóâààëö, òàéëáàðòàé äàñãàë, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ
Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ñóðàõ áè÷èã, ¿ç¿¿ëýí, òàðààõ ìàòåðèàë
Àãóóëãà
Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààí- Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöºã
- Áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòð
- Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿í
- Áºìáºðöºã ñåãìåíò
- Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã
- Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
- Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöãèéí
òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ
- Áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðûã íýðëýõ
- Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ
- Áºìáºðöºã ñåãìåíòèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ
- Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöãèéí
òîäîðõîéëîëò ìýäýõ
- Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ
Öàã òºëºâëºëò
¹ Ýýëæèò õè÷ýýëèéí ñýäýâ Öàã
Õóãà
öààÇîðèëò
1 Áºìáºðöºã 1 Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöãèéí òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ, áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðûã íýðëýõ, áºìáºðöãèéí îãòëîã÷ õàâòãàéòàé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ
2 Áàòàòãàë 1
3 Áºìáºðöãèéí ýçëýõ¿¿í 1 Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿í, áºìáºðöãèéí ñåãìåíòèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ4 Áàòàòãàë 1
5 Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã 1 Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºãòýé õîëáîîòîé
áîäëîãî áîäîõ 6 Áàòàòãàë 1
7 Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 1 Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ
33
8 Õÿíàëòûí àæèë 1
Òºëºâëºëò 1. Õичээлийн сэдэв: Áºìáºðöºã Ээлжит хичээлийн зорилго: Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöãèéí òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ, áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðûã íýðëýõ, áºìáºðöãèéí îãòëîã÷ õàâòãàéòàé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
34
2минут
20минут
16минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Òîéðîã, òîéðãèéí õºâ÷,
äèàìåòðèéí òóõàé ÿðèëöàíà.
Мэдлэг бүтээх:Áºìáºðöãèéí òîäîðõîéëîëò ºãíº.
Áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðèéí
òîäîðõîéëîëò ºãíº.
Òåîðåì 1. Áºìáºðöãèéã
õàâòãàéãààð îãòîëñîí àëèâàà
îãòëîë íü äóãóé áàéíà.
Æèøýý. 3 ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí
õàâòãàé îãòëîëûí òàëáàé íü 5π
áîë áºìáºðöãèéí òºâººñ îãòëîã÷
õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.
Áºìáºðöãèéí õàâòãàé îãòëîëä
ÿìàð ä¿ðñ ¿¿ñýõ âý?
Äóãóéí òàëáàéã õýðõýí îëäîã âý?
Бататгал: 221-ð õóóäàñíû
№ 162, 164-ä ºãºãäñºí
áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 221-ð õóóäàñ
¹ 161, 163, 165
Òîäîðõîéëîëò. Îãòîðãóéä ÿìàð íýãýí Î
öýãýýñ èæèëõýí R(R>0) çàéä
àëñëàãäñàí öýã¿¿äèéí ¿¿ñãýõ
ãàäàðãóóã áºìáºëºã ãàäàðãóó ãýæ
íýðëýíý. Áºìáºëºã ãàäàðãóóãààð
çààãëàãäñàí îãòîðãóéí áèåèéã
áºìáºðöºã ãýæ íýðëýíý. Î öýãèéã
áºìáºðöãèéí òºâ, R òîîã áºìáºðöãèéí
ðàäèóñ ãýíý.
Òºãñãºë¿¿ä íü áºìáºðöãèéí ãàäàðãóó
äýýð îðøèõ õýð÷ìèéã áºìáºðöãèéí õºâ÷,
áºìáºðöãèéí òºâèéã äàéðñàí õºâ÷èéã
äèàìåòð ãýíý.
Áîäîëò. Îãòëîëä ¿¿ñýõ äóãóéí òàëáàé íü
π ∙O1M2=5π
ãýäãýýñ ðàäèóñ íü
O1M=√5 ãýæ
ãàðíà. Çóðãààñ
Ïèôàãîðûí òåîðåìîîð
O1O=√9−5=√4=2
Äàñãàë áîäëîãûã áºìáºðöãèéí òóõàé
ìýäëýãýý àøèãëàí õèéíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
Òºëºâëºëò 2. Õичээлийн сэдэв: Áºìáºðöºã Ээлжит хичээлийн зорилго: Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöãèéí òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ, áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðûã íýðëýõ, áºìáºðöãèéí îãòëîã÷ õàâòãàéòàé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
35
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöºã ãýæ þóã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Áºìáºðöºãòýé õîëáîîòîé
òåîðåìóóäûã áè÷¿¿ëíý.
Áºìáºðöãèéí òºâèéã äàéðñàí
îãòëîëä ¿¿ñýõ äóãóéã èõ äóãóé
ãýõ áà ò¿¿íèé õèëèéã èõ òîéðîã
ãýíý.
Ø¿ðãýã÷ õàâòãàéí òîäîðõîéëîëò
ºãíº.
Æèøýý. Áºìáºðöãèéí òºâººñ 8ñì
çàéòàé À öýãèéã äàéðñàí
ø¿ðãýã÷ õàâòãàé òàòàõàä À
öýãýýñ ø¿ðãýëòèéí öýã
õ¿ðòýëõçàé 6ñì áîë áºìáºðöãèéí
ðàäèóñûã îë.
Бататгал: 221-ð õóóäàñíû № 166, 168-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:
Ñóðàõ áè÷èã 221-ð õóóäàñ ¹ 167, 169
Òåîðåì 2. Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóó äýýðõ,
íýã äèàìåòðèéí òºãñãºë¿¿ä äýýð ¿ë
îðøèõ äóðûí õî¸ð öýãèéã äàéðñàí èõ
òîéðîã çºâõºí ãàíöûã òàòàæ áîëíî.
Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóòàé çºâõºí ãàíö
åðºíõèé öýãòýé õàâòãàéãáºìáºðöãèéí
ø¿ðãýã÷ õàâòãàé ãýíý.
Òåîðåì. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñûí
òºãñãºëèéã äàéðóóëæ, óã ðàäèóñò
ïåðïåíäèêóëÿð òàòñàí õàâòãàé íü
ø¿ðãýã÷ õàâòãàé áàéíà. ̺í óðâóó
ºã¿¿ëáýð ¿íýí áàéíà.
Áîäîëò. Çóðãààñ õàðàõàä ºãñºí íºõöºë
¸ñîîð AO=8ñì, AB=6ñì áàéíà. Ðàäèóñûí
òºãñãºëèéí öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷
õàâòãàé íü ðàäèóñò ïåðïåíäèêóëÿð
áàéõ ó÷èð
∆ ABO :BO=√AO2−AB2=√64−36=√28=2√7ñì áàéíà.
Äàñãàë áîäëîãûã áºìáºðöãèéí òóõàé
ìýäëýãýý àøèãëàí õèéíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
Òºëºâëºëò 3. Õичээлийн сэдэв: Áºìáºðöãèéí ýçëýõ¿¿í Çорилго: Áºìáºðöãèéí ýçëýõ¿¿íèé òîìü¸î àøèãëàí ýçýëõ¿¿íòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
36
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
22минут
14минут
2минут
Мэдлэг бүтээх:Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã äàðààõ
áàéäëààð Êàâàëüåðèéí çàð÷ìûí
òóñëàìæòàéãààð îëäîã.
Áèä öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿íèé
Vöèë=h ∙Sc, êîíóñûí ýçýëõ¿¿íèé
Vêîí=13h ∙Sc òîìü¸îã ¿çñýí áèëýý.
Æèøýý. 3ñì áà 4 ñìðàäèóñòàé
õî¸ð ìåòàëë áºìáºðöãèéã
õàéëóóëæ äàõèí áºìáºðöºã
öóòãàâ. Øèíý áºìáºðöãèéí
ðàäèóñûã îë.
Õî¸ð áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿í
õàðãàëçàí V= 43π ∙33=36 π ,
V= 43π ∙43=256 π
3 , òýäãýýðèéí
íèéëáýð ýçýëõ¿¿í
36 π+256 π3
=364 π3
Бататгал: 224-ð õóóäàñíû
№ 170,172-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã
áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 224-ð õóóäàñ
¹ 171, 173
Òåîðåì. R ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí
ýçýëõ¿¿í íü V= 43π R3 áàéíà.
2R ºíäºðòýé, ñóóðèéí ðàäèóñ íü R áàéõ
øóëóóí öèëèíäðò áºìáºðöºã áàãòààÿ.
Öèëèíäðýýñ áºìáºðöãèéã õàñàõàä
¿¿ñýõ áèåòèéã ñîíèðõîíî. Óã áèåòèéã
áºìáºðöãèéí òºâººñ õ çàéòàé öèëèíäðèéí
ñóóðüòàé ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð
îãòîëáîë, îãòëîëä r áà R ðàäèóñòàé
òîéðãóóäààð õ¿ðýýëýãäñýí öàãàðèã
¿¿ñíý. Ïèôàãîðûí òåîðåì ¸ñîîð R2−r2=x2
òóë óã öàãàðèãèéí òàëáàé
π R2−π r2=π x2. ͺ㺺 òàëààñ òýíõëýã
îãòëîë íü 2R ãèïîòåíóçòàé àäèë õàæóóò
òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí áàéõ êîíóñûã,
ò¿¿íèé îðîéãîîñ õ çàéòàé êîíóñûí
ñóóðüòàé ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð
îãòëîõîä îãòëîëûí òàëáàé íü ìºí π x2
áàéíà. Èéìä Êàâàëüåðèéí çàð÷èì ¸ñîîð
öèëèíäðýýñ áºìáºðöãèéã õàñàõàä
¿¿ñýõ áèåò íü 2 øèðõýã èéì êîíóñòàé
èæèë ýçëýõ¿¿íòýé áàéíà. Òýãýõëýýð
Váºì=Vöèë-2Vêîí=
2 R∙ π R2−2 ∙ 13R ∙π R2=4
3π R3ªãñºí
äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
Òºëºâëºëò 4. Õичээлийн сэдэв: Áºìáºðöãèéí ýçëýõ¿¿í /áàòàòãàë/
37
Ээлжит хичээлийн зорилго: Áºìáºðöãèéí ñåãìåíòèéí ýçýëõ¿¿íèé òîìü¸î àøèãëàí ýçýëõ¿¿íòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
17минут
19минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã õýðõýí
îëäîã âý?
Мэдлэг бүтээх:Áºìáºðöãèéí òºâèéã íü
äàéðààã¿é õàâòãàéãààð
îãòëîõîä ¿¿ñýõ õî¸ð õýñãèéí
áàãûã íü áºìáºðöºã ñåãìåíò ãýíý.
.
Æèøýý. Áºìáºðöãèéí ñåãìåíòèéí
ºíäºð áºìáºðöãèéí ðàäèóñààñ 5
äàõèí áàãà áàéâ. Ýíý ñåãìåíòèéí
ýçýëõ¿¿íèéã áºìáºðöãèéí
ýçýëõ¿¿íä õàðüöóóëñàí
õàðüöààã îë.
Бататгал: 224-ð õóóäàñíû
№ 174, 177-ä ºãºãäñºí
áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 179-ð õóóäàñ
¹ 175, 176, 178
R ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã
V= 43π R3 òîìü¸îãîîð îëíî.
Òåîðåì. R ðàäèóñòàé áºìáºðö㺺ñ
òàñëàãäñàí h ºíäºðòýé ñåãìåíòèéí
ýçýëõ¿¿í íü π h2 ∙(R−13h) áàéíà.
Îãòëîëûí äóãóéã áºìáºðöºã ñåãìåíòèéí
ñóóðü ãýíý. Áºìáºðöºã ñåãìåíòèéí äîòîð
ñóóðüä ïåðïåíäèêóëÿðààð îðøèõ,
áºìáºðöãèéí ðàäèóñûí õýñãèéã
ñåãìåíòèéí ºíäºð ãýíý
Áîäîëò. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã R ãýâýë
ñåãìåíòèéí ºíäºð h=R5 áàéíà. Ñåãìåíòèéí
ýçýëõ¿¿í íü
π ∙ R2
25∙(R−1
3∙ R5 )= 14
375π R3
Îëîõ õàðüöàà íü
( 14375 π R3) :( 43 π R3)= 7250
ªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
38
Òºëºâëºëò 5. Õичээлийн сэдэв: Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã Ээлжит хичээлийн зорилго: Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºãòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
16минут
20минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã õýðõýí
îëäîã âý?
Мэдлэг бүтээх:Áºìáºëºãò áàãòñàí îëîí òàëñò,
áºìáºðöãèéã áàãòààñàí îëîí
òàëñòûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.
Æèøýý. Ǻâ ãóðâàëæèí
ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë à-òàé
òýíö¿¿ áà õàæóó èðìýã íü
ñóóðèéí õàâòãàéä α ºíö㺺ð
íàëæýý. Ïèðàìèäûã áàãòààñàí
áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã îë.
Бататгал: 229-ð õóóäàñíû
№ 183, 185-ä ºãºãäñºí
áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 229-ð õóóäàñ
¹ 184, 186, 187
R ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã
V= 43π R3 òîìü¸îãîîð îëíî.
Õýðýâ á¿õ îðîé íü íýã áºìáºëºã äýýð
îðøèæ áàéâàë îëîí òàëñòûã áºìáºëºãò áàãòñàí áàéíà ãýíý.
Õýðâýý ã¿äãýð îëîí òàëñòûí á¿õ òàëñ
íü íýã áºìáºðöãèéã ø¿ðãýæ áàéâàë
áºìáºðöãèéã áàãòààñàí îëîí òàëñò
ãýäýã.
Áîäîëò. SABC çºâ ãóðâàëæèí ïèðàìèä Î
òºâòýé áºìáºðöºãò áàãòñàí áàéã. À
òàëòàé ÀÂÑ ãóðâàëæíûã áàãòààñàí
òîéðãèéí òºâ Î1 áîë ðàäèóñ íü AO1=a√3
áàéäàã.
∠ SAO1=α⇒∠ ASO=∠ ASO1=90°−α
ãýæ ãàðàõ áºãººä AOS àäèë õàæóóò
ãóðâàëæèí ó÷ðààñ
∠ SAO=∠ASO=90°−α ⇒
∠ AOO1=180°−2α
∆ AO1O :R=AO=AO1
sin (180°−2α )=
AO1
sin 2α= a
√3sin 2αªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
39
Òºëºâëºëò 6. Ñýäýâ: Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã Çîðèëãî: Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºãòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã õýðõýí
îëäîã âý?
Мэдлэг бүтээх:
Æèøýý. Ǻâ ãóðâàëæèí
ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë à, ñóóðü
äàõü õî¸ð òàëñò ºíöºã φ –òýé
òýíö¿¿ áàéâ. Ýíý ïèðàìèäàä
áàãòñàí áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã
îë.
Áîäîëò. SABC çºâ ãóðâàëæèí
ïèðàìèä, ºíäºð íü SO1, áàãòñàí
áºìáºðöãèéí òºâ Î, àïîôåì íü SM
áîëîã. Òýãâýë MO1=a2√3 áàéíà.
Áºìáºðöãèéí òºâ Î öýã íü SMC
øóãàìàí ºíöãèéí áèññåêòðèñ áà
SO1 ºíäðèéí îãòëîëöîë äýýð
îðøèíî. Èéìä
∠OMO1=∠SM O1
2=φ2
,
∆M OO1 :r=OO1=¿
¿MO1 ∙tg (∠OMO1 )=¿ a2√3
∙ tg φ2
Бататгал: 229-ð õóóäàñíû
№ 188, 190-ä ºãºãäñºí
áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 229-ð õóóäàñ
R ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã
V= 43π R3 òîìü¸îãîîð îëíî.
Õýðýâ áºìáºðöºã öèëèíäð, êîíóñ,
îãòëîãäñîí êîíóñûí á¿õ áàéãóóëàã÷óóä
áà ñóóðèóäûã ø¿ðãýæ áàéâàë
áºìáºðöãèéã òýäãýýðò áàãòàæ áàéíà
ãýäýã. ̺í ÿíç á¿ðèéí áîäëîãî áîäîõîä
òýíõëýã îãòëîëûã àâ÷ ¿çâýë àøèãòàé
áàéäàã. Òýäãýýð òýíõëýã îãòëîëóóäûã
õàðâàë ÿìàð ÷ êîíóñò áºìáºðöºã áàãòàõ
áà õàðèí öèëèíäð áà îãòëîãäñîí êîíóñò
áºìáºðöºã ÿìàãò áàãòàõ àëáàã¿é þì.
Òóõàéëáàë áºìáºðöºã áàãòààñàí
öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîë íü êâàäðàò,
áàãòààñàí îãòëîãäñîí êîíóñûí òýíõëýã
îãòëîë íü òîéðîã áàãòààñàí àäèë
õàæóóò òðàïåö áóþó äóíäàæ øóãàì íü
õàæóó òàëòàéãàà òýíö¿¿ áàéäàã àäèë
õàæóóò òðàïåö áàéõ ¸ñòîé.
ªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
40
¹ 189, 191, 192
Òºëºâëºëò 7. Ñýäýâ: Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé Çîðèëãî: Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéí òîìü¸îã àøèãëàí áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.
Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
2минут
18минут
18минут
2минут
Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã
ãýæ ÿìàð áºìáºðöãèéã õýëýõ âý?
Мэдлэг бүтээх:Òåîðåì. R ðàäèóñòàé
áºìáºðöãèéã áàãòààñàí ã¿äãýð
îëîí òàëñòûí ã¿éöýä
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé Sã.ã
ýçýëõ¿¿í íü V=13∙ r ∙Sã.ã
Òåîðåì. R ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí
ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü
S=4 π R2 áàéíà.
Æèøýý. 15ñì ðàäèóñòàé
áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãààñ 10ñì
çàéä îðøèõ öýãèéã äàéðóóëæ
áºìáºðöãèéã ø¿ðãýõ õî¸ð øóëóóí
òàòàâ. Ø¿ðãýëòèéí öýã¿¿äèéí
õîîðîíäîõ çàé õàìãèéí èõäýý ÿìàð
áàéõ âý?
Бататгал: 233-ð õóóäàñíû
№ 212, 214-ä ºãºãäñºí
áîäëîãûã áîäóóëíà.
Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 233-ð õóóäàñ
¹ 213, 215, 216
Áºìáºðöãèéã õàíãàëòòàé îëîí æèæèã òàëñòàé îëîí òàëñòàä áàãòààâàë, óã îëîí òàëñòûí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóä äºõíº. Ýõëýýä áºìáºðöºã áàãòààñàí îëîí òàëñòûí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé áà ýçýëõ¿¿íèé õîëáîîã èëýðõèéëñýí íýãýí ä¿ãíýëò áàòàëúÿ.Áàòàëãàà. Áàãòñàí áºìáºðöãèéí òºâ áîëîõ Î öýãèéã îëîí òàëñòûí á¿õ îðîéòîé õîëáîâîë åðºíõèé Î îðîéòîé, ñóóðèóä íü îëîí òàëñòûí òàëñóóä áàéõ ïèðàìèäóóä ¿¿ñíý. Ø¿ðãýëòèéí öýã¿¿ä ð¿¿ òàòñàí ðàäèóñóóä ýäãýýð ïèðàìèäóóäûí ºíäºð íü áîëíî. Èéìä õýðýâ îëîí òàëñòûí òàëñûí òàëáàéíóóä S1 , S2 ,…,Sn áîë îëîí òàëñòûí ýçýëõ¿¿í íü ýäãýýð ïèðàìèä òóñ á¿ðèéí ýçýëõ¿¿í¿¿äèéí íèéëáýð ó÷ðààñ
V=13S1 ∙ r+
13S2 ∙ r+…+ 1
3Sn∙ r=
13r (S1+S2+…+Sn )=13 ∙r ∙
Sã.ã
Áîäîëò.áºìáºðöãèéí òºâèéã Î, öýãèéã À ãýâýë ÎÀ=25ñì áîëíî. ø¿ðãýëòèéí öýã¿¿äèéí õàìãèéí õîë çàé íü ÂÑ õýð÷ìèéí óðòòàé òýíö¿¿.
∆ BOD ∆ AOB⇒ ODOB
=OBOA
⇒ OD15
=1525
⇒OD=9
ñì, Ïèôàãîðûí òåîðåìîîð BD=√152−92=12ñì, BC=2 ∙12=24ñìªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.
Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.
41
Òºëºâëºëò 8. Ñýäýâ:Õÿíàëòûí àæèë.
Çîðèëãî: Áºìáºðöºã ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàðûã ¿íýëæ ä¿ãíýíý.
À âàðèàíò
6. Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóó äýýð õîîðîíäîõ çàéíóóä íü 3ñì, 4ñì, 5ñì áàéõ ãóðâàí öýã
ºãºâ. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñ 7ñì áîë áºìáºðöãèéí òºâººñ ýäãýýð öýã¿¿äèéã
äàéðñàí õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.
7. 5 ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí õàâòãàé îãòëîëûí òàëáàé íü 8π áîë áºìáºðöãèéí
òºâººñ îãòëîã÷ õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.
8. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñ íü 6 ñì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.
9. Ǻâ äºðâºí ºíöºãò ïðèçìèéí ñóóðèéí òàë áà õàæóó èðìýã íü 5ñì áà 13ñì áîë
áàãòààñàí áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã îë.
10.Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 64π ì2 áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.
Á âàðèàíò
1. Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóó äýýð õîîðîíäîõ çàéíóóä íü 7ñì, 8ñì, 9ñì áàéõ ãóðâàí öýã
ºãºâ. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñ 6ñì áîë áºìáºðöãèéí òºâººñ ýäãýýð öýã¿¿äèéã
äàéðñàí õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.
2. 8 ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí õàâòãàé îãòëîëûí òàëáàé íü 10π áîë áºìáºðöãèéí
òºâººñ îãòëîã÷ õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.
3. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñ íü 4 ñì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.
4. Ǻâ äºðâºí ºíöºãò ïðèçìèéí ñóóðèéí òàë áà õàæóó èðìýã íü 4ñì áà 11ñì áîë
áàãòààñàí áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã îë.
5. Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 144π ì2 áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.
42
Ãåîìåòðèéí áîäëîãî
1. Øóëóóí ãóðâàëæèí ïèðèçìèéí ñóóðèéí òàëóóä 2:3:3 ãýæ õàðüöàíà .Õàæóó èðìýã 5
ñì õàæóó ãàäàðãóó 80 ñì2
áîë ñóóðèéí òàëóóäûã îë
2. Òýãø ºíöºãòèéí ïàðàëëåëåïèïåäèéí ãóðâàí õýìæýýñ à=8 â=9 ñ=12 áîë Sõ.ã=?
Sáã=? V-èéã îë
3. Òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí ñóóðèéí òàëóóä 6ì ,8ì ïàðàëëåëåïèïåäèéí
äèàãîíàëü ñóóðèéí õàâòãàéòàé 45ãðàäóñ ºíöºã ¿¿ñãýíý. Ïàðàëëåëåïèïåäèéí
äèàãîíàëü îãòëîëûí S èéã îë .
4. Öèëèíäðèéí ñóóðèéí òàëáàé 9π, ò¿¿íèé ýçëýõ¿¿í 18π áîë ýíýõ¿¿ öèëèíäðèéí Sáã =?
Sõã - ãîë
5. Öèëèíäðèéí ñóóðèéí òàëáàé 16π, òýíõëýã îãòëîëûí òàëáàé 24 áîë
ýíýõ¿¿ öèëèíäðèéí Sáã=? Sõã, ýçýëõ¿¿íèéã îë
6. Êîíóñûí R=5ì, áàéãóóëàã÷ áà ñóóðèéí äèàìåòðòýé ¿¿ñãýõ ºíöºã íü α =30 ãðàäóñ
áîë Sáã=? Sõ.ã=? V=? îë
7. Êîíóñûí l=5äì ,áàéãóóëàã÷ áà ñóóðèéí äèàìåòðòýé ¿¿ñãýõ ºíöºã íü α =45 ãðàäóñ
áîë Sáã =? Sõã=? V=? oë
8. Ǻâ òåòðàýäðèéí èðìýãèéí óðò íü 4 ñì áîë ò¿¿íèé á¿òýí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.
9. Ǻâ òåòðàýäðèéí á¿òýí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé √3ñì2 áîë ò¿¿íèé èðìýãèéã îë .
10. Øóëóóí ãóðâàëæèí ïðèçìèéí ñóóðèéí òàëóóä 4:3:5 ãýñýí õàðüöààòàé. Õàæóó èðìýã
5 ñì, õàæóó ãàäàãóóãèéí òàëáàé 120 ñì2 áîë ñóóðèéí òàëóóäûã îë.
11. Òýãø ºíöºãòèéí ïàðàëëåëåïèïåäèéí ãóðâàí õýìæýýñ à=15 â=8 ñ=9 áîë Sõ.ã=?
Sáã=? V-èéã îë
12. Òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí ñóóðèéí òàëóóä 5ì ,12ì ïàðàëëåëåïèïåäèéí
äèàãîíàëü ñóóðèéí õàâòãàéòàé 45ãðàäóñ ºíöºã ¿¿ñãýíý. Ïàðàëëåëåïèïåäèéí
äèàãîíàëü îãòëîëûí S èéã îë .
13. Öèëèíäðèéí ñóóðèéí òàëáàé 25π òýíõëýã îãòëîëûí òàëáàé 30 áîë ýíýõ¿¿ öèëèíäðèéí
Sáã=? Sõã, ýçëýõ¿¿íèéã îë
43
44