第 6 回 の2

.

1 変数関数の微分§.

2 . 1 微分 の 定義

折※雨傘「 鸞の傾き した諐,爕△つい て 一%

• た) は つ6 において 微分塗越ns.t の器 が娥-_-et

こ の 極限値 の を 指。) と 表し た) の 孔 における ieee呼ぶ

Th. 2 1-

扣が % において 微分可能 ⇒ No において 杉 は連続

曜 和物_ fhnEPC)この一九

一

とおく と、 定義 H 様 EN) =0 が

、

た) - flo) = fko)は%) t EH)は%) y

②。 No における 扣 の 右側 微分係数def (左側 )<⇒

fは圳 一枷拍。 ) =㐂andan) した。)

Th . 2 2-

扣 が % において 微分 可能⑦ fis.fm が存在 して

、

本化) ニ振)

無限𥫣u. v : % の 近傍 で定義された 関数・ UH) は No において無興琳 𥽜 M) = 0

.

このとき UDC) = 0 ( 1 ) と 表す

。 U.で i % において 無限小

U は ひ より 高位 の 無限 に一一 U もで もつ態で 0になるが

U の 方 が より はやく 0 に 行く婚'

fn 咖"リー

= 0恆 umで 、 でかが

この とき UDC) = o (HD と 表す まい煮場 =見た = 0.

• で の 近く で t が 有界 のとき

③

Ubc ) = 0 (ひけい ) と 表?.gg 0 にいく ばや が 同じ

• U と ひ は 同位 の 無限小 図 Uが 2つには

TT でいこ うに+52

越 To,To

,

ヨ で% の近傍 st 、背。甥で

m El "_' l EM た EU 、 つけた

この とき U ~ひ と表す

玉 2.3

物 が % において 微分可能

⑦ な ERst.fm= f%) t の は%) + o (かが)

この とき の = f!) で ある。

・ 杉 の グラフ 上 の 点 Po = 1が 、 fr ) を 通る 直線le.、 y = fr + d は一%)

が 物 の Po における 接線時 fm - y = o はが

④.fm は I 上 で 微分 可能媽

エ の 各 点 ル で な物 が微分 可能この とき

、 指) を 杉 の 差し関数 といい、

お、 挘)、𦀌

、質 は

など と も 書く、

同様 に し て 、 けが を

f釥 ば 、 f '袽、器が

、器 は

なで て 表し、

物 の 2 階 導一関要して呼ぶ(2次)

一般に.fm の n 階導 関数 (ne) は

抑か.が

、器物

、器

、吐

と表さ れる

• 物 の 微分 係数 や 導 関数 を 求める こと を

物 を 微分 する という、

Ten Th.2 1 より

・ f の は I 上 で の 回 連続的微分 可能 すべての が似、川

Thr に対して 、def⑦ 物が I 上 で n階導関数協 をもち

、

掫) は連続

f物 が I 上 で 連続藿と揃物。

この 様 な 関数全体を では_

) と 表す

⑤.fm は 無限 回 微分 可能嫥 任意 の ne N に対して

、

n 階導 関数が存在するこの 様な 関数全体 を 0は) と表す

The

S.2.2、 微分 の 公式

、_全て 微分の定義 に 基づいて

以下、証明 を つけ ず に

、公式 を 紹介 する

証明 すべき もの である

二、 24f. g : 微分 可能 線形性い) Kfnpgm )に afbntpgh.a.ptR

、

き) Hmg 的 )に 扮gmtfnginiii) (謅 )に 𡝂 )が拗瓺 は叫 0)

五、 251ライプニッツ の 公式)MEN に 対に 、

シーの会 と同じ

Hangが'= 喜 (ま)摺、 また

、

丑2.6 (合成関数)な物 i I 上 微分可能 、

な 8は) 河上 微分 可能か っ f (I) CJ

⇒ Z -8物 : I 上 微分 可能で 農増器-

⑥Ih、2 7 (逆関数)

fi I 上 微分 可能 、指) も 0 かつ 狭義単調 増加

娍ケ)⇒ た fty ) は J - fは ) 上 微分 可能 で

科な ) = J すなわち_ 將 j

五、 281媒介変数 )2に 4け) 、 お XH ) HEI ) が .

4.で I 上 微分可能さらに

.7に 4 け) は I 上 狭義単調増加 かつ 物 も 0

(減少)

⇒ は は 1 に関して 微分 可能 でdyた器 = 鬱 すなわち

、 噐 =

F.

§.

23、

微分 の 性質

立29 (ロル の 定理)

f [a. b] 上 連続が la .b) 上微分 可能 が

さ5に fa ) = fのかまで東_.li/

⇒ 翌 Ela.b) st.fiの _ o

と Elab)

「 1つ とは 限らない 。

⑦璉が 三 C (定数) な 5唄上狐 の ノート 参照

た) 丰 C とする Th. 1. 13 より fm は [a b] において

Max .min を とる

、

これら を それぞれ Mm と する と

仮定よりM , Ha) または m <私)

となる M- m -扣 な 5物は定数

M> Ha ) とする。

(m <fk) のときも 同様 )

この とき f 1 9) =M と なる SE [a . b) が存在するが、

M キ fk) - flb)

より } Ela . b) である.

f 1 9) は [a . b] 上 で の fm の Max なので

ftp.f/D_soChao),7OChE0)である よって hnto.tn -0 よりft 1の so かつ 形) 3 0

と なる .fm は } において 微分 可能な ので

桁) = f 15 ) =£ 1 5) i.fi) = 0 g