1

محاسبات عددی....مکانیک، عمرانقابل استفاده برای کلیه دانشجویان مهندسی برق ،

هوشمند عزیزی

ت علمی اعضو هی

دانشگاه فنی و حرفه ای کرمانشاه

58تابستان

2

)فصل اول ( مقدمه :

ت یک درعلوم مهندسی همیشه یک مسئله وقتی به نتیجه می رسد که جواب نهایی آن به صور

که از لحاظ می آورد به وجود بسیاری از مسائل مشکالتی را عدد درست باشد ولی همین مورد در

یا و برای آن نمی توان ابالغ کرد یا اینکه روش تحلیلی مستقلی را ،اقتصادی مقرون به صرفه نیست

سروکله کهاینجاست لذا ،است زمان بر زمانی رسیدن به آن اعداد بسیار طاقت فرسا و نظر از

محاسبات عددی پیدامی شود .

خطاها :

داردکه این خطاها برخی ازآنها قابل چشم پوشی است ولی خطاهایی وجود : ها خطای دستگاه

کم کنیم که خوشبختانه دردنیای کنونی راآنها کاراترانتخاب روش های بامی توانیم را برخی دیگر

ی شود.این خطاها به سرعت کم وکمترم ظهورکامپیوتر و

ا نمی توانیم یک عددی که دارای بی نهایت رقم اعشارم ز موارددرمسائل در خیلی ا خطای حذفی :

مرحله به بعد باید از بقیه ارقام چشم پوشی کنیم که این یک از ، لذاجایگزین کنیم را می باشد

ولی برای بسط ها ،ل بریدن برای ارقام منصفانه نیستعم بریدن انجام می شود. گردکردن یا عمل با

منطقی است .

: مثالً

بریدن 7!5!3!

753 xxxxxSin

9301101911230/3گردکردن

عمل گرد کردن :

حالت دارد : 3(اُم n+1اُم انجام دهیم رقم ) nخواهیم عمل برش را در رقم اگر ب

1 <(اُم n+1( رقم )1

3

1 >(اُم n+1( رقم )2

1(اُم = n+1( رقم )3

اگر کووچکتر از .ی دهیمانجام م عمل برش را م اضافه می کنیم واnُیک واحد به رقم در حالت اول

دهیم بدون هیچگونه تغییراتی . انجام می عمل برش را ،)حالت دوم ( بود 1

ت دوم عمل می کنیم؛ حال مانند باشند اگرارقام بعدازآن همه صفر ،باشد 1اگرمساوی ؛حالت سوم و

بوه یوک واحود ؛مانند حالت اول عمل می کنیم باشد یکی از آنها مخالف صفر واگر .تمام بریدن و و

بعد بریدن . ، ول اضافهماقب

مثال :

11/3 100329/3

10/3 102910/3

1022/3 10211999/3

1020/3 102019991/3

: بامعنا نحوه تعیین ارقام

ه ک دراعدادیهستند ولی صفر) رقم های معنی دارجزء ،0و...و2و1کلیه رقم های ارقام معنی دار:

برای جاهای خالی یا و شروع نشده باشد ممیز از اگربالفاصله بعد باشد( 1از کوچکترقدرمطلق آنها

به حساب می آیند. دار رقم های معنیء جز نرفته باشد به کار

مشخص کنید. را زیر اعداد ارقام معنی دار مثال :

031/23 → رقم بامعنا 1

931/23 → رقم بامعنا 1

321/9 → رقم بامعنا 3

9321/9 → رقم بامعنا 3

9932/9 → رقم بامعنا 2

0

99/6 → رقم بامعنا 3

2399 → 3/2× 310 → رقم بامعنا 2

39/2 310 →رقم بامعنا 3

خطای مطلق :

آنگاه خطاهای مطلق را ،نمایش دهیم xبا مقدارتقریبی آن را و Xبا واقعی یک کمیت را مقدار اگر

نمایش می دهیم : ( به صورت زیرError)e با

xXe

Xxeبه صورت ابعضی از کتب آنر در ،اما منطقی آن است که از این به نمایش می دهند

نمایش دهیم : به صورت زیر ن راآ بعد

xXe

مثال :

....0/666666..32X

0/66666732x

خطای نسبی:

ایون صوورت مقدار تقریبوی آن عودد باشود در x مقدار واقعی یک عدد و X خطای مطلق و eاگر

نمایش می دهیم: به صورت زیر و rبا خطای نسبی را

X

xX

X

er

خیلی به کار می بریم ولی در مواقعی که کمیت خیلی بزرگ یا خطای مطلق را اوقات ما بیشتر در

کوچک باشد خطای نسبی دارای معنای بیشتری است .

د جالب باشد خطای مطلق زیا 710خطای مطلق و 1410واقعی یک کمیت مثالً وقتی که مقدار

نیست حال اگر خطای نسبی همین مسئله بررسی شود :

1

0/00000011010

10 7-14

7

X

er

واقعی مقدار محاسبه خطای نسبی اگر که در تری است البته توجه شود بلخطای جامی بینیم که

:حالت کلی می توانیم چنین بگوییمتقریبی آن استفاده می کنیم در نداشتیم از مقدار یک کمیت را

.«تقسیم خطای نسبی ضرب و در تفریق خطای مطلق مفیداند و مع وج در»

یک در اندازه گیری می باشد یعنی اگر کمیت مورد توجه شود که خطای مطلق دارای بعد نکته :

حالی که خطای است در اساس متر است خطای مطلق نیز بر اندازه گیری ما متر اندازه گیری واحد

شده باشد رقم اعشار گرد Kعددی تا ناً ثابت می شود که اگرنمی باشد ضم عدنسبی دارای بُ

صدق می کند: نامساوی زیر نصورت خطای مطلق دردرآ

ke 1021

199که طول آن راB میله و تقریب یک هزارم متر است با متر 19که طول آن را A میلۀ مثال:

اندازه گیری بهتر ه اند دقت کدام یک از این دومیلی متراندازه گرفت 91/9تقریب میلی متراست با

است .

خطای ناشی از گردکردن:

A: میلۀ

33 10

2110

21 AA EE

200001

102

1101021

10 4

3

AE خطای نسبی :A

B: میلۀ

22 10

2110

21 BB EE

200001

102

1100

1021100 4

2

BE خطای نسبی :B

6

کورده ایوم و سانتی متر اندازه گیوری 91/9متر است با تقریب 19را که طول آن Cتمرین : میلۀ

ه گیوری کوردیم، دقوت سانتی متر انوداز 91/9میلی متر است با تقریب 19را که طول آن Dمیلۀ

کدام یک بیشتر است.

mcme

mXC 410 0/01

10

200000

1101021 4

X

CE = خطای نسبی 41021

CEC

mmcme

mmXD 310 0/01

10

20000

1101021 3

X

DE = خطای نسبی 31021

DED

C خطای نسبی D خطای نسبی بیشتر است. Cدقت

: خطای حاصل جمع

خطاهای مطلق متناظر با آنها 2eو 1eباشند و 2Xو 1Xدو تقریب از کمیت های 2xو 1xاگر

باشند، داریم :

111111 xeXxXe

222222 xeXxXe

2121

2121221121

eeee

eexxxexeXX

)()(

مساوی مجموع خطاهای تک تک آن اعداد می باشود حوال عدد کمتر یا دو یعنی قدرمطلق مجموع

2kتا 2xخطای ناشی از گردکردن 2eو رقم اعشار 1kا ت 1xردن ک گرد خطای ناشی از 1e اگر

است: برقرار اینصورت روابط زیر اعشار باشد دررقم

111 102110

2110

21

11kkk

ee

222 102110

2110

21

22kkk

ee

1

2121حال با توجه به رابطۀ eeee : داریم

)( 21

21

101021

102110

21

21

2121

kk

kk

ee

eeee

)()()(- 2121 1010211010

21

21kkkk

ee

خطای حاصل تفریق )خطای تفاضل( :

با توجه به مطالب گفته شدۀ فوق، عیناً همان مطالب برای تفاضل تکرار می شود، یعنوی بوه دسوت

می آید :

)()(- 2121 1010211010

21

21kkkk

ee

خطای حاصل ضرب :

111 exX

222 exX

21122121221121 eeexexxxexexXX )( ).(

یک مقدار بسیار کوچک می باشد لذا قابل صرف نظر می باشد : 21eeبا توجه به اینکه

12212121 exexxxXX

خطای حاصل ضرب برابر است با :

21 102110

21

211221

122112211221

12211221

kkxxexex

exexexexexex

exexexex

21ه : مثال : ثابت کنید ک rrr

21

212211

21

2121

21 XX

xxexex

XX

xxXX

XX

er

)()( )اثبات

8

21

2121122121XX

xxeeexexxx

به دلیل کوچک بودن قابل چشم پوشی می باشد : 21eeاز طرفی

21

212

2

1

1

21

12

21

21

21

2112

21

2121

21

122

21

211

21

12

21

21

21

1221

rrr

rrX

e

X

e

XX

eX

XX

eX

XX

eeeX

XX

eeeX

XX

eeX

XX

eeX

XX

ex

XX

ex

XX

exex

)(

)(

ای حاصل تقسیم : خط

2

2

1

1

2

2

1

1X

e

X

e

X

e

X

e

قضیه : اگر

آنگاه : .....99.....99.

1111

nknm

bbccbbaaA

.......................

/23715 مثال :

1983017

9902-2371523715/

: 2مبنای

: 2بسط اعداد صحیح در مبنای

n تا k تا

0

راه اول :

210 (100111)(39)

30= 32+ 1 راه دوم :

3 +0 +32 =

1 +2 +0 +32 =

210

0125

(100111)(39)2222

12،24،28،216،232،264،22 0123456 *(

0/031250/625،20/125،20/25،20/5،22 -5-4-3-2-1

ببرید. 2را به مبنای 11/9مثال : عدد

2-2-1 (0/11) 220/250/50/75

ببرید. 2را به مبنای 621/0مثال : عدد

210 (1001)(9)

210

2-3-1

1001/101)(9/625) (0/101) 220/1250/50/625

(

روش ساده تر :

)(صفر و یک باشد. بین Aزمانی که عدد 2برای بسط اعداد در مبنای 10 A جودولی را تهیوه

می کنیم به شرح زیر :

19

[، A2، ستون چهوارم A2که یک شمارنده است. ستون سوم iمی باشد، ستون دوم Aستون اول

این جدول را تشکیل می دهیم. هر سطر را تکمیول کورده و عودد حاصول A2]-A2 ستون پنجم

نتقال می دهیم. این عمل تا زمانی تکرار می شود که در ستون اول عدد ستون آخر را به ستون یک ا

تکراری نداشته باشیم به محض تکرار شدن آن الگوریتم ختم و با توجه به ستون چهارم یوک ممیوز

نوشته و اعداد آن را از باال به پایین می نویسیم.

مثال : 7 ببرید. 2را به مبنای 3

A2]-A2 A2] A2 i A

76 9 7

6 1 73

75 1 7

12 2 76

73 1 7

10 3 75

73

210 )011(0/)73(

به دست آورید. 2را در مبنای 1/9مثال : بسط اعشاری

A2]-A2 A2] A2 i A

102 9 10

2 1 101

104 9 10

4 2 102

108 9 10

8 3 104

106 1 10

16 0 108

11

102 1 10

12 1 106

102

210 )0011(0/0)101(

مثال : فرض کنید n

nan

1 خطای ،na چقدر است. 1به عنوان تقریبی از عدد

nnn

nae n

111-1

)(

بزرگتر اختیار شود nمشاهده می شود که هر چه n

بوه یوک naکوچکتر می شوود و در نتیجوه 1

تر می شود.نزدیک

کوچکتر شود کافی است قرار دهیم : 991/9از مثالً naاگر بخواهیم خطای

0/0011000

11

nae n )(

1991لذا اولین عددی که در نامساوی اخیر صدق می کنود n> 1999که از آن نتیجه می شود

می باشد. لذا :

D)1/000999(610011002

na

مجهول است و یا حتی Aرا داشته باشیم، معموالً Aوضع به گونه ای نیست که عدد اما همیشه -

به راحتی قابل بیان نیست، لذا در اینجاست که خطای مطلق حودی بوه e(a)در حالت معلوم بودن

ما کمک می کند.

بنویسید. را 01/1است، خطای مطلق 2تقریبی از 01/1مثال : می دانیم که

12

(1 )1/4121/412(1/41) e

را با استفاده از ماشین حساب بنویسیم برابر است با : 2اگر بسط اعشاری

)D2(91/414213562

نیم، برابر است با : ( جایگزین ک1که اگر مقدارش را در )

2....0/00421356(1/41) e

1/412به سادگی قابل بیوان نیسوت و هموان e(1/41)مشاهده می شود که بیوان سواده تور و

دقیق تر از آن است.

را بدانیم. 2حال فرض کنیم که حدود

0/0051/41 0/0051/4120/004

1/41-1/4151/4121/41-1/4141/41521/414

)e(

می باشد و تا حد زیوادی مقودار نزدیکوی 01/1یک کران باال برای خطای 991/9بدیهی است که

نشان می دهد. 2را به 01/1

نمایش می دهیم. aeمی نامیم و با aرا یک خطای مطلق e(a)تعریف : هر عدد ناکمتر از

aeae بنابراین : )(

(ae منحصر به فرد نیست، بر خالفe(a) ).که منحصر به فرد است

پس داریم :

],[

a

)(

aa

aaaa

a

eaeaA

eAeaeaAe

eaAae

ارقام با معنای درست یک تقریب :

)نپر( هستند. eهر یک از اعداد زیر یک تقریب از عدد

1181/2 ،118/2 ،12/2 ،3

13

سؤالی که اینجا مطرح است این است که تعداد ارقام با معنای یک تقریوب مؤیود دقوت آن تقریوب

ب دیگر رقم بامعنا دارد. و از طرفی تقری 1است که eتقریبی از عدد 118238/3نیست، مثالً عدد

می باشد که فقط یک رقم بامعنا دارد. حال قضاوت با خود شما. 3آن عدد

پس ارقام بامعنا دقت ما را نشان نمی دهند، حال می خواهیم روشی را بیان کنیم که ارقام بامعنای

درست را به ما ارائه دهند.

a= 98/8و a= 001/1و 999/8مساوی است با Aمثال : فرض کنید مشواهده موی شوود کوه

a درست دو رقم مساوی با ارقامA دارد. )با حفظ ارزش هر رقم( اما هیچ یک از ارقوامa مسواوی

aنیست. آیا می توان گفت ارقام درست Aارقام بیشتر از ارقام درستa می باشد، خوواهیم دیود

که خیر.

مفهوم ارقام بامعنای درست هر تقریب رابطۀ تنگاتنگ با دقوت آن تقریوب دارد در اینجوا خطاهوای

مطلق برابر :

993/9 =e(a)

98/9( =a )e

باید تعداد ارقام درست بیشتری داشوته باشود. اموا تعوداد ارقوام بامعنوا چگونوه محاسوبه aدر واقع

می کنند، داریم :

تعریف : فرض کنید )(a

......

m 01010 1

1

mm

mm aaa

کوه nباشد در این صورت بزرگترین عدد صحیح نامنفی aتعداد ارقام بامعنای dو aبسط اعشاری

dn وnmaA نامیده می شود. aتعداد ارقام بامعنای درست 105

داریم : mا برای محاسبۀ ام

m ( = [a])تعداد ارقام -1 1a

a]- =m + تعداد صفرهای بالفاصله بعد از ممیز در بسط 1 10 a

a=98/8و a= 001/1و A= 99/8مثال : اگر تعداد ارقام بامعنای درست ،a وa .را بنویسید

10

aو aحل( با توجه یه اینکه جزء صحیح ،اعداد یک رقمی هستندm بورای هور دو صوفر اسوت و

e(a)= 993/9داریم :

دست می آوریم که در نامساوی زیر صدق کند. را به nحال باید بزرگترین

n 01050/003

رقم بامعنای درست می باشد. و برای 3دارای aمی باشد یعنی 3برابر nبدیهی است که بزرگترین

a : داریمn 01050/08)ae(

می باشد یعنی یک رقم بامعنای درست دارد. 1برابر nکه

را bو aتعوداد ارقوام بامعونای درسوت b= 6/199و a= 08/00و دباشو A= 199تمرین : اگور

بنویسید.

nmaAaema 1050/0211(2)1 ,)(,

a رقم بامعنای درست می باشد. 3دارای 31050/02 1 nn

nmbAbAbemb 1050/621 ,)(,

B 21050/6رقم بامعنای درست می باشد. 2دارای 2 nn

11

فصل دوم

ریشۀ معادالت :

را بوه aدر ریاضیات مهندسی اغلب ناچاریم که جواب های معادلۀ زیر را به دست آوریم. یعنی عدد

قسمی پیدا کنیم که :

00

)()( afxfax

یوک توابع معلووم اسوت بوه f(x)می نامند که در اینجا f(x)را ریشۀ معادلۀ aصورت عدد در آن

یک تابع متعالی است اگر بر حسب توابع مثلثاتی، معکوس مثلثاتی، fصورت جبری یا متعالی )تابع

نمایی و یا لگاریتمی باشد.( و ما به این مشکل برخورد می کنیم که همیشه بوا روش هوای معموول

وانیم آنها را حل کنیم و ریشۀ آنها را بیابیم، لذا در این جا به محاسبات عددی پناه می آوریم، نمی ت

که روش های تکراری تقریب از ریشۀ معادالت را به ما می دهد.

روش تکراری عددی چیست ؟ -

آن در یوک عبوارت و جایگوذاری 0xروشی است که با اختیوار کوردن یوک مقودار اختیواری مثول

ها را به دست می آوریم. ixدنباله ای از

0xنقطۀ شروع

)( ii xgx 1

0x

)( 01 xgx

)( 12 xgx

)( 1 nn xgx

ی وجود دارد که به اختصار چند روش از آنها را توضیح می دهیم. روش های تکراری فراوان

16

fix point روش تکراری ساده )نقطۀ ثابت( :

را به دست آوریم که داریم: x = g(x)عبارت f(x)= 9سعی می کنیم در این روش از معادلۀ

)( ii xgx 1

مناسوب در g(x)و 0xها به دست می آید که با انتخاب مناسب ixدنباله ای از 0xکه با داشتن

همگرا می شود. f(x)آن صورت دنبالۀ عددی شما به ریشۀ معادلۀ

132مثال : با استفاده از روش تکرار ساده ریشۀ معادلۀ xxxf را بوه دسوت آوریود. )توا )(

چهار رقم اعشار(.

132 xxxf )(

)(x 13113 22 xxx

)(g(x) 131 2 x و)( ii xgx 1

)( لذا : 131 2

1 ii xx

10 x

0/6673211

31 2

1 )(x

0/4815132

31 2

2 ))((x

0/3839 ، 0/3893 ، 0/4106 543 xxx

0/3820 ، 0/3821 ، 0/3825 876 xxx

0/38209 x

- 0x .دلخواه است ولی عمداً یک گرفته می شود

11

های متعددی به دست می آید ولی معلووم نیسوت کوه تموام ایون f(x) ،g(x)توجه شود که برای

g(x) 0ها مناسب باشند. به عبارت دیگر با داشتنx الزاماً تمام دنبالوه هوای ،)( ii xgx 1 بوه

همگرا نمی شود. f(x)= 9ریشۀ معادلۀ

های ممکن را می نویسیم. g(x)مثالً برای تابع زیر تعدادی از

132 xxxf )(

)(x 13113 22 xxx

)((x)g 131 2

1 x

13

131313

3

22

xxg

xxgxxx

)(

)(x

1212012 24

22 xxxxxxx (x)gx

31

311313013

5

22

-x)(

-x)-x(x

xg

xxxxx

x)(

xx

131313013 622

x

xgx

xxxx

به دست آمده در باال حل کنید ؟ xg2)(مثال : مثال قبل را با

0132 xxxf )(

131313013 22 xxgxxxxx )(x

131 ii xx

40 x

2/64513(4)1 x

2/63313(7)2 x

2/6261)3( 23 xx

18

2/6221)3( 34 xx

2/618 ، 2/618 ، 2/619 ، 2/620 8765 xxxx

)تا سه رقم اعشار(

مثال :

325 xxxf )(

رسم آن بصورت زیر خواهد بود:

جواب آن در اکسل:

51 32 ii xx

xi xi+1

0 1.2457309

1.2457309 1.4058455

1.4058455 1.421872

1.421872 1.423437

1.423437 1.4235894

1.4235894 1.4236042

مثال :

322 xxxf )(

3/004 ، 3/011، 3/034 ، 3/104 ،3/317 ، 4

3232

3232032

54

3210

1

22

xx

xxxx

xxxxg

xxxxxx

ii)(

10

دیگر در g(x)همگرا می شود. حال اگر همین مسئله را با یک x= 3به ریشۀ مالحظه می شود که

نظر بگیریم، داریم :

210

1

، 1/5 ، 4

323232 032

xxx

x

xx

x

xxg

x

x

xxx

i

ii )(x

.

بوه شوکل را g(x)( همگرا می گردد. حال اگر -1مالحظه می شود که به صورت متناوب به ریشۀ )

دیگر در نظر بگیریم، داریم :

)()()(

)(

3213

21

32132032

21

2

222

ii xxxxg

xxxxxx

، ، 4 210 xxx

)(مالحظه می شود که در این حالت دنبالۀ ii xgx 1 واگرا می گردد. با توجه به مطالب فووق

مرتوب نموود، بوه عبوارت دیگور x = g(x)را می توان بوه صوورت هوای مختلوف f(x)= 9معادلۀ

g(x)ام ایون های متفاوتی را می توان تولید کرد. سؤال این است که آیا تمg(x) هوا مفیدنود و بوه

را چگونوه انتخواب 0xهمگرا می شوند و سؤال دیگر این است که مقودار اولیوۀ f(x)ریشۀ معادلۀ

کنیم، برای جواب دادن به این سؤاالت قضیۀ بسیار زیبای زیر را با تمام وجود می پذیریم :

xg)(و g(x)دارای ریشه بوده و b][a,در فاصلۀ f(x)= 9اگر قضیۀ همگرایی : در این فاصله

xg)(پیوسته و : در شرط زیر صدق کند

b][a, x: )( 1mxg

29

)(آنگاه دنبالۀ ii xgx 1 9به ریشۀ معادلۀ =f(x) 0همگرا می شود ، در ضمنx توان از را می

انتخاب نمود. توجه شود که شرط فوق یک شرط کافی است و شرط الزم نموی باشود؛ [a,b]فاصلۀ

زیرا برای بعضی مسائل شرط فوق برقرار نبوده ولی به سمت جواب همگرا می شود.

با استفاده از روش تکراری ساده، ریشۀ معادلۀ زیر را بیابید. مثال :

13 xxxf )(

1

1

1

111122

23

xxg

xxxxx )(x)(

لذا شرط همگرایی برقرار است.

1

1)(

222x

xxg )(

0/6823280/701 ، 0/729 ، 0/8 ، 0/5 ، 1

5

43210

x

xxxxx

0/653 ، ، 0/610 ، 0/5 510 xxx

ریشۀ معادلۀ زیر را از روش تکراری ساده به دست آورید. مثال :

xexf x 3)(

xxxx exgexexxe31

31303 )(

ixi ex

31

1

16/7 ، 3/91 ، 2/46 ، 20/567 ، 0/530 ، 0/465 ، 0/333 ، 0

3210

43210

xxxx

xxxxx

21

xi xi+1 xi xi+1

0 0.3333333 2 2.4630187

0.3333333 0.4652041 2.4630187 3.913399411

0.4652041 0.5307797 3.91339941 16.68962256

0.5307797 0.5667525 16.6896226 5903230.335

0.5667525 0.5875113 5903230.34 #NUM!

0.5875113 0.5998348 #NUM! #NUM!

0.5998348 0.6072726 #NUM! #NUM!

0.6072726 0.6118062 #NUM! #NUM!

0.6118062 0.6145862 #NUM! #NUM!

0.6145862 0.6162971 #NUM! #NUM!

همگرا واگرا

00مالحظه می شود که به ازای x 20به سمت ریشه همگرا و به ازای x واگرا می باشد. بورای

بررسی کردن این موضوع به سراغ قضیۀ همگرایی می رویم :

33

xx exg

exg )()(

313

13

xxx

eee 1شرط همگرایی )(xg

1/13 xLne xLn

1اگر نتوانیم نکته : )(xg م اعداد را چک می کنیم اگر در رابطه صدق کرد همگورا را ساده کنی

می شود و برعکس.

با توجه به روش تکراری ساده ریشه های معادالت زیر را بیابید. تمرین :

4102 32 x-xf(x) II) )( ) xxxfI

: حل

10/)4(10/)4(x-xf(x) II) 1

3i

33 xxx410 ix

22

رسم

جدول اکسل حل:

xi xi+1

0 0.4

0.4 0.4064

0.4064 0.4067121

0.4067121 0.4067276

0.4067276 0.4067284

0.4067284 0.4067284

0.4067284 0.4067284

0.4067284 0.4067284

0.4067284 0.4067284

0.4067284 0.4067284

همگرا

3دیگر از جواب 410)( xxg:

xi xi+1

0 -1.58740105

-1.5874011 -2.7087058

-2.7087058 -3.14431858

-3.1443186 -3.28481501

-3.284815 -3.32765707

-3.3276571 -3.34050391

-3.3405039 -3.34433703

-3.344337 -3.34547902

-3.345479 -3.3458191

-3.3458191 -3.34592036

23

روش پیدا کردن ریشه با استفاده از رسم منحنی :

را به صورت تفاضل دو تابع که رسم آنها ساده است نوشت. f(x)بعضی اوقات می توان

)()()( xfxfxf 21

منحنی های زیر را رسم می کنیم :

)(، )( xfyxfy 2211

f)( باشد آنگاه f)(0ر حال می گوییم اگ

021 )( - )( ff

)( )( 21 ff

یعنووی نقطووۀ

A 1روی منحنوویy 2وy قوورار دارد، بووه عبووارت دیگوور طووول نقطووۀ تقوواطع

می باشد. از این رو منحنی ها را رسم می کنیم و طول نقاط تقاطع آنهوا را 2yو 1yمنحنی های

می یابیم.

برابر است با نقطه تقاطع دو منحنی. f(x)لذا ریشه

Cosxxxfهای معادلۀ مثال : حدود و تعداد ریشه )( .را تعیین کنید

)()()( xfxfxf 21

)()( xCosxxf

xxfCosxxf )( و )( 21

20

تمرین : تعداد و محل ریشه های معادلۀ زیر را تعیین کنید.

))(( 32 xxxCosx

روش تکراری نیوتن :

fروش تکراری نیوتن می باشد که در آن f(x)= 9برای حل معادلۀ یکی دیگر از روش های تکراری

را بوا یوک ممواس مناسوب fیک تابع مستق پذیر می باشد. طرز عمل به این شکل است که نمودار

هوا بوه طووری کوه xو رسوم عموودی بور محوور 0xتقریب می نماییم، سوپس بوا انتخواب مقودار

هوا را در xرسم می کنیم، تا محور f(x)را قطع نماید. سپس از نقطۀ تالقی مماس بر f(x)نمودار

قطع کند. حال معادلۀ مماس را به دست می آوریم : 1xنقطه ای به طول

),D(x

)f,C(x

),B(x

),(

0

0

2

11

1

00 fxA

21

نویسیم : را می Bو Aو گذرا از دو نقطۀ f(x)حال معادلۀ خط مماس بر

000f)(x)( fxfm xAB شیب خط =AB

)( AABA xxmyy معادلۀ خط

)x(ff 000 xy

باید در معادلۀ فوق صدق کند : Bحال نقطۀ

*0

00101

0

001000

f

fx)x(

f

f)x(ff

xxx

را می نویسیم. Dو Cو گذر از دو نقطۀ f(x)حال معادلۀ خط مماس بر

111f)(x)( fxfm xCD شیب =CD

)( CCDC xxmyy معادلۀ خط

)x(ff 111 xy

لۀ فوق صدق کند. باید در معاد Dحال نقطۀ

**1

10212

1

112110

f

fx)x(

f

f)x(ff

xxx

بنابراین محاسبه شود، nxو .... و 4xو 3xبه همین ترتیب این عمل را ادامه می دهیم تا مقادیر

شدۀ فرمول کلی زیر را استخراج کرد : می توان از بحث های گفته

n,....,i 0,1,21

i

iii

f

fxx

( : روش تکراری نیوتن به روش مماسی نیز معروف است. 1تذکر )

B( 1x ,9)

D ( 2x ,9)

X2 x1 x0

26

تقریب می شود. )یعنی 1توسط کثیر الجملۀ درجۀ f(x)( : در روش تکراری نیوتن نمودار 2تذکر )

ه دست آوریم. ریشۀ کثیر الجملۀ درجۀ را ب f(x)توسط بی نهایت خط مماس( و به جای آنکه ریشۀ

را می یابیم. 1

تا سه رقم اعشار درست بیابید. 2: با استفاده از روش تکراری نیوتن، ریشۀ معادلۀ زیر را حول مثال

xe x 4

حل(

با استفاده از فرمول نیوتن رافسون داریم:

4

)1(1

xi

i

xi

ie

xex

i xi xi+1

0 2 2.180269634

1 2.180269634 2.153950513

2 2.153950513 2.153292768

3 2.153292768 2.153292364

4 2.153292364 2.153292364

5 2.153292364 2.153292364

6 2.153292364 2.153292364

یر می باشد:و شکل آن بصورت ز

: با استفاده از روش تکراری نیوتن، ریشۀ معادلۀ زیر را بیابید. مثال

13 xxf(x)

21

فرمول تکراری نیوتن )(

)(

i

iii

xf

xfxx

1

x

x

x

xx

13

12

13

12

3

12

3

1

i

ii

i

iiii xxx داریم :

i xi xi+1 fi

0 0.5 0.714286 -0.375

1 0.714286 0.68318 0.078717

2 0.68318 0.682328 0.002043

3 0.682328 0.682328 1.48E-06

4 0.682328 0.682328 7.85E-13

5 0.682328 0.682328 0

6 0.682328 0.682328 0

رقم اعشار می باشد. 1تا f(x)ریشۀ معادلۀ 68233/9پس نتیجه می گیریم که

را محاسبه کنید. )در حالوت خوا Cر عدد با استفاده از روش تکراری نیوتن و رافسون، جذ مثال :

2 =C )بگیرید

)(

)()(

iii

i

iii

x

Cxx

x

Cxxx

xxfCxxfCxxCxC

21

2

20

1

2

1

222

باشد : C= 2حال اگر

28

)(i

iix

xx2

21

1

C= 2

xi xi+1

0 1 1.5

1 1.5 1.416666667

2 1.416666667 1.414215686

3 1.414215686 1.414213562

4 1.414213562 1.414213562

5 1.414213562 1.414213562

6 1.414213562 1.414213562

7 1.414213562 1.414213562

بگیریم، داریم : 0x= 1حال اگر 1/414214 ، 1/414214

1/414216 ، 1/416667 ، 1/5 ، 1

54

3210

xx

xxxx

(=(($E$1-1)*(B3)^($E$1)+$C$1)/($E$1*B3^($E$1-1))) فرمول اکسل ریشهp ام

C= 27 n= 3

i xi xi+1

0 0.5 36.33333

1 36.33333 24.22904

2 24.22904 16.16802

3 16.16802 10.81311

4 10.81311 7.285715

5 7.285715 5.026693

6 5.026693 3.707316

7 3.707316 3.126366

8 3.126366 3.005039

9 3.005039 3.000008

10 3.000008 3

11 3 3

104مثال : معادلۀ xx .را به روش نیوتن به دست آورید

20

141001010 3444 x(x)fxxf(x)xxxx

x

x

x

xx-

i

i

i

i

14

103

14

103

4

13

4

1

i

ii

i

iii xx

xf

fxxx

و

xi xi+1 f(xi)

0 0 -10 -10

1 -10 -7.5006248 10000

2 -7.5006248 -5.6280588 3162.618

3 -5.6280588 -4.229137 998.9366

4 -4.229137 -3.1943461 314.1238

5 -3.1943461 -2.45364 97.31284

6 -2.45364 -1.9760291 28.69824

7 -1.9760291 -1.749352 7.22264

8 -1.749352 -1.6996335 1.114375

9 -1.6996335 -1.6974758 0.044534

10 -1.6974758 -1.6974719 8.06E-05

11 -1.6974719 -1.6974719 2.66E-10

12 -1.6974719 -1.6974719 0

و

39

الزم به یادآوری است که روش تکراری نیوتن برای حل معامالت جبری و مثلثاتی به کار می رود، -

همچنین از آن برای معادالتی که دارای ضرائب موهومی و یا ریشوۀ موهوومی باشوند نیوز اسوتفاده

حقیقوی باشود 0xدر یک معاملۀ جبری با ضرائب حقیقی، اگر مقدار اولیه یعنی در ضمن می شود،

برای آنکه همگرایی نمی رسیم. در صورت همگرایی به ریشۀ حقیقی همگرا شده و به ریشۀ موهومی

جملۀست به روش تکراری نیوتن را مورد بررسی قرار دهیم، کافی)(

)(

i

i

xf

xf

توجه شود. این جملوه

باعث می شود که در هر تکرار به ریشۀ واقعی نزدیک یا دور شویم، در واقع این جمله ممکون اسوت

نزدیوک ریشوه f(x)از نقطه نظور هندسوی اگور نموودار باعث خطا شود، یا اینکه اصالح شده باشد.

اگر نمودار تابع در نزدیکوی ولی ،ها باشد سرعت همگرایی بسیار سریع است xتقریباً عمود بر محور

)(اگر ixمثالً در هر نقطۀ ریشه تقریباً افقی باشد سرعت همگرایی بسیار کند است. ixf مساوی

نقاط عطف منحنوی در دامنوۀ محاسوبات ایجواد نیوتن کاربرد ندارد.صفر باشد، آنگاه روش تکراری

یک شرط کافی برای روش تکراری نیوتن وجود دارد است روش واگرا شود. اشکال می کند و ممکن

که آن را به صورت زیر می پذیریم :

xf)(نکته : اگر و)(xf در فاصلۀ),( ax0 تغییر عالمت نداده و)( 0xf و)( 0xf هم عالمت

همگرا می شود. بنابراین برای ریشوه هوای سواده روش aباشند، آنگاه روش تکراری نیوتن به ریشۀ

xi xi+1 f(xi)

0 1 4.3333333 -10 1 4.3333333 3.2908344 338.2716

2 3.2908344 2.5562064 103.9892 3 2.5562064 2.0982364 30.13945

4 2.0982364 1.8956088 7.284615 5 1.8956088 1.856882 1.01643

6 1.856882 1.8555859 0.031897

7 1.8555859 1.8555845 3.47E-05 8 1.8555845 1.8555845 4.13E-11

9 1.8555845 1.8555845 0

31

روش تکراری نیوتن ممکن اسوت در اثور یکوی از حواالت زیور تکراری نیوتن سریعاً همگرا می شود.

همگرا نشود :

ریشۀ حقیقی نداشته باشد. f(x)الف( ممکن است که تابع

در اطراف ریشه حالت تقارن داشته باشد. f(x)ن است که نمودار ب( ممک

که انتخاب می کنیم خیلوی خیلوی دورتور از ریشوۀ 0xج( ممکن است که در روش تکراری نیوتن

واقعی انتخاب شود.

04103تمرین : بااستفاده از روش تکراری نیوتن ریشۀ معادلۀ xxf(x) به دست آورید و را

برنامۀ کامپیوتری آن را بنویسید )تا چهار رقم اعشار دقت(

روش وتری(یا (S-mروش قاطع :

)(اگوور در فرمووول تکووراری نیوووتن بووه جووای ixf عبووارت1

1

ii

ii

xx

xfxf )()( جووایگزین کنوویم

معادله ای به صورت زیر به دست می آید :

)(

)(

i

iii

xf

xfxx

1

)()(

)(

1

11

ii

ii

iii

xx

xfxf

xfxx

)()(

)()(

)()(

)()()()(

)()(

)()(

1

111

1

111

1

11

ii

iiii

i

ii

iiiiiiii

i

ii

iiiii

ii

xfxf

xfxxfxx

xfxf

xfxxfxxfxxfxx

xfxf

xfxxxfxxx

00و نقاط شروع m)-(Sمثال : با استفاده از روش تکراری قاطع x 11و x ریشۀ معادلۀ زیر را

xCosxxf بیابید. )(

32

,...... )()(

)()(

0101 10

2ff

fxfxx

if ix i

1 9/9 9

01019/9- 9/1 1

98039/9 68191/9 2

99066/9 13639/9 3

99996/9- 13012/9 0

99999/9 13098/9 1

تری آن را نیز بنویسید : : مسئله زیر را حل و برنامه کامپیو تمرین

04103ریشۀ معادلۀ m-Sقاطع یا با استفاده از روش تکراری xxf(x) .را به دست آوریود

0/50برای نقطۀ شروع x 11و x رقم اعشار دقت( 0در نظر بگیرید. )تا

:نابجایی( یا F-p )روش تکراری

تقریب شده و برای به دست آوردن ریشۀ 1توسط کثیر الجمله ای درجه f(x)منحنی در این روش

توسوط f(x)را به دست می آوریم، به عبارت دیگر منحنوی 1، ریشۀ کثیر الجملۀ درجۀ f(x)تابع

ها؛ محول تالقوی xبا محور f(x)تقریب می شود، برای به دست آوردن محل تالقی ABپاره خط

را می نویسیم : ABها به دست می آوریم، بنابراین معادلۀ پاره خط xا محور را ب ABپاره خط

33

را می نویسیم : ABحال معادلۀ خط

bx

bfxfmAB

0

0 AB= شیب خط )()(

معادلۀ خط را می نویسیم :

)( BABB xxmyy

)()()(

)( 00

00 xx

bx

bfxfxf

),(حال باید نقطۀ 01xC معادله صدق کند : در

)()()(

)( 010

000 xx

bx

bfxfxf

)()(

)()(

0

001

xfbf

xbfbfxx

نوشته و تکرار کنیم، داریم : ADاگر این روند را برای خط

)()(

)()(

1

112

xfbf

xbfbfxx

لذا در حالت کلی می توان نوشت :

0,1,2,...1

i

)()(

)()(

i

iii

xfbf

xbfbfxx

30

بوه F-pاست سواده. روش تکوراری در این روش چون نیاز به محاسبۀ مشتق نیست بنابراین روشی

روش پاره خط یا روش درون یابی خطی نیز معروف است.

00بایستی طوری انتخاب شود که : 0xو bتذکر : )().( xfbf

باشد. به خاطر اینکه ریشه داشته

013مقوودار تقریبووی ریشووۀ معادلووۀ p-Fبووا اسووتفاده از روش مثووال : xxxf را بووا )(

10 b 5.0 وx .)به دست آورید. )تا چهار رقم اعشار درست

شرط :11 00/51

بررسي0/3750/5

)(

)()(

)(:

f

ff

f

لذا در این بین ریشه وجود دارد.

)()(

)()(

0

001

xfbf

xbfbfxx

0/68230/6823 0/6822، 0/6817،

0/6797 0/6712، 0/6364، 0/5،

7

654

3210

x

xxx

xxxx

و حل آن

31

xo 0.5 f(x0) -0.375

b 1 f(b) 1

i xi xi+1 abs(Xi+1-Xi) f(Xi+1)

0 0.5 0.636363636 0.136363636 -0.105935386927122000000000000

1 0.636363636 0.671195652 0.034832016 -0.026428287870109600000000000

2 0.671195652 0.679661646 0.008465994 -0.006375484210054960000000000

3 0.679661646 0.68169102 0.002029374 -0.001525358087883120000000000

4 0.68169102 0.682175816 0.000484796 -0.000364224116321088000000000

5 0.682175816 0.682291533 0.000115717 -0.000086927981931106400000000

6 0.682291533 0.682319148 2.76154E-05 -0.000020744421157292700000000

7 0.682319148 0.682325738 6.58997E-06 -0.000004950297601613580000000

8 0.682325738 0.682327311 1.57257E-06 -0.000001181295353092080000000

9 0.682327311 0.682327686 3.75265E-07 -0.000000281893469122885000000

10 0.682327686 0.682327776 8.95497E-08 -0.000000067268442482948400000

11 0.682327776 0.682327797 2.13693E-08 -0.000000016052315476855500000

شرط توقف به دو حالت

b ریشۀ معادلۀ زیور را بوا فورض p-Fتمرین : با استفاده از روش تکراری 02 0 xو معادلوۀ و

1 xxxf sin)( 1/1141615بار تکرار 1را به دست آورید. )بعد از x)

: S-mو F-pتفاوت میان روش های

به نظر نمی رسد و در هر دو روش به دو مقدار اولیه نیاز داریم، اما در گرچه بر حسب ظاهر اختالفی

عوض 2xبا 1xو جای 1xرا با 0xهمیشه ثابت است و مرتب جای bیک مقدار اولیۀ p-Fروش

موی شوود در نهایت به ریشۀ معادله همگورامحصور شده و bو ixین می شود و در ضمن ریشۀ ب

نیاز داریم و ... . در ضمن ریشوۀ 1xو 0xبه 2xاینطور نبوده و برای محاسبۀ m-Sولی در روش

ممکون اسوت روش بوه محصور شده باشود در نتیجوه 1ixو ixان معادله معلوم نیست که در می

به ریشه همگرا شود؛ سرعت همگرایی آن از S-mروش از طرف دیگر اگر ریشۀ معادله همگرا نشود.

بیشتر است. F-pسرعت همگرایی

وش های تکراری تا چند تکرار محاسبات را با توجه به مباحث فوق این سؤال پیش می آید که در ر

برای پاسخ به این سؤال یکی از قاعده های زیر را پیش می گیریم : ادامه دهیم.

عددی باشد که خطا را مشخص می کند، در این صورت به محض آنکه شرط eفرض کنید که الف(

36

exx ii برقرار شد، تعداد تکرار متوقف می شود. 1

dxfعالوه بر قسمت الف ممکن است از شرط (ب )( i استفاده کنویم کوه در آنd یوک عودد

بسیار کوچک و متناسب با تعداد ارقام اعشار درست است.

استفاده کنیم، بدین معنی که اگر قسمت های الف و ب رخ ندهود doممکن است از یک حلقۀ ج(

تکرار متوقف شود. nبعد از

روش دو بخشی(: یانصف کردن )تنصیف روش

مختلوف العالموه باشوند در آن f(b)و f(a)پیوسته بووده و [a,b]در فاصلۀ f(x)اگر فرض کنیم

به دسوت kوجود دارد. به عبارت دیگر حداقل یک [a,b]در فاصلۀ f(x)صورت حداقل یک ریشۀ

],[و )Cf(= 9صدق کند یعنی f(x)= 9می آید که در baC.

فاصله را نصف می کنیم یعنوی kبرای به دست آوردن 2

baC

حوال .f(a) وf(b) و)f(C را

محاسبه می کنیم، عالمت های آنها این سه حالت را دارد :

قرار دارد. [a,C]هم عالمت است. آن گاه می گوییم ریشه در بازۀ f(b)با f(C)حالت اول : یا

قرار دارد. [C,b]هم عالمت باشد. آنگاه می گوییم ریشه در بازۀ f(a)با f(C)دوم : حالت

، و ما مستقیم خود ریشه را یافته ایم. C = cباشد در آن صورت f(C)= 9حالت سوم : اگر

در حالت اول و دوم این روند مجددًا تکرار می شود، تنهوا در حالوت سووم اسوت کوه رونود خاتموه

ابد. می ی

[. 1و2با استفاده از روش نصف کردن ریشۀ معادلۀ زیر را بیابید، در فاصلۀ مثال :

03323 xxxxf )(

31

a b c f(a) f(b) f(c)

1 2 1.5 -4 3 -1.875

1.5 2 1.75 -1.875 3 0.172

1.5 1.75 1.625 -1.875 0.172 -0.943

1.625 1.75 1.688 -0.943 0.172 -0.409

1.688 1.75 1.719 -0.409 0.172 -0.125

1.719 1.75 1.734 -0.125 0.172 0.022

1.719 1.734 1.727 -0.122 0.022 -0.051

1.727 1.734 1.730 -0.051 0.018 -0.016

1.730 1.734 1.732 -0.016 0.018 0.001

0.002

تا دو رقم اعشار به نتیجه رسیدیم.

abs(Ci+1-Ci)

همگرایی روش نصف کردن :

همگرایی روش نصف کردن به صورت زیر می باشد :

100

22

n

ababe

nnn

مثال برای مثال قبل و ده تکرار داریم:

a 1

b 2 -0.0004882813 en 0.0004882813

n 10

38

نشان دهید که رابطۀ زیر برقرار است : مثال :

200

Ln

LneabLnn

)(

)حل

)()(

nn 100

100

22

abLnLne

abe nn

)()( n 100 2 LnabLnLne n

2100 LnabLnLnen )n()(

)()()n( neLnabLnLn 0021

21 00

Ln

LneabLn

)()n(

eenبا فرض : داریم

200

Ln

LneabLn

)(n

200

Ln

LneabLn

)(n

ناپیوسته باشد ایون روش ممکون اسوت یوک ریشوۀ [a,b]در فاصلۀ f(x)نکته : توجه شود که اگر

نادرست بدهد.

00مثال : اگر a 20و b 31وn .باشد، ریشۀ تقریبی مسئله تا چند رقم اعشار دقیق است

046566120/00000000

104/6566122

2

2

0-2

210-

3232100

n nn eab

e

رقم اعشار دقت دارد. 0لذا تا

3-410تمرین : با استفاده از روش نصف کردن ریشوۀ معادلوۀ xxxf [ را 9و1در فاصولۀ )(

نوشته و برنامۀ کامپیوتری آن را بنویسید.

30

کوار رفتوه [ بوه2و1در بازۀ f(x)= 9تمرین : اگر روش نصف کردن برای پیدا کردن ریشۀ معادلۀ

9105دقتی معادل nCباشد، چند مرتبه فاصله بایستی نصف شود تا ریشۀ تقریبی .داشته باشد

?n و e و و n 900 10527 ab

2200

100

Ln

LneabLnaben

)(n یا

n

21-5

227

Ln

Ln

Ln

LneLn

)(n

0/87920/87920/69314718

1-21/60943791 nn

استفاده کرد که در آن صورت داریم : همچنین می توان از فرمول اول

0210/00000000

2

1102

51052

2-7105

1-

19

19

19

n

)(n

nnn

مرتبۀ همگرایی :

f(a)= 9صودق کورده یعنوی f(x)باشود. در آن صوورت در معادلوۀ f(x)= 9ریشۀ معادلوۀ aاگر

)(موی شود، از طرفوی اگر فرمول تکراری ii xgx 1کار ، برای به دست آوردن ریشۀ معادله به

axen. با فرض : g(a) = aدر رابطه صدق کند، یعنی : aرود بایستی n

می توانیم بنویسیم :

axen n

aex n n

)*( aex n 11n

( اُمین تکرار موی باشود. حوال در رابطوۀ n+1خطا در ) 1neاُمین تکرار و nخطا در neکه در آن

)( nn xgx 1 جای بهnx : مساویش را قرار می دهیم

)( nn xgx 1

09

aex n n

)(n aegx n 1

به صورت زیر نوشت و آن را با رابطۀ )*( ترکیب و خالصوۀ aکه می توان بسط تیلور را حول نقطۀ

آن را به صورت زیر درآوریم :

....)()()()()(n age

age

ageagaegx nnnn 3!2!

32

1

....)()(n age

ageaae nn 2!

2

1

)**(....)()(n age

agee nn 2!

2

1

اگر روش همگرا شود، از یک مرحله به بعد بایستی قدرمطلق خطا از مرحلۀ مابعد آن بیشوتر باشود.

nn یعنی : ee 1

کوچک خواهد بود، neبه اندازۀ کافی زیاد گردد در آن صورت خطای (n)بنابراین اگر تعداد تکرار

)(2به قسمی که ne نسبت بهne از آن چشوم پوشوی کورد، بسیار کوچک خواهد بود و موی تووان

یعنی رابطۀ )**( به صورت زیر نوشته می شود :

)(n agee n 1

)( با فرض اینکه 0 ag است. مالحظه موی شوود 1باشد در این حالت گوییم همگرایی از مرتبۀ

اُم برابور اسوت بوا ( n+1به اندازۀ کافی بزرگ انتخاب شود در آن صورت خطوا در تکورار ) nکه اگر

ag)( حاصلضرب خطا در تکرار ماقبل آن در : و می توان با استفاده از گفته های زیر نوشت

)(n agee n 1

)( .n agee n 1

111

nn

e

eagagee

nn )()( .

1 )(ag

01

1است که مالحظه می شود که شرط کافی برای همگرایی آن )(ag باشد. الزم به یادآوری است

ag)(که هر چه کوچک گردد به همان نسبت سرعت همگرایی افزایش می یابد و به اندازه ای که

نزدیک شود از سرعت همگرایی کاسته می شود که برای رفع این مشکل بایود تعوداد تکورار را 1به

0. اگر افزایش دهیم )(ag : به صورت زیر در می آید )**( باشد آنگاه رابطۀ

)(n agee n 2

1 21

0با فرض اینکه )(ag باشد در این حالت گوییم همگرایی از مرتبۀ دوم موی باشود و بوه هموین

0ترتیب اگور )(ag جملوۀ سووم را در نظور موی گیوریم و باشود در آن صوورت از راب )**( طوۀ

همگرایی از مرتبۀ سوم می باشد ...

معموالً فرمول هایی که همگرایی آنها ار مرتبۀ اول می باشد؛ فرمول های ساده بوده و در هر مرحله

نیاز به محاسبات زیادی ندارد و عموماً فرمول هایی کوه همگرایوی آنهوا ار مرتبوۀ دوم باشود نسوبتاً

ه تر از فرمول های مرتبۀ اول بوده و در هر مرحله محاسبات بیشتری را می خواهد ولی برای پیچید

رسیدن به همان دقت الزم نیست که تکرارهای زیادی را انجام دهیم. پس فرمول های مرتبۀ سوم و

چهارم به دلیل پیچیدگی عموماً از آنها اجتناب می شود.

مثال :

ورت زیر باشد : فرض کنید فرمول تکراری به ص

)(nn

nx

axx 2

11

طوری انتخاب شوود کوه فرموول تکوراری 0xیک مقدار ثابت مثبت بوده و مقدار اولیۀ aکه در آن

همگرا گردد. مطلوب است : Cفوق به ریشۀ

چیست. nxالف( حد نهایی

مرتبۀ همگرایی دوم برخوردار است. ب( نشان دهید که فرمول فوق از

Cx n الف(

02

aC

)(

*aC

aCCC

aCC

C

aCC

2

222221

)(nn

nx

axx 2

1 )ب 1

)(n nxgx 1

)()(م : لذا داریn

nnx

axxg

21

)()(x

axxg

21

)()()()(22

1211

21

C

aCg

x

axg

0121

)()(*

a

aCg

لذا قطعاً مرتبۀ همگرایی اول نیست.

)()(2

121

x

axg

0021

3

2

3 )()2

()(C

C

C

axg

تبۀ همگرایی مرتبۀ دوم است. لذا مر

03

00

فصل سوم

درون یابی و تقریب چند جمله ای ها :

در این فصل بررسی می کنیم که چگونه مقدار یک تابع را که مقادیر عددی آن در برخوی از نقواط

داده شده است درنقطۀ دیگر بیابیم.

معلوم است. سؤال این است کوه nxو ......و 1xو 0xدر نقاطی به طول f(x)به عبارت دیگر مقدار

را f(x)چند است. برای پاسخ به این سؤاالت موا بایود aدر نقطه ای مثالً به طول f(x)مقدار تابع

دست آوریم. توسط یک کثیرالجمله تقریب نموده و سپس مقدار تابع را از کثیرالجملۀ تقریب به

قبل از بررسی روش ها الزم است که چندنکته متذکر شویم :

),(توجه شود که اگر دو نقطوۀ ( :1نکته ) 00 fx و),( 11 fx معلووم باشوند در آن صوورت توسوط

),(تقریب می شود و اگر سه نقطۀ 1کثیرالجملۀ درجۀ 00 fx و),( 11 fx و),( 22 fx از توابعf(x)

( نقطوه از n+ 1تقریب می شود و در حالت کلی اگر ) 2توسط کثیرالجملۀ درجۀ f(x)معلوم باشند

f(x) معلوم باشد، آنگاهf(x) توسط یک کثیرالجملۀ درجۀn .تقریب می شود

ها یک تصاعد عددی باشند در آن صورت nx، نقاط متساوی الفاصله باشند همه یاگر ( :2نکته )

از کثیرالجمله های پیشرو و پسرو و مرکزی نیوتن استفاده می کنویم کوه بور اسواس تفواوت هوای

محدود استوار بوده که بسیار ساده می باشد، ولی اگر نقاط متساوی الفاصله نباشند در آن صورت از

نمی توان استفاده کورد و بایسوتی از کثیرالجملوه هوای دیگوری ماننود کثیرالجمله های فوق الذکر

الگرانژ یا تفاضل های تقسیمی یا ضرائب نامعین و ... استفاده نمود.

01

الزم به یادآوری است که از روش های الگرانژ و تفاضل های تقسویمی در هور دو حالوت موی تووان

خسته کننده می باشد. بنابراین تا جایی کوه استفاده کرد، اما محاسبات آن بسیار حجیم، طوالنی و

می توانیم از این روش ها اجتناب می کنیم مگر در حالتی که مختلف الفاصله باشند که ناچاریم.

( نقطوووووووۀ n+ 1توجوووووووه شوووووووود کثیرالجملوووووووه ای کوووووووه از ) ( :3نکتهههههههه )

),( nn fx و ...و),( 22 fxو),( 11 fxو),( 00 fx عبور می کند منحصر به فرد می باشود. بوه عبوارت

دیگر هر روشی را که پیش می گیریم در نهایت به یک کثیرالجمله خواهیم رسید.

روش ضرایب نامعین :

),(در این روش برای کثیرالجمله ای که از نقاط nn fx ،... ،),( 22 fx،),( 11 fx ،),( 00 fx بگذرد

آن را به صورت زیر می نویسیم.

012

21

1 axaxaxaxaxP n

nnnn

....)(

naaaبرای محاسبۀ پارامترهای ,...,, از دستورالعمل زیر استفاده می کنیم : 10

n,...,j )( 0,1,20

n

jjjn fxp

naaaaپس از جایگذاری و مرتب کردن نسوبت بوه پارامترهوای مجهوول که ,...,,, بوه صوورت 210

دستگاه زیر نشان داده می شود :

nnnnnn

n

n

fa

xxx1

1

1

1

0

1

0

2

1211

0200

f

f

a

a

xxx

xxx

bAX

b ماتریس ماتریس A ماتریس ضرائب

یا مجهوالت سمت راست

06

bAXکه به صورت یک دستگاه نیز می توان آن را نوشت که با حل آنia ها را یافت. با توجه

به اطالعات قبلی شما سیستم فوق در صورتی دارای جواب منحصر به فرد است که دترمینان ضرائب

nxxxمخالف صفر باشد و این زمانی رخ می دهد که نقاط ,...,, با هم متفاوت باشند. 10

),(کوه از نقواط nتوجه شود که کثیرالجملوۀ درجوۀ nn fx ،... ،),( 22 fx،),( 11 fx ،),( 00 fx

باشود در آن صوورت nخود یوک کثیرالجملوۀ درجوۀ f(x)عبور می کنند منحصر به فرد اس. اگر

یوا برخوی از آنهوا naبا هم برابرند، در حل سیستم ممکن است ضریب f(x)کثیرالجملۀ تقریب و

کمتر می شود. nصفر شود. در این صورت درجۀ کثیرالجمله از

مثال : با استفاده از روش ضرایب نامعین کثیرالجمله ای را بیابید که از نقاط زیر بگذرد:

(9و -1(،)1و2( ،)2و1)

iiin fxaxaaxP 2210)(

)()(

)()(

)()(

722

211

100

2210

2210

2210

2222210

1212110

0202010

aaa

aaa

aaa

fxaxaa

fxaxaa

fxaxaa

-

842

32

8423

1

7422

1

21

21

21

21

0

210

210

0

aa

aa

aa

aa

a

aaa

aaa

a

231122

842622

1122

21

21

aaaa

aa

aa

،

12

1212

2

-xxp(x)

)()()()(

xxxp

01

با استفاده از روش ضرائب نامعین کثیرالجملۀ مثلثاتی زیر را به قسمی پیدا کنید که از نقاط : مثال

زیر بگذرد.

22,0,0232

6(

231

4(

23

3(

11,32

32

103210

- )(),,),,),,

- )(

aa

aaxCosaxCosaCosxaaxP

روش حذفی گوس :

03(02(0(0232

63(

62(

6(

231

43(

42(

4(

23

33(

32(

3(

3210

3210

3210

3210

)))

)))

)))

)))

CosaCosaCosaa

CosaCosaCosaa

CosaCosaCosaa

CosaCosaCosaa

02320

21

23

231

220

22

32

21

21

3210

210

310

3210

aaaa

aaa

aaa

aaaa

ا روش حذفی گوس آن را به یک ماتریس پایین مثلثی تبدیل می کنیم که به ترتیب به دسوت که ب

می آید :

1,1,2,2, 0123 - - aaaa

در نتیجه داریم :

08

)( xCosxCosCosxxP 32221

( و 2و1و3( و )1و1و1طووری تقریوب نماییود کوه از نقواط ) p(x,y)را بوه صوورت fتابع :مثال

CyBxAyxpyxfzه طوری که : ( عبور نماید، ب1و2و0) ),(),(

)( , )( , )( 1,2,92,1,31,1,5

CyBxAz

9232

5

CBA

CBA

CBA

حال با استفاده از روش گوس و عملیات سطری مقدماتی آن را بوه مواتریس پوایین مثلثوی تبودیل

می کنیم داریم :

CyBxAyxpyxfzحال با جایگذاری اعداد به دست آمده در داریم : ),(),(

yxyxpyxfz 423 ),(),(

توجه شود که کاربرد روش ضرائب نامعین معموالً بیشتر از سایر روشهاست. روش های فراوانی وجود

انژ اگر درجۀ کثیرالجمله کم یا زیاد دارد، ولی برخی روش ها ساده تر و مفیدترند، مثالً در روش الگر

شود، محاسبات قبلی مورد استفاده قرار نمی گیرد و یا مثالً در روش ضرایب نوامعین بایسوتی یوک

00

ت و ایرادی که به آنهوا س( مجهول را حل کنیم که نسبتاً طاقت فرساn+1( معادله و )n+1سیستم )

ن از محاسبات قبلی استفاده کرد در اینجا گرفته می شود این است که به صورت زنجیره ای نمی توا

به بیان یک روش زیبا و ساده می پردازیم که ایرادهای روش های فوق را ندارد.

روش الگرانژ:

ی زیر قبل از بیان روش الگرانژ حائز اهمیت است : ادانستن قاعده ه

دلتای کرونکر :

ji

ji

01

ijS

))...()()...()(()( njjj xxxxxxxxxxxL 1110

مثال :

))...()(()( nxxxxxxxL 210 (1

))...()(()( nxxxxxxxL 201 (2

))...()()...()(()( nijijiiiij xxxxxxxxxxxL 1110 (3

چند جمله ای های الگرانژ :

نقاط زیر بگذرد ازاگور بخواهیم با استفاده از کثیرالجملۀ الگورانژ چند جومله ای را بنویسیم که از

قاعدۀ زیر استفاده می کنیم :

),( nn fx ،... ،),( 22 fx،),( 11 fx ،),( 00 fx

n

jj

jj

jn f

xL

xLxpxf

01

)(

)()()(

آن را بررسی می کنیم : n= 3و n= 2که برای حاالت خا

19

101

00

10

1

11

111

10

00

01

0

00

2

fx

xf

x

x

fx

fxL

xLf

xL

xLf

xL

xLxfn

fx

jj

jj

j

)-(x

)-(x

)-(x

)-(x

),(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

),(

21202

11

12101

200

2010

212

22

2

22

111

10

00

02

011

00

3

fxx

xx

fxx

xxf

xx

xxf

xL

xL

fx

fxL

xLf

xL

xLf

xL

xLxffxn

fx

jj

jj

j

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)(

)(

),(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(),(

),(

با استفاده از الگرانژ کثیرالجمله ای را بیابید که از نقاط زیر بگذرد: مثال :

(9و -1(،)1و2( ،)2و1)

122

242

27784-23

277

1-42

2-23

(7)120210

(2)210120

1)(201021

22

222222

21202

10

12101

200

2010

213

0

-xx-xx

x-xxxxxx-xx-xx-x

))((

)-)(x-(x

))((

)-)(x(x

))(-(

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)(

)()(

fxx

xx

fxx

xxf

xx

xxf

xL

xLxf

jj

jj

j

را با استفاده از روش الگرانژ برای سه نقطۀ زیر محاسبه کنید. p(x)چند جمله ای مثال :

1 9 1- ix

3 1 1 if

11

30111011

1010111

110110

21202

10

12101

200

2010

212

0

))((

)-)(x(x

))((

)-)(x(x

))(-(

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)-)(x-(x

)(

)()(

fxx

xx

fxx

xxf

xx

xxf

xL

xLxf

jj

jj

j

12

222

213121

213

1-1

21

22

22

xxxx

)x(x)-(x-)-x(x)x(x)-(x)-x(x

را حسواب f(1/1چندجمله ای درون یاب مربوط به چند جمله ای زیور را نوشوته، سوپس ) مثال :

کنید.

2/3751/51

6767633462

677

2-22

323

617

2-21

321

(7)120212101(0)

2101112011)(

201010211

2)(211101

210

3

32323323

2322

3231303

2102

321202

320

1312101

3200

302010

3213

0

)f(-x)(

x-xx-x-xxx-xx-xx-x-x

xx-x)(x)-(x)-)(x-(x)-)(x-x(x)(

))()((

)-)(x-)(x(x

))()((

)-)(x-)(x(x

))()((

)-)(x-)(x(x

))()(-(

)-)(x-)(x-(x

)-)(x-)(x-(x

)-)(x-)(x-(x

)-)(x-)(x-(x

)-)(x-)(x-(x

)-)(x-)(x-(x

)-)(x-)(x-(x

)-)(x-)(x-(x

)-)(x-)(x-(x

)(

)()(

xf

xf

fxxx

xxxf

xxx

xxx

fxxx

xxxf

xxx

xxxf

xL

xLxf

jj

jj

j

معایب روش الگرانژ :

( محاسبات برای تعیین چند جمله ای درون یاب واقعاً طاقت فرساست. 1

( درجۀ چند جمله ای درون یاب تنها بعد از اتمام محاسبات تعیین می شود. 2

( بدترین و محکمترین ایراد این است که با اضافه کردن یک یا چند نقطه به نقاط یک جدول کلیۀ 3

حاسبات باید از نو انجام شود و این یک مصیبت است. م

2 1 9 1- ix

1 9 1- 2- if

12

:)یا چند جمله ای درونیاب نیوتن(روش تفاضل های تقسیمی

این روش به نام روش تفاضل های تقسیمی معروف است، ما قبل از بحث نیاز است عالئمی را تعریف

کنیم، داریم :

00 fxfI ][)

01

0110

xx

xfxfxxf

][][],[)II

02

1021210

xx

xxfxxfxxxf

],[],[],,[)III

11

1111

ii

iiiiiii

xx

xxfxxfxxxf

],[],[],,[)IV

و در حالت کلی :

0

1210210210

xx

xxxxfxxxxfxxxxf

n

nnn

],...,,,[],...,,,[],...,,,[

if ix

0f 0x

],[ 10 xxf

],,[ 210 xxxf 1f 1x ],,,[ 3210 xxxxf

],[ 21 xxf

],,,,[ 43210 xxxxxf ],,[ 321 xxxf 2f 2x ],,,[ 4321 xxxxf ],,,,,[ 543210 xxxxxxf

],[ 32 xxf

],,,,[ 54321 xxxxxf

],,[ 432 xxxf 3f 3x

],,,[ 5432 xxxxf

],[ 43 xxf

],,[ 543 xxxf 4f 4x

],[ 54 xxf

5f 5x

13

بنابراین روش تفاضل های تقسیمی با استفاده از جدول فوق کثیرالجمله ای را به صورت زیور بیوان

می کند.

],...,,,[))....()((

.....],,[))((],[)(][)(

nn xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

210110

210101000

با استفاده از نقاط زیر چند جمله ای درون یاب تابع جدولی زیر را به روش تفاضالت تقسیم مثال :

را تخمین بزنید. f[1شدۀ نیوتن به دست آورید و

if ix

1 9

70-10-6-

10 ],[ xxf

40-3

(-7)-5210 ],,[ xxxf

6- 1

51-3

(-6)-421 ],[ xxf 1

0-64-10

3210 ],,,[ xxxxf

101-65-55

321 ],,[ xxxf 0 3

553-64-169

32 ],[ xxf

160 6

6 3 1 9 ix

160 0 6- 1 if

10

],,,[))()((

],,[))((],[)(][)(

3210210

210101000xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

18

34447-1

1310410701

3

232

xxxp

xxxxxx

xxxxxxxp

)(

))()()(())()(())(()(

12515855-8614لذا : 3 )()()(p

مثال : یک چند جمله ای درون یاب با استفاده از نقاط زیر به دست آورید.

if ix

1 9

00-11-1f

21

20-1f 1 1

0 2 1 9 ix

1 2 1 1 if

11

11-21-2f 121-

0-421-61f

61

1-41-23f 2 2

23

22-5 f

1 0

],,,[))()((

],,[))((],[)(][)(

3210210

210101000xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

132

43

12

1223-

21

121-2121101

23

232

xxx

xxxxx

xxxxxxxp

))()()(())(()(

کثیر الجمله های پیشرو و پسرو نیوتن :

زمانی به کار برده می شوند که طول نقاط متساوی ی پیشرو و پسرو نیوتن این کثیر الجمله ها

در این روش نیز اگر نقاطی به جدول اضافه شوند، ،(ها برابر باشد. x)یعنی فاصله ی الفاصله باشند

نمی رود. برای تشریح این کثیر الجمله ها عالئم زیر را معرفی می کنیم. اگر محاسبات قبلی از بین

قمست مساوی تقسیم می nیک کثیر الجمله داشته باشیم، ابتدا آنها را به [a,b]بخواهیم بین بازۀ

کنیم.

16

n

abh

ax 0

hahxx 01

ha 212 hhahxx

jhx x(اي) j 0jhax j

x jhx j 0

x hx jj 1

ی پیشرو و پسرو را بوا عالئوم :در حالت کلی تفاوت ها)اتلد( پیشورو( و(

البان( ( پسورو( نموایش(

می دهیم.

برای محاسبۀ این تفاوت ها می توان از جدول زیر استفاده کرد :

xi fi 2 3 4 5 6 x 3

x 2

x1

x0

x1

x2

x 3

.

.

.

f 3

f 2

f1

f0

f1

f2

f 3

.

.

.

f 3

2 f 3

f 2 3 f 3

2 f 2 4 f 3

f1 3 f 2 5 f 3

2 f1 4 f 2 6 f 3

f0 3 f

1 5 f 2

2 f0 4 f

1

f1 3 f

0

2 f1

f 2

که در این جدول :

11

f j = f 1j - f j

2 f j = f 1j - f j

ه کرد: از روابط کلی می توان استفاد

(f+g) = f + g

f(x) = f(x+h)- f(x)

2 f(x) = ( f(x) ) = (f(x+h) – f(x) ) = f(x+h) - f(x)

= (f(x+2h) – f(x+h) – (f(x+h) – f(x) ) )

→ 2 f(x) = f(x+2h) – 2f(x+h)+f(x)

به طور کلی:

j f(x) =

j

i 0

(j

i

) (-1) i f[x+(j – i) h]

مثال :

جدول زیر را کامل کنید.

x i f i f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f

-2

-1

0

1

2

3

4

-11

-4

-3

-2

5

24

61

7

-6

1 6

0 0

1 +6 0

6 0 0

7 6 0

12 0

19 6

18

37

نکته طالیی:

18

تفاوت های محدود حاصل جمع هر ستون برابر است با تفاضل اولین عنصور از توجه شود در جدول

آخرین عنصر ستون ما قبل آن . این نکته تست مناسبی برای بررسی صحت محاسبات جودول موی

باشد: داریم:

(اولین عنصر ستون) – (آخرین عنصر ستون) = حاصل عناصر ستون

ام k ام (k+1) ام k

نکته:

کثیرالجمله های پیشرو این دو خاصیت را دارند:

اینکه از تمام نقاط جدول می گذرد ، یعنی خطای آن در آن نقاط برابر صفر اسوت . سوپس درجوه

ا زمانی مثمر ثمر اسوت کثیرالجمله حاصل یک واحد از تعداد نقاط کمتر است . درون یا بی خطی ت

شبیه کثیرالجمله ما باشد. f(x)که رفتار تابع

ام پیشرو : nکثیرالجمله درجه

در حالت کلی کثیرالجمله ای که از نقاط

(x0fو

0f1وx1) و(

x) و( 2fو

2x)و.…و( n fو n )

می گذرد به صورت زیر تعریف می شود :

F(x) p(x) =f0+r f

0+

!2

)1( rr 2 f0+

!3

)2)(1( rrr 3 f0+…

+!

))1()...(2)(1(

n

nrrrr n f

r = h

xx 0

مثال :

ز تفاضالت پیشرو نیوتن بنویسید.چند جمله ای درون یا ب جدول زیر را با استفاده ا

x i f i f 2 f 3 f

-2

3

-2

10

-1

0

1

1

1

3

2

0 0

2

2

F(x)p(x) = 3+r(-2)+!2

)1( rr(2) +

!3

)2)(1( rrr(0)

p(x) = 3-2r + r 2 -r

p(x) = r 2 -3r + 3

r = n

xx 0 =

1

2x = x+2

3)2(3)2()( 2 xxxp

36344)( 2 xxxxp

1)( 2 xxxp

جدول پسرو :

x i if f f2 f3 f4 f5

3

2

1

0

1

2

3

x

x

x

x

x

x

x

3

2

1

0

1

2

3

f

f

f

f

f

f

f

2f

1

2

f

1f 0

3 f

0

2 f 1

4 f

0f 1

3 f 2

5 f

1

2 f 2

4 f

1f 2

3 f

2

2 f

2f

69

که در این جدول :

1

2

1

jjj

jjj

fff

fff

ام نیوتن: nکثیرالجمله پسرو درجه

),,(),,(),,...,(),(در حالت کلی فرمول کثیرالجمله ای که از نقاط 221100 nn fxfxfxfx عبور می

یف می شود : کند به صورت زیر تعر

h

xxr

fn

nrrrr

frrr

frr

frfxpxf

n

n

n

nnnn

))1()...(2)(1(

...!3

)2)(1(

!2

)1()()( 32

: مثال

رو نیوتن را روی آن پیاده سازی کنید.سبا استفاده از نقاط زیر کثیرالجمله پ

ix -1 0 1 2

if 0 -1 2 9

ix if

-1

0

1

2

0

-1

2

9

-1

4

3 0

4

7

61

124621479)(

)0(!3

))(1)(2()4(

2

)1)(2()7)(2(9)(

!3

)2)(1(

!2

)1()()(

21

)2(

22

3

3

3

2

33

3

xxxxxxp

xxxxxxxp

frrr

frr

frfxpxf

xx

h

xxr

حال تست درستی حل:

9)2(

2)1(

1)0(

0)1(

p

p

p

p

: (1)تمرین

اده از جدول زیر از روش های گفته شده تقریب کنید.با استف

الف(پیشرو ب(پسرو ج(الگرانژ د(تفاضل های تقسیمی ه(ضرائب نا معین

ix 2 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5

2/6

if 1/4143 1/4491 1/4832 1/5166 1/5493 1/5813

1/6162

: (2)تمرین

جدول زیر فشار گاز را در دماهای متفاوت نشان می دهد :

معین کنید .22سرو و پیشرو نیوتن فشار گاز را در دمای الف( با استفاده از دو روش پ

محاسبه کنید. 59ب( مقدار فشار گاز را با استفاده از دو روش پسرو و پیشرو در دمای

50 4 40 35 30 25 20 دموووووا

62

= it 55 60

= if

فشوووار

گاز

850 985 1170 1365 1570 1790 2030

2300 2610

: (3)تمرین

اده سازی کنید.همگی را پی (1)برای داده های زیر مانند تمرین

ix 0/0 0/1 0/2 0/3 0/4 0/5

if 1/00 1/32 1/68 2/08 2/52 3/00

تبدیل درون یابی معکوس به درون یابی مستقیم:

1)(معکوس پذیر باشد، آنگاه : fباشد و y=f(x)اگر yfx

توانیم جدول زیر را در نظر بگیریم:می لذا به جای

if 0f 1f ….. nf

ix 0x 1x ….. nx

اختیار ما نیست ، لوذا موی ها یکسان نیست و انتخاب آنها نیز در ifبا توجه به اینکه معموال فاصله

توان از فرمول های پیشرو و پسرو نیوتن استفاده کرد . از این رو تنها روش موثر کوه هموواره قابول

ها عوض می شود.ifها و ixاستفاده است جدول تفاضالت تقسیم شده می باشد که در آن نقش

0x 1x 2x ........ nx

ix

0f 1f 2f ……. nf if

63

مثال :

فروض است تخمینی از صفر این تابع را به دست آورید:جدول زیر م

ix 0 1 2 3

if -1/5 -1 2/5 15

نکته :

مول را طووری انجوام موی دهویم کوه ها را می توان به صورت دلخواه مرتب کرد . ایون عifمعموال

*)( fxf صعودی باشد . این عمل برای کم کردن خطای گرد کردن الزم است و بایود همیشوه

انجام شود.

if ix سوم دوم اول -1

-1/5

2/5

15

1

0

2

3

2

-0/4286

0/5 0/0252

-0/0255

0/08

2626/20945/06429/021

)0252/0()5/20)(5/10)(10()4286/0()5/10)(10(2)10(1

x

)2(5/2)1(1که شودکه جواب به دست آمده بسیار نادقیق است،زیرا مشاهده می fوf کوه

. 2ش از باشد نه بی 2و 1قاعدتا ریشه باید بین

ها xهای جدول بسیار زیاد است ، در صورتی که فاصله بین xعلت این امر آن است که فاصله بین

را کمتر بگیریم دقت جواب زیاد خواهد شد.

60

تمرین :

به دست آورید. fبا استفاده از جدول زیر تقریبی از صفر تابع

ix 1 1/1 1/2 1/3

if -1/25 -0/876 0/338 0/388

برازش منحنی :

در یک تابع جدولی تقریبی هستند ، زیرا از طریق اندازه گیری یا ifر واقعیت این است که مقادی

مقدار ixآزمایش به دست می آیند ، بنابراین اصرار در این که چند جمله ای درون یا ب در نقاط

if ثرا نقاط جدولی را بوسیله یک منحنی چنان برازش می را داشته باشد بیهوده است . در عمل اک

کنند که خطا به نوعی حداقل شود.

تعریف :

210....:)(فرض کنید نقاط ii yوxnووووi مفروض باشد و چند جمله ای ،)(xp که ما داریم

:2

1

))(( i

n

i

i xpys

را چند xp)(ر این صورت چنان باشد که کمترین مقدار را داشته باشد د

iiجمله ای تقریب کمترین مربعات برای داده های ) yوx( ،i=0,1,2,….,n .می نامند

2

1

))(( i

n

i

i xpys

61

خط کمترین مربعات :

nبرای برازش یکی از متداولترین روشهای برازش منحنی انتخاب خط کمترین مربعات می باشد که

)(نقطه ii yوx کهi=0,1,2,…n : به صورت زیر عمل می کنیم ،

2را چنان تعیین کنیم که bو aکه باید p(x)= ax + bدر این روش

1

)))((( i

n

i

i xpys

2یا

1

))(( baxys i

n

i

i

مینیموم باشد از این رو پس از مرتب کردن و ساده کردن نتیجه زیر

صل می شود : حا

n

i

i

n

i

i

i

n

i

n

i

ii

n

i

i

ynbax

yxbxax

11

1 11

2

)(

)()(

در حالت کلی می توان گفت:

66

حل مثال فوق:

xi yi xi^2 xi^3 xi^4 yi*xi yi*xi^2

-2 1.1 4 -8 16 -2.2 4.4

-1 -1.1 1 -1 1 1.1 -1.1

0 -1.1 0 0 0 0 0

1 1.1 1 1 1 1.1 1.1

2 5.1 4 8 16 10.2 20.4

0 5.1 10 0 34 10.2 24.8

پس از حل داریم:

Y=-2.0566+1.0200x+1.3343x^2

و با متلب داریم:

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

خط کمترین مربعات برای تابع جدولی زیر را بنویسید.مثال :

61

ix 3 1 1 0 1 0

iy 0 9 1 1 2 4

حل(

xi yi xi^2 yi*xi

5 0 25 0

3 0 9 0

1 1 1 1

1 2 1 2

0 2 0 0

1 3 1 3

0 4 0 0

11 12 37 6

y=2.7391-0.6522x

نحوه تایپ در درایو:

,[1,1],[1,2],[0,2],[1,3],[0,4]}[ 2.7391-0.6522x , {[5, 0], [3, 0]

مثال:

خط کمترین مربعات برای تابع جدولی زیر را بنویسید.

ix -2 -1 0 1 2

iy 0 1 2 3 3

ix iy 2

ix ii yx

-2 0 4 0

68

-1

0

1

2

1

2

2

3

1

0

1

4

-1

0

2

6

5n 0 ix 8 iy 102 ix 7 ii yx

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i yxbxax

111

2 )()(

n

i

i

n

i

i ynbax11

)(

10a + 0b =710

7 a

0a + 5b =85

8 b

5

8

10

7)( xxp

تمرین :

خط کمترین مربعات مربوط به جدولهای زیر را بنویسید.

1)

ix iy 2

ix ii yx

-3

-2

1

2

3

1

3

0

2

5

9

4

1

4

9

-3

-6

0

4

15

5n 1 ix 11 iy 272 ix 10 ii yx

60

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

ynbax

yxbxax

11

111

2

)(

)()(

27a+b=10 -135a-5b=-50

0a +5b=11 a+5b =11 134

3939134 aa

134

287 b baxxp )(

134

287

134

39)( xxp

2)

ix iy 2

ix ii yx

-1

0

1

2

3

-0/9

0/3

1/6

2/8

4

1

0

1

4

9

0/9

0

1/6

5/6

12

5n 5 ix 8/7 iy 152 ix 1/20 ii yx

با جایگذاری در فرمول داریم:

15a +5b=20/1 15a + 5b=20/1

(-1) 5a + 5b=7/8 -5a – 5b=-7/8

33/0

23/110

3/123/1210

b

aa

33/023/1)()( xxpbaxxp

19

فصل چهارم

11

مشتق

ا چند نقطه خا از ما اغلب اوقات مقدار عددی یک تابع در جدول داده شده و مشتق آن در یک ی

می خواهند و یا خود تابع را داریم و مشتق آن ، آنقدر پیچیده و مشکل بوده و خواستار مقدار

عددی مشتق هستیم ،

که اهرچند باداشتن چند نقطه نمی توان نشان داد که این تابع جدولی مشتق پذیر است چر

= ansثال: اگر بخواهیم تابع جدولی زیر را رسم کنیم داریم.م

9 9

986081 986028

183063 980808

289000 988669

281021 983029

380091 -983029

081888 -988669

088860 -980808

181811 -986028

682832 -989999

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

12

می بینیم که در خیلی نقاط شکستگی داریم و مشتق گرفتن غیر ممکن .

اما بسط تیلور اگر بخواهد حول صفر تابع نمایی را تقریب کند )مکلورن(داریم :

و به ازای جمالت متفاوت آنرا رسم کنیم داریم:

و از نظر عددی داریم:

اندیس فاکتوریل جمالت مکلورن

0 1 1

1 1 1

2 2 0.5

3 6 0.16666667 بسط مکلورن

4 24 0.04166667 2.71828

5 120 0.00833333 E

6 720 0.00138889 0.00000000000000044

7 5040 0.00019841

8 40320 2.4802E-05

9 362880 2.7557E-06

10 3628800 2.7557E-07

11 39916800 2.5052E-08

12 479001600 2.0877E-09

13 6227020800 1.6059E-10

14 87178291200 1.1471E-11

15 1.30767E+12 7.6472E-13

16 2.09228E+13 4.7795E-14

17 3.55687E+14 2.8115E-15

18 6.40237E+15 1.5619E-16

ا توسط کثیرالجمله ای تقریب می کنیم سپس از در این فصل نیز مانند سایر مباحث ، اول تابع ر

)()()()(کثیرالجمله حاصل مشتق می گیریم: jnjn xpxfxpxf

13

به دست می آید. بسط تیلوراینک به اثبات چند فرمول مشتق می پردازیم که از طریق

می نویسیم: 1ixبسط تیلور را برای نقطه

(1)

...)(!2

)()()()()(

2

1

11

i

ii

iiiii xfxx

xfxxxfxf

hxxحال چون ii 1 ؛ و می توانیم)( ixf را باif :نشان دهیم، لذا داریم

Eh

fff

fh

h

fff

fh

fffh

fh

fhff

iii

iii

i

iiii

iiii

1

1

2

1

2

1

...!2

...!2

...!2

10

0)(که در آن hE یعنی خطا نسبت بهh می باشد. حال فرمول دیگری را برای این 1از مرتبه

می نویسیم: 1ixمنظور برای

(2)

...)(!2

)()()()()(

2

1

11

i

ii

iiiii xfxx

xfxxxfxf

hxxحال چون ii 1 و می توانیم)( ixf را باif :نمایش دهیم ، لذا داریم

Eh

fff

fh

h

fff

fh

fffh

fh

fhff

ii

i

i

ii

i

iiii

iiii

1

1

2

1

2

1

...!2

...!2

...!2

می باشد. 1از مرتبه hنسبت به Eکه در آن خطای

می باشند. حال فرمول دیگری 1از مرتبه hشود که در دو فرمول فوق خطا نسبت به مالحظه می

2و 1باشد، برای این منظور طرفین معادالت 2از مرتبه hرا به دست می آوریم که خطا نسبت به

را از هم کم می کنیم:

)(0

2

...!32

...!3

22

...!3

22

...)!2

(...)!2

(

2

11

2

11

3

11

3

11

22

11

hE

Eh

fff

fh

h

fff

fh

fffh

fh

fhff

fh

fhffh

fhfff

ii

i

i

ii

i

iiii

iiii

iiiiiiii

11

می باشد . اگر خواسته باشیم باز هم 2و 1 مالحظه می شود که دقت این فرمول به مراتب بیشتر از

می نویسیم: 2ixدقت را افزایش دهیم آنگاه بسط تیلور را برای

)(0

12

88

.

.

.

...)(!2

)()()()()(

4

2112

2

2

22

hE

Eh

fffff

xfxx

xfxxxfxf

iiii

i

i

ii

iiiii

مثال :

f)4/1(با استفاده از فرمولهای به دست آمده با استفاده از جدول( . را حساب کنید(4D) .)

)4/1cosh()4/1(1509/2نکته : [ f [

ix 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

if 1/5095 1/6984 1/9043 2/1293 2/3756

1509/22/1

)3756/2()1293/2(8)6984/1(85095/1

2/1

)6/1()5/1(8)3/1(8)2/1()4/1(

12

88

1545/22/0

6984/11293/2

2/0

)3/1()5/1()4/1(

2

059/21/0

6984/19043/1

1/0

)3/1()4/1()4/1(

25/21/0

9043/11293/2

1/0

)4/1()5/1()4/1(

2112

11

1

1

fffff

h

fffff

fff

h

fff

fff

h

fff

fff

n

fff

iiii

i

ii

i

ii

i

ii

i

16

فصل پنجم

11

عددیانتگرال

، یعنی در این فصل مقدار عددی انتگرال معین مورد نظر ماستb

adxxf معلووم bو aکه در آن )(

های مختلوف در xبه ازای f(x)به طور تحلیلی توسط یک فرمول داده شده یا اینکه مقادیر f(x)و

را بووه قسوومی پیوودا کنوویم کووه f(x)کووه اگوور تووابع جوودولی مشووخص گردیووده اسووت. مووی دانوویم

)()( xFxf :صدق کند، آنگاه مقدار عددی انتگرال از رابطه زیر بدست می آید

b

axFdxxf )()( )()(| aFbFb

a

نتگرال به هر حال در کاربردهای مهندسی اغلب به انتگرال هایی برخورد می کنیم که برای تابع زیر ا

f(x) تابع اولیه ای مانندf(x) را نمی توانیم به طور تحلیلی بیان کنیم یا مقدار عوددی توابعf(x)

در یک جدول داده شده است ، در این حاالت بایستی از یوک روش تقریبوی بورای محاسوبه مقودار

محاسبه کرد : عددی انتگرال استفاده کنیم، مثال انتگرالهایی که به روش عادی نمی توان آنها را

,...,sin 2

2

1

0

2

dxedxx

x x

انتگرال -b

adxxf = xو x = aو خطوط y = f(x)همان مساحت محصور شده بین منحنی )(

b و محورx ها می باشد . در واقع برای محاسبه مقدار عددی انتگرال بایسوتی سوطحR را حسواب

ارد که چند روش از آن ها را بیان کورده کوه بعودا کنیم در این زمینه روش های متعددی وجود د

شما برنامه کامپیوتری آنها را خواهید نوشت .

18

را توسط یک کثیرالجمله تقریب می کنیم سپس از کثیرالجمله حاصل f(x)برای این منظور تابع

ه انتگرال گرفته و مقدار عددی انتگرال را به دسوت موی آوریوم . بودیهی اسوت کوه هور چوه درجو

کثیرالجمله تقریب بیشتر باشد دقت ما بیشتر خواهد بود . یکی از این روشها روش مسوتطیل اسوت

که آن را توضیح می دهیم.

قانون مستطیل:

توسط f(x)قسمت مساوی تقسیم می کنیم آنگاه در هر بازه nرا به [a,b]در این روش اول فاصله

در زیر فاصله ، یعنی یک کثیرالجمله درجه صفر تقریب می شود 1ii xوx توسوط مقودار)( ixf

ها تقریب می شود. xتقریب می شود در واقع در هر زیر فاصله منحنی توسط خطی موازی محور

n

abh

2

1 ii

i

xxx

، 1, iii xxx

b

a

x

x

x

x

x

x

x

x

i

i

n

n

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfs1

0

2

1

1

1

)(...)(...)()()(

اما برای محاسبه یکی از آنها داریم :

)())((

))(()()()(

1

111 1

iiii

x

x

x

xii

x

x

x

xi

xhfxxxf

xxfdxxfdxxfdxxf i

i

i

i

i

i

i

i

حال می توان تعمیم داد و نوشت:

1

1

1210

)(

)(...)(...)()()(

n

i

i

ni

xfhs

xhfxhfxhfxhfxhfs

مثال:

dxxمطلوب است با استفاده از روش گفته شده1

0

با 22

1h .را حل کنید

))()(( 10

1

0

2 xfxfhdxx

10

ix 0x 0x

1x 1x

2x

0 0/25 0/5 0/75 1

if 0 0/25 1

0f 1f

2f

1

010

2

16

5)

16

10(

2

1)

16

9

16

1(

2

1))

4

3()

4

1((

2

1))()(( ffxfxfhdxx

: مقذار دقیق3

1

3

0

3

1

3

1

0

31

0

2 x

dxx

خطا48

1)

16

5

3

1(

قاعده ذوزنقه :

توسط یک کثیرالجمله درجه صفر تقریب می شد،از دقت نسبتا کمی f(x)در روش مستطیل چون

کثیرالجمله را از درجه صفر به درجه یک ارتقا می دهیم.ردن دقت ،برخوردار بود. حال برای باال ب

h

xxrrhxx

frfxp

n

abh

i

i

ii

)(1

لذا در هر بازه مانند 1, ii xx تقریب می شود،لذا: درجه یک پیشروتوسط یک چند جمله ای

)2

1(

2)()( 1

0

21 1

ii

x

x

x

xiiii

ffh

fr

rfhdrfrfhdxxfi

i

i

i

iiiحال اگر : fff 1 اریم:را جاگذاری کنیم د

1

)(2

)( 1

i

i

x

xii ff

hdxxp

لذا:

1

)(2

)( 1

i

i

x

xii ffhdxxf

89

در نتیجه فرمول کلی آن را می توان به صورت زیر نوشت :

2...

2

)(2...2222

)(2

...)(2

)(2

)(2

)(...)()()()(

13210

13210

1322110

1

0

2

1

3

2 1

n

n

nn

nn

b

a

x

x

x

x

x

x

x

x

fffff

fh

hTffffffh

ffhffhffhffh

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfn

n

کوچکتر باشد خطا کمتر است. hفرمول باال نشان می دهد که هر چه

مثال :

هایی از تقریب1

0

2dxx برای4

1,

2

1,1h .حساب و خطای آن را بررسی کنید

8

3

2

1

4

10

2

1

2)

2

1(

22

1)

2

1(

2

110

2

1

221)1(

2...

2)(

)(

)1()0(

)1()0(

1210

2

ff

fT

ffT

ffff

fhhT

xxf

nn

32

11

64

22

16

8

16

9

16

4

16

1

4

1

2

1

16

9

4

1

16

10

4

1

2)

4

3()

4

2()

4

1(

24

1)

4

1(

)1()0(

ffff

fT

: مقدار دقیق 1

0

1

0

32

3

1

3

xdxx

T(1)خطای6

1

6

32

2

1

3

1

T(2

1 =خطای(

24

1

24

98

8

3

3

1

T(4

1 خطای(

96

1

32

11

3

1

81

کوچکتر می شود خطا کم می شود . hمالحظه می شود که هر چه

تمرین:

تقریبی از 1

0)( dxxf.را با استفاده از جدول مقادیر زیر حساب کنید

ix 0 0/2 0/4 0/6 0/8 1

if 1 1/2214 1/4918 1/8221 2/2255

2/7183

تمرین :

تقریبی از 2

0sin

n

xdx را با استفاده از8

nh قایسه کنید .حساب کنید و با مقدار واقعی انتگرال م

حل می کنیم: روش ذوزنقه حل(ابتدا با

F(x) = sin x

986274/04999/09236/07068/03824/003925/0)8

(

2

)8

4(

)8

3()

8

2()

8(

28)

8(

2...

2)(

0

1210

T

f

ffff

T

ffff

fhhT n

n

: مقدار دقیق 2

0

20 1)1(0cossin

Axxdx

)(013726/0986274/01 خطا hTAE

که با روش مستطیل نیز همین مقدار به دست می آید.

82

تمرین:

های داده شده ؟ hهای زیر با مطلوب است محاسبه انتگرال

1)

1

0 21 x

dx

4

1,

2

1,1h

21

1)(

xxf

6291/05167/225/04

1

25

16

5

4

17

16

2

1

4

1

2

)1()

4

3()

2

1()

4

1(

24

1)

4

1(

775/040

31

20

31

2

1

4

1

5

4

2

1

2

1

2)

2

1(

22

1)

2

1(

75/04

3

2

11

2

1

221)1(

)0(

)1()0(

)1()0(

ffff

fT

ff

fT

ffT

مقدار دقیق

1

0

1

02785/0

4)0arctan()1arctan(arctan

1

x

x

dx

1559/0)4

1(01/0)

2

1(035/0)1( ETوETوET

2)

2

0dxxex

4

1

2

1hو

xf)(یک کران باال برای 2Mاگر - :باشد یعنی

bxa

Mxf

2)(max

وان نوشت : آنگاه در مورد خطای ذوزنقه می ت

eMhab

Mhab

hET

412

12

)()(

2

2

2

2

83

مثال :

تقریبی از 1

0sin xdxx 210با قاعده ذوزنقه ای حساب کنید که خطای آن از.کمتر باشد

حل( ابتدا باید 2M : را حساب کنیم لذا a b

xxxf sin)( 10 x

xxxxf cossin)(

xxxxf

xxxxxf

sincos2)(

sincoscos)(

: که داریم 231112sincos2sincos2)( Mxxxxxxxf

رااز رابطۀ زیر محاسبه می کنیم: hحال

20400104

)3(12

01

12

222

2

2

2

hh

hhMh

abee

م با استفاده از قاعدۀ ذوزنقه داریم:بگیری 20را برابر hحال اگر

30578/0

)1sin(1)8/0sin()8/0(2)6/0sin()6/0(2)4/0sin()4/0(2)2/0sin()2/0(2)0sin(02

2/0

1

0

sixdxx

برای محاسبۀ انتگرال واقعی داریم:

2

1

0

1

0

1

0

10)2/0(

00461/030578/030117/0)2/0(

30117/0sincoscoscossin

xxxxdxxxxdxx

طول فاصله را مشخص کند آنها را طوری بیابید که قانون ذوزنقه در hتعداد نقاط و Mتمرین: اگر

9105مورد انتگرال زیر دقتی معادل .داشته باشد

80

xxfxxf

abxxf

xdx

e

cos)(sin)(

105,2

,6

,cos)(

cos

9

6

2

21cos)( Mxxf که داریم:

5102

929292

92

2

2

109299/1610624/286

106624/281051744/010518

105)1(12

26

12

hh

hhh

hMhab

e

تذکر:

زیاد شود در نتیجه طول فواصل یعنی nتوجه شود که درروش ذوزنقه هر چه تعداد تقسیمات یعنی

h له به بعد در اثر کوچک می شود لذا دقت باال می رود. در نتیجه خطا کم می شود ولی از یک مرح

دقت کم می شود. nخطای گرد کردن با افزایش

مناسب انتخاب نمود ، راههای متفاوتی وجود دارد: nبرای اینکه بتوان یک

در هر مرحله که تعداد تقسیمات راافزایش می دهیم ،جواب های دو مرحله را با هم مقایسه می

نگاه دقت مورد نظربه دست آمده و باید محاسبات رقم مثل هم بود، آ kکنیم اگرنتایج دو مرحله تا

متوقف و تعداد تقسیمات افزایش نیابد.

قانون سیمپسون:

مشهود است که قاعدۀ ذوزنقه بسیار کند است به عبارت دیگر یرای به دست آوردن تقریبی نه

،توسط چندان دقیق باید تابع رادر نقاط بسیاری محاسبه کرد. درروش های قبلی ،مثالًمستطیل

.اما در روش تقریب می شد 1یک کثیرالجملۀ درجۀ صفر و ذوزنقه توسط یک کثیر الجملۀ درجۀ

81

ها از همان nها وhکه تقریب می کنیم 2را توسط کثیر الجملۀ درجۀ xf)(سیمپسون این بار

قوانین قبلی تبعیت می کند.

,,21را برای نقاط fدرون یاب ابتداچند جمله ا ی iii xxx می نویسیم ،این چند جمله ای با

توجه به مطالب گفته شده در فصل قبل به صورت زیر تقریب می شود :

iii fr

rrfrfxP 2

!

)1()(

بنابرین قرار می دهیم :

2 2

)()(i

i

i

i

x

x

x

xdxxPdxxf

وانتگرال سمت راست را حل می کنیم :

rhxxغیربا تغییر مت i : داریم

hdrfrr

frfdxxP i

x

xii

i

i

)!2

)1(()( 2

2 2

0

حال انتگرال را حساب می کنیم ، داریم :

2

0

2232

)46

(2

iii f

rrf

rrfh

باتوجه به اینکه

iiiiiii

x

xiii

fffffff

hfffdxxfi

i

112

2

22

,2

3

122)(

گذاری داریم :وجای

2143

)(2

iii

x

xfff

hdxxP

i

i

حال اگر قائدۀ سیمپسون را برای کل بازۀ nxx دو گام ، دوگام یعنی 0, 2, ii xx

باید زوج باشد ( ، داریم : nاجرا کنیم )

86

n

n

nn

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

2

4

2

2

000

2

0

4

2

6

4 20

)()()()()(

)()()()()(

لذا داریم :

nnn

x

xfff

hfff

hfff

hdxxf

n

12432210 433

43

)(0

فرمول قائدۀ سیمپسون مرکب

nx

xnnn ffffffff

hhsdxxf

01243210 422424

3)()(

مثال :

تقریبی از 2

0sin

xdxبا قائدۀ سیمپسون با4

h وتقریب د یگری با

8

h. حساب کنید

0028/1122012

)2

sin()4

sin(4)0(sin(12

43

sin 2102

0

fffh

xdx

8

4

8

3 2

8

2

2

4 0

00013/1169552/34142/153073/1024

)2

sin()4

3sin(4

)4

sin(2)8

sin(4)0sin(3

84243

sin 432102

0

fffffh

xdx

81

از طرفی می دانیم :

1)1(0)0cos(()2

cos(cossin 20

2

0

nxdx

تمرین :

ریبی ازتق1

0

3dxx را با استفاده از قانون سیمپسون نوشته ونشان دهید که سیمپسون برای چند

جمله ای هایی تا درجۀ سوم دقیق است.

4

1)

2

3(

6

1)1

2

1(

6

11)

8

1(40

3

2

1

43

2

1

210

1

0

3

fffh

dxx

h

: 0)2

1(1

4

10

4

1

4

11

0

1

0

43 Sxdxx:مقداردقیق

حال برای چند جمله ای های درجۀ اول ودوم بررسی می کنیم :

3

1)11(

6

11)

4

1(40

6

14

3210

1

0

2

fff

hdxx

0)2

1(

3

10

3

1

3

11

0

1

0

32 Sxdxx مقداردقیق :

2

1)3(

6

1)1)

2

1(40(

6

1)4(

32

1

010 fff

hdxx

0)2

1(

2

10

2

1

2

11

0

1

0

2 Sxxdx:مقداردقیق

سیمپسون : عده یخطای قا

)4()(اگریک کران باال برای xf : باشد یعنی

88

40

4

)4( )(

xxx

Mxf

4شود:که از آن نتیجه می

4

180

)()( Mh

abhS

eMh وداریم:ab

4

4

180

تمرین:

تقریبی از 2

0cos

xdxx 510کنید. خطای آن کمتراز را به روش سیمپسون حساب باشد

) برنامۀ کامپیوتری آن را بنویسید(

1435/13101176

57/1

101176

2

10117610019/01060

1060

106180

2

180

6cossin4cossin4)(

cossin4cossinsin3)(

sincos3sincoscos2)(

cossin2cossinsin)(

sincos)(

cos)(

44

4245

4

5454

4

4

4

)4(

)4(

nnh

abn

hhh

hhMhab

Mxxxxxxxf

xxxxxxxxf

xxxxxxxxf

xxxxxxxxf

xxxxf

xxxf

e

حال بازۀ

2,0 قسمت تقسیم می کنیم و به روش سیمپسون تقریبی از 10را به 2

0cos

xdxx را

می یابیم .

80

: تمرین

310ز هر یک از انتگرال های زیر را با قاعدۀ سیمپسون حساب کنید که خطای آنها ازتقریبی ا

کمتر باشد.

2

2

cos

xdx ت(

1

0 1x

dx پ(2

1dxxex ب(dxe x

1

0 الف)

که از ان نتیجه می شود :

وداریم :

تمرین:

را برای محاسبۀ تقریبی hحدود 1

0sin xdxe x :چنان تعیین کنید که

)(510الف( داشته باشیم h

)(510 ب( داشته باشیم hS

( Midle point )میانی: ه ینقطه ی قاعد

روش های انتگرال گیری ذوزنقه وسیمپسون که تاکنون شرح داده ایم از نقاط ابتدایی وانتهایی بازه

انتگرال گیری استفاده می کنند . بنابراین محاسبه انتگرال هایی به فرم:

،

با آن روش ها میّسر نمی باشد.

در این قسمت روش ساده ای را شرح می دهیم که می توان تقریب هایی از حساب کرد که از

)(,)( afbf .استفاده ننماید

ار می دهیم:قاعدۀ نقطۀ میانی : در این قاعده قر

2()(

2 hxhfdxxf

i

i

x

xi

1

0 x

dx

1

1 21 x

dx

09

که در حالت کلی داریم:

)2

()2

()2

()()(

)2

()2

()2

()(

110

110

hxf

hxf

hxfhhMdxxf

hxhf

hxhf

hxhfdxxf

n

b

a

n

b

a

nxاستفاده شده و نه از 0xمالحظه می شود که در فرمول فوق نه از

مثال:

تقریب هایی از1

0

2dxx ازای را به روش نقطۀ میانی به2

1h و

4

1h حساب کنید و خطای این

مقادیررا به دست آورید.

1 4

3 2

1 4

1 0

3125/016

5

16

10

2

1)

16

9

16

1(

2

1)

4

3()

4

1(

2

1

2

1

)(

1

0

2

2

ffdxxh

xxf

1 8

7 4

3 8

5 4

2 8

3 4

1 8

1 0

01

33/03

10

3

1

3

11

0

1

0

32 xdxx دقیق:

00521/0328125/033/0)4

1(

0208/03125/033/0)2

1(

مثال:

تقریبی از09/0

0 x

dx کنید.را حساب

حل( مقدارواقعی انتگرال چنین به دست می آید:

6/0209/0

0

09/0

0 x

x

dx

( 04/0hضمناً با استفاده از فرمول نقطۀ میانی به دست می آوریم: ) با انتخاب

)6515/37140/4165/8(03/0

)075/0()045/0()015/0(03/009/0

0

fffx

dx

بنابراین:

49595/05305/1603/009/0

0

x

dx

خطا دارد که قابل توجه است. 104/0حدود مشاهده می شود که این مقدار تقریبی

بسیار hبی نهایت هستند، مقدار bf)(یا af)(از این رو توصیه می شود که در نزدیکی نقاط که

به دست می آوریم: h=%1کوچک اختیار شود. با انتخاب

328125/064

49

64

25

64

9

64

1

4

1

)8

7()

8

5()

8

3()

8

1(

4

1

4

1 1

0

2

ffffdxxh

02

539587/0085/0

1

015/0

1

005/0

101/0

09/0

0

x

dx

است به طوری که در چنین انتگرال هایی یاید برای 07/0طای این مقدارتقریبی حدودخ

را خیلی hرا بسیارکوچک اختیارکرد و برای بقیۀ بازه hقسمتی که نزدیک نقطۀ منفرد تابع است؛

کوچک نگرفت،مثالً قراردهید:

09/0

0

01/0

0

09/0

01/0)()()( dxxfdxxfdxxf

dxxfوبرای )(01/0

0 مقدارh وبرای 002/0را09/0

01/0)( dxxf مقدارh در نظربگیرید 02/0را

با این انتخاب به دست می آوریم:

173031/05409/109523/111421/142574/186228/31002/0

009/0

1

007/0

1

005/0

1

003/0

1

001/0

102/0)(

01/0

0

dxxf

و همچنین داریم:

393782/06891/1902/05355/30825/450711/702/0

08/0

1

06/0

1

04/0

1

02/0

102/0)(

09/0

01/0

dxxf

پس:

566813/0393782/0173031/009/0

0

x

dx

راباید hاست. اما برای کم کردن خطا، 033187/0، برابر)6/0(اختالف این مقدار با مقدار واقعی

کوچک گرفت.

03

خطای نقطۀ میانی:

eMhab

Mhab

h

bxa

Mxf

2

2

2

2

2

24

24)(

)(max

خصوصیات روش نقطۀ میانی:

عالوه بر نصف خطای ذوزنقه ای است. این روش ظاهراً بهتراز روش ذوزنقه ای است زیرا خطای آن

اما قاعدۀ این برای انتگرال توابعی که در نقاط یا مقدارنامعین )بی نهایت( دارد قابل استفاده است.

ذوزنقه ای خاصیت جالبی دارد که نه روش میانی و نه قاعدۀ سیمپسون آن خاصیت را ندارد. فرض

نقاطی که تابع در آنها حساب می T( hدر)د.را حساب کنی M(hو) T( hثابتی) hکنید به ازای

شود به صورت زیر می باشد:

bhnahahaahT ,)1(,,2,,)(

ونقاطی که برای نقطۀ میانی استفاده می کنیم عبارت اند از:

2)1(,,

23,

2)(

hhna

ha

hahM

حال اگر برای این روابط را باز نویسی کنیم داریم:

bh

hnahnah

ahah

aah

T ,2

)1(,)1(,,2

3,,2

,)2

(

4,,

45,

43,

4)

2(

hb

ha

ha

ha

hM

نکته:

بکار می رود در محاسبۀ نیز دیده می T( hمشاهده می شود که تمام نقاطی که برای محاسبۀ )

شود لذا برای محایبۀ می توان از مقادیر تابع که قبالً حساب شده است استفاده کرد ولی هیچ کدام

کار رفته اند نیستند.به M(hاز نقاطی که در محاسبۀ به کار می روند از نقاطی که در محاسبۀ )

00

نکته:

اشکال دیگر نقطۀ میانی آن است که ممکن است نتوان آن را برای برآورد مقدار انتگرال یک تابع

جدولی به کار برد. زیرا اگر مقدار تابع در نقاطی که در جدول نیست الزم باشد ابتدا باید از درون

یابی استفاده و سپس این مقدار را برآورد کرد.

ن: تمری

های معین شده حساب کنید. hتقریب هایی از انتگرال های زیر را با قاعدۀ میانی به ازای

2/0sin1

0 hdx

x

x 1/0 )ب1

1

0

hx

dxالف(

تمرین:

)(310تقریبی از انتگرال های زیر را حساب کنید که برای آنها h

1

1 21 x

dx ب(dxxx1

0sin الف(

تمرین:

تقریبی از

1

0 21 x

dx .حساب کنید

راهنمایی: 1

0

1/0

0

1

1/0

01

فصل پنجم

06

ت خطیمعادال دستگاه

برای حل دستگاه معادالت خطی دو روش وجود دارد:

الف( روش های مستقیم

ب( روش های تکراری

الف( روش هایی هستند که پس از انجام چند مرحلۀ مشخص به جواب می رسیم که این جواب

بدون در نظر گرفتن خطای گرد کردن جواب دقیق دستگاه است. در حالی که در روش هایی

و یا روش حذفی 1Aها به یک تقریب از جواب می رسیم. روش های مستقیم مانند روشتکراری تن

گوس. که آنها را به صورت زیر شرح می دهیم:

12211

22222121

12212111

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

nn

nnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa2

1

2

1

21

22221

11211

Ax=b اتریس ضرایب م ماتریس مجهول سمت راستA

b

:1روش: A

Ax=b

ضرب می کنیم: 1Aطرفین را در

bXbX

bX

11

11

01

یم:از فرمول زیر استفاده می کن 1Aبرای محاسبۀ

TN

11

چیست: Nاما

nnnn

n

n

N

21

22221

11211

ijاینگونه حساب می شودکه: عنصرija را در نظر گرفته و سطر و ستونش را حذف می کنیم حال

به دست می آید. ijاگر دترمینان مابقی آن را حساب کنیم و در عالمت محل آنها ضرب کنیم

ji ijaعالمت محل )1(

پدید آمده است اگر سطر و ستون های آن را عوض کنیم ترانهاده یا همان ترنسپوزه nحال ماتریس

به دست آمده است. TNیا همان

مثال:

23

02

12

321

32

21

xxx

xxx

xxx

TN

11

نکته:

اگر دترمینان مساوی صفر باشد چون معکوس آن محاسبه نمی شود، به آن ماتریس منفرد می

گویند و در غیر این صورت به آن ماتریس غیر منفرد می گویند.

08

3

1

3

1

3

115

1

15

4

3

15

1

5

10

555

145

330

15

11

015510))3(2)(1()32(2)11)(1(13

12)1()1(

13

12)2()1(

11

11)1()1(

113

112

121

31

2111

غیر منفرد است. Aلذا

555

145

330

513

543

550

)5()1()3(

)5()4()3(

)5()5()0(

2

0

1

b

00

3

1

15

7

5

2

3

115

75

2

3

115

75

5

3

20

3

115

20

3

13

200

2

0

1

3

1

3

1

3

115

1

15

4

3

15

1

5

10

3

2

1

3

2

1

1

x

x

x

x

x

x

bX

روش حذفی گوس:

در این روش با استفاده از عملیات سطری مقدماتی، ماتریس را به یک ماتریس باال مثلثی )یا پایین

مثلثی( تبدیل می کنیم، آنگاه با جایگذاری پسر و مجهول ها را یکی یکی می یابیم.

ملیات پیشرو به جواب می رسیم(.) اگر ماتریس پایین مثلثی باشد با ع

سئوال: عملیات سطری مقدماتی چیست؟ جواب: عبارت است از:

الف( تعویض کردن دو سطر

ب( ضرب کردن سطر در عددی مخالف صفر

ج( ضرب یک سطر در عددی مخالف صفر و جمع نمودن آن با سطری دیگر.

199

مثال:

3

115

72)

3

1(5

5

21)

3

1()

15

7(2

1300

250

12

1450

250

12

3

2

23

02

12

3

22

11

3

32

321

32

2

1

32

32

321

3

2

1

13

12

1

321

321

321

3

2

1

x

xx

xx

x

xx

xxx

LL

L

L

xx

xx

xxx

d

d

d

dL

dL

L

xxx

xxx

xxx

d

d

d

نکته:

را به یک ماتریس پایین مثلثی تبدیل می کردیم، جواب ها یمان یکسان به دست می اگر ماتریس

آمدند. نکته ای دیگر وجود دارد که بسیار مهم است و آن را بعد از مثال زیر خواهیم گفت.

مثال:

ققx

x

xx

xx

1

1

100001/0

2)2

2

1

21

21

xققغ

xx

xx

ddxx

xx

0,

19999/0)102()110(0

100001/0

)00001/0

1(2

100001/0

00001/0

1)1

1

2

5

2

521

2121

21

191

یس حسابی باشد، احتمال پس نتیجه می گیریم که جا به جا کردن سطر ها الکی نیست. اگر ماتر

اینکه به جواب غلط برسیم بسیار است. در اینجا روندی را بیان می کنیم که برای ماتریس های

حساس نیز به مشکل برنخوریم.

روش کار به این شکل است که ماتریس را نرمالیزه می کنیم یعنی در هر ستون ضریب بزرگ را

ول انتقال می دهیم، آنگاه از ستون دوم عدد بزرگ را تشخیص داده و سطر متعلق به آن را به سطر ا

تشخیص داده و سطر متعلق به آن عدد را به سطر دوم انتقال می دهیم و این عمل را تا ستون آخر

ادامه می دهیم. یعنی بعد از عمل نرمالیزه کردن باید تا حد امکان ها بزرگترین مقدار را داشته

یم کنیم لذا عناصر روی قطر اصلی یک و اکثر عناصر دیگر از یک باشد. حال اگرهر معدله را در تقس

ایی را kکوچکتر می باشند. این عمل را عمل نرمالیزه می گویند. حال برای پایین مثلثی کردن، هر

)1(در نظر بگیرید قدر مطلق آن کوچکترازیک خواهد بود.

معادالت خطی: ب( روش های تکراری برای حل دستگاههای

در این قسمت روش هایی را مورد بررسی قرار می دهیم که این روش ها برنامۀ کامپیوتری آنها به

مراتب ساده تر می باشد. به ویژه اگر در دستگاهی که ماتریس ضرائب آن صفر های زیادی را داشته

ز روش های تکراری باشد. روش های تکراری به مراتب مناسب تر از روش های مستقیم می باشد. ا

سایدل استفاده می کنیم. در این روش ها این عمل برای هردو روش –دو روش ژاکوبی و گوس

یکسان است:

bXدر دستگاه از معادلۀ اول را به دست می آوریم. از معادلۀ دوم2x را به دست می آوریم،... و

دست می آوریم.آنگاه با یک تقریب اولیه و جایگذاری و تکرار به جواب دلخواه می ام را به jازمعادلۀ

رسیم. حال صحبت هایمان را برای یک دستگاه سه معادله و سه مجهول مثال می زنیم.

192

2

33

32

1

33

31

33

3

3

3

22

23

1

22

21

22

22

3

11

13

2

11

12

11

11

3333232131

2323222121

1313212111

)3(

)2(

)1(

)3(

)2(

)1(

xa

ax

a

a

a

bx

xa

ax

a

a

a

bx

xa

ax

a

a

a

bx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

تذکر:

شکل دو سطر را تعویض می کنیم. ها صفر باشد، برای فرار از این مiiaاحتمال دارد یکی از

روش ژاکوبی:

)0(بعد از اینکه نقطۀ شروع

3

)0(

2

)0(

1

)0( ,,( xxxx استفاده می کنیم و با استفاده از معادالت به دست

)1(آمده در مرحلۀ قبل به تقریب جدید

3

)1(

2

)1(

1

)1( ,,( xxxx می رسیم، حال اگر در مرحلۀ بعد از

)1(به kx)(می رسیم ،و در حالت کلی با در دست داشتن x)2(ه کنیم بهاستفاد x)1(این kx می

رسیم ،که می توان آن را به صورت زیرنوشت:

)(

232

)(

1313

33

)1(

3

)(

323

)(

1212

22

)1(

2

)(

313

)(

212

)

1

11

)1(

1

1

1

1

kkk

kkk

kkk

xaxaba

x

xaxaba

x

xaxaba

x

193

مثال:

3x

2x 1x تکرارشما ره

0

4/0

2000/1

0

0

0

0000/1

0

5/1

2000/1

0

0

0

0000/1

0

1

275/1

0

0

0

0000/1

0

1

2

0

0

0

14

درست است« جهار رقم اعشار» ) D0محاسبات تا)

سایدل : –روش گوس

5

2,

6

9,1

5

2002

5

1

6

9009

6

1

10044

1

0

)0,0,0(

225

1252

296

1926

44

144

)1(

)1(

3

)1(

2

)1(

1

)0(

)(

2

)(

1

)1(

3321

)(

3

)(

1

)1(

2321

)(

3

)(

2

)1(

1321

x

x

x

x

K

x

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

kkk

kkk

kkk

190

مقدار جدید به سایدل همان روش تکراری ژاکوبی است با این تفاوت که از هر -روش تکراری گوس

دست آمده از مؤلفه های جواب در سایر این مؤلفه ها استفاده می شود؛ برای توضیح بهتر ماتریس

زیر را نگاه کنید: 3*3

)1(

232

)1(

1313

33

)1(

3

)(

323

)1(

1212

22

)1(

2

)(

313

)(

2121

11

)1(

1

1

1

1

kkk

kkk

kkk

xaxaba

x

xaxaba

x

xaxaba

x

مثال:

15

17,

3

4,1

15

17

3

812

5

1

3

4019

6

1

10044

1

)0,0,0(

225

1252

296

1926

44

144

)1(

)1(

3

)1(

2

)1(

1

)0(

)1(

2

)1(

1

)1(

3321

)(

3

)1(

1

)1(

2321

)(

3

)(

2

)1(

1321

x

x

x

x

x

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

kkk

kkk

kkk

191

3x

2x 1x تکرارا ره شم

0 333/1

0 0 0

0000/1

0 3333/1

0 0 0

0000/1

0 0000/1

0 0 0

0000/1

0 1 0 0 0 5

نکته:

سایدل سریع تر از روش ژاکوبی به جواب می -همانگونه که از مثال ها پیداست روش تکراری گوس

سایدل –گوس رسد. البته مثال های خاصی وجود دارد که از این گفته تبعیت نمی کنداما غالباً

قوی تراست.نکتۀ بعدی این که قبل از حل مسئله بهتر است ماترسی به صورت قطری قالب نوشته

شود)قطری قالب چیست؟ همان مرحلۀ اول نرمالیزه کردن است، یعنی روی قطر بزرگترین اعداد

ها داشته باشیم: iضرائب قرار گیرند( شرط توقف عملیات به این شکل است که برای تمام

e

k

k

i

k

i

k

M

nixxMaxM

)(

)()1()( ,....,2,1,0

فصل ششم:

196

روش های عددی حل معادلۀ دیفرانسیل معمولی:

مثال:

yxyمعادلۀ را با شرطy(0)=1 در نظر بگیرید. تقریبی ازy(0/1) را با استفاده از فرمول

بدست آورید. h=0/1با 0رونگه کوتاه مرتبه ی

11034/1)12105/0()1105/0(2)11/0(21/06

11

12105/0)1105/01()1/00(1/0)1105/0,1

1/0(1/0

1105/0)2

11/01()

2

1/00(1/0)

2

11/0,

2

1/0(1/0

11/0)2

1/01()

2

1/00(1/0)

2

1/0,

2

1/0(1/0

1/0)10(1/0),(1/0),(1/0

1/0?)1/0(

11/0

01)0(

),(

1

004

03

02

00001

0

0

y

yxfk

yxfk

yxfk

yxyxfk

hy

yh

xy

yxyxfyxy

: 4مرتبۀ

hداریم

191

43211

34

23

12

1

0

226

1

),(

)2

,2

(

)2

,2

(

),(

kkkkyy

kyhxhfk

ky

hxhfk

ky

hxhfk

yxhfk

nhxx

nn

nn

nn

nn

nn

n

سواالت امتحانی یکی از سالهای گذشته:

سانتی متر اندازه گیری کرده ایم و میله 91/9متر است با تقریب 19را که طول آن cمیله ی -1

ی شده است دقت سانتی متر اندازه گیر 91/9میلی متر است با تقریب 19را که طول آن Dی

کدامیک از این اندازه گیری ها بیشتر است؟

xeexfریشه معادله -2 x 2)( )درچه بازه ای همگرا می باشد.) روش تکراری

104با استفاده از روش تکراری نیوتن ریشه معادله ی -3 xx رقم اعشار بیابید. 3را تا

)(به صورت فرض کنید فرمول تکراری -02

11

n

nnx

axx تعریف شده باشد که در آنa یک

cطوری انتخاب شده که فرمول تکراری فوق به ریشه ی 0xمقدار ثابت مثبت بوده و مقدار اولیه ی

همگرا گردد مطلوب است.

چیست nxالف( حد نهایی

نشان دهید که فرمول فوق از مرتبه دوم است. ب(

02,31اگر -1 00 abn تکرار صورت گرفته باشد ریشه ی تقریبی مساعد تا چند

رقم اعشار دقیق است.

را حساب کنید. f(1/5)چند جمله ای درون یاب مربوط به تابع جدولی زیر را بنویسید و سپس -6

) روش الگرانژ(

با یکی از روش های تفاضل های تقسیمی یا ضرایب نامعینی حساب کنید. را 6مساله -1

198

8- n تعداد نقاط وh طول فاصله را طوری بیابید که قانون ذوزنقه در مورد انتگرال زیر با دقتی

9105معادل .داشته باشد

6

6

cos

n

n xdx

مطلوب است محاسبه h=0/5با استفاده از قانون سیمپسون و جدول و -04

)( dxxf

2/5 0 0.5 1 1/5 2 ix

0 0.2423 0/4401 0/5579 0/5767 0/4971 if

الف( تفاوت روشهای ژاکوبی و گاوس سایدل را بنویسید. -19

ب( دستگاه زیر را با استفاده از روش گاوس سایدل حل کنید.

252

926

44

321

321

321

xxx

xxx

xxx

21معدله ی -11 yy 0(0را با شرط( y با قرار دادنh=0/1 به روش رونگه کوتای

را بدست آورید. y(0/1)حل کنید و مقدار تقریبی 0مرتبه