-derivative (導函數) - chapter 3 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授
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2
3-1 前言
1. 導函數主要是利用極限觀念求函數 對 的變化率古人在有了數學後,對數學的運算雖可知其平均值及統計值,但在”變化”或”速度”之議題有許多未解之處,自從牛頓及萊布尼茲提出微積分相關文章,終於大家可以理解並求出”變化率”及速度。 ( 以下就幾何層面來看切線與斜率 )
( )f x x
4
3-1 前言
• 古人並無法得知 這個點到底為哪一點,故均採割線 ( 即 ) 由內向外移動,直到 為止,故需利用逼近法。
• 當 這條直線 ( 若命名為 ) 為此圖或曲線的切線 (tangent line) 而曲線在 點的斜率即為直線 的斜率。
PQ P Q
P Q T T
PT
P
(secant line)
Q
P
6
3-1 前言
3. 由上頁圖示的引述可知,要求得變化率 (rate of change) 再任意曲線下可以利用割線 (secant line)來逼近成切線 (tangent line)
P Q
( )y f x
x x xx當 P Q
切線的斜率 (即 2點取一直線的斜率 )
tan0
( ) ( )limx
f x x f xm
x
,0x 則
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Tangent Line 範例
Determine the slope of the line tangent to the
graph of 2( )f x x
Sol : tan0
( ) ( )limx
f x x f xm
x
2 2
0
( )limx
x x x
x
2 2 2
0
2 ( ) ( )limx
x x x x x
x
2
0
2 ( ) ( )limx
x x x
x
0
(2 )lim 2x
x x xx
x
EX :
1 2 3
-1-2
∴當 at point (-2,4) is 2(-2)= -4x
8
3-1 前言
• 由上述可知,斜率即為函數 在某一點 的變化率,亦稱為導數 (derivative) 用 來表示。
f x'( )f x
0
( ) ( )'( ) lim
x
f x x f xf x
x
也可寫成
0limx
dy y
dx x
provided the limit exists
9
3-1 前言
• When the derivative exists, the function is said to be differential
• To differentiate a function means to determine its derivative
• 有關微分的寫法及念法如下
'( )f x 'ydy
dx( )df x
dx xD y
葉布尼茲的寫法
( )xD f x, , , , ,
10
Derivative 範例
求 的導數,即對 微分,求 。
3( )f x x ( )f x '( )f x
Sol :0
( ) ( )'( ) lim
x
f x x f xf x
x
3 3
0
( )limx
x x x
x
3 2 2 3 3
0
3 3limx
x x x x x x x
x
2 2 3
0
3 3limx
x x x x x
x
2 2
0
(3 3 )limx
x x x x x
x
2 2 2
0lim 3 3 3x
x x x x x
2'( ) 3f x x
EX :
11
Derivative 練習2( ) 2 2 4f x x x
2( ) 3 2f x x x 2( ) 4 1 8f x x x
( ) 5 5f x x
( ) 3 4 3f x x
①
②
③
④
⑤
12
Derivative 練習
'( )f x , 1( )f x
xIf thenEX : ( )1x
0
( ) ( )'( ) lim
x
f x x f xf x
x
Sol :
1 1
0lim x x x
x x
1 1
0
( )( ) ( )( )lim
( )( )x x x
x
x x x x x x
x x x x
0 0
1lim lim
( )( ) ( )( )x x
x
x x x x x x x
2 20
1 1limx x x x x
( )2x
13
3-2 Basic Rule for Differentiation
( )0
d c
dx
1( )n nd xnx
dx
c : constant
( )f x c
c
( ( )) ( )d dc f x c f x
dx dx
1n ndc x n cx
dx
[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
1.1
2.1
1.
2.
3.
4.
14
Basic Rule for Differentiation 範例
( ) 15f x
( ) 6f x
5( )f x x
2( ) 3 4f x x
( )f x x
2
1( )f t
t
, ( ) 15 0d df x
dx dx
, ( ) ( 6) 0d df x
dx dx
1.1 若
1.2 若
2.1 若
2.2 若
2.3 若
2.3 若
,
,
,
,
5 4( ) 5d df x x x
dx dx
'( ) 6f x
1 12 2
1 1'( ) ( )
2 2f x x x
x
2 33
2'( ) 2( )f t t t
t
16
上台練習
• 求導數 derivative3
2( )f x x
( ) 30f x x
3( ) 10f x x5 4
( ) 12 33 3
f x x x
3 2
6( ) 1f x
x
(a)
(e)
(d)
(c)
(b)
17
3-3 Rates of Change ( 變化率 )
1. 前面已提到導函數 (derivative) 可由函數上的一條切線來找到,即 。若由圖形 (9graph) 的角度來看,可看出函數 在某一點的變化率 (rate of change) 即為導函數的值。
tan0
( ) ( )limx
f x x f xm
x
( )f x
( )f x
x
( )f x x
( )f x
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Rates of Change 範例
若由山下走到學校的距離 (s) 為 500 公尺,阿華 走了 25 分鐘,則阿華的平均速度 (average speed) 為何?
若 Amtrak 公司 83-88 年的收入由 8 億增至 13 億, 則五年內的平均收益為何?
Sol :Average speed =
( 距 )
( 時 )=
500
25= min20 m
Sol :Average revenue =
st
( 收益量 )
( 時 )=R
t13 8
88 83
=5
5= 1( 億 )
EX :
EX :
20
Rates of Change 範例
同上面的題型,可延伸出任一個函數 ,變 化率由 代表
( )f xy
x
例如:若 ,欲求 在 到 的變化率,2( )f x x ( )f x 1x 5x
則可由 求得:y
x
y
x
=(5) (1)
5 1
f f
=25 1
5 1
=24
4= 6
EX :
21
3-3 Rates of Change ( 變化率 )
3. 事實上在第一章已學過, 即為斜率 (m) ,所以斜率亦代表變化率。而當 的變化量逼近 0時 ( ),即代表欲求得 那一點的變化量 ,正好這個公式即為導函數 ( 微分 ) 。故我們可以說導函數 是 在 這一點的變化量,即
is the instantaneous rate of change of y with respect to x, or instantaneous rate of change of with respect to x
y
x
x
0xx 0
limx
y
x
'( )f x y x
y
x
( )f x
22
3-3 Rates of Change 範例
若一球自山頂掉下的距離公式為 ,求
2( ) 16s t t
(a) 前三秒的平均速度?
(b) 在第三秒的速度為何?
Sol :2 2(3) (0) 16(3) ( 16(0) ) 144
483 0 3 3
s s s
t
(a)
(b)第三秒的速度,即在第三秒的變化量,即求 在 的微分 ( 導函數 )( )s t 3t
'( ) 32s t t '(3) 32(3) 96s
EX :
23
上台練習
若 ,求當 的 rate of change
賽車前 6 秒的距離公式為 ( ) , 求第四秒後的速度
若細菌生長的公式為 ,問一開 始的細菌數為何? 3 小時後的細菌成長率為 何?
3 2 8 1y x x x 3x
2 3114
3s t t 0 6t
21000 20n t t
EX1 :
EX2 :
EX3 :
24
3-4 Marginal Analysis ( 邊際分析 )
1. 若函數 是生產 個產品的成本函數,則 稱為邊際成本 (marginal cost) 。即再生產一個產品的成本 ( 即一個量的變化率 )
( )c x x '( )c x
'( ) ( 1) ( )c x c x c x
0
( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) lim '( )
1 x
c x c x c x x c xc x c x c x
x
說明:
25
Marginal Analysis 範例
Suppose ( )determine the marginal cost when
2( ) 100 30c x x x 0 12x 9x
Sol : '( ) 30 2c x x
'(9) 30 18 12c ( 即生產到第 9 個,其邊際成本約為 12元 )
'(10) 30 20 10c
'(11) 30 22 8c
( 生產到第 10 個,其邊際成本約為 10元 )
︰
︰
EX :
26
Marginal Analysis 範例
Suppose . The company determine to stop producing table when the
marginal cost reaches $100. How many table will be mode?
2( ) 0.1 80 100c x x x
Sol :'( ) 0.02 80c x x ( 邊際成本 )
已知 110 0.02 80x
0.02 30x 1500x
∴這個公司會生產到 1500 個桌子後停止生產
EX :
27
3-4 Marginal Analysis ( 邊際分析 )
2. 除了 Marginal cost ,其他類似的邊際分析亦可同理來解它,例如 Marginal revenue 或 Marginal profit
(回顧第一章已知 )
( )R x( )P x
( ) ( ) ( )P x R x c x
28
Marginal Analysis 範例
( ) 4000 70 0.01 2C x x x 2( ) 105 0.02R x x x ,
① 求 marginal cost (MC) , marginal revenue (MR)
② 求 MR(5)
③ 求 marginal profit (MP)
④ 求 , 當 MC=MRx
Sol : ① '( ) 70 0.02MC c x x
② '( ) 105 0.04MR R x x
③ 2 2( ) ( ) ( ) (105 0.02 ) (4000 70 0.01 )P x R x c x x x x x
'( ) 35 0.02MP P x x
④ 70 0.02 105 0.04x x 0.02 35x 1750x MC RC
EX :若
29
3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule (商 )
1. 由於函數與函數間的 +、 -、 、 /、冪次等諸多變化,茲將微分的法則分割介紹。
2. 已在前面學了和,差法則即然而積與商法則卻不是可以分開帶入計算的。
[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
EX :
2( )f x x , ( )g x x , 則[ ( ) ( )]' '( ) ( )f x g x f x g x
3 2( ) ' 3x x 2 1 2x x
30
3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule (商 )
3. Product Rule :Let ( )u u x , ( )v v x then ( ) ' '
du v u v u v
dx
( ) ' 'df g f g f g
dx 或 即 f(x) [ ( )] [ ( )] ( )
d dg x f x g x
dx dx
31
3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule (商 )
:proof 已知0
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim
x
d u x x v x x u x v xu x v x
dx x
加入一個
[ ( ) ( ) ( ) ( )]u x v x x u x v x x
加入項
0
( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ))limx
u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x
x
拆 2項
0
( ) ( ) ( ) ( )limx
u x x v x x u x v x x
x
0
( ) ( ) ( ) ( )limx
u x v x x u x v x
x
提出共同項
0
( )[ ( ) ( )]limx
v x x u x x u x
x
0
( )[ ( ) ( )]limx
u x v x x v x
x
拆
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim ( ) lim ( )x x x
u x x u x v x x v xv x x u x
x x
'( ) ( ) ( ) '( )u x v x u x v x 得証
32
Product Rule 範例
2'( ) (3 5)( 7 )f x x x x , 求 '( )f x
1( ) (2 1)(1 )f x x
x , 求 '( )f x
Sol : 2 2'( ) (3 5) ( 7 ) ' (3 5) ' ( 7 )f x x x x x x x 2(3 5) (2 7) (3) ( 7 )x x x x
2 26 21 35 10 3 21x x x x x 29 32 35x x
Sol : 1 1'( ) (2 1) '(1 ) (2 1)(1 ) 'f x x x
x x
212(1 ) (2 1) ( )x x
x
2 2
2 2 2
2 2 1 2 2 2 1 2 12
x x x x x
x x x x
EX :
EX :
33
上台練習3 2( ) ( 1)( 3)f x x x
3 2( ) (1 )(1 )f x x x
2( 5)(1 2 )y x x 1
(4 1)(1 )y xx
EX 1 :
EX 2 :
EX 3 :
EX 4 :
35
Quotient Rule 範例
5 1( )
1 2
xf x
x
find the derivative of , ( )f x
Sol :2
(5 1) '(1 2 ) (5 1)(1 2 ) ''( )
(1 2 )
x x x xf x
x
2 2
5 10 10 2 7
(1 2 ) (1 2 )
x x
x x
1( )
4 3
xf x
x
, find '( )f x
Sol : 2
( 1) ' (4 3) ( 1)(4 3) ''( )
(4 3)
x x x xf x
x
2 2
4 3 4 4 7
(4 3) (4 3)
x x
x x
EX :
EX :