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상미분방정식

1 미분방정식의소개

2 1계미분방정식

3 고계미분방정식

4 Laplace 변환

5 선형방정식의급수해

6 상미분방정식의수치해

1장 차례

1.1 정의와용어

1.2 초기값문제

1.3 수학적모형으로서의미분방정식

1장복습문제

이 장에서는 미분방정식에서 쓰이는 기본 용어들을 소개하고, 물리적 현상을 수학적 용

어로 묘사하거나 모형화하는 과정에서 미분방정식이 어떻게 나타나는지에 대해 간단히

알아본다.

1장

미분방정식의소개

1.1 정의와용어

■ 소개 미분(differential)과 방정식(equation)이라는 단어는 도함수를 포함하는 어떤 종류

의 방정식을 푸는 것을 암시한다. 그러나 어떤 것이든 풀기 전에 먼저 그 문제에 대한 기본

정의와용어를알아야한다.

■ 정의 함수 y��(x)의 도함수 dy/dx는 그 자체가 적절한 규칙을 따르는 함수 ��(x)이다.

예를 들면 함수 y�e0.1x2은 구간 (��, �)에서 미분 가능하고, 그 도함수는 dy/dx�

0.2xe0.1x2이다. 여기서 e0.1x2은 y이므로이식은다시쓰면

(1)

이 된다. 식 (1)로 표현된 미분방정식이 주어졌는데 그 식이 어떻게 만들어졌는지 모른다고

하자. 기호 y가 나타내는 함수가 무엇인지를 묻는다면 우리는 미분방정식 교과과정의 기본

문제 중의 한문제, 즉 그 방정식으로부터 미지의 함수 y��(x)를 어떻게 구할 것인지에 대

한 문제에 직면하게 된다. 이 문제는 이미 익숙한 미분계산의 역문제, 즉 주어진 도함수의

역도함수를찾는것과대략비슷한것처럼보인다.

더나아가기전에미분방정식의개념에대한좀더정확한정의를알아보자.

미분방정식에 관해 언급하기 위하여 미분방정식을 유형(type), 계수(order), 그리고 선

형성(linearity)에의해분류할것이다.

■ 유형에의한분류 한개또는그이상의종속변수의단하나의독립변수에대한도함수들만

을포함하는방정식을상미분방정식(ODE: ordinary differential equation)이라한다. 예를들면

(2)

들은 상미분방정식들이다. 한 개 또는 그 이상의 종속변수의 두 개 이상의 독립변수에 대한

편도함수들을 포함하는 방정식을 편미분방정식(PDE: partial differential equation)이라 한

다. 예를들면

(3)

들은편미분방정식들이다.

1.1 정의와 용어 ■ 3

미분방정식

한 개 또는 그 이상의 종속변수의 한 개 또는 그 이상의 독립변수에 대한 도함수들을

포함하는방정식을미분방정식(DE: differential equation)이라한다.

정의 1.1

■ 표기법 이 교재에서는 일반 도함수들을 dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3, ...와 같이 표기하는

Leibniz 표기법(Leibniz notation)이나 y�, y�, y�, ...와 같이 표기하는 프라임 표기법(prime

notation)을 쓸 것이다. (2)의 처음 두 식은 y��5y�ex와 y��y��6y�0과 같이 프라임 표

기법으로 좀더 간단히 쓸 수 있다. 프라임 표기법은 세 번 미분한 함수, 즉 3계 도함수까지

를 표현할 때 쓰고 네 번 미분한 함수에 대해서는 y�� 대신 y(4)을 쓴다. 일반적으로 n번 미

분한 함수는 dny/dxn나 y(n)으로 표기한다. Leibniz 표기법은 쓰기에는 좀 복잡하지만 종속

변수와 독립변수를 모두 나타내고 있다는 점에서 프라임 표기법에 비해 더 명확하다고 할

수 있다. 예를 들면 미분방정식 d2x/dt2�16x�0에서 t는 독립변수인 반면 x는 종속변수임

을 알 수 있다. 또한 물리학이나 공학에서 쓰이는 Newton의 점 표기법(dot notation, 혹자

는‘flyspeck’표기법이라 부름)은 시간 t에 관한 도함수들을 표현하는 데 종종 사용됨을 알

아 두자. 미분방정식 d2s/dt2��32는 점 표기법으로는 s̈��32로 표현된다. 편도함수들은

독립변수들을 아래첨자로 표기하는 아래첨자 표기법(subscript notation)으로 종종 표현된

다. 예를들면 (3)의처음두식은각각 uxx�uyy�0과 uxx�utt�2ut로쓸수있다.

■ 계수에의한분류 상미분방정식이나 편미분방정식에서의 미분방정식의 계수는 그 미분

방정식에포함된가장높은도함수의계수이다. 예를들면

는 2계 상미분방정식이다. 1계 상미분방정식은 M(x, y)dx�N(x, y)dy�0과 같이 미분의

형태로 쓰이기도 한다. 예를 들면 (y�x)dx�4xdy�0에서 y가 종속변수이면 y��dy/dx이

고, 이 식의 양변을 dx로 나누면 식은 4xy��y�x가 된다. 더 자세한 설명은 이 절 마지막

의참고를참조하라.

한개의종속변수를가지는 n계상미분방정식은일반적으로다음과같이나타낼수있다.

(4)

여기서 F는 n�2개의 변수들, 즉 x, y, y�, ..., y(n)을 포함하는실함수이다. 실용적 또한 이론

적인 이유로 지금부터는 식 (4) 형태의 상미분방정식에서의 최고계 도함수 y(n)을 나머지

n�1개의 변수들로 유일하게 풀 수 있다고 가정한다. 그러므로 식 (4)를 다시 표현하면 다

음과같이쓸수있다.

(5)

여기서 f는 연속인 실함수이며 식 (5)는 식 (4)의 정규형(normal form)이라 한다. 그러므로

경우에따라서 1계및 2계상미분방정식을표현할때다음과같은정규형을쓰기로한다.

예를 들면 1계 방정식 4xy��y�x의 정규형은 y��(x�y)/4x이다. 더 자세한 설명은참고를

2계 1계

4 ■ 1장 미분방정식의 소개

참조하라.

■ 선형성에의한분류 n계상미분방정식 (4)에서 F가 y, y�, , y(n)에대해선형이면식 (4)

는 선형(linear)이라 한다. 이것은 식 (4)를 an(x)y(n)�an�1(x)y(n�1)� ... �a1(x)y��a0(x)y�

g(x)�0나

(6)

로 쓸 수 있으면 n계 상미분방정식은 선형이라는 것을 의미한다. 식 (6)의 중요한 특수 경

우가다음과같은 1계(n�1)와 2계(n�2) 선형미분방정식이다.

(7)

식 (6)의 등식 왼쪽 부분의 덧셈조합으로부터 다음과 같은 선형 상미분방정식의 두 특성을

알수있다.

• 종속변수 y와 그것의 모든 도함수들 y�, y�, ..., y(n)은 1차이다. 즉 y를 포함하는 각각의

항들은 1차거듭제곱이다.

• y, y�, ..., y(n)의계수함수 a0, a1, ..., an들은독립변수 x만의함수이다.

다음방정식들은차례로 1계, 2계, 그리고 3계선형상미분방정식이다.

이미 살펴본 바와 같이 첫 번째 방정식은 4xy��y�x로 쓸 수 있으며 이는 변수 y에 대해

선형이다. 선형이 아닌 방정식을 비선형(nonlinear)방정식이라 한다. 선형방정식에는 종속

변수와 그것의 도함수들로 이루어진 sin y나 ey�과 같은 비선형함수는 쓰일 수 없다. 다음

에주어진방정식은각각 1계, 2계, 그리고 4계비선형상미분방정식이다.

■ 해 이미 언급한 바와 같이 이 교과의 목적 중의 하나는 미분방정식을푸는 것, 즉 미분방

정식의해(solution)를구하는것이다. 상미분방정식의해의개념을다음과같이정의한다.

계수함수가 y를포함하므로 비선형 y의 비선형함수

2차 거듭제곱은비선형

1.1 정의와 용어 ■ 5

선형 상미분방정식의이두특성을기억하라.

상미분방정식의해

구간 I에서 정의된 함수 �가 I에서 연속인 적어도 n개의 도함수 ��, ��, ..., �(n)을 갖

고, n계 상미분방정식에 대입했을 때 그 방정식을 만족시키면 �를 그 구간 I에서의

그미분방정식의해라한다.

정의 1.2

다시 말하면, n계 상미분방정식 (4)의 해는 함수 �로서 �는 적어도 n계까지의 도함수들

을가지며모든 x ! I에대해다음식이성립해야한다.

그런 경우 �는 구간 I에서 미분방정식을만족시킨다고 한다. 여기서 해 �는 실함수라고 가

정한다. 이미살펴본바와같이 y�e0.1x2은구간 (��, �)에서 dy/dx�0.2xy의해이다.

해를대체기호 y(x)로표기하는것이편리할때도있다.

■ 정의구간 상미분방정식에서해와구간은 동시에 고려되어야 한다. 정의 1.2에서의 구간

I는 정의구간, 존재구간, 유효구간, 또는 해의 정의역 등 여러 가지로 불리며 개구간 (a, b),

폐구간 [a, b], 무한구간 (a, �) 등여러형태가될수있다.

예제1 해의검증

오른쪽에주어진함수가구간 (��, �)에서주어진미분방정식의해가됨을검증하라.

(a) dy/dx�xy1/2; y�x4/16 (b) y��2y��y�0; y�xex

풀이 주어진 함수가 해가 되는지를 검증하는 방법은 구간 내에 있는 모든 x에 대해 방정

식의양변에그함수를대입했을때등식이성립하는지를보는것이다.

(a) 등식왼쪽:

(a) 등식오른쪽:

위의 사실로부터 모든 실수 x에 대해 방정식의 양변은 같음을 알 수 있다. 그러므로 주어진

함수는 주어진 미분방정식의 해가 된다. 정의에 의하여 y1/2�x2/4는 x4/16의 음수가 아닌

제곱근이다.

(b) 주어진 함수의 도함수들 y��xex�ex와 y��xex�2ex로부터 모든 실수 x에 대해 다음이

성립한다.

(a) 등식왼쪽: y��2y��y�(xex�2ex)�2(xex�ex)�xex�0

(a) 등식오른쪽: 0. ❏

예제 1에서 모든 x, 즉 �� x �에 대해 상수해 y�0은 각 미분방정식의 해가 됨

을 주목하자. 0이 구간 I 상의 모든 x에,해 미분방정식의 해가 되면 이 해를 자명한 해

(trivial solution)라한다.

■ 해곡선 상미분방정식의함수 �의 그래프를해곡선(solution curve)이라한다. �는미분

가능한 함수이므로 정의구간 I에서 연속이다. 함수 �의 그래프와해 �의 그래프 간에는 차

이점이 있을 수 있다. 즉 함수 �의 정의역은 해 �의 정의구간 I(또는 정의역)와 같을 필요

는없다는것이다. 다음예제는그차이점을보여주고있다.


예제2 함수대해

함수로서 y�1/x의 정의역은 0을 제외한 실수이다. y�1/x를 그릴 때 정의역에서 몇 개의

의미 있는 점을 택하여 대응하는 점을 xy 평면에 찍은 후 그 점들을 연결한다. 그림 1.1(a)

에 도시된 바와 같이 유리함수 y�1/x는 0에서 불연속이고, y축(즉 x�0)은 그래프의 수직

점근선이므로 y�1/x는 x�0에서미분불가능하다.

y�1/x는또한 1계선형미분방정식 xy��y�0의해이기도하다(검증해보라). y�1/x

이미분방정식의해라할때이는그함수가정의되는어떤구간이존재하고그구간에서미

분가능하며, 주어진미분방정식을만족시킨다는것을의미한다. 즉 y�1/x는 0을포함하

지않는어떤구간에서도, 예를들면 (�3, �1), ( , 10), (��, 0), 또는 (0, �)와같은구간

에서이미분방정식의해이다. 구간 �3 x �1과 x 10에서 y�1/x에의해정의

된해곡선들은각각 �� x 0와 0 x �에서 y�1/x에의해정의된해곡선들의일

부분이므로구간 I는가능하면크게잡는것이타당하다. 그러므로 I는 (��, 0)나 (0, �)로

택하는것이좋다. (0, �)에서의해곡선은그림 1.1(b)에나타나있다. ❏

■ 양함수 해와 음함수 해 양함수와 음함수에 관해서는 미적분학 교과과정에서 다루었기

때문에 이 용어들은 이미 익숙할 것이다. 종속변수가 독립변수와 상수로만 표현되어 있는

해를 양함수해(explicit solution)라 한다. 양함수 해는 일반적인 규칙에 의해 다룰 수 있고,

측정 가능하고, 직접 미분할 수 있는 구체적인 해로서 y��(x)의 형태로 표현된다. 마지막

두 예제에서 본 바와 같이 y�x 4/16, y�xe x, 그리고 y�1/x는 각각 dy/dx�xy 1/2,

y��2y��y�0, 그리고 xy��y�0의 양함수 해이다. 또한 자명한 해 y�0는 세 방정식 모두

의 양함수 해이다. 어떤 상미분방정식을 실제로 풀었을 때 항상 양함수 해 y��(x)를 바로

구할수있는것은아니다. 1계비선형미분방정식을푸는경우에양함수해를직접유도하

는것은특히더그렇다. 해 �를어떤관계식이나음함수의형태인 G(x, y)�0의형태로표

현하는것으로만족해야할때도있다.

어떤조건하에서 G(x, y)�0이미분가능한함수 �를정의하는가하는문제는이교과

과정의 범위를 벗어나므로 여기서는 다루지 않겠다. 그러므로 이 교과과정에서는 해를 구

하는 과정에서 G(x, y)�0의 관계가 유도되면 구간 I에서 그 관계, 즉 G(x, �(x))�0과 미

분방정식 모두를 만족시키는 �가 적어도 하나 존재한다고 가정한다. 음함수 해 G(x, y)�0

이 간단하면 그 식으로부터 y를 x로 표현할 수 있을 것이며 한 개 이상의 양함수 해를 얻

을수있을지도모른다. 더자세한내용은참고를참조하라.

예제3 음함수해의검증

x2�y2�25는구간 �5 x 5에서다음미분방정식의음함수해이다.

12

12

1.1 정의와 용어 ■ 7

y

x1

1

y

x1

1

(a) 함수 y = 1/x, x ≠ 0

(b) 해 y = 1/x, (0, ∞)

그림 1.1 함수 y�1/x와 해 y�1/x는 같지않음

상미분방정식의음함수해

구간 I에서 G(x, y)�0 및 상미분방정식 (4)를 만족시키는 함수 �가 적어도 하나 존재

하면 G(x, y)�0를 구간 I에서의 주어진 미분방정식의 음함수 해(implicit solution)라

한다.

정의 1.3

(8)

식 x2�y2�25를음함수의미분을하면다음식을얻는다.

이제두번째식을 dy/dx에관해풀면식 (8)을얻는다. 또한 x2�y2�25를 y에관해풀면 y�

�'ƒ25�ßx2을얻는데이두함수 y��1(x)�'ƒ25�ßx2와 y��2(x)��'ƒ25�ßx2는각각 x2��12�25

와 x2��22�25를만족시키고구간�5 x 5에서정의되는양함수해이다. 그림 1.2(b)와 (c)

에주어진해곡선은그림 1.2(a)에주어진음함수해의그래프의일부분이다. ❏

x2�y2�c�0 형태의 모든 관계식은 어떤 상수 c에 대해서도 형태상으로 식 (8)을 만족

시킨다. 그러나그관계식은실수계에서항상타당한식이어야한다. 예를들면 x2�y2�25�

0은그방정식의음함수해라할수없다. 왜해가될수없는지를생각해보라.

양함수 해와 음함수 해의 차이점은 명백하게 구별되므로 항상“이 해는 양함수 해(또

는음함수해)이다”라고언급하지는않겠다.

■ 해모임 미분방정식의 학습은 적분의 학습과 유사하다. 어떤 교재에서는 해 �를 방정식

의 적분, 그리고 그 그래프를 적분곡선이라 하기도 한다. 미적분에서 역도함수나 부정적분

을 계산할 때 그 적분에 상수 c를 사용한다. 유사하게 1계 미분방정식 F(x, y, y�)�0를 풀

면, 보통임의의 상수 또는 매개변수 c를 포함하는 해를 얻는다. 임의의 상수 c를 포함하는

G(x, y, c)�0로 표현되는 해들의 집합을 1-매개변수 해의 모임(one-parameter family of

solutions)이라 한다. n계 미분방정식 F(x, y, y�, ..., y(n))�0을 풀면 n-매개변수 해의 모임

G(x, y, c1, ..., cn)�0를 얻는다. 매개변수의 선택에는 어떤 제한도 없으므로 한 개의 미분

방정식은 무한 개의 해를 가질 수 있다. 임의의 매개변수라는 제약이 없는, 즉 매개변수가

결정된 미분방정식의 해를 특수해(particular solution)라 한다. 예를 들면 1-매개변수 모임

y�cx�x cos x는 구간 (��, �)에서 1계 선형 미분방정식 xy��y�x2 sin x의 양함수 해이

다(검증해 보라). 소프트웨어를 사용하여 얻은 그림 1.3은 이 해 모임의 몇 개의 해의 그래

프를 보여 주고 있다. 그림에서 푸른색 곡선인 해 y��x cos x는 c�0에 대응하는 특수해

이다. 유사하게 (��, �)에서 y�c1e x�c2xe x는 예제 1 의 2 계 선형 미분방정식

y��2y��y�0의 2-매개변수 해의 모임이다(검증해 보라). 이 방정식의 특수해로는 자명한

해 y�0(c1�c2�0), y�xex(c1�0, c2�1), 그리고 y�5ex�2xex(c1�5, c2��2) 등이있다.

위에 제시된 예제들에서 x와 y는 각각 독립변수와 종속변수를 나타내는 데 사용되었

다. 그러나 이러한 변수들을 다른 기호를 사용하여 표현하는 것에도 익숙해져야 한다. 예를

들면 t를독립변수로, x를종속변수로사용할수도있다.

예제4 다른기호의사용

함수 x�c1 cos 4t와 x�c2 sin 4t는 모두 다음 선형 미분방정식의 해이다. 여기서 c1과 c2는

임의의상수또는매개변수이다.


5–5

(b) 양함수 해5

x

y

–5

5

–5

x

y5

(c) 양함수 해

y2 = –√

y1 = √25 – x2, –5 < x < 5

(a) 음함수 해

5

–5

x

y

–5

5

x2 + y2 = 25

25 – x2, –5 < x < 5

그림1.2 식 (8)의한개의음함수해와두개의양함수해

y

x

c = 0

c < 0

c > 0

그림1.3 xy��y�x2 sin x의해들

x�c1 cos 4t의 t에관한 1계및 2계도함수는각각 x��4c1 sin 4t와 x��16c1 cos 4t이

므로주어진미분방정식에 x�과 x�을대입하면

을얻는다. 또한 x�c2 sin 4t에대해서도 x��16c2 sin 4t이므로

을 얻는다. 더 나아가 이 두 해의 1차 결합으로 이루어진 2-매개변수 모임 x�c1 cos 4t�c2

sin 4t도미분방정식의해가됨을알수있다. ❏

다음 예제는 미분방정식의 해가 조각별로 정의된(piecewise-defined) 함수일 수 있음

을보여주고있다.

예제5 조각별로정의된해

1-매개변수 모임 y�cx4은 구간 (��, �)에서 미분방정식 xy��4y�0의 1-매개변수 해의

모임임을 알 수 있다. 그림 1.4(a)를 보라. 역에 따라 조각별로 다르게 정의된 미분 가능

한함수

는 방정식의 특수해이지만 y�cx4의 모든 역에서 c를 한 값으로 선택해서는 얻을 수 없

다. 그 함수는 x 0일 때는 c��1, x � 0일 때는 c�1을 선택함으로써 얻을 수 있는 해

이며이는그림 1.4(b)에나타나있다. ❏

■ 특이해 어떤 미분방정식은 그 미분방정식의 해 모임의 원소가 아닌 해를 가질 수도 있

다. 즉 해 모임에서 어떤 매개변수를 택해도 얻을 수 없는 해가 있을 수 있는데 이런 해를

특이해(singular solution)라 한다. 예를 들면 이미 본 바와 같이 y�x4/16과 y�0는 (��,

�)에서 dy/dx�xy1/2의 해이다. 2.2절에서는 미분방정식의 해법을 통하여 이 미분방정식의

1-매개변수 해의 모임이 y�( x2�c)2임을 보일 것이다. 여기서 c�0이면 특수해 y� x4

을 얻는다. 그러나 자명한 해 y�0는 해 모임 y�( x2�c)2의 원소가 아니다. 즉 이 해 모임

에서 c를어떻게택해도 y�0를표현할수없으므로이는특이해이다.

■ 연립 미분방정식 지금까지는 하나의 미지 함수를 포함하는 한 개의 미분방정식에 대해

알아보았다. 그러나 여러 응용분야 및 이론분야에서는 종종 연립 미분방정식을 다룰 필요

가 있다. 연립 미분방정식(system of differential equations)은 한 개의 독립변수로 표현된

두 개 이상의 미지의 함수들의 도함수들을 포함하는 두 개 이상의 방정식으로 구성된다. 예

를들어 t를독립변수, x와 y를종속변수라하면두개의미분방정식으로구성된연립미분

방정식은

14

116

14

1.1 정의와 용어 ■ 9

x

y

x

y

(a)

(b)

c = 1

c = –1

c = 1,x ≥ 0

c = –1,x < 0

그림1.4 xy��4y�0의해들

(9)

로 주어진다. 식 (9)와 같은 연립방정식의 해는 공통구간 I에서 정의되고 이 구간에서 식

(9)에서 주어진 각각의 미분방정식을 만족시키는 미분 가능한 함수의 쌍(pair) x��1(t),

y��2(t)이다. 연습문제 1.1의문제 33과 34를보라.


(i) 미분방정식의 음함수 해에 관해 다음 몇 가지 사항을 고려하자. 예제 3에서 방정식

x2�y2�25의 y를 x에관해풀어식 (8)의양함수해 �1(x)�'ƒ25�ßx2와 �2(x)��'ƒ25�ßx2

을 얻을 수 있었다. 그러나 이 예 하나로 너무 많은 것을 보려 하지는 말라. 음함수 해

G(x, y)�0를 양함수 해로 표현하는 것이 쉽거나, 명백하거나, 중요하거나, 또는 그렇게

하라고 하지 않는 한 x를 이용하여 y를 구체적으로 표현할 이유는 없다. 또한 정의 1.3

다음에 나오는 두 번째 문장을 잘못 해석하지 않기를 바란다. 음함수 해 G(x, y)�0가

완벽하게 미분방정식의 해인 �를 정의할 수는 있지만, G(x, y)�0는 대수와 같은 해석

적 방법으로 풀 수 없을 수도 있다. 해곡선 �는 G(x, y)�0 그래프의 일부분이거나 조각

일 수도 있다. 연습문제 1.1의 문제 41과 42를 보라. 또한 2.2절의 예제 4 다음에 나오

는설명을참조하라.

(ii) 이 절에서는 해의 개념이 강조되었지만 미분방정식이 반드시 해를 가질 필요는 없

다는 것에 주목하자. 연습문제 1.1의 문제 35를 보라. 해의 존재성에 관한 문제는 다음

절에서다룰것이다.

(iii) M(x, y)dx�N(x, y)dy�0의 형태로 쓰인 미분방정식에서는 어떤 기호가 종속변수

를 나타내는지 알 수 없기 때문에 선형인지 비선형인지 명백하지 않을 수 있다. 연습문

제 1.1의문제 9와 10을보라.

(iv) F(x, y, y�, ..., y(n))�0을 y(n)에 대해 풀 수 있다고 가정하는 것은 문제가 되지 않을

것처럼 보이지만 여기서 조금 조심해야 한다. 예외적인 경우가 있고 이 가정과 관련된

문제점들도있다. 연습문제 1.1의문제 48과 49를보라.

(v) 구간 I에서 n계 상미분방정식 F(x, y, y�, ..., y(n))�0의 모든 해를 n-매개변수 모임

G(x, y, c1, ..., cn)�0에서 매개변수 ci, i�1, 2, ..., n을 적절히 택하여 얻을 수 있다면 이

집합을 그 미분방정식의 일반해(general solution)라 한다. 선형 상미분방정식을 푸는 과

정에서는 방정식의 상수에 대해 비교적 단순한 조건이 주어질 것이며, 이런 조건으로 구

간에서해의존재성뿐만아니라해모임이모든가능한해를포함하고있음을확신할수

있을 것이다. 비선형방정식의 경우에는 몇 개의 1계 미분방정식을 제외하면 x의 정수

거듭제곱들의 유한 결합, 제곱근, 지수함수와 로그함수, 삼각함수와 역삼각함수 등의 기

본함수들로 보통 풀기 어렵거나 또는 풀 수 없을 수도 있다. 또한 비선형방정식의 해 모

임을 얻었더라도 이 집합이 모든 해를 포함하는지는 명백하지 않다. 그러므로 실제로

참고

1.1 정의와 용어 ■ 11

‘일반해’라는 용어는 선형 미분방정식에 국한되어 적용된다. 이 시점에서 이 개념을 더

이상 고려하지는 않겠으나 2.3절과 3장에서 다시 언급할 것이므로‘일반해’라는 용어

를기억하기바란다.

문제 1~8에서는 주어진 상미분방정식의 계수를 알아보고 식

(6)과비교하여방정식이선형인지비선형인지를알아보라.

1. (1�x)y��4xy��5y�cos x

2.

3. t5y(4)�t3y��6y�0

4.

5.

6.

7. (sin θ)y��(cos θ)y��2

8.

문제 9와 10에서는 주어진 1계 미분방정식이 (7)에 주어진 1

계 미분방정식과 비교하여 오른쪽에 주어진 종속변수에 대해

선형인지아닌지를알아보라.

9. (y2�1)dx�x dy�0; x에대해; y에대해

10. udv�(v�uv�ueu) du�0; v에대해; u에대해

문제 11~14에서는 오른쪽에 주어진 함수가 주어진 미분방정

식의 양함수 해임을 검증하라. 각 해에 대해 적절한 정의구간 I

를가정하라.

11. 2y��y�0; y�e–x/2

12.

13. y��6y��13y�0; y�e3x cos 2x

14. y��y�tan x; y��(cos x) ln(sec x�tan x)

문제 15~18에서는 오른쪽에 주어진 함수 y��(x)가 주어진 1

계 미분방정식의 양함수 해임을 검증하라. 예제 2와 같이함수

로서의 �의 정의역 및 미분방정식의 해로서의 적어도 하나의

정의구간 I를각각결정하라.

15. (y�x)y��y�x�8; y�x�4'ƒx�2

16. y��25�y2; y�5 tan 5x

17. y��2xy2; y�1/(4�x2)

18. 2y��y3 cos x; y�(1�sin x)�1/2

문제 19와 20에서는 오른쪽에 주어진 식이 주어진 1계 미분

방정식의 음함수 해임을 검증하라. 각각의 경우에 대해 적어도

하나의 양함수 해 y��(x)를 찾으라. 소프트웨어를 이용하여

한 개의 양함수 해의 그래프를 그려 보라. 각 해 �의 정의구간

I를결정하라.

19.

20. 2xy dx�(x2�y) dy�0; �2x2y�y2�1

문제 21~24에서는 오른쪽에 주어진 함수 모임이 주어진 미분

방정식의 해임을 검증하라. 각 해에 대해 적절한 정의구간 I를

가정하라.

21.

22.

23.

24.

25. 역에따라다르게정의된함수

가 구간 (��, �)에서 미분방정식 xy��2y�0의 해가

연습문제1.1


됨을검증하라.

26. 예제 3에서 y��1(x)�'ƒ25�ßx2과 y��2(x)��'ƒ25�ßx2

이 구간 (�5, 5)에서 dy/dx��x/y의 해가 됨을 알았다.

역에따라다르게정의된함수

가 구간 (�5, 5)에서 그 미분방정식의 해가 될 수 없음

을설명하라.

27. 함수 y�emx가 다음과 같이 주어진 미분방정식의 해가

되기위한 m을찾고그이유를설명하라.

(a) xy��2y��0

(b) x2y��7xy��15y�0

28. 함수 y�xm이 다음과 같이 주어진 미분방정식의 해가

되기위한 m을찾고그이유를설명하라.

(a) xy��2y��0

(b) x2y��7xy��15y�0

문제 29~32에서는 모든 x, 즉 �� x �에 대하여 c가 상

수함수일 필요충분조건이 y��0이라는 사실을 이용하여 주어

진미분방정식이상수해를갖는지의여부를결정하라.

29. 3xy��5y�10

30. y��y2�2y�3

31. (y�1)y��1

32. y��4y��6y�10

문제 33과 34에서는 아래에 주어진 함수쌍이 구간 (��, �)에

서주어진연립미분방정식의해임을검증하라.

33.

34.

토의문제

35. 어떤해도갖지않는미분방정식을찾아보라.

36. 자명한 해 y�0만을 가질 것 같은 미분방정식을 찾아보

고그이유를설명하라.

37. 미적분학으로부터 1계도함수가그함수자신과같은함

수를 알고 있는가? 1계 도함수가 원래 함수의 k 상수배

인 경우는? 각각을 1계 미분방정식의 형태와 그 해로 답

하라.

38. 미적분학으로부터 2계도함수가그함수자신과같은함

수(함수들)를 알고 있는가? 2계 도함수가 원래 함수의

부호와 반대 부호를 갖는 경우는? 각각을 2계 미분방정

식의형태와그해로답하라.

39. y�sin x는 1계 미분방정식 dy/dx�'ƒ1�ßy2의 양함수 해

라고 한다. 정의구간 I를 구하라.[힌트: I는 구간 ��

x �는아니다.]

40. 선형 미분방정식 y��2y��4y�5sint이 y�Asint�B

cost(A, B는 상수) 형태의 해를 갖는다고 가정하는 것이

직관적이라고 할 수 있는지에 대해 논하라. y�Asint�

Bcost가 미분방정식의 특수해가 되기 위한 상수 A와 B

를구체적으로구하라.

문제 41과 42에 주어진 각각의 그래프는 미분방정식 dy/dx�

f(x, y)의 음함수 해 G(x, y)�0의 그래프이다. 각 경우에서

G(x, y)�0는 주어진 미분방정식의 여러 해를 내재적으로 정의

한다. 각 그림을 종이에 그대로 그리고 색연필을 이용하여 각

그래프에서 해 그래프에 대응하는 일부분 또는 조각들을 표시

하라. 해 �는함수이고미분가능해야함을명심하라. 해곡선을

이용하여각해 �의정의구간 I를추정하라.

41.

x

y

1

1

그림1.5 문제 41의그래프

1.1 정의와 용어 ■ 13

42.

43. 1-매개변수 모임 x3�y3�3cxy에 속한 그래프들은 데카

르트의 엽선(folia of Descartes)이라 불린다. 이 모임이

1계미분방정식

의음함수해임을검증하라.

44. 그림 1.6의 그래프는 문제 43의 엽선 모임에서 c�1일

때의그래프이다. 다음에대해서논의하라: 문제 43의미

분방정식은 x3�y3�3xy의 그래프에서 접선이 수직선인

점을 찾는 데 어떤 도움을 줄 수 있는가? 접선이 수직선

인 점을 아는 것이 그 미분방정식의 해 �의 정의구간 I

를 결정하는 데 어떤 도움을 주는가? 자신의 생각을 피

력하고문제 42에서측정한구간과비교해보라.

45. 예제 3에서 양함수 해 y��1(x)와 y��2(x)가 정의되는

가장 큰 구간 I는 개구간 (�5, 5)이다. 정의구간 I가 폐

구간 [�5, 5]가될수없는이유를설명하라.

46. 문제 21에 미분방정식 P��P(1�P)의 1-매개변수 해의

모임이 주어져 있다. 점 (0, 3)을 지나는 해곡선은 있는

가? 점 (0, 1)을지나는해곡선은있는가?

47. dy/dx�f (x)와 d 2y/dx2�f (x) 형태의 미분방정식을 어떻

게풀수있는지에대해논의하고예를들어설명하라.

48. x(y�)2�4y��12x3�0은 식 (4) 형태의 미분방정식이다.

이 방정식을 정규형 dy/dx�f (x, y)으로 표현할 수 있겠

는가?

49. n계 미분방정식의 식 (4)와 식 (5)가 정확하게 같은 해

를 가지면 정규형 (5)는 식 (4)와 동치(equivalent)라고

한다. F(x, y, y�)�0이 정규형 dy/dx�f (x, y)와 동치가

아닌 1계미분방정식을찾아보라.

50. y�c1x�c2x2을 2-매개변수 해의 모임으로 갖는 2계 선

형 미분방정식 F(x, y, y�, y�)�0을 구하라. 구한 방정식

이임의의매개변수 c1과 c2에무관함을확인하라.

미분방정식의 해 y��(x)에 관한 정성적인 정보는 간혹 방정식

자체로부터 얻을 수도 있다. 문제 51~54를 풀기 전에 도함수

들 dy/dx와 d2y/dx2의기하학적의미를기억하자.

51. 미분방정식 dy/dx�e�x2에관해다음에답하라.

(a) 이 미분방정식의 해는 x축의 어떤 구간에서도 증가

함수임을설명하라.

(b) dy/dx와 dy/dx는 무엇인가? 이 극한으

로 미루어 보아 x → ��일 때 해곡선에 대해 무엇

을말할수있는가?

(c) 해곡선이볼록한구간과오목한구간을구하라.

(d) 이 방정식에 대해 (a)~(c)에 제시된 모양으로 해

y� �(x)의그래프의개형을그리라.

52. 미분방정식 dy/dx�5�y에관해다음에답하라.

(a) 추측또는문제29~32에제시된방법을이용하여이

미분방정식의상수해를구하라.

(b) 이미분방정식만을이용하여상수가아닌해 y��(x)

가 증가하는 y축 상의 구간을 구하라. y��(x)가 감

소하는 y축상의구간을구하라.

53. 미분방정식 dy/dx�y(a-by)에 관해 다음에 답하라. 여기

서 a와 b는 0보다큰상수이다.

(a) 추측 또는 문제 29~32에 제시된 방법을 이용하여

이미분방정식의두개의상수해를구하라.

(b) 이미분방정식만을이용하여상수가아닌해 y��(x)

가 증가하는 y축 상의 구간을 구하라. y��(x)가 감

소하는 y축상의구간을구하라.

(c) 이미분방정식만을이용하여상수가아닌해 y��(x)

의 그래프에서의 변곡점의 y 좌표가 y�a/2b임을 설

명하라.

(d) 같은 좌표축에 (a)에서 구한 두 개의 상수해를 그리

라. 이 상수해들은 xy 좌표계를 세 역으로 나눈다.

(b)와 (c)에 제시된 모양을 갖는 상수가 아닌 해

y��(x)의그래프의개형을각 역에그리라.

54. 미분방정식 y��y2�4에관해다음에답하라.

(a) 이미분방정식이상수해를갖지않는이유를설명하라.

(b) 해 y��(x)의 그래프를 도시하라. 해곡선은 상대극

점을가질수있는가?

(c) 해곡선의변곡점의 y 좌표가 y�0인이유를설명하라.

limx $�

limx $��

1

1x

y


1.2 초기값문제

■ 소개 미분방정식의 해를 구하는 문제에서는 종종 주어진 조건을 만족시키는 해를 찾아

야 하는 경우가 있다. 여기서의 조건은 미지의 함수 y(x)나 또는 그 함수의 도함수들에 관

한것이다. 이절에서는초기값문제라불리는그런문제들에관해다룬다.

■ 초기값문제 x0를포함하는어떤구간 I에서

조건: 하에서

을 푸는 문제를 초기값 문제(IVP: initial-value problem)라 한다. 여기서 y0, y1, ..., yn�1은

임의의 상수이며 y(x)와 처음 n�1개 도함수들의 x0에서의 값, 즉 y(x0)�y0, y�(x0)�y1, ...,

y(n�1)(x0)�yn�1을초기조건(initial condition)이라한다.

■ 1계와 2계 초기값 문제들 식 (1)에서의 문제는 n계 초기값 문제(nth-order initial-

value problem)라고도불린다. 예를들면

조건: 에서

(2)

를푸는것과

조건: 에서

(3)

을푸는것은 각각 1계와 2계 초기값 문제이다. 이 두 문제는 기하적 용어로 해석하는 것이

용이하다. 식 (2)는 x0를 포함하는 구간 I에서 점 (x0, y0)를 지나는 미분방정식의 해를 구하

는 것이다. 그림 1.7을 보라. 식 (3)은 해의 그래프가 점 (x0, y0)를 지날 뿐 아니라 이 점에

서의 접선의 기울기가 y1이 되는 미분방정식의 해를 구하는 것이다. 그림 1.8을 보라. 초기

조건이라는 용어는 독립변수가 시간 t이고 y(t0)�y0와 y�(t0)�y1이 각각 초기시간 t0에서의

어떤물체의위치와속도를나타내는물리적계(system)에서도출되었다.


(d) 이 미분방정식에 대해 (a)~(c)에 제시된 모양을 갖

는해 y��(x)의그래프의개형을그리라.

컴퓨터실습과제

문제 55와 56에서는 CAS를이용하여모든도함수들을계산하

고주어진함수가주어진미분방정식의특수해임을검증하라.

55. y(4)�20y��158y��580y��841y�0;

y�xe5x cos 2x

56. x3y��2x2y��20xy��78y�0;

y미분방정식의 해

Ix

m = y1

(x0 , y0)

그림1.8 2계초기값문제

y

x

미분방정식의 해

I

(x0 , y0)

그림1.7 1계초기값문제

n계 초기값 문제를 푸는 것은 주어진 미분방정식의 n-매개변수 해의 모임을 이용하여

n개의초기조건을만족시키는 n개의특수한상수를찾아방정식의특수해를구하는것이다.

예제1 1계초기값문제

y�cex는 구간 (��, �)에서 간단한 1계 미분방정식 y��y의 1-매개변수 해의 모임이라는

것을 쉽게 검증할 수 있다. 여기에 y(0)�3과 같은 초기조건을 주면 해 모임에 x�0, y�3

을 대입함으로써 상수 3�ce0�c를 구할 수 있다. 그러므로 함수 y�3ex는 다음과 같은 초

기값문제의해이다.

(0, 3)이 아닌 (1, �2)를 지나는 미분방정식의 해를 구하면 y(1)��2에 의해 �2�ce 또는

c��2e�1을얻는다. 그러므로함수 y��2ex�1은다음과같은초기값문제의해이다.

이두함수의그래프들은그림 1.9에푸른색선으로나타나있다. ❏

다음 예제는 또 다른 1계 초기값 문제를 보여 준다. 이 예제의 해 y(x)의 정의구간 I가

초기조건 y(x0)�y0에어떻게의존하는지를주목하라.

예제2 해의정의구간 I

연습문제 2.2의 문제 6은 1-매개변수 모임 y�1/(x2�c)이 1계 미분방정식 y��2xy2�0의

해 모임임을 증명하는 것이다. 여기에 초기조건 y(0)��1이 주어졌다고 하면 x�0와

y��1을 해 모임에 대입하여 �1�1/c 또는 c��1을 얻을 수 있다. 그러므로 특수해는

y�1/(x2�1)이다. 여기에서다음과같은 3가지차이점을강조할필요가있다.

• y�1/(x2�1)을 함수로 보는 경우, 정의역은 y(x)가 정의되는 실수집합, 즉 x��1과 x�1

을제외한모든실수이다. 그림 1.10(a)를보라.

• y�1/(x2�1)을 미분방정식 y��2xy2�0의 해로 보는 경우, y�1/(x2�1)의 정의구간 I는

y(x)가 정의되고 미분 가능한 어떤 구간도 될 수 있다. 그림 1.10(a)에 나타난 바와 같이

y�1/(x2�1)가 해가 되는 가장 큰 구간들은 �� x �1, �1 x 1, 그리고 1

x �이다.

• y�1/(x2�1)을초기값문제 y��2xy2�0, y(0)��1의해로보는경우, y(x)가정의되고미

분가능하며초기점 x�0를포함하는어떤구간도 y�1/(x2�1)의정의구간 I가될수있

다. 이를만족시키는가장큰구간은 �1 x 1이다. 그림 1.10(b)를보라. ❏

• 연습문제 1.2의문제 3~6에서는예제 2의문제를연속적으로다루고있다.

예제3 2계초기값문제

1.1절의 예제 4에서 x�c1 cos 4t�c2 sin 4t가 x��16x�0의 2-매개변수 해의 모임임을 알

았다. 다음초기값문제의해를구하라.

1.2 초기값 문제 ■ 15

x

y(0, 3)

(1, –2)

그림1.9 초기값문제의해들

y

x–1 1

y

x–1 1

(a) x = ±1을 제외한 모든 점에서 정의된 함수

(b) x = 0를 포함하는 구간에서 정의된 해

(0, –1)

그림 1.10 예제 2의 함수와 초기값 문제의해의그래프들

(4)

풀이 해 모임에 x(�/2)��2를 대입하면 c1 cos 2��c2 sin 2��2를 얻는데 cos 2��1

이고 sin 2��0이므로 c1��2가 된다. 이제 x�(�/2)�1를 x(t)��2 cos 4t�c2 sin 4t에 적

용하자. x(t)를 미분한 후 t��/2를 대입하면 8 sin 2��4c2 cos 2��1을 얻고 이로부터

c2�1/4를얻는다. 그러므로

가 (4)의해가된다. ❏

■ 존재성과유일성 초기값 문제를 고려함에 있어 다음과 같은 두 가지의 기본적인 문제에

직면하게된다.

그문제의해는존재하는가? 해가존재한다면그해는유일한가?

(2)와같은초기값문제에대해다음과같은의문이생긴다.

존재성 e미분방정식 dy/dx�f(x, y)의해는존재하는가?

점 (x0, y0)를지나는해곡선은존재하는가?

유일성 {언제점 (x0, y0)를지나는해곡선이유일하게존재하는가?

예제 1과 3에서‘그 해(the solution)’보다는‘어떤 해(a solution)’를 사용하 음에 주목하

자. 부정관사‘어떤(a)’은다른해가존재할수 있다는가능성을강조하기위해사용하 다.

지금까지 살펴 본 각각의 문제에서 단 하나의 해가 있다고 하지는 않았다. 다음 예제는 두

개의해를갖는초기값문제를다루고있다.

예제4 초기값문제는여러해를가질수있다

함수 y�0와 y�x4/16은 미분방정식 dy/dx�xy1/2과 초기조건 y(0)�0를 만족시킨다. 즉

초기값 문제 dy/dx�xy1/2, y(0)�0는 적어도 두 개의 해를 갖는다. 그림 1.11에 나타난 바

와같이두함수의그래프모두점 (0, 0)을지난다. ❏

미분방정식의 정규 교과과정 수준에서의 대부분의 미분방정식들은 해들을 가질 것이

며 초기값 문제는 아마도 유일한 해를 가질 것이라 확신할 수 있다. 그러나 실생활에서 나

타나는 문제는 그렇게 이상적이지 못하다. 그러므로 초기값 문제를 풀기 전에 해의 존재 여

부와 존재하는 경우 유일한지를 알아보는 것이 바람직하다. 다음 두 장에서 1계 미분방정

식을 다룰 것이기 때문에 이 장에서는 식 (2)에 주어진 1계 초기값 문제에서의 해의 존재

성과 유일성을 보장하는 충분조건을 정리로 알아본다. 이 정리의 증명은 이 교과과정의 수

준을 넘어서므로 증명은 하지 않기로 한다. 2계 초기값 문제에서의 해의 존재성과 유일성

에대해서는 3장에서다룬다.


y

x(0, 0)

1

y = x4/16

y = 0

그림1.11 한초기값문제의두해

f(x, y)와 f/ y의 연속성은 쉽게 확인되므로 이 정리는 1계 미분방정식의 해의 존재성

과유일성정리로가장많이쓰인다. 정리 1.1의기하적의미는그림 1.12에나타나있다.

예제5 예제 3 다시보기

예제 3에서 미분방정식 dy/dx�xy1/2은 점 (0, 0)를 지나는 해를 적어도 2개는 가짐을 알았

다. 여기서함수

는 y � 0로 정의되는 상반평면(upper-half plane)에서 연속임을 알 수 있다. 그러므로 정리

1.1에 의해 상반평면에 있는 임의의 점 (x0, y0), y0 � 0에 대해 주어진 미분방정식이 유일

한 해를 갖는 x0를 중심으로 하는 어떤 구간이 존재함을 알 수 있다. 그러므로 초기값 문제

dy/dx�xy1/2, y(2)�1가 유일한 해를 갖도록 하는 2를 중심으로 하는 어떤 구간이 존재한

다는것을이문제를풀지않고도알수있다. ❏

예제 1에서 정리 1.1은 초기값 문제 y��y, y(0)�3과 y��y, y(1)��2가 각각 y�3ex

과 y��2ex�1 외의 다른해는없다는 것을보장한다. 이는 f(x, y)�y와 f/ y�1이 xy 평면

전체에서 연속이라는 사실로부터 알 수 있다. 또한 각 해가 정의되는 구간은 (��, �)라는

것도알수있다.

■ 존재 및 유일 구간 y(x)가 초기값 문제 (2)의 해라 하자. x축 상의 3개의 집합, 즉 함수

y(x)의 정의역, 해 y(x)가 정의되거나 존재하는 구간 I, 그리고 해가 유일하게 존재하는 구

간 I0는 같지 않을 수 있다. 우리는 이미 1.1절의 예제 2에서 함수의 정의역과 정의구간 I

의 차이점을 알아보았다. 이제 (x0, y0)가 정리 1.1의 직사각형 역 R의 내점이라고 하자.

R 상에서 함수 f(x, y)의 연속성은 그 자체로, 어떤 구간 I에서 정의되고 dy/dx�f(x, y),

y(x0)�y0을 만족시키는 해가 적어도 하나 존재한다는 것을 보장하기에 충분하다. 이런 초

기값문제의정의구간 I는보통해 y(x)가정의되고미분가능한, x0를포함하는가장큰 구

간이선택되며, f(x, y)와초기조건 y(x0)�y0에의해결정된다. 연습문제 1.2의문제 31~34

를 보라. 편미분 f/ y이 R에서 연속이라는 추가조건은 x0를 포함하는 어떤 구간 I0에서

해가 존재한다는 것뿐만 아니라 그 해가 y(x0)�y0를 만족시키는 유일한 해라는 것을 보장

해 준다. 그러나 정리 1.1은 구간 I와 I0의 크기에 대해서는 어떤 정보도 주지 않는다. 정의

구간 I는 역 R만큼넓을필요가없으며해가유일하게존재하는구간 I0는 I만큼크지않을수

1.2 초기값 문제 ■ 17

유일한해의존재

xy 평면에서 점 (x0, y0)을 내부에 포함하는 직사각형 역 a � x � b, c � y � d을

R이라 하자. f(x, y)와 f/ y가 R 상에서 연속이면 a � x � b에 포함된 어떤 구간

I0: x0�h x x0�h, h � 0에서 정의되며 초기값 문제 (2)의 해가 되는 유일한 함수

y(x)가존재한다.

정리 1.1

x

y

d

c

a b

R

(x0, y0)

I0

그림1.12 직사각형 역 R

도있다.구간 I0: x0�h x x0�h를 정의하는 h � 0는 아주 작을 수도 있으므로 해 y(x)

는국소적인의미, 즉점 (x0, y0)의근방에서정의된해라는의미에서유일하다고 생각하는 것이

좋다. 연습문제 1.2의문제 44를보라.


(i) 정리 1.1의 조건들은 충분조건이지 필요조건은 아니다. f(x, y)와 f/ y가 직사각형

역 R에서 연속이고 (x0, y0)가 내점이기만 하면 (2)의 해는 항상 유일하게 존재한다.

그러나 정리 1.1의 조건들이 성립하지 않으면 여러 경우가 가능하다. 즉 문제 (2)는 여

전히 해를가질수있고그해는유일할수있거나, 여러해를가질수있거나, 또는해가전혀

존재하지않을수도있다. 예제 4를 다시 보면 미분방정식 dy/dx�xy1/2은 직선 y�0 상에

서 정리 1.1의 가정이 성립하지 않으므로, 이 절의 예제 3에서 본 바와 같이 공통구간

�h x h에서 정의되고 y(0)�0을 만족시키는 해가 2개 존재한다는 것은 놀라운 일

이 아니다. 반면에, 미분방정식 dy/dx�|y�1|은 직선 y�1 상에서 정리 1.1의 가정이 성

립하지 않음에도 불구하고 초기값 문제 dy/dx�|y�1|, y(0)�1의 해는 유일하게 존재하

는것을볼수있다. 이해를추측해보라.

(ii) 연습문제 1.2의문제 43을읽고, 생각해보고, 풀어보고, 기억하기를바란다.

참고

문제 1과 2에서 y�1/(1�c1e�x)는 1계 미분방정식 y��y�y2

의 1-매개변수해의 모임이다. 이 해 모임에서 다음초기조건을

만족시키는해를구하라.

1. y(0)�� 2. y(�1)�2

문제 3~6에서 y�1/(x2�c)는 1계 미분방정식 y��2xy2�0의

1-매개변수해의 모임이다. 이 해 모임에서다음 초기조건을 만

족시키는해및그해가정의되는가장큰구간 I를구하라.

3. y(2)� 4. y(�2)�

5. y(0)�1 6. ya b��4

문제 7~10에서 x�c1cost�c2sint는 2계 미분방정식 x��x�0

의 2-매개변수해의 모임이다. 이 해 모임에서 다음초기조건을


7. x(0)��1, x�(0)��8

8. x(�/0)�0, x�(�/2)�1

9. x(�/6)� , x�(�/6)�0

10. x(�/4)�'2, x�(�/4)�2'2

문제 11~14에서 y�c1ex�c2e

�x는 2계 미분방정식 y��y�0

의 2-매개변수해의 모임이다. 이 해 모임에서다음 초기조건을


11. y(0)�1, y�(0)�2

12. y(1)�0, y�(1)�e

13. y(�1)�5, y�(�1)��5

14. y(0)�0, y�(0)�0

문제 15와 16에서는 해의 형태를 추측하여 주어진 1계 초기

값문제의해를 2개이상구하라.

15. y��3y2/3, y(0)�0

16. xy��2y, y(0)�0

12

12

12

13

13

연습문제1.2

1.2 초기값 문제 ■ 19

문제 17~24에서는 주어진 미분방정식이 그 역 내에 있는

점 (x0, y0)을 지나는 유일한 해를 갖기 위한 xy 평면에서의

역을결정하라.

17. 18.

19. 20.

21. (4�y2)y��x2 22. (1�y3)y��x2

23. (x2�y2)y��y2 24. (y�x)y��y�x

문제 25~28에서는 미분방정식 y��'ƒy2�9가 주어진 점을 지

나는 유일한 해를 갖는 것이 정리 1.1에 의해 보장되는지의 여

부를결정하라.

25. (1, 4) 26. (5, 3)

27. (2, �3) 28. (�1, 1)

29. (a) 해의형태를추측하여미분방정식 xy�� y의 1-매개변

수 해의 모임을 구하라. 이 해 모임의 각 원소가 초기

값문제 xy��y, y(0)�0의해가됨을확인해보라.

(b) 미분방정식 xy��y이 역 R의 내점 (x0, y0)을 지나

는 유일한 해를 갖기 위한 xy 평면에서의 역 R을

결정하고이를이용하여 (a)를설명하라.

(c) 역에따라다르게정의된함수

가 조건 y(0)�0을 만족시키는지 확인하라. 이 함수가

(a)에주어진초기값문제의해가되는지도알아보라.

30. (a) y� tan (x�c)가 미분방정식 y��1�y2의 1-매개변

수해의모임임을검증하라.

(b) f(x, y)�1�y2과 f/ y�2y는 xy 평면의 모든 점에서

연속이므로 정리 1.1의 역 R은 xy 평면 전체가 될

수 있다. (a)에서의 해 모임을 이용하여 초기값 문제

y��1�y2, y(0)�0의 양함수 해를 구하라. x0�0이

구간 �2 x 2 내에 있음에도 불구하고 이 해가

이구간에서정의되지못하는이유를설명하라.

(c) (b)의 초기값 문제의 해에 대해 가장 큰 정의구간 I

를결정하라.

31. (a) y��1/(x�c)가 미분방정식 y��y2의 1-매개변수 해

의모임임을검증하라.

(b) f(x, y)�y2과 f/ y�2y는 xy 평면의 모든 점에서 연

속이므로 정리 1.1의 역 R은 xy 평면 전체가 될

수 있다. (a)의 해 모임에서 y(0)�1과 y(0)��1을

만족시키는 각각의 해를 찾으라. 각 초기값 문제의

각해에대한가장큰정의구간을결정하라.

32. (a) 문제 31의 해 모임에서 y��y2, y(x0)�y0, y0 � 0를

만족시키는해를찾으라. 이해의가장큰정의구간 I

가 �� x 1/y0 또는 1/y0 x �인 이유를 설

명하라.

(b) 1계 초기값 문제 y��y2, y(0)�0의 해의 가장 큰 정

의구간 I를결정하라.

33. (a) 3x2�y2�c가 미분방정식 ydy/dx�3x의 1-매개변수

해의모임임을검증하라.

(b) 음함수 해 3x2�y2�3의 그래프의 개형을 그려 보라.

(a)에 주어진 미분방정식의 해 중 3x2�y2�3의 관

계를 만족시키는 양함수 해를 모두 구하라. 각 양함

수해의정의구간 I를결정하라.

(c) (�2, 3)은 3x2�y2�3 위의 점이다. (b)에서 구한 양

함수해중어떤것이 y(�2)�3을만족시키는지를알

아보라.

34. (a) 문제 33의 (a)에 나타난 해 모임을 이용하여 초기값

문제 ydy/dx�3x, y(2)��4의 음함수 해를 구하라.

이 문제의 양함수 해의 그래프를 그려 보고 정의구

간 I를구하라.

(b) ydy/dx�3x의 양함수 해 중에 원점을 지나는 해가

있는지살펴보라.

문제 35~38에서는 2계 미분방정식 d2y/dx2�f(x, y, y�)의 해

모임의 한 원소의 그래프가 주어져 있다. 다음 초기조건들 중

어느 조건이 주어진 그래프에 대응하는 조건인지 맞는 조건을

한개이상찾으라.

(a) y(1)�1, y�(1)��2

(b) y(�1)�0, y�(�1)��4

(c) y(1)�1, y�(1)�2

(d) y(0)��1, y�(0)�2

(e) y(0)��1, y�(0)�0

(f) y(0)��4, y�(0)��2


35.

36.

37.

38.

토의문제

문제 39와 40에서는 연습문제 1.1의 문제 47과 이 절의 식

(2)와식 (3)을이용하라.

39. 그래프 위의 각 점 (x, y)에서의 기울기가 8e2x�6x이고

(0, 9)를지나는함수 y�f(x)를구하라.

40. 그래프 위의 각 점 (x, y)에서의 2계 도함수 y�이 y��

12x�2로주어져있고 x�1에서의접선의방정식이 y�

�x�5인함수 y�f(x)를구하라.

41. 초기값문제 y��x�2y, y(0)� 에대해그림 1.17에나

타난 두 개의 곡선 중 어느 곡선이 해곡선인지를 결정

하고그이유를설명하라.

42. 초기값 문제 y��2y�3x�6, y(x0)�0의 해의 그래프가

(x0, 0)에서 x축에 접하게 되는 점 x0를 추측하고 그 이

유를설명하라.

43. 1계 미분방정식 dy/dx�f(x, y)는 1-매개변수 해의 모임

을 가지며 f(x, y)는 xy 평면의 어떤 직사각형 역 R에

서 정리 1.1의 가정을 만족시킨다고 하자. 두 개의 다른

해곡선이 R의 내점 (x0, y0)에서 만나거나 접할 수 없는

이유를설명하라.

44. 두개의다른함수

과

는같은정의역을갖고있다. 그림 1.18의 (a)와 (b)를보

라. 이두함수가구간 (��, �)에서초기값문제 dy/dx�

xy1/2, y(2)�1의 해임을 보이라. 이 사실과 예제 5의 마

지막문장의명백한모순에대해설명하라.

12

x

y

5

5

–5


x

y

5

5

–5


x

y

5

5

–5


x

y

5

5

–5


x

y

1

1

(0, 1/2)


y

x

(2, 1)1

(a)

y

x

(2, 1)1

(b)

그림1.18 문제 44의초기값문제의두해

1.3 수학적모형으로서의미분방정식

■ 소개 이 절에서는수학적모형에 대해 소개한다. 대략적으로 말해 수학적 모형은 어떤 현

상의 수학적 표현이다. 이 표현은 함수처럼 단순할 수 있다. 예를 들면 떨어지는 물과 그로

인해 생기는 종이의 얼룩을 연구하여 Leonardo da Vinci는 떨어지는 물체의 속도가 v�gt

라는 것을 알아 냈다. 많은 종류의 수학적 모형이 있겠지만 이 절에서는 미분방정식으로 표

현되는 수학적 모형에만 초점을 맞춰 생물학, 물리학, 그리고 화학에서 나타나는 몇 개의

특정한 형태를 갖는 미분방정식의 모형에 대해 논의하고자 한다. 2장과 3장에서 미분방정

식의해법을공부한후에이장에서제시한몇개의모형을풀것이다.

■ 수학적모형들 물리적, 사회적, 심지어 경제적인 현상등에서 나타나는 실생활에서의계

나 현상을 수학적 용어로 묘사하는 것은 종종 바람직하다. 어떤 계나 현상의 수학적 묘사는

수학적 모형(mathematical model)이라 불리며 특정한 목적을 위해 만들어진다. 예를 들면

어떤 생태계에서 일어나는 현상을 이해하기 위해 그 생태계에 속한 동물 수의 증가에 대해

연구하거나 또는 화석이나 화석이 발견된 지층의 방사성 물질의 붕괴량을 분석하여 그 화

석의연대를추정할수도있다.

어떤 계의 수학적 모형을 만드는 것은 그 계를 변화시키는변수를인식함으로써 시작된

다. 계를 변화시키는 모든 변수들을 한 번에 모형에 포함시키지 않을 수도 있다. 수학적 모

형을 만드는 첫 단계로 우선 모형의 결정수준(level of resolution)을 구체화한 후 묘사하고

자 하는 계에 관해 타당한가정이나 가설을 세운다. 이런 가정에는 계에 적용할 수 있는 경

험에서나온규칙들도포함될것이다.

경우에 따라서는 결정수준이 낮은 모형에 만족하는 것이 타당할 수도 있다. 예를 들면

초급 물리학 과정에서 지구 표면 가까이에서 떨어지는 물체의 운동을 모형화할 때 공기마

찰의 저항력은 때때로 고려되지 않는다는 것을 이미 알고 있을 것이다. 그러나 장거리 발사

에서 항로를 정확하게 예견해야 하는 과학자라면 공기저항이나 지구의 곡률과 같은 요인

들은반드시고려해야만한다.

한계에대해만들어진가정은한개이상의변수의변화율을자주포함하기때문에, 이

러한 모든 가정의 수학적 묘사는 도함수들을 포함하는 한 개 이상의 방정식이 될 수도 있

다. 즉수학적모형은한개의미분방정식이거나연립미분방정식이될수도있다.

그것이 한 개의 미분방정식이든또는 여러 개의방정식으로 구성된 연립 미분방정식이

1.3 수학적 모형으로서의 미분방정식 ■ 21

수학적모형

45. 인구증가 다음 절에서는 미분방정식이 여러 가지 다른

종류의 물리적 계를 묘사하거나 모형화하는 데 사용됨

을 볼 것이다. 이 문제에서는 어떤 작은 집단에서의 인

구증가모형을다음과같은초기값문제로고려한다.

여기서 P는 그 사회의 인구수이고 시간 t의 단위는 연

(year)이다. t�0에서의 인구증가율을 구하라. 인구가

500명일때의인구증가율을구하라.

든 일단 수학적 모형을 구체화하면 그것을 풀어야 하는 중요한 문제에 직면하게 된다. 만일

그 방정식을 풀 수 있고 풀어서 얻은 해가 실험 데이터나 그 계의 움직임에 대해 알려진 사

실과 일치하면 그 모형은 타당하다고 할 것이다. 그러나 해에 의해 만들어진 결과가 이미

알려진 사실과 일치하지 않으면 그 모형의 결과수준을 높이거나 그 계의 변화가 일어나는

과정에 대해 가정을 바꿀 수 있다. 이러한 모형화 과정의 단계는 다음 도식에 나타난 바와

같이원하는결과를얻을때까지반복된다.

물론 결과물의 정확도를 증가시키면 수학적 모형의 복잡도는 증가하며 따라서 양함수 해

를얻을수없을가능성도증가한다.

물리적 계의 수학적 모형은 종종 시간변수 t를 포함하며 이러한 모형의 해는 계의 상

태(state of the system)를나타낸다. 즉적절한값 t에대해종속변수(들)의값은그계의과

거, 현재, 그리고미래를나타낸다.

■ 인구역학 수학을 이용한 인구증가(population growth) 모형화는 1798년 국의 경제학

자 Thomas Malthus가 최초로 시도하 다. 기본적으로 Malthusian 모형의 개념은 어떤 특

정한 시간에 그 나라의 인구증가율은 그 시간의 전체 인구에 비례할 것이라는 가정이다.*

다시 말하면, 시간 t에 더 많은 사람이 있을수록 미래에 더 많은 사람이 있을 것이라는 뜻

이다. 수학적 용어로 P(t)를 시간 t에서의 전체 인구수라 하면, 이 가정은 다음과 같이 표현

될수있다.

(1)

여기서 k는 비례상수이다. 인구수의 증가나 감소에 향을 주는 이민자수와 같은 여러 요

인을 고려하지 않은 이 간단한 모형은 1790년에서 1860년까지의 미국 인구의 예측에서

적절하다는 것이 판명되었다. 식 (1)에 묘사된 비율로 증가하는 인구는 드물지만 그럼에도

불구하고 식 (1)은 페트리 접시에서 자라는 박테리아의 증가 모형 같은 단기간의적은개체

수의증가모형을표현하는데여전히사용되고있다.

또는dP

dt� kP

dP

dtr P

가정을 미분방정식으로 표현한다.

필요하면 가정을변경하거나 모형의결정수준을 높인다. 미분방정식을 푼다.

그래프 등으로 모형의 예측을표현한다.

해를 얻는다.모형의 예측을

기존의 사실과비교한다.

수학적 모형가정


* u와 v가 비례한다는 것은 u � v로 표시하고 이는 한 변수가 다른 변수의 상수배로 표시될 수 있다는 뜻이다: u�kv.

■ 방사성 물질의 붕괴 원자의 핵은 양자와 중성자의 결합으로 이루어져 있다. 이러한 양

자와 중성자의 결합은 대부분 불안정해서 원자가 자연붕괴하거나 다른 물질의 원자로의

변형이 일어난다. 그런 핵은 방사성이 있다고 한다. 예를 들면 높은 방사성을 가진 라듐

Ra-226은 시간이 지남에 따라 방사성 가스 라돈 Rn-222로 변형된다. 방사성 물질의 붕괴

(radioactive decay) 현상의 모형화에서 물질의 핵의 붕괴율 dA/dt는 시간 t에서의 물질의

양 A(t), 더정확히말하면잔여핵의수에비례한다고한다.

(2)

위에 나와 있는 바와 같이 식 (1)과 식 (2)는 똑같다. 유일한 차이점이라면 기호의 해석과

비례상수일것이다. (1)과 (2)에서알 수있듯이성장과 붕괴에대해 k는 각각 k � 0과 k

0일것이다.

성장모형 (1)은 연이율 r로 연속 복리에 의한 이자가 더해질 때의 자산 S의 증가를 나

타내는 방정식 dS/dt�rS로 볼 수 있다. 붕괴모형 (2)는 배설이나 신진대사에 의해 50%의

약물이 몸에서 제거되는 데 걸리는 시간을 구하는 것과 같은 생물학적 현상에서 또한 볼

수 있다. 화학에서는 1차 화학반응의 수학적 표현을 붕괴모형 (2)로 나타낼 수 있다. 이를

요약하면다음과같다.

한개의미분방정식은여러가지현상에대한수학적모형으로쓰일수있다.

수학적 모형은 어떤 부차적인 조건을 동반하기도 한다. 예를 들면 (1)과 (2)에서 각각

초기인구 P0와 방사성 물질의 초기양 A0가 주어져 있을 수도 있다. 시간의 초기값을 t�0

이라 하면 P(0)�P0와 A(0)�A0이므로 수학적 모형은 초기값 문제나 나중에 3.9절에서 다

룰경계값문제가될수있다.

■ Newton의냉각/가온법칙 Newton의냉각/가온법칙(Newton’s law of cooling/warming)

에 따르면 체온의 변화율은 몸의 온도와 주변환경의 온도의 차에 비례한다고 한다. T(t)를 t

시간의 체온, Tm을 주변의 온도, 그리고 dT/dt를 체온의 변화율이라 하면, Newton의 냉각/

가온법칙은다음과같은수학적용어로표현된다.

(3)

여기서 k는비례상수이다. 냉각이나가온어느경우든 Tm이상수이면 k 0이된다.

■ 병의 확산 감기 바이러스 같은 전염성이 있는 병은 다른 사람과의 접촉에 의해 전체 사

회에 퍼진다. x(t)를 감염된 사람의 수, y(t)를 아직 감염되지 않은 사람의 수라 하자. 병의

전염률 dx/dt는 두 그룹의 사람들이 만나는 교류 횟수에 비례한다. 교류 횟수가 x(t)와 y(t)

의곱에비례한다면전염률은다음과같다.

(4)


여기서 k는 통상적인 비례상수이다. 한 작은 사회가 고정된 n명의 구성원으로 이루어져 있

다고하자. 만일한명의감염자가이사회로유입되었다면 x(t)와 y(t) 사이에는 x�y�n�1의

관계가성립한다. 이식을이용하여식 (4)에서 y를소거하면식 (4)는다음과같이쓸수있다.

(5)

(5)의초기값이 x(0)�1이라는것은명백하다.

■ 화학반응 미분방정식 (2)를 따르는 방사성 물질의 붕괴는 1차반응(first-order reaction)

이라한다. 화학에서일부의반응은이와똑같은경험적규칙을따른다. 물질 A의분자가작

은분자들로분해된다면분해율은변화되지않은물질의양에비례한다고가정하는것은자

연스럽다. 즉 X(t)를시간 t에남아있는물질 A의양이라하면 dX/dt�kX이성립한다. 여기

서 X는 감소함수이기 때문에 상수 k는 음수일 것이다. 1차 화학반응의 한 예로 다음과 같

은 t-뷰틸염화물[(CH3)3CCl]의 t-뷰틸알코올[(CH3)3COH]로의전환을볼수있다.

이반응에서는 t-뷰틸염화물의양만이반응률을제어한다. 그러나다음반응에서는

염화메틸(CH3Cl)의 모든 분자에 대해 수산화나트륨(NaOH) 한 분자가 소모되어 메탄올

(CH3OH) 한분자와염화나트륨(NaCl) 한분자가된다. 이경우반응진행률은염화메틸과

수산화나트륨의 남은 양의 곱에 비례한다. X를 메탄올의 양이라 하고 �와 �를 처음 두 화

학물질 A(염화메틸)와 B(수산화나트륨)의 초기양이라 하면 화학물질 C(메탄올)로 변화하

지 않은 순간적인 양은 각각 ��X와 ��X이다. 그러므로 화학물질 C의 변화율은 다음과

같이주어진다.

(6)

여기서 k는 비례상수이다. 모형 (6)으로 주어지는 반응을 2차반응(second-order reaction)

이라한다.

■ 혼합물 다른 농도를 가진 두 소금물의 혼합은 물에 포함된 소금의 양에 대한 1계 미분

방정식을 유도한다. 큰 혼합용기에 일정한 양의 소금이 녹아 있는 300갤런(gallon)의 소금

물이 있다고 하자. 이 혼합용기에 갤런당 2파운드(lb)가 녹아 있는 소금물이 분당 3갤런의

비율로 유입되고 잘 섞이면서 동시에 같은 양의 소금물이 유출된다고 한다. 그림 1.19를 보

라. A(t)를 t시간에 용기에 녹아 있는 소금의 전체 양(단위: lb)이라 하면 A(t)의 변화율은

다음과같다.

(7)유입되는소금의 양

유출되는소금의 양


일정량300갤런

분당 3갤런 유입

분당 3갤런 유출

그림1.19 혼합용기

분당 용기 내로 유입되는 소금의 총량 Rin은 갤런당 녹아 있는 소금의 양과 분당 유입되는

소금물의양의곱, 즉

이다. 들어오는 양과 같은 양의 소금물이 용기에서 유출되므로 용기 안의 소금물은 항상

300갤런으로 일정하다. 그러므로 유출되는 소금물뿐만 아니라 용기 안의 소금물의 농도는

c(t)�A(t)/300 lb/gal이된다. 그러므로유출되는소금의총량은다음과같다.

그러므로식 (7)의순변화율은

(8)

이된다.

rin과 rout을 각각 분당 소금물의 유입량과 유출량이라 하면* rin�rout, rin � rout, 그리

고 rin rout의 3가지경우가가능하다. 식 (8)에서는 rin�rout을가정했다. rin � rout 나 rin

rout의 경우에는 소금물 총량의 순 변화량이 rin�rout이므로 소금물의 양이 각각 증가하거나

감소한다. 연습문제 1.3의문제 10~12를보라.

■ 용기에서의배수 수력학에서 Torricelli의법칙은 깊이 h만큼의 물이 들어 있는 용기에

서용기바닥에있는구멍을통해물이유출되는속도 v는 h의높이에있는어떤물체(이경

우에는 물방울)가 자유낙하할 때의 속도와 같다는 것이다. 즉 속도는 v�'∂2gåh을 만족시킨

다는 것이다. 여기서 g는 중력가속도이다. 이 수식은 운동에너지 mv2과 위치에너지 mgh

가 같다고 놓고 v에 관해 풀어서 얻은 식이다. 물이 가득 찬 용기에서 중력의 향으로 구

멍을 통해 물이 배수된다고 했을 때, 시간 t에 용기에 남은 물의 높이 h를 구한다고 하자.

그림 1.20에 도시된 용기를 보라. 구멍의 면적을 Ah(단위: ft2), 용기에서 빠져 나가는 물의

속도를 v�'∂2g åh(단위: ft/s)라 하면 초당 용기에서 배수되는 물의 부피는 Ah'∂2g åh(단위:

ft3/s)이다. 그러므로시간 t에서용기내의물의부피 V(t)는다음과같은식을만족시킨다.

(9)

12

유출되는 소금물의 갤런당 소금의 양

유출되는소금물의 양

유출되는소금의 총량

유입되는소금물의 갤런당

소금의 양유입되는 소금물의 양

유입되는 소금의 총량


* 유입및유출되는소금의양 Rin 및 Rout과혼동하지말라.

Aw

Ah

h

그림1.20 용기로부터의물의배수

여기서 음수 부호는 V가 감소함을 나타낸다. 이 식에서는 배수율을 감소시킬 수 있는 구멍

에서의 마찰이 일어날 수 있는 가능성은 고려하지 않았다. 시간 t에서 용기 내의 물의 부피

를 V(t)�Awh라 쓸 수 있으면 dV/dt�Awdh/dt가 성립한다. 여기서 Aw(단위: ft2)는 물의 위

표면의 면적으로서 상수이다. 식 dV/dt�Awdh/dt를 식 (9)에 대입하면 시간 t에서의 물의

높이에관한다음과같은미분방정식을얻는다.

(10)

Aw가 상수가 아닌 경우에도 식 (10)이 유효하다는 점에 주목하라. 그 경우에 물의 위 표면

의면적은 h의함수, 즉 Aw�A(h)로표현될것이다. 연습문제 1.3의문제 14를보라.

■ 직렬회로 그림 1.21(a)에 주어진 인덕터(inductor), 저항기(resistor), 그리고 축전기

(capacitor)로 구성된 단일루프 직렬회로(series circuit)를 고려하자. 스위치가 닫힌 후 시

간 t에서의 회로의 전류를 i(t), 축전기에서의 충전전류를 q(t)라 하자. L, C, 그리고 R은 각

각 인덕턴스, 전기용량, 저항을 나타내는 기호로서 일반적으로 상수값을 갖는다.

Kirchhoff의 제2법칙에 따르면 폐회로에서의 외부전압 E(t)는 회로 내의 전압강하들의

합과같다고한다. 그림 1.21(b)는기호들과인덕터, 저항기, 그리고축전기에서의전압강하

에 관한 식을 나타내고 있다. 전류 i(t)와 축전기에서의 충전전류 q(t)는 i�dq/dt의 관계가

성립하므로, 이 3개의전압강하, 즉

를더한후그합과외부전압이같다고하면다음과같은 2계미분방정식을얻는다.

(11)

식 (11)과유사한미분방정식은 3.8절에서자세히다룰것이다.

■ 낙체(falling body) 역장에서 움직이는 물체의 운동에 관한 수학적 모형을 세우는 것은

Newton의 운동 제2법칙으로부터 종종 시작된다. 기본 물리학 교과과정에서 이미 외부에서

힘이 주어지지 않는 한 물체는 움직이지 않거나 일정한 속도로 계속 움직인다는 Newton

의 운동 제1법칙을 배운 바 있다. 각각의 경우에서 이는 물체에 향을 주는 힘들의 총합

F��Fk이 0이면 그 물체의 가속도 a는 0이라는 것과 동일하다. Newton의운동 제2법칙

은 물체에 향을 주는 총 힘이 0이 아니면 총 힘은 가속도 a에 비례한다는, 즉 더 정확히

말하면 F�ma가성립한다는것이다. 여기서 m은물체의질량이다.

그림 1.22에 도시된 바와 같이 한 건물의 옥상에서 한 개의 돌이 위를 향해 던져졌다

고 가정하자. 시간 t에서 지면으로부터 이 돌의 위치 s(t)는 어디인가? 그 돌의 가속도는 위

치함수의 2계 도함수 d2s/dt2이다. 위 방향을 양의 방향이라고 하고 중력 이외의 다른 힘은

가해지지않는다고하면 Newton의제2법칙은다음과같이쓸수있다.

인덕터 저항기 축전기


(b)

인덕터

didt

Li

저항기

C

iR

i

축전기

q1C

LR

C

E(t)

(a) LRC 직렬회로

전기용량

그림 1.21 전류 i(t)와 충전전류 q(t)는각각암페어(A)와쿨롱(C)으로측정됨

건물

s0

돌

v0

지면

s(t)

그림1.22 지면으로부터의돌의위치

(12)

다시 말하면, 총 힘은 단순히 지구표면 근처에서의 돌의 무게 F�F1��W이다. m을 물체

의 질량, g를 중력가속도라 할 때 무게는 W�mg임을 상기하라. 돌의 무게는 양의 방향과

반대 방향인 아래쪽을 향하기 때문에 식 (12)에서 음수 부호를 쓰고 있다. 건물의 높이가 s0

이고돌의초기속도가 v0이면위치함수 s는다음과같은 2계초기값문제에의해결정된다.

(13)

이렇게 만들어진 문제의 해를 강조하지는 않겠지만 식 (13)은 상수 �g를 t에 관해 두 번

적분함으로써 풀 수 있으며 초기조건은 적분과정 중에 생기는 두 개의 상수를 결정하는 데

쓰일것이다. 기초물리학에서식 (13)의해가 s(t)�� gt2�v0t�s0임을배웠을것이다.

■ 낙체와 공기저항 피사의 사탑을 통한 Galileo의 유명한 실험 이전부터 이미 포환과 같

은 무거운 물체는 깃털과 같이 가벼운 물체가 자유낙하할 때보다 더 큰 가속도로 떨어진다

고 일반적으로 믿고 있었다. 같은 높이에서 동시에 떨어뜨렸을 때 포환과 깃털이 다른 속도

로 떨어질 것이라는 것은 명백하지만 그것은 포환이 더 무겁기 때문이 아니다. 다른 속도로

떨어지는 것은 공기저항 때문이다. 식 (13)에 주어진 모형에서는 공기저항은 고려되지 않

았다. 어떤 환경하에서 깃털과 같이 엉성하고 불규칙한 모양을 갖는 질량 m의 떨어지는 물

체는 순간속도 v에 비례하는 공기저항을 갖는다. 이 환경에서 아래 방향을 양의 방향이라

하면 그 물체에 작용하는 총 힘 F는 F�F1�F2�mg�kv로 주어진다. 여기서 물체의 무게

F1, F1�mg은 양의 방향에 대한 힘이며 공기저항 F2, F2��kv는 반대 방향, 즉 위 방향으

로의 힘으로 점성감쇠(viscous damping)라 불리는 힘이다. 그림 1.23을 보라. v는 가속도

a와 a�dv/dt의 관계가 성립하므로 Newton의 제2법칙은 F�ma�mdv/dt가 된다. 총 힘

과 이 형태의 Newton의 제2법칙의 식을 같다고 놓으면, 시간 t에서의 물체의 속도 v(t)에

관한다음과같은 1계미분방정식을얻는다.

(14)

여기서 k는 비례상수로서 양수이다. 시작점에서 자유낙하하는 물체의 시간 t에서의 위치를

s(t)라 하면 v�ds/dt이고 a�dv/dt�d2s/dt2이다. 식 (14)를 s에 관한 2계 미분방정식으로

표현하면다음과같다.

(15)

■ 미끄러지는사슬 길이가 L피트(ft)인 균일한 사슬이 지면보다 높은 벽에 고정된 금속걸

이에 걸려 있다고 하자. 금속걸이는 마찰이 없다고 가정하고 사슬의 무게는 � lb/ft라 하자.

그림 1.24(a)는 평형상태에서 사슬이 걸려 있는 모양을 도시하고 있다. 사슬이 오른쪽이나

12


kv

mg

양의 방향

중력

공기저항

그림1.23 질량 m의낙체

L/2 L/2

L/2 – x

L/2 + x

(a) 평형 (c) t > 0에 움직임

(b) t = 0까지 사슬이 고정됨

x = 0

x = x0 x (t)

그림1.24 금속걸이에서미끄러지는사슬

왼쪽으로 조금이라도 치우친다면 사슬은 금속걸이에서 미끄러져 내려갈 것이다. 아래 방향

을 양의 방향이라 하고 x(t)를 시간 t 동안 사슬의 오른쪽 끝이 미끄러져 내려간 거리라 하

자. 평형상태는 x�0에 대응한다. 그림 1.24(b)에서와 같이 사슬은 x0피트(ft)만큼 내려와

있고 t�0로 표시되는 초기시간에서 자유롭게 놓여질 때까지 어떤 힘에 의해 금속걸이에

매달려 있다. 그림 1.24(c)에 도시된 바와 같이 힘이 제거된 후의 미끄러지는 사슬에 대해

다음과같은값들이주어진다.

a�d2x/dt2이므로 ma�F는

(16)

이된다.

■ 현수선 유연한 케이블, 전선, 또는 무거운 밧줄이 두 개의 수직기둥 사이에 걸려 있다고

하자. 이런 종류의 물리적 예제로는 그림 1.25(a)에 나타나 있는 것처럼 두 전봇대 사이에

걸린 긴 전화선이나 그림 1.25(b)에 나타나 있는 것처럼 현수교의 노반을 지지하고 있는

두 케이블 중의 한 케이블 등이 있다. 우리의 목적은 이러한 케이블의 형태를 묘사하는 수

학적모형을만드는것이다.

우선케이블의가장낮은점 P1과임의의점 P2 사이의부분이나성분만을조사해보자.

그림 1.26에 푸른색으로 그려진 것처럼 케이블의 이 부분은 곡선의 가장 낮은 점 P1이 y

축을 지나고 P1과 x축까지의 거리가 a인 (0, a)를 지나는 직교좌표계에서의 곡선이다. 이

케이블에는 케이블에 접하는 점 P1과 P2에서 케이블에서의 각각의 장력 T1과 T2, 그리고

P1과 P2 사이에서의 수직부하 W의 세 힘이 향을 주고 있다. T1�|T1|, T2�|T2|, 그리고

W�|W|를각각이벡터들의크기라하자. 장력 T2는스칼라로표현되는 T2 cos �와 T2 sin �

의수평성분과수직성분으로나뉜다. 이는정지한평형상태에서

로 쓸 수 있다. 첫 번째 식으로 두 번째 식을 나누면 T2는 소거되고 tan ��W/T1을 얻는다.

dy/dx�tan �이므로이식은다음과같이쓸수있다.

(17)

이 간단한 식은 현수교의 노반을 지지하는 케이블의 형태나 그 자체의 무게로 걸려 있는

전화선과 같은 유연한 선의 형태 등에 대한 모형을 제공하는 1계 미분방정식이다. 연습문

제 2.2와 3.10절에서식 (17)을다시다룰것이다.


(b) 현수교

(a) 전화선

그림 1.25 수직 지지대 사이에 걸린 케이블

y

x(x, 0)

(0, a)

전선

T1

T2T2 sin

P1

P2

w

θ

θT2 cos θ

그림1.26 케이블성분


이 절에서의 각각의 예제는 시간 t에 따라 변화하거나 진화하는 동적 계를 묘사했다. 동

적계의연구는현재발전하는추세에있는수학의한분야이므로이제부터나오는설명

에서는그분야의용어들과관련하여설명할것이다.

더 정확하게 말하면 동적 계(dynamical system)는시간에 의존하는 상태변수(state

variable)라 불리는 변수들의 집합과 어떤 특정한 시간 t0에서 미리 묘사된 상태를 이용

하여 그 계의 상태를 (명확하게) 결정하는 규칙들로 구성된다. 여기서 계의 상태라 하는

것은 과거, 현재, 또는 미래의 상태가 될 수도 있다. 동적 계는 이산시간계와 연속시간계

로 분류된다. 이 교과과정에서는 연속시간 동적 계, 즉 모든 변수들이 연속적인 시간의

범위에서만 정의되는 계에 관해서만 다룰 것이다. 연속시간 동적 계에서의 규칙이나 수

학적 모형은 미분방정식이거나 연립 미분방정식이다. 시간 t에서 그 계의 상태는 그 시

간에서의 상태변수의 값이다. 시간 t0에서의 그 계의 특별한 상태는 단순히 수학적 모형

을 동반하는 초기조건들이다. 초기값 문제의 해를 그 계의 응답(response of the system)

이라 한다. 예를 들면 앞서 다룬 방사성 물질의 붕괴의 경우에 규칙은 dA/dt�kA이다.

특정한 시간 t0에서 방사성 물질의 양이 A(t0)�A0로 알려져 있다고 할 때 그 규칙을 풀

면 t � t0인 t에 대해 그 계의 응답은 A(t)�A0e(t�t0)가 된다(2.7절을 보라). 응답 A(t)는

이 계의 단일한 상태변수이다. 건물의 옥상에서 던져진 돌의 예제에서는 그 계의 응답,

즉 초기상태 s(0)�s0, s�(0)�v0에서의 미분방정식 d2s/dt2��g의 해는 함수 s(t)��

gt2�v0t�s0, 0 � t � T이다. 여기서 T는 그 돌이 지면에 떨어질 때의 시간이다. 상태변

수들은 s(t)와 s�(t)이고 각각 시간 t에서의 지면으로부터의 돌의 수직위치와 그 돌의 속

도를 나타낸다. 구간 [t0, T]에 있는 임의의 시간 t에 대해 돌의 위치 s(t)와 속도

s�(t)�v(t)를 유일하게 결정하기 위해서는 단지 시간 t0에서의 초기위치와 초기속도만이

필요하므로 가속도 s�(t)는 상태변수가 아니다. 물론 가속도 s�(t)�a(t)는 미분방정식

s�(t)��g, 0 t T에의해주어진다.

마지막으로 이 교재에서 다루는 모든 계가 동적 계는 아니라는 점을 강조하고자 한

다. 모형이미분방정식인정적인계도또한다룰것이다.

12

참고

인구역학

1. 식 (1)의 모형에서와 같은 가정하에서 개인은 상수비율

r � 0로 어느 나라로 이민 올 수 있다고 할 때 그 나라

의 인구 P(t)의 증가를 표현하는 미분방정식을 세우라.

개인이 상수비율 r � 0로 이민 갈 수 있다고 할 때 이

나라의인구 P(t)에대한미분방정식은무엇인가?

2. 식 (1)에 주어진 인구 모형에서는 사망이 고려되지 않았

다. 즉 성장률은 출생률과 같다고 가정하 다. 한 사회의

인구변화의 다른 모형에서는 인구변화는 순 변화, 즉 그

사회에서의출생률과사망률의차이에따른변화율을고

려한다. 출생률과 사망률 모두 현재 인구에 비례한다고

했을때시간 t에서의인구 P(t)를구하는모형을세우라.

3. 문제 2에 소개된 순 변화의 개념을 이용하여 출생률은

현재 인구에 비례하지만 사망률은 현재 인구의 제곱에

비례한다고 할 때 시간 t에서의 인구 P(t)를 구하는 미

분방정식을세우라.

연습문제1.3


4. 물고기가 상수 h � 0의 비율로 잡힌다고 했을 때 문제

3에 나타난 모형을 그 물고기의 순 변화율에 대한 모형

으로수정하라.

Newton의냉각/가온법칙

5. 한잔의커피가식 (3)의 Newton의냉각법칙에따라식

는다고하자. 그림 1.27에 주어져있는온도 T(t)에관한

데이터를 이용하여 다음에 주어진 1계 미분방정식에서

의상수 Tm, T0 , 그리고 k를구하라.

6. 식 (3)에서 주변온도 Tm은 시간 t의 함수일 수 있다. 인

위적으로 제어되는 환경을 가정하고 Tm(t)는 그림 1.28

에주어진것처럼 24시간주기를갖는주기함수라하자.

이 환경에서 물체의 온도 T(t)에 관한 수학적 모형을 만

들어보라.

병/기술의확산

7. 학생수가 1000명인외딴대학에한학생이독감바이러

스에감염된채돌아왔다고하자. 독감에걸린학생과 걸

리지 않은 학생이 접촉하는 횟수에 비례해서 독감이 전

염된다고할때, 독감에걸린학생의수 x(t)를구하는미


8. 시간 t�0에서고정된 n명의인구로구성된사회에새로

운기술이도입되었다. 그사회에서새기술은그기술을

채택한 사람과 채택하지 않은 사람의 수의 곱에 비례해

서 퍼진다고 할 때, 시간 t에서 그 새 기술을 채택한 사

람의수 x(t)를구하는미분방정식을세우라.

혼합물

9. 큰혼합용기에 50파운드(lb)의소금이녹아있는소금물

300갤런이 있다고 하자. 순수한 물이 분당 3갤런씩 용

기 내로 유입되고 잘 섞인 후 동시에 같은 양의 소금물

이 유출된다고 할 때 시간 t에서의 용기 내의 소금의 양

A(t)를구하는미분방정식을세우라. A(0)는얼마인가?

10. 큰혼합용기에 50파운드(lb)의소금이녹아있는소금물

300갤런이 있다고 하자. 농도가 다른 소금물, 즉 갤런당

2파운드의소금이녹아있는소금물이분당 3갤런씩유

입되고 잘 섞인 후 동시에 분당 2갤런의 소금물이 유출

된다고 하자. 시간 t에서의 소금의 양 A(t)를 구하는 미


11. 문제 10에서 분당 3.5갤런의 소금물이 유출된다면 A(t)

를구하는미분방정식은무엇인가?

12. 큰 용기에 처음에 N0 갤런의 소금물이 있다고 하자. rin

과 rout은 각각 분당 유입 및 유출되는 소금물의 양이며

cin은 유입되는 소금물의 농도이고 c(t)는 시간 t에 용기

내의 소금물의 농도라 한다. 시간 t에 용기 내의 소금의

양을 A(t)라할때식 (8)에주어진모형을일반화하라.

용기의배수

13. 바닥에 면적 Ah를 갖는 원형 구멍이 있는 용기에서 물

이 새어나간다고 하자. 구멍을 통해 물이 새어나갈 때

유출의 흐름에 따른 구멍 근처의 마찰과 수축은 용기로

부터 유출되는 물의 부피를 초당 cAh'∂2gåh씩 감소시킨

다. 여기서 c(0 c 1)는 경험으로부터 얻은 상수이

다. 그림 1.29에 나타난 정육면체 모양의 용기에 대해

시간 t에서의 물의 높이 h를 구하는 미분방정식을 세우

라. 구멍의반지름은 2인치(inch)이고 g�32 ft/s2이다.

200

150

100

50

T

0 50 100 t분

그림1.27 문제 5의냉각곡선

100

120

80

60

40

20

0 12 24 36 48 t

Tm(t)

자정 정오 자정 정오 자정

그림1.28 문제 6의주변온도


14. 그림 1.30에 도시된 것처럼 완전히 원형인 원추형 용기

에서 그 용기 바닥에 있는 원형 구멍을 통해 물이 빠져

나간다고 하자. 구멍의 지름은 2인치, g�32 ft/s2이고

문제 13에소개된마찰/수축성분 c는 0.6이라할때, 시

간 t에서의물의높이 h를구하는미분방정식을세우라.

직렬회로

15. 그림 1.31에 나타난 바와 같이 저항기와 인덕터를 포함

하는 하나의 직렬회로가 있다. 저항이 R, 인덕턴스가 L

이고 외부전압이 E(t)일 때, 전류 i(t)를 구하는 미분방

정식을세우라.

16. 그림 1.32에 나타난 바와 같이 저항기와 축전기를 포함

하는 하나의 직렬회로가 있다. 저항이 R, 전기용량이 C

이고 외부전압이 E(t)일 때, 축전기에서의 충전전류 q(t)

를구하는미분방정식을세우라.

낙체와공기저항

17. 그림 1.33에나타난바와같이낙하산이펴지기전에낙

하하는 스카이다이버와 같은 공기중에서의 고속운동에

대한 공기저항은 순간속도 v(t)의 어떤 거듭제곱에 보다

가깝다고 한다. 공기저항이 순간속도의 제곱에 비례한다

고할 때 질량 m인 낙체의 속도 v(t)를 구하는 미분방정

식을세우라.

Newton의제2법칙과Archimedes의원리

18. 그림 1.34(a)에 나타난 바와 같이 지름이 s피트(ft)이고

무게가 w파운드(lb)인 원형통이 물 위에 떠 있다. 초기

에눌러주면원형통이수직선을따라서오르락내리락한

다고 한다. 그림 1.34(b)를 이용하여 원형통이 정지했을

때의물의표면을수직축상에서원점으로택할 경우 수

직위치 y(t)를구하는미분방정식을세우라. Archimedes

의 원리를 이용하라: 부력, 즉 원형통이 위로 올라가려

는 힘은 려 나간 물의 무게와 같다. 아래 방향을 양의

방향이라하고물의 도는 62.4 lb/ft3이며원형통과물

사이의저항은없다고가정하라.

Newton의제2법칙과Hooke의법칙

19. 질량 m인 물체를 용수철에 걸자 그림 1.35(b)에 도시된

바와 같이 길이가 s만큼 늘어난 후 평형상태가 되었다.

용수철/질량계를 잡아당긴 후 x(t)를 평형상태에서부터

Aw

h10 ft

원형구멍

그림1.29 문제 13의정육면체모양의용기

h20 ft

Aw

8 ft

원형 구멍

그림1.30 문제 14의원추형용기

R

LE

그림1.31 문제 15의 LR 직렬회로

C

R

E

그림1.32 문제 16의 RC 직렬회로

mg

kv2

그림1.33 문제 17의속도의제곱에비례하는공기저항

s/2

0

(a)

s/2

0

(b)

surface y(t)

그림1.34 문제 18의떠있는원형통의단발적인운동


움직인 거리라 하자. 그림 1.35(c)에 도시된 바와 같이

아래 방향을 양의 방향이라 하고 용수철/질량계는 물체

의 무게중심을 지나는 수직선을 따라 움직인다고 한다.

그 계에 작용하는 힘은 물체의 무게와 늘어난 용수철의

복원력뿐이라고 하자. 용수철의 복원력은 늘어난 길이

에 비례한다는 Hooke의 법칙을 이용하여 시간 t에서

의위치 x(t)를구하는미분방정식을세우라.

20. 문제 19에서 용수철/질량계가, 물질의 순간속도에 비례

하고 물체의 움직임의 반대 방향으로 작용하는 감쇠력

이 있는 상황하에서 움직인다고 할 때, 물체의 위치 x(t)

를구하는미분방정식을세우라.

Newton의제2법칙과변화하는질량

역장에서 움직이는 물체의 질량 m을 변화시킨다면 Newton

의제2법칙은 다음과 같은 형태로 표현된다: 물체에 향을 주

는 총 힘이 0이 아니면 총 힘 F는 물체의 운동량의 시간에 대

한변화율과같다. 즉다음과같은식이성립한다.

(18)

여기서 mv는 운동량이다. 문제 21과 22에서는 이 형태의

Newton의제2법칙을이용하라.

21. 10피트(ft) 길이의 균일한 사슬이 지면 위에 느슨하게

놓여 있다. 그림 1.36에 도시된 바와 같이 사슬의 한 끝

이 5파운드(lb)의 일정한 힘에 의해 수직방향으로 올려

지고 있다. 사슬의 무게는 1 lb/ft이다. 시간 t에서 지면

으로부터 그 사슬의 끝점까지의 높이 x(t)를 구하는 미

분방정식을세우라. 위방향을양의방향이라가정하라.

22. 그림 1.37에 나타난 바와 같이 길이 L피트(ft)인 균일한

사슬이 사슬의 아래 끝점이 바닥에 닿도록 수직으로 세

워져있다. 사슬의 무게는 2 lb/ft이다. t�0에서 잡고있

는사슬의위끝점을놓았을때사슬은곧바로아래로떨

어진다. 공기저항은 없다고 하고 아래 방향을 양의 방향

이라 하고 시간 t에 바닥에 놓여진 사슬의 길이를 x(t)라

하자. 식 (18)에서 사슬에 향을 주는 총 힘이 상수 2L

이라는것을이용하여 x(t)를구하는미분방정식이

임을보이라.

Newton의제2법칙과만유인력의법칙

23. Newton의 만유인력의 법칙(Newton’s law of universal

gravitation)에 의하면 그림 1.38에 주어진 위성과 같이

물체의 자유낙하 가속도 a는 상수 g가아니다. 가속도 a

는 지구의 중심으로부터의 거리 r의 제곱에 반비례, 즉

a�k/r2이 된다. 여기서 k는 비례상수이다. 지구의 표면

에서는 r�R이고 a�g라는 사실을 이용하여 k를 구하

라. 위 방향을 양의 방향이라 할 때 Newton의 제2법칙

m

m x = 0 s

(c)(b)

평형위치

(a)

늘어나지 않은용수철

x (t) < 0

x (t) > 0

그림1.35 문제 19의용수철/질량계

* m이상수일때이식은 F�ma와같다는것을주목하라.

5 lb위 방향의힘

x(t)

그림1.36 문제 21의위로올려진사슬

L

그림1.37 문제 22의수직으로세워진사슬


과 만유인력의 법칙을 이용하여 거리 r에 관한 미분방

정식을세우라.

24. 그림 1.39에나타난바와같이지구중심을지나는구멍

을 뚫어 질량 m인 볼링공을 구멍으로 떨어뜨렸다고 하

자. 시간 t에서 r, M, Mr, 그리고 �를각각지구의중심으

로부터물체까지의거리, 지구의질량, 지구중심에서반

지름 r까지 부분의 질량, 그리고 지구의 도상수라 할

때, 그공의움직임을묘사하는수학적모형을세우라.

여러가지수학적모형들

25. 학습이론 학습이론에서 한 대상이 기억되는 비율은 기

억해야만 하는 양에 비례한다고 알려져 있다. M과 A(t)

를 각각 기억되어야 하는 대상의 총량과 시간 t까지 기

억된양이라하자. A(t)에관한미분방정식을세우라.

26. 망각 문제 25에서대상이잊혀지는비율은시간 t까지의

기억된 양에 비례한다고 하자. 망각이 고려된 경우에 시

간 t까지기억된양 A(t)를구하는미분방정식을세우라.

27. 투약 약이 초당 r g의 상수비율로 환자의 혈관으로 투

약되며 동시에 시간 t에 혈액에 존재하는 약의 양 x(t)

에 비례하여 제거된다고 하자. 시간 t에서의 혈관 내의

약의총량 x(t)를구하는미분방정식을세우라.

28. 추적선(tractrix) 어떤 사람 P가 그림 1.40에 도시된 바

와 같이 원점에서 출발하여, y축 (0, s)에 놓여 있는 물

체를 추적선이라 불리는 단순곡선 C를 따라 길이 S인

밧줄로 끌면서 x축의 양의 방향으로 움직이고 있다. 움

직이는 동안 밧줄은 팽팽하게 당겨져 있다고 할 때 이

물체의 이동경로에 관한 미분방정식을 구하라. 밧줄은

항상곡선 C에접한다고가정하라.

29. 곡면반사 그림 1.41에 주어진 평면곡선 C가 x축을 따

라 회전할 때 생기는 회전면에 x축과 평행한 빛 L이 부

딪치면 그 빛은 단일한 점 O(원점)에 반사된다고 한다.

입사각과 반사각이 같다는 사실을 이용하여 곡선 C의

모양을 묘사하는 미분방정식을 세우라. 그런 곡선 C는

망원경을 만들 때뿐만 아니라 위성안테나, 자동차 전조

등, 그리고 태양집열기와 같은 여러 응용분야에 걸쳐 중

요하다.[힌트: 그림을 자세히 보면 ��2�라 쓸 수 있다.

그이유는? 적절한삼각함수의항등관계를이용하라.]

토의문제

30. 연습문제 1.1의문제 37을다시읽고식 (1)의양함수해

P(t)를구하라. (1)의 1-매개변수해의모임도구하라.

31. 식 (3) 다음에 나오는 문장을 다시 읽고 Tm은 양의 상수

라 가정하라. 식 (3)에서 냉각과 가온 모두의 경우에서

k 0임을 기대하는 이유에 대해 설명하라. T(t) � Tm

를도해적으로해석하는것으로시작해도된다.

32. 식 (8)의 앞에 주어진 설명을 다시 읽으라. 처음에 용기

에 50파운드(lb)의 소금이 있다고 가정하면 t � 0에서

질량 m인인공위성

R

지구의 질량 M

r표면

그림1.38 문제 23의인공위성

m

R

r

표면

그림1.39 문제 24의지구를통과하는구멍

y

y sC

xP

θ

(x, y)

(0, s)

그림1.40 문제 28의추적선

C

θ

θ

L

Ox

y접선

φ

P(x, y)

그림1.41 문제 29의곡면반사


소금이 연속적으로 더해지므로 A(t)는 증가함수일 것이

다. 실제로 미분방정식을 풀지 않고 긴 시간이 흐른 뒤

에 용기에 몇 파운드의 소금이 있게 될지를 그 미분방

정식으로부터알아낼수있는방법에대해논하라.

33. 인구 모형 미분방정식 �(k cos t)P은 어떤 사회의

인구 P(t)에 관한 모형이고 여기서 k는 0보다 큰 상수

이다. 이 식의 해에 관한 해석, 즉 이 미분방정식이 어떤

종류의인구모형을묘사하는지에대해논하라.

34. 회전하는 유체 그림 1.42(a)에 도시된 바와 같이 용액

이 조금 든 원형 실린더가 중심을 지나는 수직선 y축을

중심으로 상수 각속도 �로 회전하고 있다. 회전하는 유

체의 회전면은 S이다. S를 규명하기 위해 먼저 y축에

의해 결정되는 수직면과 y축에 수직인 x축으로 구성된

좌표계를 만들고 두 축의 교점(원점)이 표면 S의 가장

낮은 점이 되도록 한다. 그 다음에 표면 S와 수직좌표평

면과의 교점들로 이루어진 교선 C를 나타내는 함수

y�f(x)를 구한다. 점 P(x, y)를 질량 m인 회전하는 유

체의 한 입자의 좌표평면에서의 위치라 하자. 그림

1.42(b)를보라.

(a) 점 P에는 용액의 다른 입자로 인해 생기는 회전면 S

에법선방향인크기가 F인반응힘이있다. Newton

의제2법칙에의하면입자에 향을주는순힘의크

기는 m�2x라고한다. 이힘은무엇인가? 그림 1.42(b)

를이용하여다음방정식의특성과근원에대해논하라.

(b) (a)를 이용하여 함수 y�f(x)를 정의하는 1계 미분

방정식을구하라.

35. 낙하하는 물체 문제 23에서 r�R�s라 하자. 여기서 s

는 지구표면으로부터 낙하하는 물체까지의 거리이다. s

가 R에 비해 매우 작다고 하면 문제 23에서 얻은 미분

방정식은어떻게되는가?

36. 떨어지는 빗방울 기상학에서 미류운(virga)은 땅에 떨

어지기전에증발하는떨어지는빗방울이나얼음조각을

지칭하는 용어이다. 전형적인 빗방울은 구의 모양이라

가정하자. t�0으로 표시되는 어떤 특정한 시간에서 시

작하여 반지름 r0의 빗방울이 구름으로부터 떨어지면서

증발이시작된다고하자.

(a) 구 모양을 유지하며 빗방울이 증발한다는 것은 빗방

울이 증발하는 증발률, 즉 줄어드는 질량의 비율이

표면적과 비례한다고 하는 것과 같다. 증발률이 표

면적과 비례한다는 것이 빗방울의 반지름이 감소하

는 비율이 상수라는 것을 의미함을 보이라. 시간 t에

서의 빗방울의 반지름 r(t)를 구하라.[힌트: 연습문제

1.1의문제 47을보라.]

(b) 아래 방향을 양의 방향이라 할 때 시간 t에 떨어지

는 빗방울의 속도 v에 대한 수학적 모형을 세우라.

공기저항은 고려하지 않는다.[힌트: 문제 21과 22

앞에나오는설명부분을보라.]

37. 눈 내림 고전전인‘제설기문제(snowplow problem)’는

많은 미분방정식 교재에서 다루었지만 Ralph Palmer

Agnew에의해비로소유명해졌다.

“어느날심한눈이지속적으로오기시작했다. 제설기는정

오에사용되기시작했는데처음1시간동안은 2마일, 그후

1시간 동안은 1마일을 제설했다. 언제부터 눈이 오기 시작

했을까?”

가능하다면 McGraw-Hill 출판사에서 출판한 Ralph

Palmer Agnew의 Differential Equations라는 교재를

찾아보고 이 문제의 수학적 모형 및 그 해에 관해 토론

해보라.

38. 이 절을 다시 읽고 각각의 수학적 모형이 선형인지 비

선형인지를분류하라.

39. 인구역학 어떤 특정한 세포의 세포배양에서 세포의 증

가에 대한 수학적 모형이 P�(t)�0.15 P(t)로 주어져 있

다. 여기서 P(t)는 시간 t(단위: 시)에서의 배양의 크기

로서 단위는 백만 세포이다. 배양의 크기가 2백만 세포

가되는시간 t에서의배양의증가율을구하라.

40. 방사성 물질의 붕괴 라듐 226의 붕괴에 대한 수학적

모형이

dPdt

θ

θ mg

x

y

P(x, y)

곡선 C의 점 P에서의 접선

곡선 C: xy 평면과 회전면과의 교선

yω

P

(a) (b)

m 2xω

그림1.42 문제 34의회전하는유체

1장 복습문제 ■ 35

으로 주어져 있다. 여기서 A(t)는 시간 t(단위: 연)에 남

은 라듐의 양으로서 단위는 g이다. 표본으로 추출된 라

듐이 1년에 0.002 g의 비율로 붕괴된다면 시간 t에 남

아있는라듐의양은얼마인가?

문제 1과 2에서는 공란을 메우고 그 결과를 c1에 무관하고

dy/dx�f(x,y)의 형태를 갖는 1계 선형 미분방정식으로 나타내

라. c1과 k는상수이다.

1.

2.

문제 3과 4에서는 공란을 메우고 그 결과를 c1과 c2에 무관하

고 F(y, y�)�0의 형태를 갖는 2계 선형 미분방정식으로 나타

내라. c1, c2, 그리고 k는상수이다.

3.

4.

문제 5와 6에서는 y�과 y�을 계산하고, 이 도함수들과 y를 결

합하여 c1과 c2에무관한 F(y, y�, y�)�0의형태를갖는 2계선

형미분방정식으로나타내라. c1과 c2는상수이다.

5. y�c1ex�c2xex

6. y�c1ex cosx�c2e

x sinx

문제 7~12에서는 (a)~(d)에 주어진 해의 형태 중에서 주어진

미분방정식의해를 1개이상찾으라.

(a) y�0, (b) y�2, (c) y�2x, (d) y�2x2

7. xy��2y 8. y��2

9. y��2y�4 10. xy��y

11. y��9y�18 12. xy��y��0

문제 13과 14에서는 추측에 의해 주어진 미분방정식의 해를

적어도하나구하라.

13. y��y�

14. y��y(y�3)

문제 15와 16에서는각각의문장을미분방정식으로표현하라.

15. y��(x)의 그래프 위의 점 P(x, y)에서의 접선의 기울기

가점 P(x,y)와원점사이의거리의제곱이다.

16. y��(x)의 그래프 위의 점 P(x, y)에서의 x에 관한 기울

기의 변화율은 P(x, y)에서의 접선의 기울기와 부호가

반대이다.

17. (a) 함수 y�x2/3의정의역을구하라.

(b) y�x2/3이 미분방정식 3xy��2y�0의 해이기 위한

가장큰정의구간 I를구하라.

18. (a) 1-매개변수 모임 y2�2y�x2�x�c이 미분방정식

(2y�2)y��2x�1의음함수해임을검증하라.

(b) (a)의 1-매개변수 모임에서 초기조건 y(0)�1를 만

족시키는해를구하라.

(c) (b)의결과를이용하여 y(0)�1를만족시키는양함수

y��(x)를 구하라. �의 정의역을 구하라. y��(x)가

초기값 문제의 해인가? 그렇다면 정의구간 I를 구하

고그렇지않다면그이유를설명하라.

19. y�� x는 미분방정식 xy��y�2x의 해라 한다. y(x)

가초기값문제

의해가되기위한 x0와가장큰정의구간 I를구하라.

20. y(x)는 초기값 문제 y��x2�y2, y(1)��1의 해이며

x�1에서 적어도 2계 도함수를 갖는다고 한다. 미분방

정식을 이용하여 x�1의 근방에서 y(x)가 증가하는지

또는 감소하는지를 알아보고 y(x)의 그래프가 볼록인지

오목인지를알아보라.

21. 하나의 미분방정식이 한 개 이상의 해 모임을 가질 수

있다.

(a) 모임 y��1(x)�x2�c1과 y��2(x)��x2�c2의 원소

들을그리라.

(b) y��1(x)와 y��2(x)가 각각 1계 비선형 미분방정식

(y�)2�4x2의해임을검증하라.

(c) (b)의 비선형 미분방정식의 해는 되지만 (a)의 어느

해 모임에도 속하지 않는 조각별로 정의된 함수를

만들어보라.

2x

1장복습문제


22. y��6'y �5x3의 해 중에서 점 (�1, 4)를 지나는 그래

프의접선의기울기를구하라.

문제 23~26에서는 오른쪽에 주어진 함수가 주어진 미분방정

식의특수해가됨을검증하라. 각해의정의구간을구하라.

23. y��y�2 cos x�2 sin x; y�x sin x�x cos x

24. y��y sec x; y�x sin x�(cos x) ln(cos x)

25. x2y��xy��y�0; y�sin(ln x)

26. x2y��xy��y�sec(ln x);

y�cos(ln x) ln (cos(ln x))�(ln x) sin(ln x)

27. 2 계 초기값 문제 d 2y/dx2�f ( x, y, y�), y(2)�y0,

y�(2)�y1의 해곡선이 그림 1.43에 주어져 있다. 그래프

를이용하여 y0와 y1을구하라.

28. 반지름이 2피트, 높이가 10피트인 원형 실린더 형태의

용기가 세워져 있다. 처음에 용기에 물이 가득 차 있다

고 하고 용기 바닥에 있는 반지름 1/2인치인 원형 구멍

으로 물이 새어나간다고 할 때 시간 t에서의 물의 높이

h를 구하는 미분방정식을 세우라. 구멍에서의 물의 마

찰과수축은고려하지않는다.

y

x

5

–5

5


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