Квадратно уравнение · 2); (2) 3. Формули на Виет – Ако...
TRANSCRIPT
1
СЪДЪРЖАНИЕ:
Уравнения:
o Квадратно уравнение.;
o Модулни уравнения.;
o Ирационални уравнения.;
o Показателни уравнения.;
o Логаритмични уравнения;
o Тригонометрични уравнения.;
Неравенства:
o Квадратно неравенство.;
o Модулни неравенства.;
o Ирационални неравенства.;
o Показателни неравенства.;
o Логаритмични неравенства.;
o Тригонометрични неравенства.
Редици ;
Функции. Изследване на функции.;
Прогресии:
o Аритметична прогресия. ;
o Геометрична прогресия. ;
Квадратно уравнение.
1. Квадратното уравнение има вида: ax2 + bx + c
= 0 (1). В зависимост от коефициента a можем да имаме
следните случаи:
1.1. Ако a = 0, уравнението (1) се превръща в
линейно и се решава като линейно;
1.2. Ако a ≠ 0, израза D = b2 – 4ac (ако
b е четно и 2
bk , то D1 = k
2 – ac) се нарича дискриминанта.
Решенията на (1) в този случай се намира по формулата
a
Dbx
221
(ако
2
bk се използва съкратената формула
a
Dkx
1
21
)
2. Разлагане на множители на квадратно уравне-
ние – ax2 + bx + c = a (x–x1)(x–x2); (2)
3. Формули на Виет – Ако уравнението (1) има
реални корени x1 и x2 , то за тях са в сила следните равенс-
тва: a
bxx 21
и a
cxx 21
.
4. Условия определящи знаците на корените на
квадратното уравнение:
4.1. Уравнението (1) НЯМА реални корени,
когато: 0
0
D
a ;
4.2. Уравнението (1) ИМА реални корени,
когато: 0
0
D
a ;
4.3. Уравнението (1) ИМА два различни ре-
ални корени, когато: 0
0
D
a ;
4.4. Уравнението (1) ИМА положителни ко-
рени т.е. ако x1; x2 > 0, то
0
0.
0
21
21
xx
xx
D;
4.5. Уравнението (1) ИМА два различни по-
ложителни корени т.е. ако x1; x2 ≠ 0, когато:
0
0.
0
21
21
xx
xx
D;
4.6. Уравнението (1) ИМА отрицателни ко-
рени т.е. ако x1< 0 и x2 < 0, то
0
0.
0
21
21
xx
xx
D;
4.7. Уравнението (1) ИМА два различни от-
рицателни корени т.е. ако x1≠ x2 < 0, то
0
0.
0
21
21
xx
xx
D;
4.8. Уравнението (1) ИМА корени с различ-
ни знаци т.е. ако x1 > 0 и x2 < 0 (или x1 < 0 и x2 > 0), то
0.
0
21
xx
D ;
4.9. Уравнението (1) ИМА корени с различ-
ни знаци, като отрицателния е по-голям от положителния
2 по абсолютна стойност т.е. ако x1 > 0 и x2 < 0 (или x1 < 0 и
x2 > 0) и |x1|<|x2| (или |x1|>|x2|), то
0
0.
0
21
21
xx
xx
D;
5. Разпределение на корените на квадратното
уравнение (1):
5.1. Числото p(x1;x2) (т.е. x1<p<x2)), ако е
изпълнено неравенството a.f(p) < 0.
5.2. Числото
0)(
)0(0);(; 2121
paf
DDxxилиpxxp
5.3. Числото р е в ляво на интервала [x1;x2]
т.е. p < x1 ≤ x2, ако изпълнено
a
bp
pfa
D
2
0)(.
0
;
5.4. Числото q е в дясно на интервала [x1;x2]
т.е. x1 ≤ x2 < q, ако e изпълнено
qa
b
qfa
D
2
0)(.
0 ;
5.5. Корените x1 и x2 принадлежат на интер-
вала (p;q), където p и q са числа т.е. p < x1 ≤ x2 < q, ако е
изпълнено
qa
bp
qfa
pfa
D
2
0)(.
0)(.
0
;
5.6. Поне един от корените x1 и x2 принад-
лежат на интервала (p;q), т.е. p < x1 < q < x2, ако е изпълне-
но
0)().(
0
0
qfpf
a
D;
5.7. Ако единия корен (например x1) е от
ляво на интервала (p;q), а другия е между числата p и q т.е.
x1 < p < x2 < q, ако е изпълнено
0)(.
0)(.
0
qfa
pfa
D
БЕЛЕЖКА: Ако изследваме разпределението на ко-
рените на параметрично квадратно уравнение и коефици-
ента а зависи от параметъра, то се разглеждат два случая:
Полага се a = 0, и се намира параметъра, след
това се замества във функцията и се намира стойност на х,
след което се проверява така получения корен дали отго-
варя на условието;
Полага се a ≠ 0 и се разглеждат горните сис-
теми.
Квадратно неравенство.
1. Решаване на квадратно неравенство – Квад-
ратното неравенство има вида f(x)=ax2+bx+c>0 (или
f(x)=ax2+bx+c<0). Въвеждаме a’ и определяме знака му.
Ако знака пред x2 и знака на неравенството съвпадат, то
приемаме, че a’ > 0, ако знака пред x2 и знака на неравенс-
твото са различни, то приемаме, че a’ < 0. Нека с x1 и x2
означим корените на функцията f(x) и те са такива, че x1 <
x2. Съществуват два начина за продължаване на решаване-
то на квадратно неравенство:
I начин:
В зависимост от a’ съществуват следните няколко
случая :
1.1. Ако a’ > 0 и:
1.1.1. D > 0, решенията са
21; xxx ;
1.1.2. D = 0, то тогава x1 = x2 и решени-
ята са всяко х ≠ x1;
1.1.3. D < 0, решенията са всяко х.
1.2. Ако a’ < 0 и:
1.2.1. D > 0, решенията са 21; xxx ;
1.2.2. D = 0, неравенството няма реше-
ние;
1.2.3. D < 0, неравенството няма реше-
ние;
II начин:
(метод на интервалите)
Намирайки корените на квадратната функция я раз-
лагаме на множители по формула (2). Нанасяме на число-
вата ос решенията, като разделяме интервала на подинтер-
вали. Нанасяме знаците в получените интервали, като зна-
ка на най-десния интервал е “+”, ако имаме четно число
минуси пред х. Знака на най-десния интервал е “–”, ако
имаме нечетно число минуси пред х. Във всички други ин-
тервали знаците се променят циклично.
2. Разпределение на корените на квадратното
неравенство:
2.1. Неравенството f(x) < 0 е изпълнено за
всяко х(p;q), където p и q са числа:
2.1.1. Ако a > 0 и:
2.1.1.1. при D ≤ 0 неравенството
няма решение в (p;q);
2.1.1.2. при D > 0 и корените x1 <
x2 на уравнението f(x) = 0 да са такива, че x1 ≤ p < q ≤ x2,
тогава когато 0)(
0)(
qf
pf .
2.1.2. Ако a < 0 и:
2.1.2.1. при D < 0, всяко х(p;q);
2.1.2.2. при D ≥ 0 и корените x1
≤ x2 на уравнението f(x) = 0 да са такива, че
x1 ≤x2 ≤ p, тогава когато
pa
b
pf
D
2
0)(
0 ;
q ≤ x1 ≤ x2 , тогава когато
a
bq
qf
D
2
0)(
0
.
2.2. Неравенството f(x) > 0 е изпълнено за
всяко x(p;q), където p и q са числа:
2.2.1. Ако a > 0 и:
2.2.1.1. при D < 0 решенията са
всяко х(p;q);
2.2.1.2. при D ≥ 0 и корените x1
≤ x2 на уравнението f(x) = 0 да са такива, че
3
x1 ≤ x2 ≤ p, тогава когато p
a
b
pf
D
2
0)(
0
;
q ≤ x1 ≤ x2 , тогава когато a
bq
qf
D
2
0)(
0
2.2.2. Ако a < 0 и:
2.2.2.1. при D ≤ 0, неравенство-
то няма решение в интервала (p;q);
2.2.2.2. при D > 0 и корените x1
≤ x2 на уравнението f(x) = 0 да са такива, че x1 ≤ p < q ≤
x2 тогава когато.0)(
0)(
qf
pf .
2.3. Всички решения на f(x) < 0 принадле-
жат на интервала (p;q) т.е. p ≤ x1 < x2 ≤ q:
2.3.1. Ако a > 0 и:
2.3.1.1. при D ≤ 0, неравенство-
то няма решение в интервала (p;q) т.е. решенията са извън
този интервал;
2.3.1.2. при D > 0 решенията са
qa
bp
qf
pf
D
2
0)(
0)(
0
.
2.3.2. Ако a < 0 и:
2.3.2.1. при D ≤ 0, неравенство-
то няма решение в интервала (p;q) т.е. решенията са извън
този интервал;
2.3.2.2. при D > 0 неравенството
няма решение в интервала (p;q) т.е. решенията са извън то-
зи интервал.
2.4. Всички решения на f(x) > 0 принадле-
жат на интервала (p;q) т.е. p ≤ x1 < x2 ≤ q:
2.4.1. Ако a > 0 и:
2.4.1.1. при D < 0, неравенството
няма решение в интервала (p;q) т.е. решенията са извън то-
зи интервал;
2.4.1.2. при D ≥ 0 неравенството
няма решение в интервала (p;q) т.е. решенията са извън то-
зи интервал.
2.4.2. Ако a < 0 и:
2.4.2.1. при D ≤ 0, неравенство-
то няма решение в интервала (p;q) т.е. решенията са извън
този интервал;
2.4.3. при D > 0, за корените на уравне-
нието е изпълнено
qa
bp
qf
pf
D
2
0)(
0)(
0
.
2.5. Неравенството f(x) < 0 има решения в
интервала (p;q) – За да намерим тези решения, първо на-
мираме кога това неравенство НЯМА решения в интервала
(p;q) и след това ги изключваме от Д.О. на функцията:
2.5.1. Ако a > 0:
2.5.1.1. Неравенството няма ре-
шения в (p;q), ако е изпълнено условието D ≤ 0;
2.5.1.2. При D > 0 неравенство-
то няма решение в интервала (p;q), ако корените x1 < x2 на
уравнението f(x) = 0 удовлетворява следните условия:
pa
b
pf
D
pxx
2
0)(
0
21
;
a
bq
qf
D
xxq
2
0)(
0
21
Обединяваме решенията от 2.5.1.1 и 2.5.1.2 и ги изк-
лючваме от Д.О. По този начин получаваме стойностите
на параметъра, за които неравенството f(x) < 0 има реше-
ние в интервала (p;q);
2.5.2. Ако a < 0 – Неравенството f(x) <
0 няма решение в интервала (p;q), ако корените x1 < x2 на
уравнението f(x) = 0 удовлетворява условието 21;; xxqp
т.е. x1 ≤ p < q ≤ x2, а това е възможно при 0)(
0)(
qf
pf .
Решаваме тази система и получаваме стойностите на па-
раметъра, за които неравенството няма решение. Изключ-
ваме тези стойности от Д.О. и получаваме стойностите на
параметъра, за които неравенството f(x) < 0 има решение в
интервала (p;q).
2.6. Неравенството f(x) > 0 има решения в
интервала (p;q):
2.6.1. Ако a > 0 неравенството f(x) > 0
няма решение в интервала (p;q), ако корените x1 < x2 на
уравнението f(x) = 0 удовлетворяват условието
21;; xxqp т.е. x1 ≤ p < q ≤ x2, а това е възможно при
0)(
0)(
qf
pf . Решаваме тази система и получаваме стойнос-
тите на параметъра, за които неравенството няма решение.
Изключваме тези стойности от Д.О. и получаваме стой-
ностите на параметъра, за които неравенството f(x) < 0 има
решение в интервала (p;q);
2.6.2. Ако a < 0:
2.6.2.1. Неравенството няма ре-
шения в (p;q), ако е изпълнено условието D ≤ 0;
2.6.2.2. При D > 0 неравенството
няма решение в интервала (p;q), ако корените x1 < x2 на
уравнението f(x) = 0 удовлетворява следните условия:
pa
b
pf
D
pxx
2
0)(
0
21
;
a
bq
qf
D
xxq
2
0)(
0
21
Обединяваме решенията от 2.6.2.1 и 2.6.2.2 и ги изк-
лючваме от Д.О. По този начин получаваме стойностите
на параметъра, за които неравенството f(x) > 0 има реше-
ние в интервала (p;q);
4
Модулни уравнения.
Приравняват се подмодулните изрази на нула. По
този начин се накъсва целия интервал на подинтервали,
като подинтервала отляво е затворен а отдясно е отворен.
Постепенно се разглеждат всеки от подинтервалите, като
се избира произволно число от разглеждания подинтервал
и се пресмятат подмодулните изрази. Ако знакът на израза
е положителен, освобождаваме се от модула и поставяме
знака “+”, ако знакът на израза е отрицателен, освобожда-
ваме се от модула и поставяме знака “--”. Решаваме полу-
ченото уравнение и ако корените му принадлежат на разг-
леждания интервал то това е решение на уравнението, ако
не принадлежат – то уравнението няма решение в дадени-
ят интервал
Модулни неравенства.
Решават се по същия начин както уравненията.
Ирационални уравнения.
I. Намирането на дефиниционна област не е задъл-
жително но след решаването на уравнението задължител-
но проверяваме дали получения корен е решение на урав-
нението ( чрез заместване на корена в началното уравне-
ние и ако се получи вярно равенство значи корена е реше-
ние на уравнението).
II. Може да не се търси дефиниционна област и в
случая когато имаме уравнение от вида )()( xgxf .
Проверката се извършва, като повдигнем на квадрат двете
страни на уравнението и го решим. Тези решения трябва
да са решения и на неравенството g(x) ≥ 0 т.е решението
на уравнението )()( xgxf се свежда до решаване на
системата
)()(
0)(
2 xgxf
xg
. Ако g(x) съдържа също корен, то
тази процедура се повтаря докато g(x) остане без корен.
Има няколко типа решения на ирационалните уравнения:
1. I тип – ако подкоренната величина е точен
квадрат: Тогава уравнението се свежда до решаване на мо-
дулно уравнение.
2. II тип – Чрез полагане.
3. III тип – Допълване до точен квадрат
4. IV тип – Привеждане под общ знаменател.
5. V тип – Решаване на система чрез полагане.
6. VI тип – Параметрични уравнения – Решават
се по следната схема:
6.1. Решава се ирационалното уравнение по
горните начини;
6.2. Разглеждат се два случая в зависимост от
коефициента пред х. Първия случай когато коефициента е
различен от нула, и втория случай когато е равен на нула.
Ирационални неравенства.
Има няколко типа:
1. Неравенство от вида )()( xgxf
(1) –
Това неравенство се решава като се реши системата
)()(
0)(
0)(
2 xgxf
xg
xf
(в тази система първите две неравенства
са дефиниционната област);
2. Неравенство от вида )()( xgxf
(2) –
Това неравенство се решава като се решат двете системи
)()(
0)(
0)(
0)(2 xgxf
xg
xg
xf
;
3. Общ начин за решаване на неравенства (1) и
(2):
3.1. Намира се Д.О. на неравенството;
3.2. Преобразува се неравенството така, че
едната страна да не съдържа корен (например дясната) и я
означаваме с ψ(x);
3.3. Разделяме Д.О. на две:
3.3.1. Полагаме ψ(x)<0, решаваме го и го
засичаме с Д.О., като по този начин намираме нова Д.О.
Ако имаме неравенството )(xf , то неравенството ня-
ма решение в този интервал, ако имаме неравенството
)(xf , то всяко х е решение в този интервал;
3.3.2. Полагаме ψ(x)≥0, решаваме го и го
засичаме с Д.О., като по този начин намираме нова Д.О.
Повдигаме на квадрат двете страни на неравенството и го
решаваме. Получените решения ги засичаме с Д.О. от тази
подточка;
3.3.3. Обединяваме решенията от 3.3.1 и
3.3.2;
БЕЛЕЖКА:
1. Знаем, че винаги е изпълнено 0)( xf ;
2. Затруднения създава само повдигането на четна
степен, двете страни на неравенството, защото тогава се
получават неравенства които не са еквивалентни. Затова
ако имаме ирационално неравенство съдържащо нечетен
корен, то за решаването му трябва да повдигнем на съот-
ветната степен без да се изследват знаците на двете страни
на неравенството
Показателни уравнения.
Основното свойство на показателното уравнение е
bxba a
x log . Друго свойство е при равни осно-
ви: )()()()( xgxfba xgxf .
БЕЛЕЖКА: Неопределена форма е 00 и 0
-
Има няколко типа задачи:
1. С равни основи.
2. Преобразуване да равни основи. Друг начин
за преобразуване до равни основи е като умножим и раз-
делим с едно и също подходящо число.
3. Уравнение от вида 0.. )()(2 xfxf aa
.
То се решава чрез полагане.
4. Основата съдържа неизвестното x. Тогава се
разглеждат следните четири случая:
4.1. x= – 1. т.е. заместваме основата с – 1 и
решаваме полученото уравнение. Ако се получи вярно ра-
венство, то х=-1 е решение и на уравнението;
5 4.2. x = 0 и се повтаря горе описаната проце-
дура;
4.3. x = 1 и се повтаря горната процедура;
4.4. Решаваме показателното уравнение, като
дясната страна я представяме с подходяща основа;
4.5. Намираме решенията като засечем горни-
те четири решения.
5. Ако има модул: Решава се както модулно
уравнение.
6. При равни степенни показатели т.е. неравенс-
твото има вида )()( )()( xx xgxf . То се решава решавай-
ки уравненията f(x) = g(x) и φ(x) = 0.
7. Ако основите не са равни т.е. )()( xgxf ba .
8. Преобразуваме уравнението с равни основи,
като умножим и разделим с подходящо едно и също число.
9. Графично решение – Например:
67
73
xx
. Лявата страна означаваме с x
xf7
7)(
3
, а
дясната страна с 5)( xxg . Двете функции са дефини-
рани за всяко Х, като функцията f(x) е намаляваща (защото
при увеличаване на Х, знаменателя расте, а цялата дроб
намалява), а g(x) – растяща (при увеличаване на Х функ-
цията расте). Затова двете функции винаги, ще се пресекат
в една точка т.е. уравнението, ще има едно решение (Ако
имаме уравнението x 2x = const, то лявата страна е растя-
ща функция а дясната страна е число, то уравнението също
има едно решение точката в която се пресичат графиката
на функцията и правата линия (графиката на const)). Оче-
видно решението на нашето уравнение е x = 2 (защото при
тази стойност получаваме изпълнено условието лявата
страна да е равна на дясната страна т.е. f(x) = g(x)). Показ-
ваме, че това е единственото решение, като изследваме Х
по следния начин:
1) Ако 0 < x < 2, то директно проверяваме,
че f(x) > 7, а g(x) < 7, но това е невъзможно ( защото имаме
равенство) и затова следва, че при 2;0x уравнението
няма решение;
2) Ако x > 2, то f(x) < 7, а g(x) > 7, но това
също е невъзможно (защото имаме равенство) и затова
следва, че при ;2x , уравнението също няма реше-
ние.
От горните два случая следва, че единственото ре-
шение на нашето уравнение е при x = 2.
10. Неизвестното е в степенен показател и в
свободен член – Най-честото решаване е чрез полагане и
след това по графичен начин.
11. Параметрични уравнения
Показателни неравенства.
Решенията се свеждат до решаване на няколко типа:
1. Неравенство от вида )()( xgxf aa . Решение-
то му зависи от вида на основата т.е.:
1.1. Ако a > 1 горното неравенство се
свежда до решаването на неравенството f(x) < g(x).
1.2. Ако 0 < a < 1 горното неравенство се
свежда до решаването на неравенството f(x) > g(x);
2. Изнасяне на общ множител пред скоби.
3. Неравенство от вида
0)(.. )()(2 илиaa xfxf (тук a>0, a≠1, α, β и γ
– реални числа). То се решава чрез полагане af(x) = y и
решаване на системата 0..
0
2
yy
y
.
4. Основата съдържа неизвестно Х – разглеждат
се два случая:
4.1. Решава се системата от две неравенс-
тва: едното е основата > 1, а другото е решено неравенство
със същия знак;
4.2. Решава се системата от две неравенс-
тва: едното е 0<основата < 1, а другото е решено неравенс-
тво с обратен знак;
4.3. Общото решение се намира като обе-
диним решенията със знака за обединение
5. Параметрични неравенства.
Логаритмични уравнения
Има следните начини за решаване:
1. Уравнение от вида nxfa )(log се решава по
следните стъпки:
1.1. Определяме Д.О. от следната система
0)(
0
0
xf
Rn
a
a
1.2. Решаваме уравнението: naxf )(
2. Уравнение от вида
)(log)(log xgxf aa (от двете страни на равенството
имаме равни основи). Решава се следната система (първи-
те черти уравнения са Д.О.)
)()(
0)(
0)(
0
0
xgxf
xg
xf
a
a
3. Ако в горното уравнение основите са различ-
ни, то има следните начини за решаване:
3.1. Използваме формулите за преобразува-
не на log с равни основи.
3.2. Логаритмуваме двете страни на уравне-
нието.
3.3. Числото се представя като подходяща
степен.
4. Чрез полагане
5. Графично решение. Например: Да се докаже,
че xx5
24lg няма решение за x > 10. Решение: Озна-
чаваме лявата страна с f(x), а дясната страна с g(x). За x >
0: функцията f(x) е растяща т.е. f(x) > 0, но g(x) < 0 т.е. е
намаляваща (проверява се чрез непосредствена проверка).
Двете функции не се пресичат при x > 10 т.е. уравнението
няма решение.
6. Модулни
7. Параметрични
Логаритмични неравенства.
Както всички неравенства така и тези неравенства
търсенето на Д.О. е задължително.
6 1. След преобразуване се разглеждат следните
два случая:
1.1. Неравенство от вида nxa log се ре-
шава в зависимост от основата a:
1.1.1. Ако 0 < a < 1, то решаваме не-
равенството nax
1.1.2. Ако a > 1, то решаваме нера-
венството nax
Ако основата a е функция, то се разглеждат еднов-
ременно и двата случая, като Д.О. се намира от системата
0
0
0
a
a
x
1.2. Неравенство от вида
)(log)(log xgxf aa се решава в зависимост от основата a:
1.2.1. Ако 0 < a < 1, то решаваме не-
равенството )()( xgxf (т.е. знака е обратен на знака на
даденото неравенство);
1.2.2. Ако a > 1, то решаваме нера-
венството )()( xgxf (т.е. знака е същия както знака на
даденото неравенство);
Ако основата a е функция, то се разглеждат еднов-
ременно и двата случая, като Д.О. се намира от системата
0
0
0)(
0)(
a
a
xg
xf
2. Чрез полагане – Например, ако неравенството
е от вида 01loglog 2
2
2 xx . При подходящо пола-
гане това неравенство се преобразува да квадратно нера-
венство.
3. При сложни неравенства например: F(x) > 0,
израза F(x) се разлага на множители и полученото нера-
венство се решава или по метода на интервалите или по
алгебричен начин (Например: ако имаме неравенството
021 xxxx , то се решават системите
0
0
2
1
xx
xx или
0
0
2
1
xx
xx. Ако имаме неравенството 021 xxxx , то
се решават системите 0
0
2
1
xx
xx или 0
0
2
1
xx
xx .
4. Прилага се графичен метод т.е. с помощта на
графика определяме пресечната точка на двете функции.
Тригонометрични уравнения.
1. Елементарни уравнения (основни уравнения)
– Те се решават по следната таблица:
Таблица 3:
a 1<a<-1
т.е.|a|>1 a=– 1 a= 0 a= 1
-1<a<1
т.е.|a|<1
sin x
=a н.р.
k
x
2
2
x=kπ
k
x
2
2
x1=α+2kπ
x2=π-α+2kπ
т.е.
k
xk
1 ,
където
2;
2
, k Z
cos x
=a н.р.
x=π+
2kπ
k
x
2
x=2kπ
x1=2kπ+α
x2=2kπ-α,
където ;0
tg x
=a x=α+kπ
k
x
4
x=kπ
k
x
4
x=α+kπ,
където
)2
;2
(
cotg x
=a x=α+kπ
k
x
4
3
k
x
2
k
x
4
x=α+kπ,
където ;0
ЗАБЕЛЕЖКА: Числото k е произволно цяло число,
за което имаме k = ±0, ±1, ±2, … т.е. k Z. В таблицата x1
и x2 НЕ са броя на решенията на тригонометричните урав-
нения, а броя на групите решения.
2. Уравнение от вида: sin ax ± sin bx = 0 (cos ax ±
cos bx = 0) (1). Използвайки формули (58) до (60) преобра-
зуваме горното уравнение в тригонометрично уравнение
от вида f(x) . g(x) =0 (виж точка 6).
3. Уравнение от вида: sin ax ± cos bx = 0 (2). От
таблица 2 преобразуваме едната тригонометрична функ-
ция в другата и по формулите (57) до (60) довеждаме гор-
ното уравнение до тригонометрично уравнение от вида
f(x) . g(x) =0 (виж точка 6)
4. Уравнение от вида a sin px ± b cos px = c (3),
където a2 + b
2 ≠ 0
4.1. Уравнение (3) се решава, като разде-
лим двете му страни на 22 ba и получаваме
222222cossin
ba
cpx
ba
bpx
ba
a
. За
коефициентите правим следните означения:
cos22
ba
a и sin22
ba
b , където ъгъл
φ се определя от табл. 1. Тогава горното уравнение приема
вида: 22
cossinsincosba
cpxpx
. За лява-
та страна на това уравнение прилагаме формули (27) до
(30), така уравнението се свежда до основно уравнение чи-
ето решение се намира от
табл. 3.
4.2. Ако в
уравнение (3), р = 1 и ако b
+ c ≠ 0, то използвайки
формули (9) и (12), уравне-
нието го преобразуваме в
квадратно спрямо 2
xtg т.е.
уравнението достига до ви-
да
4
3
4
3
4
5
33
5
4
7
0
x
3
2 2
y
3
4
2
3
7
02
22
2 bcx
atgx
tgcb и полагаме y
xtg
2
4.3. Уравнение от вида (3) може да се ре-
ши и чрез използване формули (9) и (12) и след това из-
вършваме полагане yx
tg 2
(виж точка 7). Такова пола-
гане можем да направим, ако след преобразуване на (3)
получим тригонометричната функция 2
cotx
g .и използвай-
ки формула .(16) като 2
x . Например:
2
2
2
2
22 1
1
21
21
cos;1
2
21
22
sint
t
xtg
xtg
xt
t
xtg
xtg
x
.
ЗАБЕЛЕЖКА: При полагането yx
tg 2
и използ-
вайки формули (9) и (12) се изпускат ъглите
kx
22
, защото tgα е определен за всяко
12 k . Затова след като решим уравнението с то-
ва полагане задължително накрая трябва да се направи
проверка, дали ъглите k2 са решения, чрез ди-
ректно заместване.
5. Решаване на тригонометрично уравнение по
метода на разлагане на множители – При този метод прех-
върляме всички едночлени ги прехвърляме от едната стра-
на на равенството и се стремим да отделим общ множител.
6. Привеждане на тригонометричното уравнение
в уравнение от вида f(x) g(x) = 0 (4). То се решава като се
разглеждат двете уравнения f(x) = 0 и g(x) = 0. Решава се
всяко от уравненията, като в различните отговори се из-
ползват различни букви k, l, m, n и т.н.. След това отгово-
рите трябва да се засекат. При засичането, за да определим
кои отговори се съдържат в другите отговори се постъпва
по следния начин: Преобразуваме числата така, че едното
да е функция на другото т.е.k = f (l), където k Z, l Z.
Тогава имаме следните случаи:
6.1. Ако l и k са цели числа, то отговорите с
l се съдържат в отговорите с k. Следователно остават само
отговорите с k. Например: Получаваме отговори
2
14
kx и 6
34
lx . Приравняваме решени-
ята т.е. klkllk 31246
342
14
.
От тук виждаме, че отговорите с k се съдържат в отгово-
рите с l и се изключват. Затова решенията са
6
34
lx . Друг пример: Ако отговорите са
4
14
kx и 2
12
nx . Приравняваме решени-
ята т.е. 132
124
12 nknk т.е. отговорите с
n се съдържат в отговорите с k, затова остава само
4
14
kx;
6.2. Ако l е цяло число, а k е кратно на l.
Например: Нека отговорите са 4
kx и
3
lx . При-
равнявайки двата отговора следва, че 3
4lk
т.е. отговори
с l са кратни на 3 са излишни (дублиращи), които трябва
да се изключат. Това се прави по следния начин: Нека да
вземем отговорите с k т.е. 4
kx . Нанасяме с черни
точки върху окръжност с радиус R = 1 cm (на чертежа),
при k = 0, 1, 2, … докато точките започнат да се повтарят.
След това нанасяме отговорите 3
4lk , при l = 0, 1, 2, ... с
бели точки, ако съвпадат с отговорите 4
kx и с черни
точки, ако не съвпадат. Белите точки отпадат като реше-
нията (защото те се дублират) 3
4lk
(в нашия случай
това са точките 0 и π. Остават отговорите
3
4;
3
2;
3;
3
. Отговорите
3
и 3
4 записваме като
px 3
, а отговорите 3
и
3
2 записваме като
px 3
. Обединяваме ги и получаваме
3
133
ppx . Следователно крайните отговори
(след засичането) са: 4
kx и
313
px , където k
Z и p Z;
6.3. Ако l е цяло число, а k се различава от l
с дробно число тогава отговорите с k не се съдържат в от-
говорите с l, тогава и двата отговора са решение на урав-
нението. Например: След решаване на уравнението полу-
чаваме отговори 4
14
kx и 8
14
lx При-
равняваме т.е.
4
12184
814
414 klkllk
.
От тук се вижда, че двата отговора се различават с 4
1 т.е. и
двата отговора се решение на уравнението. ВНИМАНИЕ:
Отговорите не се засичат, когато са получени от едно и
също просто тригонометрично уравнение. Например има-
ме уравнението 2
3
33sin
x. Това уравнение е
просто. От таблица 1 виждаме, че 2
3sin когато
33
4
. В случая |a| < 1 и от таблица 3намираме
решенията на уравнението са x1 = α + 2kπ и x2 = π – α +2kπ.
Поставяйки на местото на α неговото равно получаваме
следните два отговора:
kxkx3
22
333 (1)
9
56233
3
kkx (2). Отговорите
(1) и (2) не се засичат, защото са решение на едно и също
уравнение
7. Метод на субституциите – При този метод
решаваме уравнението чрез въвеждане на ново неизвестно.
Могат да се правят следните полагания (субституция):
7.1. txx cossin .
7.2. Универсална субституция – При нея се
използват формулите (9) и (12). За този метод виж 4.3.
8 7.3. Преобразуваме и полагаме подходяща
субституция така, че след полагането да се получи квад-
ратно уравнение.
8. Хомогенни уравнения:
8.1. Уравнение което е хомогенно – Те са от
вида:
0coscossin...cossinsin 1
1
1
10
xaxxaxxaxa n
n
n
n
nn
Това уравнение се решава, като разделим двете му страни
на cos n x или sin
n x, където n е степента на уравнението.
БЕЛЕЖКА: Такова делене можем да направим защото то-
ва уравнение няма решение при cos x = 0 защото, ако до-
пуснем, че cos x = 0 следва, че и sin x = 0, но това противо-
речи на формулата (1) (защото, ако двете функции са нула,
то от формула (1) получаваме 02 + 0
2 = 1, но това не е въз-
можно, затова допускането, че cos x = 0 не е вярно). След
деленето от горното уравнение получаваме:
0... 1
1
10
nn
nn atgzaxtgaxtga . Тук правим
полагането tg x = y и горното уравнение се превръща в
квадратно алгебрично, което решаваме.
8.2. Уравнения които не са хомогенни, но се
свеждат до такива.
9. Някой уравнения можем да решим като използ-
ваме неравенствата – 1 ≤ sin x ≤ 1 и – – 1 ≤ cos x ≤ 1,
които са верни за всяко x.
Тригонометрични неравенства.
1. Неравенство съдържащо функцията sin x:
1.1. Нека имаме неравенството sin x > a (където
а е число (виж забележката)). Това неравенство има реше-
ние за
2;
2
. В зависимост от стойността на това
число имаме следните случая:
1.1.1. Ако a < – 1, то x е решение;
1.1.2. Ако a = – 1, то
kx 22 ;
1.1.3. Ако – 1<a<1, то α+2kπ < x < π –α +2kπ
1.1.4. Ако a ≥ 1, то Н.Р. .(Ако имаме нера-
венството sin x ≥ a и а = 1, то след като неравенството sin x
> a няма решение, то остава да търсим решение само на sin
x = a = 1 и тези решения са
kx 22 );;
1.2. Нека имаме неравенството sin x < a (където
а е число (виж забележката)). Това неравенство има реше-
ние за
2;
2
. В зависимост от стойността на това
число имаме следните случая:
1.2.1. Ако a ≤ – 1, то Н.Р.;
1.2.2. Ако – 1<a<1, то – π–α+2kπ < x <α
+2kπ;
1.2.3. Ако a =1, то
kx 22 ;
1.2.4. Ако a > 1, то x е решение;
2. Неравенство съдържащо функцията cos x:
2.1. Нека имаме неравенството cos x > a (където
а е число (виж бележката)). Това неравенство има решение
за ;0 . В зависимост от стойността на това число
имаме следните случая:
2.1.1. Ако a < – 1, то x е решение;
2.1.2. Ако a = – 1, то kx 2 ;
2.1.3. Ако – 1<a<1, то – α+2kπ < x < α +2kπ
2.1.4. Ако a ≥ 1, то Н.Р.;
2.2. Нека имаме неравенството cos x < a (където
а е число (виж бележката)). Това неравенство има решение
за ;0 . В зависимост от стойността на това число
имаме следните случая:
2.2.1. Ако a ≤ – 1, то Н.Р.;
2.2.2. Ако – 1<a<1, то α+2kπ < x <2π–α+2kπ;
2.2.3. Ако a =1, то kx 2 ;
2.2.4. Ако a > 1, то x е решение;
3. Неравенство съдържащо функцията tg x:
3.1. Нека имаме неравенството tg x > a (където а
е число (виж бележката)). Това неравенство има решение
за
2;
2
и те са
kxk
2.
3.2. Нека имаме неравенството tg x < a (където а
е число (виж бележката)). Това неравенство има решение
за
2;
2
и те са
kxk
2.;
4. Неравенство съдържащо функцията cotg x:
4.1. Нека имаме неравенството cotg x > a (къде-
то а е число (виж бележката)). Това неравенство има ре-
шение за ;0 и те са kxk .
4.2. Нека имаме неравенството cotg x < a (къде-
то а е число (виж бележката)). Това неравенство има ре-
шение за ;0 и те са kxk ;
БЕЛЕЖКА: В горните тригонометрични неравенст-
ва числото а може да се разглежда като стойност на триго-
нометричната функция sin α (cos α) т.е. a = sin α. Тогава
горните тригонометрични неравенства могат да бъдат във
вида sin x < sin α (или всяко от останалите). Тогава реше-
нията се разглеждат от таблицата:
Функ-ции. Из-следва-
не на функ-ции.
1. Граница на функция. Решаването се извършва
по следния начин:
1.1. Първо прилагаме непосредствено теоре-
мите за граница на функции и ако получим:
1.1.1. Число, то това число е търсената
граница на функцията;
1.1.2. Неопределена форма (например:
;;
0;;
0
0 и т.н., тогава разлагаме числителя и знаме-
нателя по подходящ начин и след опростяване неопреде-
леността се премахва и прилагаме теоремите;
1.2. Ако за неизвестното имаме x → ± ∞, то
преобразуваме числителя и знаменателя, като изнесем най-
високата степен на неизвестното. Тук имаме няколко въз-
можности. Например: Нека
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxaxF
1
1
10
1
1
10
...
...)( ,
където a0 ≠ 0 и b0 ≠ 0, то:
1.2.1. Ако n>m и 0
0
0 b
a ,то
)(lim xFx
;
sin x < sin α knk 22
sin x > sin α kxk 22
cos x < cos α kxk 222
cos x > cos α kxk 22
tag x < tag α
kxk
2
tg x > tg α
kxk
2
cotg x < cotg α kxk
cotg x > cotg α kxk
9 1.2.2. Ако n>m и
00
0 b
a ,то
)(lim xFx
;
1.2.3. Ако n>m,то
0
0)(limb
axF
x
;
1.3. Типове задачи:
1.3.1. Неопределеност от вида 0
0 – Чис-
лителят и знаменателят се преобразуват по следните начи-
ни: като се разложат на множители (при квадратен трич-
лен); като се изнесе общ множител пред скоби за да се
съкрати; умножаваме числителя и знаменателя със спрег-
натите им изрази (един израз е спрегнат, когато при умно-
жаването му с дадения се получава рационален израз.
БЕЛЕЖКА:
1. Ако има корен само в числителя, умножаваме
само него.
2. Ако числителя и знаменателя изглежда като
формулите a3 – b
3, a
3 + b
3 и т.н., за образуването на спрег-
натите му се използва втората част от тези формули. Нап-
ример: Спрегнатия на a3 – b
3 е (a
2 + ab + b
2).
1.3.2. Неопределеност от вида
–За да
премахнем тази неопределеност разделяме числителя и
знаменателя с най-високата степен на неизвестното (или
изнасяме неизвестното с най-висока степен).
1.3.3. Неопределеност от вида + ∞ – Тази
неопределеност се премахва, като я преобразува в неопре-
деленост от вида
или 0
0 . Това става, като един от мно-
жителите се прехвърля в знаменателя чрез умножаване на
дробта с реципрочното на числителя и знаменателя.
1.3.4. Неопределеност от вида (0; ∞) – Та-
зи неопределеност се премахва, като се преобразува в не-
определеност от вида
или 0
0 . Това става, като един от
множителите се прехвърля в знаменателя чрез умножаване
на дробта с реципрочното му.
1.3.5. Чрез полагане – Правим подходящо
полагане.
1.3.6. Граница на тригонометрична функ-
ция – Преобразуваме функцията така, че да се сведе до
търсене на граница на стандартна тригонометрична функ-
ция (стандартните граници са: 1sin
lim0
x
x
x
; 1coslim0
xx
;
1sin
sinlim
0
x
x
x
; kx
kx
x
sinlim
0
, при k = cont и k ≠ 0 1lim0
x
tgx
x
Преобразуването на тригонометричната функция до гор-
ните стандартни, става по някои от следните начини:
1.3.6.1. умножаваме числителя и
знаменателя с подходящо число.
1.3.6.2. прилагаме формулите за
преобразуване на тригонометрични функции.
1.3.6.3. чрез полагане и комбина-
ция от горните методи.
1.4. Лява и дясна граница – Това са границите
на функцията около точката в която тя няма истинска гра-
ница (например: точка на прекъсване c). Затова функцията
се разглежда в дясно около точката с и се търси границата,
когато аргументът клони към тази точка. Записва се
)(lim0
xfcx
. Същото се прави и в ляво около тази точка.
Записва се )(lim0
xfcx
. Ако лявата и дясната граница на
функция не съвпадат (т.е. )(lim)(lim00
xfxfcxcx
) то f
(x) няма истинска граница, Ако лявата и дясната граница
на функция съвпадат (т.е. )(lim)(lim)(lim00
xfxfxfcxcxcx
) то
f (x) има истинска граница (за по-големи подробности виж
Учебник 11 кл., стр. 67).
БЕЛЕЖКА: Ето няколко стандартни граници:
m
n
x
x
нечетноn
четноn
xx
акоxx
акоxx
x
m
n
xnxx
xxxx
1
1lim;
,
,1lim;0
1lim
;0,1
lim;0,1
lim;1lim;44lim
1
0012
2. Непрекъснатост на функция – Функцията f(x) е
непрекъсната в точка а, ако:
Точката а принадлежи на Д.О. на f(x);
Функцията f(x) има граница при x →a и тази
граница е равна на стойността на функцията в тази точка
т.е. )()(lim afxfax
Ако не е изпълнено едно от горните условия казва-
ме, че функцията f(x) е прекъсната в точката а.
При изследване за непрекъснатост можем да имаме
следните два случая:
Имаме равенството f(x) = c, където с = const и
проверяваме дали функцията f(x) е непрекъсната в точка а.
Затова първо проверяваме дали имаме изпълнено
cxfax
)(lim и след това дали имаме изпълнено f(a) = c.
Ако е така, то f(x) = c е непрекъсната за всяко aR
Имаме равенството f(x) = x и проверяваме да-
ли е непрекъсната за всяко aR. Затова първо проверяваме
дали имаме изпълнено axfax
)(lim и след това дали
имаме изпълнено f(a) =а т.е. проверяваме дали имаме из-
пълнено )()(lim afxfax
Ако е така, то правим извода, че
f(x) = х е непрекъсната за всяко aR.
Теорема: Ако една функция f(x) е дефинирана в ин-
тервала [a;b] и има производна (диференцируема в т. х0, то
казваме, че функцията е непрекъсната в точка х0.
Обратното не е вярно т.е. ако функцията е непре-
късната в точка х0, то те не винаги е диференцируема (сл.
Функцията да е непрекъсната в т. х0 е необходимото но не
достатъчно условие за диференцируемост.
3. Диференцируемост на функция – Една функция е
диференцируема в дадена точка, ако има първа производна
в тази точка.
4. Геометричен и механичен смисъл на производната
4.1. Геометричния смисъл на производната се със-
тои в това, че ако функцията y=f(x) има производна в да-
дена точка, то в тази точка може да се построи допирател-
на до графиката и стойността на тази производна е равна
на ъгловия коефициент на допирателната към графиката
на функцията в тази точка (нека до една крива построим
допирателна и нека ъгъла, които тази допирателна сключ-
ва с абсцисната ос означим с β, то под ъглов коефициент
на допирателната разбираме тангенса на този ъгъл т.е.
k=tgβ) т.е можем да запишем tgβ=f’(x). Ако допирателната
е успоредна на оста Ох, то функцията няма производна в
тази точка (защото k=0).
4.2. Механичен смисъл на производната – Този
смисъл се определя със следните теореми
Т1: Скоростта на едно тяло, движещо се по път
s=f(t) в даден момент t0 е равна на първата производна на
пътя т.е. vm=s’(t0).
10 Т2: Ускорението a на тяло движещо се със скорост
v=f(t) е равна на първата производна от скоростта т.е.
a=v’(t0)=s’’(t0).
5. Специфични точки от графиката на функция:
5.1. Инфлексна точка – Точка в която първата и
втората производна са равни на
нула се нарича инфлексна точка
т.е. точка M(c;f(c)) е инфлексна,
ако f’(c)=f”(c)=0 (фиг. 1’ ). В та-
зи точка функцията не променя
знака си, а само се превръща от
изпъкнала във вдлъбната или
обратно. Например: Нека да
имаме функцията f(x), която е
дефинирана в интервала [a;b] и ако съществуват две точки
x1=c и x2=d [a;b], които c<d са такива, че f’(c) = f’’(c) =
0,а f’(d)=0 но f’’(d)≠0 (на фиг. 1’) следва, че функцията
има инфлексия в т. M(c;f(c)), но има локален max в т.
N(d;f(d)). Например: Функцията y=3x2 няма екстремум, но
има инфлексна точка М(0;0) в която сменя само знака си.
5.2. Рогова точка – Точка от графиката в която
функцията има екстремум, но
няма първа производна. Затова в
роговата точка от графиката се
правят изследвания за локален
екстремум по второто правило.
Например: Получаваме f’(x), но
в точката при х=х0 не е дефини-
рана (тази точка е роговата точ-
ка). Затова наред с решенията на
първата производна съществува и друга критична точка
(точка в която се променя нещо) която, ще има координати
Q(x0;f(x0)). На фиг. 1” роговата точка е т.Q.
6. Ограниченост на функция – Функцията f(x) е ог-
раничена отгоре (или отдолу), ако съществува число (кон-
станта) А за което е изпълнено неравенството f(x)≤A (за
отдолу имаме f(x)≥A), за всяко xД.О. (въобще една
функция е ограничена, ако е изпълнено неравенството
|f(x)|≤A, за всяко xД.О. Например: функцията y = sin x е
ограничена в интервала [-1;+1]; а функцията 21
sin
x
xy
е
ограничена в интервала(–∞;+∞), защото
11
1
1
sin)(
22
xx
xxf (защото |sinx|≤1).
7. Четност и периодичност на функция:
7.1. Четност – Една функция е четна за всяко
хД.О., ако графиката и е си-
метрична на ординатната ос y
(фиг.1) т.е. е изпълнено равенст-
вото f(x)=f(–x). Например: всеки
квадратен тричлен f(x) = ax2 + bx
+ c е четна функция, ако b = 0;
Функцията f(x) = x2n
e винаги
четна; y = |x| е винаги четна и
т.н.
7.2. Нечетност – Функ-
цията y = f(x) е нечетна за всяко
x Д.О., ако графиката и е цен-
трално симетрична фигура спря-
мо началото на координатната
система (фиг.2) т.е. е изпълнено
равенството f(–x)=–f(x). Напри-
мер: Функцията y = x2n+1
е вина-
ги нечетна (и въобще всяка функция която съдържа са-
мо нечетни степени на аргумента е нечетна); тригономет-
ричните функции y = tg x, y = -cotg x са винаги нечетни.
7.3. Нито четна нито нечетна – Например: y=x+1;
y=2x и т.н.
7.4. Периодичност – Функцията f(x) се нарича пе-
риодична, ако съществува число а такова, че за всяко х
Д.О. е изпълнено x – a Д.О. и x +a Д.О. и освен това
стойността на функцията не се променя т.е. f(x-a) = f(x+a)
= f(x). Най-малкото такова положително число (ако същес-
твува) се нарича елементарен период на функцията. Нап-
ример: Функциите y = sin x и y = cos x са периодични с
елементарен период 2π, а функциите y = tg x и y = cotg x са
периодични с елементарен период π. Функцията f(x) =
const е периодична, защото всяко положително число е пе-
риод на тази функция.
8. Монотонност (растене и намаляване) на функция:
8.1. Растяща функция – Една функция f(x) е рас-
тяща в интервала [a;b], когато за всеки две стойности x1 и
x2 Д.О. за които x1 ≥ x2 е изпълнено f(x1)≥f(x2) (функци-
ята е строго растяща, ако за x1 > x2 е изпълнено f(x1)>f(x2)).
Т1: Необходимото и достатъчно условие една функция f(x)
която е диференцируема в интервала [a;b], да е растяща в
този интервал, ако първата и производна е по-голяма или
равна на нула т.е. за да определим дали функцията е рас-
тяща, то трябва да имаме f’(x)≥0.
8.2. Намаляваща функция – Една функция f(x) е
намаляваща в интервала [a;b], когато за всеки две стойнос-
ти x1 и x2 Д.О. за които x1 ≥ x2 е изпълнено f(x1)≤f(x2)
(функцията е строго намаляваща, ако за x1 > x2 е изпълне-
но f(x1)<f(x2)). Т2: Необходимото и достатъчно условие
една функция f(x) която е диференцируема в интервала
[a;b], да е намаляваща в този интервал, ако първата и про-
изводна е по-малка или равна на нула т.е. за да определим
дали функцията е намаляваща, то трябва да имаме f’(x)≤0.
8.3. Монотонна функция – Растяща и намаляваща
функция се нарича общо монотонна. Ако е само растяща
казваме, че имаме монотонно растяща, ако е само намаля-
ваща казваме, че имаме монотонно намаляваща.
8.4. Алгоритъм за намиране на интервала на мо-
нотонност на дадена функция y = f(x):
8.4.1. Намираме Д.О.;
8.4.2. Намираме първата и производна;
8.4.3. Определяме интервалите на:
8.4.3.1. растене – като решим неравен-
ството f’(x)≥0 (ако решим f’(x)>0, то намираме интервала
за строго растене);
8.4.3.2. намаляване – като решим нера-
венството f’(x)≤0 (ако решим f’(x)<0, то намираме интер-
вала за строго намаляване);
БЕЛЕЖКА: Т1 и Т2 допускат възможността произ-
водната да бъде равна на нула т.е.
да няма производна. Това ще е
точката от графиката (инфлексна
точка) в която производната ще
променя знака си (фиг. 3). Ако за
всяка точка от целия интервал
[a;b] производната е равна на
нула, то функцията ще бъде ед-
новременно растяща и намаля-
ваща т.е тя ще е константа в този интервал. Например: f(x)
= ax +b. Когато a>0, функцията f(x) е строго растяща. Ко-
гато a<0, функцията f(x) е строго намаляваща. Когато a=0,
функцията f(x) не е нито намаляваща нито растяща (защо-
x
y
фиг.1
x
y
фиг.2
x
y
фиг.3
y=f(x)
x
y
фиг.1’
a
b d c
f(c)
f(d) M M
N
x
y
фиг.1’’
Q
11 то в този случай имаме функцията f(x) = b и е изпълнена
както Т1 така и Т2)
9. Локален екстремум:
9.1. Определение за локални максимум и мини-
мум – Нека да имаме функцията f(x) която е дефинирана в
интервала [a;b] и нека уравнението f’(x)=0 да има корени
x1=c[a;b] и x2=d[a;b]. От графиката на фиг. 4 се вижда,
че точките a, c, d и b разделят функцията на три интервала:
за x
[a;c) функ-
цията y=f(x)
намалява;
за x
(c;d) функ-
цията y=f(x)
расте;
за x
(d;b] функ-
цията y=f(x)
намалява
(до т. Р) и
след това расте;
О1: Функцията f(x) която е дефинирана в интервала
[a;b] има локален min в точката x1=c[a;b] когато може да
се намери достатъчно малка околност около т. с (например
от чертежа (c–ε;c+ε), където ε>0), в която няма стойност на
f(x) по-малка от f(c) т.е. имаме f(x)≥f(c).
О2: Функцията f(x) която е дефинирана в интервала
[a;b] има локален max в точката x2=d[a;b] когато може да
се намери достатъчно малка околност около т. d (например
от чертежа (d–ε;d+ε), където ε>0), в която няма стойност
на f(x) по-големи от f(d) т.е. имаме f(x)≤f(d).
Общото название на локален max и min е локален
(местен) екстремум.
БЕЛЕЖКИ:
Една функция може да има по-вече от един ло-
кален екстремум (както на фиг. 4 имаме два локални min
(в т. M и т. Р) и един локален max (в т. N). Някои функции
(например y=sin x) има безброй локални екстремуми;
Една функция може да няма локален екстремум
(например: y=tg x; y=x и т.н.);
Локалния екстремум не трябва да се смесва с
най-малка и най-голяма стойност на функцията (например
от фиг. 4 най-голямата стойност на функцията е в т. Q, но
там няма локален екстремум. Дори точката с локален min
може да бъде по-високо от точката с локален max;
Ако дадена функция има производна и локален
екстремум в една и съща точка, то производната в тази
точка е равна на 0. (Например: от фиг. 4 функцията има
локален екстремум в т. M и т. N. Но допирателната в съот-
ветните точки от графиката са успоредни на оста Ох (ъг-
ловия коефициент k = 0). Следователно производната на
функцията в тази точка е равна на нула (виж точка 4 от
раздела “Функции. Изследване на функции”);
Една функция може да няма производна в даде-
на точка (т.е.f’(x)=0), но да има локален екстремум (Нап-
ример: в роговата си точка функцията има локален екст-
ремум, но няма производна (виж “Специални точки”). За-
това в роговата точка се прави изследване за екстремум.
Например: Първата производна има вида 1
2)('
x
xxf , то
уравнението f’(x)=0 има само един корен х=2. Производ-
ната не съществува в точката х=1. Тази точка е именно ро-
говата точка).
9.2. Правила за намиране на локален
екстремум:
I правило:
Първа стъпка: Намираме Д.О. и
проверяваме за непрекъснатост в тази Д.О. (защото
функцията трябва да бъде дефинирана и непрекъсната в
даден интервал [a;b], за да има екстремум);
Втора стъпка: Намираме първата
произвадна f’(x). Ако първата производна за дадени
стоиности на х не съществува, значи имаме рогова точка;
Трета стъпка: Намираме стойностите на х
които анулират първата производна т.е. решаваме
уравнението f’(x)=0 и намираме корените му. Например:
x1=c и x2=d (фит. 4); Следователно в тези точки функцията
може да има екстремум.
БЕЛЕЖКА: Ако горното уравнение няма решение,
то функцията няма екстремум т.е. f(x) е само растяща или
само намаляваща.
Четвърта стъпка: Намираме f”(x), ако
съществува първата производна (т.е.нямаме рогова точка).
Ако втората производна неможе да се намери, то
продължаваме изследването по II правило.
Намираме знака на втората производна в
точките на екстремум т.е. намираве f”(c) и f”(d). Може да
имаме следните три случая:
Ако f”>0, то в тази точка функцията
има локален min. За да намерим стойноста на функцията в
точката на локалният минимум, заместваме съответния
корен (например: с) във функцията т.е. намираме ymin =
f(c). На фиг. 4 точката с локален min е M(c; f(c)).
Ако Ако f”<0, то в тази точка
функцията има локален max. За да намерим стойноста на
функцията в точката на локалният максимум, заместваме
съответния корен (например: d) във функцията т.е.
намираме ymax = f(d). На фиг. 4 точката с локален max е
N(d; f(d)).
Ако f”=0, то в тази точка функцията
има инфлексия т.е. това е точка в която функцията не
променя знака си, а само преминава от вдлъбната в
изпъкнала (или обратното).
II правило:
В някои случаи изследването за локален екстремум
е по-лесно да изследваме знака на първата производна без
да намираме втора производна или когато изследваме за
екстремум в роговата точка . Стъпките са следните:
Първите три стъпки са еднакви с I правило;
Определяме интервалите където функцията рас-
те т.е. е положителна (решаваме неравенството f’(x)≥0) и
намалява т.е. е отрицателна (решаваме неравенството f’(x)
≤0). Например: Нека графиката на изследваната функция
да има вида от фиг. 4. Резул-
татите от горното изследване
се нанасят на следната табли-
ца. От таблицата се вижда, че ymin=f(c), а yman=f(d). При то-
ва правило установяването на локален екстремум става ед-
едновременно с изследването за растене и намаляване на
функция.
10. Най-голяма и най-малка стойност (абсолютен
екстремум) на функция – Нека да имаме функцията y =
f(x) която е дефинирана и непрекъсната за всяко x[a;b].
Нека този интервал да го означим с I. В някои случаи се
налага да се търси най-голямата стойност (НГС) или най-
a c d b
– + – +
y
x a b c c+ε c–ε d
ymax=f(d)
M
N
фиг. 4
ymin=f(c) P
Q
12 малката стойност (НМС) в този интервал (НГС се различа-
ва от локалния max и НМС се различава от локалния min).
Ако в т. сI функцията има НГС, то се записва
)()(max];[
cfxfbax
, ако т. dI функцията има НМС, то се
записва )()(min];[
dfxfbax
. Очевидно е тогава, че имаме
неравенството )()()( cfxfdf .
В зависимост от f(x) и вида на интервала I имаме
следните случая:
10.1. Функцията няма локален екстремум в този
интервал I – Тогава функцията е или растяща или намаля-
ваща в този интервал I:
10.1.1. Ако интервала I е отворен, то f(x) няма
НГС и НМС;
10.1.2. Ако интервала I е затворен от двете
страни, то НГС на f(x) е по-голямото от числата f(a) и f(b),
а НМС на f(x) е по-малкото от числата f(a) и f(b);
10.2. Функцията има единствен екстремум в този
интервал I:
10.2.1. Ако този екстремум е max, тогава той е
НГС, а НМС се определя в зависимост от интервала I:
10.2.1.1. Ако I е отворен, то f(x) няма
НМС в този интервал;
10.2.1.2. Ако I е затворен от двете страни,
то НМС е по-малкото от числата f(a) и f(b).
10.2.2. Ако този екстремум е min, то той е
НМС, а НГС се определя в зависимост от интервала I:
10.2.2.1. Ако I е отворен, то f(x) няма НГС
в този интервал;
10.2.2.2. Ако I е затворен от двете страни,
то НГС е по-голямото от числата f(a) и f(b).
Например: Функцията f(x) е дефинирана в интервала
[a;b] и има локален max в т. с
(фиг. 5). Затова в интервала [a;c],
f(x) е растяща, а в интервала
[c;b] функцията е намаляваща.
Следователно
)()(max];[
cfxfbax
. За да наме-
рим НМС, намираме стойността
на f(a) и f(b) и ако:
)()(min)()(];[
afxfbfafba
;
)()(min)()(];[
bfxfafbfba
;
)()()(min)()(];[
bfafxfbfafba
.
10.2.3. Функцията f(x) има по-вече от един ек-
стремум и интервала I е затворен от двете страни:
10.2.3.1. НГС е по-голямото от числата:
ymax; ymin; y(a) и y(b);
10.2.3.2. НМС е по-малкото от числата:
ymax; ymin; y(a) и y(b).
10.2.4. Основни методи за намиране на абсо-
лютен екстремум:
10.2.4.1. Метод на производните.
10.2.4.2. Метод на субституцията (въвеж-
дане на ново неизвестно);
10.2.4.3. Използване на апарата на растя-
ща и намаляваща функция;
10.2.4.4. Неотрицателни числа;
10.2.4.5. Използване на апарата на квад-
ратно уравнение;
10.2.4.6. Неравенство на Коши: То има
следния вид: abba
2
(1).
Изследва се кога има равенство. Имаме два начина
за изследване:
I следствие – Нека a и b са променливи неот-
рицателни числа (т.е. a≥0 и b≥0), на които обаче сумата е
неизменна (т.е. a + b = k = const). От (1) следва 2
4
1kab .
Следователно можем да направим следните два извода:
Произведението a.b приема НГС и тя е
2
4
1k ;
Тази НГС се получава при a = b.
II следствие – Нека a и b са променливи неот-
рицателни числа (т.е. a≥0 и b≥0), на които обаче произ-
ведението е неизменна (т.е. a.b = k = const). От (1) следва
kba 2 . Следователно можем да направим следните два
извода:
Сбора a + b приема НМС и тя е k2 ;
Тази НМС се получава при a = b
БЕЛЕЖКА: Тези изводи важат и за повече от две
променливи величини (виж Паскалев, Алгебра, стр. 79)
Ако при търсене на абсолютен екстремум на някак-
ва функция f(x), която е дефинирана в интервала [a;b] с
използване на неравенството на Коши сме получили, че
равенството се получава при x = x0, където x0 е извън ин-
тервала [a;b]. Този факт сравнен с метода на производните,
показва че производната на f(x) не се анулира в интервала
[a;b], т.е. функцията f(x) не се анулира в интервала[a;b], т.е
функцията f(x) е или растяща или намаляваща в този ин-
тервал. Тогава НМС и НГС на функцията f(x) се получава
при x = a и x = b.
11. Изследване и построяване на графика на функ-
ция:
11.1. Изследване на многочленна функция – Една
функция е многочленна, ако е от вида f(x) = a0xn + a1x
n–1 +
… + an–1x + an, където a0, a1, ..., an са реални числа (това са
квадратни функции, кубични, биквадратни и т.н.). Обик-
новено Д.О. на такива функции е множеството на реалните
числа R т.е. ; . Ако тази функция съдържа само четна
степен на x, то тя е четна. Ако тази функция съдържа само
нечетна степен на x, то тя е нечетна. (в този случай интер-
вала в които тя ще се изследва не е ; , а ;0 ). Ако
тази функция съдържа както четни така и нечетни степени
на x, то тя не е нито четна нито нечетна.
Изследването на такава функция се прави по след-
ния начин:
11.1.1. определяме Д.О. на функцията.
БЕЛЕЖКА:Една функция е определена когато са за-
дадени Д.О. и правило, чрез които на всеки елемент от
Д.О. х се съпоставя стойност на функцията f(x) = y. Прието
е функцията да се задава само с правилото, представлява-
що някакъв аналитичен израз без да се споменава нещо за
Д.О.. В този случай (когато не е зададена Д.О.) се разбира,
че Д.О. на функцията съвпада с допустимите стойности на
аналитичния израз.
11.1.2. определяме общия характер на функ-
цията т.е изследваме за четност, нечетност и др.:
11.1.2.1. Изследваме за четност, като
ако е четна, то нейната графика е симетрична спрямо оста
Oy (т.е. f(–x) = f(x));
x
y
фиг. 5
a
b c
13 11.1.2.2. Изследваме за нечетност, като
ако е нечетна, то началото на графиката и съвпада с нача-
лото на координатната система.
БЕЛЕЖКА: Затова в тези два случая е достатъчно
понататъшното изследване да се проведе само за неотри-
цателни стойности на аргумента x (т.е. f(–x) = –f(x)).
11.1.2.3. Проверява се дали функцията е
периодична, ако периода е Т, то понататъшното изследва-
не да се проведе само за тези стойности на аргумента х от
интервала [0; T];
11.1.2.4. Изследваме за непрекъснатост,
определяме точките на прекъсване и намираме границата в
тези точки.
11.1.3. Намираме производната f’(x) и опре-
деляме интервалите в която функцията е монотонна (расте
или намалява). БЕЛЕЖКА: Ако функцията f(x) не е дефи-
нирана за дадена точка от интервала (например x = x0), но
е дефинирана от ляво на тази точка х0 и ако функцията е
растяща, то имаме
)(lim
0
0
xf
xx
xx, а ако е намаляваща,
то имаме
)(lim00
xfxx
, ако е дефинирана от дясно
на х0 и тя е растяща (намаляваща) имаме
)(lim00
xfxx
)(lim00
xfxx
.
11.1.4. намираме точките на локалния екст-
ремум;
11.1.5. определяме координатите на харак-
терни точки от графиката:
11.1.5.1. намираме пресечната точка на
графиката на функцията с ординатната ос т.е. намираме
f(0) като заместим във функцията с x = 0;
11.1.5.2. намираме пресечната точка на
графиката на функцията с абсцисната ос т.е. приравняваме
y = 0 и намираме x (ако има такава).
11.1.6. намираме границата в краищата на
Д.О. и уточняваме поведението на функцията в околността
на точките на прекъсване.
БЕЛЕЖКА: Ако интервала е ; и съществува
граница в краищата му т.е при x имаме
axfx
)(lim , то графиката на функцията се приближа-
ва до правата y = a. Тази права се нарича хоризонтална
асимтота. Ако изследваме точката на прекъсване имаме
)(lim xfax
, то графиката се приближава до вертикал-
на линия, която се нарича вертикална асимтота (обикнове-
но асимтоти имаме при дробни функции).
11.1.7. Нанасяме резултатите в таблица –
Таблицата се състои от три реда:
1 ред – подреждаме по големина намерените ха-
рактерни точки, а именно: краищата на Д.О.; точките в ко-
ито функцията е прекъсната; критичните точки (т.е. точки-
те в които функцията не е дефинирана, точките в които
функцията има локален екстремум т.е точките за които
f’(x) = 0)
2 ред – знака на първата производна в характер-
ните точки за получените подинтервали;
3 ред – стойността на функцията f(x) в харак-
терните точки или границата на функцията в краищата на
интервалите където функцията не е дефинирана. Освен то-
ва във всеки интервал, където функцията е растяща (т.е.
f’(x)≥0) поставяме знака , а където тя е намаляваща (т.е.
f’(x)≤0) поставяме знака . Отдолу на същия ред на-
насяме къде функцията има локален min (т.е.f”(x)≥0) или
локален max (т.е f”(x)≤0).
11.1.8. Построяваме графиката.
12. Екстремални задачи – Една задача се нарича ек-
стремална (обикновено в геометрията, планиметрията,
стереометрията и т.н.), когато се търси най-малки или най-
големи елементи от фигури (например: отсечки, ъгли, ли-
це, обем и т.н.). Обикновено решението на екстремални
задачи се извършва по следния алгоритъм:
12.1. Избира се някои променлив елемент
(дължина на отсечка, или големина на ъгъл) на разглежда-
ния геометричен обект за променлива х.
В някои случаи дадения елемент и избрания елемент
х може да не са достатъчни за определяне на търсената ве-
личина. Тогава се избира втори параметър y.
12.2. Елементът, на който се търси дадена екс-
тремална стойност, се изразява чрез дадения елемент и па-
раметъра х и така получения израз го означаваме с f(x).
12.3. Определяме Д.О. от стойностите на пара-
метъра х, които може да заеме. Това определяне става на
базата както на геометрични, така и на аналитични съоб-
ражения.
12.4. С предишната точка задачата се оформя
като задача за намиране на екстремална стойност на функ-
цията f(x) с дефиниционно множество Д.О..
Много често функцията f(x) може да се опрости т.е.
може да се намери друга функция F(x) със същата Д.О.,
която получава екстремум заедно с f(x) при една и съща
стойност x = x0 на аргумента.
12.5. Намираме екстремалната стойност на
функцията F(x) с дефиниционното множество Д.О.. В за-
висимост от характера на F(x) се използват някои от след-
ните методи:
12.5.1. метод на производните
12.5.2. неравенство на Коши
12.5.3. тригонометричен метод;
12.5.4. геометричен метод.
12.6. Освен f(x) намират се стойностите и на
други елементи на съответните геометрични фигури при x
= x0, след което се прави качествен извод за вида на търсе-
ния геометричен обект.
Редици.
Нека да имаме естествените числа 1, 2, …, n и на
всяко от тях да съпоставим произведението му с числото 3.
Така получаваме следната редица от числа 3, 6, 9, …, 3n.
т.е.
)1(
3
1
f
)2(
6
2
f
)3(
9
3
f
)4(
12
4
f
…
)(
3
nf
n
n
: Множеството от числа (или отсечки или др.)
съпоставено по някакво правило на естествените числа 1,
2, …, n, се нарича числова редица.
Членовете на редицата са: първи член – а1, втори
член – а2, т.н., n –ти
член – аn . Числото аn се нарича общ (n –
ти ) член и формулата (в примера) an = 3n се нарича форму-
ла за общия член. Ако една редица е зададена с формулата
О
14 за общия си член, може да запишем редицата na или
n3 .
Видове редици:
o крайни – когато се знае последния
им член;
o безкрайни – като не се знае послед-
ният им член.
Начини за задаване на редици:
o чрез формулата на общия член
(аналитично) – Например: n
nan
1 , редицата е
n
n 1;...;
3
4;
2
3;2
;
o словесно (описателно) – Например:
на естествените числа съпоставяме простите числа 2, 3, 5,
…;
o с рекурентна зависимост – Напри-
мер: задава се първия член a1 и връзката между два съсед-
ни члена т.е. задава се първия член и правилото за получа-
ване на всеки следващ . Ако a1 = 1 и an = an–1 + n, редицата
е 1, 3, 6, 10, ….
Монотонност:
o растяща редица – : Редицата
na е растяща (строго растяща) когато за всяко n, всеки
член след първия е по-голям или равен на предходния т.е.
nn aa 1 (за строго растяща имаме
nn aa 1);
o намаляваща редица – : Реди-
цата na е намаляваща (строго намаляваща) когато за вся-
ко n, всеки член след първия е по-малък или равен на
предходния т.е. nn aa 1 (за строго намаляваща имаме
nn aa 1);
Растяща или намаляваща редица се нарича моно-
тонна.
От определението следва, че за да се докаже моно-
тонността на редица достатъчно е да се изследва знака на
разликата an–1 – an. Ако то е положително – редицата е рас-
тяща, ако то е отрицателно – редицата е намаляваща (в ня-
кои случаи е по-удобно да образуваме частното
n
n
a
a 1 и да
проверим дали е по-голямо от 1 (за растяща) или по-малко
от 1 (за намаляваща).
Ограничена – :: Редицата na се на-
рича ограничена отгоре, ако съществува число ε за което
na за всяко n; Редицата na се нарича ограничена от-
горе, ако съществува число ε за което na за всяко n.
Една редица е ограничена, ако е ограничена отгоре и
отдолу.
Аритметична прогресия.
: Числова редица, на която всеки член след
първия се получава от предходния с прибавянето на едно и
също число d (което число се нарича разлика на аритме-
тичната прогресия) т.е. nnnn aaddaa 11.
От определението следва, че при d > 0 аритметична-
та прогресия е растяща, а при d < 0 – намаляваща.
Прието е аритметичната прогресия се означава
със знака “ .
(за общия член): Ако имаме аритметична
прогресия с първи член a1 и разлика d, то е в сила:
an = a1 + (n–1)d.
(за сумата на първите n члена): Нека да имаме
аритметичната прогресия a1, a2, …, an, с разлика d, то сума-
та Sn на членовете и е naa
S n
n .2
1 или n
dnaSn .
2
12 1
Формула за сбора на първите n естествени
числа е 2
1321
nnn
За три последователни члена на аритме-
тичната прогресия е в сила равенството: 2
11 kk
k
aaa т.е.
всеки член без първия е средно аритметично на съседните
му два члена.
За коя да е аритметична прогресия е в сила
равенствата: a1 + an = a2 + an – 1 = … = ak + an – k+1 т.е. сумата
на два члена, равноотдалечени от крайните й членове, е
равно на сумата на двата крайни члена.
Геометрична прогресия.
: Числова редица, на която всеки член след
първия се получава от предходния като се умножи с едно и
също число q (което число се нарича частно на геометрич-
ната прогресия) т.е.
n
nnn
a
aqqaa 1
1 .
, ако an ≠ 0
От определението следва, че при q > 1 геометрична-
та прогресия е растяща, а при 0 < q < 1 – намаляваща. Ако
q = 1 – всички членове са равни, ако q = 0 и a1 ≠ 0 – всич-
ки членове след първия са равни на нула (например: 4, 0, 0,
…,) ако q = – 1 – прогресията се състои от една двойка
противоположни числа (например: –2, 2, –2, 2, …,). БЕ-
ЛЕЖКА: Геометричната прогресия с q = 0 и q = ± 1 не
представляват интерес и затова полагаме q ≠ 0 и q ≠ ± 1
Прието е аритметичната прогресия се означава със
знака .
(за общия член): Ако имаме с първи член a1
и частно d, то е в сила равенството an = a1 . q n–1
.
(за сумата на първите n члена): Нека да имаме
a1, a2, …, an, с частно q ≠ 1, то сумата Sn на членовете и
е q
qa
q
qaS
nn
n
1
1
1
111
или q
qaa
q
aqaS nn
n
11
11 . БЕ-
ЛЕЖКА: При q > 1 е удобно да се използват първите части
от горните формули, а при q < 1 – вторите части.
(за произведението на първите n члена): Нека
да имаме a1, a2, …, an, с частно q ≠ 1, то произведение-
то Пn на членовете и е
2
1
1 .
nn
n
n qaП
T3
T2
T1
О
Св. 2
Св. 1
Сл. 1
T2
T1
О
О3
О3
О2
15
(сума на безкрайно намаляваща ) : Нека да
имаме безкрайно намаляващата геометрична прогресия a1,
a2, …, an, с частно |q| < 1, тогава q
aS
1
1
За три последователни члена на геомет-
рична прогресия е в сила равенството: 11
2 . kkk aaa т.е.
всеки член без първия е средно геометрично на съседните
му два члена.
За коя да е геометрична прогресия е в сила
равенствата: a1 . an = a2 . an – 1 = … = ak . an – k+1 т.е. произве-
дението на два члена, равноотдалечени от крайните й чле-
нове, е равно на произведението на двата крайни члена.
T4
Св. 2
Св. 1