Γραφήματα - ceid.upatras.gr · •Κάθε ακμή συνεισφέρει 2 στο...

Γραφήματα

Θεωρία γραφημάτων• Παλιό αντικείμενο

– 18ος αιώνας– Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της

πόλης Königsberg• Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές

– Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων– Μελέτη χημικών συνθέσεων– Mελέτη RNA/DNA– Μελέτη δομών Παγκοσμίου Ιστού (World Wide Web-WWW)– Μελέτη διασύνδεσης υπολογιστικών συστημάτων– Εύρεση συντομότερης διαδρομής μεταξύ πόλεων σε συγκοινωνιακό

δίκτυο– Χρονικός προγραμματισμός διαγωνισμών– Ανάθεση καναλιών/συχνοτήτων

• Διακριτή δομή• Προσδιορίζει τις σχέσεις μεταξύ αντικειμένων μιας

συλλογής• Αποτελείται από κορυφές (vertices) ή κόμβους

(nodes) και ακμές (edges)– Γειτονικές είναι κορυφές που ενώνονται με ακμή

Γράφημα…;

Τα γραφήματα ως μοντέλα:• Για αναπαράσταση:

– Ανταγωνισμού διαφορετικών ειδών σε ένα οικολογικόπεριβάλλον

– Ποιος επηρεάζει ποιον σε έναν οργανισμό– Αποτελεσμάτων αθλητικών πρωταθλημάτων

• Για λύση προβλημάτων όπως: – Υπολογισμός πλήθους διαφορετικών συνδυασμών

πτήσεων μεταξύ δύο πόλεων σε αεροπορικό δίκτυο– Προσδιορισμό του αν μπορούμε να περάσουμε από

όλους τους δρόμους μιας πόλης χωρίς να περάσουμε δύοφορές από τον ίδιο δρόμο

– Εύρεση πλήθους χρωμάτων που απαιτούνται για ναχρωματιστούν οι περιοχές χάρτη

Τύποι γραφημάτων

• Διαφορετικοί τύποι γραφημάτων ανάλογα με τοείδος και το πλήθος των ακμών που συνδέουνζεύγος κορυφών

• Βεβαρυμένα γραφήματα δηλ., γραφήματα με βάρησε ακμές ή/και κορυφές χρησιμοποιούνται γιααναπαράσταση και λύση ποικίλων προβλημάτων

Απλά γραφήματα• Απλό γράφημα• G=(V,E)

• Θέση υπολογιστή → Κορυφή (Vertex)• Τηλεφωνική γραμμή μεταξύ υπολογιστών → Ακμή (μη κατευθυνόμενη)

(Edge)– Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές

• Κάθε ακμή συνδέει δύο ξεχωριστές κορυφές

Πολυγραφήματα• Πολυγράφημα• G=(V,E)

• Θέση υπολογιστή → Κορυφή (Vertex)• Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών → Ακμές (μη

κατευθυνόμενες)– Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές

• Δύο κορυφές μπορεί να συνδέονται με παραπάνω από μία ακμές– Μεγάλη δικτυακή κίνηση

Κάθε απλό γράφημα είναι και πολυγράφημα – Δεν ισχύει το αντίστροφο

Ψευδογραφήματα• Ψευδογράφημα• G=(V,E)

• Θέση υπολογιστή → Κορυφή(Vertex)

• Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμέςμεταξύ υπολογιστών → Ακμές(μη κατευθυνόμενες)

– Αμφίδρομες τηλεφωνικέςγραμμές

• Δύο κορυφές μπορεί νασυνδέονται με παραπάνω απόμία ακμές

– Μεγάλη δικτυακή κίνηση• Μπορεί να υπάρχουν βρόχοι

– Για διαγνωστικούς λόγους

Στα πολυγραφήματα δεν επιτρέπονται βρόχοι – Επιτρέπονται στα ψευδογραφήματα

Δίκτυο υπολογιστών με πολλαπλές γραμμές

Δίκτυο υπολογιστών με διαγνωστικές γραμμές

Κατεύθυνση στις ακμές;

• Συμμετρική σχέση μεταξύτων άκρων της ακμής

• Η ακμή απλά τα συνδέει

• Μη συμμετρική σχέσημεταξύ των άκρων ακμών⇒ κατευθυνόμενες ακμές⇒ κατευθυνόμεναγραφήματα

Κατευθυνόμενα γραφήματα• Κατευθυνόμενα γραφήματα• G=(V,E)

• Θέση υπολογιστή → Κορυφή (Vertex)• Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών → Ακμές

(κατευθυνόμενες)– Κατευθυνόμενες τηλεφωνικές γραμμές

• Κάποιος υπολογιστής μπορεί να δέχεται μόνο δεδομένα και να μηνεπιτρέπεται να στείλει

Στα κατευθυνόμενα γραφήματα επιτρέπονται βρόχοι αλλά όχι πολλαπλές ακμές (ίδιας κατεύθυνσης) μεταξύ κορυφών

Κατευθυνόμενα πολυγραφήματα• Κατευθυνόμενα πολυγραφήματα• G=(V,E)

• Θέση υπολογιστή → Κορυφή (Vertex)• Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών → Πολλαπλές

ακμές (κατευθυνόμενες)– Κατευθυνόμενες τηλεφωνικές γραμμές

Στα κατευθυνόμενα πολυγραφήματα επιτρέπονται πολλαπλές ακμές μεταξύ κορυφών

Είδη γραφημάτων: σύνοψη

Μοντέλα γραφημάτων

• Γράφημα επικάλυψης περιβάλλοντος στηνοικολογία

είδος

Ακμή = τα είδη ανταγωνίζονται(κάποιοι από τους διατροφικούςτους πόρους είναι ίδιοι)


• Γράφημα γνωριμιών– Για την αναπαράσταση σχέσεων μεταξύ

ανθρώπων, όπως π.χ., αν γνωρίζονται

άτομα Ακμή = τα άτομα γνωρίζονται


• Γράφημα επίδρασης– Σε μελέτες συμπεριφοράς παρατηρείται ότι

κάποια άτομα μπορούν να επηρεάσουν άλλα

άτομα Ακμή = το άτομο στην αρχήεπηρεάζει το άτομο στο τέλος


• Γράφημα του Hollywood– Κορυφές → ηθοποιοί– Ακμή μεταξύ κορυφών → οι αντίστοιχοι ηθοποιοί

έχουν παίξει μαζί σε ταινία• Internet Movie Database, 11/2001:

– 574.724 κορυφές– > 16.000.000 ακμές


• Αθλητικά πρωταθλήματα με αποκλεισμό τουηττημένου– Κάθε ομάδα παίζει με άλλη ομάδα μόνο μία φορά– Κορυφές → ομάδες– Κατευθυνόμενη ακμή μεταξύ κορυφών Α, Β → η ομάδα Α

νίκησε την ομάδα Β


• Γραφήματα συνεργασίας– Κατασκευή μοντέλου για συνεργατική συγγραφή

επιστημονικών εργασιών– Κορυφές → συγγραφείς– Ακμή μεταξύ κορυφών → οι αντίστοιχοι

συγγραφείς έχουν γράψει μαζί επιστημονικήεργασία

• > 337.000 κορυφές• > 496.000 ακμές


• Γραφήματα (τηλεφωνικών) κλήσεων– Κορυφές → τηλεφωνικοί αριθμοί– (κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών →

τηλεφωνική κλήση


• Το γράφημα του Παγκόσμιου Ιστού– Κορυφές → ιστοσελίδες– (κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών Α και Β

→ υπάρχει σύνδεσμος από την ιστοσελίδα Α στηνιστοσελίδα Β

– Τέτοια γραφήματα χρησιμοποιούν οι μηχανέςαναζήτησης για δημιουργία ευρετηρίωνιστοσελίδων


• Γραφήματα προτεραιότητας και ταυτόχρονηεπεξεργασία– Κορυφές → εργασίες– (κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών Α και Β → η

εργασία Α πρέπει να πραγματοποιηθεί πριν την εργασία Β

Γραφήματα ως μοντέλα δικτύων

το Internet (Arpanet) το Δεκέμβριο του 70 με μόνο 13 sites

Γραφήματα ως μοντέλα δικτύων• Χρησιμότητα γραφημάτων: αποτελούν μαθηματικά μοντέλα

για δικτυακές δομές• Εμφανίζονται σε διάφορες περιοχές όταν είναι χρήσιμη η

αναπαράσταση του πώς είναι φυσικά ή λογικά συνδεδεμένααντικείμενα σε μια δικτυακή δομή– Δίκτυα επικοινωνιών (π.χ., Arpanet)

• Κόμβοι = υπολογιστικές συσκευές που ανταλλάσσουν μηνύματα• Ακμές = άμεσοι σύνδεσμοι που μεταδίδουν μηνύματα

– Κοινωνικά δίκτυα• Κόμβοι = άτομα ή ομάδες ατόμων• Ακμές = αναπαριστούν κάποιας μορφής κοινωνική αλληλεπίδραση

– Δίκτυα πληροφοριών• Κόμβοι = πηγές πληροφοριών π.χ., σελίδες Web ή αρχεία• Ακμές = λογικοί σύνδεσμοι π.χ., hyperlinks, citations, cross-references


Δίκτυα μεταφορών: κόμβοι = προορισμοί, ακμές = απευθείας συνδέσεις


Δίκτυα εξαρτήσεων: κόμβοι = εργασίες, ακμές = υποδείξεις ότι κάποια εργασίαπρέπει να προηγηθεί κάποιας άλλης, π.χ., αποδοτική χρονοδρομολόγηση σε

πολύπλοκα συστήματα λογισμικού, βιομηχανικές διαδικασίες


Κατασκευαστικά δίκτυα: κόμβοι = αρμοί, ακμές = φυσικές διασυνδέσεις

Ασκήσεις

Ασκήσεις6

Βασική ορολογία

• Μη κατευθυνόμενο γράφημα– Γειτονικές κορυφές u,v: υπάρχει ακμή (u,v)

μεταξύ τους• Η ακμή (u,v) είναι προσκείμενη στις κορυφές u και v• Η ακμή (u,v) συνδέει τις κορυφές u και v• Οι κορυφές u και v είναι τελικά σημεία της ακμής (u,v)

– Βαθμός κορυφής v: πλήθος ακμών πουπρόσκεινται στην κορυφή v

• Συμβολίζουμε deg(v)– Κορυφές με βαθμό 0: απομονωμένες– Κορυφές με βαθμό 1: εκκρεμείς

Παράδειγμα

Το Θεώρημα της Χειραψίας

• Τι θα έχουμε αν προσθέσουμε τους βαθμούς όλων τωνκορυφών ενός γραφήματος;

• Ακμή με δύο σημεία ↔ χειραψία με δύο χέρια• ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΧΕΙΡΑΨΙΑΣ: Έστω G=(V,E) μη

κατευθυνόμενο γράφημα με e ακμές. Τότε

– Ισχύει ακόμα και αν υπάρχουν πολλαπλές ακμές και βρόχοι

•Κάθε ακμή συνεισφέρει 2 στο άθροισμα αφού προσπίπτει σε δύο ακριβώς κορυφές.•Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών μη κατευθυνόμενου γραφήματος είναι άρτιος αριθμός.

∑∈

=Vv

ve )deg(2

• Πόσες ακμές υπάρχουν σε γράφημα με 10 κορυφές, πουκάθε μία είναι βαθμού 6;

• Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών είναι 6*10=60• Επειδή ισούται με το διπλάσιο του πλήθους των ακμών:

2*e=60 ⇒ e=30

Το Θεώρημα της Χειραψίας

Ειδικά απλά γραφήματα

Διμερή γραφήματα

• Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα• Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών σε

διαφορετικά υποσύνολα

Παράδειγμα

• Είναι διμερή τα παρακάτω γραφήματα;

Διμερές Μη διμερές

Πλήρη διμερή γραφήματα Κm,n

• Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα Α και Β με m και n κορυφές, αντίστοιχα

• Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών των υποσυνόλων Α και Β• Υπάρχει ακμή μεταξύ

– κάθε κορυφής του Α προς όλες τις κορυφές του Β και– κάθε κορυφής του Β προς όλες τις κορυφές του Α

Εφαρμογές ειδικών τύπωνγραφημάτων

• Τοπικά δίκτυα– Διασύνδεση μίνι-υπολογιστών και προσωπικών

υπολογιστών με περιφερειακές συσκευές(εκτυπωτές, plotters, κτλ)

Τοπολογία αστέρα Τοπολογία δακτυλίου Υβριδική τοπολογία

Μονοπάτια, Κύκλοι• Πρακτική σημασία

– Αποτελεσματική σχεδίαση οδεύσεων για• Παράδοση αλληλογραφίας• Συλλογή απορριμμάτων• Διαγνωστικά σε δίκτυα υπολογιστών• …

• Μονοπάτι = ακολουθία διαδοχικών ακμών σεγράφημα– Κύκλος: μονοπάτι στο οποίο η αρχική και η τελική κορυφή

είναι η ίδια– Απλό: μονοπάτι που δεν περιέχει την ίδια ακμή δύο φορές– Μήκος μονοπατιού: πλήθος ακμών του

• Μονοπάτι με μήκος 0 περιέχει μία μόνο κορυφή

Μονοπάτια (Paths)• Συχνά αντικείμενα διανύουν τις ακμές ενός γραφήματος πηγαίνοντας

από κόμβο σε κόμβο– Επιβάτες ακολουθούν σειρά αεροπορικών πτήσεων– Πληροφορία περνάει από άτομο σε άτομο σε ένα κοινωνικό δίκτυο– Χρήστης ή λογισμικό επισκέπτεται σειρά Web σελίδων ακολουθώντας links

• Μονοπάτι σε ένα γράφημα είναι ακολουθία κόμβων με την ιδιότητα ότικάθε διαδοχικό ζευγάρι κόμβων στην ακολουθία συνδέεται με ακμή

– Πολλές φορές σκεφτόμαστε ως μονοπάτι όχι μόνο τους κόμβους αλλά και τιςακμές της ακολουθίας

• Γενικά σε ένα μονοπάτι κόμβοι μπορεί να επαναλαμβάνονται• Μονοπάτια που δεν περιέχουν επαναλήψεις κόμβων λέγονται απλά

Κύκλοι (Cycles)• Ειδική περίπτωση μη απλού μονοπατιού με τη μορφή

δακτυλίου• Κύκλος = μονοπάτι με τουλάχιστον 3 ακμές στο οποίο ο

πρώτος και ο τελευταίος κόμβος είναι ο ίδιος αλλά όλοι οιυπόλοιποι κόμβοι είναι διακριτοί– Υπάρχουν πολλοί κύκλοι στο Arpanet– Σχεδιάστηκε έτσι ώστε κάθε ακμή να ανήκει σε κάποιον κύκλο

• Αν κάποια ακμή γινόταν μη λειτουργική πάλι θα υπήρχε τρόποςεπικοινωνίας ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο κόμβους

Κύκλοι (Cycles)• Σε δίκτυα επικοινωνιών και μεταφορών οι κύκλοι εισάγουν

πλεονασμό (redundancy)• Κύκλοι υπάρχουν και στα κοινωνικά δίκτυα

– Μια στενή φίλη-συμμαθήτρια της ξαδέρφης του συζύγου μου είναισυνάδελφος του αδερφού μου

– Ο κύκλος είναι: εγώ, ο σύζυγος, η ξαδέρφη του, η φίλη-συμμαθήτριάτης, ο συνάδελφός της (ο αδερφός μου), εγώ

η ξαδέρφη του

η συμμαθήτριά της

ο συνάδελφός της= αδερφό μου

o σύζυγος

εγώ

Μονοπάτια σε γραφήματα

a,d,c,f,e: μονοπάτιd,e,c,a: όχι μονοπάτιb,c,f,e,b: κύκλος με μήκος 4a,b,e,d,a,b: όχι απλό μονοπάτι μήκους 5

Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές

• Μονοπάτια σε γραφήματα γνωριμιών– Υπάρχει απλό μονοπάτι μεταξύ ανθρώπων Α και

Β αν υπάρχει αλυσίδα ανθρώπων που συνδέειτους Α και Β

– Άνθρωποι γειτονικοί στην αλυσίδα = γνωρίζονται– Six degrees of separation (facebook): κάθε ζεύγος

ανθρώπων στον κόσμο συνδέεται με μια μικρήαλυσίδα ανθρώπων με μήκος το πολύ 6…

• Πείραμα Milgram


• Μονοπάτια σε γραφήματασυνεργασίας– Κορυφές που αναπαριστούν

συγγραφείς Α και Β συνδέονται μεμονοπάτι όταν υπάρχει ακολουθίασυγγραφέων που ξεκινάει από τηνκορυφή Α και καταλήγει στη Β ώστεοι συγγραφείς που ορίζουν κάθεακμή να έχουν γράψει μαζίεπιστημονική εργασία

– Μαθηματικοί/ΕπιστήμονεςΥπολογιστών: αριθμός Erdös ενόςεπιστήμονα Ε = μήκος μικρότερουαπλού μονοπατιού μεταξύ του Ε καιτου Paul Erdös


• Μονοπάτια στο γράφημα τουHollywood– Κορυφές που αναπαριστούν

ηθοποιούς Α και Β συνδέονται μεμονοπάτι όταν υπάρχει ακολουθίαηθοποιών που ξεκινάει από τηνκορυφή Α και καταλήγει στη Β ώστεοι ηθοποιοί που ορίζουν κάθε ακμήνα έχουν παίξει μαζί σε ταινία

– Ηθοποιοί Hollywood: αριθμός Bacon ενός ηθοποιού Α = μήκος μικρότερουαπλού μονοπατιού μεταξύ του Α καιτου Kevin Bacon

Συνεκτικότητα (Connectivity)

• Σε ένα γράφημα, υπάρχει μονοπάτι από κάθε κόμβο σε κάθεάλλον κόμβο;

• ΝΑΙ: συνεκτικό γράφημα– Π.χ., Arpanet

• Τα περισσότερα δίκτυα επικοινωνιών και μεταφορών πρέπεινα είναι συνεκτικά– Αποσκοπούν στη μεταφορά κίνησης μεταξύ των κόμβων τους

• Δεν υπάρχει πάντα απαίτηση για συνεκτικότητα– Σε ένα κοινωνικό δίκτυο μπορεί κάλλιστα να μην υπάρχει

τρόπος επικοινωνίας μεταξύ δύο ατόμων

Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμεναγραφήματα

• Συνεκτικό γράφημα: υπάρχει απλό μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο(διαφορετικών) κορυφών του

συνεκτικό

Μη συνεκτικό

Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμεναγραφήματα

• Μη συνεκτικό γράφημα είναι ένωση δύο ή περισσότερων συνεκτικώνυπογραφημάτων (= συνεκτικών συνιστωσών) που ανά ζεύγη δεν έχουνκοινές κορυφές

Συνεκτικότητα σε κατευθυνόμεναγραφήματα

• Ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: αν a και b κορυφές του γραφήματος, υπάρχει διαδρομή από την a στη bκαι από τη b στην a

• Ασθενώς συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: αν a και b κορυφές του γραφήματος, υπάρχει διαδρομή από την a στη b

ισχυράσυνεκτικό

ασθενώςσυνεκτικό

Μη συνεκτικότητα

• Γράφημα συνεργασίας για το Κέντρο ΒιολογικώνΕρευνών Structural Genomics of PathogenicProtozoa (SGPP)– Κόμβοι = ερευνητές– Ακμές = οι ερευνητές έχουν κοινά papers – Αποτελείται από 3 συνιστώσες

Μη συνεκτικά γραφήματα

• Μη συνεκτικό γράφημα εμφανίζεται χωρισμένο σε«κομμάτια» που είναι ομάδες κόμβων– Κάθε τέτοια ομάδα ή συνεκτική συνιστώσα είναι συνεκτικό γράφημα

⇒ δεν υπάρχουν επικαλύψεις μεταξύ διαφορετικών ομάδων

Συνεκτικές συνιστώσες(Connected components)

• Συνεκτική συνιστώσα ενός γραφήματος είναιυποσύνολο κόμβων τέτοιο ώστε:– Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κόμβων σε

κάθε υποσύνολο• «Η συνιστώσα είναι όντως συνεκτική εσωτερικά»

– Κάθε υποσύνολο δεν ανήκει σε κάποιο μεγαλύτεροσύνολο με την ιδιότητα ότι υπάρχει μονοπάτι μεταξύοποιωνδήποτε δύο κόμβων στο σύνολο

• «Η συνιστώσα είναι όντως αυτόνομο κομμάτι του γραφήματος κιόχι μέρος ενός μεγαλύτερου κομματιού»


Όχι συνεκτική συνιστώσα αφούείναι μέρος μεγαλύτερου«κομματιού»

Συνεκτική συνιστώσα


• Διάσπαση γραφήματος σε συνεκτικές συνιστώσες ⇒ περιγραφή τηςδομής του

• Σε κάθε συνεκτική συνιστώσα μπορεί να υπάρχει πλουσιότερη δομή πουείναι σημαντική για την κατανόηση των χαρακτηριστικών του δικτύου


• Διάσπαση γραφήματος σε συνεκτικές συνιστώσες ⇒ περιγραφή της δομής του• Σε κάθε συνεκτική συνιστώσα μπορεί να υπάρχει πλουσιότερη δομή που είναι

σημαντική για την κατανόηση των χαρακτηριστικών του δικτύου

• Εξέχων κόμβος στο κέντρο και πυκνές συμπαγείς ομάδες συνδεδεμένες με τονκόμβο αυτό αλλά όχι μεταξύ τους

• ⇒ η μεγαλύτερη συνεκτική συνιστώσα θα αποδομούταν σε 3 διακριτέςσυνιστώσες αν απομακρυνόταν ο εξέχων κόμβος

• Αναλύοντας γραφήματα ως προς τις πυκνές, συνεκτικές περιοχές τους και τα όριάτους αποτελεί εξαιρετική προσέγγιση για την κατανόηση της δομής του δικτύου

Απόσταση σε γραφήματα• 1η ενδιαφέρουσα ερώτηση: υπάρχει μονοπάτι μεταξύ δύο κόμβων;• 2η ενδιαφέρουσα ερώτηση: τι μήκος έχει ένα τέτοιο μονοπάτι;

– Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε αν η διακίνηση εντός ενός δικτύου γίνεταισύντομα (λίγα hops) ή αργά (πολλά hops)

• Μεταφορές• Επικοινωνία στο Internet • Εξάπλωση ειδήσεων ή ασθενειών

• Μήκος μονοπατιού = πλήθος βημάτων από την αρχή μέχρι το τέλος του = αριθμός ακμών που περιέχει

3

1

Απόσταση σε γραφήματα• Χρησιμοποιώντας το μήκος μονοπατιού έχουμε εκτίμηση για

το αν σε ένα γράφημα δύο κόμβοι είναι κοντά ή μακρυά• Απόσταση δύο κόμβων σε γράφημα = μήκος του

συντομότερου μονοπατιού ανάμεσά τους• Π.χ., απόσταση των κόμβων LINC και SRI = 3

– Αφού δεν υπάρχουν μονοπάτια μήκους 1 ή 2 ανάμεσά τους

3

Αναζήτηση κατά πλάτος(Breadth-First Search - BFS)

• Για πολύπλοκα γραφήματα χρειάζεται συστηματικός τρόποςκαθορισμού αποστάσεων μεταξύ κόμβων τους

• Ο πιο προφανής και πιο αποδοτικός τρόπος μοιάζει με τοπώς εντοπίζουμε αποστάσεις σε ένα δίκτυο φίλων– Αρχικά, οι προσωπικοί μας φίλοι είναι σε απόσταση 1 από εμάς– Μετά, εντοπίζουμε όλους τους φίλους των φίλων μας (που δεν είναι

δικοί μας φίλοι) – αυτοί είναι σε απόσταση 2 από εμάς– Μετά, εντοπίζουμε όλους τους φίλους των φίλων των φίλων μας (που

δεν είναι σε απόσταση 1 ή 2 από εμάς) – αυτοί είναι σε απόσταση 3 από εμάς

– (...) Συνεχίζουμε, ψάχνοντας σε διαδοχικά επίπεδα καθένα από ταοποία απέχει +1 από εμάς

– Κάθε νέο επίπεδο περιέχει όλους τους κόμβους που• Δεν έχουν ανακαλυφθεί ήδη σε προηγούμενα επίπεδα• Συνδέονται με ακμή με κάποιον κόμβο προηγούμενου επιπέδου


Εσείς

Απόσταση 1

Απόσταση 2

Απόσταση 3

Οι φίλοι σας

Οι φίλοι των φίλων σας

Οι φίλοι των φίλων των φίλων σας

Κόμβοι που δεν έχουμε ανακαλύψει ακόμαμε ακμές προς κόμβους προηγούμενων επιπέδων


• Η τεχνική αυτή καλείται Αναζήτηση κατά Πλάτος ή Breadth-First Search ή BFS– Ξεκινώντας από κάποια κορυφή του γραφήματος ψάχνουμε

απομακρυνόμενοι ανακαλύπτοντας νωρίτερα τις κοντινότερεςκορυφές

• BFS: τεχνική για οργάνωση της δομής γραφημάτων– Οι κόμβοι τοποθετούνται ανάλογα με την απόστασή τους από

κάποιον δοσμένο αρχικό κόμβο


Απόσταση 1

Απόσταση 2

Απόσταση 3

The Small-World Phenomenon• Εξετάζοντας δίκτυα φιλίας διαπιστώνουμε ότι

– Υπάρχουν μονοπάτια που μας συνδέουν με πολλά άλλα άτομα– Τα μονοπάτια αυτά είναι εξαιρετικά σύντομα

• Φανταστείτε ένα φίλο σας που μεγάλωσε σε άλλη χώρα• Ακολουθήστε το μονοπάτι που περνάει από το φίλο σας αυτόν και προχωράει στους γονείς

του και μετά στους φίλους των γονιών του• Σε 3 μόνο βήματα έχετε μεταφερθεί σε κάποια άλλη άκρη του κόσμου, σε διαφορετική γενιά,

σε ανθρώπους σχεδόν ξένους προς εσάς

• Η ιδέα αυτή καλείται small-world phenomenon: ο κόσμος δείχνει«μικρός» αν σκεφτούμε πόσο σύντομα μονοπάτια φίλων μας συνδέουνμε σχεδόν κάθε άλλο άτομο

• Για την ιδέα αυτή χρησιμοποιείται συνήθως και η φράση six degrees ofseparation που προέρχεται από ομώνυμο έργο του John Guare καισυγκεκριμένα από την εξής φράση ενός από τους πρωταγωνιστές του:

– “I read somewhere that everybody on this planet is separated by only sixother people. Six degrees of separation between us and everyone else on thisplanet.”

The Small-World Phenomenon• Η πρώτη σχετική πειραματική μελέτη έγινε από το Stanley Milgram και

συνεργάτες του τη δεκαετία του 1960• Χωρίς την τεράστια ποσότητα πληροφορίας που διαθέτουμε σήμερα από

τα κοινωνικά δίκτυα και με χρηματοδότηση μόνο $680, πειραματίστηκεγια το αν όντως οι άνθρωποι συνδέονται σε ένα παγκόσμιο δίκτυο μέσωμικρών αλυσίδων φίλων

• Ζήτησε από 296 τυχαία επιλεγμένους αποστολείς να προωθήσουν μιαεπιστολή σε κάποιον άγνωστο παραλήπτη, έναν χρηματιστή που ζούσε σεκάποιο προάστιο της Βοστώνης

– Έδωσε στους αποστολείς κάποιες προσωπικές πληροφορίες για τονπαραλήπτη συμπεριλαμβανομένων ταχυδρομικής διεύθυνσης καιεπαγγέλματος

– Τους ζήτησε να προωθήσουν την επιστολή σε κάποιον γνωστό τους με το ίδιομικρό όνομα με τον παραλήπτη και να του ζητήσουν να κάνει το ίδιο

– Στόχος ήταν η επιστολή να παραδοθεί το συντομότερο δυνατόν– Η επιστολή πέρασε από μια αλυσίδα ανθρώπων και κατέληξε στον

παραλήπτη

The Small-World Phenomenon• 64 αλυσίδες επιτυχείς• Άξονας x: πλήθος

ενδιάμεσων ατόμων• Άξονας y: πλήθος αλυσίδων

με ίδιο πλήθος ενδιάμεσων• Σχήμα: κατανομή μήκους

αντίστοιχων μονοπατιών– Μέσο μήκος = 6

The Small-World Phenomenon• Παρατήρηση 1: το πείραμα δεν αποτελεί απόδειξη για το “six degrees of

separation between us and everyone else on this planet”– Τα μονοπάτια ήταν προς ένα, σχετικά εύκολο παραλήπτη– Πολλές επιστολές δεν παραδόθηκαν– Απόπειρες για επανάληψη του πειράματος ήταν ανεπιτυχείς λόγω έλλειψης

συμμετοχής• Παρατήρηση 2: πόσο χρήσιμα είναι τελικά αυτά τα σύντομα μονοπάτια

σε μια κοινωνία;– Ακόμα κι αν μπορούμε να επικοινωνήσουμε με κάποιο άτομο μέσω μικρής

αλυσίδας φίλων, πόσο χρήσιμο μας είναι κάτι τέτοιο;– Σημαίνει άραγε ότι είμαστε και «κοινωνικά» κοντά σε τέτοια άτομα-

παραλήπτες;– Απάντηση του Milgram από την αρχική του εργασία:

• Αν φανταστούμε κάθε άτομο σαν το κέντρο του δικού του κοινωνικού μικρό-“κόσμου” τότε “6 μικρά βήματα” σημαίνουν “6 κόσμους μακρυά”…

The Small-World Phenomenon• Το πείραμα του Milgram συνέβαλε σημαντικά στην

κατανόηση των κοινωνικών δικτύων• Το συνολικό συμπέρασμα του Milgram είναι πλέον γενικά

αποδεκτό– Στα κοινωνικά δίκτυα υπάρχουν όντως πολύ σύντομα μονοπάτια

μεταξύ αυθαίρετων ζευγών ατόμων– Ακόμα κι αν η απόσταση μήκους 6 που μας χωρίζει από διοικούντες ή

πολιτικούς δεν συνεπάγεται ανάλογη ανταμοιβή σε καθημερινή βάσηη ύπαρξη όλων αυτών των πολύ σύντομων μονοπατιών δείχνει

• Την ενδεχόμενη ταχύτητα εξάπλωσης σε μια κοινωνία πληροφοριών, ασθενειών και όσων μεταδίδονται

• Τις δυνατότητες πρόσβασης που παρέχουν τα κοινωνικά δίκτυα σεευκαιρίες και άτομα με πολύ διαφορετικά χαρακτηριστικά

Κεντρικές κορυφές(Pivotal nodes )

• Μια κορυφή X είναι κεντρική (pivotal) για ζεύγοςδιακριτών κορυφών Y και Z αν η X βρίσκεται σε κάθεσυντομότερο μονοπάτι μεταξύ των Y και Z και η X είναι διαφορετική και από την Y και από την Z

Κορυφές φύλακες(gatekeepers)

• Μια κορυφή X είναι φύλακας (gatekeeper) ανγια κάποιες άλλες δύο κορυφές Y και Z, κάθεμονοπάτι από την Y στην Z περνάει από τηνκορυφή X

Κορυφές φύλακες(gatekeepers)

• Μια κορυφή X είναι φύλακας (gatekeeper) ανγια κάποιες άλλες δύο κορυφές Y και Z, κάθεμονοπάτι από την Y στην Z περνάει από τηνκορυφή X

• Ο ορισμός δίνει μια αίσθηση “καθολικότητας”– Απαιτεί να λάβουμε υπόψιν μονοπάτια στο

συνολικό γράφημα για να αποφασίσουμε ανκάποια κορυφή φύλακας (gatekeeper)

Κορυφές τοπικοί φύλακες(local gatekeepers)

• Μια πιο “τοπική” εκδοχή του ορισμού προϋποθέτειτον έλεγχο μόνο των γειτόνων μιας κορυφής

• Μια κορυφή X είναι τοπικός φύλακας (localgatekeeper) αν υπάρχουν δύο γειτονικές κορυφέςτης X, έστω Y και Z, που δεν συνδέονται με ακμή– ⇒ Για να είναι η X τοπικός φύλακας (local gatekeeper) θα

πρέπει να υπάρχουν δύο κορυφές Y και Z που να έχουνακμή προς την X, αλλά όχι μεταξύ τους

Κορυφές τοπικοί φύλακες(local gatekeepers)

• Μια κορυφή X είναι τοπικός φύλακας (localgatekeeper) αν υπάρχουν δύο γειτονικέςκορυφές της X, έστω Y και Z, που δενσυνδέονται με ακμή

Συνολική μονάδα μέτρησης τηςαπόστασης κορυφών γραφήματος;;

• Διάμετρος (diameter)– Η μέγιστη απόσταση μεταξύ κάθε ζεύγους

κορυφών στο γράφημα

• Μέση απόσταση (average distance)– Η μέση απόσταση υπολογισμένη για όλα τα ζεύγη

κορυφών στο γράφημα

• Φυσικά μέτρα για το πόσο συμπαγές είναιένα γράφημα

Διάμετρος – Μέση απόσταση(Diameter – Average distance)

AB=1AC=1AD=1AE=1AF=1

BC=2BD=1BE=2BF=2

CD=1CE=2CF=2

DE=2DF=2

EF=1


AB=1AC=1AD=1AE=1AF=1

BC=2BD=1BE=2BF=2

CD=1CE=2CF=2

DE=2DF=2

EF=1

Διάμετρος=2Μέση απόσταση = 22/15=1.46666

Πόσα ζεύγη κορυφών υπάρχουν;;; C(6,2)


Διάμετρος=2Μέση απόσταση = 44/36=1.2222

Μονοπάτια και κύκλοι Euler

• Πόλη Königsberg, Πρωσσία (σημερινό Kaliningrad, Ρωσική Δημοκρατία)

→ →

Ποταμός Pregel

Νησί Kneiphof

γέφυρες

Γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρεςακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία;

Μονοπάτια και κύκλοι Euler

• Υπάρχει απλός κύκλος στο παρακάτω πολυγράφημα που ναπεριέχει κάθε ακμή;

Γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρεςακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία;

Μονοπάτι Euler

• Η γνωστή «μονοκονδυλιά»…

Σύντομες, κατατοπιστικές λεπτομέρειες για άτομα που ενδιαφέρονται περαιτέρω.

Ασκήσεις

Υπάρχει κύκλος Euler στα παραπάνω γραφήματα;

ΝΑΙ ΟΧΙ ΌΧΙ κύκλο, ΝΑΙ μονοπάτι

ΝΑΙΟΧΙ ΌΧΙ κύκλο, ΝΑΙ μονοπάτι

Ικανή και αναγκαία συνθήκη γιαύπαρξη κύκλου Euler

• Κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό ⇔ υπάρχει κύκλοςEuler στο γράφημα– Υπάρχει κύκλος Euler ⇒ κάθε κορυφή έχει βαθμό 2

(δηλαδή άρτιο)– Κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό ⇒ κατασκευάζω τον

κύκλο Euler ξεκινώντας από αυθαίρετη κορυφή καιχρησιμοποιώντας πεπερασμένο πλήθος ακμών

• Αφού κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό το μονοπάτι μπορεί πάντανα εισέρχεται και να εξέρχεται από κάθε ακμή

• Μπορεί να προκύψουν μονοπάτια που χρησιμοποιούν (ΟΚ) ή δενχρησιμοποιούν όλες τις ακμές του γραφήματος

– Μπορώ να τα ενώσω

Ασκήσεις

Υπάρχει κύκλος Euler στα παραπάνω γραφήματα;

Ικανή και αναγκαία συνθήκη γιαύπαρξη μονοπατιού Euler

• Υπάρχουν μόνο 2 κορυφές περιττού βαθμού ⇔υπάρχει μονοπάτι Euler στο γράφημα– Υπάρχει μονοπάτι (αλλά όχι κύκλος) Euler ⇒ η πρώτη και

η τελευταία κορυφή έχουν περιττό βαθμό και όλες οιάλλες κορυφές έχουν άρτιο βαθμό (=2)

– Υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές - u,v - με περιττό βαθμό ⇒προσθέτουμε την ακμή (u,v) στο αρχικό γράφημα καιπλέον όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό ⇒ υπάρχεικύκλος Euler ⇒ με διαγραφή της ακμής (u,v) προκύπτειμονοπάτι Euler

Άσκηση

• Σε ποια από τα παρακάτω γραφήματαυπάρχει μονοπάτι Euler;

Τελικά, τι έγινε στο Königsberg;

• Στο πολυγράφημα υπάρχουν 4 κορυφές περιττού βαθμού ⇒δεν υπάρχει μονοπάτι Euler ⇒ Δεν γινόταν να ξεκινήσουναπό ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώςμία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία

Μονοπάτια και κύκλοι Euler: πρακτικές εφαρμογές

• Αναζήτηση μονοπατιού ή κύκλου πουδιέρχεται μία μόνο φορά– από κάθε δρόμο σε μια γειτονιά

• Το πρόβλημα του Κινέζου ταχυδρόμου [Guan Meigu, 1962]

– από κάθε σύνδεση σε δίκτυο ΔΕΗ, ΔΕΥΑ, …– από κάθε ζεύξη σε δίκτυο επικοινωνιών

• Μοριακή Βιολογία: μονοπάτια Euler χρησιμοποιούνται στην ακολουθία του DNA

Μονοπάτια και κύκλοι Hamilton

• Σε ένα γράφημα, υπάρχει μονοπάτι ή κύκλος που ναπεριέχει κάθε κορυφή μόνο μία φορά;

• Γρίφος του Είκοσι (Icosian Puzzle) [Sir William Rowan Hamilton, 1857]

Γρίφος του Είκοσι• Δωδεκάεδρο: πολύεδρο με

πλευρές 12 κανονικά πεντάγωνα• 20 κορυφές του δωδεκάεδρου:

20 διαφορετικές πόλεις τουκόσμου

• Σκοπός: να ξεκινήσουμε από μίαπόλη και να ταξιδέψουμε κατάμήκος των ακμών τουδωδεκάεδρου περνώντας μίαφορά από κάθε μία από τιςυπόλοιπες 19 πόλεις και ναεπιστρέψουμε στην αφετηρία

Γρίφος του Είκοσι

• Αντί να δουλεύω στοπραγματικό δωδεκάεδροασχολούμαι με έναισοδύναμο γράφημα με τιςίδιες κορυφές και ακμές(ισομορφικό) πουπροκύπτει αν «πατήσω» τοδωδεκάεδρο ώστε να γίνειεπίπεδο…– Μια λύση σημειώνεται με

μπλε στο σχήμα

Άσκηση

• Ποιο από τα παρακάτω γραφήματα έχει κύκλο ημονοπάτι Hamilton;

ΝΑΙ ΌΧΙ κύκλοΝΑΙ μονοπάτι

ΟΧΙ

Πώς καταλαβαίνουμε αν θα βρούμεκύκλο Hamilton σε ένα γράφημα;

• Αν στο γράφημα υπάρχει κορυφή βαθμού 1 ⇒ δενυπάρχει κύκλος Hamilton

• Για κορυφή με βαθμό 2, οι ακμές που πρόσκεινταισε αυτή είναι τμήμα κάποιου κύκλου Hamilton

• Κύκλος Hamilton δεν μπορεί να περιέχει άλλονμικρότερο κύκλο Hamilton

Άσκηση

• Στο γράφημα Κn υπάρχει κύκλος Hamilton;– Kn: πλήρες γράφημα με n κορυφές

• Ναι– Ξεκινάμε από οποιαδήποτε κορυφή– Επισκεπτόμαστε τις υπόλοιπες ακολουθιακά με τυχαία

σειρά– Επιστρέφουμε στην αρχική

– Αυτό είναι εφικτό αφού υπάρχουν ακμές από κάθεκορυφή σε κάθε άλλη

Το πρόβλημα εύρεσης κύκλουHamilton σε γράφημα είναι δύσκολο

• Δεν έχουμε έξυπνο τρόπο να το λύνουμεγρήγορα

• Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε γιανα το λύσουμε είναι να ψάξουμε μία μία τιςκορυφές του γραφήματος

Μονοπάτια και κύκλοι Hamilton: πρακτικές εφαρμογές

• Επίσκεψη μία μόνο φορά σε– κάθε διασταύρωση δρόμου σε μία πόλη– κάθε σημείο διασταύρωσης σωληνώσεων σε δίκτυο π.χ.,

ύδρευσης– κάθε κόμβο σε δίκτυο επικοινωνιών

• Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή: βρες τοσυντομότερο δρομολόγιο που πρέπει ναακολουθήσει ένας πωλητής που ταξιδεύει για ναεπισκεφθεί μια ομάδα πόλεων– Το πρόβλημα ανάγεται σε εύρεση κύκλου Hamilton σε

πλήρες γράφημα έτσι ώστε το συνολικό βάρος των ακμώντου να γίνεται ελάχιστο

Γραφήματα με βάρη στις ακμές

• Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται μεγραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους– Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο,

χρηματικό κόστος

Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής

• Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα μεανάθεση βαρών στις ακμές τους– Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος

• Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα αφορά στον προσδιορισμό τουσυντομότερου μονοπατιού σε τέτοια γραφήματα– Το μήκος πλέον δεν είναι το πλήθος των ακμών του μονοπατιού αλλά

το άθροισμα των βαρών των ακμών του– Αλγόριθμος του Dijsktra [1959] για συνεκτικά, απλά, μη

κατευθυνόμενα γραφήματα• Ένα άλλο ενδιαφέρον πρόβλημα αφορά στον εντοπισμό του

συντομότερου κύκλου που ξεκινάει από αυθαίρετη κορυφήτου γραφήματος, περνάει από όλες τις κορυφές τουγραφήματος μία μόνο φορά και καταλήγει στην αρχική– Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή

Επίπεδα γραφήματα

• Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίςδιασταύρωση των ακμών τους

Μη επίπεδο γράφημα


• Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίςδιασταύρωση των ακμών τους


Χρωματισμός γραφημάτων

• Πρακτικό πρόβλημα: χρωματισμός χαρτών– Περιοχές με κοινά σύνορα πρέπει να λαμβάνουν

διαφορετικά χρώματα

• Αναπαράσταση με γραφήματα– Περιοχές ↔ κορυφές– Περιοχές με κοινά σύνορα ↔ συνδέονται με ακμή– Δυικό γράφημα του χάρτη


• Χρωματισμός γραφήματος: ανάθεσε χρώματα στιςκορυφές του έτσι ώστε γειτονικές να μη λαμβάνουντο ίδιο χρώμα

• Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτωνπου απαιτείται για το χρωματισμό ενός γραφήματος

Το θεώρημα των 4 χρωμάτων

• Ο χρωματικός αριθμός επίπεδου γραφήματοςδεν είναι μεγαλύτερος από 4– Τέθηκε σαν εικασία αρχικά το 1850– Αποδείχθηκε από τους Appel και Haken το 1976

• Βασίζεται σε ανάλυση περιπτώσεων που έγινε μεχρήση Η/Υ

– Αν η απόδειξη ήταν λάθος θα έπρεπε να βρεθεί 1 αντιπαράδειγμα σε 2000 περιπτώσεις που δεν βρέθηκε

Άσκηση

• Ποιοι είναι οι χρωματικοί αριθμοί τωνπαρακάτω γραφημάτων;

Άσκηση

• Ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός του πλήρουςγραφήματος με n κορυφές, Kn;

• n: γιατί όλες οι κορυφές είναι γειτονικές μεταξύ τους– Το Kn δεν είναι επίπεδο όταν n ≥ 5

Άσκηση

• Ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός του διμερούςγραφήματος K3,4;

• Κάθε μέρος μπορεί να χρωματιστεί με το ίδιο χρώμα– Κάθε γράφημα που μπορεί να χρωματιστεί με 2 χρώματα

είναι διμερές


• Το πρόβλημα είναι δύσκολο– Δεν έχουμε τρόπο να το λύσουμε γρήγορα– Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να

ψάχνουμε μία μία τις κορυφές

• Έχει ποικίλες πρακτικές εφαρμογές

Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων

• Πώς μπορούν να προγραμματιστούν οι τελικέςεξετάσεις ώστε κανένας φοιτητής να μην έχει 2 εξετάσεις την ίδια μέρα;

• Απεικονίζουμε το πρόβλημα με ένα γράφημα– Κορυφές: μαθήματα– Ακμές: κάποιος φοιτητής πρέπει να παρακολουθεί και τα

δύο μαθήματα– Κάθε χρονικό διάστημα εξέτασης: διαφορετικό χρώμα– Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων ⇔ χρωματισμός του

γραφήματος

Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων

Ανάθεση συχνοτήτων σε τηλεοπτικούςσταθμούς

• Στους σταθμούς ανατίθενται τα κανάλια 2 έως 12 έτσι ώστε να μην υπάρχουν σταθμοί σε απόσταση150 χλμ που να λειτουργούν στο ίδιο κανάλι

• Απεικονίζουμε το πρόβλημα με ένα γράφημα– Κορυφές: σταθμοί– Ακμές: σταθμοί βρίσκονται εντός απόστασης 150 χλμ– Κανάλια: διαφορετικά χρώματα– Ανάθεση καναλιών ⇔ χρωματισμός του γραφήματος

3 αν n άρτιος, 4 αν n περιττός

115 116

185

195

101102

273

473

3 αν n άρτιος, 4 αν n περιττός

115 116

185

195

101102

273

473

Εναλ

λακτ

ικός

χρω

ματι

σμός

6

1

65

2

3

4

e 6a 4b 4 c 4f 4h 4i 4d 2g 2j 2

ΚαλώδιαΣταθμοί μετάδοσηςΔίκτυα ηλεκτρικής ενέργειας

Χημικοί δεσμοίΜόριαΧημικές ενώσεις

ΜολύνσειςΆτομαΜεταδοτική ασθένεια

ΣυνάψειςΝευρώνεςΝευρωνικά δίκτυα

Αλληλεπιδράσεις βάσει κανόνωνΓονίδιαΓενετικά δίκτυα

ΑλληλεπιδράσειςΠρωτεΐνεςΔίκτυα αλληλεπίδρασηςπρωτεϊνών

Φιλία, Ταινίες, ΣύνδεσμοιΆτομα, Ηθοποιοί, ΤρομοκράτεςΚοινωνικά δίκτυα

Κινήσεις σύμφωνες με κανόνεςΘέσεις στην επιφάνεια (π.χ., στησκακιέρα)

Παιχνίδια

ΥπερσύνδεσμοιΙστοσελίδεςInternet

Κλήσεις συναρτήσεωνΣυναρτήσειςΣυστήματα λογισμικού

Περιορισμοί προτεραιότηταςΕργασίεςΧρονοδρομολόγηση

Αυτοκινητόδρομοι, ΠτήσειςΔιασταυρώσεις, ΑεροδρόμιαΜεταφορές

ΣυναλλαγέςΜετοχές, Χρηματικές μονάδεςΟικονομικά

ΣωληνώσειςΔεξαμενές, ΑντλίεςΥδραυλική κατασκευή

Σκοινιά, ελατήρια, δέσμεςΑρμοίΜηχανική κατασκευή

ΚαλώδιαΠύλες, Καταχωρητές, Επεξεργαστές

Κύκλωμα

Καλώδια οπτικής ίναΤηλέφωνα, υπολογιστέςΕπικοινωνία

ΑκμέςΚορυφέςΓράφημα

Γραφήματα - ceid.upatras.gr · •Κάθε ακμή συνεισφέρει 2 στο...

Documents