НАУЧНО - gsu.by · Богданович (Беларусь) ... –...

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

«ПРОБЛЕМЫ ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ И ТЕХНИКИ»

Главный редактор: А.В. Рогачев (Беларусь)

Заместитель главного редактора:

О.М. Демиденко (Беларусь)

Редакционная коллегия: В.Е. Агабеков (Беларусь)

П.Н. Богданович (Беларусь) А.Ф. Васильев (Беларусь) Го Вэньбинь (Китай)

С.С. Гиргель (Беларусь) В.И. Громак (Беларусь) А.Н. Дудин (Беларусь)

В.А. Еровенко (Беларусь) А.И. Калинин (Беларусь) Матс Ларссон (Швеция) В.Д. Мазуров (Россия)

Н.В. Максименко (Беларусь) Ю.В. Малинковский (Беларусь)

А.Р. Миротин (Беларусь) В.В. Можаровский (Беларусь)

В.С. Монахов (Беларусь) Н.К. Мышкин (Беларусь)

Ю.М. Плескачевский (Беларусь) М.В. Селькин (Беларусь) И.В. Семченко (Беларусь) А.Н. Сердюков (Беларусь) А. Сихвола (Финляндия) А.Н. Скиба (Беларусь)

С.А. Третьяков (Финляндия)

Ответственный секретарь: Е.А. Ружицкая (Беларусь)

Адрес редакции:

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины

ул. Советская, 104, 246019, г. Гомель, Беларусь Тел. +375(232)60-30-02

+375(232)60-74-82 e-mail: [email protected]

Интернет-адрес: http://pfmt.gsu.by

SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL

«PROBLEMS OF PHYSICS, MATHEMATICS AND TECHNICS»

Editor-in-Chief: A.V. Rogachev (Belarus)

Deputy Editor-in-Chief:

O.M. Demidenko (Belarus)

Editorial board: V.E. Agabekov (Belarus)

P.N. Bogdanovich (Belarus) A.F. Vasilyev (Belarus) Guo Wenbin (China) S.S. Girgel (Belarus)

V.I. Gromak (Belarus) A.N. Dudin (Belarus)

V.A. Erovenko (Belarus) А.I. Kalinin (Belarus)

Mats Larsson (Sweden) V.D. Mazurov (Russia)

N.V. Maksimenko (Belarus) Yu.V. Malinkovsky (Belarus)

A.R. Mirotin (Belarus) V.V. Mozharovsky (Belarus)

V.S. Monakhov (Belarus) N.K. Myshkin (Belarus)

Yu.M. Pleskachevsky (Belarus) M.V. Selkin (Belarus)

I.V. Semchenko (Belarus) A.N. Serdyukov (Belarus)

A. Sihvola (Finland) A.N. Skiba (Belarus)

S.A. Tretyakov (Finland)

Executive Secretary: E.A. Ruzhitskaya (Belarus)

Edition address:

F. Sсorina Gomel State University Sovetskaya Str., 104,

246019, Gomel, Republic of Belarus Ph. +375(232)60-30-02

+375(232)60-74-82 e-mail: [email protected]

website:http://pfmt.gsu.by

ПРОБЛЕМЫ ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ И ТЕХНИКИ

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

Издается с декабря 2009 г.

Выходит 4 раза в год

№ 1 (22) 2015

СОДЕРЖАНИЕ

ФИЗИКА

Зеневич А.О. Способ измерения распределения одноквантовых импульсов ………………… 7 Капшай В.Н., Данильченко М.С., Гришечкин Ю.А. Ковариантные уравнения и резо-нансные состояния двухчастичных систем с δ-потенциалами ……………………………………….. 11 Кулак Г.В., Матвеева А.Г., Николаенко Т.В. Особенности оптико-акустической диагно-стики клиновидных дефектов твердых тел …………………………………………………………… 16 Сотский А.Б., Парашков С.О., Василенко А.Н. Отражение света ТЕ поляризации от металлической пленки в условиях аномального скин-эффекта ……………………………………… 21 Тимощенко Е.В., Юревич Ю.В. Heлинейная восприимчивость тонкой плёнки плотной резонансной среды ……………………………………………………………………………………… 27 Фаняев И.А., Семченко И.В., Хахомов С.А., Самофалов А.Л. Одноосный электрически тонкий вращатель поляризации электромагнитных волн …………………………………………… 32 Шершнев Е.Б., Никитюк Ю.В., Шершнев А.Е., Соколов С.И. Особенности формирова-ния термоупругих полей при лазерной обработке кристаллов алмаза ………………………………. 38 Шушкевич Г.Ч., Шушкевич С.В., Куц А.И. Рассеяние поля электрического диполя на тонкой незамкнутой сферической оболочке и шаре ………………………………………………….. 41

МАТЕМАТИКА

Антоневич А.Б., Шукур Али А. Оценки резольвент для дискретных операторов взвешен-ного сдвига ………………………………………………………………………………………………. 48 Астафьева А.В. Асимптотика диагональных аппроксимаций Эрмита – Паде для системы из четырех экспонент ………………………………………………………………………………………. 53 Белокурский М.С. О совпадении отражающих функций квазипериодической и периоди-ческой дифференциальных систем …………………………………………………………………….. 58 Бузланов А.В. Конечные разрешимые группы с метанильпотентными максимальными под-группами …………………………………………………………………………………………………. 62 Васильев В.А. О ΦU -гиперцентрально вложенных подгруппах конечных групп ………….. 66 Гальмак А.М. l-Арные подгруппы полной линейной l-арной группы ……………………….. 72 Каморников С.Ф. О решетке всех разрешимых регулярных транзитивных подгрупповых функторов ……………………………………………………………………………………………….. 78 Мурашко В.И. Разрешимые формации с условием Шеметкова ………………………………. 82 Тютянов В.Н. Конечные группы с P -субнормальными подгруппами Шмидта …………….. 88

ИНФОРМАТИКА

Демиденко О.М., Кучеров А.И. Сравнительный анализ математических методов повыше-ния надежности информационных и технических систем …………………………………………… 92

ТЕХНИКА

Заплатников С.С., Хижняк А.В., Шевяков А.В. Снижение вероятности срыва в корреля-ционных системах сопровождения оптически наблюдаемых объектов …………………………….. 98

Учредитель – Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Журнал зарегистрирован в Министерстве информации Республики Беларусь

(свидетельство о регистрации № 492 от 15 июня 2009 г.)

Журнал включен в Перечень научных изданий Республики Беларусь для опубликования резуль-татов диссертационных исследований по следующим отраслям науки (научным направлениям):

– технические (информатика, вычислительная техника и управление); – физико-математические (физика, математика).

Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 4 июля 2005 г. № 101 (в редак-

ции приказа Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 2 февраля 2011 г. № 26), реше-ние коллегии Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 8 июля 2011 г. № 13/1, приказ Председателя Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 1 февраля 2012 г. № 21. Журнал «Проблемы физики, математики и техники» реферируется в Реферативном журнале и Базах данных Всероссийского института научной и технической информации (ВИНИТИ) Российской Акаде-мии наук (Москва) и в реферативном математическом журнале «Zentralblatt MATH» (Берлин, Германия). Ежегодно ВИНИТИ РАН подает сведения в мировую справочную систему периодических изданий «Ulrich's Periodical Directory» о реферировании журнала «Проблемы физики, математики и техники» в Реферативном журнале ВИНИТИ РАН.

Журнал включен в Общероссийский математический портал Math-Net.Ru и Научную электронную библиотеку eLIBRARY.RU.

Технический редактор Е. А. Ружицкая Корректоры Г. Н. Петухова, Т. А. Фицнер

Дизайн обложки А. В. Ермаков

Подписано в печать 11.03.15. Формат 60×84 18 . Бумага офсетная. Гарнитура Times.

Усл. печ. л. 12,6. Уч.-изд. л. 10,9. Тираж 100 экз. Заказ № 151.

Издатель и полиграфическое исполнение: учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины». Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя,

распространителя печатных изданий № 1/87 от 18.11.2013. Специальное разрешение (лицензия) № 02330/450 от 18.12.2013

ул. Советская, 104, 246019, Гомель

© Учреждение образования «Гомельcкий государственный университет имени Франциска Скорины», 2015 © Проблемы физики, математики и техники, 2015 © Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2015

PROBLEMS OF PHYSICS, MATHEMATICS AND TECHNICS

SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL

Published since December, 2009

There are 4 times a year

№ 1 (22) 2015

CONTENTS

PHYSICS

Zenevich A.O. A method of measuring the distribution of single-photon pulses ………………….. 7 Kapshai V.N., Danilchenko M.S., Grishechkin Y.A. Covariant equations and resonance states of two-particle systems with δ-function potentials ……………………………………………………….. 11 Kulak G.V., Matveeva A.G., Nikolaenko T.V. Features of optical-acoustical diagnostics of wedge-shaped defects of solids …………………………………………………………………………… 16 Sotsky A.B., Parashkov S.O., Vasilenko A.N. Reflection of the TE polarized light from a metal-lic film at the anomalous skin effect ……………………………………………………………………… 21 Timoschenko E.V., Yurevich Yu.V. Nonlinear susceptibility of the thin film of dense resonant medium …………………………………………………………………………………………………… 27 Faniayeu I.A., Semchenko I.V., Khakhomov S.A., Samofalov A.L. Uniaxial electrically thin rotator of polarization of electromagnetic waves ………………………………………………………… 32 Shershnev E.B., Nikitjuk Yu.V., Shershnev A.E., Sokolov S.I. Features of formation of ther-moelastic fields at laser processing of diamond crystals ………………………………………………… 38 Shushkevich G.Ch., Shushkevich S.V., Kuts A.I. Scattering of the electric dipole field on the thin unclosed spherical shell and ball …………………………………………………………………….. 41

MATHEMATICS

Antonevich A.B., Shukur Ali A. Estimation of resolvents for discrete weighted shift operators … 48 Astafyeva A.V. Asymptotics of diagonal Hermite – Pade approximants for a system of four expo-nentials …………………………………………………………………………………………………… 53 Belokursky M.S. On coincidence of reflecting functions of the quasi-periodic and periodic diffe-rential systems …………………………………………………………………………………………… 58 Buzlanov A.V. Finite soluble groups with metanilpotent maximal subgroups …………………….. 62 Vasilyev V.A. On ФU -hypercentrally embedded subgroups of finite groups …………………….. 66 Gal'mak A.M. l-Ary subgroups of general linear l-ary group ……………………………………... 72 Kamornikov S.F. On the lattice of all solvable regular transitive subgroup functors …………….. 78 Murashka V.I. Soluble formations with the Shemetkov property ………………………………… 82 Tyutyanov V.N. Finite groups with P -subnormal Schmidt subgroups …………………………… 88

INFORMATION SCIENCE

Demidenko O.M., Kucherov A.I. Comparative analysis of mathematical methods to improve the reliability of the information and technical systems ……………………………………………………… 92

TECHNICS

Zaplatnikov S.S., Khizhniak A.V., Sheviakou A.V. Lowering of failure probability in correla-tion tracking systems of optically observable objects …………………………………………………….. 98

Founder – Francisk Scorina Gomel State University

The journal is registered in the Ministry of information of Belarus (registration certificate № 492 from June, 15th, 2009)

The journal is included in the List of scientific editions of Belarus for publication of dissertational researches results on the following branches of science (scientific fields):

– Technics (Informatics, Computer Science and Control); – Physics and Mathematics.

The journal «Problems of Physics, Mathematics and Technics» is reviewed in Abstract journal and Data-bases of the All-Russia Institute of Scientific and Technical Information (VINITI) of the Russian Academy of Sciences (Moscow) and in abstract mathematical journal «Zentralblatt MATH» (Berlin, Germany). Annually the VINITI of the Russian Academy of Sciences submits data review of the journal «Problems of Physics, Mathematics and Technics» in Abstract journal VINITI of the Russian Academy of Sciences to the world Help of periodicals «Ulrich's Periodical Directory».

The Journal is included in all-Russian Mathematical Portal Math-Net.Ru and Scientific Electronic Library eLIBRARY.RU.

Проблемы физики, математики и техники, № 1 (22), 2015

© Зеневич А.О., 2015 7

УДК 621.383

СПОСОБ ИЗМЕРЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОКВАНТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ

А.О. Зеневич

Высший государственный колледж связи, Минск, Беларусь

A METHOD OF MEASURING THE DISTRIBUTION OF SINGLE-PHOTON PULSES

A.O. Zenevich Higher State College of Communications, Minsk, Belarus

Предложен способ, позволяющий повысить точность измерения статистического распределения одноквантовых им-пульсов за счет устранения погрешности, вносимой темновыми импульсами. Ключевые слова: одноквантовый импульс, счетчик фотонов, статистическое распределение одноквантовых импуль-сов. The way to improve the accuracy of the measurement of the statistical distribution of single-photon impulses by eliminating the errors introduced by dark impulses is proposed. Keywords: single photon pulses, photon counter, statistical distribution of single photon pulses.

Ведение Квантово-статистический подход в описа-

нии оптического излучения в настоящее время широко используется в оптике и квантовой элек-тронике [1]. Он позволяет более детально разо-браться в физических процессах и явлениях, про-текающих в источниках и приемниках оптиче-ского излучения, а также в средах, в которых распространяется излучение. На основании ста-тистического распределения одноквантовых им-пульсов можно судить о квантовых статистиче-ских свойствах оптического излучения и опреде-лить некоторые характеристики фотоприемников [2]. Необходимо отметить, что существующие способы регистрации статистического распреде-ления одноквантовых импульсов не учитывают темновые импульсы фотоприемников, которые будут приводить к погрешности измерения ста-тистического распределения одноквантовых им-пульсов. Поэтому цель предлагаемой статьи – разработать способ, который позволяет исклю-чить из результатов измерения темновые им-пульсы и тем самым повысить точность измере-ния статистического распределения однокванто-вых импульсов.

1 Описание способа Сущность способа заключается в том, что

вначале весь интервал измерения длительностью t делят на Ми подынтервалов равной длительно-сти Δt, затем выполняется измерение количества импульсов на всем интервале в присутствии внешней подсветки счетчика фотонов, осуществ-ляются подсчеты количества подынтервалов, на

которых не было зарегистрировано ни одного импульса, количества подынтервалов, на кото-рых был зарегистрирован один импульс, и т. д., пока не пересчитают все подынтервалы. Затем проделывают те же действия и измерения, но в отсутствие оптического излучения.

Вероятности pт(g) и pст(g) зарегистрировать g импульсов на выходе счетчика фотонов за вре-мя Δt в отсутствии и присутствии внешней за-светки определяются по следующим формулам:

( ) gm

и

mp g

M= и ( ) ,g

cmи

mp g

M′

= (1.1)

где mg и gm′ – количество подынтервалов, на которых зарегистрировано g импульсов в отсут-ствии и в присутствии внешней подсветки соот-ветственно. Поскольку в реальном эксперименте за время Δt можно зарегистрировать только ко-нечное число импульсов, то максимальное коли-чество импульсов, зарегистрированных за Δt, равно K при наличии внешней подсветки и N в случае ее отсутствия. Тогда можно составить следующую систему уравнений:

0 0

1 0 1

2 0 1 3

0 1

(0),(1) (0),(2) (1) (0),

......................................( ) ( 1) ..... ( ),K N

m m pm m p m pm m p m p m p

m m p K m p K m p K N

′ =⎧⎪ ′ = +⎪⎪ ′ = + +⎨⎪⎪

′⎪ = + − + + −⎩

(1.2)

где m0, m1,…mN – соответственно количество подынтервалов, на которых зарегистрировано от нуля до N импульсов при затемнении фо-топриемника, 0 ,m′ 1,..., Km m′ ′ – соответственно

ФИЗИКА


Проблемы физики, математики и техники, № 1 (22), 2015 8

количество подынтервалов, на которых зареги-стрировано от нуля до K импульсов включитель-но при подсветке фотоприемника, p(0), p(1), …, p(K–N) – соответственно вероятность регистра-ции нуля одноквантовых импульсов, одного од-ноквантового импульса и т. д. до K – N одно-квантовых импульсов.

Матрица P системы (1.2) имеет порядок N и следующий вид:

0

0 1

0 1 2

0 0 ... 00 ... 0

.... ... ... ... ...

... N

mm m

P

m m m m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.3)

При этом число строк в матрице K, а число столбцов N. В случае, когда K > N, увеличивают число столбцов до K. При этом недостающие элементы матрицы заменяют нулями. После чего находят решение системы (1.2)

00 0 0

0

0

...(0)... ... ... ......

1 ... ,( )det

... ... ... .........( )

K

g Kg g

N KK K

P P mp

P P mp gP

P P mp K

′⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ′=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ′⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(1.4)

где det P – определитель матрицы (1.2), а P01, …,PKK – алгебраические дополнения матрицы (1.2).

Измерив значения m0, m1,…,mN и 0 ,m′ 1,m′ ..., ,Km′ на основании выражения (1.3) находим распределения одноквантовых импульсов.

2 Описание устройства Способ реализован при помощи устройства,

схема которого представлена на рисунке 2.1. Устройство функционирует следующим об-

разом. По приходу сигнала запуска таймера Т этот же импульс обнуляет все счетчики импуль-сов и сдвиговый регистр. Таймер Т задает вре-менной интервал измерения длительностью t и запускает генератор Г. Генератор разделяет весь интервал измерения на равные по длительности подынтервалы прямоугольными импульсами. Число подынтервалов подсчитывается счетчиком Сч. На тактирующие входы С триггера ТР1 и сдвигового регистра СР поступают импульсы с фотоприемника Ф через усилитель импульсов У и дискриминатор Д, на вход D триггера ТР1 че-рез резистор R подается постоянное напряжение U, которое поддерживает уровень, соответст-вующий логической единице на этом входе. С инвертирующего выхода триггера ТР1 на вход 1 логического элемента ЛИ0 подается уровень на-пряжения, соответствующий логической едини-це, пока на тактирующий вход С триггера ТР1 не поступит импульс с дискриминатора. Тогда ТР1 переключается и на его инвертирующем выходе появляется уровень, соответствующий логиче-скому нулю. Такой уровень остается в течение

всего подынтервала времени независимо от того, сколько сигналов поступит на тактирующий вход С. На выходе логического элемента ЛИ0 будет наблюдаться логический нуль до тех пор, пока на 1 и 2 входах его не появятся одновре-менно уровни напряжения, соответствующие логической единице. Логическая единица на первом входе элемента ЛИ0 может наблюдаться в течение всего подынтервала времени, если на тактирующий вход триггера ТР1 за это время не поступает ни одного импульса от дискриминато-ра. Уровень, равный логической единице, на вто-ром входе может появиться только после окон-чания подынтервала измерения и подается от генератора Г. Если в течение времени подынтер-вала на вход устройства не поступило ни одного импульса, то по окончании интервала измерения на выходе логического элемента ЛИ0 сформиру-ется импульс, который и сосчитается счетчиком Сч0. По окончании подынтервала времени триг-гер ТР1 сбрасывается в состояние, соответствую-щее логическому нулю импульсом генератора Г.

Вход S триггера ТР2 соединен с первым выходом сдвигового регистра СР. Инвертирую-щий выход этого триггера подключен к входу D регистра СР. На всех выходах регистра будет наблюдаться уровень, соответствующий логиче-скому нулю, до тех пор, пока на тактирующий вход С регистра не поступит импульс от дискри-минатора. При поступлении импульса на вход С логическая единица, присутствующая на входе D регистра, записывается в него и появляется на первом выходе СР. При этом срабатывает триг-гер ТР2, и на его инвертирующем выходе появ-ляется логический нуль. Если в течение подын-тервала на тактирующий вход регистра СР по-ступит еще импульс, то логическая единица поя-вится на втором выходе СР. При этом на осталь-ных выходах регистра будут наблюдаться уров-ни, соответствующие логическому нулю. В слу-чае поступления за подынтервал времени N им-пульсов логическая единица появится на N-ом выходе регистра. Отметим, что на рисунке 1 а ограничились только четырьмя выходами реги-стра, однако число их можно увеличить, под-ключив последовательно еще нескольких реги-стров. Таким образом, логическая единица появ-ляется на том выходе регистра, порядковый но-мер которого соответствует числу импульсов, поступивших за время этого подынтервала на его вход С. Логическая единица с выхода регистра СР подается на первый вход логического эле-мента «И», подсоединенного к тому выходу, где она наблюдается. По приходу импульса с генера-тора Г на второй вход этого логического элемен-та логическая единица передается на выход ло-гического элемента и сосчитывается счетчиком, подключенным к этому элементу. По окончании импульса генератора Г сбрасываются в исходное состояние триггеры ТР1, ТР2 и регистр СР.

Способ измерения распределения одноквантовых импульсов

Problems of Physics, Mathematics and Technics, № 1 (22), 2015 9

a)

б)

Рисунок 2.1 – Функциональная схема устройства

для измерения распределения одноквантовых импульсов: а) блок-схема устройства; б) временная диаграмма функционирования устройства

Импульс сброса от генератора Г поступает на триг-гер ТР2 и регистр СР через элемент «ИЛИ» ЛЕ.

Счетчик Сч подключен к генератору Г и подсчитывает общее число М подынтервалов за время измерения t.

Когда таймер Т остановит измерение, то счетчик Сч0 сосчитает все подынтервалы с нуле-выми событиями. Счетчик Сч1 сосчитает подын-тервалы, на которых регистрируется один им-пульс, счетчик Сч2 – подынтервалы, на которых регистрируется два импульса, и т. д. Поэтому в



каждом счетчике устройства будет содержаться информация, считывая которую в отсутствии и присутствии внешней подсветки, а также ис-пользуя формулы (1.1), можно вычислить веро-ятности pт(g) и pст(g). Статистическое распреде-ление одноквантовых импульсов рассчитывается по формуле (1.4).

3 Экспериментальные результаты В качестве объекта исследования использо-

вались счетчик фотонов на основе кремниевого лавинного фотоприемника ФД-115Л. Выполнена оценка погрешности измерения, вносимая тем-новыми импульсами в статистического распре-деление одноквантовых импульсов. Для этого проводилось сравнение статистического распре-деления одноквантовых импульсов без темновых импульсов, полученного при помощи вышеопи-санного способа, со статистическим распределе-нием с темновыми импульсами. Сравнение ста-тистических распределений осуществлялось на основании критерия согласия Пирсона χ2 при уровне значимости α = 0,05. Количество подын-тервалов составляло Ми = 104, длительность од-ного подынтервала была равной Δt = 20 мкс, чтобы число K = 5.

Внешняя подсветка осуществлялась источ-ником света со статистикой фотонов, соответст-вующей распределению Пуассона, и длиной вол-ны 630 нм. В этом случае статическое распреде-ление одноквантовых импульсов будет также соответствовать распределению Пуассона [2].

На рисунке 3.1 представлены статистиче-ские распределения одноквантовых импульсов и смеси одноквантовых и темновых импульсов, полученных для скоростей счета одноквантовых импульсов nс = 5·104 с-1 и темновых импульсов nт = 5·103 с-1. При этом значение параметра χ2 = 98,1 превышало величину критической точки χ2кр = 9,5 для уровня значимости 0,05. Поэтому

для данного случая при определении статистиче-ского распределения одноквантовых импульсов необходимо учитывать погрешность, вносимую в него темновыми импульсами.

□ – одноквантовые и темновые импульсы;

× – одноквантовые импульсы Рисунок 3.1 – Статистические распределения

импульсов

При nс = 5·104 с-1 и скоростях счета темно-вых импульсов nт < 1,5·103 с-1 значение χ2 < χ2

кр для уровня значимости 0,05. Следовательно, вкладом темновых импульсов в статистическое распределение одноквантовых импульсов можно пренебречь.

На рисунке 3.2 представлена зависимость χ2 для различных скоростей счета одноквантовых импульсов. Измерения выполнялись при посто-янном значении скорости счета темновых им-пульсов nт = 1,5·103 с-1. Увеличение скорости счета одноквантовых импульсов приводит к уменьшению значения χ2 и при nс > 5·104 с-1 по-грешностью, вносимой темновыми импульсами в данном случае, можно пренебречь.

1 – величина χ2

кр для уровня значимости 0,05; 2 – значение χ2

Рисунок 3.2 – Зависимость параметра χ2 от скорости счета одноквантовых импульсов

Заключение Таким образом, на основании выполненных

исследований можно сделать вывод, что предло-женный способ позволяет учитывать погреш-ность, вносимую в статистическое распределе-ние одноквантовых импульсов темновыми им-пульсами. Применять способ целесообразно для случаев, когда скорость счета одноквантовых импульсов не превышает скорость счета темно-вых импульсов более чем в 10 раз.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демчук, М.И. Статистический однокван-товый метод в оптикофизическом эксперименте / М.И. Демчук, М.А. Иванов. – Минск: Изд. БГУ им. В.И. Ленина, 1981. – 176 с.

2. Гулаков, И.Р. Метод счета фотонов в оп-тико-физических измерениях / И.Р. Гулаков, С.В. Холондырев. – Минск: Университетское, 1989. – 256 с.

Поступила в редакцию 11.11.14.


© Капшай В.Н., Данильченко М.С., Гришечкин Ю.А., 2015 11

УДК 539.12.01

КОВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДВУХЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМ С δ-ПОТЕНЦИАЛАМИ

В.Н. Капшай, М.С. Данильченко, Ю.А. Гришечкин

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Гомель, Беларусь

COVARIANT EQUATIONS AND RESONANCE STATES OF TWO-PARTICLE SYSTEMS WITH δ-FUNCTION POTENTIALS

V.N. Kapshai, M.S. Danilchenko, Y.A. Grishechkin F. Scorina Gomel State University, Gomel, Belarus

Спектры комплексных резонансных энергий (быстрот) релятивистских двухчастичных систем найдены на основе точ-ных решений ковариантных двухчастичных уравнений с δ-потенциалом и суперпозицией двух δ-потенциалов. Уста-новлено, что точные парциальные двухчастичные релятивистские амплитуды имеют резонансное поведение именно при тех значениях энергии (быстроты), которые соответствуют вещественной части комплексных резонансных энергий. Ключевые слова: релятивистские двухчастичные уравнения, релятивистское конфигурационное представление, δ-по-тенциал, резонансное состояние, амплитуда рассеяния, сечение рассеяния. The complex resonance energy (rapidity) spectra of relativistic two particle systems are found on the basis of exact solutions of the covariant two-particle equations with δ-function potential and a superposition of two δ-function potentials. It is established that the exact partial two particle relativistic amplitudes have resonance behavior precisely at those energy (rapidity) values, which correspond to the real part of the complex resonance energies. Keywords: relativistic two-particle equations, relativistic configuration representation, δ-function potential, resonance state, scattering amplitude, scattering cross section.

Введение В работах [1], [2] были найдены решения

одномерных релятивистских двухчастичных урав-нений квантовой теории поля [3], [4] с одним и суперпозицией двух δ-потенциалов в релятиви-стском конфигурационном представлении (РКП) [5] в случае состояний рассеяния и связанных состояний. Решения аналогичных задач в трёх-мерном сферически-симметричном случае были получены в работе [6]. Найденные в работе [6] амплитуды рассеяния как функции быстроты претерпевают при некоторых значениях энергии резкое изменение, это может свидетельствовать о существовании резонансных состояний. В связи с этим в данной работе исследуются собственно резонансные состояния составных систем на ос-новании точных решений релятивистских двух-частичных уравнений в случае δ-потенциала и суперпозиции двух таких потенциалов.

1 Релятивистские уравнения для резо-

нансных состояний Релятивистские двухчастичные уравнения в

РКП для волновых функций ( ) ( , r),j qψ χ описы-вающих s-состояния рассеяния системы двух ска-лярных частиц равной массы m имеют вид [7]

( )( ) ( , ) sinj q qr mrψ χ = χ +

( ) ( )

0

( , , ) ( ) ( , ),j q j qdr G r r V r r∞

′ ′ ′ ′+ χ ψ χ∫ (1.1)

где индекс 1, 2, 3, 4j = соответствует одному из четырёх вариантов квазипотенциального подхо-да в квантовой теории поля [3]–[5]: 1j = ( 3)j = – уравнение Логунова – Тавхелидзе (модифици-рованное), 2j = ( 4)j = – уравнение Кадышев-ского (модифицированное), r – модуль радиус-вектора в РКП, ( ) ( , , )j qG r r′χ – функции Грина, имеющие следующий вид:

( )

( ) ( )

( , , )

( , ) ( , ),j q

j q j q

G r r

G r r G r r

′χ =

′ ′= χ − − χ + (1.2)

где [1], [7]

(1) (1)

sh( 2 )( , ) ;

sh 2q

qq

i mriG rm rK

π + χ−χ =

π

1

(2) (2)

(4 ch ) sh( )( , ) ;

ch 2 shq q

qq

m i mriG rm r m rK

−χ π + χχ = −

π π

(3) (3)

ch( 2 )( , ) ;

ch 2q

qq

i mriG rm rK

π + χ−χ =

π (1.3)

(4) (4)

sh( )( , ) .

shq

qq

i mriG rm rK

π + χ−χ =

π

В выражениях (1.3) использованы обозначения (1) (2) sh 2 ,q q qK K m= = χ (3) (4) 2 sh .q q qK K m= = χ

В случае резонансных состояний уравнения (1.1) модифицируются в однородные [8], при

ФИЗИКА


12 Проблемы физики, математики и техники, № 1 (22), 2015

этом считается, что быстрота может становиться комплексной ( ) :q q qiwχ = ξ +

( )

( ) ( )0

( , )

( , , ) ( ) ( , ).

j q q

j q q j q q

iw r

dr G iw r r V r iw r∞

ψ ξ + =

′ ′ ′ ′= ξ + ψ ξ +∫(1.4)

Нерелятивистский предел ( 0,qχ → m →∞ ) уравнений (1.1), (1.4) и функций Грина (1.2) даёт уравнения квантовой механики [9], [10]

( )

(0)

(0) (0)0

( , )

sin ( , , ) ( ) ( , ),

q r

qr dr G q r r V r q r∞

ψ =

′ ′ ′ ′= + ψ∫ (1.5)

(0) 1 2

(0) 1 2 (0) 1 20

( , )

( , , ) ( ) ( , )

q iq r

dr G q iq r r V r q iq r∞

ψ + =

′ ′ ′ ′= + ψ +∫(1.6)

и функцию Грина для них

[ ]

(0) ( , , )

exp( | |) exp( ( )) ,2

G q r r

i iq r r iq r rq

′ =

− ′ ′= − − + (1.7)

где введены следующие обозначения

0lim ,

qq

m

m qχ →→∞

χ =

10lim ,q

q

m

m qξ →→∞

ξ = (1.8)

20lim .

qqw

m

w m q→→∞

=

Решения уравнений (1.4) получим в случае δ-потенциала

( ) ( )0 ,V r V r a= δ −

(1.9) и суперпозиции двух таких потенциалов

( ) ( ) ( )1 1 2 2 ,V r V r a V r a= δ − + δ − (1.10) где 0,a > 1 0,a > 2 0,a > 0 ,V 1,V 2V – действи-тельные константы. В нерелятивистском случае r – координата в обычном координатном пред-ставлении. Подстановка потенциала (1.9) в урав-нения (1.4) даёт выражения

( )

0 ( ) ( )

( , )

( , , ) ( , ),j q q

j q q j q q

iw r

V G iw r a iw a

ψ ξ + =

= ξ + ψ ξ +

(1.11)

в которых величины ( ) ( , )j q qiw aψ ξ + всё ещё не определены. Взяв формулы (1.11) при ,r a= по-лучим условия существования ненулевых значе-ний ( ) ( , )j q qiw aψ ξ +

( ) ( )01 , , 0,q qjV G iw a a− ξ + = (1.12) которые являются условиями квантования для комплексных резонансных значений быстроты

,q q qiwχ = ξ + а, значит, и энергии cosh cosh( )q q q qE m m iw= χ = ξ +

двухчастичной системы. В случае суперпозиции двух δ-потенциалов (1.10) условия квантования

резонансных состояний могут быть получены аналогично, они имеют вид

( ) ( )1 1 11 , ,q qjV G iw a a⎡ ⎤− ξ + ×⎣ ⎦

( ) ( )( )

2 2 2

21 2 ( ) 1 2

1 , ,

, , 0.

q qj

j q q

V G iw a a

V V G iw a a

⎡ ⎤× − ξ + −⎣ ⎦

− ξ + = (1.13)

Поэтому процесс нахождения резонансных бы-строт сводится к поиску комплексных корней трансцендентных уравнений (1.12), (1.13) при фиксированных значениях параметров ,a 1,a

2 ,a 0 ,V 1,V 2 ,V .m В нерелятивистском случае ( 0)j = условия квантования аналогичны (1.12), (1.13) с заменой 1,q qξ → 2 .qw q→

Амплитуды рассеяния для s -состояний в случае δ-потенциала (1.9) имеют вид (в нереля-тивистском случае (0) 2 )qK q= [6]:

20

( ) ( )0 ( )

2 sin( ) .

1 ( , , )q

j q jq j q

V maf

qK V G a a

− χχ =

⎡ ⎤− χ⎣ ⎦ (1.14)

Парциальное сечение рассеяния выражается че-рез амплитуду рассеяния как

2

( ) ( )( ) 4 ( ) .j q j qfσ χ = π χ (1.15)

При вычислениях нами также будут использова-ны выражения для амплитуды рассеяния в слу-чае суперпозиции двух δ-потенциалов, получен-ные в работе [6], которые здесь мы не приводим, т. к. они имеют громоздкий вид.

2 Результаты вычислений На рисунках 2.1–2.5 приведены результаты

вычислений для сечений рассеяния (рисунки (а)) и некоторых резонансных состояний в случае δ-потенциала и суперпозиции двух δ-потенциа-лов. Во всех расчётах мы принимали 1.m = Сплошной линией на рисунках (б) обозначены нули действительной части выражений (1.12), (1.13), а штриховой – нули мнимой. Точки пере-сечения соответствуют комплексным корням уравнений (1.12), (1.13), то есть, резонансам (об-ведены кружками).

На приведенных рисунках видно, что ком-плексные корни уравнений (1.12), (1.13) действи-тельно соответствуют пикам вещественных сече-ний рассеяния (найденных при вещественных энергиях), т. е. это резонансы. На рисунке 2.2 б) имеется два резонанса, при этом на рисунке 2.2 а) чётко виден только один резкий скачок сечения. Второй пик является слабым, причина этого со-стоит в том, что соответствующий ему комплекс-ный корень уравнения (1.12) расположен уже дос-таточно далеко от вещественной оси, заметно дальше, чем ноль, соответствующий первому пи-ку. Однако, при увеличении масштаба можно ви-деть и второй пик вблизи точки 1.9.qχ =

Ковариантные уравнения и резонансные состояния двухчастичных систем с δ-потенциалами


Рисунок 2.1 – Резонансное состояние нерелятивистской двухчастичной системы

в случае δ-потенциала при 0 10,V = 2 :a = a) парциальное сечение рассеяния; b) комплексный корень уравнения (1.12)

Рисунок 2.2 – Резонансные состояния релятивистской двухчастичной системы для 1j =

в случае δ-потенциала при 0 10,V = 3 :a = a) парциальное сечение рассеяния; b) комплексные корни уравнения (1.12)

Рисунок 2.3 – Резонансное состояние релятивистской двухчастичной системы в случае 2j =

для суперпозиции δ-потенциалов при 1 5,V = 2 10,V = 1 1,a = 2 2 :a = a) парциальное сечение рассеяния; b) комплексный корень уравнения (1.13)


14 Проблемы физики, математики и техники, № 1 (22), 2015

Рисунок 2.4 – Резонансные состояния релятивистской двухчастичной системы в случае 3j = для суперпозиции δ-потенциалов при 1 5,V = 2 10,V = 1 1,a = 2 2 :a =

a) парциальное сечение рассеяния; b) комплексный корень уравнения (1.13)

Рисунок 2.5 – Резонансные состояния релятивистской двухчастичной системы для 4j = в случае δ-потенциала при 0 10,V = 3 :a =

a) парциальное сечение рассеяния; b) комплексный корень уравнения (1.12)

Резонансное поведение сечений рассеяния зависит не только от местоположения резонансов на комплексной плоскости, но также и от такой важной величины, как вычет в полюсе, соответ-ствующем резонансу, комплексной амплитуды рассеяния, рассматриваемой как функция ком-плексной быстроты. Изучение этой зависимости амплитуды от вычетов и исследование влияния параметров δ-потенциалов на полюса и вычеты представляет собой отдельную интересную задачу.

Заключение В работе найдены точные решения реляти-

вистских двухчастичных уравнений в релятиви-стском конфигурационном представлении для резонансных состояний в случае δ-потенциала и суперпозиции двух δ-потенциалов. Получены трансцендентные уравнения для нахождения комплексных резонансных значений быстроты

qχ и энергии cosh ,q qE m= χ из которых для некоторых параметров потенциалов численно

найдены комплексные резонансные быстроты. Показано, что поведение релятивистских ампли-туд имеет резонансный характер именно при тех физических значениях быстроты, которые совпа-дают с действительной частью комплексных бы-строт, находимых из комплексных условий резо-нансов.

ЛИТЕРАТУРА 1. Kapshai, V.N. Relativistic two-particle one-

dimensional scattering problem for superposition of δ -potentials / V.N. Kapshai, T.A. Alferova // J. Phys. A. – 1999. – Vol. 32. – P. 5329–5342.

2. Капшай, В.Н. Одномерные релятивист-ские задачи о связанных состояниях и рассеянии для суперпозиции квазипотенциалов нулевого радиуса / В.Н. Капшай, Т.А. Алфёрова // Изв. Вузов. Физика. – 2002, №1. – С. 3–10.

3. Logunov, A.A. Quasi-Optical Approach in Quantum Field Theory / A.A. Logunov, A.N. Tavk-helidze // Nuovo Cimento. – 1963. – Vol. 29, № 2. – P. 380–399.

Ковариантные уравнения и резонансные состояния двухчастичных систем с δ-потенциалами


4. Kadyshevsky, V.G. Quasipotential type equa-tion for the relativistic scattering amplitude / V.G. Ka-dyshevsky // Nucl. Phys. – 1968. – Vol. B6, №1. – P. 125–148.

5. Кадышевский, В.Г. Трёхмерная формули-ровка релятивистской проблемы двух тел / В.Г. Ка-дышевский, Р.М. Мир-Касимов, Н.Б. Скачков // ЭЧАЯ. – 1972. – Т. 2, № 3. – С. 635–690.

6. Kapshai, V. Relativistic two-particle equa-tions with superposition of delta-shell potentials: scattering and bound states [Electronic resource] / V. Kapshai, Yu. Grishechkin. – 2013. – Mode of access: http: //arxiv.org/pdf quant-ph/1312.1902. – Date of access: 06.12.2013.

7. Alferova, T.A. Expansion in terms of matrix elements of the Lorentz group unitary irreducible representations and integral equations for scattering states relativistic wave functions / T.A. Alferova, V.N. Kapshai // Nonlinear phenomena in complex

systems: Proced. of the Sixth Annual Seminar NPCS’97 / Academy of Sciences of Belarus. Inst. of Phys. – Minsk, 1998. – P. 78–85.

8. Капшай, В.Н. Резонансные состояния со-ставных систем и ковариантные двухчастичные уравнения теории поля / В.Н. Капшай, К.П. Ши-ляева, Ю.А. Гришечкин // Ковариантные методы в теоретической физике. Физика элементарных частиц и теория относительности. Сб. научных трудов. Институт физики им. Б.И. Степанова На-циональной Академии Наук Беларуси. – Минск, 2011. – С. 79–88.

9. Тейлор, Дж. Теория рассеяния / Дж. Тей-лор. – М.: Мир, 1975. – 568 с.

10. Ньютон, Р. Теория рассеяния волн и частиц / Р. Ньютон. – М.: Мир, 1969. – 608 с.



© Кулак Г.В., Матвеева А.Г., Николаенко Т.В., 2015 16

УДК 534.8:535.5

ОСОБЕННОСТИ ОПТИКО-АКУСТИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ КЛИНОВИДНЫХ ДЕФЕКТОВ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Г.В. Кулак, А.Г. Матвеева, Т.В. Николаенко

Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина, Мозырь, Беларусь

FEATURES OF OPTICAL-ACOUSTICAL DIAGNOSTICS OF WEDGE-SHAPED DEFECTS OF SOLIDS

G.V. Kulak, A.G. Matveeva, T.V. Nikolaenko I.P. Shamyakin Mozyr State Pedagogical University, Mozyr, Belarus

Исследованы особенности оптико-акустической диагностики клиновидных дефектов в твердых телах. Показано, что вследствие интерференционных эффектов эффективность рассеяния нелинейно изменяется с увеличением размера де-фекта, достигая максимального значения лишь при определенном его размере. Установлено, что изучение импульсных энергетических характеристик рассеянного на клиновидных дефектах ультразвукового излучения в приближении, от-личном от рэлеевского, позволяет определить размер дефекта, угол при вершине клина, угол наклона и его местополо-жение. Ключевые слова: оптико-акустическая диагностика, клиновидный дефект, ультразвуковая волна, рассеяние ультра-звука, относительная интенсивность. The participants of the optical-acoustical diagnosing of wedge-form defects in solid state body is investigated. It is shown that due to interferential effects scattering efficiency varies nonlinearly with an increase of defect size, reaching a maximum at a cer-tain amount of it. It has been established that the study of the pulse energy characteristics of ultrasonic scattering radiation on the wedge-form defects, at the approximation different from Rayleigh allows determining the size of the defect, angle at the vertex of the wedge, angle of the inclination and location. Keywords: optical-acoustical diagnosing, wedge-form defect, ultrasonic wave, ultrasonic scattering, relative intensity.

Введение Теория рассеяния ультразвуковых (УЗ) волн

на объектах круглой и цилиндрической формы достаточно хорошо разработана [1]–[4]. При этом строятся решения волновых уравнений в области рассеивателя и вне ее в виде разложений в ряды по сферическим или цилиндрическим функциям, а затем «сшивают» полученные ре-шения на границах среды и рассеивающего цен-тра. Решения систем алгебраических уравнений с переменными коэффициентами численно или аналитически позволяют рассчитать сечения рас-сеяния или относительные интенсивности рассе-янных волн.

Важной задачей прикладной физики являет-ся исследование рассеяния ультразвука на реб-рах. Были предложены различные подходы, по-лучившие название геометрической [5] и физи-ческой теории дифракции [6]. При этом исполь-зуется принцип локализации [7], суть которого сводится к предположению о том, что для корот-ких УЗ волн дифракционное поле вблизи ребра определяется локальными свойствами падающей волны и локальными свойствами рассеивающей поверхности. Тогда считается, что дифракцион-ное поле вблизи ребра приближенно представля-ется дифракционным полем в окрестности вер-шины соответствующего по геометрии и свойст-вам поверхности бесконечного клина. В работе

[8] рассмотрена двумерная задача рассеяния на конечном клине продольных УЗ волн в жидко-сти. Решение задачи проведено методом частич-ных областей c использованием частных реше-ний в различных координатных системах. Сле-дует отметить, что метод функций Грина не по-зволяет учесть особенности УЗ рассеяния на ост-ром крае клина [9], [10].

1 Теоретические результаты Рассмотрим плоскую задачу рассеяния

ультразвука на клиновидном объекте (рисунок 1.1), который предполагаем бесконечно протя-женным вдоль оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Поверхности, образующие объект в виде трещины, граничат с твердой границей ме-талла. Для описания геометрии объекта и по-строения решения задачи введем полярную сис-тему координат (r, θ) с центром О в угле клина.

Предположим, что из области I на клино-видную область набегает плоская УЗ волна еди-ничной амплитуды [1]:

( ) ( ) ( )

1 0cos( )

1 00

cos ,

ik ri

nn n

n

e

i J k r n

θ−θ

∞

=

Ψ = =

= − ε θ− θ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ (1.1)

где 0 0; 2nε = ε = при 0; ( )nn J x> – функция Бесселя первого рода; θ0 (θ) – угол падения (рас-сеяния) по отношению к оси Х.

ФИЗИКА

Особенности оптико-акустической диагностики клиновидных дефектов твердых тел


Рисунок 1.1 – Геометрия рассеяния УЗ волны на клиновидном объекте с частичными областями I,

II и III (область клина); 2θ1 – угол клина; R OA OB= = – размер клина; θ0 – угол

падения УЗ волны, отсчитываемый от оси Х

Уравнения Гельмгольца для скалярного Ψ и векторного Π потенциала в областях I, II, III имеют вид:

2 2 2 20, 0,k∇ Ψ + Ψ = ∇ Π + χ Π = (1.2) где / , / ; ,l t l tk = Ω υ χ = Ω υ υ υ – фазовые ско-рости продольной и сдвиговой УЗ волны;

/ 2f = Ω π – частота УЗ волны. В силу симмет-рии задачи векторный потенциал обладает един-ственной компонентой: 0, .x y zΠ = Π = Π = Π Соотношения, связывающие компоненты векто-ра смещений S и тензора напряжений σ приве-дены в работе [8].

В области I (вне цилиндра r R> на рисунке 1.1) потенциалы равны

( )1 1, 0i s s iΨ = Ψ +Ψ Π = Π Π = (1.3) В области II внутри цилиндра, но вне клина,

имеем: 2 2, ,q qΨ = Ψ Π = Π (1.4)

где qΨ и qΠ удовлетворяют уравнениям вида (1.2). Решения уравнений (1.2) для рассеянных УЗ

волн ищем в виде [7]: ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

'

'

'

'

(1)1

(1)0 1

(1)1 1

(1)0 1 1

(1)1

(1)0 1

(1)1 1

(1)0 1 1

cos

sin ( 1) ,

cos

sin ( 1) ,

ns n

n n

nn

n n

ns n

n n

nn

n n

H k rA n

H k R

H k rB n

H k R

H rA n

H R

H rB n

H R

∞

=

∞+

= +

∞

=

∞+

= +

Ψ = θ +

+ + θ

χΠ = θ +

χ

χ+ + θ

χ

∑

∑

∑

∑

(1.5)

где ,n nA B и ,n nA B – произвольные постоянные; (1) ( )nH x – функции Ханкеля;

'(1) ( )nH x – произ-водные функций Ханкеля по х; 1 1/ ,lk = Ω υ

1 1/ ,tχ = Ω υ где 1 1,l tυ υ – фазовые скорости УЗ волн в области I.

Решения уравнений (1.2) для области II внутри цилиндра qΨ и qΠ имеют вид [7]:

( )

( )

1

0 1

1

0 1

( )cos ,

( )

( )cos ,

( )

n

n

n

n

q n nn

q n nn

J k rC

J k r

J rD

J r

∞α

= α

∞α

= α

Ψ = α π− θ⎡ ⎤⎣ ⎦

χΠ = α π− θ⎡ ⎤⎣ ⎦χ

∑

∑ (1.6)

где ( )/ ;n nα = π π− θ ,n nC D – постоянные. Решение уравнений (1.2) в области III внут-

ри клина ищем в виде [7]:

( ) ( )

( ) ( )

20

20

cos ,

cos ,

n

n

w n nn

w n nn

E J k r

F J r

∞

γ=

∞

γ=

Ψ = γ θ

Π = χ γ θ

∑

∑ (1.7)

где 1/ ; ,n n nn E Fγ = π θ – постоянные; 2 2/ ,lk = Ω υ

2 2/ ,tχ = Ω υ где 2 2,l tυ υ – фазовые скорости УЗ волн в области III.

Задача теории рассеяния сводится к опреде-лению восьми неизвестных: , , , ,n n n nA B A B ,nC

,nD , .n nE F Данные неизвестные находим из гра-

ничных условий для вектора смещений S и тен-зора напряжений σ в различных областях в ци-линдрической системе координат [8]:

1 1, , 2 ,i s qr r rS S S r R+ = = θ ≤ θ ≤ π−θ (1.8)

1 1, , 2 ,i s qS S S r Rθ θ θ+ = = θ ≤ θ ≤ π−θ (1.9)

1 1, , ,i s kr r rS S S r R+ = = −θ ≤ θ ≤ θ (1.10)

1 1, , ,i s kS S S r Rθ θ θ+ = = − θ ≤ θ ≤ θ (1.11)

1 1, , 2 ,i s qrr rr rr r Rσ + σ = σ = θ ≤ θ ≤ π−θ (1.12)

1 1, , 2 ,i s qr r r r Rθ θ θσ + σ = σ = θ ≤ θ ≤ π−θ (1.13)

1 1, , ,i s krr rr rr r Rσ + σ = σ = − θ ≤ θ ≤ θ (1.14)

1 1, , .i s kr r r r Rθ θ θσ + σ = σ = −θ ≤ θ ≤ θ (1.15)

Следует отметить, что для трещины, запол-ненной воздухом, следует положить: 0n nE F= = и оставить в системе уравнений (8) лишь сле-дующие уравнения: (1.8)–(1.11), (1.14), (1.15).

В дальнейшем будет рассматриваться слу-чай полой трещины. При этом задача теории рас-сеяния сводится к определению шести неизвест-ных: , , , , , .n n n n n nA B A B C D Решение такой систе-мы уравнений в общем случае можно провести лишь численными методами. В простейшем слу-чае 0,n = 1 возможно аналитическое решение системы уравнений. Приближение, при котором ограничиваются n = 0, соответствует приближе-нию Рэлея в теории рассеяния на сфере [1], [2]. Такое приближение в нашем случае, однако, сла-бо согласуется с экспериментальными данными и результатами численных расчетов для рассея-ния на клине в жидкости [7]. При расчетах, как



правило, ограничиваются дальней зоной рассея-ния, когда 1 1,k r >> 1 1,k R >> 1 1,rχ >> 1 1.Rχ >>

Плотности потока мощности падающей (i) и рассеянной (s) УЗ волны даются соотношениями [1]:

(

)

, , , * , , *

, * , , * ,

4

,

i s i s i s i s i sr rr r r

i s i s i s i srr r r

iP S S

S S

θ θ

θ θ

Ω⎛ ⎞= − σ + σ −⎜ ⎟⎝ ⎠

−σ −σ (1.16)

где компоненты вектора ,i sS и тензора ,i s

σ нахо-дятся из соотношений (1.8)–(1.15).

Относительная интенсивность рассеянного излучения имеет вид:

,s

ri

r

PP

η = (1.17)

где ( )* * * * ,s s s s s s s s sr rr r r rr r rP S S S Sθ θ θ θ= σ + σ −σ −σ

2( ),i s i s ir rr r rP S Sθ θ= σ +σ

причем

( )

0 1 0 1 1

1 1

1 cos cos

1 2sin cos 2 ;

sr k kS A k q i B q A k q

r

iA q iB qr r

χ

χ χ

⎡ ⎛ ⎞= − θ+ θ+⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ θ− θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

( )

1 1 1

1 1

1 sin cos

sin 2 ;

skS iA q A q

r

iB q

θ χ

χ

⎡ ⎛ ⎞= θ − χ θ+⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣⎤

+ χ θ ⎥⎦

( )

1 1

1 0

3cos4

52cos cos ;4

irS k k R

k R

⎡ π⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣π ⎤⎛ ⎞+ − θ− θ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎦

( )1 02 3cos sin ;

4iS k R

rθ

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − θ− θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

11

1 02

2 5cos4

1 3cos sin ;4

ir

kk R

r

k Rr

θ

⎡ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = − +⎜ ⎟⎢⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣π ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − θ− θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

( )

( )

( )

( ) ( )

21 0 1

11 0 1 02

11 0 1 02

2 11 1 1 1 1

1 1 1 1 2

1 cos

11 cos cos

1 cos cos

21 cos cos 2

21 sin 1 cos 2

srr k

k

k

i A k q

kB q i A qrr

B q i B qrr

A k q i B qr

A q B qr

χ

χ χ

χ

χ χ

⎡σ = − ν θ +⎢

⎣⎛ ⎞⎛ ⎞+ − ν θ− ν θ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

χ⎛ ⎞⎛ ⎞−ν θ+ ν θ+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠χ⎛ ⎞+ − ν θ+ ν θ−⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞− − ν θ+ − ν θ−⎜ ⎟⎝ ⎠

11 1 1 12

1 cos cosk kk

A q A qrr

⎛ ⎞⎛ ⎞−ν θ+ ν θ+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 12 2

11 1 1 12

1 2sin cos 2

1 cos sin ;k

A q B qr r

RA q i A qr rr

χ χ

χ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ν θ+ ν θ+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

χ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ν θ− ν θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎦21

0 0 12

11 12

1 12 2

2 21 1

1 1

1 1

1 sin sin2

1sin cos2

2 1sin 2 sin

cos sin 22 2

cos2 2

sr

k

k

i B q A qrr

ki A q A q

r r

B q i A qr r

A q B q

i q i qr r

θ χ χ

χ

χ

χ χ

χ χ

⎡ ⎛ ⎞χ⎛ ⎞σ = θ − ν θ+⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎝ ⎠⎣⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ θ + θ+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ θ − θ−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞χ χ

− θ− θ+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠χ χ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠sin 2 ;R

r⎤ ⎛ ⎞θ ⎜ ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦

( )

( ) ( )

( )

( )

11 1

21 1 1

21 0 1 1

11 1 0

1 1 02

3cos4

51 cos4

71 cos 2 cos4

2 5cos cos4

2 3cos cos ;4

irr

kk R

r

k k R

k k R

kk R

r

k Rr

⎡ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = ν − −⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣π⎛ ⎞− − ν − +⎜ ⎟

⎝ ⎠π⎛ ⎞+ − ν θ− θ − −⎜ ⎟

⎝ ⎠π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ν − θ− θ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠π ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−ν − θ− θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

где ν1 – коэффициент Пуассона для областей I и II; 1exp( ),kq ik= 1exp( ),q iχ = χ 1 1( ),k k r R= −

1 1( ),r Rχ = χ − причем r расстояние от рассеи-вающего центра до приемника. 2 Численные расчеты и обсуждение

Численные расчеты проводились для стали (Fe) при следующих значениях параметров: υ1l = 5921 м/с, υ1t = 3223 м/с, ρ = 7870 кг/м3, ν1 = 0,28; для продольной УЗ волны частота 5 МГц.f =

Рисунок 2.1 – Схема детектирования

клиновидного дефекта (2θ1 – угол клина; R – размер клина (трещины); ϕ0 – угол падения, ϕ – угол рассеяния, r – расстояние до приемника,

пройденное рассеянной УЗ волной, γ1 – угол наклона трещины; Пр – приемник

УЗ волны, Ис – источник УЗ волны)

Особенности оптико-акустической диагностики клиновидных дефектов твердых тел


На рисунке 2.1 углы падения 0ϕ и рассеяния ϕ связаны с углами θ0 и θ на рисунке 1.1 соотно-шениями: 0

0 0 1180 ( ),ϕ = − θ − γ 01180 ( ).ϕ = − θ− γ

На рисунке 2.2 представлена зависимость относительной интенсивности рассеянной УЗ волны nη от угла рассеяния ϕ при различных углах при вершине трещины (клина) 2θ1 (а).

a)

б)

Рисунок 2.2 – Зависимость относительной интенсивности рассеянной УЗ волны nη

от угла рассеяния ϕ при различных углах θ1: 1–2, 2–4, 3–6, 4–8 град. (а) и при различных

углах γ1: 1–2, 2–4, 3–6, 4–8 град. (б) (r = 5 см, R = 5 мм, ϕ0 = 100, γ1 = 0 (а),

θ1 = 5 град. (б), f = 5 МГц)

Из рисунка 2.2, а следует, что наибольшая относительная интенсивность nη при любых углах рассеяния достигается для наименьшего угла клина θ1. При углах рассеяния, стремящихся к 90° эти зависимости сближаются. При других углах клина зависимости имеют нелинейный характер. Зависимость относительной интенсив-ности рассеянной УЗ волны nη от угла рассеяния ϕ при различных углах наклона трещины γ1 представлена на рисунке 2.2, б). Из рисунка 2.2, б) следует, что наибольшая относительная интен-сивность nη при любых промежуточных углах рассеяния из диапазона 0–90 град. достигается для наименьшего угла клина γ1. Наибольшее раз-личие эффективностей рассеяния достигается при углах ϕ, близких к 45 градусам.

С увеличением размера (R) клина (трещи-ны) от 1 до 4 мм максимальное значение относи-тельной интенсивности рассеянного излучения достигается для R = 2 мм. Данная особенность объясняется интерференционными эффектами при наложении плосковолновых составляющих УЗ волн, дифрагированных на клиновидных объ-ектах. Отсутствие рассеянного излучения при углах ϕ = 90° объясняется ограниченностью чле-нов ряда, включенных в схему расчета с n=0, 1. Такое приближение можно считать близким к рэлеевскому рассеянию (n=0).

При оптико-акустической диагностике де-фектов материалов используют, как правило, возбуждение гиперзвука короткими лазерными импульсами по механизму лазерной абляции (испарания) в области источника (Ис) и гетеро-динный метод регистрации рассеянного ультра-звука в области приемника (Пр). Для дефектов с достаточно «плавными» краями предпочтитель-но использовать метод функций Грина [6], [9], [10]. Для «острого» клина следует применять рассмотренный выше метод частичных областей.

Временная форма акустического импульса дается соотношением [11]:

( ) ( ) ( ) ,li tsl l n lU t U F e d

+∞− Ω

−∞

= η Ω Ω Ω∫

где 1/ ,l lt t r= − υ 2 2( ) exp( / 4)a aF Ω = τ π −τ Ω – частотный спектр акустического импульса при угле 0 0;ϕ = длительность акустического им-пульса (τа) определяется особенностями погло-щения энергии светового импульса поверхно-стью металла [8].

Частотный спектр падающей ( ( ))lU Ω на клин УЗ волны дается соотношением [12]:

2

0sin( )

( ) ( ) ,4

f ll l

l

P ab AU D

r Aγ

Ω = ϕπμ

где 1 0sin / 2,l lA ak= ϕ 0ϕ – угол падения, а×b – размер источника (полоски прямоугольной фор-мы) возбуждения; fP – давление на поверхность твердого тела в области воздействия оптического излучения; r – расстояние до точки наблюдения рассеянной УЗ волны; угловое распределение продольной (Dl) УЗ волны дается соотношением:

02 2

0 0

2 2 2 3 2 2 20 0 0 0

( )

cos (1 2 sin ),

(2 sin 1) 4 sin cos sin

lD ϕ =

ϕ − γ ϕ=

γ ϕ − + γ ϕ ϕ γ − ϕ

где / ( 2 ),γ = μ λ + μ причем ,λ μ – постоянные Ламе.

Выполнив интегрирование численными ме-тодами, получим временную форму акустическо-го импульса рассеянной ( )s

lU t ультразвуковой волны. При численных расчетах применяется алгоритм быстрого преобразования Фурье.



На рисунке 2.3 представлена временная форма рассеянного акустического импульса для различных значений угла падения ϕ0=ϕ (a) и раз-мера трещины R (б).

а)

б)

Рисунок 2.3 – Временная форма акустического импульса при различных углах ϕ0: 1–10, 2–20,

3–30 град. (а) и при различных размерах R: 1–1, 2–3, 3–5 мм (б) (R=1мм, r=r’ = 1см, ϕ0 = ϕ, γ1 = 0, θ1 = 2 град, а=b=3 мм, Pf = 10 МПа (а);

r=r’ = 1см, ϕ0 = ϕ = 10 град., γ1 = 0, θ1 = 2 град, а = b = 3 мм, Pf = 10 МПа (б))

Из рисунка 2.3 следует существенная зави-симость временной развертки рассеянного аку-стического импульса от геометрических парамет-ров клина и его пространственной ориентации. При увеличении размера клина R амплитуды на-чальных составляющих временной развертки им-пульса достигают значительных величин.

Заключение Для оптимизации условий ультразвуковой

диагностики клиновидных дефектов твердых тел необходимо использовать метод частичных об-ластей в теории рассеяния в приближении, от-личном от рэлеевского. Максимальная эффектив-ность рассеяния на клиновидном дефекте дости-гается варьированием угла падения ультразву-ковой волны на дефект конечных размеров и угла рассеяния, связанного с положением при-емника излучения. Эти особенности объясняются

интерференционными эффектами при наложении плосковолновых компонент рассеянного ультра-звукового поля. Рассмотренные зависимости по-казывают, что импульсные характеристики рас-сеянного ультразвукового излучения на клино-видных дефектах, близких по форме к трещинам, позволяют определить размер трещины, угол ее «раскрыва», угол наклона трещины и ее место-положение по отношению к источнику и прием-нику излучения.


1. Труэл, Р. Ультразвуковые методы в физи-ке твердого тела / Р. Труэл, Ч. Эльбаум, Б. Чик; пер. с англ. под ред. Н.Г. Михайлова и В.В. Ле-манова. – М.: Мир, 1972. – 307 с.

2. Кайно, Г. Акустические волны. Устройст-ва, визуализация и аналоговая обработка сигна-лов / Г. Кайно. – М.: Мир, 1990. – 652 с.

3. Шендеров, Е.Л. Излучение и рассеяние звука / Е.Л. Шендеров. – М.: Судостроение, 1989. – 301 с.

4. Keller, J.B. Geometrical theory of diffraction / J.B. Keller // J. Opt. Soc. Amer. – 1962. – Vol. 52. – P. 116–130.

5. Уфимцев, П.Я. Метод краевых волн в фи-зической теории дифракции / П.Я. Уфимцев. – М.: Сов. радио, 1962. – 301 с.

6. Ufimtsev, P.Ya. Theory of acoustical edge waves / P.Ya. Ufimtsev // J. Acoust. Soc. Amer. –1989. – Vol. 96. – № 2. – P. 463–474.

7. Гринченко, В.Т. Рассеяние звука на ко-нечных клиновидных объектах / В.Т. Гринченко, В.Т. Мацыпура // Акустичний вiсник. – 2003. – Т. 6, №2. – С. 23–33.

8. Гринченко, В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. – Киев: Навукова думка, 1981. – 284 с.

9. Бусов, В.Л. Рассеяние ультразвуковых волн на микротрещинах в фрагментированных поликристаллах / В.Л. Бусов // Акустичний вiсник. – 2007. – Т. 10, №3. – С. 19–24.

10. Гуделев, В.Г. Оптико-акустическая диаг-ностика трещин в твердых телах / В.Г. Гуделев, Г.В. Кулак, А.Г. Матвеева // Известия НАН Бела-руси. Сер. физ.-мат. наук. – 2013. – № 1. С. 88–91.

11. Zang, S.Y. Experimental study of laser-generated shear waves using interferometry / S.Y. Zang, M. Paul, S. Fassbendtr, U. Schleichert, W. Arnold // Res. Nondestr. Eval. – 1990. – Vol. 2. – P. 143–155.

12. Буденков, Г.А. Динамические задачи теории упругости / Г.А. Буденков, О.В. Недзвец-кая. – М.: Физматлит, 2004. – 135 с.



© Сотский А.Б., Парашков С.О., Василенко А.Н., 2015 21

УДК 535.015; 535.016

ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ТЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ ОТ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛЕНКИ В УСЛОВИЯХ АНОМАЛЬНОГО СКИН-ЭФФЕКТА

А.Б. Сотский, С.О. Парашков, А.Н. Василенко

Могилевский государственный университет им. А.А. Кулешова, Могилев, Беларусь

REFLECTION OF THE TE POLARIZED LIGHT FROM A METALLIC FILM AT THE ANOMALOUS SKIN EFFECT

A.B. Sotsky, S.O. Parashkov, A.N. Vasilenko A.A. Kuleshov Mogilev State University, Mogilev, Belarus

Развита теория оптического скин-эффекта применительно к возбуждению металлической пленки наклонно падающей плоской волной ТЕ поляризации. Методом возмущений получены аналитические выражения для напряженности элек-трического поля в пленке и для коэффициента отражения света от пленки, в которых разделены вклады нормального и аномального скин-эффектов. Количественно исследованы угловые спектры отражательной способности Ag, Au и Ti пленок. Показано, что точность приближения нормального скин-эффекта снижается по мере уменьшения толщины пленки. Использование данного приближения при решении обратной оптической задачи рефлектометрии Ag и Au пле-нок толщиной в несколько нанометров привело к существенным погрешностям для восстанавливаемых параметров пленок. Ключевые слова: аномальный скин-эффект, металлическая пленка, отражательная способность, обратная оптиче-ская задача. The theory of optical skin effect at the excitation of a metallic film by an obliquely incident TE polarized plane wave is devel-oped. Analytical expressions for the electric field in the film and for the film reflectance that contain separated contributions of the normal and anomalous skin effects are obtained with the use of the perturbation method. Angular reflectance spectra for Ag, Au and Ti films are investigated numerically. It is shown, that the accuracy of the normal skin effect approximation is reduced with decreasing of the film thickness. The use of this approximation in solving of the inverse problem of optical reflectometry of Ag and Au films of few nanometers in thickness led to significant errors for the reconstructed parameters of the films. Keywords: anomalous skin effect, metallic film, reflectance of light, inverse optical problem.

Введение При оптической диагностике металлических

пленок широко используется подход, в котором металл описывается комплексной диэлектриче-ской проницаемостью [1]. Его истоком является классическая модель Друде-Зинера (или модель нормального скин-эффекта), которая основана на допущении о пространственно-локальной связи между плотностью тока свободных электронов j и напряженностью электрического поля .E Но, как известно, такое допущение может быть кор-ректным при условии, что средняя длина сво-бодного пробега электрона много меньше тол-щины скин-слоя [2]. Последнее условие может нарушаться в видимом и ультрафиолетовом диа-пазонах длин волн [2]. Кроме того, металличе-ские пленки, используемые в микроэлектронике и оптике, часто имеют толщины, значительно меньшие, чем длина свободного пробега элек-трона в металле. В этом случае допущение о локальной связи между j и E в пределах плен-ки также выглядит проблематичным. Отмечен-ные недостатки проявляются при решении об-ратных оптических задач спектрофотометрии и эллипсометрии металлических пленок в виде зависимостей восстанавливаемой комплексной

диэлектрической проницаемости от угла падения излучения на пленку и от толщины пленки [2], [3].

Более корректное описание взаимодействия света металлом, учитывающее нелокальность связи векторов j и E возможно в рамках теории аномального скин-эффекта [2]. До настоящего времени эта теория рассматривалась в случае нормального падения света на полуограничен-ный металл. Вместе с тем, полученное в ней ана-литическое решение интегро-дифференциально-го уравнения для напряженности электрического поля теряет применимость в случае наклонного падения света. Это решение не может быть ис-пользовано и при рассмотрении металлических пленок конечной толщины.

В первом разделе настоящей работы пред-ставлено развитие теории аномального скин-эффекта применительно к задаче отражения на-клонно падающего света ТЕ поляризации от ме-таллической пленки конечной толщины. Как и в [2], движение электронов в металле описывается полуклассическим кинетическим уравнением Больцмана, записанным в приближении времени релаксации. Сформулировано интегральное урав-нение относительно напряженности электрического поля в пленке. Последнее уравнение содержит

ФИЗИКА



малый параметр 0 /v c 0(v – скорость электрона на поверхности Ферми, c – скорость света) и допускает решение методом возмущений. Клас-сическая теория нормального скин-эффекта име-ет место в нулевом порядке теории возмущений, а аномальный скин-эффект реализуется в ее пер-вом порядке. Получено аналитическое выраже-ние для комплексного коэффициента отражения света от пленки, учитывающее аномальный скин-эффект. На его основе во втором разделе статьи исследованы угловые зависимости отра-жательной способности серебряных, золотых и титановых пленок различной толщины, находя-щихся на подложке из стекла К8. Оценены по-грешности восстановления параметров металли-ческих пленок, возникающие при обработке на-званных зависимостей с применением стандарт-ной теории нормального скин-эффекта.

1 Отражение волны ТЕ поляризации от

металлической пленки Пусть металлическая пленка толщины d

находится между двумя диэлектрическими сре-дами с относительными диэлектрическими про-ницаемостями aε ( 0)y > и sε ( ).y d< − Моно-хроматическая плоская ТЕ волна с зависимостью от времени и координаты z вида

0exp( )i t ik zω β− (далее этот множитель будет опускаться) падает на пленку из области 0y >

под углом .γ Здесь sin ,aβ ε γ= 0 /k cω= – волновое число вакуума. Ось однородности – 0 .x

Согласно уравнениям Максвелла, напря-женность электрического поля вне пленки может быть рассчитана по формулам

( )0

( )0

exp( )

exp( ) ( 0),

ax a y

aa y

E A ik k y

B ik k y y

= +

+ − ≥ (1.1)

( )0exp[ ( )]s

x yE S ik k y d= + ( ),y d≤ − (1.2) где ,aA ,aB S – некоторые постоянные,

( ),( ) 2, .a s

y a sk ε β= − В пленке имеет место уравнение

2 2 20

20 0

[ ]

( ) .y x x

x x

E k E

i j y k E

ε ε β

ωμ ε

∇ + + Δ − =

= + Δ (1.3)

Здесь ε – комплексная диэлектрическая прони-цаемость ионного остова металла, учитывающая внутренний фотоэффект [2], εΔ – некоторая константа, выбор которой пояснен ниже, 0μ – магнитная проницаемость вакуума,

1( ) ( , )x x x y zj y e v dv dv dv f y∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= − ∫ ∫ ∫ v (1.4)

– компонента плотности тока, e – модуль заряда электрона, 1( , )f y v – неравновесная функция плотности электронов в пространстве координат и скоростей.

Функция 1( , )f y v подчиняется кинетиче-скому уравнению Больцмана, записанному в приближении времени релаксации [2]

110 1

0

( )

,

y z

xx

fv i i k v f

yfe E

m v

ω β τ −∂+ − + =

∂∂

=∂

(1.5)

где m – масса электрона, τ – среднее время сво-бодного пробега электрона,

3

0 3 1

2 1exp[( )( ) ] 1c

mfh kTε μ −=

− +

– равновесное распределение Ферми электронов по энергии ,cε h – постоянная Планка,

( )22 1 13

0(2 ) 3 (8 )h m nμ π− −=

– предельная энергия Ферми ( 0n – концентрация свободных электронов), k – постоянная Больц-мана, T – температура.

Решая уравнение (1.5) в приближении диф-фузного отражения электронов от границ пленки [2], [4] и предполагая электронный газ вырож-денным, получаем

0

( ) ( ) ( ) ,x xd

j y G y y E y dy−

′ ′ ′= −∫ (1.6)

где 22

23

0

/2 3

0

4( ) sin

sin exp( ),cos

meG y y dh

d y y

π

π

μ ϕ ϕ

θθ αθ

′− = ×

′× − −

∫

∫ (1.7)

1 10 0[ (1 sin cos ) 1]( cos ) ,i v c vα ωτ β θ ϕ τ θ− −= − +

θ и ϕ – углы сферической системы координат в пространстве скорости электрона,

1 130 03 (8 )v h m n π− −=

– модуль скорости электрона на поверхности Ферми.

Решая теперь (1.3) как неоднородное диф-ференциальное уравнение и учитывая (1.6), по-лучаем интегральное уравнение

00

0

00

0

0

0

( ) exp( ) exp( )

exp( ) ( )2

( )2

exp( ) ( ) ,

x y y

y xy d

xy d

yd

E y A ik y B ik y

kik k y y E y dy

ik

dy E yk k

ik k y y G y y dy

ε

ωμ−

−

−

= + − +

Δ ′ ′ ′+ − +

′ ′+ ×

′′ ′′ ′ ′′× − −

∫

∫

∫

(1.8)

где 2 ,yk ε ε β= + Δ − A и B – произвольные постоянные. После интегрирования по y′′ урав-нение (1.8) преобразуется следующим образом:

Отражение света ТЕ поляризации от металлической пленки в условиях аномального скин-эффекта


0 0

00

0

0 0

( ) exp( ) exp( )

exp( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ,

x y y

y xy d

x xd d

E y A ik k y B ik k y

kik k y y E y dy

ik

N y y E y dy A y y E y dy

ε

−

− −

= + − +

Δ ′ ′ ′+ − +

′ ′ ′ ′ ′ ′+ − + −

∫

∫ ∫

(1.9)

где 22

203

0 0

/ 2 3

02 2 200

4( ) sin

sin exp( ),cos ( )

y

yy

meN y y d

k k h

d ik k y yk k

π

π

ωμμϕ ϕ

α θθθ α

′− = ×

′× −+

∫

∫(1.10)

2220

30

/ 2 3

2 2 200

4( ) sin

sin exp( ).cos ( )y

imeA y y d

h

d y yk k

π

π

ωμμϕ ϕ

θθ αθ α

′− = ×

′× − −+

∫

∫ (1.11)

Заметим, что при естественном условии 0 / 1v c <<

0 01

01

0

20 0

cos 1sin cos[1 ( ) ] 1

1 ( )cos

(1 )

sin cos1 .1

y y

y

k k kvvc i ic i

kvc i i

v vi Oc i c

θβ θ ϕα ωτ

ωτωτ θ

ωτ

βωτ θ ϕωτ

−

−

= =+ −

+

= ×+

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪× + + ⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

Поэтому справедливы оценки

2 2 20

0 02

20

2 cos 2 cos sin cos1 (1 )

1 ,

yk k

v v ii c i

vO

c

αα

τ θ ωτβ θ θ ϕωτ ωτ

=+

⎡ ⎤= + ×⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪× + ⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(1.12)

22 2 20 0

2 2 2 20

2 cos1 1 .(1 )y

v vO

ck k iτ θ

α ωτ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪= − + ⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭(1.13)

Подставив (1.12), (1.13) в (1.10), (1.11), опустив величины порядка 2

0( / )O v c⎡ ⎤⎣ ⎦ и выпол-нив интегрирование по угловым переменным в

(1.10), приводим уравнение (1.9) к виду ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),n a

x x x xE y E y E y E y= + + Δ (1.14) где

( )0 0( ) exp( ) exp( ),n

x y yE y A ik k y B ik k y= + − (1.15)

( ) 0 0

0 2 / 2 2 3

0 0

3( )

4 (1 )

sin sin cos ( ) ,exp( )

a ex

xd

v kE y

c i

d d E y dyy y

π π

ε ωτπ ωτ

ϕ θ θϕ θα−

Δ= ×

+

⎡ ⎤′ ′× ⎢ ⎥′−⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫(1.16)

0

0

0

( )( )

2

exp( ) ( ) ,

ex

y

y xd

kE y

ik

ik k y y E y dy

ε ε

−

Δ − ΔΔ = ×

′ ′ ′× −∫

2 10 0[ (1 )] ,e i k iε ωμ σ ωτ −Δ = − +

2 3 1016 (3 )me v hσ πμ τ −=

– статическая проводимость металла. Выберем произвольную константу εΔ из

условия .eε εΔ = Δ В этом случае получим ( ) 0,xE yΔ ≡ а член ( ) ( )n

xE y в (1.14) будет описы-вать оптическое поле в пленке с комплексной диэлектрической проницаемостью

2( ) ,n e n ikε ε ε= + Δ = − где n и k – показатели преломления и поглоще-ния металла, фигурирующей в теории нормаль-ного скин-эффекта. Член ( ) ( ),a

xE y отвечающий за аномальный скин-эффект, имеет порядок

0( / ).O v c Это позволяет решать уравнение (1.14) методом возмущений. В нулевом приближении соответствующее решение будет описывать нор-мальный скин-эффект. Аномальный скин-эффект может быть учтен в первом борновском прибли-жении. В нем оптическое поле в пленке опреде-ляется выражениями (1.14), (1.15), в которых

( ) 0,xE yΔ ≡ 2y nk ε β= − и выражением (1.16),

где 0 0( ) exp( ) exp( ).x y yE y A ik k y B ik k y′ ′ ′= + −

Константы A и ,B фигурирующие в полу-ченном решении, и коэффициент отражения све-та от металлической пленки /a ar B A= находим, учитывая (1.1) и (1.2) и потребовав непрерывно-сти xE и y xE∇ при 0y = и :y d= −

,B DA= ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2,

( ) ( ) [ ( ) ( )]

aa y

a a a ay y y y y y y y y y

A kA

k k k k i k D k k k k i kψ ψ ψ ψ=

′ ′+ + + + − + − + − ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ( ) ( )],

( ) ( ) [ ( ) ( )]

a a a ay y y y y y y y y ya a a a

y y y y y y y y y y

k k k k i k D k k k k i kr

k k k k i k D k k k k i kψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψ

′ ′− + − + + + − − −=

′ ′+ + + + − + − + − (1.17)

где ( ) ( )

0 ( ) ( )

( ) ( )exp( 2 ) ,

( ) ( )

s sy y y y y

y s sy y y y y

k k i k k kD ik k d

k k i k k kψ ψψ ψ

′− − − − −= −

′+ + +

2

20 0

0

3( ) sin

2 (1 )e

yk v

ki

πε τψ ϕ

π ωτΔ

= ×+ ∫ (1.18)



3/20

00

sin cos [1 exp( ( ) ],y

y

ik k dd d

ik k

π θ θ αθ ϕ

α⎡ ⎤− − +

×⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

20 0

0

3( ) sin

2 (1 )e

yk v

ki

πε τψ ϕ

π ωτΔ′ = ×+ ∫ (1.19)

3/20

00

sin cos [1 exp( ( ) ].y

y

ik k dd d

ik k

π α θ θ αθ ϕ

α⎡ ⎤− − +

×⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

Двойные интегралы в полученных выраже-ниях сходятся равномерно относительно пара-метра ,β определяемого углом падения света на пленку и относительно толщины пленки, поэто-му их вычисление не вызывает принципиальных затруднений. Заметим, что при ( ) 0,ykψ ± =

( ) 0ykψ ′ ± = полученная формула для r согласу-ется с классическим результатом Друде – Зинера.

Количественные оценки влияния аномаль-ного скин-эффекта на отражательную способ-ность металлических пленок для волн ТЕ поля-ризации представлены в следующем разделе.

2 Отражательная способность пленок

Ag, Au, Ti В настоящее время восстановление парамет-

ров металлических пленок при их диагностике ме-тодами рефлектометрии, спектрофотометрии, эл-липсометрии и волноводной спектроскопии осуще-ствляется, как правило, с использованием модели нормального скин-эффекта [3], [5]–[8]. Очевидный практический интерес представляет выяснение погрешностей, вносимых данной моделью, с по-зиций рассмотренной более точной теории.

Ниже соответствующие оценки получены применительно к методу рефлектометрии. Этот метод предполагает измерение и обработку угло-вых зависимостей отражательной способности пленок [5]–[7]. Его высокая чувствительность к параметрам наноразмерных металлических пле-нок была продемонстрирована в [7].

Влияние нелокальности связи между векторами j и E на отражательную способность Ag, Au и Ti пленок, расположенных на подложке из стекла К8, иллюстрирует рисунок 2.1.

Здесь 2aR r= – отражательная способ-

ность пленки, рассчитанная на основании общего решения (1.17)–(1.19), 2

nR r= – отражательная способность пленки, рассчитанная в приближе-нии нормального скин-эффекта ( ( ) 0,ykψ ± =

( ) 0ykψ ′ ± = в (1.17)). Вычисления выполнены

при 632,8 ,нмλ = 1,aε = 7 2(1,51466 10 )s iε −= − ⋅ и значениях констант для объемных металлов, которые приведены в таблице 2.1.

Согласно рисунку 2.1, влияние аномального скин-эффекта на отражательную способность всех рассмотренных пленок возрастает с уменьшением

их толщины. Это влияние наименее выражено для Ti пленки, что объясняется сравнительно низким значением τ для этого металла (как вид-но из (1.14), (1.16), в пределе при 0τ → в метал-лической пленке реализуется нормальный скин-эффект).

Рисунок 2.1 – Зависимости отражательной

способности металлических пленок толщиной 2 нм (а) и 30 нм (б) для волн ТЕ поляризации от углового параметра ,β рассчитанные по теории аномального скин-эффекта (сплошные кривые) и в приближении нормального скин-эффекта (штриховые кривые). Сплошная и штриховая кривые на рисунке 2.1, б, относящиеся к Ti пленке, в масштабах рисунка не различимы

Таблица 2.1 – Константы, использованные при расчетах [9]–[12]

Ме-талл

1410 ,cτ ⋅ 28 30 10 ,n м−⋅ n k

Ag 4,063 5,852 0,0562 4,27 Au 2,916 5,907 0,225 3,31 Ti 0,1491 5,666 2,71 3,77

Для оценки погрешностей восстановления

параметров металлических пленок, вносимых мо-делью нормального скин-эффекта, мы получили

Отражение света ТЕ поляризации от металлической пленки в условиях аномального скин-эффекта


численное решение обратной задачи рефлекто-метрии металлических пленок методом наи-меньших квадратов (таблица 2.2). При этом в качестве «экспериментальных» данных исполь-зованы значения ( ),a kR β рассчитанные при

100M = значениях углового параметра ,kβ β= равномерно расположенных на интервале (0; 0,85), а в качестве теоретической модели – функция

( , , , ).n kR d n kβ Минимумы целевой функции 2

1( , , ) ( ) ( , , , )

M

a k n kk

F d n k R R d n kβ β=

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑

найдены методом градиентного спуска [13].

Таблица 2.2 – Исходные толщины пленок (d) и восстановленные значения d ( ),rd n ( ),rn k ( )rk

Металл ,d нм ,rd нм rn rk 2,0 1,64 0,00204 4,60 5,0 4,28 0,00263 4,65

10,0 10,2 0,0124 4,23 20,0 20,0 0,0312 4,27

Ag

30,0 30,8 0,0368 4,20 2,0 3,60 0,00765 2,28 5,0 4,87 0,117 3,36

10,0 9,87 0,167 3,33 20,0 20,0 0,194 3,31

Au

30,0 30,3 0,202 3,29 2,0 1,88 2,61 3,87 5,0 4,92 2,66 3,79

10,0 9,90 2,68 3,78 20,0 19,9 2,70 3,78

Ti

30,0 29,9 2,64 3,78

Из таблиц 2.1 и 2.2 можно заключить, что в случае Ag, либо Au пленок толщиной ~ 2 нм при-ближение нормального скин-эффекта для реше-ния обратной оптической задачи практически не пригодно, так как оно приводит к существенным погрешностям при восстановлении толщины пленки, а восстановленные константы n и k оказываются зависящими от толщины пленки. Однако с ростом толщины пленки эффектив-ность названного приближения возрастает. Наи-более стабильные в зависимости от толщины пленки и близкие к данным таблицы 2.1 резуль-таты восстановления n и k имеют место для Ti пленок. Причина высокой эффективности при-ближения нормального скин-эффекта для титана обсуждалась выше.

Заключение Развита теория оптического скин-эффекта

применительно к возбуждению металлической пленки наклонно падающей плоской волной ТЕ поляризации. Методом возмущений получены выражения для напряженности электрического поля в пленке и для коэффициента отражения

света от пленки, в которых разделены вклады нормального и аномального скин-эффектов. Ко-личественно исследованы угловые спектры от-ражательной способности Ag, Au, Ti пленок. С использованием стандартной модели нормально-го скин-эффекта найдены численные решения обратной задачи рефлектометрии данных пле-нок. Показано, что точность приближения нор-мального скин-эффекта снижается по мере уменьшения толщины пленки. В частности, по-грешности решения обратной задачи рефлекто-метрии для пленок Ag и Au толщиной в несколь-ко нанометров оказались неприемлемо высоки-ми. Таким образом, при оптической диагностике наноразмерных металлических пленок целесооб-разно использовать электродинамическую мо-дель среды, учитывающую аномальный скин-эффект.

Рассмотренная теория допускает обобщение на случай волн ТМ поляризации. Соответствую-щие расчеты будут представлены в отдельной публикации.


1. Johnson, P.B. Optical contacts of the noble metals / P.B. Johnson, R.W. Christy // Physical re-view B. – 1972. – Vol. 6, №. 12. – P. 4370 – 4374.

2. Соколов, А.В. Оптические свойства метал-лов / А.В. Соколов. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 464 с.

3. Kangarlou, H. Influence of thickness on opti-cal properties of titanium layers / H. Kangarlou, M.M. Aghgonbad // Оптика и спектроскопия, 2013. – Т. 115, № 5. – С. 844–848.

4. Петров, Ю.И. Физика малых частиц / Ю.И. Петров. – М.: Наука, 1982. – 360 с.

5. Биленко, Д.И. Определение оптических свойств и толщины нанослоев по угловым зави-симостям коэффициента отражения / Д.И. Би-ленко, А.А. Сагайдачный, В.В. Галушка, В.П. По-лянская // ЖТФ. – 2010. – Т. 11, № 10. – С. 89–94.

6. Хомченко, А.В Контроль параметров нано-размерных металлических покрытий на кремнии / А.В. Хомченко, А.Б. Сотский, И.А. Корнеева, С.О. Парашков, Л.И. Сотская, А.В. Шульга // Современные методы и приборы контроля каче-ства и диагностики состояния объектов: мате-риалы 4-й междунар. науч.-тех. конф., Могилев, 26–27 сентября 2012 г. / Белорусско-Российский ун.-т; редкол.: И.С. Сазонов [и др.]. – Могилев, 2012. – С. 219–220.

7. Сотский, А.Б. Волноводная спектроскопия наноразмерных металлических покрытий / А.Б. Сотский, А.В. Хомченко, И.А. Корнеева, С.О. Парашков, Л.И. Сотская // Лазерная физика и оптические технологии: материалы IX между-нар. науч. конф., Гродно, 30 мая – 2 июня 2012 г. / Гродненский гос. ун.-т; редкол.: С.А. Маскевич [и др.]. – Гродно, 2012. – Ч. 2. – С. 244–247.

8. Стаськов, Н.И. Спектры оптических ха-рактеристик титана с бинарным поверхностным



слоем / Н.И. Стаськов, А.Б. Сотский, Л.И. Сотская, А.Н. Петлицкий // Оптика и спектроскопия. – 2012. – Т. 112. – № 6. – С. 952–955.

9. Sadowski, J.W. Biosensors based on surface plasmons in non-noble metals / J.W. Sadowski, J. Lekkala, I. Vikholm // Biosensors & Bioelectro-nics. – 1991. – Vol. 6. – P. 439–444.

10. Johnson, P.B. Optical contacts of transition metals: Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, and Pd / P.B. John-son, R.W. Christy // Physical review B. – 1974. – Vol. 9, № 12. – P. 5056–5070.

11. Таблицы физических величин. Справоч-ник; под ред. И.К. Кикоина. – М.: Атомиздат, 1976. – 1008 с.

12. Физические величины: справочник / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братков-ский и др.; под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мей-лихова. – М.: Энергоиздат, 1991. – 1232 с.

13. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1977. – 831 с.



© Тимощенко Е.В., Юревич Ю.В., 2015 27

УДК 535.33:621.375

HEЛИНЕЙНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ТОНКОЙ ПЛЁНКИ ПЛОТНОЙ РЕЗОНАНСНОЙ СРЕДЫ

Е.В. Тимощенко, Ю.В. Юревич

Могилёвский государственный университет им. А.А. Кулешова, Могилев, Беларусь

NONLINEAR SUSCEPTIBILITY OF THE THIN FILM OF DENSE RESONANT MEDIUM

E.V. Timoschenko, Yu.V. Yurevich A.A. Kuleshov Mogilev State University, Mogilev, Belarus

Проведена расчетная оценка дисперсионной зависимости диэлектрической восприимчивости тонкого слоя плотной ре-зонансной среды с учетом насыщения поглощения. Указано на возможность бистабильности комплексной функции Лорентца и гистерезисных скачков в резонансном отражении слоя. Ключевые слова: тонкие оптические плёнки, резонансное отражение, диполь-дипольное взаимодействие. The computing estimation of a dielectric susceptibility dispersive dependence of a thin layer of the dense resonant medium tak-ing into account absorption saturation is carried out. The possibility of bistability in Lorentz complex function and hysteresis jumps in film resonant reflection are specified. Keywords: thin optical films, resonant reflection, dipole-dipolar interaction.

Введение Интерес к изучению плотных резонансных

сред обусловлен тем, что в этих оптических ма-териалах значительна плотность активных центров и нелинейность отклика на внешнее световое воздействие способна проявляться даже в особо тонких слоях на основе подобных сред [1], [2]. Типичным для плотных резонансных сред является спектральный сдвиг линии погло-щения, обусловленный ближним диполь-диполь-ным взаимодействием атомов [3], [4]. Влияние локального поля дипольных атомов на контур линии резонансного поглощения подтвержденo, например, данными спектроскопических измере-ний в работе [5], где зарегистрировано смещение резонанса в сторону низких частот. В настоящий момент интенсивно изучаются полупроводнико-вые структуры на основе квантоворазмерных элементов. Благодаря формированию в них экситонных энергетических зон, подобные стру-ктуры могут рассматриваться в качестве плотных резонансных сред [6], [7]. Соответствующий не-линейный фазовый эффект в полупроводнико-вых квантоворазмерных структурах оказывается непосредственно связанным с изменением кон-центрации свободных носителей или экситонов.

Особенности проявления резонансной нели-нейности в граничных слоях резонансных сред (или тонких активных плёнках) и, в частности, предсказываемая при этом оптическая бистабиль-ность, получившая название внутренней, изучены, в принципе, достаточно [2], [8], [9]. Отмечено, что в пропускании и отражении когерентных потоков

излучения тонкими слоями существенно сказы-вается влияние поверхностной резонансной эле-ктрической поляризации. Безусловно, значитель-ным оказывается вклад диполь-дипольного взаимодействия в нелинейную диэлектрическую проницаемость. Поэтому задача изучения зако-номерностей резонансного отражения гранично-го слоя оптической среды с высокой плотностью активных центров вполне правомерна. В литера-туре, например, отсутствует оценка изменения дисперсионной развёртки восприимчивости тон-кого слоя плотной резонансной среды по мере насыщения поглощения. В настоящей статье фopмyлиpуется соотношение для частотной за-висимости диэлектрической восприимчивости тонкого слоя плотной резонансной среды с учё-том насыщения. На его основе рассчитана нели-нейная характеристика эффективного коэффици-ента резонансного отражения поверхностной плёнки подобной среды.

1 Основные уравнения При формулировке основных уравнений,

описывающих нелинейное взаимодействие плос-коволнового светового поля с плёнкой, далее бу-дем придерживаться довольно распространенно-го в литературе приближения сверхтонкого слоя резонансных атомов. Имеется в виду планарный граничный слой с толщиной l, значительно мень-шей длины волны света λ, которым разделены две оптические среды с линейнoй диэлектрической проницаемостью. Тогда вместо уравнений Мак-свелла можно применить электродинамические

ФИЗИКА



условия для напряженности полей и поверхност-ной электрической поляризации в граничном слое. Из этих граничных условий следуют соот-ношения между напряженностями внешнего, прошедшего и отражённого электрического поля (Ei, E и Er) и плотности вероятности резонансной электрической поляризации ρ:

0

00

2 ,1 ( 1)

.( 1)

i

r i

Nl dE Ec dt

Nl dE r Ec dt

μ ρ= +η+ ε η+

μ ρ= − +

ε η+

(1.1)

Здесь μ − средний дипольный момент частицы, N – концентрация активных центров, η − относи-тельный показатель преломления линейных сред, r0 = (η –1)/(η + 1) − нерезонансная (френелевская) отражательная способность граничного слоя. Условия связи полей (1.1) необходимо допол-нить материальными уравнениями квантовоме-ханической матрицы плотности для вероятност-ных переменных резонансной поляризации ρ и разности населённостей n уровней резонансного перехода. Эти соотношения учитывают, что поле волны внутри слоя зависит от резонансных свойств активных центров и определяет их ди-намику в условиях одноквантового резонанса. В рассматриваемой далее ситуации с воздействием поля на активные центры в плёнке учитывается конечность времен Т1 и Т2 продольной и попе-речной релаксации отклика среды. Принципиален учет диполь-дипольного взаимодействия. Напря-жённость светового поля Еl, действующего на образующие тонкий слой элементарные излучате-ли, в приближении среднего поля включает ло-рентцеву поправку, в которой считается особо существенной динамическая резонансная состав-ляющая: Еl = E + μ N ρ / 3ε0. Материальные урав-нения тогда записываются в таком виде:

2

22

220 0 0

0

1 0 0

2

2 2 ,3

1 2 ( 1) ,3

d dT dtdt

N n nE

dn d Nn Edt T dt

ρ ρ+ +

⎛ ⎞μ μ+ ω + ω ρ = − ω⎜ ⎟ε⎝ ⎠

⎛ ⎞μ ρ μ+ − = − + ρ⎜ ⎟ω ε⎝ ⎠

(1.2)

где ω0 − среднее значение собственной частоты элементарного осциллятора. Используем далее квазистационарное представление поля и поляри-зации с несущей частотой ω. При условии близости несущей частоты ω к резонансу, т. е. при ω ≈ ω0, несложно получить приближённое решение (1.2), связывающее ycтановившуюся величину ком-плексной амплитуды ρ′(ω) со стационарной ампли-тудой поля Е′ и равновесным значением разности населённостей ns:

( ) ( )0 2

,s

s

n En i T′μ′ρ ω =

ω −ω+ γ +

где γ = μ2NТ2 / 3 0ε − нормированный коэффи-циент при лорентцевой поправке. Cвязь макро-скопической электрической поляризации P′ с напряжённостью светового поля можно выразить через восприимчивость χ(ω), записывая фор-мально линейное соотношение: P′ = ε0χ(ω)E′. В выражении для восприимчивости

χ(ω) = π μ2N ns g(ω,ω0) / ε0ħ выделяется характеристика формы линии по-глощения, известная как комплексная функция Лорентца g(ω,ω0):

( )( )

( )

00 2 2

0 2

22 2

0 2

1,1

1 .1

s

s

s

ng

n TTin T

ω −ω+ γω ω = −

π ω −ω+ γ +

−π ω −ω+ γ +

(1.3)

Действительная и мнимая части функции харак-теризуют соответственно дисперсию показателя преломления и контур поглощения в среде. Cмещение частоты зависит от разности населён-ностей (добавка γns к отстройке частоты ω0 − ω), поэтому модифицированная функция Лорентца (1.3) нелинейна − в условиях воздействия лазер-ного излучения разность населённостей ns зави-сит от интенсивности. Ещё более выраженной нелинейностью должна обладать восприимчи-вость χ(ω). Стационарная задача определения реакции граничного слоя на возбуждение внеш-ним излучением, одинаковым по амплитуде поля в узкой спектральной полосе |ω0− ω| ~ 1/T2, со-ответствует предположению Ei′(t) = E0′ в услови-ях (1.1). С учётом этого, уравнение системы (1.2) для n(t) в cингулярном пределе приводит к вы-ражению:

( ) ( )

20

2 2

1 e.

1s

s s s

nn n n−

=Δ − γ + + κ

(1.4)

Напряжённость приложенного поля в (1.4) нормирована по уровню мощности насыщения:

0 0 1 2e 2 / ( 1 );E T T ћ′= μ η+ 2

0/ ( 1 ) Nl c ћκ = μ ω η+ ε − резонансный (ненасыщенный) показатель по-глощения граничного слоя; Δ = (ω − ω0) T2 − нop-миpoвaнная по ширине линии отстройка частоты от центра линии. Очевидно, что ход кривых нелинейной восприимчивости в зависимости от частоты действующего поля (нopмиpoвaнной отстройки частоты Δ) можно описать на основе расчёта соотношения (1.3) и уравнения (1.4).

2 Результаты расчёта дисперсионных со-отношений

Исследуем нелинейную трансформацию кри-вых, характеризующих диэлектрическую вос-приимчивость тонкой плёнки. Для этого вычис-лим спектральную форму мнимой и действи-тельной части функции G(Δ) = πg(Δ)ns(Δ) / T2 для

Нелинейная восприимчивость тонкой плёнки плотной резонансной среды


разной степени насыщения поглощения. При расчёте G(Δ) по выражениям (1.3), (1.4) коэффи-циенты, в основном, соответствовали значениям микроскопических параметров квантоворазмер-ных структур, которые использованы в расчёт-ных оценках [6], [7]: величина μ взята в диапазо-не (8…10)⋅10-29 Кл⋅м, поверхностная плотность Nl – в диапазоне (1…7)⋅1018 м−2. Расчёты удобно проводить параметрическим способом, полагая ns величиной, линейно нарастающей в пределах (0,1), и вычисляя, например, значения 2

0e и G(Δ). Качественная трансформация зависимостей Im G(Δ) и Re G(Δ) по мере насыщения разности на-селённостей для определенной критиче-ской области нарастания значений нормирован-ной мощности 2

0e представлена на рисунке 2.1. Первоначально, при отсутствии насыщения, обе кривых симметричны, резонансная частота из-за влияния ближних полей диполей смещена в сторону низких частот (рисунок 2.1, а, а′). На-сыщение поглощения и соответствующее сниже-ние разности населённостей должно привести к сглаживанию и уширению линий, а также сбли-жению их центров с положением «естественно-го» резонанса. Сочетание параметров расчёта избрано, однако, таким, что асимметричная де-формация кривых выражает неоднозначную за-висимость G от отстройки частоты. Диапазон значений, при которых наблюдается наклон ре-зонансов Im G(Δ) (рисунок 2.1, б – г) и изгиб ли-ний Re G(Δ) (рисунок 2.1, б′–г′), определяют об-ласть (зону) бистабильности на шкале частоты.

Возможность бистабильного поведения за-висимостей в предложенной схеме исследуется

именно для стационарной задачи, когда считает-ся, что интенсивность излучения, зондирующего слой плотной резонансной среды, изменяется крайне медленно по сравнению с временами ре-лаксации двухуровневой системы и поэтому её можно считать непрерывной во времени. Это означает, что в среде слоя при данном прило-женном поле устанавливается равновесие, харак-теризуемое определенными значениями матери-альных переменных. При циклическом измене-нии интенсивности излучения в рассматривае-мом случае стационарный отклик тонкого слоя нелинейной среды проявляет гистерезисные свойства с образованием петли гистерезиса. Гис-терезис демонстрируют также дисперсионные кривые, изображённые на рисунках 2.1, б–г, б′–г′. Перестройка частоты излучения в пределах зоны бистабильности в окрестности резонанса при постоянном уровне интенсивности может при-вести к резкому скачку восприимчивости. Суще-ствование области бистабильности является следствием конкуренции нелинейных фазовых эффектов, вызванных насыщением поглощения и смещением резонанса из-за диполь-дипольного взаимодействия. Действие обоих механизмов деформации зависимостей носит встречный ха-рактер. Взаимная компенсация их вкладов, воз-можная при определенном сочетании макроско-пических параметров – показателя поглощения и интенсивности приложенного поля, может при-водить к гистерезисным скачкам отклика среды при непрерывном изменении входных характе-ристик излучения.

Рисунок 2.1 – Изменение формы кривых мнимой (а–д) и действительной части восприимчивости (а′–д′)

по мере насыщения разности населённостей: 20e = 0.05 (a, а′), 5.0 (б, б′), 10 (в, в′), 20 (г, г′), κ = 0.65, γ = 2.34 (а–г′); κ = 0.85, γ = 4.40 (д, д′),

T1= 1⋅10-9c, T2= 1⋅10-12c, λ = 1.3⋅10-6м



В едином масштабе динамику деформации дисперсионных зависимостей при увеличении нор-мированной интенсивности (при нарастании степе-ни насыщения) демонстрирует рисунок 2.1, д, г. Очевидно, что возникновение бистабильности на шкале частот может наблюдаться в определён-ном диапазоне нормированной интенсивности приложенного поля. Уширение и сглаживание дисперсионных кривых в случае сильного насы-щения приводит к исчезновению бистабильной особенности.

Сформулировать условия проявления бис-табильности и гистерезиса в зависимости от со-четания значений κ, γ и 2

0e можно на основе ре-шения уравнения (1.3) относительно ns, что мо-жет представить собой отдельную задачу. Далее только подчеркнём, что расчёты, ранее прове-денные при участии авторов в работе [10], где было учтено электрическое поляризующее влия-ние поглощения в квазирезонансных переходах, указывают на возможность иной бистабильной трансформации дисперсионной зависимости ре-зонансного отклика. Для определённого диапа-зона микроскопических параметров модели (1.1), (1.2) характерно асимметричное расщепление резонансных кривых. При этом значения резо-нансного поглощения κ и насыщающей интен-сивности 2

0e значительно превышают величины значений тех же параметров, рассматриваемых в данной статье.

Спектральная развёртка действительной час-ти функции Лорентца выражает дисперсионную зависимость показателя преломления вблизи резонансной частоты. Xoд изменения показателя преломления в этой области, как показывают приведенные на рисунке 2.1 варианты расчёта Re G(Δ), определяется уровнем насыщающей ин-тенсивности 2

0e . Отражение в этом случае не является постоянным на шкале 2

0e , поэтому ин-тересно рассмотреть нелинейную зависимость резонансного отражения слоя плотной среды. Выражение для эффективной амплитудной отражательной способности слоя несложно получить из соотношений (1.1) и (1.3):

( )( )( )

( ) ( )

0

2 22 2 2

21

1 1.

[1 ]

s

s s s

s s s s

nr r

n n n

n n n n

κ= + ×

η+

+ + Δ − γ + κ×

+ Δ − γ + κ + κ Δ − γ

(2.1)

Зависимость амплитудного коэффициента r от интенсивности приложенного поля, полученная параметрическим расчётом (1.4), (2.1), в разных вариантах иллюстрирована на рисунке 2.2.

Cyдя по результатам расчёта, при опреде-лённом сочетании параметров резонансного по-глощения и отстройки частоты коэффициент отражения на шкале значений интенсивности характеризуется максимумом. Величина соответ-ствующего оптимума в отражении возрастает с увеличением поглощения. Нарастание степени насыщения с ростом 2

0e приводит к тому, что отражение приближается к френелевскому уров-ню (определяемому нерезонансным значением показателя преломления). Отметим важную осо-бенность хода нелинейных кривых – присутствие бистабильности. Нарастание мощности внешнего поля на данной частоте способно обусловить гистерезисный скачок отражения. Положение зоны бистабильности на шкале 2

0e и её размер, определяющий ширину гистерезисной петли, зависит от резонансного поглощения и отстрой-ки резонанса. Нарастание этих обеих величин в рассматриваемом диапазоне их изменения при-водит к сглаживанию нелинейных кривых и ис-чезновению бистабильности. Так, например, ход кривой 4 на рисунке 2.2, б, хотя и характеризует-ся максимумом, однако не проявляет гистерезис-ных свойств. Возникновение оптимума в отра-жении, существование бистабильности выражает возможность особого, нелинейного резонанса в поведении отклика плотной оптической среды. Наличие этой особенности, как и для нелиней-ных дисперсионных зависимостей G, можно объяснить влиянием на пропускание слоя двух тенденций, динамика которых определяется на-сыщением разности населённостей, таких как просветления слоя и увеличения его поглощения,

Рисунок 2.2 – Нелинейная зависимость отражательной способности слоя плотной резонансной

среды: κ = 0.5 (кривые 1), 0.8 (2), 1.0 (3), 1.2 (4), Δ = 1.0 (а), 2.5 (б), γ = 2.34, T1 = 1⋅10-9c, T2 = 1⋅10-12c, λ = 1.3⋅10-6м

Нелинейная восприимчивость тонкой плёнки плотной резонансной среды


а также нелинейной отстройки от резонанса вследствие автомодуляционного смещения час-тоты в условиях влияния ближних полей элемен-тарных диполей на электрическую поляризацию.

Рассмотренная особенность резонансного отражения может быть использована для опти-мизации действия полупроводниковых зеркал, обычно применяемых в качестве компактных пассивных модуляторов в резонаторах импульс-ных лазерных устройств [11]. Гистерезисный скачок отражения, «не следящий» за непрерыв-ным изменением излучения, способен нарушить его динамическую устойчивость и обусловить развитие автоколебаний выходной интенсивно-сти лазера.

Заключение В работе показана возможность гистерезис-

ного поведения нелинейной диэлектрической восприимчивости оптической структуры с пла-нарной граничной плёнкой плотной резонансной среды. В качестве модельных параметров избра-ны характеристики квантоворазмерных полупро-водниковых структур, широко применяемых в оптике и лазерной физике. Резонансное отраже-ние, особенности которого выявлены проведен-ными расчётами, представляет нелинейный оп-тический эффект, перспективный для целей раз-работки и совершенствования устройств управ-ления когерентными потоками излучения. При-менение пассивных оптических элементов, до-пускающих практически безынерционное гисте-резисное переключение отражения света cпо-собно качественно оптимизировать действие та-ких устройств.


1. Agarwal, G.S. Microscopic approach to co-herent population trapping state and its relaxation in dense medium / G.S. Agarwal // Optics Express. – 1997. – Vol. 1, № 1. – P. 44–48.

2. Malyshev, V.A. Intrinsic optical bistability of an ultrathin film consisting of oriented linear aggregates / V.A. Malyshev, H. Glaeske, K.-H. Fel-ler // J. Chem. Phys. − 2000. − Vol. 113, № 3.− P. 1170–1176.

3. Li, H. Excitation dependence of resonance line self-broadening at different atomic densities // H. Li, V.A. Sautenkov, Yu.V. Rostovtsev, M.O. Scu-lly / J. Phys. B: Atоm. Mol. Opt. Phys. – 2009. – Vol. 42. – P. 065203–207.

4. Javanainen, J. Shifts of a resonance line in a dense atomic sample / J. Javanainen, J. Ruostekoski, Yi Li, Sung-Mi Yoo // Phys. Rev. Lett. – 2014. – Vol. 112. – P.113603−1–5.

5. Maki, J.J. Linear and Nonlinear Optical Measurements of the Lorentz Local Field / J.J. Maki, M.S. Malcuit, J.E. Sipe, R.W. Boyd // Phys. Rev. Lett. − 1991. − Vol. 67, № 8. − P. 972–975.

6. Kaplan, A.E. Nanoscale stratification of local optical lields in low-dimensional atomic lattices // A.E. Kaplan, S.N. Volkov / Phys. Rev. Lett. – 2008. – Vol. 101, № 13. – P. 133902–1–4.

7. Kaplan, A.E. Nanoscale stratification of optical excitation in self-interacting one-dimensional arrays / A.E. Kaplan, S.N. Volkov // Phys. Rev.– 2009. – Vol. A79. – P. 1053834−1–16.

8. Bowden, C.M. Gain and reflectivity charac-teristics of self-oscillations in self-feedback and delayed feedback devices / C.M. Bowden, G.P. Ag-rawal // Phys. Review. − 1995. − Vol. 51, № 5. − P. 4132–4139.

9. Coherent and incoherent solutions of self-induced transparency in dense resonant media / A.A. Afanas’ev [et al.] // J. Opt. Soc. Amer. B. – 2002. – Vol. 19, № 4. – P. 911–919.

10. Timoschenko, E.V. Resonance reflection of light by a thin layer of a dense nonlinear medium / E.V. Timoschenko, V.A. Yurevich, Yu.V. Yurevich // Technical Physics. – 2013. – Vol. 58, № 2. – Р. 251–254.

11. High precision optical characterization of semiconductor saturable absorber mirrors / D.J.H. Ma-as [et al.] // Optics Express. – 2008. – Vol. 16. – P. 757−1–5.

Работа выполнена при поддержке Белорус-ского республиканского Фонда фундаменталь-ных исследований (Проект Ф14М–146).



© Фаняев И.А., Семченко И.В., Хахомов С.А., Самофалов А.Л., 2015 32

УДК 621.396

ОДНООСНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ТОНКИЙ ВРАЩАТЕЛЬ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

И.А. Фаняев, И.В. Семченко, С.А. Хахомов, А.Л. Самофалов


UNIAXIAL ELECTRICALLY THIN ROTATOR OF POLARIZATION OF ELECTROMAGNETIC WAVES

I.A. Faniayeu, I.V. Semchenko, S.A. Khakhomov, A.L. Samofalov F. Scorina Gomel State University, Gomel, Belarus

Показана реализация одноосного вращателя поляризации электромагнитных волн, образованного решеткой гладких одновитковых спиралей. Простая форма таких спиралей делает их более предпочтительными с практической точки зрения по сравнению с другими киральными элементами. Показан расчет напряженности электрического поля, полу-ченный аналитически и с помощью компьютерного моделирования. Проведены экспериментальные исследования в S-диапазоне. Ключевые слова: вращатель поляризации, одновитковая спираль, поляризуемость, со- и cross-поляризации. The realization of uniaxial polarization rotator of electromagnetic waves formed by array of smooth one-turn helices is pre-sented. Helices have a simple form that makes them more preferred for a practical point than compared to other chiral elements. The calculation of the electric field obtained theoretically and by computer simulation is shown. Experimental researches in the S-band are studied. Keywords: polarization rotator, one-turn helix, polarizability, co- and cross-polarizations.

Введение Би-анизотропные среды имеют множество

применений из-за их электромагнитных эффек-тивных связей. Одним из примеров таких сред является киральная среда, которая хорошо изуче-на в [1]. Есть много различных топологий кираль-ных элементов в качестве строительных блоков объемных киральных метаматериалов: так назы-ваемые канонические спирали [2], разомкнутые кольцевые резонаторы [3] и другие. Как известно, тонкие слои би-анизотропных включений являют-ся еще одним практическим применением би-анизотропии. Примерами использования таких устройств являются асимметричные поглощаю-щие [4] и прозрачные слои, преобразователи по-ляризации [5]. Важной задачей является изготов-ление таких двумерных решеток в терагерцовом диапазоне. Одной из самых современных техно-логий 3D-изготовления метаматериалов является технология, рассмотренная в [6]. Она позволяет достаточно точно изготавливать решетки из ме-таллических киральных спиральных включений в ТГц диапазоне.

В данной статье исследуется одноосный электрически тонкий слой (такая симметрия обеспечивает изотропный отклик в плоскости решетки), который образует двумерную решетку из гладких одновитковых спиралей оптимальной формы [7]. Форма спирали является оптималь-ной, так как она дает одинаковый электрический и магнитный отклик при возбуждении падающей

плоской электромагнитной волной при любой поляризации. Структура, состоящая из таких спиралей, должна иметь согласованный импе-данс с воздухом, что позволяет избежать отра-жения на границе раздела сред. Ранее в работе [5] было показано, что решетка из сбалансиро-ванных киральных элементов может быть ис-пользована для работы в качестве преобразова-теля поляризации для передачи информации (та-кая решетка поворачивает плоскость поляриза-ции прошедшей плоской электромагнитной вол-ны на 90 градусов).

1 Аналитический расчет полей рассеяния

для элементарной ячейки, состоящей из одно-витковых сбалансированных спиралей

В статье [8] показано оптимальное распо-ложение спиралей в решетке (рисунок 1.1). Такое расположение позволяет избежать нежелатель-ных взаимодействий между ортогональными маг-нитными моментами. Исследуемая элементарная ячейка является одноосной электрически тонкой и образует слой из сбалансированных одновит-ковых спиралей.

Параметры одновитковой спирали являются следующими: α = 14°; R = 7,2 мм; h = 11,3 мм; r = 0,5 мм; d = 50 мм, где α – угол подъема спи-рали относительно плоскости, перпендикулярной оси спирали; R – радиус витка; h – шаг спирали; r – радиус проволоки, из которой изготовлена спираль; d – период решетки.

ФИЗИКА

Одноосный электрически тонкий вращатель поляризации электромагнитных волн


Рисунок 1.1 – Оптимальное расположение

одновитковых спиралей в решетке (элементарная ячейка)

На элементарную ячейку, состоящую из че-

тырех сбалансированных одновитковых спира-лей, которые расставлены оптимальным образом, падает плоская монохроматическая электромаг-нитная волна в направлении +z, вектор Е ко-леблется вдоль оси x. Так как размеры спирали являются малыми по сравнению с длиной волны падающего излучения, то теоретически можно найти поля рассеяния, используя теорию ди-польного приближения.

Каждая спираль характеризуется одновре-менно диэлектрической, магнитной и киральной восприимчивостью. Следовательно, ее поведение в электромагнитном поле можно описать с по-мощью уравнений связи [9]:

0 0 0 ,ee emp E j H= ε α − ε μ α (1.1)

0

0

,mm mem H j Eε

= α + αμ

(1.2)

где eeα и mmα – тензоры диэлектрической и маг-нитной восприимчивости, emα и meα – псевдо-тензоры, характеризующие киральные свойства спирали, 0ε и 0μ – электрическая и магнитная постоянные соответственно. При записи (1.1) и (1.2) предполагаем, что электрическое и магнит-ное поля являются монохроматическими, и их зависимость от времени описывается функцией

,j te ω как принято в радиофизике. Компоненты тензоров ,eeα ,mmα emα и meα

представлены в матричном виде:

;

xx xy xzee ee ee

ij yx yy yzee ee ee ee

zx zy zzee ee ee

⎛ ⎞α α α⎜ ⎟

α = α α α⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

;

xx xy xzem em em

ij yx yy yzem em em em

zx zy zzem em em

⎛ ⎞α α α⎜ ⎟

α = α α α⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

;

xx xy xzme me me

ij yx yy yzme me me me

zx zy zzme me me

⎛ ⎞α α α⎜ ⎟

α = α α α⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

.

xx xy xzmm mm mm

ij yx yy yzmm mm mm mm

zx zy zzmm mm mm

⎛ ⎞α α α⎜ ⎟

α = α α α⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

Следовательно, уравнения связи (1.1) и (1.2) можно записать как

0 0 0

0 0 0

0 0 0

;

xx xyee em

xyx yy

y ee em

z zx zyee em

jE Hcpjp E Hc

p jE Hc

⎛ ⎞ε α − α⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ε α − α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ε α − α⎜ ⎟

⎝ ⎠

00 0

0

00 0

0

00 0

0

.

xx xyme mm

xyx yy

y me mm

zzx zyme mm

j E H

mm j E H

mj E H

⎛ ⎞εα + α⎜ ⎟

μ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ε⎜ ⎟= α + α⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ε

α + α⎜ ⎟⎜ ⎟μ⎝ ⎠

(1.3)

В дипольном приближении напряженность электрического поля излучаемой волны опреде-ляется следующим образом

0 1 ,4

E p n n n mR c

→ μ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦π ⎝ ⎠ (1.4)

где дипольный электрический и магнитный мо-менты имеют вид

0 ,j tp p e ω=

0 ,j tm m e ω= и их вторые производные вычисляются как

2 ,p p= −ω 2 .m m= −ω (1.5)

Подставим вторые производные в уравнение (1.4) и измерим поле в направлении (0,0,1) zn e= =

20 1 ( ) .

4излуч x x y y y x x yE p e p e m e m eR c

μ ω ⎧ ⎫= + + −⎨ ⎬π ⎩ ⎭

Обозначим постоянную 2

0

4 Rμ ωπ

через γ:

1 ( ) .излуч x x y y y x x yE p e p e m e m ec

⎧ ⎫= γ + + −⎨ ⎬⎩ ⎭

(1.6)

Распишем излученное поле по компонентам: 1 ,z x x yE p mc+

⎛ ⎞= γ +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 ,z y y xE p mc+

⎛ ⎞= γ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.7)

где z xE± – напряженность электрического поля волны, излучаемой элементарной ячейкой (ле-вый индекс обозначает направление, вдоль кото-рого ведется измерение, а правый – проекцию вектора на данное направление).

Подставим уравнения (1.3) в (1.7) и получим



0 0 0

0 00

1 ,

xx xyz x ee em

yy yxmm me

jE E Hc

jH Ec c

+⎛= γ ε α − α +⎜⎝

⎞+ α + α ⎟η ⎠

(1.8)

0 0 0

0 00

1 ,

yx yyz y ee em

xy xxmm me

jE E Hc

jH Ec c

+⎛= γ ε α − α −⎜⎝

⎞− α − α ⎟η ⎠

(1.9)

где 00

0

μη =

ε – импеданс свободного простран-

ства. Следовательно, необходимо знать восемь компонент тензоров восприимчивостей элемен-тарной ячейки. Метод расчета всех компонент тензоров восприимчивостей любой би-анизот-ропной частицы рассмотрен в статье [10]. Осно-вываясь на данном методе расчета, можно вы-числить необходимые компоненты тензоров для элементарной ячейки. На рисунках 1.2, 1.3 пока-заны компоненты тензоров для co-восприимчи-востей.

Рисунок 1.2 – График частотной зависимости восприимчивостей , , ,xx yy xx yy

ee em me mmα α α α

Рисунок 1.3 – График частотной зависимости восприимчивостей , , ,xx yy xx yy

em em me meα α α α

Из рисунков 1.2 и 1.3 следует, что компо-ненты тензоров co-восприимчивостей приблизи-тельно равны, что является подтверждением того, что одновитковые спирали в ячейке яв-ляются сбалансированными, т. к. выполняется

условие ,xx yyee mmα ≈ α .yy xx

em meα = α Исходя из усло-вия симметрии расположения спиралей в решет-ке, cross-восприимчивостями в уравнениях (1.8) и (1.9) можно пренебречь, в результате получим уравнения в виде

( );xx yyz x ee mmE A+ = α + α (1.10)

( ).yy xxz y em meE Aj+ = − α + α (1.11)

Аналогично можно найти компоненты из-лучаемого поля в направлении (0,0, 1) zn e= − = −

( )

( ) 0;

xx xy yy yxz x ee em mm me

xx yyee mm

E A j j

A− = α − α −α − α =

= α −α ≈ (1.12)

( )

( ) 0,

yx yy xy xxz y ee em mm me

yy xxem me

E A j j

Aj− = α − α +α + α =

= −α +α = (1.13)

где 20 0 0A f E= ε ⋅μ ⋅π ⋅ ⋅ – коэффициент, введен-

ный для удобства записи. Откуда следует, что излученное поле в направлении z− отсутствует. Следовательно, импеданс такой ячейки согласован с импедансом свободного пространства, это озна-чает, что отражение от такой ячейки отсутствует.

Для проверки полученных результатов сравним аналитически рассчитанные компонен-ты напряженностей электрического поля в на-правлении +z и полученные компоненты напря-женностей в дальней зоне с помощью компью-терного моделирования, основанного на методе конечных элементов. На рисунке 1.4 показан график действительных и мнимых частей компо-нент напряженностей излученного поля, полу-ченных аналитически и с помощью моделирова-ния.

Рисунок 1.4 – График частотной зависимости компонент напряженностей электрического

поля для элементарной ячейки (теория и моделирование)

Как следует из рисунка 1.4, полученные

аналитически компоненты напряженностей элек-трического поля находятся в хорошем согласо-вании с результатами моделирования.



2 Исследование электрически тонкого вра-щателя поляризации электромагнитных волн в S-диапазоне

Решетку киральных элементов можно пред-ставить как решетку электрических и магнитных диполей, которые возбуждаются нормально па-дающей электромагнитной волной, распростра-няющейся вдоль направления 0z− . Свойства ка-ждого включения можно рассматривать в терми-нах эффективной поляризуемости. Дипольный и магнитный момент отдельного элемента можно найти как [12]

.ee inc

incmm

Ep jkm Hjk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤α −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦α⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.1)

Здесь eeα электрическая, mmα магнитная и

k электромагнитная эффективные поляризуемо-сти, которые являются симметричными (случай взаимной киральных связи) для одноосной ре-шетки. Ориентацию двумерной решетки в про-странстве определяет единичный вектор 0 ,z ор-тогональный плоскости решетки. Эффективная поляризуемость описывает также эффекты взаи-модействия диполей в решетке.

Отраженное поле для бесконечной решетки можно вычислить на основе дипольного и маг-нитного момента как

0 .2отрjE p n mSω ⎡ ⎤= η − ×⎣ ⎦ (2.2)

Следовательно, компоненты напряженности по-ля, прошедшего через решетку запишутся в виде

0 .2пр падjE E p n mSω ⎡ ⎤= − η + ×⎣ ⎦ (2.3)

Уравнения для напряженностей электриче-ского поля отраженной и прошедшей волны че-рез эффективные поляризуемости ячейки имеют следующий вид:

00

00

00

0 пад0

12

1

1

1 ,

xx xy xy yyee em me mmотр

xy xx yy xxee em me mm

yx yy xx xyee em me mm

yy yx xx xxee em me mm

jE xxS

xy

yx

yy E

⎡⎛ ⎞ω= − η α −α +α − α +⎢⎜ ⎟η⎢⎝ ⎠⎣⎛ ⎞

+ η α +α +α + α +⎜ ⎟η⎝ ⎠⎛ ⎞

+ η α −α −α + α +⎜ ⎟η⎝ ⎠⎤⎛ ⎞

+ η α +α −α − α ⋅⎥⎜ ⎟η ⎥⎝ ⎠ ⎦

(2.4)

00

00

112

112

xx xy xy yyee em me mmпр

yy yx xx xxee em me mm

jE xxS

j yyS

⎡⎛ ⎞⎛ ⎞ω= − η α −α −α + α +⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟η⎢ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣⎛ ⎞⎛ ⎞ω

+ − η α +α +α + α −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟η⎝ ⎠⎝ ⎠

00

0 пад0

12

1 .2

yx yy xx xyee em me mm

xy xx yy yxee em me mm

j yxS

j xy ES

⎛ ⎞ω− η α −α +α − α −⎜ ⎟η⎝ ⎠

⎤⎛ ⎞ω− η α +α −α − α ⋅⎥⎜ ⎟η ⎥⎝ ⎠ ⎦

(2.5)

Здесь S – площадь ячейки и 00

0

μη =

ε – импе-

данс свободного пространства. Когда на структуру падает линейно поляри-

зованная плоская электромагнитная волна, то происходит вращение плоскости поляризации прошедшей волны относительно падающей ровно на 90 градусов, при этом отражение от структуры равно нулю. Следовательно, условия поворота плоскости поляризации плоской электромагнит-ной волны имеют вид [5]

отр

пад 0пр 0

0,

,

EE E x

E CE y

=⎧⎪= ⇒ ⎨= −⎪⎩

отр

пад 0пр 0

0,

,

EE E y

E CE x

=⎧⎪= ⇒ ⎨=⎪⎩

где С – комплексное число, которое определяет фазу прошедшей волны. Если структура функ-ционирует без потерь, то |С| = 1.

В работе [11] авторы предложили использо-вать канонические спирали, скрещенные друг с другом. Такое расположение делает структуру одноосной и симметричной относительно элек-тромагнитного отклика. Однако такая геометрия обладает следующим недостатком – структуру очень трудно изготовить как для СВЧ диапазона, потому что приходиться спаивать проводники между собой, что несет определенные изменения в решетке, так и на более высоких частотах. На-пример, такую структуру уже невозможно изго-товить для К-диапазона. На основании формулы (2.5) можно вычис-лить напряженность электрического поля про-шедшей волны для co- и cross-поляризаций. На рисунке 2.1 показан график частотной зависимо-сти напряженности электрического поля про-шедшей волны через решетку, состоящую из одновитковых сбалансированных спиралей.

Рисунок 2.1 – График частотной зависимости

напряженности электрического поля для co- и cross-поляризаций



Как видно из рисунка 2.1, коэффициент прохождения приблизительно равен единице на частоте 3,04 ГГц, где происходит вращение плоскости поляризации прошедшей волны ровно на 90°. Следовательно, можно сделать вывод о том, что исследуемая структура работает как вращатель поляризации электромагнитных волн.

Исходя из оптимального расположения спи-ралей в решетке, был изготовлен искусственный образец, состоящий из гладких правосторонних одновитковых спиралей для реализации поворо-та плоскости поляризации прошедшей волны на 90° относительно падающей. В качестве подлож-ки выбран пенопласт, так как этот материал яв-ляется радиопрозрачным в исследуемом диапа-зоне частот и не влияет на результаты измере-ний. На рисунке 2.2 показаны фотографии изго-товленного искусственного образца.

Рисунок 2.2 – Геометрия искусственной

структуры: а) элементарная ячейка; б) решетка

Искусственная структура имеет размеры 537 537× мм, с количеством элементарных ячеек 121 и общим количеством спиралей в образце 484. Толщина структуры составляет / 7,λ что делает такую структуру электрически тонкой. Иследования проведены в безэховой камере в диапазоне частот от 2,8 до 3,2 ГГц.

На рисунке 2.3 показаны эксперименталь-ные графики частотной зависимости коэффици-ентов прохождения для co- и cross-поляризаций прошедшей волны. Для сравнения приведены графики, полученные с помощью компьютерного моделирования.

Рисунок 2.3 − График частотной зависимости

коэффициентов прохождения волн с co- и cross-поляризациями

Из рисунка 2.3 следует, что через искуст-венный образец на основе сбалансированных спиралей, расставленных оптимальным образом, проходит cross-поляризованная волна с ампли-тудой 94% от падающей на частоте 3,07 ГГц. Небольшие различия экспериментальных кривых и кривых, полученных в моделировании, объяс-няются наличием краевых эффектов на ис-кусственном образце, так как структура имеет конечные размеры, в то время как рассмат-риваемая в моделировании физическая модель является идеализированной и бесконечной.

Заключение Рассмотренная искусственная структура

на основе сбалансированных одновитковых спи-ралей работает как вращатель поляризации элек-тромагнитных волн, т. е. когда на структуру па-дает линейно поляризованная плоская электро-магнитная волна, то происходит вращение плос-кости поляризации прошедшей волны относи-тельно падающей ровно на 90°, при этом отра-жение от структуры равно нулю. Преимущест-вом исследуемой структуры является то, что она работает при любой поляризации падающей вол-ны, может быть настроена на любую частоту, является электрически тонким ( / 7)λ одноосным симметричным вращателем поляризации, опти-ческая активность такой структуры велика и со-ставляет 630 / ,° λ кроме того, структура проста в изготовлении.


1. Jaggard, D.L. On electromagnetic waves in chiral media / D.L. Jaggard, A.R. Mickelson, C.H. Pa-pas // Applied physics A. – 1979. – Vol. 18. – P. 211–216.

2. Analytical antenna model for chiral scatte-rers: comparison with numerical and experimental data / S.A. Tretyakov, F. Mariotte, C.R. Simovski, T.G. Kharina, J.-P. Heliot // Antennas and Propaga-tion, IEEE Transactions on. – 1996. – Vol. 44, №. 7. – P. 1006–1014.

3. Wang, B. Nonplanar chiral metamaterials with negative index / B.Wang, J. Zhou, T. Koschny, C.M. Soukoulis // Applied Physics Letters. – 2009. – Vol. 94. – P. 151112–151118.

4. Ra’di, Y. Total absorption of electromagnetic waves in ultimately thin layers / Y. Ra’di, V.S. Asad-chy, S.A. Tretyakov // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. – 2013. – Vol. 61. – P. 4606–4614.

5. Niemi, T. Synthesizing a twist polarizer / T. Niemi, A.O. Karilainen, S.A. Tretyakov // Pro-ceedings of Antennas and Propagation Society In-ternational Symposium (AP-S/URSI). – 8–14 July 2012. – P. 1–2.

6. Terahertz-range chiral metamaterials based on helices made of metal-semi-conductor nanofilms /



E.V. Naumova, V.Ya. Prinz, S.V. Golod, V.A. Se-leznev, V.A. Seifi, A.F. Buldygin, V.V. Kubarev // Optoelectronics, Instrumentation and Data Process-ing. – 2009. – Vol. 45, № 4. – P. 292–300.

7. Semchenko, I.V. Transformation of the Po-larization of Electromagnetic Waves by Helical Ra-diators / I.V. Semchenko, S.A. Khakhomov, A.L. Sa-mofalov // Journal of Communications Technology and Electronics. – 2007. – Vol. 52. – P. 850–855.

8. Optimal arrangement of smooth helices in uniaxial 2D-arrays / V.S. Asadchy [et al.] // Meta-materials: The Seven International Congress on Ad-vanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics. – 16–21 September 2013, Bordeaux, France. – P. 244–246.

9. Исследование свойств искусственных ани-зотропных структур с большой киральностью / И.В. Семченко [и др.] // Кристаллография. – 2011. – Т. 56, № 3. – C. 404–411.

10. Determining polarizability tensors for an arbitrary small electromagnetic scatterer / V.S. Asad-chy, I.A. Faniayeu, Y. Ra’di, S.A. Tretyakov // Pho-tonics and Nanostructures – Fundamentals and Ap-plications. – 2014. – Vol. 12, № 4. – P. 298–304.

11. Niemi, T. Synthesis of polarization trans-formers / T. Niemi, A.O. Karilainen, S.A. Tretya-kov // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. – 2013. – Vol. 61. – P. 3102– 3111.

12. Electromagnetics of bi-anisotropic mate-rials: Theory and applications / A.N. Serdyukov, I.V. Semchenko, S.A. Tretyakov, A. Sihvola. – Am-sterdam: Gordon and Breach Science Publishers. – 2001. – 337 p.



© Шершнев Е.Б., Никитюк Ю.В., Шершнев А.Е., Соколов С.И., 2015 38

УДК 539.12

ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ТЕРМОУПРУГИХ ПОЛЕЙ ПРИ ЛАЗЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ КРИСТАЛЛОВ АЛМАЗА

Е.Б. Шершнев, Ю.В. Никитюк, А.Е. Шершнев, С.И. Соколов


FEATURES OF FORMATION OF THERMOELASTIC FIELDS AT LASER PROCESSING OF DIAMOND CRYSTALS

E.B. Shershnev, Yu.V. Nikitjuk, A.E. Shershnev, S.I. Sokolov F. Scorina Gomel State University, Gomel, Belarus

Выполнен расчет термоупругих полей, формируемых в кристаллах алмаза при воздействии лазерного излучения вдоль осей симметрии второго (L2), третьего (L3) и четвертого (L4) порядка. Полученные результаты могут быть использова-ны для оптимизации процесса лазерной обработки кристаллов алмаза. Ключевые слова: лазерная обработка, алмаз, графит, метод конечных элементов. Calculation of the thermoelastic fields formed in crystals of diamond upon exposure of laser radiation along the axes of symme-try of the second (L2), the third (L3) and the fourth (L4) order is executed. The received results can be used for optimisation of the process of laser processing of diamond crystals. Keywords: laser treatment, diamond, graphite, finite element method.

Введение Уникальные физические свойства кристал-

лов алмаза обеспечивают стабильную работу в критических условиях устройств, созданных на его основе, и делают перспективным его приме-нение при создании новой техники [1]. Лазерная обработка имеет существенные преимущества перед другими способами обработки кристаллов алмаза. К достоинствам данной технологии от-носится возможность получения узких резов с минимальной зоной термического влияния в со-четании с высокой производительностью про-цесса размерной обработки. Также следует отме-тить возможность автоматизации процесса высо-коточной обработки кристаллов алмаза [2]. Осо-бый интерес представляет изучение особенно-стей лазерной обработки кристаллов алмазов в различных кристаллографических направлениях [3]–[5]. В этих работах выявлены особенности формирования температурных полей при воздей-ствии лазерного излучения на кристаллы алмаза в трех различных кристаллографических направле-ниях (вдоль осей симметрии второго, третьего и четвертого порядка). В то же время вызывает ин-терес изучение особенностей локализации полей термоупругих напряжений, формируемых в кри-сталлах алмаза при лазерном воздействии в выше-указанных кристаллографических направлениях.

1 Моделирование процесса лазерного на-

грева кристаллов алмаза Лазерное воздействие на кристаллы алмаза

приводит к значительному увеличению темпера-туры, сопровождаемому фазовыми переходами.

В соответствии с [3] в данной работе была ис-пользована упрощенная схема превращений ал-маза под воздействием лазерного излучения: ал-маз ⇒ фазовый переход ⇒ графит. При этом полагалось, что стадия интенсивной графитиза-ции кристаллов алмаза наступает по достижении обрабатываемым материалом температуры 2300 K.

Расчет полей термоупругих напряжений, формируемых в кристаллах алмаза при лазерном воздействии, был выполнен с использованием метода конечных элементов в рамках несвязан-ной задачи термоупругости в квазистатической постановке [6]–[8]. Моделирование процесса фазового перехода алмаз – графит осуществля-лось по алгоритму, проведенному в работе [5].

При расчетах плотность, удельная теплоем-кость, коэффициент теплопроводности алмаза и графита принимались равными соответственно: ρа = 3520 кг/м3, ρг = 2300 кг/м3; Са = 854 Дж/кг⋅K, Сг = 994 Дж/кг⋅K; λа = 427 Вт/м⋅K, λг┴ = 88 Вт/м⋅K, λг║ = 355 Вт/м⋅K [3]. Символом λг┴ обозначен коэффициент теплопроводности графита в на-правлении, перпендикулярном гексагональным граням, а символом λг║ обозначен коэффициент теплопроводности графита в направлении, па-раллельном гексагональным граням.

Алмаз принадлежит к кубической системе, вследствие чего его упругие свойства описыва-ются тремя независимыми компонентами тензо-ра модулей упругости. Для расчетов использова-лись следующие константы упругой жесткости: С11=1079 ГПа, С12=124 ГПа, С44=578 ГПа [9]. При этом для моделирования лазерной обработки

ФИЗИКА

Особенности формирования термоупругих полей при лазерной обработке кристаллов алмаза


изотропной алмазной пластины были использо-ваны модуль Юнга и коэффициент Пуассона, приведенные в [10].

Расчет термоупругих полей, формируемых в кристаллах алмаза в результате лазерного воз-действия, был выполнен для четырех различных вариантов: I – анализ воздействия лазерного из-лучения вдоль оси симметрии второго порядка (L2), II – анализ воздействия лазерного излучения вдоль оси симметрии третьего порядка (L3), III – анализ воздействия лазерного излучения вдоль оси симметрии четвертого порядка (L4), IV – ана-лиз воздействия лазерного излучения без учета графитизации и анизотропии свойств кристаллов алмаза. При этом для первых трех вариантов расчета моделирование было выполнено с уче-том графитизации.

Моделирование процесса лазерного нагрева кристаллов алмаза было выполнено в соответст-вии со схемой, представленной на рисунке 1.1. Цифрой 1 отмечен лазерный пучок, цифрой 2 – алмазный образец. На рисунке стрелкой указано направление перемещения обрабатываемого из-делия относительно лазерного пучка.

Рисунок 1.1 – Схема расположения лазерного

пучка в зоне обработки

Расчеты были выполнены для образца, имеющего форму прямоугольного параллелепи-педа с геометрическими размерами 2×3×1,5 мм, с использованием следующих значений техноло-гических параметров обработки: плотность мощ-ности лазерного излучения Р0 = 1,8·1010 Вт/м2, радиус поперечного сечения лазерного пучка R = 0,05 мм. Модуль скорости относительного пе-ремещения лазерного пучка и образца V = 7 мм/с.

2 Результаты конечно-элементного анализа Результаты проведенных расчетов представ-

лены в таблице 2.1 и на рисунке 2.1. В таблице 2.1 σx обозначены напряжения, действующие вдоль оси Х, а σy – напряжения, действующие вдоль оси Y, согласно рисунка 1.1. На рисунке 2.1 показаны рассчетные распределения полей температурных напряжений в случае лазерной обработки крис-таллов алмаза вдоль оси симметрии четвертого порядка.

Таблица 2.1 – Результаты расчетов моделирова-ния лазерной обработки кристаллов алмаза

Вариант обработки

Макси- мальные напряжения в зоне обработки, МПа

I 110

II 111

III 100 IV

растяжения 98 90 96 95 σx сжатия 1230 1850 1070 1020

растяжения 117 95 91 110 σy сжатия 1460 2090 1260 1200

а)

б)

Рисунок 2.1 – Распределение полей термоупругих напряжений в алмазе при обработке его вдоль оси L4, МПа: а) напряжения σx; б) напряжения σy

Анализ данных, приведенных в таблице 2.1, показывает, что учет анизотропии свойств кри-сталлов алмаза и учет процесса графитизации оказывает существенное влияние на значения термоупругих напряжений в зоне лазерной обра-ботки и позволяет сделать вывод о том, что ис-пользование изотропной модели процесса лазер-ной обработки кристаллов алмазов приводит к существенным погрешностям. Так, при сравнении максимальных напряжений, формируемых в зоне

Е.Б. Шершнев, Ю.В.Никитюк, А.Е. Шершнев, С.И. Соколов


обработки кристаллов алмаза вдоль оси L2, вид-но, что использование изотропной модели дает погрешность, достигающую 18%. В случае моде-лирования обработки кристалла алмаза вдоль оси L3 и L4 эти погрешности достигают 45% и 14% соответственно. Кроме этого, нужно отметить, что разница в величинах максимальных напря-жений, формируемых при обработке вдоль раз-личных осей симметрии, составляет от 8% до 42%. Данная разница в величинах растягиваю-щих напряжений должна быть учтена при выбо-ре параметров процесса лазерной обработки кри-сталлов алмаза.

Заключение Методом конечных элементов выполнен

расчет термоупругих полей, формируемых в кри-сталлах алмаза в результате воздействия лазер-ного излучения в различных кристаллографиче-ских направлениях. Полученные результаты по-зволяют сделать вывод о необходимости учета процесса графитизации и ориентации кристаллов при моделировании процессов лазерной обра-ботки алмазов. Результаты моделирования могут быть использованы для оптимизации процесса лазерной обработки кристаллов алмаза.


1. Митягин, А.Ю. Технология и оборудова-ние для обработки алмазных материалов совре-менной техники / А.Ю. Митягин, А.А. Алтухов, А.Б. Митягина // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. – 2009. – № 1. – С. 53–58.

2. Лазерная техника и технология: в 7 кн.: учеб. пособие для вузов / А.Г. Григорьянц, А.А. Со-колов; под ред. А.Г. Григорьянца. – М.: Высш. шк, 1988. − Кн. 4: Лазерная обработка неметалличес-ких материалов. − 191 с.

3. Физические основы лазерной обработки алмазов: в 15 кн.: учеб. пособие для ВТУЗов / А.И. Шкадов; под ред. А.М. Бочарова. – Смо-ленск, 1997. − Кн. 3: Физические основы лазер-ной обработки алмазов. − 288 с.

4. Shalupaev, S.V. Dependence of the diamond laser processing efficiency on crystallographic direc-tions / S.V. Shalupaev, E.B. Shershnev, Y.V. Niki-tjuk, V.V. Sviridova // SPIE. – 2001. – Vol. 4358. – P. 329–333.

5. Шершнев, Е.Б. / Моделирование лазерной обработки кристаллов алмаза // Е.Б. Шершнев, Ю.В. Никитюк, А.Е. Шершнев // Известия Гомель-ского государственного университета им. Ф. Ско-рины. – 2011. – № 6 (69). – С. 164–168.

6. Шабров, Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей / Н.Н. Шабров. – Л.: Машиностроение, 1983. – 212 с.

7. Коваленко, Л.Д. Основы термоупругости / Л.Д. Коваленко. – Киев: Навукова думка, 1970. – 307 с.

8. Карзов, Г.П. Физико-механическое моде-лирование процессов разрушения / Г.П. Карзов. – СПб.: Политехника, 1993. – 391 с.

9. Кривцов, А.М. Сравнение микромоделей описания упругих свойств алмаза / А.М. Крив-цов, О.С. Лобода, С.С. Хакало // Известия РАН. Механика твердого тела. – 2012. – № 5. – C. 44–52.

10. Беломестных, В.Н. Нетрадиционный подход к определению анизотропных коэффици-ентов Пуассона кубических кристаллов / В.Н. Бе-ломестных, Э.Г. Соболева // Письма о материа-лах. – 2012. – Т. 2, № 1. – С. 13–16.



© Шушкевич Г.Ч., Шушкевич С.В., Куц А.И., 2015 41

УДК 519.9:537.6

РАССЕЯНИЕ ПОЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ НА ТОНКОЙ НЕЗАМКНУТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ И ШАРЕ

Г.Ч. Шушкевич, С.В. Шушкевич, А.И. Куц

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, Гродно, Беларусь

SCATTERING OF THE ELECTRIC DIPOLE FIELD ON THE THIN UNCLOSED SPHERICAL SHELL AND BALL

G.Ch. Shushkevich, S.V. Shushkevich, A.I. Kuts Y. Kupala Grodno State University, Grodno, Belarus

Построено аналитическое решение граничной задачи, описывающей процесс рассеивания на проницаемом шаре поля электрического диполя, расположенного внутри идеально проводящей бесконечно тонкой незамкнутой сферической оболочки. Для некоторых параметров задачи построена диаграмма направленности электрического поля. Ключевые слова: электрический диполь, парные сумматорные уравнения, бесконечная система линейных алгебраиче-ских уравнений второго рода с вполне непрерывным оператором, диаграмма направленности. The analytical solution of the boundary problem, describing the scattering of the electric dipole field, located inside perfectly conducting thin unclosed spherical shell and on a permeable ball. For some parameters of the problem directivity pattern of the electric field is constructed. Keywords: electric dipole, dual series equations, infinite system of linear algebraic equations of the second kind with a com-pletely continuous operator, directional diagram of the electric field.

Введение Задачи рассеяния электромагнитных волн на

различных объекты были рассмотрены в работах [1]–[7]. В работе [8] построено строгое решение задачи дифракции поля электрического диполя на двух идеально проводящих сферах, когда момент диполя параллелен общей для сфер оси вращения. Рассеяние плоской монохроматической электро-магнитной волны на двух непересекающихся сверхпроводящих сферических оболочках шаро-вых слоях рассмотрено в [9]. В этих работах сформулирована векторная задача. В работе [10] рассмотрена задача рассеяния поля турникетной антенной идеально на двух проводящих сферах, проведены расчеты диаграммы направленности. Используя потенциалы Дебая, решена задача ди-фракции электромагнитного поля на нескольких соосных сферах [11]. В [12] показано, что задача рассеяния волн на сфере с круговым отверстием сводится к решению двух скалярных краевых за-дач для потенциалов Дебая, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца, граничному условию на незамкнутой оболочке, условию на ребре и усло-вию на бесконечности. Решение задачи дифрак-ции электромагнитной волны на идеально про-водящем тонком сферическом экране с круговым отверстием сведено к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений второго рода с компактным оператором [13], [14]. Решение задачи дифракции плоской электромаг-нитной волны на идеально проводящей сфериче-ской оболочке с круговой щелью в приближении

Рэлея при падении волны перпендикулярно плос-кости щели рассмотрено в [15].

В данной работе построено точное осесим-метричное решение задачи о рассеянии на про-ницаемом шаре поля электрического диполя, расположенного внутри идеально проводящей бесконечно тонкой незамкнутой сферической оболочки. Используя соответствующие теоремы сложения для векторных сферических волновых функций, решение поставленной векторной краевой задачи сведено к решению парных сум-маторных уравнений по присоединенным функ-циям Лежандра первого рода, которые преобра-зованы к бесконечной системе линейных алгеб-раических уравнений второго рода с вполне не-прерывным оператором. Численно исследовано влияние некоторых параметров задачи на диа-грамму направленности электрического поля.

1 Постановка и представление решения

задачи Пусть пространство 3R разделено сферой

( )1 1S r a= с центром в точке 1O на две области

0 1 1( ),D r a> 1 1 1(0 )D r a≤ < (рисунок 1.1). В об-ласти 0D находится идеально проводящая беско-нечно тонкая незамкнутая сферическая оболочка

1 ,Γ расположенная на сфере Г радиуса a с цен-тром в точке O. Область пространства, ограничен-ную сферой Г, обозначим через (0)

0 (0 )D r a≤ < и

ФИЗИКА



(1) (0)0 0 0\ ( ).D D D= Γ∪ Расстояние между точками

O и 1O обозначим через .h

Рисунок 1.1 – Геометрия задачи

В точке O расположен ориентированный

вдоль оси Oz электрический диполь Герца, ко-леблющийся с круговой частотой .ω Области

,jD 0,1,j = заполнены средой с диэлектриче-ской проницаемостью ,jε магнитной проницае-мостью .jμ

Будем полагать, что на поверхности S от-сутствуют поверхностные токи и заряды.

Для решения задачи свяжем с точками O и 1O сферические координаты. Тонкая незамкну-

тая сферическая оболочка 1Γ и сферическая оболочка S описываются следующим образом:

{ }1 0, ,0 2 ,r aΓ = = θ ≤ θ ≤π ≤ ϕ ≤ π { }1 1 1, 0 2 , 0 2S r a= = ≤ θ ≤ π ≤ ϕ ≤ π .

Обозначим через ,eE eH вектора напряжен-ности электрического и магнитного поля диполя соответственно.

В результате взаимодействия электромаг-нитного поля ,eE eH диполя с проницаемым шаром и незамкнутой сферической оболочкой

1Γ образуются вторичные поля.

Пусть 00 ,E 0

0H – вторичное поле, отражен-

ное от границы 1Γ в области (0)0 ,D 0

1 ,E 01H –

вторичное поле в области 1,D 1 10 0 1 ,E E E= +

1 10 0 1H H H= + – суммарное вторичное поле в об-

ласти (1)0 ,D 1

0 ,E 10H – вторичное поле, отраженное

от границы 1Γ в области (1)0 ,D 1

1 ,E 11H –

вторичное поле, отраженное от границы S в об-ласти (1)

0D . Реальное электромагнитное поле определя-

ется с помощью формул:

( )( )

E Re ,

H Re ,

k k i tj j

k k i tj j

E e

H e

− ω

− ω

=

=

0,1;j = 0,1;k = i – мнимая единица. Постановка задачи. Требуется найти вторич-

ные электромагнитные поля ( ) ,kjE ,k

jH 0,1;j = 0,1;k = которые удовлетворяют уравнению

Максвелла [11], [16]:

0 00 0 0rot ,E i H= ωμ 0 0

0 0 0rot H i E= − ωε в (0)0 ,D

0 0 0rot ,E i H= ωμ 0 0 0rot H i E= − ωε в (1)0 ,D

0 01 1 1rot ,E i H= ωμ 0 0

1 1 1rot H i E= − ωε в 1,D граничному условию на поверхности идеально про-водящей незамкнутой сферической оболочки 1Γ

1 1

00 0, , 0,en E n E E

Γ Γ⎡ ⎤⎡ ⎤ = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.1)

где n − единичная нормаль к поверхности 1 ,Γ граничным условиям на поверхности S

00 1, , ,

S Sn E n E⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

00 1, , ,

S Sn H n H⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.2)

где n − единичная нормаль к поверхности S, и условию излучения на бесконечности [11], [16]:

00 0lim 0,

r

Er ik E

r→∞

⎛ ⎞∂− =⎜ ⎟

∂⎝ ⎠

00 0lim 0,

r

Hr ik H

r→∞

⎛ ⎞∂− =⎜ ⎟

∂⎝ ⎠ (1.3)

где 0 0 0k = ω ε μ − волновое число. Потребуем также выполнения условия не-

прерывности тангенциальных составляющих на-пряженности магнитного поля на открытой части сферы 1\Γ Γ

1 1

00 0\ \

, , ,en H H n HΓ Γ Γ Γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.4)

где n − единичная нормаль к поверхности 1\ ,Γ Γ и условия непрерывности тангенциальных со-ставляющих напряженности электрического по-ля на поверхности 1Γ

00 0, , ,en E E n E

Γ Γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.5)

где n − единичная нормаль к поверхности .Γ Первичное поле ориентированного вдоль

оси Oz электрического диполя Герца предста-вим через векторные сферические волновые функции [16]:

Рассеяние поля электрического диполя на тонкой незамкнутой сферической оболочке и шаре


( )( )

0 01 0

0 01 0

, , ,

, , ,e

e

E E n r k

H H m r k

= θ

= θ (1.6)

где 30

00

,4ik

E p=πε

0 00

0,

E kH

i=

ωμ zp pe= – элек-

трический момент диполя,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

10

1 1

1, , cos

cos ,

n n n r

n n

n nn r k h kr P e

krg kr P eθ

+θ = θ +

+ θ

( ) ( ) ( ) ( )1 10 , , cos ,n n nm r k h kr P eϕθ = − θ

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1

1 11 1

1

1 ( 1) , 1, 2,...,2 1

n n

n n

dg x xh xx d x

n h x nh x nn − +

= =

= + − =+

( )nP x – полиномы Лежандра, ( )1 cosnP θ – при-соединенные функции Лежандра первого рода, ( ) ( )1nh x – сферические функции Ханкеля первого

рода [17]. Вторичные поля представим в виде супер-

позиции векторных сферических волновых функ-ций, учитывая условие излучения на бесконечно-сти (1.3)

( )00 0 0 0

1, , ,n n

nE E a n r k

∞

=

= θ∑

( )00 0 0 0

1, ,n n

nH H a m r k

∞

=

= θ∑ в (0)0 ,D (1.7)

( )10 0 0 0

1, , ,n n

nE E b n r k

∞

=

= θ∑

( )10 0 0 0

1, ,n n

nH H b m r k

∞

=

= θ∑ в (1)0 ,D (1.8)

( )01 0 0 1 1 1

1, , ,n n

nE E a n r k

∞

=

= θ∑

( )01 1 0 1 1 1

1, ,n n

nH H a m r k

∞

=

= θ∑ в 1,D (1.9)

( )11 0 0 1 1 0

1, , ,n n

nE E b n r k

∞

=

= θ∑

( )11 0 0 1 1 0

1, ,n n

nH H b m r k

∞

=

= θ∑ в (1)0 ,D (1.10)

где

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

1

1, , cos

cos ,

n n n r

n n

n nn r k j kr P e

krg kr P eθ

+θ = θ +

+ θ

( ) ( ) ( )10 , , cos ,n n nm r k j kr P eϕθ = − θ

( ) ( )( )

( ) ( )( )1 1

1

1 ( 1) , 1,2,...,2 1

n n

n n

dg x xj xx d x

n j x nj x nn − +

= =

= + − =+

1 1 1 ,k = ω ε μ 1 01

1,

k EH

i=

ωμ ( )nj x – сферическая

функция Бесселя первого рода [17]. Неизвестные коэффициенты , , ,n n n na b a b

определяются из граничных условий.

2 Выполнение граничных условий Для выполнения граничных условий (1.1),

(1.4), (1.5) представим функции 11 ,E 1

1H через векторные сферические волновые функции в системе координат с началом в точке .O Ис-пользуем формулы [17]

( ) ( )0 1 1 0 0 0 01

, , ( , ) , , , 0 ,nn s s

sn r k A k h n r k r h

∞

=

θ = π θ ≤ <∑

( ) ( )0 1 1 0 0 0 01

, , ( , ) , , , 0 ,nn s s

sm r k A k h m r k r h

∞

=

θ = π θ ≤ <∑

где ( )

( ) ( )

0

0 1 1

,

1 1cos ,2 3 2 1

ns

n n ns s s

A k h

k h C C Cs s+ −

α =

⎡ ⎤= α + +⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )0 0 (1)02 1 ,

s nn sn s n

ss n

C s i b h k h P+

σ+ −σ σ σ

σ= −

= + α∑

( 0 0) 2( 00 | 0) ,n qb nqσ = σ ( 00 | 0)nq σ – коэффициенты Клебша-Гордона [11].

Тогда

( )11 0 0 0

1, , ,n n

nE E B n r k

∞

=

= θ∑

( )11 0 0 0

1, , ,n n

nH H B m r k

∞

=

= θ∑ (2.1)

где ( )01

, .sn s n

sB b A k h

∞

=

= π∑ (2.2)

Согласно представлениям (1.6)–(1.8), (2.1), условие непрерывности (1.5), с учетом условия ортогональности присоединенных функций Ле-жандра на отрезке [ ]0; π , примет вид

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

10 1 0

10 0 , 1, 2,...,

n n n n

n n n n

g g a

g b g B n

ξ δ + ξ =

= ξ + ξ = (2.3)

где 1nδ – символ Кронекера, 0 0 .k aξ = Выполним граничное условие (1.1) на по-

верхности сферической оболочки Г и условие непрерывности (1.4) и получим парные сумма-торные уравнения вида

( ) ( ) ( )(( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

(1) (1)0 1 0 0

11

0 0

1 10 0

1

0

cos 0, 0 ,

cos 0,

.

n n n n n nn

n n n

n n n n nn

h j a h b

j B P

g b g B P

∞

=

∞

=

⎧ξ δ + ξ − ξ −⎪

⎪⎪ − ξ θ = ≤ θ < θ⎪⎨⎪

ξ + ξ θ =⎪⎪⎪ θ < θ ≤ π⎩

∑

∑ (2.4)



Преобразуем парные сумматорные уравне-ния (2.4). Сначала исключим коэффициенты na с помощью представления (2.3), учитывая значе-ние вронскиана [11]

( ) ( )(1), .n nW xj x xh x i⎡ ⎤ =⎣ ⎦

Затем введем в рассмотрение новые коэф-фициенты nX по формуле

( )( )1

0 00

, 1, 2,...,n nn

n

bX n

d jd

− δ= =

ξ ξξ

(2.5)

и малый параметр ng по формуле

( )( ) ( )( )(1)00 0 0 0

0 0

41 ,

2 1n n ni d dg j hn d dξ

= + ξ ξ ξ ξ+ ξ ξ

( )2ng O n−= при 0 .n ξ

В результате парные сумматорные уравне-ния (2.4) примут вид:

( )

( )( ) ( )

( )

10

1

1

1

10

1

cos 0, 0 ,

2 1 1 cos

(2 1) cos , ,

n nn

n n nn

n nn

X P

n g X P

n f P

∞

=

∞

=

∞

=

⎧θ = ≤ θ < θ⎪

⎪⎪⎪ + − θ =⎨⎪⎪⎪= + θ θ < θ ≤ π⎪⎩

∑

∑

∑

(2.6)

где ( ) ( ) ( )1

0 1 0204 .

2 1n n n n

ng g B

f in

ξ δ + ξ= ξ

+ (2.7)

Используя интегральные представления Мелера – Дирихле для полиномов Лежандра, парные сумматорные уравнения (2.6) преобразу-ем к бесконечной системе линейных алгебраиче-ских уравнений (СЛАУ) второго рода с вполне непрерывным оператором [13], [14], [18]

( ) (1) (1)

1 11 ,

1, 2,...,

s s n sn n n snn n

X g g Q X f Q

s

∞ ∞

= =

− + =

=

∑ ∑ (2.8)

(1) 0 0

0

cos( 0,5),

cos(0,5 )s

sn snQ n

Q Q+ θ

= −θ

( ) ( )0 0sin sin 11 ,1sn

s n s nQ

s n s n− θ + + θ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥π − + +⎣ ⎦

( ) 00

sin.

s n

s ns n

=

− θ= θ

−

Выполним граничные условия (1.2). Для это-го представим функции 1

0 ,E 10H через векторные

сферические волновые функции в системе коор-динат с началом в точке 1.O На основании фор-мул [17]

( ) ( )0 0 0 0 1 1 0 11

, , ( ,0) , , , 0 ,nn s s


∞

=

θ = θ ≤ <∑

( ) ( )0 0 0 0 1 1 0 11

, , ( ,0) , , , 0 ,nn s s

sm r k A k h m r k r h

∞

=

θ = θ ≤ <∑

имеем

( )10 0 0 1 1 0

1, , ,n n

nE E B n r k

∞

=

= θ∑

( )10 0 0 1 1 0

1, , ,n n

nH H B m r k

∞

=

= θ∑ (2.9)

где

( )01

,0 .sn s n

sB b A k h

∞

=

= ∑ (2.10)

Выполняя граничные условия (1.2) и при-нимая во внимание представления (1.9), (1.10), (2.9), получим

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11 1 11 0 0

11 1 111 0 0

0

,

,

n n n n n n

n n n n n n

g a g b g B

Hj a h b j B

H

⎧⎪ ξ − ξ = ξ⎪⎪⎨⎪⎪ ξ − ξ = ξ⎪⎩

(2.11)

где 1 10 0 1 1 1 1, .k a k aξ = ξ = Из системы (2.11) находим связь между ко-

эффициентами nb и nB

,n n nb B= β ( )( )

2 ,nnn

Δβ =

Δ (2.12)

где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

1 0 1 11 11 0

0( ) ,

n nn n

H g jn g h

H

ξ ξΔ = − ξ ξ

( ) ( ) ( ) ( )1 11 0 11 1

2 1 00

( ) .n n

n n

H g jn g j

H

ξ ξΔ = ξ ξ −

Теперь преобразуем правую часть системы (2.8). Для этого подставим в (2.2) представление (2.12) для коэффициентов nb и, учитывая связь коэффициентов nB с коэффициентами nX (пред-ставления (2.10) и (2.5)), получим

( )( ) 10 0

1 0,p

n p p n np

dB X jd

∞

=

= ξ ξ α +αξ∑ (2.13)

где ( ) ( )0 01

,0 , .p p qn q q n

qA k h A k h

∞

=

α = β π∑

Подставляя коэффициенты nB из (2.13) в (2.7), окончательно получим бесконечную СЛАУ второго рода с вполне непрерывным оператором:

( ) (1)

11 ( ) ,

1, 2,...,

s s n sn sn n s sn

X g g Q X f f

s

∞

=

− + − γ = +

=

∑ (2.14)

где

( )( ) ( )2 (1)0 0 0 0

10

14 ,2 1

nsn n p p sp

p

di j g Qd p

∞

=

γ = ξ ξ ξ α ξξ +∑



( )2

(1) (1)01 0 1

4,

3s si

f g Qξ

= ξ

( )2 (1) 10 0

1

14 .2 1s sp p p

pf i Q g

p

∞

=

= ξ ξ α+∑

3 Диаграмма направленности электро-

магнитного поля Представим функцию 1

1E через векторные сферические волновые функции в системе коорди-нат с началом в точке O. Используя формулу [16]

( ) ( )0 1 1 0 0 0 01

, , ( , ) , , , ,nn s s


∞

=

θ = π θ >∑

где ( )

( ) ( )

0

0 0 1 1

,

1 1 ,2 3 2 1

ns

n n ns s s

A k h

k h C C Cs s+ −

π =

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )0 002 1 cos .

s nn sn s n

ss n

C s i b j k h P+

σ+ −σ σ σ

σ= −

= + π∑

Тогда

( ) ( )11 0 0 0 0

1 1, , , .s

s n nn s

E E b A k h n r k∞ ∞

= =

⎛ ⎞= π θ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ (3.1)

Подставим асимптотическую формулу

( ) ( ) 10 , , (cos )

ikrn

n nen r k i P ekr θθ ≈ − θ

при r →∞ в представления (1.8), (3.1) для векторов 1

0E 11E

и получим асимптотическое представление для вектора 0E

( )0

0 00

,ik reE E e

k r θ≈ Ψ θ ,r →∞

где

( ) ( ) ( )10

1 1( ) , cos .n s

n s n nn s

i b b A k h P∞ ∞

= =

⎛ ⎞Ψ θ = − + π θ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

Величина ( ) ( ) 2D θ = Ψ θ называется диа-граммой направленности электрического поля

1,E которая характеризует величину электро-магнитной энергии в направлении θ [16].

Используя представления (2.10), (2.12), ус-танавливаем, что

( ) ( )1

1 1( ) cos ,n p

n p n nn p

i b b P∞ ∞

= =

⎛ ⎞Ψ θ = − + α θ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ (3.2)

где ( ) ( )0 01

,0 , .p p sn s s n

sA k h A k h

∞

=

α = β π∑

Коэффициенты nb связаны с решением сис-темы (2.8) соотношением

( )( )0 0 10

,n n n ndb X j

d= ξ ξ + δ

ξ 1, 2,....n =

4 Вычислительный эксперимент Используя систему компьютерной матема-

тики Mathcad [19], были проведены вычисления диаграммы направленности для некоторых пара-метров задачи.

Специальные функции ( ) ,nj x ( ) ( )(1) ( )n n nh x j x iy x= +

( ( ( )ny x – сферическая функция Бесселя второго рода), полиномы Лежандра ( )nP x и присоеди-ненная функция Лежандра

( )1 2

12

cos 1 ( )

( ) ( ), [ 1,1]

1

n n

n n

dP x P xdx

nxP x nP xx

x−

θ = − − =

−= ∈ −

−

вычислялись с помощью встроенных функций [19]. Производные сферических функций вычис-

лялись с помощью рекуррентных формул [17]

1( )

( ) ( ),nn n

nf xd f x f xdx x += − 0,1,2,...,n =

( ) ( )( )1 1( ) 1 ( ) ( ) ,2 1n n n

d xxf x n f x nf xdx n − += + −

+

0,1,2,....n =

Бесконечная система (2.14) решена методом усечения [11]. Для получения достоверного ре-шения конечной системы линейных алгебраиче-ских уравнений необходимо было проверить обусловленность системы. Матрица, соответст-вующая системе, считается хорошо обусловлен-ной, если число обусловленности матрицы мень-ше 300 [20, с. 150]. Для вычисления числа обу-словленности матрицы использовали встроенные функции cond1 (число обусловленности в норме

1L [21]), cond2 (в норме 2 )L и conde (в евклидо-вой норме). Вычислительный эксперимент пока-зал, что для рассмотренных параметров задачи порядок усечения матрицы можно взять равным 25. Это обеспечивает решение конечной системы (2.14) с точностью 410− и число обусловленности в рассматриваемых нормах не будет превосходить 75. Все сходящиеся бесконечные суммы в (2.14) вычислялись с точностью 510 .−

На рисунке 3.1 изображены графики диа-граммы направленности ( )D θ электрического

поля 1E для некоторых значений угла раствора 0θ

незамкнутой сферической оболочки 1Γ (1 – 030 ,

2 – 060 , 3 – 090 , 4 – 0120 ), если область 1D заполнена бетоном (относительная магнитная проницаемость 1 1,rμ = относительная диэлек-трическая проницаемость 1 4,5),rε = 1a = м,

1 2a = м, 4h = м, 810f = Гц, 2 .fω = π При рас-четах полагали 0 1,rμ = 0 1.rε =



Рисунок 3.1 – Графики диаграммы направленности

( )D θ для некоторых значений угла раствора 0θ сферической оболочки 1Γ

На рисунке 3.2 изображены графики диа-

граммы направленности ( )D θ электрического

поля 1,E если область 1D заполнена тефлоном

1( 1,rμ = 1 2,1),rε = бетоном 1( 1,rμ = 1 4,5),rε = сте-клом 1( 0,999987,rμ = 1 7,5),rε = водой 1( 1,rμ =

1 81),rε = 1a = м, 1 1,5a = м, 3h = м, 00 90 ,θ =

810f = Гц, 2 .fω = π


( )D θ в случае заполнения области 1D различными веществами


( )D θ для некоторых значений частоты f исходного поля

На рисунке 3.3 изображены графики диа-

граммы направленности ( )D θ электрического

поля 1E для различных значений частоты исход-

ного поля (1 – 510f = Гц, 2 – 710f = Гц, 3 – 75 10f = ⋅ Гц, 4 – 78 10f = ⋅ Гц), если область 1D

заполнена стеклом 1( 0,999987,rμ = 1 7,5),rε =

1,5a = м, 1 1a = м, 3,3h = м, 00 60 .θ =

Заключение Построено точное осесимметричное реше-

ние задачи о рассеянии электромагнитного поля на идеально проводящей бесконечно тонкой не-замкнутой сферической оболочке и проницаемом шаре. В качестве источника поля рассмотрен электрический диполь, расположенный внутри тонкой незамкнутой сферической оболочки. Ис-пользуя теоремы сложения для векторных сфе-рических волновых функций, решение постав-ленной задачи сведено к решению парных сум-маторных уравнений по присоединенным функ-циям Лежандра первого рода. Парные уравнения преобразованы к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода с вполне непрерывным оператором.

Численно исследовано влияние некоторых геометрических параметров задачи, диэлектри-ческой и магнитной проницаемости сред, часто-ты источника поля на диаграмму направленности электрического поля.

Разработанная методика и программное обеспечение могут найти практическое примене-ние при моделировании рассеяния электромаг-нитного поля на системе тел.

ЛИТЕРАТУРА 1. 9-й Международный симпозиум и вы-

ставка по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии // [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://old.eltech.ru/con-ference/emc/2011/rus/main.htm. – Дата доступа: 17.10.2014.

2. Международная научная конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» ИРЭМВ-2013 // [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://rtf.tti.sfedu.ru/airpu/rsemw/. – Дата доступа: 17.10.2014.

3. Международный симпозиум по электро-магнитной совместимости EMC Europe 2014 // [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https:// www.emceurope2014.org/ – Дата доступа: 20.10.2014.

4. The 3rd Advanced Electromagnetic Sympo-sium AES 2014 // [Electronic resource]. – Режим доступа: http://mysymposia.org/aes2014/index.php. – Дата доступа: 20.10.2014.

5. Панченко, Б.А. Рассеяние и поглощение электромагнитных волн неоднородными сфери-ческими телами / Б.А. Панченко. – М.: Радиотех-ника, 2013. – 264 с.

6. Кравченко, В.Ф. Электродинамика сверх-проводящих структур / В.Ф. Кравченко. – М.: Физ-матлит, 2006. – 280 с.



7. Ильинский, А.С. Математические модели электродинамики / А.С. Ильинский, В.В. Крав-цов, А.Г.Свешников. – М.: Высшая школа, 1991. – 224 с.

8. Шебеко, Г.А. Дифракция электромагнит-ного поля элементарного электрического диполя на двух сферах / Г.А. Шебеко // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1967. – № 2. – С. 72–79.

9. Кравченко, В.Ф. Дифракция электромаг-нитных волн на двух сверхпроводящих полых сферических оболочках / В.Ф. Кравченко, В.Т. Еро-феенко, В.И. Пустовойт // ДАН. – 1994. – Т.339, № 2. – С. 166–170.

10. Козлов, И.П. Дифракция электромагнит-ных волн на двух сферах / И.П. Козлов // Изв. высш. уч. зав. Радиофизика. – 1975. – Т. XVIII, № 7. – С. 998–1008.

11. Иванов, Е.А. Дифракция электромагнит-ных волн на двух телах / Е.А. Иванов. – Минск: Наука и техника, 1968. – 584 с.

12. Виноградов, С.С. Дифракция поля вер-тикального диполя на сферическом сегменте / С.С. Виноградов, А.М. Радин, В.П. Шестопалов // Доклады АН УССР. Сер. А. – 1976. – № 8. – С. 741–745.

13. Свищёв, Ю.В. Поле вертикального маг-нитного диполя при наличии сферы с круговым отверстием / Ю.В. Свищёв // Изв. вуз. Радиофи-зика. – 2000. – Т. XLIII, № 9. – С. 773–781.

14. Свищёв, Ю.В. Несимметричные элек-тромагнитные колебания в сфере с круговым

отверстием / Ю.В. Свищёв // Изв. вуз. Радиофи-зика. – 2006. – Т. XLIX, № 4. – С. 336–347.

15. Морозов, В.А. Рэлеевский случай ди-фракции плоской волны на сфере с круговой ще-лью / В.А. Морозов, Н.В. Родионова // ЖТФ. – 1978. – Т. 48, вып. 10. – С. 1993–2000.

16. Ерофеенко, В.Т. Аналитическое модели-рование в электродинамике. – Мн.: БГУ, 2010. – 303 с.

17. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 830 с.

18. Ерофеенко, В.Т. Экранирование низко-частотного электрического поля многослойным круговым диском / В.Т. Ерофеенко, Г.Ч. Шушке-вич // ЖТФ. – 2013. – Т. 83, вып. 6. – С. 92–97.

19. Шушкевич, Г.Ч. Компьютерные техно-логии в математике. Система Mathcad 14. Ч. 1. / Г.Ч. Шушкевич, С.В. Шушкевич. – Минск: Изд-во Гревцова, 2010. – 287 с.

20. Петров, Ю. Обеспечение достоверности и надежности компьютерных расчетов / Ю. Пет-ров. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 160 с.

21. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий. – М.: Высшая шко-ла, 2002. – 848 с.



© Антоневич А.Б., Шукур Али А., 2015 48

УДК 517.984

ОЦЕНКИ РЕЗОЛЬВЕНТ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЗВЕШЕННОГО СДВИГА

А.Б. Антоневич, Али А. Шукур

Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь

ESTIMATION OF RESOLVENTS FOR DISCRETE WEIGHTED SHIFT OPERATORS

A.B. Antonevich, Ali A. Shukur Belarusian State University, Minsk, Belarus

Основным результатом работы являются оценки снизу для нормы резольвенты оператора, у которого спектр есть еди-ничная окружность. Показано, что для произвольной функции ( )ϕ λ , аналитической в единичном круге, существует оператор, у которого норма резольвенты больше чем ( )| ϕ λ | . Ключевые слова: резольвента, дискретные операторы взвешенного сдвига. A lower estimation for the norm of a resolvent operator, the spectrum of which is a unite circle is considered. It is shown that for arbitrary function ( )ϕ λ , that is analytic on a unit circle, there exist an operator such that its resolvent norm is greater than

( ) .| ϕ λ | Keywords: resolvent, discrete weighted shift operator.

Введение Пусть B X X: → есть линейный ограни-

ченный оператор в банаховом пространстве X над полем .C Точка λ∈C называется регуляр-ной точкой оператора, если обратный оператор

1( ) ( )I B R B−λ − := λ, существует и является ограниченным. Множест-во регулярных точек называется резольвентным множеством оператора B и обозначается ( )Bρ . Операторно-значная функция ( )R Bλ, , опреде-ленная на резольвентном множестве, называется резольвентой оператора. Резольвента является аналитической операторно-значной функцией от λ. Множество ( ) \ ( )B Bσ = ρC называется спек-тром оператора. Число

( ) max{ ( )}R B B= | λ |: λ∈σ называется спектральным радиусом оператора B. Известно [2] , что для любого оператора при приближении λ к спектру норма резольвенты растет и имеет место оценка снизу

1( ) для ( )( ( ))

R B Bd B

λ, ≥ λ∈ρ ,λ,σ

(0.1)

где ( ( )) min{ ( )}d B Bλ,σ = | λ −μ |: μ∈σ

есть расстояние от λ до спектра ( )Bσ . В частно-сти, если спектр оператор есть вся единичная окружность 1,S то

1( )1

R Bλ, ≥ .| − | λ ||

(0.2)

Норма резольвенты явно вычисляется толь-ко для некоторых специальных классов операто-ров и для отдельных примеров. Известно, на-пример, что для любого нормального оператора в гильбертовом пространстве имеет место равен-ство в (0.1).

В частности, если оператор унитарный (или изометрический обратимый в банаховом случае) и его спектр есть вся единичная окружность 1,S то

1( )1

R Bλ, = .| − | λ ||

С разных точек зрения представляет инте-рес получение информации о поведении нормы резольвенты при приближении λ к спектру и оценок снизу и сверху для норм резольвент опе-раторов [4], [5], [6]. В связи с этим возникает вопрос: насколько быстро может возрастать норма резольвенты произвольного оператора при приближении к спектру?

Считается известным, что норма резольвен-ты может быстро возрастать при приближении к спектру, но смысл слова «быстро» при этом не уточняется. В работе дано количественное опи-сание возможной скорости роста резольвенты для операторов, спектром которых является ок-ружность.

1 Уточнение постановки задачи и фор-мулировка основного результата

Прежде всего напомним известные свойства резольвенты оператора, у которого спектр лежит на единичной окружности.


Оценки резольвент для дискретных операторов взвешенного сдвига


Лемма 1.1. Пусть у линейного ограничен-ного оператора B спектр есть единичная ок-ружность 1( ( ) ).Bσ = S Тогда при 1| λ |> резоль-вента задается в виде ряда

10

1( ) nnR B B

∞

+λ, = ,λ∑

а при 1| λ |< задается в виде ряда

1

1

( ) n nR B B∞

− −λ, = − λ .∑

Для нормы резольвенты имеют место оценки: при 1| λ |>

11

0

1 1( )1

nnI B B

∞−

+≤ λ − ≤ ,| − | λ || | λ |∑ (1.1)

при 1| λ |<

1 1

1

1 ( )1

n nI B B∞

− − −≤ λ − ≤ | λ | .| − | λ || ∑ (1.2)

Ниже мы рассматриваем резольвенты при 1| λ |< . Аналогичные результаты имеют место

при 1.| λ |> Обозначим через Φ класс функций ϕ, удов-

летворяющих следующим условиям: ϕ есть ана-литическая функция в единичном круге 1| λ |< , у которой радиус сходимости степенного ряда

0

( ) nnz z

∞

ϕ = ϕ∑

есть 1 и при этом 0nϕ > . Так как коэффициенты разложения неотрицательны, такая функция име-ет особенность в точке 1.

Пусть

1

0

( ) n nBf z z B

∞+ − −= .∑ (1.3)

В условиях леммы 1.1 у обратного оператора спектральный радиус 1( )R B− есть 1, согласно формуле Гельфанда [2] выполнено

11( ) lim 1,nn

nR B B

/− −

→+∞= =

и радиус сходимости степенного ряда (1.2) есть 1. Поэтому функция Bf

+ принадлежит введенно-му классу функций Φ и оценка (1.2) имеет вид

1( ) ( )BI B f− +λ − ≤ | λ | .

Функция 11( ) zf z −= также принадлежит

рассматриваемому классу, и оценка снизу в лем-ме 1.1 имеет вид

1 1( ) ( )1

I B f−λ − ≥ | λ | = .| − | λ ||

В общем случае оценки сверху из леммы 1.1 грубые и часто оказывается, что в действитель-ности норма резольвенты существенно меньше, чем ( ),Bf

+ | λ | и существенно больше, чем 11| −|λ|| .

Возникает естественный вопрос, насколько быстрым в действительности может быть рост

нормы резольвенты при приближении к спектру. Согласно лемме 1.1 сверху норма резольвенты оценивается через одну из функций класса Φ и, следовательно, не может возрастать быстрее, чем функции из этого класса. Основным результатом данной работы является следующее утверждение. Теорема 1.1. Для любой функции ϕ∈Φ су-ществует линейный ограниченный оператор B, такой, что 1( )Bσ = S и при 1| λ |< для резоль-венты оператора имеет место оценка снизу

( ) ( )R Bλ, ≥ ϕ | λ | . (1.4) Таким образом, норма резольвенты может

возрастать быстрее, чем любая функция из клас-са Φ. Из этого следует, в частности, что не су-ществует универсальной оценки сверху для норм резольвент, подобной универсальной оценке снизу (0.2).

Замечание. В качестве характеристики рос-та резольвенты часто рассматривается функция

( ) max ( )B rM r R B

|λ|== λ,

и строятся ее оценки [5]. С помощью норм опе-раторов nB− могут быть получены некоторые оценки снизу для этой функции. Действительно, для рассматриваемых операторов при 1r < и

0n ≥ имеем 11 1 ( )

2n

nrB B d

i− −

|λ|== λ − λ.

π λ∫

Отсюда получаем, что 1( )n n

BB M r r− − +≤ и

1

1( ) sup ( )n n

Bn

M r r B g B r− −

≥≥ := , . (1.5)

В отличие от неравенства (1.4), оценка снизу (1.5) через функцию ( )g B r, не дает оценки сни-зу для нормы резольвенты во всех точках, так как в некоторых точках окружности r| λ |= нор-ма резольвенты может быть меньше, чем ( )BM r .

Примеры показывают, что оценка (1.5) так-же грубая, так как функция ( )g B r, может быть существенно меньше, чем ( )BM r . Она может оказаться даже хуже оценки (0.2). Действитель-но, если 1nB− = для всех n, то оценка стано-вится тривиальной, так как в этом случае

( ) 1g B r, ≡ .

2 Операторы взвешенного сдвига Доказательство теоремы заключается в яв-

ном построении по функции ϕ дискретного опе-ратора взвешенного сдвига B в пространстве

1( )l Z , обладающего требуемыми свойствами. При этом для построенного оператора норма резольвенты вычисляется в явном виде:

( ) ( ) ( )BR B f +λ, = | λ | ≥ ϕ | λ | .



Пусть ( )pl , ( 1)p ≥ есть пространство дву-сторонних последовательностей комплексных чисел ( ( ))u u k= , для которых конечна норма

1

( )p

pp

u u k/+∞

−∞

⎡ ⎤= | | .⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Оператор сдвига W действует в этом простран-стве по формуле

( ) ( 1) .Wu k u k k= + , ∈ (2.1) Оператором взвешенного сдвига называется

оператор в ( )pl , действующий по формуле ( ) ( ) ( 1)Bu k a k u k k Z= + , ∈ , (2.2)

где ( ( ))a a k= есть заданная ограниченная чи-словая последовательность.

Если ( ) 0a k ≠ для ,k ∈ и последователь-ность 1

( )a k ограничена, то оператор B обратим и

1 1( ) ( 1)( 1)

B u k u ka k

− = − .−

Приведем несколько известных утвержде-ний о таких операторах [1].

Лемма 2.1. Пусть B есть оператор взве-шенного сдвига вида (2.2) в ( )pl . Тогда при

0n > норма оператора nB задается формулой

1

1

sup ( )n

n

k j

B a k j−

=

= | − | .∏ (2.3)

Если оператор обратим, то

1

0

1sup( )

nn

kj

Ba k j

−−

=

= .| + |∏

(2.4)

Лемма 2.2. Пусть ( ) 1a k → при k →∞ и ( ) 0a k ≠ . Тогда спектр оператора (2.2) есть

единичная окружность и для этого оператора справедливы утверждения леммы 1.1.

Получение оценки снизу норм резольвент начнем со следующей простой леммы.

Лемма 2.3. В пространстве ( )pl имеют место оценки снизу нормы резольвенты:

1

0 1

( ) ( )

1

pn

p n

n j

R B a j

при

−+∞−

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞λ, ≥ | − | | λ |⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦| λ |> ;

∑ ∏ (2.5)

1

11

0

( )( )

при 1

pn

pn

nj

R Ba j

−+∞

−=

=

⎡ ⎤| λ |⎢ ⎥λ, ≥⎢ ⎥| |⎣ ⎦| λ |< .

∑∏ (2.6)

Доказательство. Обозначим через 0e по-следовательность

0

0 0( )

1 0k

e kk, ≠ ,⎧

= ⎨ , = .⎩

Поскольку очевидно, что 0( ) ( )

pl pR B R B eλ, ≥ λ, ,

найдем элемент 0R( )B eλ, и его норму. При 1| λ |> резольвента задается формулой (1.1),

поэтому

0 010

1( ) nnR B e B e

∞

+λ, = .λ∑ (2.7)

Запишем в явном виде слагаемые в (2.7):

0n = ; 0

11 0 0 0e … …⎛ ⎞

= , , , , , ,⎜ ⎟λλ ⎝ ⎠

1n = ; 202

11 0 0 ( 1)Be … a …⎛ ⎞

= , , , − , ,⎜ ⎟⎜ ⎟λλ ⎝ ⎠

2n = ; 2303

11 0 ( 2) ( 1) .B e … a a …⎛ ⎞

= , , − − ,⎜ ⎟⎜ ⎟λλ ⎝ ⎠

Таким образом получаем, что 0

1

21

( )

11 10 0 0 ( 1) ( )n

nj

R B e

… a … a j …−

=

λ, =

⎛ ⎞= , , , , , − , , | − |,⎜ ⎟⎜ ⎟λλ | λ |⎝ ⎠

∏

и 1

00 1

1( ) ( )p

np

npj

R B e a j−∞

=

⎡ ⎤λ, = | − | .⎢ ⎥| λ |⎣ ⎦

∑ ∏

При 1| λ |< резольвента задается формулой (1.2), поэтому

10 0

1

( ) .n nR B e B e∞

− −λ, = λ∑ (2.8)

Записав в явном виде слагаемые в (2.8), ана-логично получаем, что

0

1

0

( )

10 0 0 0 0 )(1) (0) (0)( )

n

n

j

R B e

… … …a a aa j−

=

λ, =

⎛ ⎞−λ−λ⎜ ⎟= , , , , , , , , , ,⎜ ⎟| |⎝ ⎠∏

и

1

0 11

0

( )( )

pn

pnp

j

R B ea j

−∞

−

=

⎡ ⎤| λ |⎢ ⎥λ, = .⎢ ⎥| |⎣ ⎦

∑∏

Теорема 2.1. Пусть ( ) 1a k → при k →∞, ( ) 0,a k ≠ ( ) ( 1) 1a k a k≤ + ≤ при 0k ≥ и 1 ( )a k≤ ≤

( 1)a k≤ + при 1k < − . Тогда норма резольвенты оператора (2.2) в пространстве 1( )l задается формулой:

1

0 1

1

0

( ) ( )

( ) при 1;

nn

n j

n nB

n

R B a j

f B

−+∞−

= =

+∞− − −

=

λ, = | − || λ | =

= | λ | = | λ | , | λ |>

∑∏

∑

11

10

1

1

1( )( )

( ) при 1

nn

nj

n nB

n

R Ba j

f B

+∞−

−=

=

+∞+ − −

=

λ, = | λ | =| |

= | λ | = | λ | | λ |< .

∑∏

∑

Оценки резольвент для дискретных операторов взвешенного сдвига


Доказательство. В силу условия монотон-ного возрастания коэффициентов при 1k < − и условия, что ( ) 1a k ≤ при 0,k ≥ получаем, что супремум в (2.3) достигается при 0k = , т. е.

1

1

( )n

n

j

B a j−

=

= | − | .∏

Поэтому оценка снизу (2.7) из леммы 2.3 совпа-дает с оценкой сверху (1.1) из леммы 1.1. Аналогично, в силу условия, что ( ) ( 1)a k a k≤ + при 1k < − и условия, что ( ) 1a k ≥ при 0k ≥ получаем, что супремум в (2.4) достигается при

0k = , т. е. равен 1 1( )0

na jj

−

| |=.∏ Поэтому

1

0

1( )

nn

j

Ba j

−−

=

=| |∏

и оценка снизу (2.8) из леммы 2.3 совпадает с оценкой сверху (1.2) из леммы 1.1.

В доказательстве теоремы 1.1 будет постро-ен оператор взвешенного сдвига, коэффициенты которого удовлетворяют условиям теоремы 2.1 и выполнено равенство (2.6). Для выполнения ут-верждения теоремы коэффициенты ( )a k опера-тора взвешенного надо подобрать так, чтобы было выполнено условие

( ) ( )Bf+ | λ | ≥ ϕ | λ | .

Здесь осложнение заключается в том, что для произвольной функции из класса Φ невозможно построить оператор B так, чтобы имело место равенство

( ) ( )Bf+ | λ | = ϕ | λ | .

Это связано с тем, что коэффициенты разложе-ния функции Bf

+ есть числа nB− , а для норм степеней оператора выполнено неравенство

n m n mB B B− − − −≤ .

Таким образом, у функций вида ( )Bf+ λ коэффи-

циенты разложения удовлетворяют дополни-тельным условиям и они составляют только часть класса Φ.

Лемма 2.4. Для любой функции ϕ∈Φ суще-ствует аналитическая функция ψ∈Φ, такая, что для коэффициентов разложения

0

( ) nnz z

+∞

ψ = ψ∑

имеют место неравенства n nφ ≤ ψ , и при этом справедливы соотношения 2

1 1n n n− +ψ ≤ ψ ψ и по-

следовательность частных 1n

n

+ψψ монотонно

убывая стремится к 1. При построении функции ψ будет исполь-

зовано преобразование Фенхеля – Лежандра [3]. Обычно такое преобразование связано с рас-смотрением выпуклых (вниз) функций. Нам по-требуется вариант, связанный с рассмотрением

вогнутых (выпуклых вверх) функций, который отличается от классических формул знаками.

Определение 2.1. Пусть задана функция ( )f x со значениям на расширенной числовой

прямой. Функция f ∗ , определяемая равенством ( ) sup( ( ) )

xf y f x xy∗ = − (2.9)

называется сопряженной к f (по Лежандру). Второй сопряженной к f называется функция f ∗∗ , определяемая равенством

( ) inf ( ( ))y

f x xy f y∗∗ ∗= + . (2.10)

Известно, что функция f ∗∗ выпукла вверх и это есть наименьшая из выпуклых вверх функций, мажорирующих f .

Доказательство леммы 2.4. Без ограниче-ния общности можем считать, что 1nϕ ≥ . Рас-смотрим последовательность lnn nγ = ϕ . Зададим на полупрямой [0 )+ = ,+∞R непрерывную ку-сочно-линейную функцию ( )xγ , такую, что

( ) nnγ = γ и функция линейна на каждом отрезке

[ 1]n n, + . Пусть ( )xγ есть наименьшая выпуклая вверх функция, мажорирующая ( )xγ . Как отме-чено выше, такая функция может быть задана с помощью преобразования Фенхеля – Лежандра по формулам (2.9)–(2.10): ∗∗γ = γ . Положим ( )n n= γ ,γ

nn eγψ = .

Проверим, что для построенной последова-тельности выполнены требуемые свойства.

Прежде всего отметим, ( ) ( ) 0x xγ ≥ γ ≥ . В общем случае в теории преобразования

Фенхеля-Лежандра рассматриваются функции, которые могут принимать значения ±∞. Пока-жем сначала, что функция ( )xγ принимает толь-ко конечные значения.

Из условия 1lim 1nn/ϕ =

получаем, что

lim 0n

nγ

= .

Это означает. что 0 ( )y N N y∀ > ∃ = такое, что для x N≥ выполнено ( )x yxγ ≤ , т. е. ( ) 0x xyγ − ≤ . Так как функция ( )x xyγ − непрерывна, она на отрезке [0 ( ]N y, ограничена. Поэтому для всех положительных y выполнено

( ) sup( ( ) )x

y x xy∗γ = γ − < +∞.

Отсюда следует, что ( ) inf ( ( )) (1)

yx xy y x∗ ∗γ = + γ ≤ + γ < +∞.



По построению, для 0 0x y> , > выполнено не-равенство

( ) ( )x xy y∗γ ≤ + γ . Поэтому для любого 0y > имеем

10 lim ( )x yx

≤ γ ≤ ,

откуда 1 1lim ( ) 0 lim ( ) 0x nx nγ = , γ = .

Из этого получаем, что 1 1lim n

n n/

→∞ψ = . (2.11)

Из выпуклости вверх функции γ следует, что выполнено неравенство

1 1

12n n n+ −⎡ ⎤≥ + .γ γ γ⎣ ⎦

Обозначим 1n n n+Δ = − .γ γ Так как

1 1 1n n n n n n− + −Δ − Δ = − − + ,γ γ γ γ

из записанного выше свойства выпуклости полу-чаем, что последовательность nΔ монотонно убывает и, следовательно, имеет предел

lim nnC

→+∞Δ := .

Если 0C > , то

0( )n C n N C≥ − + .γ Эта оценка противоречит (2.11).

Поэтому lim 0nn→+∞

Δ = .

Из этого следует требуемое свойство последова-тельности nψ :

1lim 1n

nn

+

→+∞

ψ= .

ψ

Заметим, что из монотонного убывания последо-вательности nΔ следует монотонное убывание

последовательности частных 1n

n

+ψψ .

Замечание. Свойство n m n m+ψ ≤ ψ ψ следует

из выпуклости функции γ. Доказательство теоремы 1.1. Пусть nψ

есть последовательность, построенная в лемме 2.4 по функции ϕ. Зададим последовательность

( )a k по правилу

0

1

1

1 0( ) 0

, 0k

k

ka k k

k−

ψ

ψψ

⎧ , < ;⎪⎪= , = ;⎨⎪

> .⎪⎩

Для этой последовательности выполнены все условия теоремы 2.1. Поэтому, согласно теореме 2.1, для резольвенты оператора B aW= в про-странстве 1( )l Z при 1| λ |< выполнено

( ) ( ) ( )R Bλ, = ψ | λ | ≥ ϕ | λ | . Замечание. Если все ( ) 1a k = , то оператор

сдвига W является изометрическим и обрати-мым и для резольвенты имеет место равенство (0.2). Рассматриваемые операторы имеют вид B W K= + , где K есть оператор взвешенного сдвига с коэффициентами ( ) 1a k − . Такой опера-тор K является компактным и квазинильпотент-ным (его спектр состоит из одной точки 0). По-этому рассматриваемый вопрос связан с еще од-ним общим вопросом – насколько сильно может измениться поведение резольвенты при возму-щении оператора с помощью компактного. Как видно из теоремы 1.1, возмущение оператора с помощью компактного может привести к сколь угодно сильному изменению поведения резоль-венты.

ЛИТЕРАТУРА 1. Антоневич, А.Б. Линейные функциональ-

ные уравнения. Операторный подход / А.Б. Ан-тоневич. – Минск: Университетское, 1988.– 230 с.

2. Данфорд, Н. Линейные операторы. Спек-тральная теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц. – Мо-сква: Мир, 1966. – 896 с.

3. Магарил Ильяев, Г.Г. Выпуклый анализ и его приложения // Г.Г. Магарил Ильяев, В.М. Ти-хомиров. – М.: Книжный дом «Либерком», 2011. – 172 с.

4. Zabrejko, P.P. Error estimates for successive approximations and spectral properties of linear op-erators/ P.P. Zabrejko // Numerical functional analy-sis and optimization. – 1990. – Vol. 11, № 788. – P. 823–838.

5. Olavi Nevanlinna. On growth of the resol-vent operators for power bounded operators / Olavi Nevanlinna // Banach center publications. –Warszawa. – 1997. – Vol. 38. – 18 p.

6. Resolvent conditions and powers of opera-tors [Electronic resource] / Olavi Nevanlinna – Hel-sinki university of technology Institute of mathe-maties research reports, 1999. – Mode of access: https://math.aalto.fi/reports/a424.pdf. – Data of ac-cess: 10.05.2014.



© Астафьева А.В., 2015 53

УДК 517.538.52+517.538.53

АСИМПТОТИКА ДИАГОНАЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ЭРМИТА – ПАДЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ ИЗ ЧЕТЫРЕХ ЭКСПОНЕНТ

А.В. Астафьева


ASYMPTOTICS OF DIAGONAL HERMITE – PADE APPROXIMANTS FOR A SYSTEM OF FOUR EXPONENTIALS

A.V. Astafyeva F. Scorina Gomel State University, Gomel, Belarus

Изучаются асимптотические свойства диагональных аппроксимаций Эрмита – Паде I типа для системы экспонент

30{ }j z

jeλ= , где 0 1 2 3λ < λ < λ < λ – произвольные действительные числа. Полученные теоремы дополняют известные ре-

зультаты П. Борвейна, Ф. Вилонского. Ключевые слова: диагональные аппроксимации Эрмита – Паде I типа, асимптотические равенства, метод перевала. Asymptotic properties of diagonal Hermite – Pade approximants of type I for exponential system 3

0{ }j zjeλ= with arbitrary real

0 1 2 3λ < λ < λ < λ are studied. The obtained theorems complement the results of P. Borwein and F. Wielonsky. Keywords: Hermite – Pade approximants of type I, asymptotic equality, saddle-point method.

Введение Аппроксимациями Эрмита – Паде I типа

(Latin type) ( 1)n − -го порядка системы экспонент

0

kpz

pe⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭ =

принято называть набор из 1k + много-

членов 0 1( ) ( ) ( )kA z A z A z, , ..., , степени не выше 1,n − для которых

1

0( ) ( ) 0

kpz kn n

pp

A z e O z z+ −

=

= , → ,∑ (0.1)

где предполагается, что хотя бы один многочлен ( )pA z тождественно не равен нулю. Такие аппроксимации были определены

Ш. Эрмитом [1] в 1883 году. Ещё раньше в из-вестной работе [2], посвящённой доказательству трансцендентности числа e, Эрмитом рассмат-ривался другой тип аппроксимаций системы экс-понент

0

kpz

pe⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭ =

. В современной терминалогии

(подобнее см. [3] ) этот другой тип аппроксима-ций называют аппроксимациями Эрмита – Паде II типа (German type). Известно [4], что с помо-щью аппроксимаций Эрмита – Паде I типа также можно доказать трансцендентность числа e.

Фундаментом формальной теории аппрокси-маций Эрмита – Паде I и II типов для произволь-ных систем аналитических функций стали работы К. Малера [3], [4]. В этих работах, в частности, да-ны строгие определения основных понятий, зало-жены основы современной терминалогии. Даль-нейшее развитие теории подробно проанализи-ровано в обзоре [5]. Оба типа аппроксимаций,

явно различные в многомерном случае ( 2),k ≥ нашли многочисленные приложения в теории приближения аналитических функций, в теории чисел, в частности, при доказательствах транс-цендентности, в исследовании алгебраической природы математических констант (см., напри-мер [6]–[8]).

При 1k = теорема Паде [9] утверждает, что для полиномов 0 ( )A z , 1( )A z , нормированных так, что 0 (0) 1A = , при n →∞ локально равно-мерно по z∈ ,C т. е. на любом компакте в ,C справедливы асимптотические равенства

20

21

( ) (1 (1 ))

( ) (1 (1 ))

z

z

A z e O n

A z e O n

/

/

= − + / ,

= + / .

С помощью явных формул П. Борвейн [10] на-шёл асимптотику аппроксимаций Эрмита – Паде

I типа системы 0

kpz

pe⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭ =

при 2k = . Этот резуль-

тат был обобщён Ф. Вилонским [11] на случай произвольного k. В [12] результат П. Борвейна обобщен на системы экспонент 2

0{ }i zieλ= с произ-

вольными различными действительными показа-телями 0 1 2λ ,λ ,λ . Случай недиагональных ап-проксимаций изучался К. Дривер [13].

В данной статье рассматриваются диаго-нальные аппроксимации Эрмита – Паде I типа

для системы экспонент 3

0

p z

peλ⎧ ⎫⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ =

с произвольны-

ми различными действительными показателями




0 1 2 3λ < λ < λ < λ . Основным объектом исследо-вания являются асимптотические свойства мно-гочленов Эрмита 3

0{ ( )}pn pA z = , имеющих степень

не выше 1n − и удовлетворяющих условиям

3

1

0

( ) 0p zp kn nn

p

A z e O z zλ + −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= , → .∑ (0.2)

Введем необходимые обозначения. Опреде-лим функцию ϕ, полагая 0 1 2 3( ) ( )( )( )( )ϕ ξ := ξ − λ ξ − λ ξ − λ ξ −λ . Обозначим через ix , 1 2 3i = , , нули производной

( )′ϕ ξ . Ясно, что 1 0 1( )x ∈ λ ;λ , 2 1 2( )x ∈ λ ;λ ,

3 2 3( )x ∈ λ ;λ . Пусть G – такая односвязная об-ласть, что 3

0{ }i iG \ =⊂ λ .C В G рассмотрим одно-значную аналитическую функцию

0( ) ln ( ) ln ( ) ( )argS iξ = − ϕ ξ = − | ϕ ξ | − ϕ ξ , где 10 ( )arg xϕ = π. Значения функции ( )S ξ вы-числяются по формуле

1( ) ln ( ) Im ( ) arg ( )S i S x γ⎡ ⎤ξ = − | ϕ ξ | − + Δ ϕ ξ ,⎣ ⎦

где кривая γ лежит в G и соединяет точки 1x и ξ, а arg ( )γΔ ϕ ξ – приращение аргумента ( )ϕ ξ вдоль кривой γ.

Выбирая положительное значение корня, положим

( )1( ) 1 2 32 ( )

inS xn i

i

B x e inS x

= , = , , .′′π

Сформулируем основную теорему, обоб-щающую указанные выше результаты П. Бор-вейна, Ф. Вилонского и А.П. Старовойтова.

Теорема 0.1. Для любого фиксированного z при n →+∞

101( ) ( ) (1 (1 ))

x z

n nA z B x e O n= + / , (0.3) ( )1

( )

1( ) ( ) (1 (1 ))

( ) (1 (1 ))

x zp p

x zp p

pn n p

n p

A z B x e O n

B x e O n

−λ+

−λ

+= + / −

− + / , (0.4)

при 1 2p = , ,

333( ) ( ) (1 (1 ))

x z

n nA z B x e O n= − + / . (0.5)

1 Вспомогательные утверждения Полиномы { }3

0( )p

n pA z

=, удовлетворяющие

равенствам (0.2), могут быть получены решени-ем линейной системы 4 1n − однородных урав-нений с 4n неизвестными коэффициентами. По-этому нетривиальное решение всегда существу-ет. Более того, такие решения могут быть выпи-саны в явном виде. Действительно, пусть pC – граница круга с центром в точке pλ столь мало-го радиуса, что все остальные jλ лежат во внешности этого круга. Используя теорему Коши о вычетах, легко показать, что функции

[ ]

( ) 0 32 ( )

p

p

z zp

n nC

e e dA z pi

−λ ξ ξ= , ≤ ≤ ,

π ϕ ξ∫ (1.1)

удовлетворяют (0.2) и всем другим условиям. При изучении асимптотики интеграла в

(1.1) будем использовать известные методы ком-плексного анализа. Приведем без доказательств в удобном для нас виде необходимые утверждения (см. [14], с. 398, 415).

Утверждение 1.1 (Метод Лапласа). Пусть ( )f x , ( )S x непрерывные на отрезке [ ]a b, функ-

ции, при этом ( )S x принимает только дейст-вительные значения, а ( )f x может быть ком-плекснозначной. Полагаем

( )( )b nS x

n aI f x e dx= .∫

Предполагаем, что ( )S x в точке 0 ( )x a b∈ , име-ет абсолютный максимум на отрезке [ ]a b, , т. е.

0( ) ( )S x S x< , 0x x≠ , 0( ) 0S x′′ ≠ и функции ( )f x , ( )S x бесконечно дифференцируемы в некоторой

окрестности точки 0x . Тогда при n → +∞ справедливо асимптотическое равенство

{ }0( )0

0

2 ( ) (1 )( )

nS xnI e f x O n

nS xπ

= − + / .′′

Утверждение 1.2 (Метод перевала). Пусть функции ( )f z и ( )S z регулярны в некоторой области G, содержащей кусочно-гладкую кри-вую γ и

( )( ) nSnF f e dξ

γ

= ξ ξ.∫

Предположим, что max Re ( )Sγ

ξ достигается

только в точке 0z , которая является внутрен-ней точкой контура и простой точкой перевала, т.е. 0( ) 0S z′ = , 0( ) 0S z′′ ≠ . Считаем также, что в окрестности 0z контур γ проходит через оба сектора (см. [11], с. 414), в которых

0Re ( ) Re ( )S S zξ < . Тогда при n →∞

0( )0

0

2 ( ( ) (1 ))( )

nS znF e f z O n

nS zπ

= − + / .′′

(1.2)

Выбор ветви корня в (1.2) определяется из условий

0

10( )arg S z′′− = ϕ ,

где 0ϕ – угол между касательной к кривой l в точке 0z и положительным направлением дей-ствительной оси, а l – линия наибыстрейшего спуска, проходящая через точку 0z , т. е. для l в окрестности 0z выполняются условия:

0Im ( ) Im ( )S z S z= при z l∈ ;

0Re ( ) Re ( )S z S z< при z l∈ , 0z z≠ .

Асимптотика диагональных аппроксимаций Эрмита – Паде для системы из четырех экспонент


2 Доказательство теоремы 0.1 Перейдем непосредственно к доказательст-

ву теоремы 0.1. Без ограничения общности, счи-таем, что 0 1 2 30 = λ < λ < λ < λ . Докажем асим-птотическое равенство (0.3). Пусть z∈ .C При-ведем 0 ( )nA z к следующему виду

0

0 ( )1( )2

z nSn

C

A z e e di

ξ ξ= ξ.π ∫ (2.1)

Деформируем контур интегрирования 0C в пря-моугольник R, принадлежащий области

1{ Re }z z: −∞ < < λ , с вершинами ( )A a r′− ;− , ( )B a r′− ; , ( )C a r; , ( )D a r;− , где r – достаточно

большое число, 1(0 )a∈ ;λ , 0a′ > . Тогда на вер-тикальном отрезке [ ]A B; максимум функции Re ( )S ξ достигается только в точке a′− (легко проверить), аналогично на вертикальном отрезке [ ]C D; в точке a. На оставшихся двух горизон-тальных отрезках [ ]B C; , [ ]D A; , при достаточно больших значениях r, значение Re ( )S ξ меньше, чем любое из значений в точке a′− и a. Дейст-вительно, пусть, например, [ ]B Cξ∈ ; , т. е.

t irξ = + , [ ]t a a′∈ − ; : 22 2 2

1

22 2 232

( ) ( )( )( )

( )(( ) )( )min{ ( ) ( ) }

t r rt

r t rta a

| ϕ ξ |= + + ×−λ

× + −λ + >−λ

′> | ϕ − |,| ϕ | ,

если только 33max{ }r a′> ,λ и следовательно Re ( ) min{Re ( ) Re ( )}S S a S a′ξ < − , .

Возьмем теперь 1a x= , а a′ выбираем так, чтобы 1Re ( ) Re ( )S a S x′− < . Это возможно, так как 1ln ( )t −| ϕ | → ∞ при t →∞.

Считаем положительным направление об-хода произвольного отрезка [ ]M N, направление от M к N . Обозначим

[ ] ( )

[ ]

12

M N z nSn

M N

F e e di

; ξ ξ

;

= ξ.π ∫

Для нахождения асимптотики интеграла [ ]D CnF ;

применим метод перевала. В результате получим

1 1( )[ ]

1

1 2 (1 (1 ))2 ( )

nS x x zD CnF e e O n

i nS x; − π

= + / .′′π

Ветвь корня в последнем равенстве выбира-ем с учетом того, что 0 2ϕ = π / . В результате приходим к равенству

1[ ]1( ) (1 (1 ))x zD C

n nF B x e O n; = + / . (2.2) Применяя к интегралу (2.1) на отрезке

[ ]B A; утверждение 1.2 и учитывая выбор точки a′− , нетрудно показать, что имеет место оценка

1( ( ) )[ ] ( ) n S xB AnF z e −δ;| |≤ θ | |,

где θ и δ – положительные постоянные. Это значит, что при n →∞ интеграл [ ] ( )B A

nF z, по модулю экспоненциально мал по сравнению с

1( )nS xe . Это утверждение справедливо и по от-

ношению к интегралам [ ] ( )C BnF z, , [ ] ( )A D

nF z, . Зна-чит основной вклад в асимптотику 0 ( )nA z вносит интеграл по отрезку [ ]D C; . Поэтому из (2.2) следует справедливость равенства (0.3) для лю-бого фиксированного z∈ .C

Утверждение (0.5) доказывается аналогич-но, с тем лишь отличием, что при выборе ветви корня в методе перевала необходимо учитывать, что угол 0 2ϕ = −π / .

Перейдем к доказательству равенства (0.4). Ограничимся случаем 1p = . Случай 2p = рас-сматривается аналогично. Зафиксируем произ-вольное z∈C и представим многочлен 1 ( )nA z в виде

1

1

1 ( )( )2

zz nS

nC

eA z e e di

−λξ ξ= ξ.

π ∫ (2.3)

В (2.3) деформируем контур интегрирования 1C в прямоугольник R∗ , принадлежащий области

2{ 0 Re }z z: < < λ с вершинами ( )A a r∗ ′;− , ( )B a r∗ ′; , ( )C a r∗ ; , ( )D a r∗ ;− , где r – достаточно большое

число, 1 2( )a∈ λ ;λ , 1(0 )a′∈ ;λ . Тогда на верти-кальном отрезке [ ]A B∗ ∗; максимум функции

( )ReS ξ достигается только в точке a′, на верти-кальном отрезке [ ]C D∗ ∗; в точке a. На остав-шихся двух горизонтальных отрезках [ ]B C∗ ∗; , [ ]A D∗ ∗; при достаточно больших значениях r

3( 6 )r > λ значение Re ( )S ξ меньше, чем любое из значений в точке a′ и a. Следовательно, если положить 1a x′ = , 2a x= , то основной вклад в интеграл (2.3) будут вносить интегралы по от-резкам [ ]D C∗ ∗; и [ ]B A∗ ∗; . Применим к интегра-

лам [ ] ( )D CnF z

∗ ∗; , [ ] ( )B AnF z

∗ ∗; метод перевала. Тогда при n →∞

12 2

[ ]

( )

2

( )

2 (1 (1 ))2 ( )

D Cn

znS x x z

F z

e e e O ni nS x

∗ ∗;

−λ

=

− π= + / ,

′′π

(2.4)

11 1

[ ]

( )

1

( )

2 (1 (1 ))2 ( )

B An

znS x x z

F z

e e e O ni nS x

∗ ∗;

−λ

=

− π= + / .

′′π

(2.5)

При выборе ветви корня в (2.4), полагаем 0 2ϕ = π / , а при выборе ветви корня в (2.5), по-

лагаем 0 2ϕ = −π / . С учётом этого, из (2.4) и (2.5) следует равенство (0.4) при 1p = . Таким



образом, справедливость асимптотических ра-венств (0.3)–(0.5) для любого фиксированного z доказана.

Следствие 2.1. При n →∞ 0

1(0) ( )(1 (1 ))n nA B x O n= + / , 1

2 1(0) ( )(1 (1 )) ( )(1 (1 ))n n nA B x O n B x O n= + / − + / , 2

3 2(0) ( )(1 (1 )) ( )(1 (1 ))n n nA B x O n B x O n= + / − + / , 3

3(0) ( )(1 (1 ))n nA B x O n= − + / . Следствие 2.2. Пусть 0 0λ = , 1 1λ = , 2 2λ = ,

3 3λ = . Тогда для любого комплексного z при n →∞

0 (3 5) 2

2 11 2

( 1)( )2

1 4( )32 2

nz

n n

nz

n n

A z b e

A z b e

− /

−/

−,

⎛ ⎞ ,⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

∼

2 12 2

13 ( 3 5 ) 2

1 4( )32 2

( 1)( )2

nz

n n

nz

n n

A z b e

A z b e

−− /

−− + /

⎛ ⎞− ,⎜ ⎟⎝ ⎠

−,

∼

∼

где 1 5nb n= / π . Для доказательства следствия 2.2 достаточ-

но заметить, что

1 2 3

( ) ( 1)( 2)( 3)

3 5 3 3 52 2 2

x x x

ϕ ξ = ξ ξ − ξ − ξ − ,

− += , = , = ,

1 3 2( ) ( ) ( ) ln(16 9)S x S x i S x= = − π, = / ,

1 3 2( ) ( ) 10 ( ) 80 9S x S x S x′′ ′′ ′′= = , = / . Следствие 2.3. Пусть 0 0λ = , 1 1λ = ,

2 1λ = + ε, 3 2λ = + ε, где 0 1< ε ≤ . Тогда для любого комплексного z при n →∞

2 10 (2 ) 2( 1) 2( ) (1 (1 ))

12

nnz

nA z e O nn

−+ε−γ /− ⎛ ⎞= + / ,⎜ ⎟+ εγ π ⎝ ⎠

2 12 11 2

2 112

2 2( )(2 )2

( 1) 1 (1 (1 ))12

nnz

n

nnz

A z en

e O n

−−ε /

−−−γ /

⎛ ⎛ ⎞⎜= +⎜ ⎟⎜ ε + επ γ ⎝ ⎠⎝

⎞− ⎛ ⎞+ + / ,⎟⎜ ⎟ ⎟ε +⎝ ⎠ ⎠

2 12 12 2 2

2 1

2 ( 1) 1( )12 2

2 (1 (1 ))(2 )

nn nz z

n

n

A z e en

O n

−−−ε / γ /

−

⎛ − ⎛ ⎞= −⎜ ⎜ ⎟⎜ ε +π γ ⎝ ⎠⎝⎞⎛ ⎞⎟− + / ,⎜ ⎟ ⎟ε + ε⎝ ⎠ ⎠

2 113 ( 2 ) 2( 1) 2( ) (1 (1 ))

12

nnz

nA z e O nn

−−− −ε−γ /− ⎛ ⎞= + / ,⎜ ⎟+ εγ π ⎝ ⎠

где 22 2γ = + ε + ε . Заметим, что если в следствии 2.3 положить

1ε = , то получим следствие 2.2.

3 Равномерная сходимость аппроксима-ций Эрмита – Паде

Основным результатом этого раздела явля-ется следующая теорема, обобщающая соответ-ствующие теоремы о равномерной сходимости из работ П. Борвейна [10], Ф. Вилонского[11] и А.П. Старовойтова [12].

Теорема 3.2. Пусть 0 0λ = , 1λ = λ, 2 2λ = λ,

3 3λ = λ, где λ – произвольное действительное число не равное нулю. Тогда локально равномерно по z при n →∞

4 10 (3 5) 2( 1) 1( ) (1 (1 ))

2 5

nnz

nA z e O nn

−− λ /− ⎛ ⎞= + / ,⎜ ⎟λπ ⎝ ⎠

4 11 2

2 11 5 2

1 1( )2 5

1 4 ( 1) (1 (1 ))32

nz

n

nn z

A z en

e O n

−λ /

−⎛ ⎞⎜ ⎟− − λ /⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ×⎜ ⎟λπ ⎝ ⎠

⎛ ⎞× + − + / ,⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.1)

4 12 2

2 15 2

1 1( )2 5

1 4 ( 1) (1 (1 ))32

nz

n

nn z

A z en

e O n

−−λ /

−⎛ ⎞⎜ ⎟λ /⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ×⎜ ⎟λπ ⎝ ⎠

⎛ ⎞× − + − + / ,⎜ ⎟⎝ ⎠

4 113 ( 3 5) 2( 1) 1( ) (1 (1 ))

2 5

nnz

nA z e O nn

−−− + λ /− ⎛ ⎞= + / .⎜ ⎟λπ ⎝ ⎠

Доказательство. Из условий теоремы 3.2 следует, что

( ) ( )( 2 )( 3 )ϕ ξ = ξ ξ − λ ξ − λ ξ − λ ,

1 2 3(3 5) 3 (3 5)

2 2 2x x x− λ λ + λ= , = , = ,

41 3

42

( ) ( ) ln(1 )

( ) ln(16 9 )

S x S x i

S x

= = / λ − π,

= / λ ,

1 3 2

22

10( ) ( )

80( )9

S x S x

S x

′′ ′′= = ,λ

′′ = λ .

Отсюда и из теоремы 0.1 получим справедли-вость равенств (3.1) для каждого фиксированно-го комплексного числа z. Докажем, что равенст-ва (3.1) справедливы и равномерно на любом компакте в .C

Из следствия 2.1 вытекает, что при достаточ-но больших n (0) 0j

nA ≠ , 0 1 2 3j = , , , . Поэтому можно рассматривать нормированные полиномы

( )( ) 0 1 2 3

(0)

jj n

n jn

A zA z j

A= , = , , , .

Докажем, например, что первое из равенств (3.1) справедливо равномерно на любом компак-те в .C Заметим, что согласно следствию 2.1 при n →∞

4 1

0 ( 1) 1(0) (1 (1 ))2 5

nn

nA O nn

−− ⎛ ⎞= + / .⎜ ⎟λπ ⎝ ⎠ (3.2)

Асимптотика диагональных аппроксимаций Эрмита – Паде для системы из четырех экспонент


Предположим, что z| |≤ ρ и Rξ∈ . Тогда модуль zeξ ограничен 3 max{ 3 }aM e

′ρ , λ= . Из равенства (2.1) следует, что

0 Re ( ( ))( ) ( )2

n S tn

MA z e t dtβ ζ

α′≤ ζ ,

π ∫

при условии, что контур интегрирования R прежний и параметризуется вещественным па-раметром [ ]t∈ α,β . Для нахождения асимптоти-ки интеграла в правой части предыдущего нера-венства применим метод Лапласа (утверждение 1.1). В результате получим, что при n →∞

[ ]( )1

0

Re ( ( ))

Re ( )0

( )

2 ( ) 1 (1 )Re ( ( )

n S t

n S x

t t

e t dt

e t O nn S t

β ζ

α

′′

=

′ζ =

− π ′= ζ + / ,ζ

∫(3.3)

где 0t выбрано так, что 0 1( ) .t xζ = В результате несложных вычислений (учитываем, что 0t явля-ется точкой максимума функции Re ( ( ))S tζ ) приходим к равенству

[ ] [ ]0

21 0Re ( ( ) ( ) ( )

t tS t S x t′′

=′′ ′ζ = ζ .

Тогда, из (3.2), (3.3) при достаточно больших n

получаем неравенство 0 ( ) 2nA z M≤ , из которого

следует, что последовательность 01{ ( )}n nA z ∞= рав-

номерно ограничена по модулю в круге { }z z:| |≤ ρ . Тогда по теореме Витали [15] эта последовательность равномерно сходится к функции 1x ze на любом компакте из круга { }z z:| |≤ ρ . Поэтому первое из равенств в (3.1) справедливо равномерно на любом компакте в .C

Аналогично доказывается, что и другие ра-венства (3.1) справедливы равномерно на любом компакте в .C Теорема 3.2 доказана.


1. Hermite, C. Sur la generalisation des frac-tions continues algebriques / C. Hermite // Ann. Math. Pura. Appl. Ser. 2A – 1883. – Vol. 21. – P. 289–308.

2. Hermite, C. Sur la fonction exponentielle / C. Hermite // C.R. Akad. Sci. (Paris). – 1873. – Vol. 77. – P. 18–293.

3. Mahler, K. Perfect systems / K. Mahler // Comp. Math. – 1968. – Vol. 19. – P. 95–166.

4. Mahler, K. Zur Approximation der Exponen-tial funktion und des Logarithmus, I, II / K. Mahler

// J. Reine Angew. Math. – 1931. – Vol. 166. – P. 118–150.

5. Aptekarev, A.I. Asymptotics of Hermite –Pade polynomials, in “Progress in Approximation Theory” (A.A. Gonchar and E.B. Saff, Eds.) – P. 127–167 / A.I. Aptekarev, H. Stahl. – New York / Berlin: Springer-Verlag, 1992.

6. Аптекарев, А.И. Аппроксимации Паде, непрерывные дроби и ортогональные многочле-ны / А.И. Аптекарев, В.И. Буслаев, А. Мартинес-Финкельштейн, С.П. Суетин // Успехи матем. наук. – 2011. – Т. 66, № 6 (402). – C. 37–122.

7. Mahler, K. Applications of some formulas by Hermite to the approximation of exponentials and logarithms / K. Mahler // Math. Ann. – 1967. – Vol. 1668. – P. 200–227.

8. Chudnovsky, G.V. Hermite – Pade approxi-mations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of, in “Lec-ture Notes in Math” / G.V. Chudnovsky. – New York / Berlin: Springer-Verlag. – 1982. – Vol. 925. – P. 299–322.

9. Pade, H. Memoire sur les developpements en fractions continues de la fonctial exponential / H. Pade // Ann. Ecole Norm. Sup. Paris. – 1899. – Vol. 16, № 3. – P. 394–426.

10. Borwein, P.B. Quadratic Hermite – Pade approximation to the exponential function / P.B. Bor-wein // Const. Approx. – 1986. – Vol. 62. – P. 291–302.

11. Wielonsky, F. Asymptotics of Diagonal Hermite – Pade Approximants to / F. Wielonsky // J. Approx. Theory. – 1997. – Vol. 90, № 2. – P. 283–298.

12. Старовойтов, А.П. Аппроксимации Эр-мита – Паде для системы функций Миттаг – Леффлера / А. П. Старовойтов // Проблемы фи-зики, математики и техники. – 2013. – № 1 (14). – C. 81–87.

13. Driver, K.A. Non-diagonal quadratic Her-mite – Pade approximation to the exponential func-tion / K.A. Driver // J. Comp. Appl. Math. – 1995. – Vol. 65. – P. 125–134.

14. Сидоров, Ю.В. Лекции по теории функ-ций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.

15. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций. Т. 1. / А.И. Маркушевич. – М.: Наука, 1967.



© Белокурский М.С., 2015 58

УДК 517.9

О СОВПАДЕНИИ ОТРАЖАЮЩИХ ФУНКЦИЙ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЙ И ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

М.С. Белокурский


ON COINCIDENCE OF REFLECTING FUNCTIONS OF THE QUASI-PERIODIC AND PERIODIC DIFFERENTIAL SYSTEMS

M.S. Belokursky F. Scorina Gomel State University, Gomel, Belarus

Получены достаточные условия эквивалентности в смысле Мироненко квазипериодической и периодической диффе-ренциальных систем. Ключевые слова: отражающая функция, эквивалентность, дифференциальная система, квазипериодическая система. Sufficient conditions for equivalence in sense of Mironenko of the quasi-periodic and periodic differential systems were ob-tained. Keywords: reflecting function, equivalence, differential system, quasi-periodic system.

Введение Рассмотрим дифференциальную систему

( , ),x X t x= ,t∈R 1( ,..., ) ,T nmx x x= ∈R (0.1)

с непрерывно дифференцируемой правой ча-стью. Отражающей функцией [1] системы (0.1) называется функция, определяемая формулой

( , ) ( ; , ),F t x t t x= ϕ − где ( ; , )t xϕ τ есть общее решение системы (0.1) в форме Коши. Для любого решения ( )x t этой

системы верно тождество ( , ( )) ( ).t

F t x t x t≡ − Это свойство можно принять за определение отра-жающей функции [2, с. 16]. Две системы, имею-щие одинаковые отражающие функции, будем считать эквивалентными в смысле совпадения отражающих функций. Разработаны методы, которые позволяют находить отражающую функцию, не используя ее определение. Более того, зная лишь некоторые свойства отражаю-щей функции можно исследовать поведение решений самой системы, не прибегая к по-строению отражающей функции [2]–[7]. Таким образом, решения систем с одинаковой отра-жающей функцией имеют много одинаковых качественных свойств. Поэтому при качествен-ном исследовании систем удобно заменять бо-лее сложную систему, на более простую систе-му. В частности, исследование квазипериодиче-ской системы можно заменить исследованием периодической системы.

1 Эквивалентность квазипериодической и периодической дифференциальных систем

Теорема 1.1. Пусть 1( )a t и 2 ( )a t непрерыв-ные нечётные функции. Тогда дифференциаль-ная система

()

()

312

2

312

2

cos 1 ( )( )1 3

( )( sin ) ,

11 1 ( )( )1 3( )( sin ) cos

dx t a t y xdt x

a t x y t

dy a t y xdt x

a t x y t t

= + − ++

+ + −

⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟+⎝ ⎠+ + −

(1.1)

имеет такую же отражающую функцию, как и периодическая система

2 2

cos 1, 1 cos .1 3 1 3

dx t dy tdt dtx x

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ (1.2)

Доказательство. Сначала докажем, что 3 2 5

1 2 2

3 3,1 3 1 3

Ty x x y x

x x⎛ ⎞− −

Δ = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

является решением системы

0,XXt x x

∂Δ ∂Δ ∂+ − Δ =

∂ ∂ ∂ (1.3)

где X – правая часть системы (1.2). С этой це-лью подставим 1Δ в систему (1.3) и получим равенства

2 2 3

2 2 2

3 (1 3 ) 6 ( ) cos(1 3 ) 1 3

x x x y x tx x

− + − −⋅ +

+ +

3

2 2 2 2 2

4 2 3 3

2 2 2

2 3

2 2 2 2 2

1 1 6 cos1 cos 0,1 3 1 3 (1 3 ) 1 3(6 15 )(1 3 ) 18 ( ) cos

(1 3 ) 1 33 1 6 cos1 cos 0.

1 3 1 3 (1 3 ) 1 3

x t y xtx x x x

xy x x x y x tx x

x x t y xtx x x x

− −⎛ ⎞+ − − ⋅ =⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠− + − −

⋅ ++ +

−⎛ ⎞+ − − ⋅ =⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

Преобразуем левые части обоих равенств и убе-димся в их справедливости:


О совпадении отражающих функций квазипериодической и периодической дифференциальных систем


(

)

2 3

2 2 2 3

2 3

2 2 2 3

4 3 6 32 3

6 4 2 4

3 6 ( )cos cos(1 3 ) (1 3 )

3 6 ( )cos cos 0,(1 3 ) (1 3 )

cos 6 15 18 45 18(1 3 )

18 9 (1 3 ) 6 6 0.

x x y xt tx x

x x y xt tx x

t xy x x y x x yx

x x x xy x

− −− +

+ +

−+ + ≡

+ +

− + − − ++

+ + + − + ≡

Теперь докажем, что

3 2 2

2 2 2

sin 3 3 3 sin,1 3 1 3

Tx y t x x y x t

x x⎛ ⎞+ − + −

Δ = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

является решением системы (1.3). Для этого под-ставим 2Δ в систему (1.3):

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

3 2 2

2 2 2

cos 1 3 6 ( sin ) cos1 3 (1 3 ) 1 3

1 11 cos1 3 1 3

6 cos sin 0,(1 3 ) 1 3

3 cos (9 6 6 sin )(1 3 )1 3 (1 3 )

6 (3 3 3 sin ) cos(1 3 ) 1 3

3

t x x x y t tx x x

tx x

x t x y tx x

x t x xy x t xx x

x x x y x t tx x

− + − + −+ ⋅ +

+ + +

⎛ ⎞− −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠− + −

− ⋅ =+ +

⎛− + − ++ −⎜+ +⎝

⎞+ −− ⋅ +⎟+ +⎠

+2

2 2

2 2 2

11 cos1 3 1 36 cos sin 0.

(1 3 ) 1 3

x tx x

x t x y tx x

⎛ ⎞− −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+ −

− ⋅ =+ +

Преобразовываем левые части обоих ра-венств и убеждаемся в их справедливости:

2 2 2 2 3

2 2 2 2 3

2 22

2 2 2 3

4 3 3 4 3

3 2

cos cos 6 ( sin ) cos1 3 (1 3 ) (1 3 )cos cos 6 ( sin ) cos 0,

1 3 (1 3 ) (1 3 )3 cos 3 cos cos (9 61 3 1 3 (1 3 )

6 sin 27 18 18 sin 18 1818 sin 3

t t x x y t tx x x

t t x x y t tx x x

x t x t t x xyx x x

x t x x y x t x x yx t x

+ −− + − +

+ + ++ −

+ − + ≡+ + +

− + + + −+ + +

− + + − − − +

+ − 4 29 6 6 6 sin ) 0.x x xy x t− − − + ≡

Таким образом, доказано, что 1Δ и 2Δ яв-ляются решениями дифференциальной системы (1.3). Тогда из [7] следует, что дифференциальные системы (1.1) и (1.2) эквивалентны в смысле сов-падения отражающих функций. Следствие. Если непрерывные нечётные функции 1( )a t и 2 ( )a t имеют периоды несоизме-римые с 2 ,π то квазипериодическая дифферен-циальная система (1.1) будет эквивалентна 2π -пе-риодической дифференциальной системе (1.2).

2 Способ проверки эквивалентности ква-зипериодической и периодической дифферен-циальных систем Для дифференциальной системы вида (1.1) можно применить теорему 1.1 определить, будет ли она эквивалентна системе (1.2). Если рассмат-риваемая система записана в другом виде, то применить теорему 1.1 непосредственно нельзя. В качестве примера рассмотрим квазипериоди-ческую дифференциальную систему

()

()

2

3

2

3

cos 1 sin sin 3 sin 31 3

(sin sin 3 ) sin ,

11 1 sin sin 3 sin 31 3

(sin sin 3 ) sin cos .

dx t t t x tdt x

y t t x t

dy t t x tdt x

y t t x t t

= − + ++

+ + −

⎛ ⎞= − − + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ + −

(2.1)

Для того чтобы проверить, можно ли при-вести систему к виду (1.1), воспользуемся алго-ритмом, изложенным в [7].

От правой части дифференциальной систе-мы (2.1) отнимем правую часть дифференциаль-ной системы (1.2) и полученный результат обо-значим (0) :Δ

()

(

)

(0)2

3

2

3

cos sin sin 3 sin 31 3

(sin sin 3 ) sin ,

11 sin sin 3 sin 31 3

(sin sin 3 ) sin cos .

t t t x tx

y t t x t

t t x tx

y t t x t t

⎛Δ = − + +⎜ +⎝

+ + −

⎛ ⎞− − + +⎜ ⎟+⎝ ⎠⎞

+ + − ⎟⎠

Теперь, используя формулу ( ) ( )

( 1) ( )( , ) ,i i

i iXt x Xt x x

+ ∂Δ ∂Δ ∂Δ = + − Δ

∂ ∂ ∂

необходимо построить (1)Δ и (2) .Δ Итак,

(1) 22

2 2

3 2 2

1 (sin sin 3 3 sin cos 3 cos1 3

( sin sin 3 3 cos 3 cos )

( sin sin sin 3 cos 3 cos 3 cos )(sin cos )),

t t t t tx

x t t t t

y t t t t t tx t t

⎛Δ = − +⎜ +⎝

+ − + +

+ − − + + +

+ −

22

2 2

3 2 2

11 (sin sin 3 3 sin cos 3 cos1 3


( sin sin sin 3 cos 3 cos 3 cos )

(sin cos )) ,T

t t t t tx

x t t t t

y t t t t t t

x t t

⎛ ⎞− − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ − + +

+ − − + + +

⎞+ − ⎟

⎠

(2)2

2

1 (4cos sin sin 31 3

2 3 sin cos 3

t t tx

t t

⎛Δ = +⎜ +⎝

+ −

М.С. Белокурский


3

2

2

3

(4cos sin 3 2 3 cos 3 sin )

(4cos sin 3 4sin cos 2 3 cos 3 sin )4 sin cos ),

11 (4cos sin sin 31 3

2 3 sin cos 3


(4cos sin 3 4sin cos 2 3 cos 3 sin )

4 sin cos )

x t t t

y t t t t t tx t t

t t tx

t t

x t t t

y t t t t t t

x t t

− + −

− + + +

+

⎛ ⎞− +⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ −

− + −

− + + +

⎞+ ⎟

⎠.

T

Далее необходимо найти функции 0 ( )b t и

1( ),b t для которых выполняется тождество

(0) (1) (2)0 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0.b t t x b t t x t xΔ + Δ + Δ ≡

В нашем случае это тождество примет вид 0

2

3

212

2 2

3 2 2

2

( ) cos( sin sin 3 sin 3

1 3(sin sin 3 ) sin )

( )(sin sin 3 3 sin cos 3 cos

1 3( sin sin 3 3 cos 3 cos )

( sin sin sin 3 cos

3 cos 3 cos ) (sin cos ))1 (4cos sin sin 3 2

1 3

b t tt t x t

xy t t x t

b tt t t t t

xx t t t t

y t t t t

t t x t t

t t tx

− + +++ + − +

+ − +++ − + +

+ − − + +

+ + − +

+ ++

23 sin cos 3t t −

3


(4cos sin 3 4sin cos 2 3 cos 3 sin )4 sin cos ) 0,

x t t t

y t t t t t tx t t

− + −

− + + +

+ ≡

0 2

3

21 2

1( ) 1 ( sin sin 3 sin 31 3

(sin sin 3 ) sin ) cos1( ) 1 (sin sin 3

1 3

3 sin cos 3 cos

b t t t x tx

y t t x t t

b t t tx

t t t

⎛ ⎞− − + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ + − +

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟+⎝ ⎠

− +

( sin sin 3 3 cos 3 cos )x t t t t+ − + + 2 2( sin sin sin 3 cosy t t t t+ − − + +

3 2 2

2

2

3

3 cos 3 cos ) (sin cos ))11 (4cos sin sin 3

1 3

2 3 sin cos 3


(4cos sin 3 4sin cos

2 3 cos 3 sin ) 4 sin cos ) 0.

t t x t t

t t tx

t t

x t t t

y t t t t

t t x t t

+ + − +

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ −

− + −

− + +

+ + ≡

Сложим имеющиеся равенства и получим

0

3 21

2 2

3 2 2

2

( )( sin sin 3 sin 3 (sin sin 3 )

sin )cos ( )(sin sin 3

3 sin cos 3 cos ( sin sin 3

3 cos 3 cos ) ( sin sin sin 3 cos

3 cos 3 cos ) (sin cos ))

(4cos sin sin 3 2 3 sin cos 3

(4c

b t t t x t y t t

x t t b t t t

t t t x t t

t t y t t t t

t t x t t

t t t t t

x

− + + + −

− + −

− + − +

+ + − − + +

+ + − +

+ + −

−

3

os sin 3 2 3 cos 3 sin )

(4cos sin 3 4sin cos 2 3 cos 3 sin )4 sin cos ) 0.

t t t

y t t t t t tx t t

+ −

− + + +

+ ≡

Приводя подобные слагаемые относительно 0 ,x 3, ,x y x и приравнивая коэффициенты при них к

нулю, имеем 0 1

0 1

1

0

1

( )sin cos ( )cos 2 2sin 2 0,

( )sin 3 cos ( )sin sin 3

3 ( ) cos 3 cos 2 3 sin cos 3

4cos sin 3 0,

( )(sin sin 3 )cos

( )(cos 2 3 cos cos 3 sin sin 3 )

2sin 2 4cos sin 3

2 3 sin cos 3 0,

b t t t b t t t

b t t t b t t t

b t t t t t

t t

b t t t t

b t t t t t t

t t t

t t

− − + =

− +

+ − −

− =

+ +

+ + − −

− − −

− =

− 20 1

1

2

( )sin sin 3 cos ( )sin sin 3

3 ( ) cos 3 sin cos 4cos sin sin 3

2 3 sin cos 3 0.

b t t t t b t t t

b t t t t t t t

t t

+ −

− + +

+ =

(2.2)

Из первого уравнения системы (2.2) имеем

0 1cos 2( ) 4 ( ) .

sin costb t b t

t t= −

Подставляем 0 ( )b t во второе уравнение послед-ней системы и находим

2

1 2

2 3 sin cos 3( ) .3 cos 3 cos sin sin 3 cos

t tb tt t t t t

=−

Тогда 3

0 2

2 3 sin cos 3 4sin 3 cos( ) .( 3 cos 3 sin sin 3 cos )cos

t t t tb tt t t t t

−=

−

Найденные 0 ( )b t и 1( )b t удовлетворяют также третьему и четвертому уравнениям системы (2.2).

Далее ищем нечётные функции 1( )tα и

2 ( ),tα которые удовлетворяют тождеству

0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.b t t b t t tα + α +α ≡ Таким образом, получаем уравнение

3

2

2

2 3 cos 3 sin 4sin 3 cos ( )( 3 cos 3 sin sin 3 cos )cos

2 3sin cos 3 ( ) ( ) 0.( 3 cos 3 sin sin 3 cos )cos

t t t t tt t t t t

t t t tt t t t t

−α +

−

+ α +α =−

Можно проверить, что функции

О совпадении отражающих функций квазипериодической и периодической дифференциальных систем


1

2

( ) sin cos ,

( ) sin 3 cos

t t t

t t t

α =

α =

удовлетворяют последнему равенству. Теперь можно составить систему, из кото-рой найдём функции

(1) (2)1 1 1( , , ) ( ( , , ), ( , , ))Tt x y t x y t x yΔ = Δ Δ

и (1) (2)

2 2 2( , , ) ( ( , , ), ( , , )) :Tt x y t x y t x yΔ = Δ Δ (1) (1)1 2

2

3

(2) (2)1 2

2

3

(1) 2 21

(1)2

sin cos sin 3 coscos ( sin sin 3 sin 3

1 3(sin sin 3 ) sin ),

sin cos sin 3 cos11 ( sin sin 3 sin 3

1 3

(sin sin 3 ) sin ) cos ,(cos sin )

( 3 co

t t t tt t t x tx

y t t x t

t t t t

t t x tx

y t t x t tt t

Δ + Δ =

= − + +++ + −

Δ + Δ =

⎛ ⎞= − − + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ + −

Δ − +

+Δ

22

2 2

3 2 2

(2) 2 21

(2)2

2

s 3 cos sin 3 sin )1 (sin sin 3 3 sin cos 3 cos

1 3( sin sin 3 3 cos 3 cos )

( sin sin sin 3 cos

3 cos 3 cos ) (sin cos )),(cos sin )

( 3 cos 3 cos sin 3 sin )11 (s

1 3

t t t t

t t t t txx t t t t

y t t t t

t t x t tt t

t t t t

x

− =

= − +++ − + +

+ − − + +

+ + −

Δ − +

+Δ − =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠2

2 2

3 2 2

in sin 3 3 sin cos 3 cos


( sin sin sin 3 cos

3 cos 3 cos ) (sin cos ))cos .

t t t t t

x t t t t

y t t t t

t t x t t t

− +

+ − + +

+ − − + +

+ + −

Решая эту систему, находим 3 2 5

1 2 2

3 3( , , ) , ,1 3 1 3

Ty x x y xt x y

x x⎛ ⎞− −

Δ = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

2

2 3 2

2 2

( , , )

sin 3 sin 3 3, .1 3 1 3

T

t x y

t x y x t x x yx x

Δ =

⎛ ⎞− + + − + += ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Можно проверить, что найденные функции яв-ляются решениями дифференциальной системы в частных производных (1.3).

Таким образом, дифференциальную систе-му (2.1) можно представить в виде (1.1):

(

)(

)

32

32

cos 1 ( )sin1 3( sin )sin 3 ,

11 1 ( )sin1 3

( sin )sin 3 cos .

dx t y x tdt x

x y t t

dy y x tdt x

x y t t t

= + − ++

+ + −

⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ + −

Следовательно, квазипериодическая дифферен-циальная система (2.1) эквивалентна в смысле совпадения отражающих функций периодиче-ской системе (1.2).


1. Мироненко, В.И. Отражающая функция и классификация периодических дифференциаль-ных систем / В.И. Мироненко// Дифференциаль-ные уравнения. – 1984. – Т. 20, № 9. – С. 1635–1638.

2. Мироненко, В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных урав-нений / В.И. Мироненко. – Мн.: Университет-ское, 1986. – 76 с.

3. Мироненко, В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем / В.И. Мироненко. – Гомель: Мин. Обра-зов. РБ, УО «ГГУ им. Ф. Скорины», 2004. – 196 с.

4. Мироненко, В.И. Возмущения систем, не изменяющие временных симметрий и отображе-ния Пуанкаре / В.И. Мироненко, В.В. Мироненко // Дифференциальные уравнения. – 2008. – Т. 44, № 10. – С. 1347–1352.

5. Musafirov, E.V. Reflecting function and pe-riodic solutions of differential systems with small parameter / E.V. Musafirov // Indian Journal of Ma-thematics. – 2008. – Vol. 50, № 1. – P. 63–76.

6. Мироненко, В.И. Временные симметрии уравнения Риккати / В.И. Мироненко // Пробле-мы физики, математики и техники. – 2010. – № 1 (2). – С. 31–33.

7. Mironenko, V.I. How to construct equivalent differential systems / V.I. Mironenko, V.V. Miro-nenko // Applied Mathematic Letters. – 2009. – Vol. 22. – P. 1356–1359.



© Бузланов А.В., 2015 62

УДК 512.542

КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ С МЕТАНИЛЬПОТЕНТНЫМИ МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ

А.В. Бузланов


FINITE SOLUBLE GROUPS WITH METANILPOTENT MAXIMAL SUBGROUPS

A.V. Buzlanov F. Scorina Gomel State University, Gomel, Belarus

Изучается строение конечной разрешимой группы с двумя максимальными подгруппами, принадлежащими локальной подформации формации всех метанильпотентных групп, одна из которых самонормализуема, а другая нормальна в группе. Ключевые слова: конечная группа, разрешимая группа, максимальная подгруппа, метанильпотентная группа, локаль-ная формация. The structure of a finite soluble group with two maximal subgroups belonging to the local subformation of the formation of all metanilpotent groups, one of which is selfnormalizable and the other is normalizable is studied. Keywords: finite group, soluble group, maximal subgroup, metanilpotent groups, local formation.

Введение В работе [1] изучались конечные разреши-

мые группы с нормальной максимальной под-группой, принадлежащей локальной подформа-ции формации 2N всех метанильпотентных групп. В работе [2] рассматривались конечные разрешимые группы с двумя несопряженными самонормализуемыми максимальными подгруп-пами, принадлежащими локальной подформации формации 2 .N Возникает естественная задача исследования конечной разрешимой группы с двумя максимальными подгруппами, принадле-жащими локальной подформации формации 2 ,N одна из которых самонормализуема, а другая нормальна в группе. Решению этой задачи по-священа настоящая работа.

Рассматриваются только конечные и разре-шимые группы. Обозначения и определения, используемые в работе, можно найти в [3] и [4].

1 Используемые определения и леммы Лемма 1.1. Пусть F – локальная формация,

группа G не принадлежит .F Если 1M и 2M – несопряженные максимальные подгруппы груп-пы G, принадлежащие формации ,F то либо

1( )F G M⊆ , либо 2( )F G M⊆ . Доказательство. Не ограничивая общно-

сти, будем считать, что ( ) 1GΦ = . Предположим, что 1( )F G M⊆/ и 2( )F G M⊆ ./

Так как ( ) 1GΦ = , то по лемме 7.9 из [3] под-группа 1( ) kF G N … N= × × , где 1 kN … N, , – ми-нимальные нормальные подгруппы группы G.

Ввиду максимальности 1M и 2M группа G =

1 2( ) ( )M F G M F G= = . Тогда 1 2[ ] [ ]i jG N M N M= = для некоторых {1 }i j … k, ∈ , , . Если i jN N≠ , то из условий 1iG N M/ ∈ F и 2jG N M/ ∈F сле-дует, что 1 2( )G G N N/ ∩ ∈ ,F а это невозможно по условию. Следовательно, i jN N G= = .F Тог-да 1M и 2M являются F -абнормальными F -под-группами группы G. По теореме 15.1 из [3] под-группы 1M и 2M являются F -проекторами раз-решимой группы G. По теореме 15.3 из [3] под-группы 1M и 2M сопряжены, что противоречит условию.

Лемма 1.2. Пусть F – локальная формация, не F -группа G с единичной подгруппой Фрат-тини имеет максимальную подгруппу M ∈ F и

( )F G M⊆ . Тогда для любой минимальной нор-мальной подгруппы N группы G, содержащейся в G ,F ( )GC N M⊆ .

Доказательство. Так как ( )N G⊆ Φ ,/ то по следствию 8.1.2 из [3] подгруппа N является F -экс-центральной минимальной нормальной подгруп-пой группы G. Так как группа G разрешима, то N есть p-группа для некоторого простого числа p. Следовательно ( ) ( )GG C N f p/ ∈/ для некоторого внутреннего локального экрана f формации .F

Предположим, что ( )GC N M⊆ ./ Тогда ввиду максимальности M имеем ( ) .GC N M G= Так как


Конечные разрешимые группы с метанильпотентными максимальными подгруппами


( )N F G M⊆ ⊆ , то N – минимальная нормальная подгруппа группы M . Поскольку M ∈ ,F то

( ) ( )MM C N f p/ ∈ . Но тогда ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ) ( )G G G

G M

G C N MC N C NM M C N M C N f p

/ = // ∩ = / ∈ .

Полученное противоречие показывает, что ( )GC N M⊆ . Лемма 1.3. Пусть F – локальная формация,

не F -группа G имеет максимальные подгруппы

1M G и 2M G, принадлежащие .F Тогда

1( )F G M⊆ . Доказательство. Не нарушая общности бу-

дем считать, что ( ) 1GΦ = . Предположим, что 1( )F G M G= . Так как

( ) 1GΦ = , то по лемме 7.9 из [3] подгруппа

1( ) kF G N … N= × × , где 1, , kN … N – минимальные нормальные подгруппы группы G. Ввиду мак-симальности подгруппы 1M группа 1iG N M= × для некоторого {1 }i … k∈ , , . Так как группа G разрешима и 1M G, то 1iN G M| |=| : | есть не-которое простое число p. Поскольку iG N/

1M ∈ ,F то iN G= .F По лемме 1.1 подгруппа

2( )F G M⊆ . По лемме 1.2 подгруппа 2( )GC G M⊆ .F Так как 2M G, то 2( )GC G M⊂ .F Группа

( )GC GF является неединичной группой автомор-физмов группы G .F Поскольку G p| |= ,F то по теореме 2.16 из [4] группа ( )GG C G/ F является абелевой. Тогда 2 ( ) ( )G GM C G G C G/ / ,F F отку-да 2M G. Полученное противоречие показыва-ет, что 1( )F G M⊆ .

Следствие 1.3.1. Пусть F – локальная формация, минимальная не F -группа G имеет нормальную максимальную подгруппу, не содер-жащую ( )F G . Тогда группа G нильпотентна.

Доказательство. Пусть 1M – нормальная максимальная подгруппа группы G и 1 ( )M F G G= . Пусть 2M – максимальная подгруппа группы G. Так как G – минимальная не F -группа, то

1M ∈F и 2M ∈ .F Если 2M G, то по лемме 1.3 подгруппа 1( )F G M⊆ , противоречие. Сле-довательно, все максимальные подгруппы груп-пы G нормальны в G. По теореме 3.13 из [4] группа G нильпотентна.

Следствие 1.3.2. В группе Шмидта все нормальные максимальные подгруппы содержат подгруппу Фиттинга этой группы.

Определение 1.1. Неединичную нормальную p -подгруппу T группы G назовем подгруппой

шмидтовского типа в G, если выполняются сле-дующие утверждения:

1) если T неабелева группа, то ( )TΦ = ( )T Z T′= = – подгруппа экспоненты p;

2) если T абелева группа, то она элемен-тарная;

3) если 2p > , то ( )exp T p= , если 2p = , то ( ) 4exp T = ;

4) ( )T T/ Φ – G -главный фактор и ( )TΦ = ( ) ( )T G Z T= ∩Φ ⊆ .

2 Основные результаты Теорема 2.1. Пусть F – локальная подфор-

мация формации 2 ,N не F -группа G с ( ) 1GΦ = имеет две максимальные подгруппы 1M G и

2M G, принадлежащие .F Если 1 ( )M F G⊇ и

2 ( )M F G⊃ , то для любой минимальной нор-мальной p-подгруппы P группы G, содержащей-ся в G ,F справедливы следующие утверждения:

1) 1( )GC C P M= ⊂ , 1 [ ( )]M F G H= , где 1 H≠ ∈ ,N 1M C/ – нильпотентная p′ -группа, G C/ – ненильпотентная группа;

2) если 1q G M=| : |, то 1

1 1 1

kx xP P P … P−

= × × × , где k q≤ , 1\x G M∈ , 1P – минимальная 1M -до-пустимая подгруппа группы P, причем k q= , если подгруппы 1P и 1

xP не являются 1M -изо-морфными;

3) 2C M⊂ , 2 2[( ) ]pM C M C/ = / 2( ) pM C ′/ , где 2( ) ( )pM C f p′/ ∈ ⊆N для некоторого ло-кального экрана f формации ;F

4) если q p≠ , то G C/ – p′ -группа, 2M C/ – картеровская подгруппа;

5) если q p= , то 2( ) ( ) 1p pM C G C/ = / ≠ есть подгруппа порядка p, 1( )F G C M C/ = / – холловская p′ -подгруппа группы G C/ , G C/ =

2( )( )Q C M C= / / , где Q C/ – r-подгруппа шмид-товского типа в G C/ для некоторого простого числа r p≠ , причем либо ( )Q C G C/ = / ,F если G C/ ⊆ ,/ F либо ( )Q C G C/ = / ,N 2M C/ ∈ ,N если G C/ ∈ .F

Доказательство. По лемме 1.2 подгруппа 1( )GC C P M= ⊆ и 2C M⊆ . Так как 2M G, то

2C M⊂ . Если 1C M= , то 1 2M M⊂ , что проти-воречит максимальности 1M в G. Следователь-но, 1C M⊂ .

Так как 1M G, то по теореме 3.22 из [4]

1( ) ( ) 1M GΦ ≤ Φ = . Следовательно, 1( ) 1MΦ = . По лемме 7.9 из [3] подгруппа ( )F G дополняема

А.В. Бузланов


в 1M , т. е. 1 [ ( )]M F G H= . Если 1 ( )M F G= , то по условию 1 2M M⊂ , что противоречит макси-мальности 1M в G. Следовательно, 1H ≠ . По-скольку 2

1M ∈ ⊆ ,F N то 1M ∈ .N N Так как

1M G, то 1M GN и поэтому 1 ( )M F G⊆ .N Тогда 1 ( )H M F G/ ∈ .N

Так как ( ) 1GΦ = , то подгруппа ( )F G абе-лева. Поскольку ( )P F G⊆ , то ( ) ( )GF G C P⊆ . Из условия 1 ( )M F G/ ∈N следует, что

1 1( ( )) ( ( ))M C M F G C F G/ / / / ∈ .N По лемме 3.9 из [3] группа G C/ не имеет не-единичных нормальных p-подгрупп. Если R C/ – силовская p-подгруппа группы 1M C/ , то из

1R C M C G C/ / / следует, что R C G C/ / . Значит, 1R C/ = , т. е. 1M C/ – нильпотентная p′ -группа. Если G C/ ∈ ,N то 2M C G C/ / , откуда 2M G, что невозможно. Следовательно, G C/ ∈ ./ N Утверждение 1) доказано.

Пусть 1q G M=| : | . Так как 1C M⊂ , то по

теореме 1 из [1] подгруппа 1

1 1 1

kx xP P P … P−

= × × × , где k q≤ , 1\x G M∈ , 1P – минимальная 1M -до-пустимая подгруппа группы P. По лемме 1 из [1] формация F имеет локальный N -экран f . Группа G C/ действует точно и неприводимо на p-группе P, имеет нормальную подгруппу 1M C/ простого индекса q. Так как 1M C/ ∈ ,F то 1M C/ действует f-стабильно на P. Пусть 1\x G M∈ . Если 1P и 1

xP не являются 1M -изоморфными, то по лемме 2 из [1] k q= . Утверждение 2) доказано.

По лемме 1.4 из [2] подгруппа 2 2[( ) ]pM C M C/ = / 2( ) pM C ′/ ,

где 2( ) ( )pM C f p′/ ∈ ⊆N и утверждение 3) верно. Пусть q p≠ . Так как

1 1

1 1 1

( ) ( )G C M C G C M CM C G M M C q

| / |=| / || / / / |==| / || : |=| / |

и 1M C/ есть p′ -группа по утверждению 1), то G C/ является p′ -группой. По лемме 1.4 из [2]

2M C/ – картеровская p′ -группа. Утверждение 4) верно.

Теперь положим q p= . Тогда G C/ являет-ся pd -группой, 1G C p M C| / |= | / | и p не делит

1M C| / | . Следовательно, ( ) pG C p| / |= . По лем-ме 1.4 из [2] подгруппа 2( ) ( )p pM C G C/ = / и

2( )( )G C F G C M C/ = / / . Так как 1M C G C/ / ,

1M C/ ∈N по утверждению 1), то ( )F G C/ =

1M C= / – холловская p′ -подгруппа группы G C/ .

По лемме 1.5 из [2] группа 2( )( )G C Q C M C/ = / / , где Q C/ есть r-подгруппа шмидтовского типа в G C/ для некоторого простого числа r p≠ , причем либо ( )Q C G C/ = / ,F если G C/ ∈ ,/ F ли-бо ( )Q C G C/ = / ,N 2M C/ ∈ ,N если G C/ ∈ .F Утверждение 5) выполняется. Теорема доказана.

Теорема 2.2. Пусть F – локальная подфор-мация формации 2 ,N не F -группа G с ( ) 1GΦ = имеет две максимальные подгруппы 1M G и

2M G, принадлежащие .F Если 2( )F G M G= , то 2[ ]G G M= ,F где GF – минимальная нор-мальная подгруппа группы G, 1 [ ( )]M F G H= , где H ∈N и выполняется одно из следующих условий:

1) 1( )GC C G M= = ,F 1[ ]( )G G M/F – группа Шмидта, 1( )mp q≡ и m – наименьшее натураль-ное число с таким свойством, где mp G=| |,F

1q G M=| : |;

2) 1C M⊂ , 1

1 1 1

kx xG P P … P−

= × × × ,F где 1 k q≤ ≤ ,

1\x G M∈ , 1P – минимальная 1M -допустимая подгруппа группы GF и выполняются следующие утверждения:

2.1) если подгруппа 1P циклическая, 1rP p| |=

и 1( ) 1r M C,| / | = , то G C/ абелева тогда и толь-ко тогда, когда подгруппы 1P и 1

xP 1M -изо-морфны;

2.2) если подгруппа 1P циклическая,

1( ) 1r M C,| / | = и G C/ неабелева, то k q= ; 2.3) если G C/ абелева, то либо 1( )rp q≡ и

1P G= F или k q= , либо 1( )rp q≡ ,/ 2 1[ ]( )P G M/ – группа Шмидта, причем минимальная x< > -до-пустимая подгруппа 2P порядка tp совпадает с GF тогда и только тогда, когда r t| .

Доказательство. Так как ( ) 1GΦ = , то по лемме 7.9 из [3] подгруппа 1( ) kF G N … N= × × , где 1 kN … N, , – минимальные нормальные под-группы группы G. Из условия 2( )F G M G= , ввиду максимальности подгруппы 2M следует, что 2[ ]iG N M= для некоторого {1 }i … k∈ , , . По-скольку 2iG N M/ ∈ ,F то iN G= F и 2[ ]G G M= ,F где GF – минимальная нормальная подгруппа группы G.

По лемме 1.3 1( )F G M⊆ .Так как 1M G, то по теореме 3.22 из [4] подгруппа

1( ) ( ) 1M GΦ ⊆Φ = . Следовательно, 1( ) 1MΦ = и по лемме 7.9 из [3] подгруппа F(G) дополняема в 1M , т. е. 1 [ ( )]M F G H= для некоторой подгруппы H

Конечные разрешимые группы с метанильпотентными максимальными подгруппами


группы 1M . Поскольку 21M ∈ ⊆ ,F N то

1M ∈ .N N Так как 1M G, то 1M GN и поэто-му 1 ( )M F G⊆ .N Тогда 1 ( )H M F G/ ∈ .N

По лемме 1.2 подгруппа 1( )GC C G M= ⊆ .F Возможны два случая.

Первый случай. Подгруппа 1C M= . Тогда группа 1G M/ действует на группе GF точно и неприводимо. Так как 1G M q| / |= для некоторо-го простого числа q, mG p| |=F для некоторого простого числа p, то по лемме 3.9 из [3] q p≠ и нетрудно заметить, что 1[ ]( )G G M/F – группа Шмидта. По лемме 4.1. из [3] 1( )mp q≡ и m – наименьшее натуральное число с таким свойством.

Второй случай. Подгруппа 1C M⊂ . Тогда группа G C/ действует точно и неприводимо на p-группе C ,F имеет неединичную F -подгруппу

1M C/ индекса q. Так как F – локальная под-формация формации 2 ,N то по лемме 1 из [1] F имеет локальный N -экран f . Поскольку

1( )G F G M⊆ ⊆ ,F то 1M C/ есть f-стабильная группа автоморфизмов группы G .F По лемме 2 из [1]

1

1 1 1

kx xG P P … P−

= × × × ,F где 1 k q≤ ≤ ,

1\x G M∈ , 1P – минимальная 1M -допустимая подгруппа группы G .F

Если 1P – циклическая группа, 1rP p| |= и

1( ) 1r M C,| / | = , то по лемме 4 из [1] группа G C/ абелева тогда и только тогда, когда под-группы 1P и 1

xP являются 1M -изоморфными, т. е. выполняется утверждение 2.1). Если G C/ неабелева, то по утверждению 2.1) подгруппы 1P и 1

xP не являются 1M -изоморфными. Тогда по лемме 2 из [1] k q= , т. е. выполняется утвер-ждение 2.2).

Если группа G C/ абелева и 1( )rp q≡ , то по лемме 3 из [1] либо 1P G= ,F либо k q= . При условии 1( )rp q≡/ по лемме 3 из [1] 2 1[ ]( )P G M/ – группа Шмидта, где 2P – минимальная x< > -до-пустимая подгруппа группы G .F Если 2

tP p| |= , то 2P G= F тогда и только тогда, когда r t| . Вы-полняется утверждение 2.3). Теорема доказана.

Следствие 2.2.1. Пусть F – формация всех сверхразрешимых групп, несверхразрешимая группа G с ( ) 1GΦ = имеет две сверхразрешимые

максимальные подгруппы 1M G и 2M G. Если 2( )F G M G= , то 2[ ]G G M= ,F где GF – минимальная нормальная подгруппа группы G, подгруппа 1 [ ( )]M F G H= , где H ∈ ,N и выпол-няется одно из следующих условий:

1) 1

1 1 1

qx xG P P … P−

= × × × ,F где 1P – минималь-ная 1M -допустимая подгруппа группы G ,F

1\x G M∈ , 1q G M=| : |; 2) 1[ ]( )G G M/F – группа Шмидта. Доказательство. Так как GF является F –

эксцентральным главным фактором G, то по лемме 5.9 из [3] 1m > , если mG p| |=F для неко-торого простого числа p. Поскольку

1 1( )P G F G M⊆ ⊆ ⊆ ∈ ,F F то 1P – F -центральный главный фактор группы

1M и по лемме 5.9 из [3] 1P p| |= . Если 1( )GC C G M= = ,F то по теореме 2.2

1[ ]( )G G M/F – группа Шмидта. Если же 1C M⊂ , то по утверждению 2.2) теоремы 2.2 G =F

1

1 1 1

qx xP P … P−

= × × × , если группа C G/ неабелева. В случае, когда G C/ абелева, из утверждения 2.3) теоремы 2.2 следует, что либо 1( )p q≡ и

1

1 1 1

qx xG P P … P−

= × × × ,F так как 1P G⊂ ,F либо 1( )p q≡/ и 1[ ]( )G G M/F – группа Шмидта.


1. Бузланов, А.В. Конечные разрешимые группы с нормальной максимальной метаниль-потентной подгруппой / А.В. Бузланов // Вопро-сы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. Рес-публики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.] – Гомель. – 1995. – Вып. 8. – С. 22–30.

2. Бузланов, А.В. Конечные разрешимые группы с несопряженными метанильпотентными максимальными подгруппами / А.В. Бузланов // Проблемы физики, математики и техники. – 2011. – № 2 (7) – С. 52–57.

3. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. – М.: Наука. – 1978. – 272 с.

4. Монахов, В.С. Введение в теорию конеч-ных групп и их классов: учебное пособие / В.С. Монахов. – Мн.: Вышэйшая школа. – 2006. – 207 с.



© Васильев В.А., 2015 66

УДК 512.542

О ΦU -ГИПЕРЦЕНТРАЛЬНО ВЛОЖЕННЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

В.А. Васильев


ON ΦU -HYPERCENTRALLY EMBEDDED SUBGROUPS OF FINITE GROUPS

V.A. Vasilyev F. Scorina Gomel State University, Gomel, Belarus

Подгруппа M группы G называется модулярной подгруппой в G, если выполняются следующие условия: (1) X M Z X M Z, = ,∩ ∩ для всех X G Z G≤ , ≤ таких, что X Z≤ , и

(2) M Y Z M Y Z, = ,∩ ∩ для всех Y G Z G≤ , ≤ таких, что M Z≤ . Найдены условия ΦU -гиперцентрального вложения подгрупп конечных групп с заданными модулярными примарны-ми подгруппами. Ключевые слова: конечная группа, модулярная подгруппа, силовская p-подгруппа, ΦU -гиперцентр. A subgroup M of a group G is a modular subgroup in G if the following conditions are true: (1) X M Z X M Z, = ,∩ ∩ for all X G Z G≤ , ≤ with X Z≤ , and

(2) M Y Z M Y Z, = ,∩ ∩ for all Y G Z G≤ , ≤ with M Z≤ . Conditions for ΦU -embedding of hypercentral subgroups of finite groups with given modular primary subgroups are found. Keywords: finite group, modular subgroup, Sylow p-subgroup, ΦU -hypercentre.

Введение Все рассматриваемые в данной работе груп-

пы конечны. Напомним, что подгруппа M группы G на-

зывается модулярной подгруппой в G, если вы-полняются следующие условия:

(1) X M Z X M Z, = ,∩ ∩ для всех X G≤ , Z G≤ таких, что X Z≤ , и

(2) M Y Z M Y Z, = ,∩ ∩ для всех Y G≤ , Z G≤ таких, что M Z≤ .

Отметим, что модулярная подгруппа явля-ется модулярным элементом (в смысле Куроша, [1, гл. 2, с. 43]) решетки всех подгрупп группы. Понятие модулярной подгруппы впервые анали-зировалось в работе Р. Шмидта [2] и оказалось полезным в вопросах классификации составных групп. В частности, в монографии Р. Шмидта [1, гл. 5] модулярные подгруппы были использова-ны для получения новых характеризаций раз-личных классов групп.

Мы используем символ U для обозначения класса всех сверхразрешимых групп и N – для обозначения класса всех нильпотентных групп. Символ [ ]A B обозначает полупрямое произве-дение групп A и B, где B – оператор группы A. Главный фактор H K/ группы G называется фраттиниевым при условии ( )H K G K/ ≤ Φ / .

Пусть X – класс групп. Главный фактор H K/ группы G называется X -центральным при условии [ ]( ( ))GH K G C H K/ / / ∈X [3]. Про-изведение всех нормальных подгрупп из G, чьи G-главные факторы являются X -центральными в G называется X -гиперцентром группы G и обозначается ( )Z GX [4, c. 389].

X -гиперцентр существенным образом вли-яет на структуру группы. Например, если в груп-пе G все подгруппы простого порядка или по-рядка 4 содержатся в ( )Z G ,N то G нильпотентна (Н. Ито). Если все такие подгруппы содержатся в

( )Z G ,U то G сверхразрешима (Хупперт, Дерк). Если в группе G все подгруппы простого порядка содержатся в ( )Z G ,U то G разрешима (Гашюц). Отметим также, что если G имеет нормальную подгруппу E такую, что G E/ ∈X и ( )E Z G≤ ,X то G∈ ,X для многих конкретных классов .X

Напомним, что ΦU -гиперцентром [5] груп-пы G называется произведение всех нормальных подгрупп H из G таких, что все нефраттиниевы G-главные факторы группы H имеют простой порядок.

Целью данной работы является доказатель-ство следующей теоремы.


О ΦU -гиперцентрально вложенных подгруппах конечных групп


Теорема. Пусть E – нормальная подгруппа группы G, и p – простой делитель E| | . Предпо-ложим, что силовская p-подгруппа P из E имеет подгруппу D такую, что 1 D P<| |<| | и каждая подгруппа H из P с порядком H D| |=| | и каждая циклическая подгруппа из P порядка 4 (если 2D| |= и P является неабелевой 2-группой), не имеющие p-нильпотентного добавления в G, являются мо-дулярными в G. Тогда справедливы следующие утверждения:

(I) Если ( 1 ) 1p G− ,| | = , то ( ) ( ( ))p pE O E Z G O E′ ′Φ/ ≤ / .

(II) Если ( 1 ) 1p E− ,| | = , то ( ) ( ( ))p pE O E Z G O E′ ′Φ/ ≤ /U .

Мы докажем эту теорему в разделе 2. Ис-пользуемая в статье терминология стандартна и при необходимости мы отсылаем читателя к мо-нографиям [4], [6].

1 Некоторые предварительные результаты Следующие известные свойства модулярных

подгрупп будут использованы в данной работе. Лемма 1.1 [1, c. 201]. Пусть M – модуляр-

ная подгруппа в группе G. Тогда: (1) H M∩ является модулярной подгруп-

пой в H для всех H G≤ ; (2) eсли N G, то MN N/ модулярна в

G N/ ; (3) eсли 1M и 2M модулярные подгруппы в G,

то 1 2M M, так же модулярная подгруппа в G. Лемма 1.2 [1, гл. 5, теорема 5.2.5]. Если под-

группа M модулярна в группе G, то ( )G

G GM M Z G M/ ≤ / .U Лемма 1.3 [5, лемма 2.3]. Пусть ( )Z Z GΦ= X

и N и T – нормальные подгруппы группы G. Тогда: (1) каждый нефраттиниевый G-главный

фактор из Z является X -центральным в G; (2) ( );ZN N Z G NΦ/ ≤ /X (3) если ( )TN N Z G NΦ/ ≤ /X и ( ) 1T N| |,| | = ,

тогда T Z≤ . Лемма 1.4. Пусть N – нормальная элемен-

тарная абелева подгруппа группы G. Предпо-ложим, что N имеет подгруппу D такую, что 1 D N<| |<| | и каждая подгруппа H из N удов-летворяющая H D| |=| | является модулярной в G. Тогда некоторая максимальная подгруппа из N нормальна в G.

Доказательство. Предположим, что лемма не верна и ( )G N, является контрпримером, для которого G N| | + | | минимально. Тогда N p| |> . По условию леммы каждая подгруппа H из N, удовлетворяющая условию H D| |=| |, модулярна

в G. Предположим, что N является минималь-ной нормальной в G подгруппой. Пусть V – максимальная подгруппа из N . Тогда V моду-лярна в G по лемме 1.1 (3) как произведение некоторых модулярных в G подгрупп из N . По лемме 1.2 получаем 1 ( 1)GV V V Z G/ = / ≤ / .U Но тогда 1 ( )V N Z G≠ ≤ .∩ U Так как ( )Z G G,U то

( )N Z G≤ .U Получили противоречие с тем, что N p| |≠ , где p – простое число. Предположим

теперь, что N не является минимальной нор-мальной в G подгруппой. Пусть R – минималь-ная нормальная в G подгруппа, входящая в N . Тогда условие леммы выполняется для ( )G R N R/ , / и поэтому в силу выбора ( )G N, существует такая максимальная подгруппа M R/ из N R/ , что M R/ нормальна в G R/ . Но тогда M – такая максимальная подгруппа из N , что M нормальна в G. Получили противо-речие с выбором ( )G N, , которое завершает до-казательство леммы.

Лемма 1.5. Пусть F – насыщенная форма-ция, содержащая все нильпотентные группы, и пусть G – группа с разрешимым F -корадикалом P G= .F Предположим, что каждая максималь-ная подгруппа из G, не содержащая P, принад-лежит .F Тогда P является p-группой для не-которого простого числа p. Более того, если каждая циклическая подгруппа из P простого порядка или порядка 4 (если 2p = и P неабеле-ва), не имеющая сверхразрешимого добавления в G, является модулярной в G, то ( )P P p| / Φ |= .

Доказательство. Согласно [6, VI, теорема 24.2] P G= F является p-группой для некоторого простого числа p и верны следующие утвер-ждения:

(1) ( )P P/ Φ является G-главным фактором из P;

(2) P является группой экспоненты p или экспоненты 4 (если 2p = и P неабелева). Предположим, что каждая циклическая подгруп-па из P простого порядка или порядка 4 (если

2p = и P неабелева), не имеющая сверхразре-шимого добавления в G, является модулярной подгруппой в G. Пусть ( )PΦ = Φ , X / Φ – под-группа простого порядка из P / Φ, \x X∈ Φ и L x= . Тогда L p| |= или 4L| |= . Поэтому L либо имеет сверхразрешимое добавление T в G, либо является модулярной подгруппой в G. В первом случае мы можем предполагать, что T G≠ и поэтому T GΦ ≠ , так как ( )GΦ ≤ Φ . С другой стороны LT G= и поэтому

( )( ) ( )( )T L T X GΦ / Φ Φ / Φ = Φ / Φ / Φ = / Φ.



Значит, G T p| / Φ : Φ / Φ |= и поэтому ( )P P p| / Φ |= ,

так как ( )( )G P T/ Φ = / Φ Φ / Φ . Предположим теперь, что L модулярная в G подгруппа. Тогда

( ) ( ) ( )L P P X PΦ / Φ = / Φ является модулярной в ( )G P/ Φ подгруппой по лемме 1.1 (2). Теперь

согласно (1) и по лемме 1.4 заключаем, что ( )P P p| / Φ |= . Лемма 1.6 [7, теорема 1.4]. Пусть H K/ –

p-главный фактор группы G. H K p| / |= тогда и только тогда, когда

( ) ( )G GG C H K Aut H K/ / / является абелевой группой экспоненты, делящей

1p − . Лемма 1.7 [8]. Пусть E – нормальная под-

группа группы G, P – силовская 2-подгруппа из E с 4P| |> . Предположим, что каждая под-группа H из P порядка 4, не имеющая 2-ниль-потентного добавления в G, является модуляр-ной в G. Тогда 2 2( ) ( ( ))E O E Z G O E′ ′∞/ ≤ / .

Лемма 1.8 [5, лемма 2.10]. Пусть G – груп-па, p – наименьший простой делитель G| | и P – нециклическая силовская p-подгруппа из G. Пусть E – нормальная неединичная подгруппа из G, содержащаяся в P. Если либо каждая мак-симальная подгруппа из P имеет p-нильпо-тентное добавление в G, либо каждая макси-мальная подгруппа из E имеет p-нильпотентное добавление в G, то G p-нильпотентна.

2 Доказательство основной теоремы Предположим, что теорема неверна и рас-

смотрим контрпример ( )G E, , для которого про-изведение G E| || | минимально.

(1) ( ) 1pO E′ = . Предположим, что ( ) 1pO E′ ≠ . Легко пока-

зать, что по лемме 1.1 (2) условие теоремы вы-полняется для ( ( ) ( ))p pG O E E O E′ ′/ , / . Следова-тельно, по выбору ( )G E, теорема верна для ( ( ) ( ))p pG O E E O E′ ′/ , / , и значит, для ( )G E, . По-лучили противоречие с выбором ( )G E, .

(2) Если E G≠ , то E P= . Предположим, что E G≠ . По лемме 1.1(1)

условие теоремы остается верным для ( )E E, , поэтому E является p-сверхразрешимой по выбо-ру ( )G E, . Но так как по условию ( 1 ) 1p E− ,| | = , то E является p-нильпотентной группой. Но со-гласно (1), ( ) 1pO E′ = . Значит, E P= .

(3) ( ) 1pO G′ = . Предположим, что ( ) 1pV O G′= ≠ . Тогда со-

гласно (1) и (2), E P= . По лемме 1.1 (2) условие

теоремы остается верным для ( )G V EV V/ , / . Значит, теорема верна для ( )G V EV V/ , / по вы-бору ( )G E, . Теперь согласно (1) и по лемме 1.3 (3) мы заключаем, что теорема верна для ( )G E, , что противоречит выбору ( )G E, .

(4) D p| |> . Предположим, что D p| |= . Сначала пока-

жем, что G не имеет циклического главного фак-тора вида E V/ . Предположим, что это не так. Тогда V не является циклической группой, по-этому V| | – не простое число. Пусть pV – си-ловская p-подгруппа из V. Предположим, что

pV p| |= . Так как ( 1 ) 1p E− ,| | = , то V p-нильпо-тентна. Но так как ( )pO V char V′ , то

( ) ( ) 1p pO V O E′ ′≤ = . Значит, V p| |= . Получили противоречие с выбо-ром V . Поэтому pV p| |> . Следовательно, усло-вие теоремы остается верным для пары ( )G V, , что влечет ( )V Z GΦ≤ U по выбору ( )G E, . Значит,

( )E Z GΦ≤ .U Если ( 1 ) 1p G− ,| | = , то из этого сле-дует, что ( )E Z GΦ≤ . Это противоречие показы-вает, что G не имеет циклического главного фак-тора вида E V/ .

Cначала предположим, что ( 1 ) 1p G− ,| | = . Тогда G не имеет p-замкнутую подгруппу Шмид-та вида [ ]p qH H H= , где pH E≤ . Действитель-но, по лемме 1.1 (1) каждая подгруппа из H по-рядка p и порядка 4 (если pH является неабе-левой 2-группой), не имеющая p-нильпотентного добавления в G, является модулярной в H. Но по лемме 1.5, ( )p pH H p| / Φ |= , что ввиду леммы 1.6 противоречит условию ( 1 ) 1p G− ,| | = . Так как каждая не p-нильпотентная группа имеет p-замкнутую группу Шмидта [9, теорема IV, 5.4], то G E≠ . Значит, согласно (2), E P= и

( )Gx C P∈ для любого p′ -элемента x из G. Действительно, если ( )Gx C P∈ ,/ то [ ]H P x= не является p-нильпотентной группой. Значит, H имеет p-замкнутую группу Шмидта [ ]p qA A . По лемме 1.1 (1) каждая подгруппа из H порядка p и порядка 4 (если pA является неабелевой

2-группой), не имеющая p-нильпотентного добав-ления в G, является модулярной в H. Но тогда по лемме 1.5 ( )p pA A p| / Φ |= , что ввиду леммы 1.6 противоречит условию ( 1 ) 1p G− ,| | = . Так как

( ) | элемент ,pO G x x p′= −

то ( ) ( )pGO G C P≤ и поэтому ( )GG C P/ – p-груп-

па. Следовательно, ( )P Z G∞≤ . Получили проти-воречие.



Предположим теперь, что p не является наименьшим простым делителем G| | . Тогда

2p > и согласно (2) E P= . Предположим, что некоторая подгруппа H из P с H p| |= имеет p-нильпотентное добавление T в G. Тогда T P∩ – максимальная подгруппа в P, поэтому она нормальна в G. Но тогда из

P T P PT T G T p| : |=| : |=| : |=∩ следует, что E P= имеет циклический G-глав-ный фактор P T P/ .∩

Это противоречие показывает, что каждая подгруппа H из P с H p| |= является моду-лярной в G. Применяем теорему 1.1 из [10] и получаем противоречие c выбором группы G. Значит, D p| |> .

(5) Предположим, что P D p| : |> . Тогда G не имеет нормальной максимальной подгруппы M с G M p| : |= и MP G= .

В противном случае, условие теоремы выпол-няется для ( )G E M, .∩ Следовательно, теорема верна для ( )G E M, ∩ по выбору ( )G E, . С другой стороны, из G-изоморфизма G M E M E/ / ∩ заключаем, что E M E/ ∩ является центральным главным фактором группы G. Значит, теорема верна для ( )G E, . Получили противоречие.

(6) P D p| : |> . Ввиду выбора группы G, это утверждение

вытекает из [11, теорема 1.2]. (7) N D| |≤| | для любой минимальной нор-

мальной подгруппы N из G, содержащейся в P. Предположим, что D N| |<| | . Если некото-

рая подгруппа H из N с порядком H D| |=| | имеем p-нильпотентное добавление T в G, то TN G= и T G≠ . Значит, N T∩ является собст-венной неединичной в N подгруппой потому, что ( )N N HT H N T= = .∩ ∩ Но очевидно, что N T∩ нормальна в G, что противоречит мини-мальности N . Значит, каждая подгруппа H из N с порядком H D| |=| | является модулярной в G и поэтому по лемме 1.4 некоторая макси-мальная подгруппа из N является нормальной в G. Получили противоречие, которое показывает, что утверждение (7) верно.

(8) Если E P= и p – наименьший простой делитель G| |, тогда P является силовской под-группой группы G.

Пусть pG – силовская p-подгруппа из G. Предположим, что pE P G= ≠ и пусть Q – си-ловская q-подгруппа из G, где q p≠ . Тогда

PQ G| |<| | и по лемме 1.1 (1) условие теоремы выполняется для ( )PQ P, . Значит, ( )P Z PQΦ≤ .

Поэтому PQ нильпотентна. Следовательно, ( )GQ C P≤ . Пусть теперь 0 11 tP P … P P= ≤ ≤ ≤ = ,

где 1i iP P+ / – главный фактор группы pG , 0 1 1i … t= , , , − . Тогда 1i iP P+ / – главный фактор

группы G. Поэтому ( )P Z G≤ , что противоречит выбору ( )G E, . Значит, pP G= .

(9) Предположим, что 2p = , 2P D| : |> и некоторая подгруппа H из P порядка 4 имеет 2-нильпотентное добавление T в G. Тогда H не является циклической группой, 4GG T A/ , каждая подгруппа из H порядка 2 не является модулярной в G, и GT является 2-группой.

Ввиду (5), 4G T| : |= . Рассматривая пере-становочное представление GG T/ на правые смежные классы группы GT T/ , можно заметить, что GG T/ изоморфна некоторой подгруппе сим-метрической группы 4S степени 4. Но так как согласно (5) G не имеет подгруппы M с

2G M| : |= , то 4GG T A/ . Отсюда следует, что

G GH HT T/ не является циклической группой. Так как согласно (3) 2 ( ) 1O G′ = , то получаем

2 ( ) 1GO T′ = . Значит, GT является 2-группой. Предположим, что некоторая подгруппа V из H порядка 2 является модулярной в G. Заме-тим, что V ненормальна в G. Действительно, если V нормальна в G, то VT нормальная мак-симальная подгруппа в G, что противоречит (5). Значит, 1GV = и поэтому ( )V Z Z G∞≤ = по лем-ме 1.2. Рассмотрим ряд G GT ZT G≤ ≤ . Ввиду G-изоморфизма G G GZT T Z T Z/ / ∩ заключаем, что ( )G G GZT T Z G T∞/ ≤ / . Легко заметить, что

2G G GP T ZT T| / : / |≤ . Следовательно, порядок силовской 2-подгруппы из ( ) ( )G G GG T ZT T/ / / не превосходит 2. Значит, ( ) ( )G G GG T ZT T/ / / 2-ниль-потентна. Так как ( )G G GZT T Z G T∞/ ≤ / , то GG T/ 2-нильпотентна. Получили противоречие с тем, что 4GG T A/ .

(10) Если P – неабелева 2-группа и 2P D| : |> , то 4D| |> .

Это утверждение следует из леммы 1.7. (11) Если N является абелевой минимальной

нормальной подгруппой из G, содержащейся в E, то условие теоремы остается верным для ( )G N E N/ , / .

Если либо 2p > и N D| |<| |, либо 2p = и 2 N D| |<| |, то, применяя лемму 1.1 (2), получа-ем, что утверждение (11) верно. Ввиду (6)

P D p| : |> и, либо 2p > и N D| |=| |, либо 2p = и { 2}N D D| |∈ | |,| |: . По условию теоремы



каждая подгруппа H из P порядка D| |, не имеющая p-нильпотентного добавления в G, яв-ляется модулярной в G. Кроме того, ввиду ут-верждения (4), D p| |> . Предположим, что

N D| |=| | . Тогда N является нециклической группой и, значит, каждая подгруппа из G, со-держащая N, является нециклической. Пусть N K P≤ ≤ , где K N p| : |= . Так как K – нецик-лическая группа, то она имеет максимальную подгруппу L N≠ . Если как минимум одна из подгрупп L или N имеет p-нильпотентное добав-ление в G, то также и K имеет p-ниль-потентное добавление. В противном случае K LN= является модулярной подгруппой в G, как произведение двух модулярных в G под-групп. Таким образом, если либо 2p > , либо P N/ абелева, то условие теоремы верно для ( )G N E N/ , / по лемме 1.1 (2). Предположим теперь, что P N/ неабелева 2-группа. Тогда P неабелева, поэтому 4D| |> согласно (10). Пусть N K V≤ ≤ , где 4V N| : |= и 2V K| : |= . Пусть

1K – максимальная подгруппа из V такая, что

1V K K= . Предположим, что 1K – циклическая группа. Тогда 1N K , поэтому 1V K N= , что влечет 4N| |= . Но тогда 4D| |= , что противоре-чит (10). Значит, 1K не является циклической группой и, следовательно, как и выше можно показать, что 1K либо модулярна в G, либо име-ет 2-нильпотентное добавление в G. Поэтому каждая подгруппа из P N/ порядка 2 или по-рядка 4, не имеющая p-нильпотентного добав-ления в G N/ , является модулярной в G N/ .

В заключение, предположим, что 2D N| |= | | . Если 2N| |> , то, рассуждая как и выше, можно показать, что каждая подгруппа из P N/ поряд-ка 2 или порядка 4 (если P N/ неабелева), не имеющая 2-нильпотентного добавления в G N/ является модулярной в G N/ . Теперь предполо-жим, что 2N| |= и P N/ неабелева. Тогда P неабелева и 4D| |= , что противоречит (10). Сле-довательно, утверждение (11) верно.

(12) E G= . Предположим, что E P= и пусть N – лю-

бая минимальная нормальная подгруппа из G, содержащаяся в P. Тогда согласно (11) условие теоремы верно для ( )G N E N/ , / . Значит,

( )E N Z G NΦ/ ≤ / ,U ( )N GΦ и N p| |> . По-этому ( ) 1G EΦ = .∩ Следовательно, согласно [6, лемма 7.9], P является прямым произведением некоторых минимальных нормальных подгрупп из G. Ввиду леммы 1.4, P N≠ . Значит, для не-которой минимальной нормальной подгруппы R

из G, содержащейся в P, имеем R N≠ . Тогда согласно [4, гл. А, лемма 9.11],

( )NR N G N/ Φ / . Поэтому R NR N p| |=| / |= , откуда следует, что теорема верна для ( )G E, . Полученное противо-речие показывает, что утверждение (12) верно.

(13) Некоторая максимальная подгруппа из P не имеет p-нильпотентного добавления в G (это следует из леммы 1.8).

(14) E p-разрешима. Согласно (11), необходимо только показать,

что 1GP ≠ . Предположим, что это не так. По условию теоремы каждая подгруппа H из P порядка H D| |=| |, не имеющая p-нильпотент-ного добавления в G, является модулярной. Пусть V P≤ , 1V ≠ и V – модулярная подгруп-па в G. Тогда ( )G GV V Z G V/ ≤ / .U Очевидно, что

1GV = . Значит, ( )V Z G≤ .U Следовательно, 1 ( ) GV P Z G P≠ ≤ ∩ ≤ .U

Получили противоречие. Таким образом, заклю-чаем, что каждая подгруппа H из P порядка

H D| |=| | имеет p-нильпотентное добавление в G и поэтому каждая максимальная подгруппа из P имеет p-нильпотентное добавление в G, что про-тиворечит (13). Отсюда получаем, что утвержде-ние (14) верно.

Заключительное противоречие. Пусть N – минимальная нормальная под-

группа из G. Тогда ввиду (1), (12) и (14), N P≤ . Значит, согласно (11) и по выбору группы G для каждой минимальной нормальной подгруппы N из G фактор-группа G N/ p-нильпотентна. По-этому N p| |> , ( )N GΦ и ( ) ( )pN O G F G= = – единственная минимальная нормальная под-группа в G согласно [4, гл. А, теорема 15.2]. Со-гласно (6) P D p| : |> . По условию теоремы каж-дая подгруппа H из P порядка H D| |=| |, не имеющая p-нильпотентного добавления в G, яв-ляется модулярной. Так как каждая модулярная в G подгруппа из P cодержится в ( )pO G N= , то это влечет, что каждая подгруппа H из P, от-личная от N и удовлетворяющая H D| |=| |, имеет p-нильпотентное добавление в G. Поэтому каждая максимальная подгруппа из P имеет p-нильпотентное добавление в G, что противоре-чит (13). Это противоречие завершает доказа-тельство теоремы.


1. Schmidt, R. Subgroup Lattices of Groups / R. Schmidt. – Berlin etc: Walter de Gruyter, 1994. – 572 p.

2. Schmidt, R. Modulare Untergruppen endli-cher Gruppen / R. Schmidt // J. Ill. Math. – 1969. – Vol. 13. – P. 358–377.



3. Скиба, А.Н. Формации алгебраических систем / А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков. – М.: Нау-ка, 1989. – 256 с.

4. Doerk, K. Finite Soluble Groups / K. Doerk, T. Hawkes; Berlin etc: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p.

5. Shemetkov, L.A. On the ΦX -hypercentre of finite groups / L.A. Shemetkov, A.N. Skiba // J. Al-gebra. – 2009. – Vol. 322. – P. 2106–2117.

6. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. – М.: Наука, 1978. – 272 с.

7. Weinstein, М. Between Nilpotent and Solv-able / H.G. Bray [and others]; edited by M. Wein-stein. – Passaic: Polugonal Publishing House, 1982. – 240 p.

8. Васильев, В.А. Конечные группы с моду-лярными подгруппами порядка 4 / В.А. Васильев // Известия ГГУ им. Ф.Скорины. – 2014. – № 3 (84). – С. 30–34.

9. Huppert, B. Endliche Gruppen I / B. Hup-pert. – Berlin etc: Springer, 1967. – 793 s.

10. Васильев, В.А. Об одном обобщении мо-дулярных подгрупп / В.А. Васильев, А.Н. Скиба // Укр. мат. журн. – 2011. – Т. 63, № 10. – С. 1314–1325.

11. Васильев, В.А. Конечные группы с m-до-бавляемыми максимальными подгруппами си-ловских подгрупп / В.А. Васильев // Известия ГГУ им. Ф.Скорины. – 2011. – № 4 (67). – С. 29–37.



© Гальмак А.М., 2015 72

УДК 512.548

l-АРНЫЕ ПОДГРУППЫ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ l-АРНОЙ ГРУППЫ

А.М. Гальмак

Могилёвский государственный университет продовольствия, Могилёв, Беларусь

l-ARY SUBGROUPS OF GENERAL LINEAR l-ARY GROUP

A.M. Gal'mak Mogilev State University of Food Technologies, Mogilev, Belarus

Изучаются l-арные подгруппы полной линейной l-арной группы. Ключевые слова: полная линейная группа, l-арная группа, вектор-матрица, определитель, вектор-определитель. The l-ary subgroups of general linear l-ary group are studied. Keywords: general linear group, l-ary group, vector-matrice, determinant, vector-determinant.

Введение В работе [1], посвящённой, как видно из её

названия, изучению полиадических групп, Э. Пост исследовал в том числе и полиадические опера-ции, определённые на упорядоченных наборах (M1, …, Mk), все компоненты которых являются невырожденными квадратными матрицами n-го порядка над полем C комплексных чисел. По-нятно, что множество всех таких упорядоченных наборов совпадает с k-ой декартовой степенью

(C)knGL полной линейной группы GLn(C). На

множестве (C)knGL Э. Пост определил (k + 1)-ар-

ную операцию, относительно которой, как он установил [1, с. 332], это множество является (k + 1)-арной группой, названной им полной ли-нейной (k + 1)-арной группой. При k = 1 упоря-доченные наборы матриц Э. Поста – это обыч-ные матрицы, а (k + 1)-арная группа (C)k

nGL совпадает с полной линейной группой GLn(C). Полная линейная (k + 1)-арная группа Э. По-ста является частным случаем l-арной группы < ( ),k

n PGL [ ]l, σ, k > с l-арной операцией [ ]l, σ, k, где k ≥ 2, l ≥ 2, σ – любая подстановка множества {1, 2, …, k}, P – произвольное ассоциативное ком-мутативное кольцо с единицей. Эта l-арная груп-па впервые была определена в [2]. Для каждой подгруппы H полной линейной группы GLn(P) в l-арной группе < ( ),k

n PGL [ ]l, σ, k > имеется l-арная подгруппа < Hk, [ ]l, σ, k >. Возникает естествен-ный вопрос: существуют ли в l-арной группе < ( ),k

n PGL [ ]l, σ, k > другие l-арные подгруппы? В статье получен положительный ответа на этот вопрос и приведены многочисленные примеры таких l-арных подгрупп.

1 Предварительные сведения Вектор-матрицей размера (m1 × n1, …, mk × nk)

над кольцом P называется [3, определение 1]

всякий упорядоченный набор A = (A1, …, Ak) матриц A1, …, Ak размеров m1 × n1, …, mk × nk с элементами из P. Вектор-матрица, у которой все компоненты A1, …, Ak – квадратные матрицы одного и того же порядка n называется [3] квад-ратной вектор-матрицей порядка n. Для обозна-чения множества всех k-компонентных квадрат-ных вектор-матриц порядка n над P используется символ Mn(k, P). Символ Sk используется для обозначения симметрической группы на k сим-волах.

Определение 1.1 [4]. Пусть A – группоид, k ≥ 2, l ≥ 2, σ – подстановка из Sk. Определим на Ak вначале бинарную операцию

x σ

y = (x1, x2, …, xk) σ

(y1, y2, …, yk) = = (x1yσ(1), x2yσ(2), …, xkyσ(k)),

а затем l-арную операцию [x1x2 … xl]l, σ, k =

= x1 σ

(x2 σ

( … (xl–2 σ

(xl–1 σ

xl)) … )).

Понятно, что операция [ ]2, σ, k совпадает с

операцией σ

.

Если σ = (12 … k), то операция σ

совпадает с операцией

x y = (x1, x2, …, xk) (y1, y2, …, yk) =

= (x1y2, x2y3, …, xk–1yk, xky1)

из [5, определения 2.2.3], а операция [ ]l, σ, k – с операцией [ ]l, k из того же определения.

Теорема 1.1 [4]. Пусть A – полугруппа,

xi = (xi1, xi2, …, xik) ∈ Ak, i = 1, 2, …, l.

Тогда [x1x2 … xl]l, σ, k = (y1, y2, …, yk),

где yj = 2 11 2 ( ) ( 1) ( ) ( )l lj j l j l j

x x x x− −σ − σ σ… , j = 1, 2, …, k.


l-Aрные подгруппы полной линейной l-арной группы


Теорема 1.2 [5, теорема 3.6.2]. Если A – группа, σ – подстановка из Sk, удовлетворяющая условию σl = σ, то < Ak, [ ]l, σ, k > – l-арная группа.

Обозначим через GLn(k, P) множество всех k-компонентных квадратных вектор-матриц n-го порядка над ассоциативным коммутативным кольцом P с единицей, у которых все компонен-ты обратимы в кольце Мn(P). Понятно, что мно-жество GLn(k, P) можно определить как множе-ство всех k-компонентных квадратных вектор-матриц n-го порядка над ассоциативным комму-тативным кольцом P с единицей, у которых опре-делитель каждой компоненты обратим в кольце P.

Ясно, что GLn(k, P) совпадает с декартовой степенью ( ) ( )n n

k

P P×…×GL GL полной линей-

ной группы GLn(P). Так как GLn(P) – группа с операцией умножения матриц, то, ввиду теоремы 1.2, верна

Теорема 1.3 [2]. Если подстановка σ ∈ Sk удовлетворяет условию σl = σ, то

< GLn(k, P), [ ]l, σ, k > – l-арная группа. В частности,

< GLn(k, P), [ ]k + 1, (12…k), k > – (k + 1)-арная группа.

l-Арную группу < GLn(k, P), [ ]l, σ, k > по ана-логии с бинарным случаем естественно называть полной линейной l-арной группой, соответст-вующей данным k и σ.

Пост рассматривал [1] частный случай l-ар-ной группы < GLn(k, P), [ ]l, σ, k > при l = k + 1, σ = (12 … k), P = C – поле комплексных чисел.

Определение 1.2 [6]. Пусть P – ассоциатив-ное коммутативное кольцо с единицей. Вектор-ным определителем или вектор-определителем вектор-матрицы A = (A1, …, Ak), у которой все компоненты A1, …, Ak являются квадратными матрицами над P, называется упорядоченный набор detA = (detA1, …, detAk) ∈ Pk определите-лей detA1, …, detAk матриц-компонент.

Теорема 1.4 [6]. Пусть Ai = (Ai1, …, Aik), i = 1, …, l

– k-компонентные вектор-матрицы, у которых для любого j ∈ {1, …, k} компоненты

A1j, A2σ(j), …, 2 1( 1) ( ) ( ),l ll j l j

A A− −− σ σ

– квадратные матрицы одного и того же по-рядка. Тогда

det[A1 … Al]l, σ, k = [detA1 … detAl]l, σ, k. (1.1) Теорема 1.5 [6]. Пусть подстановка σ ∈ Sk

удовлетворяет условию σl = σ, A = (A1, …, Ak) – произвольный элемент l-арной группы

< GLn( k, P), [ ]l, σ, k >. Тогда:

detA[–1] = (detA)[–1], (1.2) где в левой части присутствует косой элемент для А в < GLn( k, P), [ ]l, σ, k >, а правая часть яв-ляется косым элементом для элемента detA l-арной группы < P∗k, [ ]l, σ, k >.

2 l-арные подгруппы полной линейной l-ар-ной группы, определяемые подгруппами полной линейной группы

Если подстановка σ ∈ Sk удовлетворяет условию σl = σ, H – подгруппа группы G, то согласно теореме 1.2, < Hk, [ ]l, σ, k > – l-арная под-группа l-арной группы < Gk, [ ]l, σ, k >. Поэтому для каждой подгруппы H полной линейной груп-пы GLn(P) в l-арной группе < GLn(k, P), [ ]l, σ, k > имеется l-арная подгруппа < Hk, [ ]l, σ, k >.

В качестве иллюстрации сказанному можно указать l-арную группу < SLn(k, P), [ ]l, σ, k > всех k-компонентных квадратных вектор-матриц n-го порядка над ассоциативным коммутативным кольцом P с единицей, у которых определители всех компонент равны единице кольца P. При k = 1 l-арная группа < SLn(k, P), [ ]l, σ, k > совпада-ет со специальной линейной группой SLn(P).

Приведём ещё несколько примеров подоб-ного рода.

Выделим во множестве GLn(k, P) следую-щие подмножества:

Dn(k, P) = ={(A1, …, Ak) ∈ GLn(k, P)⎪A1, …, Ak ∈ Dn(P)},

где Dn(P) – множество всех диагональных мат-риц из GLn(P);

Tn(k, P) = = {(A1, …, Ak) ∈ GLn(k, P)⎪A1, …, Ak ∈ Tn(P)},

где Tn(P) – множество всех матриц из GLn(P), у которых угол над главной диагональю нулевой;

UTn(k, P) = = {(A1, …, Ak) ∈ GLn(k, P)⎪A1, …, Ak ∈ UTn(P)},

где UTn(P) – множество всех матриц из GLn(P), у которых угол над главной диагональю нулевой, а все элементы на главной диагонали – единицы;

( , R)n k+GL = = {(A1, …, Ak) ∈ GLn(k, R)⎪A1, …, Ak ∈ (R)},n

+GL где R – множество всех действительных чисел,

(R)n+GL – множество всех матриц из GLn(R), у которых модуль определителя положителен;

1 ( , C)n k± GL = = {(A1,…, Ak) ∈ GLn(k, C)⎪A1, …, Ak ∈ 1 ( C)n

± GL },

где 1 ( C)n± GL – множество всех матриц из GLn(C),

у которых модуль определителя равен единице. Так как

Dn(P), Tn(P), UTn(P), (R),n+GL 1 ( C)n

± GL – группы с операцией умножения матриц, и, кро-ме того,

Dn(k, P) = ( ) ( ) ,n n

k

P P× ×D D…

Tn(k, P) = ( ) ( ) ,n n

k

P P× ×T T…

UTn(k, P) = ( ) ( ) ,n n

k

P P× ×UT UT…



( , R)n k+GL = L (R) L (R) ,n n

k

+ +× ×G G…

1 ( , C)n k± GL = 1 1L (C) L (C),n n

k

± ±× ×G G…

то, применяя теорему 1.2, получим Предложение 2.1. Если подстановка σ ∈ Sk

удовлетворяет условию σl = σ, то следующие универсальные алгебры

< Dn(k, P), [ ]l, σ, k >, < Tn(k, P), [ ]l, σ, k >, < UTn(k, P), [ ]l, σ, k >, < ( , R),n k+GL [ ]l, σ, k >,

< 1 ( , C),n k± GL [ ]l, σ, k > являются l-арными подгруппами l-арной группы < GLn(k, P), [ ]l, σ, k >.

3 l-арные подгруппы полной линейной l-ар-

ной группы, определяемые вектор-определи-телями вектор-матриц

l-Арные подгруппы в l-арной группе < GLn(k, P), [ ]l, σ, k > могут быть определены и без использования теоремы 1.2. Указанной цели можно достичь, например, с помощью вектор-определителей.

Для всякого подмножества F группы P∗k, где P∗ – группа всех обратимых элементов ассо-циативного коммутативного кольца P с едини-цей, определим множество

[F] ( , )n k PGL = {A ∈ GLn(k, P)⎪detA ∈ F}. Теорема 3.1. Если подстановка σ ∈ Sk удов-

летворяет условию σl = σ, то множество [F] ( , )n k PGL является l-арной подгруппой l-арной

группы < GLn(k, P), [ ]l, σ, k > тогда и только то-гда, когда множество F является l-арной под-группой l-арной группы < P*k, [ ]l, σ, k >.

Доказательство. Необходимость. Пусть < [F] ( , ),n k PGL [ ]l, σ, k >

– l-арная группа, и пусть ai = (ai1, …, aik), i = 1, …, l

– произвольные элементы из F. Для каждого aij зафиксируем матрицу Aij, определитель которой равен aij: detAij = aij. В качестве такой матрицы можно выбрать диагональную матрицу, у кото-рой на главной диагонали имеется элемент aij, а все остальные элементы равны единице. Так как

detAij = aij ∈ P*, то Aij ∈ GLn(P). Поэтому, положив

Ai = (Ai1, …, Aik), i = 1, …, l, получим

Ai ∈ GLn(k, P), i = 1, …, l, detAi = (detAi1, …, detAik) = ai ∈ F.

Следовательно, Ai ∈ [F] ( , ).n k PGL

Так как < [F] ( , ),n k PGL [ ]l, σ, k > – l-арная группа, то [A1 … Al]l, σ, k ∈ [F] ( , ),n k PGL

откуда следует det[A1 … Al]l, σ, k ∈ F.

Учитывая равенство (1.1) из теоремы 1.4, полу-чаем

[detA1 … detAl]l, σ, k ∈ F, то есть

[a1 … al]l, σ, k ∈ F. (3.1) Пусть теперь a = (a1, …, ak) – произвольный

элемент из F, A = (A1, …, Ak) – вектор-матрица, у которой

detA1 = a1, …, detAk = ak. Ясно, что

A ∈ GLn(k, P), detA = a ∈ F. Следовательно,

A ∈ [F] ( , ).n k PGL Так как < [F] ( , ),n k PGL [ ]l, σ, k > – l-арная груп-

па, то A[–1] ∈ [F] ( , ),n k PGL

откуда следует detA[–1] ∈ F.

Учитывая равенство (1.2) из теоремы 1.5, полу-чаем

(detA)[–1] ∈ F, то есть

a[–1] ∈ F. (3.2) Так как верны (3.1) и (3.2), то согласно кри-

терию Дёрнте, < F, [ ]l, σ, k > – l-арная подгруппа в < P*k, [ ]l, σ, k >.

Достаточность. Пусть < F, [ ]l, σ, k > – l-ар-ная подгруппа в < P*k, [ ]l, σ, k >, и пусть

A1, …, Al ∈ [F] ( , ).n k PGL Это значит

A1, …, Al ∈ GLn(k, P), detA1, …, detAl ∈ F.

Так как < GLn(k, P), [ ]l, σ, k > – l-арная группа, то

[A1 … Al]l, σ, k ∈ GLn(k, P). (3.3)

А так как < F, [ ]l, σ, k > также является l-арной группой, то

[detA1 … detAl]l, σ, k ∈ F.

Учитывая равенство (1.1) из теоремы 1.4, получим

det[A1 … Al]l, σ, k ∈ F. (3.4) Из (3.3) и (3.4) вытекает

[A1 … Al]l, σ, k ∈ [F] ( , ).n k PGL (3.5) Пусть теперь A ∈ [F] ( , ),n k PGL то есть

A ∈ GLn(k, P), detA ∈ F.

Так как < GLn(k, P), [ ]l, σ, k > и < F, [ ]l, σ, k > – l-ар-ные группы, то

A[–1] ∈ GLn(k, P), (3.6) (detA)[–1] ∈ F.

Учитывая равенство (1.2) из теоремы 1.5, получим detA[–1] ∈ F. (3.7)

Из (3.6) и (3.7) вытекает A[–1] ∈ [F] ( , ).n k PGL (3.8)

Так как верно (3.5) и (3.8), то, согласно кри-терию Дёрнте, < [F] ( , ),n k PGL [ ]l, σ, k > – l-арная под-группа в < GLn(k, P), [ ]l, σ, k >. Теорема доказана.



Если в определении множества [F] ( , )n k PGL вместо l-арной группы < GLn(k, P), [ ]l, σ, k > ис-пользовать l-арную полугруппу < Mn(k, P), [ ]l, σ, k >, то будет справедлива теорема, аналогичная тео-реме 3.1.

Для всякого подмножества F полугруппы Pk, где P – мультипликативная полугруппа ассо-циативного кольца P, определим множество

[F] ( , )n k PM = {A ∈ Mn(k, P)⎪detA ∈ F}. Теорема 3.2. Если подстановка σ ∈ Sk удов-

летворяет условию σl = σ, то множество [F] ( , )n k PM является l-арной подполугруппой l-ар-

ной полугруппы < Mn(k, P), [ ]l, σ, k > тогда и толь-ко тогда, когда множество F является l-арной подполугруппой l-арной полугруппы < Pk, [ ]l, σ, k >.

4 Следствия Если Н – подгруппа группы P*, подстановка

σ ∈ Sk удовлетворяет условию σl = σ, то по тео-реме 1.2 < F = Hk, [ ]l, σ, k > – l-арная подгруппа l-арной группы < P*k, [ ]l, σ, k >. Поэтому из теоре-мы 3.1 вытекает

Следствие 4.1. Если подстановка σ ∈ Sk удовлетворяет условию σl = σ, множество H яв-ляется подгруппой группы P*, то

< [ ] ( , ),kH

n k PGL [ ]l, σ, k > – l-арная подгруппа l-арной группы

< GLn(k, P), [ ]l, σ, k >. Замечание 4.1. Ясно, что

SLn(k, P) = [F] ( , ),n k PGL F = Hk, H = {1}.

Покажем, что в < GLn(k, P), [ ]l, σ, k > суще-ствуют l-арные подгруппы вида

< [ ] ( , )kH

n k PGL , [ ]l, σ, k > такие, что H не является подгруппой в группе P*. Для этого заметим, что всякий идемпотент l-ар-ной группы является ее l-арной подгруппой. По-этому, полагая в теореме 3.1 F = {а}, где a – идем-потент l-арной группы < P*, [ ]l, σ, k >, получим

Следствие 4.2. Если подстановка σ ∈ Sk удовлетворяет условию σl = σ, a – идемпотент l-арной группы < P*k, [ ]l, σ, k >, то

< [{ ] ( , )n k Pa}GL , [ ]l, σ, k > – l-арная подгруппа l-арной группы

< GLn(k, P), [ ]l, σ, k >. Согласно [5, следствие 2.11.8] множество

всех идемпотентов тернарной группы < R*2, [ ]3, (12), 2 >

совпадает с множеством *1, R ,a a

a⎧ ⎫⎛ ⎞ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

а множество всех идемпотентов 5-арной группы < R*2, [ ]5, (12), 2 > совпадает с множеством

* *1 1, , .a a R a a Ra a

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ − ∈⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∪

Поэтому, полагая в следствии 4.2 P = R, l = 3, k = 2, σ = (12), получим

Следствие 4.3. Для любого отличного от нуля действительного числа a множество

1,

(2, R)a

an

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦GL всех двухкомпонентных вектор-

матриц A = (A1, A2) над R порядка n, для кото-

рых detA = 1, ,aa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

то есть

detA1 = a, detA2 = 1 ,а

является тернарной подгруппой полной линейной тернарной группы < GLn(2, R), [ ]3, (12), 2 >.

Полагая в следствии 4.2 P = R, l = 5, k = 2, σ = (12), получим

Следствие 4.4. Для любого a ∈ R* следую-щие множества являются 5-арными подгруппа-ми полной линейной 5-арной группы

< GLn(2, R), [ ]5, (12), 2 >:

1) множество 1,

(2, R)a

an

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦GL всех двух-

компонентных вектор-матриц A = (A1, A2) над R порядка n, у которых

detA1 = a, detA2 = 1 ;а

2) множество 1,

(2, R)a

an

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞−⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦GL всех двух-

компонентных вектор-матриц A = (A1, A2) над R порядка n, у которых

detA1 = a, detA2 = – 1 .а

В силу следствий 4.3 и 4.4, множество [{( 1, 1)}] (2, R)n

− −GL всех двухкомпонентных вектор-матриц A = (A1, A2) над R порядка n, для которых

detA1 = – 1, detA2 = – 1,

является тернарной подгруппой в тернарной группе < GLn(2, R), [ ]3, (12), 2 >, а также 5-арной подгруппой в 5-арной группе

< GLn(2, R), [ ]5, (12), 2 >. При этом множество {– 1} не является подгруп-пой группы R*.

Согласно [5, теорема 2.12.5], множество всех идемпотентов (k + 1)-арной группы

< R*k, [ ]k+1, (12 … k), k > совпадает с множеством

{(a1, a2, …, ak) ⎪a1, a2, …, ak ∈ R*, a1a2 … ak = 1}.

Поэтому, полагая в следствии 4.2 P = R, l = k + 1, σ = (12 … k), получим

Следствие 4.5. Для любых a1, a2, …, ak ∈ R та-ких, что a1a2…ak = 1, множество 1[{( , , )}] ( , R)ka a

n kGL … всех k-компонентных вектор-матриц A = (A1,…,Ak) над R порядка n, у которых

detA1 = a1, …, detAk = ak,

является (k + 1)-арной подгруппой полной линейной (k + 1)-арной группы < GLn(k, R), [ ]k+1, (12 … k), k >.



Согласно следствию 4.5, если k – чётное, то множество

[{( 1, , 1)}]

( , R)kn k− −

GL…

всех k-компонентных вектор-матриц A = (A1,…,Ak) над R порядка n, для которых

detA1 = – 1, …, detAk = – 1,

является (k + 1)-арной подгруппой в (k + 1)-арной группе < GLn(k, R), [ ]k+1, (12 … k), k >. При этом мно-жество {– 1} не является подгруппой группы R*.

Используя [5, следствие 2.2.9], с помощью следствия 4.2 можно находить полиадические подгруппы полной линейной (sk + 1)-арной группы GLn(k, С) над полем комплексных чисел. Сделаем это для k = 2, s = 1, 2, 3, 4. При этом для любых a, b ∈ R, таких что a2 + b2 ≠ 0 будем для сокращения записей использовать обозначения

x = 2 2, ,a iba iba b−⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

y = 2 2, ,a iba iba b− +⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

z = 2 2, ,b iaa iba b+⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

u = 2 2, ;b iаa iba b− −⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

v = 2 2

1 3, ,2 2

a iba ib ia b

⎛ ⎞⎛ ⎞−+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠

w = 2 2

1 3, .2 2

a iba ib ia b

⎛ ⎞⎛ ⎞−+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Следствие 4.6. Для любых a, b ∈ R таких, что a2 + b2 ≠ 0 множество [{x}] (2, C)nGL всех 2-компонентных вектор-матриц A = (A1, A2) над C порядка n, у которых

detA1 = a + ib, detA2 = 2 2 ,a iba b−+

является тернарной подгруппой полной линейной тернарной группы < GLn(2, C), [ ]3, (12), 2 >.

Следствие 4.7. Для любых a, b ∈ R таких, что a2 + b2 ≠ 0 в полной линейной 5-арной группе < GLn(2, C), [ ]5, (12), 2 > имеются следующие 5-ар-ные подгруппы:

1) 5-арная подгруппа < [{x}] (2, C),nGL [ ]5, (12), 2 >

всех 2-компонентных вектор-матриц A = (A1, A2) порядка n, у которых

detA1 = a + ib, detA2 = 2 2 ;a iba b−+

2) 5-арная подгруппа < [{y}] (2, C)nGL , [ ]5, (12), 2 >


detA1 = a + ib, detA2 = 2 2 .a iba b− +

+


1) 7-арная подгруппа < [{x}] (2,C),nGL [ ]7, (12), 2 >



2) 7-арная подгруппа < [{v}] (2,C),nGL [ ]7, (12), 2 >


detA1 = a + ib, detA2 = 2 2

1 3 ;2 2

a ib ia b

⎛ ⎞−− +⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

3) 7-арная подгруппа < [{w}] (2,C),nGL [ ]7, (12), 2 >


detA1 = a + ib, detA2 = 2 2

1 3 .2 2

a ib ia b

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠


1) 9-арная подгруппа < [{x}] (2,C),nGL [ ]9, (12), 2 >



2) 9-арная подгруппа < [{y}] (2,C),nGL [ ]9, (12), 2 >


detA1 = a + ib, detA2 = 2 2 ;a iba b− +

+

3) 9-арная подгруппа < [{z}] (2,C),nGL [ ]9, (12), 2 >


detA1 = a + ib, detA2 = 2 2 ;b iaa b++

4) 9-арная подгруппа < [{u}] (2,C),nGL [ ]9, (12), 2 >


detA1 = a + ib, detA2 = 2 2 .b iаa b− −+

В силу следствий 4.6–4.9, множество [{x}] (2, C)nGL = [{( 1, 1)}] (2, C)n

− −GL

всех двухкомпонентных вектор-матриц A = (A1, A2) над С порядка n, для которых

detA1 = – 1, detA2 = – 1, является тернарной подгруппой в тернарной группе < GLn(2, C), [ ]3, (12), 2 >, 5-арной подгруппой



в 5-арной группе < GLn(2, C), [ ]5, (12), 2 >, 7-арной подгруппой в 7-арной группе < GLn(2, C), [ ]7, (12), 2 >, а также 9-арной подгруппой в 9-арной группе < GLn(2, C), [ ]9, (12), 2 >. При этом множе-ство {– 1} не является подгруппой группы C*.

Полагая в y из следствий 4.7 и 4.9 вначале a = 0, b = 1, а затем a = 0, b = – 1, видим, что множества

[{( , )}] (2, C),i inGL [{( , )}] (2, C)i i

n− −GL

всех двухкомпонентных вектор-матриц A = (A1, A2) над С порядка n, для которых соответственно

detA1 = i, detA2 = i, detA1 = – i, detA2 = – i,

являются 5-арными подгруппами в 5-арной группе < GLn(2, C), [ ]5, (12), 2 >, а также 9-арными подгруппами в 9-арной группе < GLn(2, C), [ ]9, (12), 2 >. При этом множества {i} и {– i} не яв-ляются подгруппами группы C*.

Полагая в z из следствия 4.9 a = b = 2 ,2

видим, что множество 2 2 2 2,

2 2 2 2 (2, C)i i

n

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦GL всех двухкомпонентных вектор-матриц A = (A1, A2) над С порядка n, для которых

detA1 = 2 2 ,2 2

i+ detA2 = 2 2 ,2 2

i+

является 9-арной подгруппой в 9-арной группе вектор-матриц < GLn(2, C), [ ]9, (12), 2 >. При этом

множество 2 22 2

i⎧ ⎫⎪ ⎪+⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

не является подгруппой

группы C*.

ЛИТЕРАТУРА 1. Post, E.L. Polyadic groups / E.L. Post //

Trans. Amer. Math. Soc. – 1940. – Vol. 48, № 2. – P. 208–350.

2. Гальмак, А.М. Транспонированные век-тор-матрицы / А.М. Гальмак // Проблемы физи-ки, математики и техники. – 2011. – № 1 (6). – С. 1–5.

3. Гальмак, А.М. Вектор-матрицы / А.М. Галь-мак // Веснiк МДУ iм. А.А. Куляшова. – 2011. – № 1 (37), серия B. – С. 30–37.

4. Гальмак, А.М. Многоместные ассоциа-тивные операции на декартовых степенях / А.М. Гальмак // Весцi НАН Беларусi. – 2008. – № 3. – С. 28–34.

5. Гальмак, А.М. Многоместные операции на декартовых степенях / А.М. Гальмак. – Минск: Изд. центр БГУ, 2009. – 265 с.

6. Гальмак, А.М. Вектор-определители и оп-ределители вектор-матриц / А.М. Гальмак // Про-блемы физики, математики и техники. – 2011. – № 2 (7). – С. 58–64.



© Каморников С.Ф., 2015 78

УДК 512.542

О РЕШЕТКЕ ВСЕХ РАЗРЕШИМЫХ РЕГУЛЯРНЫХ ТРАНЗИТИВНЫХ ПОДГРУППОВЫХ ФУНКТОРОВ

С.Ф. Каморников

Международный университет «МИТСО», Гомельский филиал, Гомель, Беларусь

ON THE LATTICE OF ALL SOLVABLE REGULAR TRANSITIVE SUBGROUP FUNCTORS

S.F. Kamornikov Gomel Branch of International University «МIТSО», Gomel, Belarus

Изучаются свойства решетки R T(S) всех разрешимых регулярных транзитивных подгрупповых функторов. Вводится понятие θ -субнормального подгруппового функтора. Доказывается, что множество SUB(S) всех θ -субнормальных подгрупповых функторов образует подрешетку и идеал решетки R T(S). Исследуется связь решеток R T(S) и SUB(S). В частности, доказывается существование такой конгруэнции ,Ψ определенной на решетке R T ,(S) что ре-шетки R T Ψ(S) / и SUB(S) изоморфны. Ключевые слова: конечная разрешимая группа, подгрупповой функтор, регулярный транзитивный подгрупповой функтор, решетка, конгруэнция, изоморфизм решеток. The properties of the lattice R T(S) of all regular transitive subgroup functors are investigated. The notion of θ -subnormal subgroup functor is introduced. It is proved that the set SUB(S) of all θ -subnormal subgroup functors is a sublattice and ideal of the lattice R T(S). The connection of lattices R T(S) and SUB(S) is investigated. The existence of a congruence Ψ de-fined on R T(S) such that the lattices R T Ψ(S) / and SUB(S) are isomorphic, in particular, is proved. Keywords: finite solvable group, subgroup functor, regular transitive subgroup functor, lattice, congruence, isomorphism of lattices.

Введение Отображение ,θ сопоставляющее каждой группе G некоторую непустую систему ( )Gθ ее подгрупп, называется подгрупповым функтором, если для любого изоморфизма ϕ группы G вы-

полняется равенство ( )( ) ( ).G Gϕ ϕθ θ=

Подгрупповой функтор θ называется регу-лярным, если для любого эпиморфизма

: A Bϕ → имеют место включения

( )( ) ( ) ,A Bϕ

θ θ⊆ ( )( ) ( )-1

B Aϕ

θ θ⊆

и, кроме того, ( )G Gθ∈ для любой группы .G Регулярность подгруппового функтора θ означа-ет, что для любой нормальной подгруппы N груп-пы G всегда выполняются следующие условия:

1) из ( )H Gθ∈ следует ( )/ / ;HN N G Nθ∈

2) из ( )/ /H N G Nθ∈ следует ( ).H Gθ∈

Если же из ( )K Hθ∈ и ( )H Gθ∈ всегда

следует ( ) ,K Gθ∈ то подгрупповой функтор θ называется транзитивным. Понятие подгруппового функтора введено А.Н. Скибой в монографии [1]. Здесь же под но-мером 1.2.12 сформулирован следующий вопрос:

Можно ли классифицировать все регуляр-ные транзитивные подгрупповые функторы? Практика показывает, что данный вопрос является достаточно сложным. Эта сложность, прежде всего, обусловлена отсутствием четкого понимания того, что значит классифицировать подгрупповые функторы. Вряд ли здесь речь может идти о некотором «перечислении» под-групповых функторов или формулировке общего алгоритма их конструирования: известные при-меры регулярных транзитивных подгрупповых функторов весьма разнородны и поэтому трудно надеяться, что их можно уложить в некоторую единую схему. Другой подход, согласующийся с теорией формальной логики, заключается в разбиении объема понятия «подгрупповой функтор» на не-которые классы с их последующим описанием. Некоторая модифицированная версия такого подхода, апеллирующая к теории решеток, в случае разрешимых подгрупповых функторов рассматривается в данной работе. Здесь исследу-ется строение решетки R T(S) всех разрешимых регулярных подгрупповых функторов. В частно-сти, изучаются классы специальной конгруэнции

,Ψ определенной на решетке R T ,(S) и устанав-ливается связь этих классов с обобщенно суб-нормальными функторами.


О решетке всех разрешимых регулярных транзитивных подгрупповых функторов


Отметим, что регулярные транзитивные подгрупповые функторы интересны не только как самостоятельные объекты исследования. За-служивают внимания и широкие прикладные возможности отдельных серий таких функторов для изучения подгруппового строения групп и их канонических подгрупп. Прежде всего, речь идет о функторах, выделяющих F -субнормальные (Картер, Хоукс [2]) и F -достижимые (Кегель [3]) подгруппы, а также об F -субабнормальных функторах и функторах, которые выделяют в группах подгруппы, содержащие F -проекторы (см., книги [4]–[5]). При этом названные под-групповые функторы в теории классов опреде-лили и стимулировали развитие многих интерес-ных объектов (гиперрадикальных и сверхради-кальных формаций, F -проекторов, F -нормали-заторов, решеточных формаций и др.), которые активно исследуются в настоящее время (см., [6]–[7], а также обзор [8]). 1 Решетка R T(S) В работе рассматриваются только конечные разрешимые группы и разрешимые подгруппо-вые функторы, т. е. функторы, определенные на классе S всех разрешимых конечных групп. Используемые определения и обозначения тео-рии конечных групп и подгрупповых функторов стандартны, их можно найти в [4] и [9]. Что ка-сается терминологии теории решеток, то мы от-сылаем читателей к книге [10]. Обозначим через R T(S) множество всех разрешимых регулярных транзитивных подгруп-повых функторов и введем на этом множестве частичный порядок ,≤ полагая, что отношение

1 2θ θ≤ имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы G справедливо включение

1 2( ) ( ).G Gθ θ⊆ Для совокупности { | }i i Iθ ∈ из R T(S) оп-ределим пересечение i I iθ θ∈= ∩ следующим об-разом:

( ) ( )i

i IG Gθ θ

∈= ∩ для любой разрешимой

группы .G Простая проверка показывает, что θ – регулярный транзитивный подгрупповой функтор. Этот функтор является точной нижней гранью множества { | }i i Iθ ∈ в R T .(S) Таким образом, R T(S) – полная решетка, единицей которой является подгрупповой функтор ,S1 выделяющий в каждой группе все ее подгруппы, а нулем – тривиальный подгрупповой функтор 0 ,S выделяющий в каждой группе G только саму группу G. 2 Идеал SUB(S) Пусть θ – подгрупповой функтор. Подгруп-па H группы G называется θ -субнормальной,

если либо ,H G= либо существует такая макси-мальная цепь 0 1 ... ,nH H H H G= ⊂ ⊂ ⊂ = что

-1 ( )i iH Hθ∈ для всех 1,2,..., .i n= Если θ – подгрупповой функтор, то множе-ство всех θ -субнормальных подгрупп группы G будем обозначать sub ( )Gθ . Доказательство следующих трех лемм осу-ществляется простой проверкой. Лемма 2.1. Если θ – подгрупповой функ-тор, то функция

sub : sub ( )G Gθ θ является подгрупповым функтором. Далее для подгруппового функтора θ функ-тор sub : sub ( )G Gθ θ будем обозначать sub .θ Лемма 2.2. Пусть θ – регулярный подгруп-повой функтор. Тогда θ -субнормальный под-групповой функтор subθ является регулярным и транзитивным. Напомним, что непустое подмножество I решетки L называется идеалом, если из ,x y I∈ и z x≤ всегда следует, что sup{ , }x y I∈ и .z I∈ Лемма 2.3. Множество

SUB sub | R T }θ θ ∈(S)={ (S) является подрешеткой и идеалом решетки RT .(S) В дальнейшем через P будем обозначать класс всех примитивных групп. Напомним, что группа называется примитивной, если она обла-дает максимальной подгруппой с единичным ядром. Эта максимальная подгруппа называется примитиватором группы. В [11] показано, что если G – разрешимая примитивная группа и M – ее примитиватор, то G обладает единственной минимальной нор-мальной подгруппой ,N которая дополняется подгруппой .M Кроме того, любой примитива-тор группы G сопряжен с подгруппой .M Пусть X – некоторый (в том числе и пус-той) подкласс класса .P Следуя [12], такой под-класс будем называть примитивным классом. Обозначим через ( )Cl P множество всех подклассов класса .P На этом множестве естест-венным образом введем отношение частичного порядка: 1 2≤X X тогда и только тогда, когда

1 2 .⊆X X Тогда ( )Cl P является полной решет-кой, в которой

1 2 1 2sup{ , } ,= ∪X X X X 1 2 1 2inf{ , } .= ∩X X X X Минимальным элементом (нулем) этой ре-шетки является пустой класс .∅ В качестве ее максимального элемента (единицы) выступает класс .P Понятно, что решетка ( )Cl P является бесконечно дистрибутивной. Кроме того, любой элемент ( )Cl∈X P обладает дополнением .P \ X Поэтому решетка ( )Cl P является булевой.

С.Ф. Каморников


Если θ – ненулевой разрешимый регуляр-ный транзитивный подгрупповой функтор, то через ( )θP обозначим класс всех тех примитив-ных групп ,A у которых примитиваторы при-надлежат ( ).Aθ Если θ – нулевой функтор, то полагаем ( ) .θ = ∅P Лемма 2.4. Пусть SUBθ ∈ (S) и H – подгруп-па группы G. Тогда и только тогда ( ) ,H Gθ∈ когда существует такая максимальная цепь

0 1 ... ,nH H H H G= ⊂ ⊂ ⊂ = что 1/ Core ( ) ( )

ii H iH H θ− ∈P для всех 1, 2,..., .i n=

Доказательство. Пусть ( ).H Gθ∈ Тогда ввиду определения θ -субнормального подгруп-пового функтора существует такая максимальная цепь 0 1 ... ,nH H H H G= ⊂ ⊂ ⊂ = что ( )-1i iH Hθ∈ для всех 1,2,..., .i n= Так как подгрупповой функтор θ является регулярным, то примитива-тор 1 1/ Core ( )

ii H iH H− − примитивной группы

1/ Core ( )ii H iH H − принадлежит 1( / Core ( )).

ii H iH Hθ −

Это означает, что 1/ Core ( ) ( ).ii H iH H θ− ∈P

Пусть теперь существует такая максималь-ная цепь 0 1 ... ,nH H H H G= ⊂ ⊂ ⊂ = что

1/ Core ( ) ( )ii H iH H θ− ∈P для всех 1,2,..., .i n=

Тогда из определения множества ( )θP следует, что подгруппа 1 1/ Core ( )

ii H iH H− − принадлежит

1( / Core ( )).ii H iH Hθ − Отсюда ввиду регулярности

функтора θ следует, что ( )-1i iH Hθ∈ для всех 1, 2,..., .i n= Так как подгрупповой функтор θ явля-

ется транзитивным, то ( ).H Gθ∈ Лемма доказана. Следующая теорема устанавливает связь между решетками SUB(S) и ( ).Cl P Теорема 2.1. Отображение : ( ),F θ θ→ P со-поставляющее каждому функтору SUBθ ∈ (S) примитивный класс ( ),θP является изоморфиз-мом решеток SUB(S) и ( ).Cl P Доказательство. Пусть θ и τ – произволь-ные элементы из SUB .(S) Тогда ввиду леммы 2.3 inf{ , } SUBθ τ θ τ= ∩ ∈ (S) и sup{ , } SUB .θ τ ∈ (S) Отсюда на основании леммы 2.4 справедливы равенства ( ) ( ) ( )θ τ θ τ∩ = ∩P P P и

(sup{ , }){ ( ) | SUB( ), , }

( ) ).

θ τα α θ α τ α

θ τ

== ∈ ≤ ≤ =

= ∪∩

PP S

P P(

Значит, (inf{ , }) ( ) ( )F θ τ θ τ= ∩P P и (sup{ , })F θ τ ( ) ( ).θ τ= ∪P P Так как отображение

F является биекцией, то F – изоморфизм реше-ток SUB(S) и ( ).Cl P Теорема доказана.

Следствие 2.1. Решетка SUB(S) является булевой. Следствие 2.2. Решетка SUB(S) является атомной и коатомной. Следствие 2.3. Подгрупповой функтор θ является атомом решетки SUB(S) тогда и только тогда, когда ( ) ( )Sθ =P для некоторой примитивной группы S. Следствие 2.4. Подгрупповой функтор θ является коатомом решетки SUB(S) тогда и только тогда, когда ( ) \ ( )Sθ =P P для некото-рой примитивной группы S. Теорема 2.1 в совокупности с леммой 2.4, по сути, определяют ясный алгоритм построения функторов из SUB .(S) Для того, чтобы задать функтор SUBθ ∈ (S) необходимо: 1) выделить класс X всех примитивных групп, примитиваторы которых являются θ -под-группами; 2) выделить в каждой группе G системы всех подгрупп H, для каждой из которых суще-ствует максимальная цепь 0 1 ...H H H= ⊂ ⊂

nH G⊂ = такая, что 1/ Core ( )ii H iH H − ∈X для

всех 1, 2,...,i n= . 3 Связь решеток R T(S) и SUB(S) Очевидно, бинарное отношение

{( , ) | , RT ,sub sub }θ τθ τ θ τΨ = ∈ =(S) , определен-ное на решетке R T(S) рефлексивно, симметрич-но и транзитивно, а потому является эквивалент-ностью. Более того, простая проверка показывает, что эта эквивалентность является конгруэнцией, т. е. из ( , )θ α ∈Ψ и ( , )τ β ∈Ψ следует, что (inf{ , },inf{ , })θ τ α β ∈Ψ и (sup{ , },sup{ , }) .θ τ α β ∈Ψ Поэтому классы [ ] { | ( , ) }θ α α θ= ∈Ψ конгруэн-ции Ψ образуют (в терминологии книги [13]) допустимое разбиение решетки R T(S) и форми-руют ее факторрешетку R T .Ψ(S) / Отметим, что каждый класс [ ]θ конгруэн-ции Ψ является выпуклой подрешеткой решетки R T(S) [10] (подрешетка I решетки L называ-ется выпуклой, если для любых элементов

, ,a b I∈ c L∈ отношение a c b≤ ≤ всегда вле-чет за собой c I∈ ). Минимальным элементом (нулем) класса [ ]θ является элемент sub .θ Таким образом, множество SUB(S) выступает в каче-стве своеобразной «платформы» решетки R T ,(S) на которой расположены классы конгру-энции Ψ (рисунок 3.1). Все эти классы соприка-саются с SUB(S) своими нулевыми элементами, т. е. для любого функтора θ из R T(S) имеет место равенство [ ] SUB sub }.θθ ∩ (S)={

О решетке всех разрешимых регулярных транзитивных подгрупповых функторов


Рисунок 3.1 – Схема строения решетки R T(S) Следующая теорема устанавливает связь между решетками R T(S) и SUB .(S) Теорема 3.1. Отображение, ставящее в соответствие каждому разрешимому регулярно-му транзитивному подгрупповому функтору θ индуцированный им θ -субнормальный подгруппо-вой функтор sub ,θ является эндоморфизмом решетки R T(S) на подрешетку SUB .(S) Ядром этого эндоморфизма является конгруэнция

{( , ) | , RT , sub sub }.θ τθ τ θ τΨ = ∈ =(S) Доказательство. Пусть : [ ]ψ θ θ→ – есте-ственный гомоморфизм решетки R T(S) на фак-торрешетку R T .Ψ(S) / Рассмотрим отображе-ние : [ ] sub ,θω θ → ставящее в соответствие каж-дому классу [ ]θ факторрешетки R T Ψ(S) / его минимальный элемент sub .θ Простая проверка показывает, что ω – изоморфизм решеток R T Ψ(S) / и SUB .(S) Тогда композиция

: [ ] subθω ψ θ θ→ → отображений ω и ψ яв-ляется искомым эндоморфизмом решетки R T(S) на подрешетку SUB(S) (см., например, [10, с. 198]). Остается лишь заметить, что

{( , ) | , RT ,sub sub }θ τθ τ θ τΨ = ∈ =(S) – ядро это-го эндоморфизма. Теорема доказана. Следствие 3.1. Факторрешетка решетки R T(S) по конгруэнции Ψ изоморфна подре-шетке SUB .(S) Следствие 3.2. Факторрешетка решетки R T(S) по конгруэнции Ψ является булевой. Следуя Манну [14], подгруппу H группы G будем называть X-нормальной, если либо ,H G= либо для любого эпиморфизма ϕ группы G та-кого, что ,H Gϕ ϕ≠ в Gϕ найдется собственная нормальная подгруппа, содержащая .H ϕ Пусть θ – отображение, которое ставит в соответствие каждой группе G множество всех ее X-нор-мальных подгрупп. Как отмечено в [14], θ явля-ется регулярным транзитивным подгрупповым функтором. Этот функтор будем называть X-нор-мальным и обозначать через Mann. Отметим, что максимальная подгруппа раз-решимой группы G является X-нормальной в G

тогда и только тогда, когда она нормальна в G. Это означает, что Mannsub sn,= т. е. функторы sn и Mann попадают в один класс [sn] [Mann]= по конгруэнции .Ψ При этом простые примеры показывают, что Mann sn.≠ Отметим еще, что [sn] { RT | sn Mann},θ θ= ∈ ≤ ≤(S) т. е. нулем класса [sn] является субнормальный подгруппо-вой функтор sn, а его единицей – функтор Mann, выделяющий в каждой группе все ее X-нор-мальные подгруппы.

ЛИТЕРАТУРА 1. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Ски-

ба. – Минск: Беларуская навука, 1997. – 240 с. 2. Carter, R. The F -normalisers of a finite

soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. – 1967. – Vol. 5, № 2. – P. 175–202.

3. Kegel, O.H. Untergruppenverbände endli-cher Gruppen, die den Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. – 1978. – Bd. 30, № 3. – S. 225–228.

4. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hawkes. – Berlin – New-York: Walter de Gruy-ter, 1992. – 891 p.


6. Каморников, С.Ф. Критические группы наследственной локальной сверхрадикальной формации / С.Ф. Каморников, В.Н. Тютянов // Проблемы физики, математики и техники. – 2013. – № 2 (15). – С. 66–75. 7. Каморников, С.Ф. Разрешимые гиперра-дикальные формации / С.Ф. Каморников // Про-блемы физики, математики и техники. – 2013. – № 4 (17). – С. 55–58.

8. Каморников, С.Ф. Сверхрадикальные фор-мации / С.Ф. Каморников // Известия Гомельско-го государственного университета им. Ф. Скори-ны. – 2014. – № 3 (84). – С. 62–70. 9. Каморников, С.Ф. Подгрупповые функто-ры и классы конечных групп / С.Ф. Каморников, М.В. Селькин. – Минск: Беларуская навука, 2003. – 256 с.

10. Общая алгебра. Т. 2. / В.А. Артамонов [и др.]. – М.: Наука, 1991. – 480 с.

11. Baer, R. Classes of finite groups and their properties / R. Baer // Illinois J. Math. – 1957. – Vol. 1. – P. 115–187.

12. Каморников, С.Ф. Обобщенные подгруп-пы Фраттини как корадикалы групп / С.Ф. Ка-морников // Мат. заметки. – 2010. – Т. 87, № 3. – С. 402–411.

13. Скорняков, Л.А. Элементы общей алгеб-ры / Л.А. Скорняков. – М.: Наука, 1983. – 272 с.

14. Mann, A. On subgroups of finite soluble groups, III / A. Mann // Israel J. Math. – 1973. – Vol. 16, № 4. – P. 446–451.


Problems of Physics, Mathematics and Technics, № 1 (22), 2015

© Murashka V.I., 2015 82

УДК 512.542

РАЗРЕШИМЫЕ ФОРМАЦИИ С УСЛОВИЕМ ШЕМЕТКОВА

В.И. Мурашко


SOLUBLE FORMATIONS WITH THE SHEMETKOV PROPERTY

V.I. Murashka F. Scorina Gomel State University, Gomel, Belarus

Описаны все насыщенные разрешимые формации ,F у которых все минимальные не F -группы разрешимы. Всякой локальной формации ( )LF f=F такой, что ( ( ))( ) f pf p π=S для всех ( )p∈π F и ( )f p =∅ в противном случае, был

поставлен в соответствие ориентированный граф ( )fΓ ,F без петель, вершинами которого являются простые числа из ( )π ,F и ( )i jp p, – ребро ( )fΓ ,F тогда и только тогда, когда ( ( )).j ip f p∈π С помощью графов такого типа были опи-

саны все наследственные разрешимые формации с условием Шеметкова. Ключевые слова: минимальная простая группа, минимальная не F -группа, наследственная локальная формация, фор-мация с условием Шеметкова, связанный с формацией граф. All saturated soluble formations whose all s-critical groups are soluble were described. With every local formation ( )LF f= ,F such that ( ( ))( ) f pf p π=S for all ( )p∈π F and ( )f p =∅ otherwise, was associated directed graph ( )fΓ ,F without loops

whose vertices are prime numbers from ( )π F and ( )i jp p, is an edge of ( )fΓ ,F if and only if ( ( )).j ip f p∈π With the help

of such kind’s graphs all hereditary soluble formations with the Shemetkov property were described. Keywords: minimal simple group, s-critical group, hereditary local formation, formation with the Shemetkov property, graph associated with formation.

Introduction All considered groups are finite. Recall that S

( )πS is the class of all soluble groups (π -groups). Let F be a class of groups. A group G is called s-critical for F (or minimal non- F -group) if G is not in F but all proper subgroups of G are in .F The set of all s-critical groups for F is denoted by

( ).FM Recall that ( )Gπ is the set of all prime divi-sors of G| | for a group G and ( )π F is the set of all prime divisors of orders of groups from F for a class of groups .F

In 1924 [1] O.Yu. Shmidt described all s-cri-tical groups for N where N is the formation of all nilpotent groups. These groups are called Shmidt groups. In 1951 [2] N. Ito showed that all s-critical groups for the class of p-nilpotent groups are also Shmidt groups. L.A. Shemetkov in the Kourovka Notebook [3] posed the following problem: “Find all local hereditary formations F of finite groups such that every s-critical group for F is either a cyclic group of prime order or a Shmidt group”. Such for-mations are called formations with the Shemetkov property or briefly S -formations.

In the soluble universe this problem was solved in 1984 [4] by V.N. Semenchuk and A.F. Vasil’ev. In particular there was shown that F is a saturated

hereditary S -formation if and only if ( )LF f=F where f is a full local definition of F such that

( ( ))( ) f pf p π=S for all ( )p∈π F and ( )f p = ∅ otherwise. Note that A.N. Skiba in 1990 [5] showed that a hereditary soluble S -formation is saturated.

But in the universe of all groups formations that are S -formations in the soluble universe may not be S -formations. For example let ( )LF f=F where

{2 3 5}( )f p , ,=S for {2 3 5}p∈ , , and ( )f p = ∅ oth-erwise. It is easy to see that the alternating group of degree 5 is s-critical for .F

In the general case the problem was solved in-dependently by A. Ballester-Bolinshes and M.D. Pe-rez-Ramos [6] and S.F. Kamornikov [8]. According to the corollary 2.4.23 [7] a hereditary local forma-tion F is S -formation if and only if

1) ( )LF f=F where f is a full local defini-tion of F such that ( ( ))( ) f pf p π=G for all ( )p∈π F and ( )f p = ∅ otherwise and

2) ( )FM contains only solvable groups. But the second condition for an arbitrary he-

reditary local formation is hard to verify. That is why in [7, p. 117] the following question was posed: “Describe all hereditary local formation F with


Soluble formations with the Shemetkov property


( ) ⊆F SM ”. Theorem A gives the answer for this question in case when F is a soluble formation.

Theorem A. Let F be a local soluble forma-tion. Then ( ) ⊆F SM if and only if F does not contain the following local subformations:

1( ) ( )p LF f=M where p is a prime and

2

2

2,(2 1)( ) (2) (2 1),

\ (2(2 1));

p

p

p

if qf q if q

if q

⎧ =−⎪= ∈π −⎨⎪∅ ∈ π −⎩

A

A

P

2 ( ) ( )p LF f=M where p is an odd prime and

2

2

3 1 3,2

( ) (3) 2,(2) (3 1) \{2},

\ (3(3 1));

p

p

p

if q

f q if qif qif q

⎧ ⎛ ⎞−=⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪= =⎨⎪ ∈π −⎪⎪∅ ∈ π −⎩

A

A

A

P

3 ( ) ( )p LF f=M where p is a prime such that 2 1 0 mod 5p + ≡ and

2

23 30

2

3

1 ,2

(2) ( 1) \{2},( )

( ) 1 0 mod16 2,(3) 1 0 mod16 2,

\ ( );

p if q p

if q pf q

S Z if p and qif p and qif q p p

⎧ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ∈π −⎪= ⎨ , − ≡ =⎪⎪ − ≡ =⎪∅ ∈ π −⎪⎩

A

A

A

QR

P

4 ( )LF f=M where

8 160

3 30

(3) 13,( (2 3) (2 3) ) 3,

( )( ) 2,

{2,3,13};

if qGL SL Z Q SD if q

f qZ S if q

if q

=⎧⎪ , , , , , , =⎪=⎨ , =⎪⎪∅ ∉⎩

A

QRQR

5 ( ) ( )p LF f=M where p is an odd prime and

2

2

(2 1) 2,(4) (2 1)

( )(2) (2 1),

\ (2(2 1)(2 1)).

p

p

p

p p

if qif q

f qif qif q

⎧ − =⎪ ∈π + ,⎪= ⎨

∈π −⎪⎪∅ ∈ π + −⎩

A

A

A

P

In this work a criterion of hereditary soluble formation to be a S -formation only in terms of its local definition is given.

Let Z denote the class of Sylow tower groups. T. Hawkes [9] described all groups G such that G∈/ Z and all proper subgroups and epimorphic images of G belong to .Z In his description he as-sociated with every group G a directed graph whose vertices are elements from ( )Gπ and 1( p , 2 )p is the edge for 1 2 ( )p p G, ∈π if and only if

1 12 ( ( ))p pp G O G′ ,∈ π / . An analogous idea is used for

description of all solvable S -formations.

Let ( )LF f=F be a local hereditary formation where f is a full local definition of F such that

( ( ))( ) f pf p π=S for all ( )p∈π F and ( )f p = ∅ otherwise. Let associate with F directed graph

( )fΓ ,F without loops whose vertices are prime numbers from ( )π F and ( )i jp p, is an edge of

( )fΓ ,F for i jp p≠ if and only if ( ( )).j ip f p∈π For example ( )fΓ ,N is the set of isolated vertices where ( ) pf p = .S All considered graphs are as-sumed to be subgraphs of the full directed graph without loops on .P

Let p be a prime and 1( )pΓ be a graph whose set of vertices is 2(2(2 1))pπ − and edges are (2 )q, for (2 1)pq∈π − and ( 2)q, for 2(2 1)pp∈π − .

Let p be a an odd prime and 2 ( )pΓ be a graph whose set of vertices is 2(3(3 1))pπ − and edges are

(3 )q, for 3 12( )pp −∈π , ( 2)q, for 2(3 1) \{2}pp∈π −

and (2 3), . Let p be a a prime such that 2 1 0 mod 5p + ≡

and 3 ( )pΓ be a graph whose set of vertices is 2( ( 1))p pπ − and edges are ( )p q, for 1

2( )pq −∈π ,

( 2)q, for 2( 1) \{2}q p∈π − and (2 3), . Let 4Γ be a graph whose set of vertices is

{2 3 13}, , and edges are (13 3), , (3,2) and (2,3). Let p be an odd prime and 5 ( )pΓ be a graph

whose set of vertices is 2(2(2 1)(2 1))p pπ + − and edges are (2 )q, for (2 1)pq∈π − and ( 2)q, for

2((2 1)(2 1))p pp∈π + − . Theorem B. Let F be a hereditary soluble for-

mation. Then the following statements are equivalent: (1) F is formation with the Shemetkov property;

(2) ( )LF f=F where f is a full local definition of F such that ( ( ))( ) f pf p π=S for all ( )p∈π F and

( )f p = ∅ otherwise and ( )fΓ ,F does not contain graphs from 1 2 3 4 5{Г ( ) ( ) ( ) ( )}q q q q, Γ , Γ , Γ , Γ as subgraphs.

1 Preliminaries Standard notation and terminology are used. If

necessary it can be found in [7], [10]. For π = ∅ we assume that π = ∅.S

Recall that for a class of group X ( )G H and epimorphism from H onto G= | ∃ ∈QX X

0

1

( ( 1 )

1)i

ni i i

G N G i … n

with G N and N=

= | ∃ = , ,

/ ∈ ∩ =

R X

X

( ).G H and G H= | ∃ ∈ ≤SX X

V.I. Murashka


Class 0= RF F and = QF F is called forma-tion. Function f : { }formations→P is called for-mation function. Formation F is called saturated if from ( )G G/ Φ ∈F it follows that G∈ .F According to the well known Gashutz – Lubeseder – Schmid Theorem saturated formations are exactly local for-mations, i. e. formations ( )LF f=F defined by a formation function f :

( ) (LF f G= | if H K/ is a chief factor of G and ( )p H K∈π / then ( ) ( ))GG C H K f p/ / ∈ .

Let f and g be local definitions of formation .F Then h is also definition of F where ( )h p =

( ) ( )f p g p= ∩ for all primes p. It means that every formation has the minimal local definition. If f is the minimal local definition of F and

( )LF h=H then ⊆F H if and only if ( ) ( )f p h p⊆ for all primes p.

It is known that if f is a local definition of F then F is also a local definition of F where

( ) ( )pF p f p=N for all primes p. This local defini-tion is called full.

Lemma 1.1. Let G be a simple non-abelian group, F be a local formation and f be a local definition of .F Then G∈ F if and only if

( )G f p∈ for all ( )p G∈π . Proof. Follows from the definition of local

formation. Lemma 1.2 [10, p. 272]. Let X be a class of

groups. Then the smallest formation containing X is 0 .XQR

It is easy to see that if G G N, / ∈X then

0 0( { })G N= / .X X\QR QR Note that the formation generated by cyclic group

mZ is the formation ( )mA of all abelian groups of the exponent dividing m.

Lemma 1.3 [13, p. 14]. Let X be a class of groups. The smallest local formation that contains X is ( )LF f where

0( ) ( ( ) )p pf p H O H H′,= / | ∈XQR for ( )p∈π X and ( )f p = ∅ otherwise and f is the minimal local definition of .F

Lemma 1.4 [13, p. 14]. Let X be a class of groups. The smallest local hereditary formation that contains X is ( )LF f where

0( ) ( ( ) )p pf p H O H H′,= / | ∈XSQR for ( )p∈π X and ( )f p = ∅ otherwise and f is the minimal local definition of .F

The following theorems give descriptions of minimal simple groups:

Theorem 1.5. (Thompson [11, p. 190]). All minimal simple non-abelian groups are:

(1) (2 2 )pPSL , where p is a prime; (2) (2 3 )pPSL , where p is an odd prime; (3) (2 )PSL p, where 5p > is a prime and

2 1 0 mod 5;p + ≡ (4) (2 )pSz where p is an odd prime; (5) (3 3)PSL , . Theorem 1.6 (Dickson [11, p. 213]). Any sub-

group of (2 )nPSL p, is isomorphic to one of the following groups.

( )a Elementary abelian p-groups. ( )b Cyclic groups mZ of order m, where m

is a divisor of ( 1)np d± / and ( 1 2)d p= − , . ( )c Dihedral groups of order 2m, where m is

defined in ( )b . ( )d Alternating group 4A if 2p > or 2p =

and 0 mod 2n ≡ . ( )e Symmetric group 4S if 2 1 mod 16np ≡ . ( )f Alternating group 5A if 5p = or

2 1 mod 5np ≡ . ( )g A semi-direct product of an elementary

abelian p -group of order mp and a cyclic group of order k, where k is a divisor of 1mp − and 1np − .

( )h The group (2 )mPSL p, if m is a divisor of n, or the group (2 )mPGL p, if 2m is a divisor of n.

Let (2 2 )pG PSL , be a minimal simple group. Note that subgroups of types (f) and (h) are not proper subgroups of G. Let H N C= be a sub-group of type (g). Then it is straightforward to check that ( )HC N N= .

Theorem 1.7 (Suzuki [12]). Any subgroup of ( )G Sz q is isomorphic to a subgroup of one of the

following groups where 2 pq = . ( )a Frobenius groups of order 2 ( 1)q q − ,

H QK= , Q H , ( )qQ Syl H∈ and K is cyclic of order 1q − .

( )b Dihedral groups of order ( 1)q q − . ( )c Cyclic groups iA , 1 2i = , of orders

1q r± + where 2 2r q= . ( )d ( )i G iB N A= of order 4( 1)q r± + . (e) ( )Sz s if q is a power of s. 2 Main Results 2.1 Proof of the Theorem A Proposition 2.1. Let F be a local formation of

soluble groups. Then all s-critical groups for F are



soluble if and only if all minimal simple non-abelian groups are not s-critical for .F

Proof. Let F be a local formation of soluble groups and G be an unsolvable s-critical group for .F Since F is local formation, ( )G G/ Φ is also s-

critical for .F So we can assume that ( ) 1GΦ = . Now there is the unique minimal normal subgroup N of G. If N G≠ then groups N and G N/ are solu-ble. Hence G is soluble a contradiction. Now G N= . It means that G is a minimal simple non-abelian group.

Let G be a group, F and H be local forma-tions such that ( )G∈ FM and ( )G∈ .HM Then it is clear that ( )G∈ ∩ .FHM It means that for every group G if ( )G∈ FM for some formation F then there is the smallest local formation K such that

( )G∈ .KM Proposition 2.2. Let G be a simple non-abelian

group and 1 0

1

( ) ( ( ) )

( ) ( ) ;p pf p H O H H G

for p G and f p otherwise′,= / | <

∈π = ∅

QR

2 0

2

( ) ( ( ) )

( ) ( ) .p pf p H O H H G

for p G and f p otherwise′,= / | <

∈π = ∅

SQR

Then 1( )LF f and 2( )LF f are the smallest forma-tion and hereditary formation among local forma-tions F with ( )G∈ .FM

Proof. Let 2f f= . According to lemma 1.4 ( )LF f is the smallest local hereditary formation

containing all proper subgroups of G. Let us show that ( )G LF f∈ ./ Assume that

( )G LF f∈ . Then ( )G f p∈ for some ( )p G∈π . It means that ( )G Sϕ is a homomorphic image of a subgroup S of a direct product H of groups

1 nH … H, , from ( ( ) )p pH O H H G′,/ | < .S Without loose of generality one may assume that S is the minimal subgroup with this property. Let iρ be a projection of S on iH . Assume that iS ker ker= ϕ ρ for all 1i … n= , , . Then

i i i

G S kerker ker ker ker ker ker

/ ϕ == ϕ ρ / ϕ ρ / ρ ∩ ϕ

for all 1i … n= , , . Since iker Hρ ≤ , we see iker Sρ = for all 1i … n= , , . A contradiction. Now iker ker Sϕ ρ < for some i. So iker kerρ ⊆ ϕ. It means that G is a a homomorphic image of a subgroup of G, a contra-diction. Thus ( )G∈ .FM

If 1f f= the proof is analogues. Let ( )LF f=F be a local formation of soluble

groups and G be a minimal simple non-abelian group. Let ( )LF h=H be a minimal local formation with ( )G∈ .HM Since ( )G∈ ,SM it is clear that

H is soluble. So ( )G∈ FM if and only if ⊆ .FH Proposition 2.2 gives us the minimal local definition h of .H So it is sufficient to verify that

( ) ( )h p f p⊆ for all primes p. Since all minimal simple non-abelian groups

are well described it is sufficient to calculate h for all this groups. With the help of theorems 1.5, 1.6 and 1.7 we can do that. Corollary 2.3. Let F be a local formation of soluble groups, p be a prime and 1( ) ( )p LF f=M where

2

2

2,(2 1)( ) (2) (2 1),

\ (2(2 1)).

p

p

p

if qf q if q

if q

⎧ =−⎪= ∈π −⎨⎪∅ ∈ π −⎩

A

A

P

Then (2 2 ) ( )pPSL , ∈ FM if and only if 1( )p ⊆ .FM Proof. Let us calculate minimal local formation

F with (2 2 ) ( )pPSL , ∈ .FM It is possible to do this with the help of proposition 2.2. Let (2 2 )pG PSL , . Then G has subgroups of types (a), (b), (c), (g), (d) and (f) from theorem 1.6. But the last two cases are possible only for 2p = . In this case subgroups of type (g) and (d) coincide and subgroup of type (f) is G itself.

For all ( )q G∈π and subgroups H of types (a) and (b) ( ) 1q qH O H′,/ .

For all subgroups H of type (c) 2 2 ( ) 1H O H′,/ . Now let H be a subgroup of type (c) that is isomor-phic to the dihedral group of order 2(2 1)p + (2(2 1)).p − Then 2( )q qH O H Z′,/ for all

(2 1)pq∈π + ( (2 1)).pq∈π − Let

2 1pH M Z−

where M is an elementary

abelian subgroup of order 2 p be a subgroup of type (g). Then 2 2 2 1

( ) pH O H Z′, −/ and ( ) 1q qH O H′,/

for all (2 1)pq∈π − . The proof of the following two corollaries is analogous. Corollary 2.4. Let F be a local formation of soluble groups, p be an odd prime and

2 ( ) ( )p LF f=M where

2

2

3 1 3,2

( ) (3) 2,(2) (3 1) \{2},

\ (3(3 1)).

p

p

p

if q

f q if qif qif q

⎧ ⎛ ⎞−=⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪= =⎨⎪ ∈π −⎪⎪∅ ∈ π −⎩

A

A

A

P

Then (2 3 ) ( )pPSL , ∈ FM if and only if 2 ( )p ⊆ .FM Corollary 2.5. Let F be a local formation of soluble groups, 5p > be a prime such that

2 1 0 mod 5p + ≡ and 3 ( ) ( )p LF f=M where

V.I. Murashka


2

23 30

2

3

1 ,2

(2) ( 1) \{2},( )

( ) 1 0 16 2,(3) 1 0 16 2,

\ ( ).

p if q p

if q pf q

S Z if p mod and qif p mod and qif q p p

⎧ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ∈π −⎪= ⎨ , − ≡ =⎪⎪ − ≡ =⎪∅ ∈ π −⎪⎩

A

A

A

P

QR

Then (2 ) ( )PSL p, ∈ FM if and only if 3 ( )p ⊆ .FM Corollary 2.6. Let F be a local formation of soluble groups and 4 ( )LF f=M where

8 160

3 30

(3) 13,( (2 3) (2 3) ) 3,

( )( ) 2,

{2,3,13}.

if qGL SL Z Q SD if q

f qZ S if q

if q

=⎧⎪ , , , , , , =⎪=⎨ , =⎪⎪∅ ∉⎩

A

QRQR

Then (3 3) ( )PSL , ∈ FM if and only if 4 ⊆ .M F Proof. Let us calculate minimal local formation

F with (3 3) ( )PSL , ∈ .FM It is possible to do it with the help of proposition 2.2. Let (3 3)G PSL , . Then G has 3 families of isomorphic maximal sub-groups 13 3Z Z , the symmetric group 4S of degree 4 and the general affine group 9(2 3) (2 3)GA E GL, = , where 9 (2 3) 9 3 3( )GAE C E Z Z,= × is a minimal nor-mal subgroup of (2 3)GA , .

13 3 13 13 13 3 3

13 3 3 3 13 3

( )( ) 1,

Z Z O Z Z ZZ Z O Z Z

′,

′,

/ ,

/

4 2 2 4 3

4 3 3 4 2

( )( ) ,

S O S SS O S Z

′,

′,

/ ,

/

2 2 3

3 3

(2 3) ( (2 3))(2 3) ( (2 3)) (2 3).GA O GA S

GA O GA GL′,

′,

, / , ,

, / , ,

All maximal subgroups of (2 3)GA , are isomorphic to (2 3)GL , or to 9 iE M , 1 2 3i = , , , where iM is a maximal subgroup of (2 3)GL , . So

8 2 31 16 1M SD a x a x xax a= , | = = , =

is the semidihedral group of order 16; 2 (2 3)M SL , ;

3 12M D is the dihedral group of order 12.

2 2 3

3 3 2

(2 3) ( (2 3))(2 3) ( (2 3)) ,

GL O GL SGL O GL Z

′,

′,

, / , ,

, / ,

9 1 2 2 9 1

9 1 3 3 9 1 1 16

( ) 1( ) ,

E M O E ME M O E M M SD

′,

′,

/ ,

/

9 2 2 2 9 2 3

9 2 3 3 9 2 2

( )( ) (2 3),

E M O E M ZE M O E M M SL

′,

′,

/ ,

/ ,

9 3 2 2 9 3

9 3 3 3 9 3 2 2

( ) 1( ) .

E M O E ME M O E M Z Z

′,

′,

/ ,

/ ×

Among maximal subgroups of 9 16E SD there are

9 8E Z , 9 8E D and 9E Q where 8D and Q

are the dihedral group of order 8 and the quaternion group.

9 8 3 3 9 8 8

9 8 3 3 9 8 8

9 3 3 9

( )( )( ) .

E Z O E Z ZE D O E D D

E Q O E Q Q

′,

′,

′,

/ ,

/ ,

/

Note that 216 8SD a D/ . It is not difficult to cal-

culate that for all other subgroups H , ( )p pH O H′,/ is the homomorphic image of ( )p pK O K′,/ for some considered subgroup K. It means the generating sets of (2) (3)f f, and (3)f have been calculated.

Corollary 2.7. Let F be a local formation of soluble groups, p be an odd prime and 5 ( )p =M

( )LF f= where

2

2

(2 1) 2,(4) (2 1)

( )(2) (2 1),

\ (2(2 1)(2 1)).

p

p

p

p p

if qif q

f qif qif q

⎧ − =⎪ ∈π + ,⎪= ⎨

∈π −⎪⎪∅ ∈ π + −⎩

A

A

A

P

Then (2 ) ( )pSz ∈M F if and only if 5 ( )p ⊆ .M F Proof. Let us calculate minimal local formation

F with (2 ) ( )pSz ∈ .M F One can do it with the help of proposition 2.2. Let (2 )pG Sz . Since p is a prime it is necessary to consider only four cases from theorem 1.7.

Let H be a Frobenius group of order 22 (2 1)p p − . Then 2 2 2 1

( ) pH O H Z′, −/ and ( ) 1q qH O H′,/ for

all (2 1)pq∈π − . Let H be the dihedral group of order 2 (2 1)p p − .

Then 2 2 ( ) 1H O H′,/ and 2( )q qH O H Z′,/ for all

(2 1)pq∈π − . Let H be the cyclic group of order 2 1p r± +

where 2 12 pr += . Then ( ) 1q qH O H′,/ for all ( )q H∈π . Let ( )GB N H= . Then 2 2 ( ) 1B O B′,/ and

4( )q qB O B Z′,/ for all ( ) \{2}q H∈π . Note that 2(2 1 2 1) 1p p+ , − = .

Now theorem A follows from corollaries 2.3–2.7.

2.2 Proof of the theorem B From theorem A follows Proposition 2.8. Let ( )LF f=F be a forma-

tion and ( ( ))( ) f pf p π= .S Then:

1( )pΓ is subgraph of ( )fΓ ,F if and only if (2 2 ) ( )pPSL , ∈ ;M F

2 ( )pΓ is subgraph of ( )fΓ ,F if and only if (2 3 ) ( )pPSL , ∈ ;M F



3 ( )pΓ is subgraph of ( )fΓ ,F if and only if (2 ) ( )PSL p, ∈ ;M F

4Γ is subgraph of ( )fΓ ,F if and only if (3 3) ( )PSL , ∈ ;M F

5 ( )pΓ is subgraph of ( )fΓ ,F if and only if (2 ) ( )pSz ∈ .M F

Let F be a hereditary soluble S -formation. By [5] it is saturated. According to [4] ( )LF f=F where f is a full local definition of F such that

( ( ))( ) f pf p π= .S Assume that Г( )f,F contains any graph from 1 2 3 4 5{ ( ) ( ) ( ) ( )}q q q qΓ ,Γ ,Γ ,Γ ,Γ as sub-graph. According to proposition 2.8 there is a mini-mal simple s-critical for F group. Thus it is not a S -formation. A contradiction.

Assume that ( )fΓ ,F does not contain sub-graphs from 1 2 3 4 5{ ( ) ( ) ( ) ( )}q q q qΓ ,Γ ,Γ ,Γ ,Γ . Let G be a s-critical for F -group with ( ) 1GΦ = . Assume that G is not solvable. Then all proper subgroups of G are soluble. Hence G is a minimal simple group. It follows from proposition 2.8 that ( )fΓ ,F con-tains graph from 1 2 3 4 5{ ( ) ( ) ( ) ( )}q q q qΓ∈ Γ ,Γ ,Γ ,Γ ,Γ that corresponds to G. A contradiction.

REFERENCES

1. Shmidt, O.Yu. Groups all whose subgroups are special / O. Yu. Shmidt // Mat. Sbornik. – 1924. – Vol. 31. – P. 366–372. (In Russian).

2. Ito, N. Note on (LM)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. – 1951. – Vol. 3, № 1–2. – P. 1–6.

3. The Kourovka Notebook: Unsolved Prob-lems in Group Theory, Novosibirsk, 1992.

4. Semenchuk, V.N. Characterization of local formations F by properties of minimal non- F -groups / V.N. Semenchuck, A.F. Vasil’ev // Studies of nor-mal and subgroup structure of finite groups, Nauka i technika. – 1984. – P. 175–181.

5. Skiba, A.N. On a class of formations of finite groups / A.N. Skiba // Dokl. BSSR. – 1994. – Vol. 34, № 11. – P. 982–985. (In Russian).

6. Ballester-Bolinshes, A. On F -critical groups / A. Ballester-Bolinshes, M.D. Perez-Ramos // J. Al-gebra. – 1995. – № 174. – P. 948–958.

7. Kamornikov, S.F. Subgroup’s functors and classes of finite groups / S.F. Kamornikov, M.V. Sel-kin. – Minsk: Belaruskaya nauka, 2003. – 254 p. (In Russian)

8. Kamornikov, S.F. On two problems by L.A. Shemetkov / S.F. Kamornikov // Siberian Ma-thematical Journal. – 1994. – Vol. 35, № 4. – P. 713–721.

9. Hawkes, T. On the class of Sylow tower groups / T. Hawkes // Math. Z. – 1968. – № 105. – P. 393–398.

10. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hawkes. – Berlin – New-York: Walter de Gruy-ter, 1992. – 891 p.

11. Huppert, B. Endlicher gruppen I / B. Hup-pert. – Berlin: Springer, 1967. – 793 p.

12. Suzuki, M. On a class of doubly transitive groups / M. Suzuki // Ann. Math. – 1962. – № 75. – P. 105–145.

13. Skiba, A.N. Algebra of formations / A.N. Ski-ba. – Minsk: Belaruskaya nauka, 1997. – 240 p. (In Russian).



© Тютянов В.Н., 2015 88

УДК 512.542

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С P -СУБНОРМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ ШМИДТА

В.Н. Тютянов

Международный университет «МИТСО», Гомельский филиал, Гомель, Беларусь

FINITE GROUPS WITH P -SUBNORMAL SCHMIDT SUBGROUPS

V.N. Tyutyanov Gomel Branch of International University «МIТSО», Gomel, Belarus

Доказана разрешимость конечной группы, у которой любая подгруппа Шмидта P -субнормальна. Ключевые слова: конечная группа, подгруппа Шмидта, P -субнормальная подгруппа. The solvability of the finite group in which any Schmidt subgroup is P -subnormal, was proved. Keywords: finite group, Schmidt subgroup, P -subnormal subgroup.

Введение Рассматриваются только конечные группы.

В работе [1] Л.С. Казарин определил неабелевы композиционные факторы конечной группы G, которая обладает цепью подгрупп

0 11 nY Y Y G= ⊂ ⊂ ⊂ = , где 1i iY Y −| : | – простое число для всех 1 2i … n= , , , . Эта цепь начинается с единичной подгруппы 0Y . Обобщая данную ситуацию, в работе [2] введено следующее

Определение. Подгруппа H группы G назы-вается P -субнормальной в G (обозначается че-рез H P - sn G ), если либо H G= , либо суще-ствует цепь подгрупп

0 1 1n nH H H H H G−= ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ = такая, что 1i iH H −| : | – простое число для лю-бого 1i … n= , , .

Возникает естественная задача изучения строения групп, у которых любая подгруппа из заданной системы подгрупп является P -субнор-мальной. В работе [2] было изучено строение конечных групп с P -субнормальными силов-скими подгруппами. В частности, установлено, что такие группы дисперсивны по Оре.

Другой важной системой подгрупп группы G является множество всех ее подгрупп Шмидта. Строение подгрупп Шмидта и их вложение в группу G во многом определяет структуру груп-пы G. Отметим, что любая ненильпотентная группа содержит подгруппу Шмидта.

В Коуровской тетради [3] был поставлен вопрос 18.30.

Будет ли конечная группа разрешимой, если все ее подгруппы Шмидта P -субнормальны?

С использованием теоремы о классифика-ции конечных простых неабелевых групп мы докажем следующий результат.

Теорема. Пусть G – конечная группа, у ко-торой любая подгруппа Шмидта P -субнормаль-на в G. Тогда G является разрешимой группой.

Из теоремы следует положительный ответ на вопрос 18.30 [3].

1 Предварительные результаты Используются стандартные обозначения и

терминология, которые можно найти, например, в [4]–[6]. Для удобства приведем некоторые обо-значения. Через ( )Gπ обозначается множество всех различных простых делителей порядка группы G; [ ]G N M= – полупрямое произведе-ние подгрупп N и M группы G N G и

1N M∩ = ; ( )GΦ – подгруппа Фраттини группы G; nR – прямое произведение n сомножителей, каждый из которых изоморфен группе R; если порядок группы G делится на простое число p, то G называют pd-группой; ( )a b, – наибольший общий делитель натуральных чисел a и b. Ко-нечная ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны, называется группой Шмидта. В работе [7] О.Ю. Шмидт ис-следовал строение таких групп. Сведения о группах Шмидта, используемые при доказатель-стве теоремы, можно найти в обзоре [8].

Из теоремы 6 [1] следует, что если единич-ная подгруппа группы G является P -субнор-мальной в G, то простые неабелевы факторы группы G принадлежат списку: 3 (3)SL ; 3 (5)SL ;

2 ( )PSL q для подходящего значения параметра 4q ≥ . Мы несколько уточним данный результат.


Конечные группы с P -субнормальными подгруппами Шмидта


Лемма 1.1. Пусть G – простая неабелева группа и 1 P - sn G. Тогда 3{ (3)G SL∈ ; 3 (5)SL ;

2 (7)PSL ; 2 (11)PSL ; 2 (2 )nSL , где 2 1n p+ = – про-стое число Ферма}.

Доказательство. Из [4] следует, что если 3 (3)G SL≅ или 3 (5)G SL≅ , то 1 P - sn G. Рас-

смотрим случай когда 2 ( )G PSL q≅ . По теореме II.8.27 [5] максимальными подгруппами M про-стого индекса в G могут быть 4A , 4S , 5A и бо-релевская подгруппа порядка 1 ( 1)q q−ε − , где

(2 1)qε = , − . Если 4M A≅ , то 22 3G t| |= ⋅ ⋅ , где t – про-

стое число и {2 3}t∉ , . Так как ( ) 3G| π |= , то из [9, с. 20] следует, что 2

2{ (2 )G PSL∈ , 22 (3 )PSL ,

2 (7)PSL , 32 (2 )PSL , 2 (17)}PSL . Очевидно, что

только группа 22 (2 )PSL имеет максимальную

подгруппу простого индекса, изоморфную 4A . Так как 22 1 5+ = – простое число Ферма, то

22 (2 )PSL содержится в списке групп леммы 1.1.

Ясно, что 1 P - sn 22 (2 )PSL .

Если 4M S≅ , то как и в предыдущем пунк-те показывается, что 2 (7)G PSL≅ . Очевидно, что 1 P - sn 2 (7)PSL .

Пусть 5M A≅ . Так как простая неабелева группа не содержит подгрупп индекса 2 и 3, то

2 2{2 3 5G| |∈ ⋅ ⋅ , 22 3 5 t⋅ ⋅ ⋅ , где t – простое число и {2 3 5}}t∉ , , . Из [9, с. 20] следует, что не сущест-

вует простых неабелевых групп порядка 2 22 3 5⋅ ⋅ . Значит 2

2 ( ) 2 3 5G PSL q t| |=| |= ⋅ ⋅ ⋅ и 2 ( )G PSL t≅ . Поэтому 2 21

2 ( 1) 2 3 5t t t− = ⋅ ⋅ ⋅ и 11t = . Следователь-но, 2 (11)G PSL≅ и, очевидно, 1 P - sn 2 (11)PSL .

Пусть M – борелевская подгруппа. Тогда 1G M q| : |= + – простое число. Поэтому 2nq = и

2 (2 )nG PSL≅ , где 2 1n p+ = – простое число Фер-ма. При этом 1 P - sn 2 (2 )nPSL . Лемма доказана.

Список групп, приведенных в лемме 1.1, будем обозначать ℜ.

Лемма 1.2. Пусть G – простая неабелева группа, содержащая подгруппу простого индек-са p. Тогда силовская p-подгруппа P из G имеет порядок p, где max ( )p G= π и P не является P -субнормальной подгруппой в G.

Доказательство. Так как G – простая не-абелева группа, то G изоморфно вкладывается в симметрическую группу pS . Поэтому max ( )p G= π и P p| |= . Предположим, что P P - sn G. Тогда группа G имеет подгруппу простого индекса r p≠ . Очевидно, что max ( )r G= π . Противоре-чие с тем, что max ( )G pπ = .

Лемма 1.3. Пусть P G< , P P - sn G и N нормальная в G подгруппа. Тогда:

(1) если P N⊆ , то P P - sn N;

(2) если P N , то P PN N= / P - sn

G N G/ = и P P P N| |=| / ∩ | . Доказательство. Пункт 1) леммы 3.1 [10]. Лемма 1.4. Пусть 3 (3)G \ SL∈ℜ . Тогда най-

дется нечетное ( )r G∈π такое, что r p< = max ( )G= π и любая подгруппа порядка r не явля-

ется P -субнормальной в G. Доказательство. При рассмотрении случа-

ев 2{ (7)G PSL∈ , 2 (11)PSL , 3 (5)}SL информация берется из [4].

1. 2 (7)G PSL≅ . Тогда 7p = и силовская 3-подгруппа R в G имеет порядок 3. Предполо-жим, что R P -субнормальна в G. Тогда R со-держится в некоторой максимальной подгруппе M группы G простого индекса и R P -суб-номальна в M . Группа 2 (7)PSL содержит два класса несопряженных максимальных подгрупп индекса 7, которые изоморфны симметрической группе 4S . Следовательно, 4M S≅ и M содер-жит нормальную подгруппу 4H A≅ . По лемме 1.3 (1) R P -субнормальна в H . Однако 4A не содержит подгрупп индекса 2. Противоречие. Поэтому R не является P -субнормальной в группе G и 3r = .

2. 2 (11)G PSL≅ . Тогда 11p = и силовская 5-подгруппа R в G имеет порядок 5. Пусть R P -субнормальна в G. Тогда R содержится в некоторой максимальной подгруппе M группы G простого индекса и R P -субнормальна в M . Группа 2 (11)PSL содержит два класса несопря-женных максимальных подгрупп индекса 11, изоморфных 2 (5)PSL и, очевидно, 2 (5)M PSL≅ . Поскольку 2 (5)PSL не имеет собственных под-групп простого индекса, отличного от 5, то R не является P -субнормальной в M . Противоречие. Поэтому R не P -субнормальна в G и 5r = .

3. 3 (5)G SL≅ . Тогда 31p = и силовская 3-подгруппа R в G имеет порядок 3. Пусть R P -субнормальна в G. Тогда R содержится в некоторой максимальной подгруппе M группы G простого индекса и R P -субнормальна в M . Группа 3 (5)SL содержит два класса несопряжен-ных максимальных подгрупп индекса 31, изо-морфных 2

25 (5)GL: и 225 (5)M GL≅ : . Так как

{2 5} 2( ) (5) 2M O M PSL, ⋅/ ≅ , то по лемме 1.3 (2) груп-па 2 (5) 2PSL ⋅ имеет цепь подгрупп с простыми индексами, начинающуюся с ее силовской 3-под-группы. Последнее невозможно. Поэтому R не является P -субнормальной в G и 3r = .

В.Н. Тютянов


4. 2 (2 )nG SL≅ , 2 1 max ( )np G= + = π . Груп-па G содержит подгруппу Бореля [ ]B U H= ≅

2 2 1[ ] n

nZ Z−

≅ , которая является группой Фробе-ниуса по теореме 2.8.2 (i) [6] и G B p| : |= . Пусть r – простой делитель 2 1n − и R – подгруппа по-рядка r в G. Предположим, что R P -субнор-мальна в G. Так как любая максимальная под-группа группы G, имеющая простой индекс в G, сопряжена с подгруппой Бореля, то R P -суб-нормальна в B и B имеет цепь

0 1 2 11 k kP P R P P P B−= ⊂ = ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ = . Найдется i для которого iP| | – нечетное число и

1 2i iP P+| : |= . Поскольку B – 2-замкнута, то 1i iP P T+ = × , где 2T Z≅ . Так как B – группа Фробениуса, то последнее невозможно и R не является P -суб-нормальной в G.

Лемма 1.5. Пусть 3 (3)G SL≅ и H – 2-зам-кнутая подгруппа Шмидта в G. Тогда H не явля-ется P -субнормальной в G.

Доказательство. Пусть H – 2-замкнутая подгруппа Шмидта в G. Так как G не содержит {2 13}, -подгрупп и силовская 3-подгруппа в G экспоненты 3, то [ ]H U R= , где U – 2-группа, R – группа порядка 3. По лемме 5.4.1 [6] U не цик-лическая. Из строения силовской 2-подгруппы группы G следует, что либо 8U Q≅ , либо

2 2U Z Z≅ × . Если 8U Q≅ , то 2 (3)H SL≅ . Из [4] следует, что H содержится в максимальной под-группе [ ]M V T= , где 3 3V Z Z≅ × , 2 (3)T GL≅ и

13G M| : |= . V можно рассматривать как двумер-ное векторное пространство над полем 3F на ко-тором действует группа операторов 2 (3)T GL≅ и H T< . Так как H действует на V неприводи-мо, то H не P -субнормальна в M , а значит и в G. Если 2 2U Z Z≅ × , то 4H A≅ . Группа 2 (3)GL не содержит подгрупп, изоморфных 4A . Поэто-му из [4] следует, что H содержится в макси-мальной подгруппе 4S группы 3 (3)SL . Однако

4S не P -субнормальна в 3 (3)SL .

2 Доказательство теоремы Пусть G – минимальный контрпример к

теореме. Если N – неразрешимая нормальная подгруппа группы G и L – ее подгруппа Шмидта, то по условию теоремы L P - sn G. По лемме 1.3 (1) L P - sn N . Следовательно, N удовле-творяет условию теоремы. Поскольку G– мини-мальный контрпример, то ( )G S G/ – простая неабелева группа.

Отметим, что если L – подгруппа Шмидта в G, то L P - sn G и G содержит подгруппу про-стого индекса. Кроме того, так как 1 P - sn L, то 1 P - sn G.

Пусть сначала G – простая неабелева груп-па. Так как G содержит подгруппу простого ин-декса p, то по лемме 1.2 имеем max ( )p G= π и порядок силовской p-подгруппы P из G равен p. Из теоремы V.21.1 [5] следует, что ( )GN P – группа Фробениуса с ядром P. Следовательно,

( )GN P содержит подгруппу Шмидта L с нор-мальной подгруппой P. Так как по условию тео-ремы L P - sn G, то, поскольку P P - sn L, получим P P - sn G. Противоречие с леммой 1.2. Таким образом, G не является простой не-абелевой группой.

Поэтому ( ) 1S S G= ≠ и G G S= / – простая

неабелева группа. Поскольку 1 P - sn G, то G∈ℜ. Рассмотрим случай, когда 3 (3)G \ SL∈ℜ . Пусть H – минимальное добавление к S в группе G. Тогда G SH= , поэтому G SH S H S H= / ≅ / ∩ . По лемме 11.1 [11] и лемме 11.2 [11]

( )U S H H= ∩ ⊆ Φ и ( ) ( )H Gπ = π .

Обозначим max ( )p G= π . Если ( )p U∉π , то си-ловская p-подгруппа P в H имеет порядок p и

1P U∩ = , в частности, 1P S∩ = . Так как H не является p-нильпотентной группой, то она со-держит p-замкнутую pd-подгруппу Шмидта [ ]P T по теореме 4.3.1 [12], где T – примарная циклическая группа. Отсюда следует, что P P - sn G. Так как 1P S∩ = , то по лемме 1.3 (2) PS S P/ = P - sn G и P p| |= . Противоречие с леммой 1.2. Следовательно, ( )p U∈π .

По лемме 1.4 найдется ( )r G∈π такое, что

2 r p< < и любая подгруппа порядка r в G не

является P -субнормальной в G. Так же как в случае max ( )p G= π показывается, что ( )r U∈π .

Поэтому будем считать, что max ( )p G= π и r из леммы 1.4 содержатся в ( )Uπ .

В группе U имеется холлова нильпотентная { }p r, -подгруппа T F D= × , где ( )pF Syl U∈ ,

( )rD Syl U∈ и T нормальна в H . Очевидно, что в H существует { }p r, -подгруппа 0T , содержа-щая T , для которой 0T T p| : |= и 0T S. По-скольку T U⊆ , то силовская p-подгруппа из 0T не содержится в S.

Пусть сначала 0T – нильпотентная группа. Обозначим ( )HC C D H= . Так как силовская p-подгруппа из 0T содержится в C, то C U . Поскольку C H , то H CU= . Отсюда следует, что H U CU U U C U G/ = / ≅ / ∩ ≅ . Так как U разрешимая группа, то U C H⊆ ⊆ . Поэтому

Конечные группы с P -субнормальными подгруппами Шмидта


( )D Z H⊆ и U D B= × , где B – холлова r′ -под-

группа в U . Пусть H H B= / , тогда H – цен-тральное расширение D D≅ с помощью простой неабелевой группы E G≅ . Так как мультипли-катор Шура ( )M G [9, с. 316] либо тривиален,

либо порядка 2, то H D E= × . Для полного про-образа E в H группы E имеем, что E E B= / и ( )r B∉π . Так как E не является r-нильпотент-ной группой, то E содержит подгруппу Шмидта с нормальной r-подгруппой X и 1X S∩ = . От-сюда следует, что X P - sn G и по лемме 1.3 (2) 1 X≠ P - sn G. Последнее невозможно по лем-ме 1.4.

Следовательно, 0T не является нильпотент-ной группой. Так как 0T не r-нильпотентна, то она содержит r-замкнутую { }p r, -подгруппу Шмидта [ ]X Y , где X – r-группа, Y – циклическая p-группа

и Y S. По лемме 1.3 (2) 1 Y≠ P - sn G. Про-тиворечие с леммой 1.2.

Следовательно, 3 (3)G G S SL= / ≅ . Пусть H – минимальное добавление к S в G. Тогда G SH= , G H S H≅ / ∩ , ( )U S H H= ∩ ⊆ Φ и

( ) {2 3 13}Hπ = , , . Как и в случае 3 (3)G \ SL∈ℜ по-казывается, что 13 ( )U∈π . Докажем, что 2 ( )U∈π . Предположим, что 2 ( )U∉π . Тогда для всякой

2 ( )R Syl H∈ 1R U∩ = и, в частности, 1R S∩ = . Так как H не является 2-нильпотентной группой, то она содержит 2-замкнутую подгруппу Шмидта [ ]X Y и 1X S∩ = . Если Y U⊆ , то [ ]X Y X, ⊆ и [ ]X Y U, ⊆ . Поэтому [ ] 1X Y X U, ⊆ ∩ = . По-следнее невозможно. Следовательно, Y S. По условию теоремы [ ]X Y P - sn G. Отсюда сле-

дует, что группа Шмидта [ ]X Y P - sn G. Про-тиворечие с леммой 1.5. Поэтому будем считать, что 2 13 ( )U, ∈π .

В U имеется холлова {13 2}, -подгруппа T F D= × , где 13 ( )F Syl U∈ , 2 ( )D Syl U∈ и T H . Пусть 0T T H< < и 0 13T T| : |= . Тогда силовская 13-подгруппа из 0T не содержится в S. Предпо-ложим, что 0T нильпотентная группа и C =

( )HC D H= . Тогда U C H⊆ = , ( )D Z H⊆ и U D B= × , где B – холлова 2′ -подгруппа в U . Значит H H B= / – центральное расширение

D D≅ с помощью 3 (3)E SL≅ . Так как мультип-ликатор Шура группы 3 (3)SL тривиален, то

H D E= × . Для полного прообраза E в H группы E имеем, что E E B= / и 2 ( )B∉π . Так как E не является 2-нильпотентной группой, то E содержит 2-замкнутую подгруппу Шмидта [ ]X Y и 1X S∩ = . Отсюда следует, что группа

Шмидта [ ]X Y P - sn G. Противоречие с лем-мой 1.5.

Поэтому 0T не является нильпотентной группой. Так как 0T не 2-нильпотентна, то она со-держит 2-замкнутую {13 2}, -подгруппу Шмидта

[ ]X Y и Y S. По лемме 1.3 (2) 1 Y≠ P - sn G. Противоречие с леммой 1.2. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА 1. Казарин, Л.С. О группах с факторизацией

/ Л.С. Казарин // ДАН СССР. – 1981. – Т. 256, № 1. – С. 26–29.

2. Васильев, А.Ф. О конечных группах сверх-разрешимого типа / А.Ф. Васильев, Т.И. Василь-ева, В.Н. Тютянов // Сиб. мат. журн. – 2010. – Т. 51, № 6. – С. 1270–1281.

3. Нерешенные вопросы теории групп: Ко-уровская тетрадь. – Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2014. – 252 c.

4. Atlas of finite groups / J.H. Conway [et al.], – Oxford, 1985. – 252 p.

5. Huppert, B. Endliche Gruppen. I / B. Hup-pert. – Berlin: Springer, 1967. – 795 s.

6. Gorenstein, D. Finite groups. / D. Goren-stein. – New-York: Harper and Row, 1968. – 527 p.

7. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. – 1924. – Т. 31. – С. 366–372.

8. Шеметков, Л.А. О.Ю. Шмидт и конечные группы / Л.А. Шеметков // Укр. мат. журн. – 1971. – Т. 23, № 5. – С. 366–372.

9. Горенстейн, Д. Конечные простые груп-пы. Введение в их классификацию / Д. Горен-стейн. – Мир, 1985. – 352 с.

10. Васильев, А.Ф. О произведениях P -суб-нормальных подгрупп в конечных группах / А.Ф. Васильев, Т.И. Васильева, В.Н. Тютянов // Сиб. мат. журн. – 2012. – Т. 53, № 1. – С. 59–67.


12. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. – Минск: Наука и техника, 1964. – 160 с.



© Демиденко О.М., Кучеров А.И., 2015 92

УДК 519.873

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ И ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

О.М. Демиденко, А.И. Кучеров


COMPARATIVE ANALYSIS OF MATHEMATICAL METHODS TO IMPROVE THE RELIABILITY OF THE INFORMATION AND TECHNICAL SYSTEMS

O.M. Demidenko, A.I. Kucherov F. Scorina Gomel State University, Gomel, Belarus

Рассмотрены математические методы определения надежности информационных и технических систем. Ключевые слова: надежность, информационная система, техническая система. The mathematical methods for determining the reliability of the information and technical systems are described. Keywords: reliability, information system, technical system.

Введение Характерной особенностью современного

развития техники является широкое внедрение методов и средств автоматики и телемеханики, вызванное переходом на автоматизированное и автоматическое управление различными произ-водственными и технологическими процессами, создание гибких производственных модулей, систем, комплексов и тому подобное. В условиях современной экономики автоматизация является одним из основных направлений технического прогресса. И, конечно, улучшение эффективности и качества проектируемых АСУ, САУ, ГПМ, ГПС и т. д. невозможно без повышения надежности технических средств управления (ТСУ). Таким образом, выше изложенное является первой при-чиной возрастания фактора надежности в совре-менных условиях развития техники и, в частно-сти, проектировании технических систем (ТС) различного назначения. Второй причиной, тре-бующей повышения надежности, является возрас-тание сложности ТС, аппаратуры их обслужива-ния, жесткости условий их эксплуатации и ответ-ственности задач, которые на них возлагаются.

Недостаточная надежность ТС приводит к увеличению доли эксплуатационных затрат по сравнению с общими затратами на проектирова-ние, производство и применение этих систем. При этом стоимость эксплуатации ТС может во много раз превзойти стоимость их разработки и изготовления. Кроме того, отказы ТС приводят к различного рода последствиям: потерям инфор-мации, простоям сопряженных с ТС других уст-ройств и систем, к авариям и т. д. Таким образом, третьей причиной повышения роли надежности в современных условиях является экономический фактор.

1 Основные понятия и определения тео-рии надёжности

Основными показателями качества инфор-мационных систем являются надежность, досто-верность и безопасность. Надежность – свойство системы сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характери-зующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях приме-нения. Надёжность – это более узкая характери-стика, чем качество. Надежность – это сложное свойство, включающее в свой состав несколько единичных свойств: безотказность, готовность, сохраняемость, ремонтопригодность, а также безопасность и живучесть.

Проблема надежности технических систем существует уже несколько десятилетий, и она особенно обострилась с широким внедрением сложных систем массового обслуживания (СМО). Создание и использование такой техники без специальных мер по обеспечению ее надежности не имеет смысла. Опасность заключается не только в том, что новая сложная техника не бу-дет работать, но главным образом в том, что от-казы в ее работе, в том числе и неправильная работа, может привести к катастрофическим по-следствиям. С учетом этого при проектировании, изготовлении и эксплуатации систем должны предприниматься соответствующие меры, обес-печивающие повышение надежности этих систем.

Под расчетом надежности понимают опре-деление численных показателей по тем или иным числовым данным.

Все системы в теории надежности класси-фицируются по ряду признаков. Важными клас-сификационными группами являются: восста-навливаемые; невосстанавливаемые; обслужи-ваемые; необслуживаемые системы.

ИНФОРМАТИКА

Сравнительный анализ математических методов повышения надежности информационных и технических систем


2 Показатели надежности Показатель надежности – это количествен-

ная характеристика одного или нескольких свойств, определяющих надежность системы. В основе большинства показателей надежности лежат оценки наработки системы, то есть про-должительности или объема работы, выполнен-ной системой. Показатель надежности, относя-щийся к одному из свойств надежности, называ-ется единичным. Комплексный показатель на-дежности характеризует несколько свойств, оп-ределяющих надежность системы. Обеспечение надежности функционирования информацион-ных систем (ИС). Информационная система – это сложная человеко-машинная система, включаю-щая в свой состав эргатические звенья, техниче-ские средства и программное обеспечение. Все методы обеспечения надежности и достоверно-сти ИС можно отнести к двум классам. Один включает в себя методы, обеспечивающие безо-шибочность (безотказность) функциональных технических, эргатических и программных звеньев ИС, то есть, в конечном счете, повы-шающие их надежность. Другой – методы, обес-печивающие обнаружение и исправление оши-бок, возникающих в информации, то есть методы контроля достоверности информации и ее кор-рекции, косвенно также повышающие функцио-нальную надежность систем.

Существуют различные виды обеспечения надежности: экономическое; временное; органи-зационное; структурное; технологическое; экс-плуатационное; социальное; эргатическое; алго-ритмическое; синтаксическое; семантическое.

Обеспечение можно определить как сово-купность факторов (элементов, методов, прие-мов, процедур, ресурсов и т. п.), способствую-щих достижению поставленной цели. Экономи-ческое и временное обеспечения, обусловливае-мые необходимостью соответственно матери-альных и временных затрат, используются для реализации процедур обеспечения достоверно-сти. Организационное, эксплуатационное, техни-ческое, социальное и эргатическое обеспечения применяются преимущественно для повышения надежности систем, а структурное и алгоритми-ческое обеспечения – для обоих классов методов.

При анализе надёжности целесообразно рассматривать три этапа:

1) проектирование; 2) изготовление; 3) эксплуатация. Факторы, влияющие на надёжность при

проектировании: – количество и качество элементов в систе-

ме оказывает влияние на надёжность. Увеличе-ние количества используемых элементов приво-дит к резкому ухудшению надёжности;

– режим работы элементов. Самые на-дёжные элементы, работающие в тяжёлом, не

предусмотренном для их применения режиме, могут стать источником частых отказов. Для ка-ждого элемента устанавливаются технические условия на режим работы этого элемента;

– применение стандартных и унифициро-ванных элементов резко повышает надёжность системы.

Факторы, влияющие на надёжность в про-цессе изготовления:

– качество материалов; – качество хранения материалов и комплек-

тующих изделий; – соблюдение технологии изготовления и

сборки: термообработка, антикоррозийные по-крытия и т.п.

Факторы, влияющие на надёжность в про-цессе эксплуатации:

– квалификация обслуживающего персонала; – внешние условия: климатические условия,

вибрации, перегрузки; – на надёжность влияет фактор времени.

Продолжительность эксплуатации аппаратуры с момента выпуска до капитального ремонта мо-жет составлять несколько лет. К концу этого пе-риода повышается опасность возникновения от-казов отдельных элементов системы.

3 Практическая реализация надежных ИС Обеспечение надежности технических ком-

понентов информационных систем реализуется аппаратным и программным способами. В пер-вом случае ИС использует аппаратную избыточ-ность: все операции выполняются параллельно на одинаковых компонентах системы, а резуль-таты их работы затем сравниваются, что позво-ляет выявить ошибки; в случае выхода из строя какого-либо компонента его резервные аналоги продолжают работу без остановки, а отказавший компонент заменяется на работоспособный. Про-граммный способ предусматривает: последова-тельное во времени выполнение одних и тех же информационных процессов и дублирование данных; автоматическое восстановление отка-завших операционных систем, приложений и искаженных данных.

Для обеспечения надежности технических средств чаще всего производится: резервирова-ние (дублирование) технических средств; ис-пользование стандартных протоколов работы устройств ИС; применение специализированных технических средств защиты информации. Для обеспечения надежности функционирования ИС требуется тщательное тестирование. Например, для компьютеров в качестве наиболее эффектив-ных мер комплексного обеспечения надежности ИС можно назвать кластеризацию компьютеров и использование отказоустойчивых компьютеров.

В теории надежности весьма важную роль играет деление элементов и систем на восстанавли-ваемые и невосстанавливаемые. Содержательный



смысл этих понятий очевиден. Они позволяют обоснованно решать задачи надёжности.

При аналитическом методе основными по-казателями надежности являются: вероятность безотказной работы и средняя наработка на от-каз, которые определяются по известным интен-сивностям отказов элементов, входящих в дан-ную информационную систему. Однако для АСУ, информационных сетей и вычислительной техники этих понятий для характеристики на-дёжности недостаточно. В практике создания и использования АСУ применяются дополнитель-ные понятия, без учёта которых нельзя в полной мере представить комплексное понятие – надёж-ность.

Рассмотрим эти понятия. 1. Живучесть – свойство объекта сохранять

работоспособность (полностью или частично) в условиях неблагоприятных воздействий, не пре-дусмотренных нормальными условиями эксплуа-тации. Главный смысл требования к живучести объекта состоит не только в том, чтобы он дли-тельное время непрерывно без отказа работал в нормальных условиях эксплуатации и, чтобы его можно было быстро отремонтировать, но также и в том, чтобы он в ненормальных условиях экс-плуатации сохранял работоспособность, хотя бы и ограниченную.

2. Достоверность информации, выдаваемой объектом. При работе вычислительной машины или тракта передачи информации могут отсутст-вовать отказы. Поэтому объект может обладать высокой безотказностью, хорошей долговечно-стью, сохраняемостью и ремонтопригодностью. Однако в нём могут иметь место сбои, иска-жающие информацию.

При исследовании надёжности часто ста-вится задача определить причины, приводящие к формированию той или другой стороны надёж-ности.

Без этого невозможно наметить правильную программу работ по повышению надёжности. Это приводит к делению надежности на:

– аппаратную надежность, обусловленную состоянием аппаратуры;

– программную надёжность объекта, обу-словленную состоянием программ;

– надёжность объекта, обусловленную каче-ством обслуживания;

– надёжность функциональная. Надёжность функциональная – надёжность

выполнения отдельных функций, возлагаемых на систему. Известно, что АСУ, как правило, сис-тема многофункциональная, т. е. она предназна-чается для выполнения ряда функций, различ-ных по своей значимости. Требования к надёж-ности выполнения различных функций могут быть различными. Поэтому может оказаться целесообразным задавать различные требования к выполнению различных функций. Примером

функциональной надёжности в АСУ может быть надёжность передачи определённой информации в системе передачи данных.

4 Модели и методы расчета надежности На этапе исследования и проектирования

систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) ис-пользуются различные методы и модели для рас-чета надежности.

Метод Монте-Карло. На практике доста-точно широко используется метод статистиче-ского моделирования Монте-Карло, который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятно-стей. Статистическое моделирование представ-ляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходя-щих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценки характеристик моделируемой системы с учетом воздействий внешней среды статистические данные обраба-тываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.

Сущность метода статистического модели-рования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы неко-торого моделирующего алгоритма, имитирую-щего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздейст-вий и воздействий внешней среды, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования:

– для изучения стохастических систем; – для решения детерминированных задач. Основной идеей, которая используется для

решения детерминированных задач методом ста-тистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схе-мой некоторой стохастической системы, выход-ные характеристики которой совпадают с ре-зультатом решения детерминированной задачи. В результате статистического моделирования системы получается серия частных значений ис-комых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количест-во реализаций достаточно велико, то получен-ные результаты моделирования системы приоб-ретают статистическую устойчивость и с доста-точной точностью могут быть приняты в качест-ве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы.

Случайные величины обычно моделируют с помощью преобразований одного или несколь-ких независимых значений случайной величины,



равномерно распределенной в интервале (0,1). Моделирование случайных процессов строится на основе базовых распределений случайных величин. Одним из таких процессов является марковские процессы.

Модель Шика – Волвертона. В основе мо-дели Шика – Волвертона лежит предположение, согласно которому частота ошибок пропорцио-нальна не только количеству ошибок в програм-мах, но и времени тестирования, т. е. вероят-ность обнаружения ошибок с течением времени возрастает. Частота ошибок (интенсивность об-наружения ошибок) предполагается постоянной в течение интервала времени t и пропорциональ-на числу ошибок, оставшихся в программе по истечении (i–1)-го интервала; но она пропорцио-нальна также и суммарному времени, уже затра-ченному на тестирование (включая среднее вре-мя выполнения программы в текущем интерва-ле). В данной модели наблюдаемым событием является число ошибок, обнаруживаемых в за-данном временном интервале, а не время ожида-ния каждой ошибки. Данную модель относят к группе дискретных динамических моделей.

Модель Мусса. Модель Муса относят к ди-намическим моделям непрерывного времени. Это значит, что в процессе тестирования фикси-руется время выполнения программы (тестового прогона) до очередного отказа. Но считается, что не всякая ошибка может вызвать отказ, поэтому допускается обнаружение более одной ошибки при выполнении программы до возникновения очередного отказа.

В модели Муса различают два вида времени: 1) суммарное время функционирования,

которое учитывает чистое время тестирования до контрольного момента, когда проводится оценка надежности;

2) оперативное время выполнения програм-мы, планируемое от контрольного момента и далее при условии, что дальнейшего устранения ошибок не будет (время безотказной работы в процессе эксплуатации).

Для суммарного времени функционирова-ния предполагается:

– интенсивность отказов пропорциональна числу неустраненных ошибок;

– скорость изменения числа устраненных ошибок, измеряемая относительно суммарного времени функционирования, пропорциональна интенсивности отказов.

Один из основных показателей надежности, который рассчитывается по модели Муса, – средняя наработка на отказ. Этот показатель оп-ределяется, как математическое ожидание вре-менного интервала между последовательными отказами и связан с надежностью.

Модель переходных вероятностей. Эта мо-дель основана на Марковском процессе (см. ниже), протекающем в дискретной системе с

непрерывным временем. Процесс, протекающий в системе, называется марковским (или процес-сом без последствий), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящее время и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Про-цесс тестирования ИС рассматривается как мар-ковский процесс.

Марковская модель. В теории массового об-служивания к наиболее изученным и исследо-ванным относятся модели, у которых случайный процесс функционирования относится к классу Марковских процессов, т. е. Марковские модели.

При исследовании ИС аналитическим моде-лированием наибольшее значение имеют Мар-ковские случайные процессы с дискретными со-стояниями и непрерывным временем. Процесс называется процессом с дискретными состоя-ниями, если его возможные состояния можно заранее перечислить, т. е. состояния системы принадлежат конечному множеству и переход системы из одного состояния в другое происхо-дит мгновенно. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если смена состояний может произойти в любой случайный момент.

Процесс возникновения отказов, а также другие характеристики надёжности носят слу-чайный характер. Для исследования случайных явлений используются вероятностные методы. Таким образом, отличительным признаком на-дежности как свойства технической системы является то, что она характеризуется вероятно-стными процессами, протекающими во времени.

Марковские случайные процессы относятся к частным случаям случайных процессов. В свою очередь, случайные процессы основаны на поня-тии случайной функции.

Если случайная последовательность облада-ет марковским свойством, то она называется це-пью Маркова. Если в случайном процессе со-стояния дискретны, время непрерывно и свойст-во последействия сохраняется, то такой случай-ный процесс называется марковским процессом с непрерывным временем.

Множество состояний системы марковской цепи определенным образом классифицируется с учетом дальнейшего поведения системы. Акту-альность такого моделирования сохраняется для систем, в которых протекают так называемые процессы без последействия. Процессы без по-следействия находят место при функционирова-нии многих технических систем. К таковым, в первую очередь, относится широкий класс самых разнообразных объектов, имеющих общее назва-ние систем массового обслуживания (СМО).

В многоэлементных системах с большим чис-лом состояний аналитическое моделирование на основе теории марковских процессов становится весьма громоздким. В этом случае используется



так называемый метод динамики средних, который в основе имеет также марковость процесса. Этот метод существенно упрощает аналитическое моде-лирование для случаев определения средних харак-теристик состояний моделируемой системы. В этой теме дано обоснование метода и приводятся при-меры его применения. В практике часто возникает задача моделирования процессов случайной смены состояний в исследуемом объекте. Вид очередного состояния может определяться случайным обра-зом, смена состояний может происходить в слу-чайные или не случайные моменты времени.

Практически любой случайный процесс яв-ляется марковским или может быть сведен к марковскому. В последнем случае достаточно в понятие состояния включить всю предысторию смен состояний системы.

Марковские процессы делятся на два класса: – дискретные марковские процессы (мар-

ковские цепи); – непрерывные марковские процессы. Марковская цепь может быть представлена

графом, вершины которого соответствуют со-стояниям цепи, а дуги ненулевым вероятностям переходов. Для описания поведения системы в виде марковской модели следует определить по-нятие состояния системы; выявить все состоя-ния, в которых может находиться система. Ука-зать, в каком состоянии находится система в на-чальный момент; построить граф состояний и возможные переходы из состояния в состояние – стрелками, соединяющими состояния (на рисун-ке вершины графа обозначают состояние Si, а дуги – переходные вероятности); разметить граф, т. е. для каждого перехода указать интенсивность λ(t) потока событий, переводящих систему из состояния Si в состояние Sj.

Для стационарных Марковских процессов интенсивности переходов не зависят от времени. Понятие состояния зависит от целей моделиро-вания. В одном случае, например, оно может быть определено по состояниям элементов, каж-дый из которых может быть «свободен» или «за-нят»; в другом случае состояние системы опре-деляется числом заявок, находящихся на обслу-живании и в очередях.

В классе марковских процессов выделяют процессы с дискретными состояниями, называе-мые марковскими цепями. Когда множество со-стояний процесса S = {S1,…,S2} конечно, марков-скую цепь называют конечной.

Конечная марковская цепь может быть оп-ределена в непрерывном или дискретном време-ни. В первом случае переходы процесса из одно-го состояния в другое связываются с произволь-ными моментами времени t0, t1, t2 и цепь называ-ют непрерывной; во втором – только в фиксиро-ванные моменты времени, обозначаемые поряд-ковыми номерами t = 0,1,2… и цепь называется дискретной (рисунок 4.1).

Дискретная марковская цепь определяется: – множеством состояний S = {S1,…,SK}; – матрицей вероятностей переходов P, эле-

менты которой характеризуют вероятности пере-хода процесса из состояния Si в состояние Sj;

– вектором начальных вероятностей V0 = ={P1(0),…,Pk(0)}, определяющим вероятности Pi(0) того, что в начальный момент времени t = 0 процесс находится в состоянии Si.

Марковская цепь порождает множество реализаций случайного процесса f(t), который представляется последовательностью состояний f(t) = Si(0), Si(1), Si(2),…. соответствующих мо-ментам времени t = 1,2,…. В зависимости от воз-можности перехода из одних состояний в другие, марковские цепи делятся на поглощающие и эр-годические цепи.

Эргодическая марковская цепь представляет собой множество состояний, связанных матри-цей переходных вероятностей таким образом, что из какого бы состояния процесс ни исходил, после некоторого числа шагов он может оказать-ся в любом состоянии. По этой причине состоя-ния эргодической цепи называются эрг одиче-скими (возвратными). Процесс, порождаемый эргодической цепью, начавшись в некотором состоянии, никогда не завершается, а последова-тельно переходит из одного состояния в другое, попадая в различные состояния с разной часто-той, зависящей от переходных вероятностей.

Рисунок 4.1 – Пример графа состояний



Поэтому основная характеристика эргоди-ческой цепи – вероятности пребывания процесса в состояниях Sj, j = 1,…,k, или относительные частоты попадания процесса в состояния Sj и доля времени, которую процесс проводит в каж-дом из состояний. В качестве дополнительных характеристик эргодических цепей используются математическое ожидание, и дисперсия времени (числа шагов) первого попадания в состояние Sj из состояния Si, и предельная корреляция числа попаданий в состояния Si и Sj. Эти характеристи-ки определяются методами алгебраической тео-рии марковских цепей.

Эргодические цепи широко используются в качестве моделей надежности систем. В этом случае состояния цепи соответствуют состояни-ям системы различающихся составом исправного и отказавшего оборудования.

Переходы между состояниями связаны с от-казами и восстановлением устройств и реконфи-гурацией связей между ними, выполняемой для сохранения работоспособности системы. Оценки характеристик эргодической цепи дают пред-ставление о надежности поведения системы в целом. Кроме того, эргодические цепи широко используются в качестве базовых моделей взаи-модействия устройств с задачами, поступающи-ми на обработку.


1. Анализ надежности электроэнергетиче-ских систем на основе вероятностно-алгебраи-ческого моделирования / О.М. Демиденко, Е.И. Су-кач, Д.В. Ратобыльская, Ю.В. Жердецкий // Про-блемы физики, математики и техники. – 2014. – № 2 (19). – С. 69–76.

2. Кучеров, А.И. Получение информации об интенсивности использовании ЭВМ с целью даль-нейшего повышения ее надежности / А.И. Ку-черов // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. – 2013. – № 6 (81). – С. 125–129.

3. Оценка качественных и количественных характеристик информационных систем [Элек-тронный ресурс]. – Режим доступа: http://daxnow. narod.ru – Дата доступа: 25.01.2008.

4. Надёжность информационных систем [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http:// www.metods-rgrtu.ru/index.php – Дата доступа: 15.05.2009.

5. Теоретические основы Марковских цепей [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http:// www.sevostyanovpa.ru/uploads/LecMarkovProc0.pdf – Дата доступа: 17.04.2010.

6. Марковские модели [Электронный ре-сурс]. – Режим доступа: http://life-prog.ru/ view_ modelirovanie.php?id=19 – Дата доступа: 25.08.2014.

7. Динамические модели надежности [Элек-тронный ресурс]. – Режим доступа: http://info-tehnologii.ru/kac_sr/Mod_nad/DiN/index.html – Дата доступа: 27.07.2014.

8. Модель оценивания работоспособности информационной системы в условиях неопреде-ленности [Электронный ресурс] – Режим досту-па: http://sir35.narod.ru/Cmagin/K31122/Part_1_5_ 31122.htm – Дата доступа: 27.07.2014.

9. Demidenko, O.M. Means and technology of parameters monitoring of computational process and working load on a local computer network / O.M. De-midenko // Journal of Automation and Information Sciences. – 2002. – T. 34. – № 5–8. – С. 33–39.



© Заплатников С.С., Хижняк А.В., Шевяков А.В., 2015 98

УДК 639.325

СНИЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СРЫВА В КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СОПРОВОЖДЕНИЯ ОПТИЧЕСКИ НАБЛЮДАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ

С.С. Заплатников, А.В. Хижняк, А.В. Шевяков

Военная академия Республики Беларусь, Минск, Беларусь

LOWERING OF FAILURE PROBABILITY IN CORRELATION TRACKING SYSTEMS OF OPTICALLY OBSERVABLE OBJECTS

S.S. Zaplatnikov, A.V. Khizhniak, A.V. Sheviakou Military Academy of the Republic of Belarus, Minsk, Belarus

Описана типовая корреляционная система автоматического сопровождения оптически наблюдаемых объектов. Рас-смотрено влияние фоновых составляющих эталонного изображения на эффективность алгоритма сопровождения. Предложен и обоснован способ снижения вероятности срыва сопровождения, обусловленного влиянием фоновых со-ставляющих. Приведены результаты экспериментов, подтверждающих эффективность предлагаемого решения. Ключевые слова: алгоритмы сопровождения, взаимные корреляционные функции изображений, срыв сопровождения, эталонные изображения. The typical automatic tracking correlation system of optical observable objects is described. Influence of background compo-nents of the reference image on the efficiency of tracking algorithm is considered. The method of lowering of probability of tracking failure caused by the influence of background components is offered and justified. Results of the experiments confirm-ing efficiency of the offered decision are presented. Keywords: tracking algorithms, correlation functions of images, tracking failure, reference images.

Введение На сегодняшний день разработано большое

количество способов автоматического сопрово-ждения оптически наблюдаемых объектов, но наибольшее распространение в системах охраны периметра и специальных системах получили корреляционные алгоритмы [1], [2]. Это обу-словлено тем, что корреляционные алгоритмы сопровождения одинаково эффективно работают для любых типов и габаритов объектов [1]. Воз-можность работы по любым типам объектов осо-бенно актуальна в условиях применения средств маскирования, искажающих их форму и воспри-ятие. Возможность работы в широком диапазоне габаритов позволяет эффективно сопровождать как удаленные малоразмерные объекты, так и объекты на малом удалении. Однако, корреляци-онные алгоритмы обладают своими недостатка-ми, основными из которых являются высокая вычислительная сложность при больших стробах сопровождения и отсутствие различения объекта и фона в кадре, что может приводить к срыву сопровождения при наличии в эталонном изобра-жении контрастных фоновых составляющих [3].

В статье предлагается способ снижения ве-роятности срыва сопровождения, обусловленно-го наличием в эталонном изображении фоновых составляющих путем их маскирования в процес-се расчета взаимной корреляционной функции фрагментов текущего и эталонного изображения.

1 Типовой корреляционный алгоритм со-провождения

На рисунке 1.1 представлена обобщенная структурная схема типовой корреляционной сис-темы сопровождения [3], [4]. Камера формирует текущие изображения F наблюдаемого пространства. Текущие изображе-ния поступают по цифровому интерфейсу в вы-числительное устройство для обработки. В вы-числительном устройстве для каждого фрагмента текущего изображения, соответствующего воз-можному положению сопровождаемого объекта, рассчитывается значение некоторой взаимной корреляционной функции с эталонным изобра-жением T, сформированным заранее. Эталонное изображение формируется в момент захвата объ-екта на сопровождение путем копирования фрагмента текущего изображения, соответст-вующего размерам строба захвата (сопровожде-ния) в оперативную память. В процессе сопро-вождения эталонное изображение обновляется для того, чтобы сделать систему адаптивной к изменению формы и размеров сопровождаемого объекта [1]–[4]. Рассчитанное значение взаимной корреляционной функции для выбранного фраг-мента текущего изображения записывается в со-ответствующую ячейку корреляционной матрицы C. После того, как рассчитаны значения корреля-ционной функции для всех фрагментов текущего изображения, соответствующим всем возможным положениям сопровождаемого объекта на новом

ТЕХНИКА

Снижение вероятности срыва в корреляционных системах сопровождения оптически наблюдаемых объектов


Рисунок 1.1 – Структура типовой корреляционной системы сопровождения (F – текущее изображение, формируемое камерой, ОПУ – опорно-поворотное устройство,

T – эталонное изображение, C – корреляционная матрица) кадре, производится поиск элемента корреляци-онной матрицы с максимальным значением. По-ложение элемента корреляционной матрицы с наибольшим значением будет указывать на наи-более вероятное положение сопровождаемого объекта на текущем кадре. На основании этой информации рассчитывается рассогласование текущего и предыдущего положения и форми-руются управляющие сигналы для приводов опорно-поворотного устройства.

В качестве взаимно корреляционной функ-ции наибольшее распространение получила вза-имная нормированная корреляционная функция или коэффициент корреляции [2], [4]:

[ ]{ }( ) ( ),

f t

f t

M f x M t x MK

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=σ σ

(1.1)

где x – вектор координат элемента изображения; f – фрагмент текущего изображения; t – эталон-ное изображение; M – символ математического ожидания; ,fM tM – математическое ожидание значений яркости пикселов фрагмента текущего и эталонного изображений соответственно; ,fσ

tσ – среднеквадратическое отклонение значений яркости пикселов фрагмента текущего и эталон-ного изображений соответственно.

Применительно к цифровым изображениям, учитывая отсутствие априорной информации о параметрах распределения значений яркости пикселов изображения, выражение (1.1) прини-мает следующий вид [3], [4]:

( )( )

( ) ( )

1 1

22

1 1 1 1

( , ) ( , ),

( , ) ( , )

n m

f ty x

n m n m

f ty x y x

K

f x y M t x y M

f x y M t x y M

= =

= = = =

=

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=

− −

∑∑

∑∑ ∑∑

(1.2)

где n, m – количество пикселов изображений по вертикали и горизонтали соответственно (размеры

изображения); x, y – горизонтальная и верти-кальная координаты пиксела изображения соот-ветственно; ( , ),f x y ( , )t x y – значения яркости пиксела изображений в указанных координатах ( , ).x y

2 Влияние фоновых составляющих эта-лонного изображения на эффективность кор-реляционного алгоритма сопровождения

Типовой алгоритм действий оператора сис-темы автоматического сопровождения подразу-мевает постановку объекта на сопровождение после его визуального обнаружения на экране автоматизированного рабочего места. Для поста-новки объекта на сопровождение оператор дол-жен подвести строб захвата на изображение объ-екта и выдать системе команду «Захват». Зачас-тую ввиду высокого нервного напряжения, де-фицита времени и других факторов оператор не может или не успевает подстроить оптимальным образом размеры строба сопровождения или точно расположить строб захвата над объектом. На рисунке 2.1 представлены эталонные изобра-жения при типовых ситуациях постановки объ-екта на сопровождение.

На рисунке 2.1 серым цветом отмечены пикселы, принадлежащие объекту, черным – пикселы контрастных объектов фона, а белым – остальные пикселы фона. На рисунке 2.1 (а) по-казан случай когда строб значительно меньше объекта и захват произведен за край объекта. На рисунке 2.1 (б) показана ситуация правильного выбора размеров строба. На рисунке 2.1 (в) пока-зана ситуация, когда размер строба выбран больше требуемого. На всех рисунках видно, что в типовой ситуации в эталонное изображение попадает значительное количество элементов фона. Если обратиться к выражениям (1.1) и (1.2), то можно увидеть, что пикселы фона и пикселы объект имеют одинаковый вклад в



Рисунок 2.1 – Типовые ситуации формирования эталонного изображения результирующее значение коэффициента корре-ляции. В такой ситуации, при попадании в эта-лонное изображение контрастных объектов фо-на, значительно возрастает вероятность перена-целивания алгоритма на контрастные объекты фона в текущем изображении (срыв сопровожде-ния). Очевидно, что для снижения вероятности срыва сопровождения необходимо некоторым образом снизить влияние фоновых пикселов эта-лонного изображения на результаты расчетов.

3 Способ снижения влияния фоновых со-ставляющих эталонного изображения Если обратиться к структурной схеме типовой корреляционной системы сопровождения (рису-нок 1.1), то можно выделить 5 возможных путей решения указанных проблем:

1. Предварительная обработка изображений с целью устранения мешающего фона (объектов фона) [5]. Данный способ изначально предпола-гает наличие алгоритмов распознавания, одина-ково эффективная реализация которых для ши-рокого класса условий затруднительна.

2. Обновление эталонного изображения. Обновление эталонного изображения позволяет адаптироваться к изменению формы и размеров объекта, а также к изменению условий наблюде-ния и является основным элементом корреляци-онного алгоритма, во многом определяющим его эффективность [4]. Каким бы эффективным ни был алгоритм обновления эталонного изображе-ния, он не решает проблемы учета пикселей фона в результирующем значении коэффициента кор-реляции, а производит лишь их сглаживание и усреднение.

3. Учет траекторной информации по сопро-вождаемому объекту, основанный на проверке гипотез о законе движения объекта [4]. Данный метод может существенно повысить эффектив-ность системы сопровождения, но всегда требует индивидуального подхода в каждой технической системе. По этой причине в данной статье этот подход не рассматривается.

4. Обработка уже сформированной корре-ляционной матрицы или проверка ее локальных характеристик для различных элементов [6], [7].

Данный способ сложно реализуем ввиду случай-ности формы корреляционной поверхности и опо-средованности в закономерностях ее формирова-ния, что затрудняет поиск универсальных законо-мерностей и правил. Также этот способ не устра-няет рассматриваемую первопричину: влияние фоновых составляющих на результат вычислений.

5. Изменение самого принципа расчета кор-реляционной функции с учетом оценки вероят-ности принадлежности пиксела к изображению объекта. Далее в статье рассматривается и обос-новывается эффективность данного способа.

Для снижения вклада того или иного пиксела в расчете корреляционной функции необходимо каждому пикселу поставить в соответствие неко-торый вес, указывающий на вероятность того, что пиксел принадлежит изображению объекта. При использовании весовых коэффициентов выраже-ния (1.1) и (1.2) примут следующий вид:

[ ]{ }( ) ( ) ( ),

f t

f t

M f x M t x M m xK

⎡ ⎤− − ⋅⎣ ⎦=σ σ

(3.1)

( )( )

( ) ( )

1 1

22

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , ),

( , ) ( , )

n m

f ty x

n m n m

f ty x y x

K

f x y M t x y M m x y

f x y M t x y M

= =

= = = =

=

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=

− −

∑∑

∑∑ ∑∑

(3.2)

где ( , )m x y – значение матрицы весов (маски). Представленные выражения являются но-

выми корреляционными функциями, в основе которых лежит выражение для коэффициента корреляции. Таким образом, маска должна пред-ставлять собой матрицу размерами равными размерам эталонного изображения. Значения элементов маски являются весами для соответст-вующих пикселей при расчете коэффициента корреляции. Использование весов для каждого пиксела позволит учитывать положение объекта на изображении и снизит вероятность срыва.

4 Расчет вероятности срыва сопровож-дения

Для доказательства эффективности предлагае-мого способа смоделирована следующая ситуация.



Пусть имеется некоторое заранее сформирован-ное эталонное изображение T с заранее извест-ным среднеквадратическим отклонением яркости пикселей tσ и математическим ожиданием .tM Пусть имеется некоторое изображение F, пиксе-лы которого являются независимыми нормально распределенными случайными величинами со среднеквадратическим отклонением fσ и мате-матическим ожиданием .fM Также пусть имеет-ся некоторое изображение I, часть первых пиксе-лей 0( )N которого идентичны соответствующим пикселам эталонного изображения, а другая часть пикселей 0( )N N− изображения являются независимыми нормально распределенными слу-чайными величинами с параметрами I fσ = σ и

.I fM M= Как видно из выражений (1.1) и (1.2), при расчете коэффициента корреляции не учи-тываются соседние пиксели и в выражениях от-сутствуют слагаемые, определяющие зависимо-сти результата от положения пиксела на изобра-жении. При расчете коэффициента корреляции имеет значение только соответствие пикселов между собой в двух изображения. На основании вышесказанного для упрощения аналитических записей и расчетов правомерно перейти к одно-мерному представлению изображений, где каж-дая последующая строка изображения занимает последовательные блоки элементов одномерного массива. Для начала рассмотрим случай бинар-ной маски, когда ее элементы принимают значе-ния 0 – соответствует пикселу с наибольшей дос-товерностью относящемуся к фону, и 1 – пикселу с наибольшей достоверностью относящемуся к объекту. Также предположим, что переменное количество нулевых элементов маски ( )mN рас-полагается только в конце ее одномерного мас-сива. В таком случае наличие нулевых элементов маски в конце будет эквивалентно отсутствию

mN последних слагаемых под знаком суммы. Принимая во внимание сделанные предположе-ния и переходя от математического ожидания к его оценке [8], [9] – среднему значению яркости пикселей изображения, выражение (3.1) для изо-бражения F и эталонного изображения T примет следующий вид:

( )( ){ }1

1

( ) ( ),

mN N

f tx

f t

f x M t x MK

N

−

=

− −=

σ σ

∑ (4.1)

где x – индекс положения пиксела в одномерном массиве изображений; f(x) – одномерный массив изображения со всеми случайными элементами; t(x) – одномерный массив эталонного изобра-жения.

Для изображения I и эталонного изображе-ния T, с учетом сделанных допущений, выраже-ние (3.2) примет следующий вид:

( )

( )( ){ }

0

0

22

0

1

( )

( ) ( ) / ( ),m

N

tx

N N

I t I tx N

K t x M

I x M t x M N

=

−

= +

⎛= − +⎜⎝

⎞+ − − σ σ⎟⎟

⎠

∑

∑(4.2)

где I(x) – одномерный массив изображения с 0N N− случайными пикселами. Таким образом, мы имеем эталонное изо-

бражение T, 0N пикселей которого относится к объекту, а остальные к фону. Также мы имеем изображение I, где пикселы, относящиеся к объ-екту, идентичны соответствующим пикселам эталонного изображения, а остальные 0N N− пикселей имеют значения, изменяющиеся по случайному закону. Кроме этого, мы имеем изо-бражение F, где все пикселы имеют случайные значения. Таким образом, мы моделируем ситуа-цию, когда имеется заранее сформированное эталонное изображение с элементами фона, име-ется объект от кадра к кадру, располагающийся на различной фоновой обстановке (изображение I) и имеем изображение, где находятся только элементы фона. Срывом сопровождения будем называть ситуацию, когда коэффициент корре-ляции между изображением T и F (4.1) окажется больше либо равен коэффициенту корреляции между изображениями T и I (4.2). Следовательно, срывом сопровождения можно назвать ситуа-цию, когда отношение коэффициентов корреля-ции 1K и 2K будет больше либо равно единице:

1

2

1.K

PK

= ≥ (4.3)

Для определения вероятности срыва сопро-вождения необходимо найти плотность распре-деления случайной величины P. Как видно из выражений (4.1) и (4.2), коэффициенты корреля-ции являются линейными комбинациями незави-симых нормально распределенных случайных величин (согласно начальным условиям). Следо-вательно, коэффициенты корреляции также бу-дут распределены нормально [8] со следующими математическими ожиданиями и среднеквадра-тическими отклонениями:

1

2

2

1

( ),

mN Nt

K fi f t

t x MN

−

=

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪σ = σ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟σ σ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∑ (4.4)

2

0

22

1

( ),

mN Nt

K Ii N I t

t x MN

−

= +

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪σ = σ⎨ ⎬⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭∑ (4.5)

( )0

2

2

1

( ).

Nt

Ki I t

t x MM

N=

−=

σ σ∑ (4.6)

Математическое ожидание коэффициента корреляции 1K равно нулю ( )1

0 .KM = Для нахо-ждения плотности распределения P необходимо



найти плотность распределения системы случай-ных величин ( )1 2,K K [8], [9]. Ввиду того, что случайные величины независимы, плотность распределения системы случайных величин бу-дет равна произведению их плотностей распре-деления [8], [9]:

2221 2

2 21 2

1 2

( )

2 21 2

1( , ) .2

K

K K

K MK

K K

f K K e

⎡ ⎤−⎢ ⎥− +⎢ ⎥σ σ⎣ ⎦=

πσ σ (4.7)

Соответственно плотность распределения ча-стного случайных величин 1K и 2K будет иметь следующий вид [9]:

[ ]

[ ]

0

2 2 2 2

2 2 2 20

( ) ( , )

( , ) ,

f P K f PK K dK

K f PK K dK

−∞

∞

= +

+

∫

∫ (4.8)

где 2 2( , )f PK K – плотность распределения сис-темы случайных величин ( )1 2,K K (4.7) с эквива-лентной подстановкой 1 2K PK= согласно выра-жения (4.3).

Соответственно вероятность срыва сопро-вождения в данном случае будет рассчитывается согласно выражения [9]:

1

( 1) ( ) .p P f P dP∞

≥ = ∫ (4.9)

Примем следующие начальные условия для проведения расчетов: 30,f I tσ = σ = σ = tM =

128f IM M= = = (возможные значения яркости пикселов от 0 до 255), 16,N = 0 8,N = mN из-меняется от 0 до 7, t(x)={98, 158, 98, 158, 98, 158, 98, 158, 98, 158, 98, 158, 98, 158, 98, 158}. Значе-ние элементов эталонного изображения t(x) вы-браны так, чтобы оценка среднеквадратического отклонения соответствовала начальным услови-ям 30.I tσ = σ = При данных начальных услови-ях график зависимости вероятности срыва со-провождения от количества нулевых элементов маски будет иметь вид, изображенный на рисун-ке 4.1 (сплошная линия). Как видно из рисунка 4.1, вероятность срыва сопровождения значи-тельно снижается при увеличении количества «замаскированных» пикселей фона в эталонном изображении: от 0.049 при отсутствии маскиро-вания (типовой корреляционный алгоритм) до 0.005 при маскировании практически всех фоно-вых составляющих.

Для подтверждения аналитических расчетов был проведен эксперимент с использованием предложенной корреляционной функции (3.2). Схема эксперимента аналогична схеме аналити-ческого доказательства. При каждом отдельном опыте изображение F и I представляли собой реализацию многомерного нормального процес-са. Требуемое количество экспериментов для

каждого значения mN равнялось 316179 исходя из доверительной вероятности 0.99Q = и дове-рительного интервала 0.001β = для определения частоты срыва сопровождения. Как видно из графика зависимости частоты срыва сопровож-дения (пунктирная линия на рисунке 4.1), ре-зультаты эксперимента отличаются от аналити-ческих расчетов не более чем на 0.001, что гово-рит о верности предположений и справедливости допущений. Используя метод математической индукции, полученные закономерности можно распространить и на изображения большего раз-мера. В таком случае результаты расчетов и экс-перимента должны быть сопоставимы (снижение вероятности срыва сопровождение до 10 раз) при том же соотношении количества «замаскирован-ных» пикселей фона в изображениях (6.25%, 12.5%, 18.75%, 25%, 31.25%, 37.5% и 43.75%) и при количестве неизменных пикселов изображе-ния I (идентичных эталонному) в 50%.

Рисунок 4.1 – Зависимость вероятности срыва сопровождения от количества замаскированных

элементов фона в эталонном изображении

5 Расширение результатов на случай не-бинарной маски

Принятое предположение, что маска явля-ется бинарной, т. е. 0 соответствует пикселу с наибольшей вероятностью принадлежащему фо-ну, а 1 – объекту, является «идеальным» случаем. В действительности в начальный момент време-ни при постановке объекта на сопровождение элементы маски будут иметь единичное значе-ние. В процессе сопровождения на основании некоторых статистик изменения значений пиксе-лов, значение элементов маски должно изме-няться от 1 до 0. Докажем, что приведенные вы-ше утверждения об эффективности маскирова-ния фоновых элементов в процессе вычисления корреляционной функции справедливы и для случая небинарной маски.

Пусть все элементы маски имеют единич-ное значение, а последний элемент изменяется от 0 до 1. При этом начальные условия аналитиче-ского доказательства и эксперимента остаются теми же, что и для случая бинарной маски. В данном случае плотность распределения случай-ной величины P остается неизменной (4.8), из-меняются лишь выражения для среднеквадрати-ческих отклонений:



1

2 212

1

( ) ( ),

Nt t

Ki T T

t x M t x Mm

N N

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −σ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ (5.1)

2

0

2 212

1

( ) ( ),

Nt t

Ki N T T

t x M t x Mm

N N

−

= +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −σ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ (5.2)

где m – значение последнего элемента маски. На рисунке 5.1 показан график теоретиче-

ской зависимости вероятности срыва сопровож-дения при изменении одного элемента небинар-ной маски от 0 до 1 (непрерывная линия), а так-же результаты эксперимента (пунктирная линия).

Рисунок 5.1 – Зависимость вероятности срыва сопровождения от значения элемента

небинарной маски

Как видно из результатов аналитических расчетов и эксперимента, при уменьшении зна-чения даже одного элемента маски, соответст-вующего пикселу фона в эталонном изображе-нии, вероятность срыва сопровождения умень-шается. Когда элемент маски равен единице (при остальных единичных элементах) вероятность срыва сопровождения соответствует типовому алгоритму, а когда элемент маски равен нулю вероятность срыва сопровождения соответствует результатам расчетов для случая бинарной мас-ки. Расхождение результатов теоретических рас-четов и эксперимента составило не более 0.001, что говорит о справедливости предположений и допущений.

Таким образом, маскирование элементов фона на этапе расчета взаимной корреляционной функции изображений эффективно, но для ус-пешного применения указанного подхода необ-ходимо разработать алгоритм формирования маски в процессе сопровождения объекта. Как правило, сопровождаемый объект движется от-носительно фона, следовательно объект в стробе сопровождения располагается на нестационарном фоне [10]. В начальный момент (в момент захвата на сопровождение) все элементы маски должны иметь единичное значение, а в процессе сопрово-ждения уменьшаться должны те элементы, кото-рые соответствуют элементам фона. Возможный вариант алгоритма формирования маски может быть следующим. Производится накопление не-которого количества изображений строба сопро-вождения с последующим расчетом среднеквад-ратического отклонения значений яркости каж-дого пиксела. В этом случае пикселам, значения

которых изменяются быстро будут соответство-вать высокие значения среднеквадратического отклонения, а пикселам, значения яркости кото-рых изменяются медленно (предположительно пик-селы объекта) будут соответствовать малые зна-чения среднеквадратического отклонения. Если нормировать полученные значения и вычитать их из единицы, то можно получить матрицу, «пове-дение» которой при сопровождении объекта будет соответствовать требуемому «поведению» маски.

Заключение В статье предложен способ повышения эф-

фективности корреляционных алгоритмов, осно-ванный на маскировании фоновых составляю-щих при расчете корреляционной функции изо-бражений. Показано, что возможно значительно уменьшить вероятность срыва сопровождения, обусловленного наличием в эталонном изобра-жении элементов фона, до 10 раз при условии того, что количество пикселей, принадлежащих объекту составляет 50%, а количество «замаски-рованных» пикселей составляет 43.75% от всех пикселей изображения. При этом предлагаемый способ повышения эффективности корреляцион-ных алгоритмов сопровождения оптически на-блюдаемых объектов может быть скомбинирован с уже известными способами повышения эффек-тивности, такими, как предварительная обработ-ка изображений, сложные алгоритмы анализа и изменения эталонного изображения в процессе сопровождения, обработка корреляционной мат-рицы и анализ траекторной информации без не-обходимости их адаптации. Таким образом, при-менение предлагаемого способа является пер-спективным и не требует значительных дополни-тельных вычислительных ресурсов. Описанные в статье подходы с успехом были применены при разработке охранных систем, оснащенных опти-ко-электронными каналами наблюдения.

ЛИТЕРАТУРА 1. Баклицкий, В.К. Корреляционно-экстремаль-

ные методы навигации и наведения / В.К. Бак-лицкий. – Тверь: ТО «Книжный клуб», 2009. – 360 с.

2. Wong, S. Advanced Correlation Tracking of Objects in Cluttered Imagery / S. Wong // The Pro-ceedings of SPIE: Acquisition, Tracking and Point-ing. – 2005. – Vol. 19.

3. Заплатников, С.С. Корреляционно-филь-тровой способ сопровождения оптически-наблю-даемых объектов / С.С. Заплатников, А.В. Хиж-няк, А.В. Шевяков // Электроника-инфо. – 2012. – № 5. – С. 44–47.

4. Алпатов, Б.А. Методы автоматического обнаружения и сопровождения объектов. Обра-ботка изображений и управление / Б.А. Алпатов, П.В. Бабаян, О.Е. Балашов, А.И. Степашкин. – М.: Радиотехника, 2008. – 176 с.



5. Садыхов, Р.Х. Обработка изображений и идентификация объектов в системах техническо-го зрения / Р.Х. Садыхов, А.А. Дудкин // Штуч-ный интеллект. – 2006. – № 3. – С. 644–643.

6. Chunyan, X. Quaternion correlation filters for face recognition in wavelet domain / X. Chun-yan, M. Savvides, B.V.K.V. Kumar. – Pittsburgh: Carnegie Mellon University Department of Electri-cal and Computer Engineering, 2005. – P. 85–88.

7. Kerekes, R. Multiple target detection in video using quadratic multi-frame correlation filter-ing / R. Kerekes. – Pittsburgh: Oak Ridge National Laboratory, 2008. – P. 1–37.

8. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель,

Л.А. Овчаров // Учебное пособие для вузов – 2-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2000. – 480 с.

9. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

10. Заплатников, С.С. Снижение влияния не-стационарного неравномерного фона на эффек-тивность оптико-электронных корреляционно-экстремальных систем сопровождения / С.С. За-платников, А.В. Хижняк, А.В. Шевяков // Бело-русско-Российская научно-практическая конфе-ренция по военно-техническому сотрудничеству: сб. тезисов / Государственный военно-промыш-ленный комитет Республики Беларусь. – Минск, 2012. – С 120–122.


105

ПРАВИЛА ДЛЯ АВТОРОВ

Статья, направляемая в редакцию журнала «Проблемы физики, математики и техники», должна:

– соответствовать профилю журнала; – являться оригинальным произведением,

которое не предоставлялось на рассмотрение и не публиковалось ранее в объеме более 25% в других печатных и (или) электронных изданиях, кроме публикации препринта (рукописи) статьи авторов (соавторов) на собственном сайте;

– содержать все предусмотренные дейст-вующим законодательством ссылки на цитируе-мых авторов и источники опубликования заим-ствованных материалов, автором (соавторами) должны быть получены все необходимые разре-шения на использование в статье материалов, правообладателем (лями) которых автор (соавто-ры) не является (ются).

Статья не должна содержать материалы, не подлежащие опубликованию в открытой печати, в соответствии с действующими законодатель-ными актами Республики Беларусь.

Статья представляется на русском, белорус-ском или английском языках в двух экземплярах на белой бумаге формата A4 c пронумерованны-ми страницами. Одновременно в редакцию на-правляется электронный вариант статьи на CD, или по электронной почте (e-mail: [email protected]).

Для подготовки статьи можно использовать редактор MS Word for Windows (2000/2003), шрифт – Times New Roman, 14 pt, все поля – 2 см, или систему LaTeX c опцией 12 pt в стан-дартном стиле article без переопределения стан-дартных стилей LaTeX'а и введения собственных команд (все поля – 2 см).

В левом верхнем углу первой страницы ста-тьи ставится индекс УДК, ниже по центру на русском и английском языках: название статьи прописными буквами, инициалы и фамилия ав-тора (авторов), название организации, в которой он (они) работает, аннотация (до 10 строк) и пе-речень ключевых слов.

Статья, как правило, должна содержать: вве-дение, основную часть, заключение и литературу.

Название статьи должно отражать основную идею исследования, быть кратким.

Во введении дается краткий обзор литера-туры, обосновывается цель работы и, если необ-ходимо, отражается связь с научными и практи-ческими направлениями. Обязательными явля-ются ссылки на работы других авторов, публи-кации последних лет в области исследования, включая зарубежные.

Основная часть должна содержать описание методики, объектов исследования с точки зрения их научной новизны. Она может делиться на подразделы (с разъясняющими заголовками) и содержать анализ публикаций, относящихся к содержанию данных подразделов.

Формулы, рисунки, таблицы нумеруются в пределах раздела, например: (1.1), (2.3), рисунок 1.1, таблица 2.1. Нумерации подлежат только те формулы, на которые имеются ссылки. Номер формулы прижимается к правому краю страни-цы, а сама формула центрируется. Рисунки и таблицы располагаются непосредственно в тек-сте. Размер рисунков и графиков не должен пре-вышать 10×15 см. Полутоновые фотографии должны иметь контрастное изображение. Повто-рение одних и тех же данных в таблицах и ри-сунках не допускается.

Каждая таблица должна иметь заголовок, в ней обязательно указываются единицы измере-ния рассматриваемых величин. Размерность всех величин должна соответствовать Международ-ной системе единиц измерений (СИ). Не допус-кается сокращение слов, кроме общепринятых (т. е., и т. д., и т. п.).

В заключении в сжатом виде формулируются полученные результаты, их новизна, преимущест-ва и возможности практического использования.

Список литературы должен содержать пол-ные библиографические данные. Он составляет-ся в порядке упоминания ссылок в тексте. Ссыл-ки на неопубликованные работы не допускаются. Ссылки даются в оригинальной транслитерации. Порядковые номера ссылок по тексту указыва-ются в квадратных скобках (например, [1], [2]). Статья подписывается всеми авторами. К статье прилагаются:

– сопроводительное письмо организации, в которой выполнена работа с просьбой об опуб-ликовании;

– сведения об авторах; – экспертное заключение о возможности

опубликования статьи в открытой печати; – договор о передаче авторского права (в

двух экземплярах). Сведения об авторах представляются на от-

дельной странице и содержат: фамилию, имя, от-чество автора (авторов), ученую степень, звание, место работы и занимаемую должность, специа-листом в какой области является автор, почтовый индекс и точный адрес для переписки, телефоны (служебный или домашний), адрес электронной почты. Следует указать автора, с которым нужно вести переписку и направление, к которому отно-сится представленная работа (физика, математика, техника). Поступившая в редакцию статья направля-ется на рецензирование. В случае её отклонения редакция сообщает автору решение редколлегии и заключение рецензента, рукопись автору не возвращается. Решение о доработке статьи не означает, что она принята к печати. После дора-ботки статья вновь рассматривается рецензентом и редакционной коллегией.

106

Редакция оставляет за собой право произво-дить редакционные изменения и сокращения, не искажающие основное содержание статьи. Статьи, не отвечающие перечисленным тре-бованиям, к рассмотрению не принимаются и возвращаются авторам. Датой получения руко-писи считается день получения редакцией окон-чательного варианта. Авторы несут ответственность за направление в редакцию уже ранее опубликованных статей или статей, принятых к печати другими изданиями.

Редакция предоставляет право первоочередно-го опубликования статей лицам, осуществляющим послевузовское обучение (аспирантура, докторанту-ра, соискательство) в год завершения обучения. Плата за опубликование статей не взимается.

Всю корреспонденцию следует направлять простыми или заказными письмами (бандероля-ми) на адрес редакции.

Образец оформления статьи, сведений об ав-торах, экспертного заключения и текст договора о передаче авторского права размещены на сайте журнала по адресу http://pfmt.gsu.by. Журнал включен в каталог печатных средств массовой информации Республики Бела-русь. Индекс журнала: 01395 (для индивидуаль-ных подписчиков), 013952 (для предприятий и организаций).

107

GUIDELINES FOR AUTHORS

In order for papers submitted to be published in the journal “Problems of Physics, Mathematics and Technics” the following rules should be taken into account: – the paper should be in agreement with the type of the journal;

– the paper should be an original work, it should not have been submitted for consideration or previously published in the bulk over 25% in an-other scientific edition and (or) electronic publica-tions with the exception of preprint publication (manuscript) of the paper of the authors (coauthors) on their own website; – the paper should contain all statutory refer-ences to the cited authors and published sources of the borrowed material. The author (coauthors) must obtain all the necessary permissions for the use of materials in the article, in the event that he is (they are) not their right holder (right holders).

The paper should not contain the materials suppressed for publication in the press in accordance with the laws of the Republic of Belarus.

Contents of a paper should be written in line with the scope of the journal. The paper should be written in Russian, Belarusian and English, edited thoroughly and submitted in two copies to the Edito-rial Office. The manuscript should be printed on A4 white paper with all pages numbered. In addition, the authors must submit the electronic version of their manuscript either on a CD or by e-mail (e-mail: [email protected]).

To prepare a paper it is possible to use MS Word for Windows (2000/2003), Times New Roman type, 14 pt. All margins are 2 cm. The author may also use 12 pt LaTeX in standard style article with-out redefinition of the margins and introduction of the author’s commands.

Index UDC is sited in the left corner of the first page. The title of the paper in capital letters is fol-lowed by the name(s) of the author(s), authors' af-filiations and full postal addresses next to which are an abstract of no more than ten lines and keywords. Relevant keywords should be placed just after the Abstract.

A paper, as a rule, should include Introduction, Body Text, Conclusion and Literature. The title of the paper must be concise. It describes the main idea of your research.

In the Introduction the author gives a brief re-view of literature, his grounds and specific objec-tives, he describes links with scientific and practical branches. All background information such as refer-ence to the papers of others authors and some previous publications (including foreign ones) in the field of investigation is necessary.

The main part should contain description of the techniques used and objects of investigation within a large scientific framework. This part may be divided into subsection (with explanatory headings). It provides

the readers with the analysis of the publications on the problem described in these subsections.

Formulas, figures and tables should be sequen-tially numbered in the framework of the section, for example: (1.1), (2.3), figure 1.1, table 2.1. The author should number only the formulas with appropriate references. The formula number is placed on the right side of the page and the formula itself is centred.

Figures and tables should be put into a contex-tual framework. The size of figures and charts does not exceed 10х15 cm. Halftone photos should be glossy and contrast. Do not repeat extensively in the text the data you have presented in tables and figures.

Each table should have the heading, in which units of measure describe the values under consid-eration. All measurements and data should be given in SI units, or if SI units do not exist, in an interna-tional accepted unit. The authors are advised to avoid abbreviations except for generally accepted ones (i. e., etc.). Define all abbreviations the first time they are used.

In the Conclusion the received data are de-scribed in concise form. The novelty of these results, advantages and possibility of practical use are pre-sented.

Publications cited in the text should be pre-sented in a list of references following the text of the manuscript. References should be given in their original spelling, numbered in the order they appear in the text and contain full bibliography. Please, do not cite unpublished papers. The numbers of refer-ences are sited in square brackets (e.g. [1], [2]).

The paper should be signed by all authors. The following documents should be attached to

the article: – covering letter of the organization in which

the work was done with a request for publication; – information about the authors; – expert opinion on the possibility of publish-

ing an article in the press; – treaty on the transfer of the copyright (two

copies). The authors should provide the following in-

formation on a separate sheet: surname, first name, patronymic, science degree, rank and correct postal address for correspondence, organization or com-pany name and position, title, research field, home or office phone numbers, and e-mail address.

Then the paper is sent to the Editorial Board to be reviewed. The Editorial Office informs the au-thors of paper denial and the reviewer's conclusion without returning the manuscript. A request to revise the manuscript does not imply that the paper is ac-cepted for publication since it will be re-reviewed and considered by the Editorial Board. The authors of the rejected paper have the right to apply for its reconsideration.

The Editorial Board has the right to edit the manuscript and abridge it without misrepresenting the paper contents.

108

Papers not meeting the above requirements are denied and returned to the authors. The date of re-ceipt of the final version by the Editorial Office is considered as the submission date.

Authors are responsible for the submission of their publication because submission is a representa-tion that the paper has not been previously published and is not currently under consideration for publica-tion elsewhere. The Editorial Board charters top-priority for postgraduate students (postgraduate course, persons working for doctor's degree, com-petitors for scientific degree) during the current year

of the completion of a course. Publication of the paper is free of charge.

Samples of the preparation of an article, infor-mation about the authors, expert opinion and the text of the treaty on the transfer of the copyright are placed on the site http://pfmt.gsu.by.

The journal «Problems of Physics, Mathemat-ics and Technics» is included in the mass media catalogue of the Republic of Belarus. Index: 01395 (for personal subscribers), 013952 (for enterprises and organizations).

НАУЧНО - gsu.by · Богданович (Беларусь) ... –...

Documents