電磁界シミュレーションの概要と基礎原理 －簡単な１次元問題による説明－

Basic algorithm of electromagnetic-field simulators

－Fundamental understanding using one-dimensional cases－

平野 拓一

Takuichi HIRANO

東京工業大学大学院理工学研究科 〒152-8552 東京都目黒区大岡山 2-12-1-S3-19

Graduate School of Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology 2-12-1-S3-19 Ookayama, Meguro-ku, Tokyo, 152-8552 Japan

E-mail: hira@antenna.ee.titech.ac.jp

Abstract

Many electromagnetic (EM) simulators, whose purpose is to solve Maxwell’s equations, are useful these days thanks to the progress of computational resources. It is not necessary for

engineers to understand EM analysis algorithms. However, it is desirable for engineers to understand the underlying EM analysis algorithms in order to use EM simulators effectively.

This tutorial lecture presents various EM analysis algorithms, such as the method of

moments (MoM), the finite-difference time-domain (FDTD) method, the finite-difference frequency-domain (FDFD) method, and the finite element method (FEM), using a one-dimensional problem for young and/or new engineers. The formulation is very easy in

one-dimensional problem. It is also possible to choose suitable EM simulator for a problem to be solved if one has knowledge about the EM simulation algorithm. The objective of this paper is helping engineers to understand difference of EM analysis algorithms.

1. はじめに

マクスウェルがアンペアの法則に変位電流を導入

して電磁波の基礎方程式[1]

t

BE (ファラデーの法則) (1)

t

DiH (アンペアの法則) (2)

を確立して以来、多くの規範問題が解かれて電磁

界現象が明らかとなった。しかしながら、現実に近

い問題を解くためには数値的手法に頼らざるを得ず、

種々の電磁界シミュレーションアルゴリズムが提案

された。さらに、その後のコンピュータの性能の大

きな飛躍によって電磁界シミュレーション技術は実

用的なものになり、多くの電磁界シミュレータが市

販されるようになった。

電磁界シミュレータが発展して便利になり、アル

ゴリズムを知らなくても解析できるようになったが、

電磁界シミュレータのアルゴリズムを知らなければ

上手く使いこなせないのが現状である。電磁界シミ

ュレータの目的は、マクスウェルの方程式（電磁界

現象の支配方程式である微分方程式）を指定した境

界条件の下で解くこと（境界値問題）である[2]。解

析アルゴリズムによって数値的扱いが異なり、それ

ぞれ問題によって長所と短所がある。

本基礎講座では、電磁界分野の初学者のために 1

次元問題[3]を用いて各種電磁界解析手法、特にモー

メント法 (MoM; Method of Moments) [4], FDTD

(Finite-Difference Time-Domain) 法 [5], FDFD

(Finite-Difference Frequency-Domain)法[6], 有限要素

法 (FEM; Finite Element Method)[7]について紹介する。

1次元問題は定式化が簡単なため、自分でプログラム

を作成して確認することが容易である。文章で説明

できないことを補うため、そして実際にプログラム

を動かして勉強するためにMathematica Ver.8による

解析プログラム例を付録に掲載した。電磁界分野の

初学者の一助となれば幸いである。

2. 解析モデル

図 1に例題として取り扱う１次元問題の解析モデ

ルを示す。電磁界は z方向にのみ変化し、x, y方向に

一様である。 21 zzz の領域のみ比誘電率は

4r (SiO2のガラスを想定)であり、それ以外は真空

である。また szz には x方向を向いた x, y方向には

無限に広がった面電流源Jがある(電界は x 方向、磁

界は y方向となる)。

x

zy

0

zy

4r1r 1r

0

1

r

)(ˆszzz J

sz1z 2z

図 1 1次元問題の解析モデル

3. 種々の解析法のアルゴリズムの説明

本節では例として前節で説明した１次元問題を取

り上げ、種々の解析法のアルゴリズムについて説明

する。

3.1. モーメント法 (MoM)

x

zy

1xJ

1xJ

2xJ

2xJ

J

1yM

1yM

2yM

2yM

I II III

図 2 モーメント法の領域分割

x

zy

1xJ

1xJ

2xJ

2xJ

J

1yM

1yM

2yM

2yM

I II III

x

zy

1xJ

1yM

I

x

zy

1xJ

2xJ

1yM2yM

II

x

zy

2xJ

J

2yM

III

全部真空のモデル

全部真空のモデル

全部ガラスのモデル

図 3 各領域の電磁界の計算モデル

モーメント法(Method of Moments; MoM)[4]は周波

数領域の解析法であり、界等価定理(Field Equivalence

Thorem)[2]を基本原理とする。界等価定理によると異

なる媒質の境界（異ならなくてもよいが）に等価電

磁流を仮定すると、各領域は一様な媒質で満たされ

ていると考えることができる。図 1の問題では図 2

のように媒質境界に 2211 ,,, MJMJ の４つの電流お

よび磁流を仮定する。それらは、既知の基底関数（ま

たは展開関数）に対する重み2211 ,,, yxyx MJMJ で次の

ように表現する。

)(ˆ111 zzxJ x J (3)

)(ˆ111 zzyM y M (4)

)(ˆ222 zzxJ x J (5)

)(ˆ222 zzyM y M (6)

例えば、 1J においては )(ˆ1zzx が基底関数であ

り、 1xJ がその基底関数に対する重みである。このよ

うにして重み係数を求めるための連立一次方程式を

解く問題に帰着させている（これは３次元の解析で

も同様である）。電界および磁界の接線成分が等しい

（境界条件）こと、および境界の反対側では等価定

理よりの法線ベクトルが逆となるので異符号の電磁

流が流れる。このように媒質の境界面に電磁流を置

くと、各領域の電磁界の解析は真電流 Jおよび、媒質境界に仮定した等価電磁流からの一様媒質内での

放射で計算することができる（界等価定理より）。図

3に示すように、領域 I では11, yx MJ が真空中にある

として放射電磁界を計算すればよい。領域 II では

2211 ,,, yxyx MJMJ がガラス中にあるとして放射電

磁界を計算すればよい。領域 IIIでは22 , yx MJ およ

び真電流Jが真空にあるとして放射電磁界を計算すればよい。

図 4 面電磁流からの放射

次に、この計算に必要になる面電磁流からの放射

を計算しておく。図 4 (a)に示す面電流からの放射界

は次式となる(付録 A.1参照)。

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

,

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

zeJ

y

zeJ

y

zeJ

x

zeJ

x

jkz

jkz

jkz

jkz

HE

(7)

また、図 4 (b)に示す面磁流からの放射界は次式と

なる。

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

,

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

zeM

y

zeM

y

zeM

x

zeM

x

jkz

jkz

jkz

jkz

HE

(8)

一般に、電磁流から電界および磁界を計算すると

きは畳み込みの表現となるが、そのときに電磁流に

掛けて（ベクトル的には内積を取って）畳み込みを

行う関数は電磁流のインパルス応答に相当し、グリ

ーン関数とよばれる。

４つの等価電磁流および励振面電流源が放射する

H H

E E

x

zy

)(ˆ zJx J

H

H

E

E x

zy

)(ˆ zMy yM

(a) 面電流 (b) 面磁流

電磁界を各領域で計算し、 21, zzz の境界両側にお

いて電界および磁界の接線成分が等しいという方程

式を立てると次式が得られる。

yzztzzt

zztzzt

zztzzt

zztzzt

HH

EE

HH

EE

2

22

11

11

(9)

ここで、tt HE , の下添え字 t は境界の接線

(tangential)成分を表している。

1z ,

1z はそれぞれ

1zz のすぐ左側と右側を表している。同様に

2z ,

2z

はそれぞれ 2zz のすぐ左側と右側を表している。

1z の電磁界は領域 I のモデルで、

1z および

2z の電

磁界は領域 II のモデルで、

2z の電磁界は領域 III の

モデルで計算する。

１次元問題の場合には式(9)の連立方程式から解が

得られるが、２次元、３次元の問題では式(7)を成立

させる観測点は境界上の全ての場所としなければな

らいため、境界面上で定義された任意の関数で重み

付けして境界面で積分し、これを重み付け残差法と

言う。また、重み関数を基底関数と同一に選ぶ場合、

ガラーキン法と言う。１次元の場合は式(3)～(6)の基

底関数で重み付けすると、次式のように x,y成分を抽

出する演算となる。

yzyzy

zxzx

zyzy

zxzx

HH

EE

HH

EE

2

22

11

11

(10)

未知数の数は2211 ,,, yxyx MJMJ の４つ、方程式の数

は４つなので解くことができる。１次元では積分が

簡単であったが、２次元、３次元の問題では被積分

関数にある未知電磁流を求める積分方程式を行列方

程式に帰着させて解く手法である。モーメント法で

は FDTD 法や有限要素法とは違って放射条件は吸収

境界条件などの特殊な処理を用いる必要がない。

3.2. FDTD法

図 5 FDTD法の時間および空間の離散化

FDTD(Finite-Difference Time-Domain)法[5][8-11]は

時間領域の解析法である。計算機で微分を扱えるよ

うにマクスウェルの方程式を時間および空間の両方

に対して差分化（差分は微分とは異なり、微小だが

有限な範囲での値の変化）して陽的（行列方程式を

解かないで漸化式を逐次計算する）に解く手法であ

る。図 5に時間および空間の離散化を示す。電界と

磁界の更新は半ステップずらして交互に行われる。

また、電界と磁界は回転の差分計算のために空間的

に半セルずれて配置されている。

式(1)-(2)において eiEi ( E は導電電流、 ei は

電流源による励振電流)を代入すると次式が得られ

る。

0

t

HE (11)

et

iEE

H

(12)

空間、時間の差分化はどちらが先でも構わないが、

先ず図 5を見て次のように時間の差分化を行う。式

(11), (12)を時間微分の項について整理すると次式と

なる。

EH

1

t (13)

et

iEHE

11

(14)

さらに、時間間隔 t で時間を差分化し、時間ステッ

プ tn のときの式 (13) および時間ステップ

tn )2/1( のときの式(14)を書くと次式となる。

n

nn

tE

HH

12

1

2

1

(15)

2

12

1

2

11 11

n

e

nnnn

tiHE

EE

(16)

time

nE 2

1n

H 1n

E 2

1n

H 1n

E 2

3n

H

t

2/t

z

)1( iE

)2

1( iH

z

2/z

)(iE )1( iE

)2

1( iH

)2

3( iH

y

x

ここで、次の中央差分による時間差分化が行われた。

tt

nnn

12

1

EEE (17)

tt

nnn

2

1

2

1

HHH (18)

電磁界の上添え字は時間ステップ tn の t を除い

た部分を記したものである。式(16)において電界

2

1n

E の よ うな 時 間配 置を し てい ないの で

2

1

2

1

nnn EE

E で近似する。

2

12

111 11

2

n

e

nnnnn

tiH

EEEE

(19)

式(15)を 2

1n

H について、式(19)をn

E について解く

と次式が得られる。

2

12

1

1

21

/

21

/

21

21

n

e

nnn

t

t

t

t

t

t

iHEE

(20)

nnn t

EHH

2

1

2

1

(21)

式(20)からは最新時間の電界は 1 ステップ前の電

界および半ステップ前の磁界の回転と電流から求ま

ることがわかる。式(21)からは最新時間の磁界は１ス

テップ前の磁界と半ステップ前の電界の回転から求

まることがわかる。この演算を場所ごとに行えばよ

いのであるが、空間に非常に密に電磁界を配置する

わけにはいかないので、空間も図 5のように電界と

磁界の配置を半セルずらして差分化する。任意のベ

クトルAの回転の差分は次式のようになる。

y

kjiAkjiA

x

kjiAkjiAz

z

kjiAkjiA

x

kjiAkjiAy

z

kjiAkjiA

y

kjiAkjiAx

y

A

x

Az

z

A

x

Ay

z

A

y

Ax

AAA

zyx

zyx

xxyy

xxzz

yyzz

xyxzyz

zyx

),,(),1,(),,(),,1(ˆ

),,()1,,(),,(),,1(ˆ

),,()1,,(),,(),1,(ˆ

ˆˆˆ

///

ˆˆˆ

A

(22)

式(20), (21)に空間差分化を考慮し、導電率を 0とお

くと次の１次元問題の電磁界の更新式が得られる。

)(

21

/

)2

1()

2

1(

21

/

)(

21

21

)(

2

1

2

1

2

1

1

iit

t

iHiHt

t

iEt

t

iE

n

ex

n

y

n

y

n

x

n

x

(23)

)()1(

)2

1()

2

1( 2

1

2

1

iEiEz

t

iHiH

n

x

n

x

n

y

n

y

(24)

全位置 iについて式(23)で電界を更新し、次に時間

を半ステップ進めて式(24)で磁界を更新する。更に時

間を半ステップ進めて同様に式(23)で電界を更新

し・・・と繰り返すことになる。行列方程式を解く

必要が無いのでプログラムは簡単であるが、注意と

しては時間ステップには

ztv (25)

の制約があり、時間ステップは任意に大きく取るこ

とができない。ここで、 vは媒質中の電磁波の速度

であり、いろいろな媒質があるときは一番速い媒質

に制約を受ける。式(25)の条件を満たさなければ時間

ステップを進めると数値的に発散してしまう。この

時間ステップの制約条件は提唱者の名前を取って

CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)条件とよばれる。CFL

条件を満たす最大時間ステップで規格化した時間ス

テップは CFL数といわれ、工夫していない FDTD法

では時間ステップは 1 CFL数以下にしなければなら

ない。FDTD 法はこのように任意の時間波形を入射

させることができるので、パルスを印加して散乱波

の時間波形を得て、それをフーリエ変換することで

広い帯域の周波数特性を得ることができる。単一周

波数を印加して解析を行うこともできるが、定常状

態に達するまで時間ステップを進めなければならな

い。

次に、境界条件の処理について説明する。電気壁

(PEC)の場合には電界の接線成分が 0になるので、電

界を更新した直後に電界の接線成分を 0 と書き換え

る。磁気壁(PMC)の場合は磁界の接線成分が 0になる

ので、磁界を更新した直後に磁界の接線成分を 0 に

書き換える。放射境界条件（左が吸収境界の場合）

は進行波の条件を満たす波動方程式 )( ctzEE xx ,

01

t

E

cz

E xx から導出した次式を用いる方法があ

り、これはMur１次の吸収境界条件といわれる。

)()1()1()( 11 iEiEztc

ztciEiE n

x

n

x

n

x

n

x

(26)

磁界も同様な形の式となるが、電界と磁界は独立

ではないので、電界あるいは磁界のどちらかに対し

て境界条件の処理を適用すればよい。

FDTD法解析プログラムの流れを図 6に示す。

図 6 FDTD法解析プログラムの流れ

3.3. FDFD法

FDFD 法[6]では FDTD 法と同様の空間メッシュ分

割を用いるが、周波数領域で行列方程式を解く手法

である。式(11), (12)において jt / とおいて、空

間は FDTD法と同様に差分化すると次式を得る。

0)()()1( izHjiEiE yxx (27)

)()1()()( iziiHiHizEj exyyx (28)

次に、吸収境界条件の方程式を導出する。 z 方向

に速度 cで進む波動は 01

t

E

cz

E xx を満たす。こ

れを差分化すると

0)1(2)(2 iEczjiEczj xx (29)

となる。磁界も同様なので

0)2/3(2

)2/1(2

zy

zy

nHczj

nHczj

(30)

となる。 z 方向に進む波を吸収したい場合は式

(29),(30)において cc と置き換えればよい。式

(27)-(30)を用いて空間に配置した電磁界の値すべて

を未知数とする行列を作成すると次式を得る。

exy

x

iH

E 0

(30) (28),

(29) (27),

式式

式式 (31)

上式を解くと周波数領域で空間の電磁界が求まる。

行列サイズは非常に大きいが、非常に疎な行列でも

あり、疎行列に特化したソルバ―を使うことができ

る。

3.4. 有限要素法 (FEM)

図 7 FEMの空間離散化と基底関数

有限要素法法(FEM)[7]は周波数領域の解析法であ

る。まずマクスウェルの方程式の 2 式から電界のみ

に対する波動方程式を導出する（磁界の波動方程式

でもよいが、電界がよく用いられる）。そして変分原

理に基づいて波動方程式の汎関数を求め、汎関数の

極値探索問題を数値的に解く手法である。ところが、

汎関数は一般には求まらないため、次式のように既

知の重み関数Wで重み付けした弱形式が提案され

た。

000

2

0

dvjkk

r

r

r

MJE

EW

(32)

0ˆ1

100

2

0

dSn

dvjkk

r

r

r

r

EW

MJWEWEW

(33)

Wは任意の関数だが、特に電界の基底関数と同一

のものを用いる場合はガラーキン法といわれる。１

次元問題の場合には弱形式は次のようになる。

01

]1

1[

2

1

00

2

0

z

zz

xx

r

yz

r

xx

xxrxx

r

z

EW

dzz

M

y

MJjkW

EWkz

E

z

W

(34)

図 7 に 示 す よ う に 要 素 i 内 の 電 界 は

)()()( 2211 zAzAz iiiiieeE で表される。全空間の電

界は

ee N

i

iiiiN

i

i zAzAzz1

2211

1

)()()()( eeEE (35)

で表される。電界の接線成分の境界条件より、

・構造、媒質の設定

・メッシュ生成

・時間ステップの決定

・更新式の係数の計算

Loop {

・電界の更新

・電界の境界条件の処理

・磁界の更新

・磁界の境界条件の処理

・吸収境界条件の処理

}

z zi

1

1

*e

zi

2

i-th

element

ii

ii

zz

zz

12

12

e

ii

ii

zz

zz

12

21

e

z

)1( iE )(iE )1( iE

y

x

#(i-1) #i #(i+1)

1

1

iz 1

2

iz iz2

iz1 1

1

iz 1

2

iz

1

12

ii AA となる。行列方程式を作成した際にこの条

件を無条件で満たし、必要最小限の未知数の数とな

るように図 8に示すような屋根形の基底関数(ルー

フトップ基底関数)を定義する。

ebasis N

i

ii

i

N

n

nn zzAzAz1

1

1

2

1

)()()()( eebE (36)

図 8 屋根形基底関数

式(36)を式(34)に代入し、 mxx bW とすると次式を

得る。

[source]

00

[boundary]

11111

1

1,

1,

1

1

2

0

1)(

])(

)()(

1

)()(

)(

1[

)()()()(1

dzz

MJjkzb

z

zbzbA

z

z

zbzbA

z

dzzbzbkdzz

zb

z

zbA

y

r

xmx

xx

r

NxN

NxNN

Nr

N

n

nxmxrnxmx

r

n

ebasis

ebasisbasis

e

basis

(37)

ここで、 nn

n 1

1

2 eeb より、

m

mn

m

nm

m

nm

m

mn

n

x

m

x

n

x

m

x

n

x

m

x

n

x

m

x

n

x

n

x

m

x

m

xnxmx

EEEE

dzzezezezezezezeze

dzzezezezedzzbzb

11121,21,122

11

1

211

1

2

1

2

1

2

1

1

21

1

2

)()()()()()()()(

))()())(()(()()(

(38)

m

mn

m

nm

m

nm

m

mn

n

x

m

x

n

x

m

x

n

x

m

x

n

x

m

x

n

x

n

x

m

x

m

xnxmx

FFFF

dzz

ze

z

ze

z

ze

z

ze

z

ze

z

ze

z

ze

z

ze

dzz

ze

z

ze

z

ze

z

zedz

z

zb

z

zb

11121,21,122

11

1

211

1

2

1

2

1

2

1

1

21

1

2

)()()()()()()()(

))()(

)()()(

()()(

(39)

ここで、 mn はクロネッカーのデルタであり、e

ijE ,

e

ijF は次の公式で計算できる。

)(6/)(

)2,1(3/)()()(

12

122

1 jizz

jizzdzzezeE

ee

eez

z

e

jx

e

ix

e

ij

e

e

(40)

)()/(1

)2,1()/(1)()(

21

122

1 jizz

jizzdz

z

ze

z

zeF

ee

eez

z

e

jxe

ixe

ij

e

e

(41)

また、これらの積分は同一要素の中の基底関数 e 同

士の場合にしか値を持たない。そのため、プログラ

ムを作成する場合には要素のループで、要素内の行

列方程式を作成して、それらの要素を系行列の要素

に足してもよい。全体の行列方程式は次のようにな

る。

}[source]{}{[boundary]1

1

2

1,

2

0

n

N

e ji

e

ijr

e

ij

r

AFkEe

(42)

これを解くと式(36)の係数が求まり、電界分布が求ま

る。有限要素法では重み関数と一致する場所の基底

関数としか行列要素の値を生成しないために疎行列

となる。モーメント法とは異なり、空間全体にメッ

シュを切る必要があるが、行列が疎になるので疎行

列に特化したソルバを使うと高速なので行列のサイ

ズだけでは優劣を比較できない。磁界はファラデー

の法則j

EH

より計算できる。

次に、境界条件について説明する。電気壁(PEC)

の場合は電界の接線成分は0で既知の値となるので、

その部分の基底関数の重み係数を 0 で既知とすれば

よい。磁気壁(PMC)の場合は電界の接線成分の境界の

法線方向の偏微分が 0なので、式(34)より境界成分の

寄与が 0となるだけで、何も処理する必要がない(式

(37)の[boundary]の項を入れる必要がない)。次に、

x

x Ez

E (43)

で定義されるインピーダンス境界の場合、式(37)中の

[boundary]の項は次のようになる。

)()1(

1)(

)(

1

)(1)(1]boundary[

1

1

111112

1

1

1

1

12

zeAzeAN

z

zeA

z

zeA

x

r

N

N

xNNN

er

x

r

N

N

x

N

r

e

e

eebasis

e

e

basis

(44)

次に、吸収境界条件について説明する。 z 方向に

速度 c (波数k )で進む波動(進行波, 素波)は

0

x

x jkEz

E (45)

となるので、インピーダンス境界の式(44)において

jk , 0 と置いたものに等しい。

4. 計算例

各種解析方法で計算した図 1の構造の電界分布お

よび磁界分布をそれぞれ図 9、図 10に示す。周波数

2.45 GHz、自由空間波長を 01 25.0 z , 02 75.0 z ,

05.1 sz , FDTD, FDFD, FEMのメッシュサイズは

40/0z とした。

z y

x

1

1e

1 2 3 n m

1

2e

1 2 3 m n Element

2

1e 2

2e

)( 1

1111 ebb A )( 2

1

1

2222 eebb A

1

2

ne n

1e

)( 1

1

2

nn

nnnA eebb

mmA b

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

|E|

(V/m

)

Position (m)

MoM

FDTD

FDFD

FEM

Sourcer=4

(a) Amplitude

-180

-120

-60

0

60

120

180

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

Arg

(E)

(deg

)

Position (m)

MoM

FDTD

FDFD

FEM

Sourcer=4

(b) Phase

図 9 電界分布

全解析手法の結果は良好に一致した。本解析モデ

ルは 1次元問題なので、MoMの解は厳密解と一致す

る。振幅分布より、 szzz 1 の範囲で定在波が生じ

ているのがわかる。また、磁界の定在波分布では電

界とは山と谷が逆になる。FDTD 法では正弦波入射

させ、100周期後に各場所において１周期間の波形か

ら複素フーリエ係数を計算して複素表現を得ている。

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

|H|

(A/m

)

Position (m)

MoM

FDTD

FDFD

FEM

Sourcer=4

(a) Amplitude

-180

-120

-60

0

60

120

180

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

Arg

(H)

(deg

)

Position (m)

MoM

FDTD

FDFD

FEMSourcer=4

(b) Phase

図 10 磁界分布

5. まとめ

1 次元問題を用いて電磁界解析手法であるモーメ

ント法(MoM), FDTD法, FDFD法, 有限要素法(FEM)

の概要と基礎原理について紹介した。表 1に各種解

析手法の特徴をまとめた。全解析手法において結果

は良好に一致した。また、勉強の一助となるように

参考としてMathematica Ver.8による解析プログラム

を付録に掲載した。

表 1 各種電磁界解析手法の特徴

解析法 特徴

モ ー メ ン ト 法(MoM)

周波数領域

メッシュ：物体の境界、メッシュ形状は三角

パッチ（柔軟性は高い）

陰解法（密行列）

放射、散乱問題が得意

FDTD 法 時間領域

メッシュ：空間全体、直方体格子（柔軟性は

高くない）

陽解法（前のステップの電磁界の値を用いて

値を更新）

人体など、複雑な組成・構造の解析が得意

放射問題のためには吸収境界条件が必要

有限要素法(FEM) 周波数領域

メッシュ：空間全体、四面体要素（柔軟性は

高い）

陰解法（疎行列）

放射問題のためには吸収境界条件が必要

文 献 [1] J.C. Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic

Field,” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol.155, pp.459-512, 1865.

[2] J.A. Stratton: Electromagnetic Theory, Mcgraw Hill, 1941.

[3] 平野拓一, 広川二郎, 安藤真, “1 次元問題を用いたモーメント法、FDTD法、有限要素法の電磁界解析教育用プログラム,” 電子情報通信学会技術研究報告, vol. 112, no. 157, EST2012-31, pp. 143-148, 2012年 7月.

[4] R.F. Harrington: Field Computation by Moment Methods,

Macmillan, 1968.

[5] K.S. Yee, “Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equation in Isotropic Media,” IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol.AP-14, No.3, pp.302-307, April 1966.

[6] V. Demir, E. Alkan, A.Z. Elsherbeni, E. Arvas, “An Algorithm for Efficient Solution of Finite-Difference Frequency-Domain (FDFD) Methods [EM Programmer's Notebook],” IEEE Antennas and Propagation Magazine, vol.51, no.6, pp.143,150, Dec. 2009

[7] J.L. Volakis, A. Chatterjee, L.C. Kempel, Finite Element Method Electromagnetics: Antennas, Microwave Circuits, and Scattering Applications, Wiley, 1998.

[8] K.S. Kunz and R.J. Luebbers: The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics, CRC Press, Tokyo, 1993.

[9] A. Taflove and S.C. Hagness: Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, Third Edition, Artech House Publishers; 3 edition, Tokyo, 2005.

[10] 橋本 修, 阿部 琢美: FDTD 時間領域差分法入門, 森北出版, 1996.

[11] 宇野亨: 「FDTD法による電磁界およびアンテナ解析」, コロナ社, 1998.

A. 付録

A.1. 面電流からの平面波の放射

図 11 面電流からの平面波の放射

図 11に示す面電流のベクトルポテンシャルを計

算する。

V

s

jkr

dvr

e

4

JA で計算したくなるかも

しれないが、問題によっては微分方程式（ヘルムホ

ルツの方程式） JAA 22 k から計算した方が

楽であり、この問題もその一例である。

JAA 22 k

)(2

2

2

xJAkx

Az

z

斉次解

斉次方程式: 02

2

2

z

z Akx

A

x

z eA と仮定して代入すると、

022 xek

jk

斉次解: jkxjkx

z BeAeA

0x にしか波源が無いので、

)0(

)0(

xBe

xAeA

jkx

jkx

z

)0(ˆ

)0(ˆ1

ˆ

00

00/

ˆˆˆ1

1

xejk

By

xejk

Ay

x

Ay

A

x

zyx

jkx

jkx

z

z

AH

)0(ˆ

)0(ˆ

)0(ˆ

)0(ˆ

1ˆ

00

00/

ˆˆˆ1

1

2

2

xeBjz

xeAjz

xej

kBz

xej

kAz

x

H

jz

H

x

zyx

j

j

jkx

jkx

jkx

jkx

y

y

HE

0x での HE, の接線成分の境界条件から BA,

を決定する。

Jzx

x

ˆ)(ˆ

0)(ˆ

HH

EE

JzABjk

z

ABjy

ˆ)(ˆ

0)(ˆ

⇒ k

JjBA

2

従って、

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

xeJ

z

xeJ

z

jkx

jkx

E

,

)0(2

ˆ

)0(2

ˆ

xeJ

y

xeJ

y

jkx

jkx

H

A.2. 解析プログラム

Mathematica Ver.8による解析プログラム例を示す。

A.2.1. モーメント法

H H

E E

x

z

y

0

zy

)(ˆ xJz J

A.2.2. FDTD法

A.2.3. FDFD法

A.2.4. 有限要素法(FEM)