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--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

1

“CÁLCULO I”

Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix MíguezDpto. Matemática Aplicada y Métodos InformáticosE.T.S.I. Minas.Universidad Politécnica de Madrid

BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

Cálculo de áreas


2

1. CURVAS EXPRESADAS EN FORMA EXPLÍCITA

Caso 1.1: Área de la figura limitada por la curva y=f(x)entre x = a, x = b y el eje OX

y = f(x)

a) Al buscar los puntos de corte de y = f(x) con el eje OX(haciendo f(x)=0) ninguno pertenece al intervalo [a,b]

x=bx=a=ò

b

aArea f(x)dx

y=f(x)

Área


3

b) Al buscar los puntos de corte de y = f(x) con el eje OX(haciendo f(x)=0) ambos pertenecen al intervalo [a,b]

x=bx=a

y=f(x)

Área

x1 x2

1 2

1 2

b

a

x x b

a x x

Area f(x)dx

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

= =

= + +

ò

ò ò ò


4

Caso 1.2: Área de la figura limitada por las curvas y=f(x),y=g(x),x = a, x = b

( )b

af(x) g(xArea ) dx= -ò

x=bx=a

y=f(x)

Área

y=g(x) y=g(x)

y=f(x)

x=a x=bÁrea

a) f(x) y g(x) tienen el mismo signo en [a,b] y no se cortan


5

x=bx=a

( )b

af(x) g(xArea ) dx= -ò

y=f(x)

Área

y=g(x)

b) f(x) y g(x) tienen signo contrario en [a,b] y no se cortan


6

( ) ( )

( )

1 2

1

2

x x

a x

b

x

g(x) g(Area dx df(x) f(x) x)

g(x)

x

df(x) x

= - + - +

+ -

ò ò

ò

c) f(x) y g(x) tienen el mismo signo en [a,b] y se cortan

x=b

x=a

y=f(x)

y=g(x)

x1 x2


7

Caso 1.4: Área de la figura limitada por las curvas y=f(x),y=g(x)

( )b

ag(x) f(Area x) dx-= ò

Se resuelve el sistema:

y f(x)

y g(x)para hallar su intersección

y=f(x)

y=g(x)

a b

Área


8

EJEMPLO

Hallar el área limitada por las curvas:

Solución:Solución:

2y x , y x

2y x

y x 2x x x 0 ,x 1

Puntos de intersección:

( )3

21 11 3

2

32 00 0

x x 2 1 1Area = x x dx = - = - =

3 3 3 3

é ù é ùê ú ê ú- ê ú ê úë ûë û

ò


9

EJEMPLO

Hallar el área limitada por las curvas:

Solución:Solución:y = sen(x) , y = 1'5.cos(x)

y = 1'5.cos(x)y = sen(x)

x [0,2 ]


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Puntos de intersección:

sen(x)

sen(x) = 1'5.cos(x) = 1'5cos(x)

Luego los puntos de intersección son:

x1=arctg(1.5)[0,/2]

x2= +arctg(1.5)[/2, 3/2]

x1

x2


11

arctg(1.5)

arctg(1.5)Area sen(x) 1'5cos(x) dx

arctg(1.5) arctg(1.5)

arctg(1.5) arctg(1.5)Area cos(x) 1'5 sen(x)

Area cos( arctg(1.5) cos(arctg(1.5))

1'5 sen( arctg(1.5)) sen(arctg(1.5))

13


12

EJEMPLO:EJEMPLO:

Hallar el área de que encierra una elipse de semiejesa y b. Su ecuación es:

2 2

2 2

x y+

ba= 1

Solución:

a-a

b

-b

Debido a la simetría se puede calcular Sólo el área A1 y multiplicar por 4 para obtener el área total.A1

A = 4. A1


13

Una expresión paramétrica de la elipse es:

x(t) = a . cos(t)y (t) = b . sen(t)

El área de la elipse será entonces:

a

0

A 4. y.dx

Que, expresada en paramétricas va a ser:

2

0

A 4. b.sen(t).( a).sen(t).dt

2

2

0

A 4ab. sen (t).dt


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Una forma de resolver la integral anterior es mediantela beta de Euler, en su expresión:

p

b - -= × ×ò/ 2

2p 1 2q 1

0

(p,q) 2 sen (t) cos (t) dt

Siendo: 2p – 1 = 2 p = 3/2 2q – 1 = 0 p = 1/2

Por lo tanto:

1 3 1A 4ab. ,

2 2 2

3 12 2

A 4ab 4ab2 4

A=.a.b


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EJEMPLO:EJEMPLO:

Hallar el área de la región del plano que está encerrada entre el eje de abscisas (y=0) y la parábola:

2 2x + y + 2xy - 7x - 6y +10 = 0

Solución:

2y x 3 x 1

1y x 3 x 1


16

Intersección entre y1, y2

x 3 x 1 x 3 x 1 x 1

Intersección parábola con eje OX:

2 2

0 x 3 x 1 3 x x 1

9 x 6x x 1 x 7x 10 0

x = 2 , x = 5

5 2

1 1

A x 3 x 1 dx x 3 x 1 dx

A = 9/2


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ÁREA DE UNA CURVA EXPRESADA EN POLARES:ÁREA DE UNA CURVA EXPRESADA EN POLARES:

2

1

21A .d

2

Consideramos la curva: = ()

Cuando n se obtiene:

i

Ii

radiomedio (i )

Área sector circular (ASC)

. 2. ASC i

ASC=(1/2). i2i

Sumando todos los sectores:

n

2i

i 1

1A .

2


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EJEMPLO:

Calcular el área de la región del plano limitada porla curva de ecuación polar:

a cos(2 ) (Lemniscata de Bernoulli)

Solución:

=/4=-/4

Por simetría:4

2

0

1A 4 .d

2

de donde:

4

2

0

A 2 a .cos 2 d

=2a2


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EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Calcular el área comprendida entre la curva y=tg(x/2)la recta x=/4 y el eje OX

Solución: 0.158347...

2. Calcular el valor del área rayada de la figura:

2 2 4I(a) + arcsen(a ) + (1- a ) 1- a

4

a2

1

1

x2+y2=1

(*)

(*) Fuente: Universidad Alfonso X El Sabio

Solución


20

3. Calcular el valor del área comprendida entre lascardioides: yρ = a. 1+ cos θ ρ = a. 1 cos θ

= 0

= /2

=

2a

A = 3. - 82

Solución

ρ = a. 1+ cos θ

ρ = a. 1 cos θ


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4. Calcular el área comprendida entre la circunferenciax2 + y2 = 4 y la recta x = 1

4A = - 3

3Solución

5. Calcular el área entre la curva: x=y2+4.y

y la recta x=0

32A =

3Solución

(*)

(*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas”Ed. Tébar Flores.

(*)

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