กฎของ hamilton และ lagrange’s equations
TRANSCRIPT
กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations
ณภทรษกร สารพฒน
วตถประสงค
1. เพอศกษาการค านวณกลศาสตรแบบลากรางจ
2. เพอน ากลศาสตรแบบลากรางจ ไปประยกตใชกบการเคลอนทแบบตางๆ ทมความซบซอนและแกปญหาดวยกลศาสตรนวตนไดยาก
For What !!!
Outline : กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations
• 1. บทน า• 2. Hamilton Principle
• 3. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Alexander มหาราช
• 4. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Fermat
• 5. การเคลอนทของวตถ ตามแนวคดของ Hamilton
• 6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equation
• 7. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equation แบบมเงอนไข
• 8. โมเดลปญหาแบบ “Catenary”
• 9. สมการการเคลอนทของ Lagrange
• 10. ความหมายของ 𝝀𝝏𝒈
𝝏𝒒𝒊
1. บทน าทบทวน กฎของนวตน (Newton’s laws)
กฎขอท 1 กฎของความเฉอย (Inertia) หรอ 𝜮𝑭 = 𝟎
“วตถทหยดนงจะพยายามหยดนงอยกบท ตราบทไมมแรงภายนอกมากระท า สวนวตถทเคลอนทจะเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรวคงท ตราบทไมมแรงภายนอกมากระท าเชนกน“
กฎขอท 2 กฎของแรง (Force) หรอ 𝜮𝑭 = 𝒎𝒂
“ความเรงของวตถจะแปรผนตามแรงทกระท าตอวตถ แตจะแปรผกผนกบมวลของวตถ”
กฎขอท 3 กฎของแรงปฏกรยา (Action = Reaction) หรอ 𝑭 = −𝑭
“แรงทวตถทหนงกระท าตอวตถทสอง ยอมเทากบ แรงทวตถทสองกระท าตอวตถทหนง แตทศทางตรงขามกน”
𝑚 𝑭𝟏𝑭𝟐 𝜮𝑭 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = 𝟎
𝑚 𝑭𝟏𝑭𝟐 𝜮𝑭 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 ≠ 𝟎
𝑚𝑭
−𝑭
1. บทน าจากทผานมา เราไดศกษาถงกฏของนวตน (กฎขอท 2ของนวตน) ซงสามารถน ามาใชในการ ท านายการเคลอนท ของวตถตางๆ ในกรณทผสงเกตอยนง (หรอมความเรวคงท) จะไดวา
สมการ (1.1)Σ 𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚 𝑣 = 𝑚 𝑥
𝑥 =𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑 𝑥
𝑑𝑡=
𝑑 𝑣
𝑑𝑡= 𝑎
𝑥 คอ ระยะทางทวถเคลอนทได 𝑣 คอ ความเรวของวตถ 𝑎 คอ ความเรงของวตถ
1. บทน า
𝑚 𝐹 เวลา 𝑡1
𝑚 𝐹 เวลา 𝑡2
ต าแหนง 𝑥1 ต าแหนง 𝑥2
𝑦
𝑥
∆𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
∆𝑡 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏ความเรว 𝑣2
ความเรว 𝑣1
ระยะทางทเปลยนไปตอเวลากคอ “ความเรว” เปน 𝑣 =∆ 𝑥
∆𝑡เมอ 𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆ 𝑥
∆𝑡=
𝑑 𝑥
𝑑𝑡
ระยะทางทเปลยนไปตอเวลากคอ “ความเรง” เปน 𝑎 =∆𝑣
∆𝑡เมอ 𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
∆𝒗 = 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏
1. บทน า
ภาพท (1) ในขณะทวตถก าลงเลอนลงมากยอมมความเรงในทศขนานกบพนลาดหรออกนยหนง
Σ 𝐹 = 𝑇 + 𝑓𝑘 +𝑚 𝑔 + 𝑁 สมการ (1.2)
𝑁𝑓𝑘
𝑇𝑚 𝑔
𝜃𝜇𝑘
𝑥
𝑦
หาสมการการเคอนทตามแบบของ กฎของนวตนยกตวอยาง กลองกระดาษทเลอนลงมาตามพนลาด ดงจะเหนในภาพท (1)
1. บทน าถากลองเรมเคลอนทดวยความเรวตนเปนศนย และสมประสทธของแรงเสยดทานจลยเปน 𝜇𝑘 จงท านายต าแหนงของกลอง ณ เวลาใดๆ
เนองจากวตถไมมการเคลอนทตามแนวแกน 𝑦
𝑁 = 𝑚 𝑔 cos 𝜃
โดยธรรมชาตของแรงเสยดทานนน แปรผนตรงกบแรง 𝑁
𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑁 = 𝜇𝑘𝑚 𝑔 cos 𝜃
แรงทเกดจากน าหนกวตถตามแนวแกน 𝑥
𝑇 = 𝑚 𝑔 sin 𝜃 สมการ (1.3)
สมการ (1.4)
สมการ (1.5)
𝑁𝑓𝑘
𝑇𝑚 𝑔
𝜃𝜇𝑘
𝑥
𝑦
1. บทน า
Σ𝐹𝑥 = 𝑇 − 𝑓𝑘 = 𝑚 𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑘𝑚 𝑔 cos 𝜃 = 𝑚 𝑔(sin 𝜃 − 𝜇𝑘 cos 𝜃)
ดงนน แรงลพททกระท ากบวตถตามแนวแกน 𝑥 คอ
จากสมการการเคลอนทของนวตน จะไดวา
𝑥 =Σ𝐹𝑥𝑚
ต าแหนงของกลอง ณ เวลาใดๆ กคอ
𝑑
𝑑𝑡
𝑑 𝑥
𝑑𝑡= 𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑘 cos 𝜃
𝑥(𝑡) =1
2 𝑔(sin 𝜃 − 𝜇𝑘 cos 𝜃)𝑡
2
สมการ (1.7)
สมการ (1.9)
สมการ (1.6)
𝑑 𝑑 𝑥 = 𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑘 cos 𝜃 𝑑𝑡 𝑑 𝑡
𝑁𝑓𝑘
𝑇𝑚 𝑔
𝜃𝜇𝑘
𝑥
𝑦
สมการ (1.8)
1. บทน า
𝑚 𝑔
𝑚 𝑔
𝑁1
𝑁2
𝑁1
𝑁2
ภาพท (1.2) แสดงการเคลอนทของกลองในรางทเปนเสนโคง เนองจากตวกลองมจดสมผสกบรางอย 2 จด แรงทตวรางกระท ากบกลองจงมความซบซอน อกทงตวรางทโคง ท าใหทศทางของแรง 𝑁1 และ 𝑁2 เปลยนแปลงไปตามแหนงของกลอง
เมอการค านวนหาแรงลพทเปนไปดวยความล าบาก กฏของนวตนตามสมการท (1.1) ในบางครงอาจไมสามารถน ามาศกษาการเคลอนทของวตถในระบบนนๆได
ตามตวอยางขางตน จะเหนวา กลศาสตรของนวตนนนมหวใจส าคญ กคอการหา แรงลพททกระท ากบวตถใดๆ แตในบางกรณ การค านวนหาแรงลพท อาจจะกระท าไดล าบาก ดงจะเหนในภาพท(1.2)
1. บทน ากฏของ Hamilton เปนอกมมมองหนงทสามารถใชในการท านาย การเคลอนทของวตถ ไดคลายๆ กบกฏของนวตน ซงทง 2 ทฤษฏน มประวตความเปนมา ยาวนานไมแพกน
Newton
รเรม Calculus of
Variations
1686
Johann and Jacob Bernoulli
1696
Euler
1744
ขยายขอบเขต
Legendre
1786
Lagrange
1788
Hamilton
1833
Jacobi
1837
ตอยอด
อยางไรกตาม กฏของ Hamilton นน นอกจากจะน ามาใชในแงของกลศาสตร กลาวคอ วาดวยการเคลอนทของอนภาค แลวนน กฏของ Hamilton ยงสามารถน ามาประยกตใชในการศกษาสาขาอนๆของฟสกส ยกตวอยางเชน Optics สนามแมเหลกไฟฟา ทฤษฏสมพธภาพทวไปquantum electrodynamics และอนๆ
2. Hamilton Principleเพอทจะหากฏเกณฑทางฟสกสทสามารถอธบายปรากฏการณตางๆ ของธรรมชาตนน เรมมาตงแตอดต นกวทยาศาสตรมแนวความคดเกยวกบ Minimum Principle กลาวคอ การเคลอนไหวของสรรพสงนน เกดจากการทธรรมชาตพยามทจะท าใหปรมาณในทางฟสกส มคาต าทสด (หรอสงทสด) ยกตวอยางเชน
(1) ลกบอล พยามจะอยในสถานะทม “พลงงาน ต าทสด”
(2) นกธรกจวางแผนการตลาดเพอใหได “ก าไร สงทสด”
(3) การเดนทางไปยงทตาง โดยเลอก“ระยะทางท สนทสด”
3. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Alexander มหาราชพระองคทรงสงเกตวา มมสะทอนของแสงนน จะเทากบมมตกทบซงปรากฏการณดงกลาวน สามารถอธบายโดยหลกการทวา การทแสงเดนทางจาก A ไป B โดยผานกระจกนน มนจะเลอก “เสนทางทสนทสด” เสมอ
เมอก าหนดใหกระจกวางในแนวแกน x ดงภาพ สมมตวาแสงเรมเดนทางออกจากจด A กระทบกบกระจกทจด C และพงมายงจด B
ตามล าดบ ดงนน ระยะทางทงหมดทแสงจะตองเดนทางนน มคาเปน
𝑆 = 𝑎2 + 𝑥2 + 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2
𝑏
𝑎
A
B
𝜃𝑟𝜃𝑖
b
a
d
d-x
x
C
C
C
y
x
สมการ (3.1)
3. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Alexander มหาราชทงน พสจนไดวา ระยะทาง S จะมคานอยทสด กตอเมอ 𝑑𝑆
𝑑𝑥= 0
สรปไดวา ระยะทางทแสงเดนทางจาก A B “เปนระยะทางสนทสด” เมอ มมตกกระทบ(𝜽𝒊) เทากบ มมสะทอน(𝜽𝒓)
𝑑𝑆
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑎2 + 𝑥2 + 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2A
B
y
x
𝜃𝑟𝜃𝑖
b
a
d
d-x
x
C
C
C
ดงนน𝑥
𝑎2+𝑥2=
(𝑑−𝑥)
𝑏2+ 𝑑−𝑥 2
0 =1
2
2𝑥
𝑎2 + 𝑥2+1
2
2(𝑑 − 𝑥)(−1)
𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2
กลาวคอ sin 𝜃𝑖 = sin 𝜃𝑟 หรอไดวา 𝜃𝑖 = 𝜃𝑟
ตามแนวคดของ Alexander แสงเลอกทจะเดนตามเสนทางดงกลาวน กเพราะเปน ระยะทางทสนทสด นนเอง
สมการ (3.4)
สมการ (3.3)
สมการ (3.2)
4. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Fermat
B𝜃2𝑛2
อยางไรกตาม หลกการของ Alexander นน ไมสามารถอธบายการหกเหของแสงได ดงจะเหนในภาพ ถงแมวา เสนทางทส นทสดจากจด A ไปยง B นน กคอเสนตรงสฟา
แตในความเปนจรงตามธรรมชาตแลว แสงจะมการหกเหเมอมนเดนทางผานรอยตอของวสดตางชนดกน กลาวคอ แสงจะเดนทางตามเสนทางสเขยวนนเอง
Fermat มแนวความคดทแตกตางออกไป จาก Alexander กลาวคอ Fermat คดวาแสงจะเลอกเดนทางจากจด A ไปยงจด B โดยเลอก “เสนทางทใชเวลานอยทสด”
ถาสมมตวา ดชนหกเหของแสงในตวกลางทงสองมคาเปน 𝑛1 และ 𝑛1 ดงทเหนในภาพ เมอน าหลกการของ Fermat พสจนใหเหนจรงวา
𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2
A
𝑛1
𝜃1
ซงสมการขางตนน เปน สมการการหกเหของแสงตามกฏของ Snell’s นนเอง
สมการ (4.1)
4. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Fermat
B
𝜃2𝑛2
A
𝑛1
Δ𝑆2 = 𝑣2𝑡2
Δ𝑆1 = 𝑣1𝑡1
ตามแนวความคด Fermat คดวาแสงจะเลอกเดนทางจากจด A ไปยงจด B โดยเลอก“เสนทางทใชเวลานอยทสด”
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡1 + 𝑡2
จากความสมพนธระหวาง เวลา ระยะทาง และความเรว
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =Δ𝑆1𝑣1
+Δ𝑆2𝑣2
y
x
𝜃1𝑎
𝑏
𝑑
𝑥 𝑑 − 𝑥𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑎2 + 𝑥2
𝑣1+
𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2
𝑣2
สมการ (4.2)
สมการ (4.3)
สมการ (4.4)
4. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Fermat
B
𝜃2𝑛2
A
𝑛1
จากตามแนวความคด “เสนทางทใชเวลานอย
ทสด” กตอเมอ 𝑑𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑥= 0
y
x
𝜃1𝑎
𝑏
𝑑
𝑥 𝑑 − 𝑥
𝑑𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑑𝑥
=𝑑
𝑑𝑥
𝑎2 + 𝑥2
𝑣1+
𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2
𝑣2
0 =1
2𝑣1
2𝑥
𝑎2 + 𝑥2+
1
2𝑣2
2(𝑑 − 𝑥)(−1)
𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2
1
𝑣1
𝑥
𝑎2 + 𝑥2=
1
𝑣2
(𝑑 − 𝑥)
𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2
Δ𝑆2 = 𝑣2𝑡2
Δ𝑆1 = 𝑣1𝑡1
สมการ (4.5)
สมการ (4.6)
สมการ (4.7)
4. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Fermat
B
𝜃2𝑛2
A
𝑛1
จากความสมพนธ 𝑛1 =𝑐0
𝑣1และ 𝑛2 =
𝑐0
𝑣2เมอ 𝑐0 ความเรวของคลนแสงในสญญากาศ
y
x
𝜃1𝑎
𝑏
𝑑
𝑥 𝑑 − 𝑥
𝑐0𝑣1
sin 𝜃1 =𝑐0𝑣2
sin 𝜃2
𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2
ดงนนจะได กฎการหกเหแสง Snell’s คอ
Δ𝑆2 = 𝑣2𝑡2
Δ𝑆1 = 𝑣1𝑡1
1
𝑣1sin 𝜃1 =
1
𝑣2sin 𝜃2จาก (4.7) จะไดวา
สมการ (4.8)
สมการ (4.9)
5. การเคลอนทของวตถ ตามแนวคดของ Hamiltonในการศกษาการเคลอนทของวตถใดๆนน Hamilton ตพมพผลงาน 2 ฉบบในป 1834 และ1835 ซงตอมาภายหลงเปนพนฐานของทฤษฏในทางกลศาสตรอกหลายสาขา โดยมใจความวา
การทวตถจะเคลอนทจากจด A ไปยงจด B นน มนจะเลอกเสนทางท 𝑡1𝑡2 𝐿 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖 𝑑𝑡 มคานอยทสด
ซงจะไดขยายความดงตอไปน
A
ยกตวอยาง
𝑇 =1
2𝑚𝑣2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑦
1) เมอวตถมการเคลอนทกยอมจะมพกด 𝑥𝑖 และความเรว 𝑥𝑖 ทเปลยนแปลงตามเวลา
2) ในขณะทเคลอนไหววตถมพลงงานจลย ซงขนอยกบความเรว 𝑇 = 𝑇 𝑥𝑖
3) ถาวตถอยทามกลางสนาม เชน สนามโนมถวงของโลก สนามไฟฟา มนกยอมมพลงงานศกย 𝑈 =
𝑈 𝑥𝑖4) ใหค านยามของผลตางระหวางพลงงานจลยและ
พลงงานศกยเปน 𝐿 = 𝑇 𝑥𝑖 − 𝑈 𝑥𝑖
B
5) ถงแมวาการเคลอนทจาก A ณ เวลา t1 ไปยง B ณ เวลา t2 จะเปนไปไดหลายเสนทาง เสนทางทจรงนนจะมคา 𝑡1
𝑡2 𝐿 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖 𝑑𝑡 นอยทสดเสมอ
5. การเคลอนทของวตถ ตามแนวคดของ Hamiltonตวอยาง การเคลอนทของวตถในสนามแรงโนมถวง บนพนผวโลก
พลงงานจลย 𝑇 𝑥, 𝑦 = 1
2𝑚 𝑥2 + 1
2𝑚 𝑦2
พลงงานศกย 𝑈 𝑦 = 𝑚𝑔𝑦 𝑡
-4162 Js
X-Axis
AB
Y-A
xis
100
0𝑇𝑑𝑡 1
2𝑚 𝑥2 + 1
2𝑚 𝑦2 −𝑚𝑔𝑦 𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑡
𝑦 𝑡 = 50𝑡 − 12𝑔𝑡
2
5 Js𝑥 𝑡 = 𝑡
𝑦 𝑡 = 0
1548 Js𝑥 𝑡 = 𝑡
𝑦 𝑡 = 40 sin2𝜋
𝑇𝑡
-2995 Js𝑥 𝑡 = 𝑡
𝑦 𝑡 = 30𝑡
30 𝑇 − 𝑡
𝑡 < 𝑇 2𝑡 ≥ 𝑇 2
2 4 6 8 10
6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equation
สมมตวาเรามคาของ J ซงอยในรปของ Integral J = 𝛼1
𝛼2 𝑑𝛼 𝑓 𝑞, 𝑞
โดยท 𝑓 𝑞, 𝑞 เปนฟงชนสใดๆ 𝑞 ≡ 𝑞 𝛼 𝑞 ≡𝑑𝑞
𝑑𝛼
ถาเราตองการจะหา 𝑓 𝑞, 𝑞 ทท าให J มคาต าทสด จะท าอยางไร?
Euler คนพบวธเปนครงแรกเมอป 1774 โดยกลาววา 𝑓 𝑞, 𝑞 ทท าให J มคาต าทสดนน เปนค าตอบของ สมการ
𝜕𝑓
𝜕𝑞−
𝑑
𝑑𝛼
𝜕𝑓
𝜕 𝑞= 0 สมการ (6.1)
6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equationตวอยาง จงหาเสนทางทส นทสด ระหวางจดสองจด โดยใชสมการของ Euler
y
x
A (x1,y1)
y(x)1) ก าหนดให y(x) เปนสมการของเสนทางทเชอม
ระหวาง จด A และ จด B
2) ดงนนระยะทางทงหมดในการเคลอนทเทากบจาก Pythagorean differential
B (x2,y2)
𝑑𝑠
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 1 + 𝑑𝑦2
ระยะทางการเคลอนทงหมดคอ 𝑆 = 𝑥1𝑥2 𝑑𝑥 1 + 𝑑𝑦2 และก าหนด 𝑑𝑦 เปน 𝑦
เมอเขยนใหมจะไดสมการ คอ 𝑆 = 𝑥1𝑥2 𝑑𝑥 1 + 𝑦2
สมการ (6.2)
สมการ (6.3)
สมการ (6.4)
6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equationy
x
A (x1,y1)
y(x)3) เมอเปรยบเทยบกบสมการของ Euler จะได
วา
4) เมอสรางสมการของ Euler ไดดงน
แทนคาฟงกชน 𝑓 𝑦, 𝑦 ในสมการ Euler
B (x2,y2)
𝑑𝑠
𝑑𝑥𝑑𝑦 J = 𝑥1
𝑥2 𝑓 𝑦, 𝑦 𝑑𝑥 จะไดวา 𝑓 𝑦, 𝑦 = 1 + 𝑦2
𝜕𝑓 𝑦, 𝑦
𝜕𝑦−
𝑑
𝑑𝑥
𝜕𝑓 𝑦, 𝑦
𝜕 𝑦= 0
𝜕 1 + 𝑦2
𝜕𝑦−
𝑑
𝑑𝑥
𝜕 1 + 𝑦2
𝜕 𝑦= 0
𝑑
𝑑𝑥
𝑦
1 + 𝑦2= 0
เมอ𝜕 1+ 𝑦2
𝜕𝑦= 0 ดงนนจะไดวา
สมการ (6.5)
สมการ (6.6)
สมการ (6.7)
6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equationy
x
A (x1,y1)
y(x)
เมอพจารณาสมการ (6.7) ท 𝑑𝑑𝑥
𝑦
1+ 𝑦2= 0
B (x2,y2)
𝑑𝑠
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦 = 𝑘 1 + 𝑦2
ดงนนจะไดสมการ คอ 𝑦
1+ 𝑦2= 𝑘
กตอเมอ 𝑦
1+ 𝑦2= คาคงท
จดรปสมการใหมไดวา
𝑦2 = 𝑘2 1 + 𝑦2
𝑦2 = 𝑘2 + 𝑘2 𝑦2
𝑦2 − 𝑘2 𝑦2 = 𝑘2
𝑦2 1 − 𝑘2 = 𝑘2
𝑦2 =𝑘2
1 − 𝑘2
เมอ 𝑦 =𝑘2
1−𝑘2 ซงเทยบเทา 𝑦 =𝑑𝑦
𝑑𝑥
สมการ (6.8)
สมการ (6.9)
6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equationy
x
A (x1,y1)
B (x2,y2) เมอ 𝑦 =𝑑𝑦
𝑑𝑥= คาคงท ดงนนแทน 𝑚 คาคงท
ใด�ๆ�𝑦
𝑑𝑥= 𝑚
𝑑𝑦 = 𝑚𝑑𝑥
𝑦 = 𝑚 𝑑𝑥
จะไดสมการเสนทางทส นทสดระหวางจดสองจด คอ 𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑐 ซงเปนเสนตรง
เมอ 𝑚 คอ คาความชนของสมการเสนตรง
𝑐 คอ คาคงทใดๆตามขอบเขตสมการ
𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑐
สมการ (6.10)
สมการ (6.11)
สมการ (6.12)
7. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equation แบบมเงอนไขในบางครง การทจะหาจดสงสง หรอต าสดของฟงชนส กมสมการของเงอนไข เขามาเกยวของ
ขอจ ากด : ความยาวรอบรป 2 เมตรฟงชนสทตองการ Optimize : พนท
ตวอยาง มเชอกยาว 2 เมตร จะขดใหเปนวงรปทรงใด จงจะไดพนทสงทสด
0 ) วาดรปใหสวยงาม และ เลอกพกดทเหมาะสม
(r,q)
Polar Coordinate
r=r(q)
(x,y)
Cartesian
y=y(x) r
q
ในกรณของรปทรงขางตน𝜃 ∈ 0,2𝜋
2) สรางสมการเงอนไข 2) ก าหนดใหสมการเงอนไข (Constraint Equations)
1) ก าหนดสงทตองการ Optimize
Lagrange เผยแพรวธการแกเมอป 1788 (44
ปหลงจากสมการของ Euler ในขางตน)3) สรางระบบของ Lagrange undetermined
multiplier และแกสมการ
เรยกวา Lagrange undetermined
multiplier ซงเปนคาคงท
กรณตวอยาง กรณใดๆ ในภาษาแบบ Euler-Lagrange
𝐽 =
𝛼1
𝛼2
𝑓 𝑞, 𝑞 𝑑𝛼𝐴 =
0
2𝜋1
2𝑟 𝜃 2𝑑𝜃𝑑𝐴 =
1
2𝑟 𝜃 2𝑑𝜃
𝑑𝑆 = 𝑟 𝜃 𝑑𝜃
𝑆 =
0
2𝜋
𝑟 𝜃 𝑑𝜃 = 𝐿0 =
0
2𝜋
𝑟 𝜃 𝑑𝜃 − 𝐿0 = 𝑔 𝑞
𝑔 𝑞 →
0
2𝜋
𝑟 𝜃 𝑑𝜃 − 𝐿
𝑞 → 𝑟
𝛼 → 𝜃
𝑓 → 12𝑟2
𝑞 → 𝑟 ≡𝑑𝑟
𝑑𝜃
λ
𝜕𝑓
𝜕𝑞−
𝑑
𝑑𝛼
𝜕𝑓
𝜕 𝑞+ 𝜆
𝜕𝑔
𝜕𝑞= 0
สมการ (7.1)
สมการ (7.2)
สมการ (7.3)
4) ตระเตรยมความพรอมของเทอมตางๆ5) จากนนอางถงสมการของ Lagrange
Undetermined Multiplier Equation
แลวสรางสมการของระบบทก าลงศกษาอย
6) ลย! (โดยใชทกษะทางคณตศาสตร)
𝑔 𝑟 = 0
𝜕𝑓
𝜕𝑟−
𝑑
𝑑𝜃
𝜕𝑓
𝜕 𝑟+ 𝜆
𝜕𝑔
𝜕𝑟= 0
𝜕𝑓
𝜕𝑟=
𝜕
𝜕𝑟
1
2𝑟2 = 𝑟
𝜕𝑓
𝜕 𝑟=
𝜕
𝜕 𝑟
1
2𝑟2 = 0
𝜕𝑔
𝜕𝑟=
𝜕
𝜕𝑟
0
2𝜋
𝑟𝑑𝜃 − 𝐿
=𝜕
𝜕𝑟
0
2𝜋
𝑟𝑑𝜃 −𝜕
𝜕𝑟𝐿
=
0
2𝜋𝜕
𝜕𝑟𝑟 𝑟𝑑𝜃
=
0
2𝜋
𝑑𝜃𝜕𝑔
𝜕𝑟= 2𝜋
𝑟 −𝑑
𝑑𝜃0 + λ2𝜋 = 0
0
2𝜋
𝑟𝑑𝜃 − 𝐿 = 0
สมการ (7.4)
สมการ (7.5)
สมการ (7.6)
สมการ (7.7)
สมการ (7.8)
สมการ (7.9)
จากสมการ Euler-Lagrange
ลดรปใหงายขน
สมการ (7.10)
สมการ (7.11)
แทนคาของ 𝑟 ในสมการ (7.10) เขาไปในสมการ(7.11)
แทนคาของ λ คอเขาไปในสมการ (7.10)
𝑟 −𝑑
𝑑𝜃0 + λ2𝜋 = 0
0
2𝜋
𝑟𝑑𝜃 − 𝐿 = 0
𝑟 = −λ2𝜋
0
2𝜋
𝑟𝑑𝜃 = 𝐿
0
2𝜋
−λ2𝜋 𝑑𝜃 = 𝐿 −λ2𝜋
0
2𝜋
𝑑𝜃 = 𝐿 𝑟 = − −𝐿
4𝜋2 2𝜋
ซงเปนสมการของวงกลม ทมรศมเทากบ 𝐿
2𝜋จงจะเปนรปทมพนทมากทสด
𝜆 = −𝐿
4𝜋2
𝑟 𝜃 =𝐿
2𝜋สมการ (7.14)สมการ (7.12)
สมการ (7.13)
8. โมเดลปญหาแบบ “Catenary”Catenary มรากศพทมาจากค าภาษาลาตนวา “Catena” ซงแปลวา โซ มทมาจากการศกษาลกษณะความโคงของโซ ทปลายทงสองขางขงอยในระดบเดยวกน
ป1638 - Galileo “claims (ขเดา)” วาโซจะหอยเปนรป Parabola
ป1669 - Joachim Jungius พสจนใหเหนจรงวาไมใช Parabola แตทวารปทรงจรงจะเปนอยางไรนน ไมทราบ “แลวรไดไงวาไม Parabola”
ป1671 - Robert Hook ประกาศอยางเปนทางการวาตอราชวงศองกฤษวา สามารถออกแบบรปทรงของโดม ทมความแขงแรงทสด แตไมบอกวธการท า (ปลอยใหงง…)
ป 1697 - Jacob Bernoulli ” ถาลกศษยตวเองใหแกโจทยขอน “- Leibneiz, Huygens และ Johann Bernoulli แกสมการรปทรงของโซไดส าเหรจ
3 ) Euler-Lagrange ส าหรบการแกปญหาIsoperimetric กรณทไมม 𝑥 ในสมการ 𝑈∗
1 ) ก าหนดสงทตองการของ Euler-
Lagrangex
y(+a,0)(-a,0)
y(x) คออะไร?
𝑈∗ = 𝑈 + 𝜆𝑔
𝑈∗ =
−𝑎
+𝑎
𝜌𝑔𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝜆 1 + 𝑦 2 𝑑𝑥
ตวอยาง : Catenary
𝑈∗ =
−𝑎
+𝑎
𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
2 ) เขยนตามแบบ Euler-Lagrange
𝜕𝐹
𝜕𝑦−
𝑑
𝑑𝑥
𝜕𝐹
𝜕 𝑦= 0
𝐹 − 𝑦𝜕𝐹
𝜕 𝑦= 𝐷
𝐷 คอ เปนคาคงทใดๆ
สมการ (8.2)
สมการ (8.2)
สมการ (8.1)
สมการ (8.3)
สมการ (8.4)
4) ตระเตรยมความพรอมของเทอมตางๆ5) ลย!! อกแลวครบ…(โดยใชทกษะทางคณตศาสตร)
𝐹 = 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 1 + 𝑦 2
𝑦𝜕𝐹
𝜕 𝑦= 𝑦
𝜕
𝜕 𝑦𝑦 +
𝜆
𝜌𝑔𝜌𝑔 1 − 𝑦 2
𝐹 − 𝑦𝜕𝐹
𝜕 𝑦= 𝐷
แทนคาในสมการ Euler-Lagrange ส าหรบการแกปญหาแบบ Isoperimetric
𝐹 = 𝜌𝑔 𝑦 +𝜆
𝜌𝑔1 + 𝑦 2
𝑦𝜕𝐹
𝜕 𝑦= 𝑦 𝑦 +
𝜆
𝜌𝑔
𝜌𝑔 𝑦
1 + 𝑦 2
𝑦 +𝜆
𝜌𝑔𝜌𝑔 1 + 𝑦 2
− 𝑦 𝑦 +𝜆
𝜌𝑔
𝜌𝑔 𝑦
1 + 𝑦 2= D
𝜌𝑔 𝑦 +𝜆
𝜌𝑔1 + 𝑦 2 −
𝑦 2
1 + 𝑦 2= D
𝜌𝑔𝑦 + 𝜆1
1 + 𝑦 2= D
สมการ (8.5)
สมการ (8.6)
สมการ (8.7)
สมการ (8.9)
สมการ (8.11)
สมการ (8.10)
6 ) แกสมการในรปของ 𝑦 จากสมการ 1
𝑦 =1
𝐷2 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 2 − 1
เมอความสมพนธของ 𝑦 =𝑑𝑦
𝑑𝑥ดงนน
𝑥 = 𝐷 𝑑𝑦
𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 2 − 1
𝑥 =𝐷
𝜌𝑔𝑙𝑛 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 + 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 2 − 1 + 𝐶
𝑥 =𝐷
𝜌𝑔cosh−1 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 + 𝐶
หรอในแบบของ cosh−1 𝜃
y(x) =1
𝜌𝑔cosh
𝜌𝑔 𝑥 − 𝐶
𝐷−
𝜆
𝜌𝑔
สมการ (8.12)
สมการ (8.13)
จดใหอยในรปของ y(x)
สมการ (8.15)
สมการ (8.14)
ลกษณะความโคงแบบ Catenary เปนความโคงของโดมทใหความ “แขงแรงสงทสด”
The Gateway ณ เมอง St.Louis, USA
สะพาน Golden Gate Bridge แบบCatenary
Why isn't Parabola?
9. สมการการเคลอนทของ Lagrange
ตามหลกการของ Hamilton วตถจะเคลอนทตามเสนทางทท าให 𝑡1𝑡2 𝐿 𝑞𝑖 , 𝑞𝑖 𝑑𝑡 มคานอย
ทสด
โดยท 𝐿 𝑞𝑖 , 𝑞𝑖 กคอผลตางของพลงงานศกยและพลงงานจลย หรอ 𝐿 𝑞𝑖 , 𝑞𝑖 ≡ 𝑇 𝑞𝑖 −
𝑈 𝑞𝑖
ค าถามกคอวา แลวเสนทางทวาน จะหาไดอยางไร?ค าตอบคอ เราสามารถใชหลกการของ Euler มาแกหาจดต าสดไดดงตอไปน
ซง g 𝑞𝑖 คอ สมการขอจ ากด (equations of constraint) ทแสดงถงความสมพนธระหวาพกดตางๆ ทเขยนใหอยในรปมาตรฐาน g 𝑞𝑖 = 0
สมการนเรยกวา Lagrange Equation𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞𝑖+ 𝜆
𝜕𝑔
𝜕𝑞𝑖= 0
ตวอยาง พจารณาระบบทมพกดแบบทรงกระบอก ถาเรางอลวดเปนทรงพาราโบลา ทมสมการ𝑧 = 𝑐𝑟2 จากนนน าลกปดมวล 𝑚 ไปเสยบไวทขางไดขางหนง เสนลวดจะตองหมนดวยความเรวเชงมม 𝜔 เทาได ลดปดจงจะไมหลนลงพน แตอยนงกบท?
วธท า พจารณาพลงงานของระบบทงหมดและ พรอมพจารณาเงอนไขการเคลอนท
𝑇 = 12𝑚 𝑟2 + 𝑟 𝜃2 + 𝑧2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑧
𝑧 = 𝑐𝑟2
ตามแบบ Lagrange ไดดงน𝐿 = 𝑇 − 𝑈
𝑧 = 2𝑐 𝑟𝑟
𝜃 = 𝜔𝑡 𝜃 = 𝜔
𝐿 = 𝑚2 𝑟2 + 𝑟2𝜔2 + 4𝑐2𝑟2 𝑟2 −𝑚𝑔𝑐𝑟2
สมการ (9.5)
สมการ (9.4)
สมการ (9.3)
สมการ (9.2)
สมการ (9.1)
สมการ (9.6)
𝑧 = 𝑐𝑟2
𝜔
𝜃
𝑟𝑧
𝑅
𝑥
𝑧
𝑦
จะไดสมการพลงงานของ Lagrange
𝜕𝐿
𝜕𝑟= 𝑚 4𝑐2𝑟 𝑟2 + 𝑟𝜔2 − 2𝑔𝑐𝑟
แทนคาลงในสมการ Lagrange
𝐿 = 𝑚2
𝑟2 + 𝑟2𝜔2 + 4𝑐2𝑟2 𝑟2 −𝑚𝑔𝑐𝑟2
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑟=
𝑚
22 𝑟 + 16𝑐2𝑟 𝑟2 + 8𝑐2𝑟2 𝑟
𝜕𝐿
𝜕 𝑟=
𝑚
22 𝑟 + 8𝑐2𝑟2 𝑟
𝜕𝐿
𝜕𝑟−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑟= 0
สมการ (9.6)
สมการ (9.7)
สมการ (9.8)
สมการ (9.9)
สมการ (9.10)
𝑧 = 𝑐𝑟2
𝜔
𝜃
𝑟𝑧
𝑅
𝑥
𝑧
𝑦
จะไดสมการ สมการการเคลอนทในรปทว คอ
เมอพจารณาทลกปดลอยนงและไมตก จะเหนไดวา 𝑟 = R = คาคงท ดงนน 𝑟 = 𝑟 = 0 จากสมการขางตนท าใหเราสามารถหาคา 𝜔 ทจะลกปดลอยนงและไมตก คอ
𝑟 1 − 4𝑐2𝑟2 + 𝑟2 4𝑐2𝑟 + 𝑟 2𝑔𝑐 − 𝜔2 = 0
𝑅 2𝑔𝑐 − 𝜔2 = 0
𝜔 = 2𝑔𝑐
สมการ (9.11)
สมการ (9.11)
𝑧 = 𝑐𝑟2
𝜔
𝜃
𝑟𝑧
𝑅
𝑥
𝑧
𝑦
จะไดคา 𝜔 ทนอยทสดลกปดลอยนงได คอ 2𝑔𝑐
10. ความหมายของ 𝜆 𝜕𝑔
𝜕𝑞𝑖
จากสมการของ Lagrange ในระบบแบบมขอจ ากด
Force of Constrain แปลวาแรง ทมผลท าใหวตถเคลอนทตามขอจ ากดนนๆ
ตวอยาง การเคลอนทของวตถตามแนวราบ ก าหนดใหตวแปรอสระเปน 𝑥, 𝑦
จะไดวา 𝜆 𝜕𝑔
𝜕𝑞𝑖= 𝑚𝑔
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞𝑖+ 𝜆
𝜕𝑔
𝜕𝑞𝑖= 0
𝑚
เราสามารถทจะตความไดวา 𝝀 𝝏𝒈
𝝏𝒒𝒊กคอ Force of Constrain นนเอง
ตวอยาง วตถทเคลอนทบนทรงกลม จงหามม 𝜃0 ทวตถเรมเคลอนทออกจากพนผว
สรางสมการการเคลอนทไดดงน
𝑔 𝑟, 𝜃 = 𝑟 − 𝑎 = 0𝑚
𝜃0
𝑟 = 𝑎
พจารณาเงอนไขขอจ ากดวตถเคลอนทมวล 𝑚 ในทนคอ
พจารณาพลงงานจลน และ พลงงานศกด
𝑇 =𝑚
2 𝑟2 + 𝑟2 𝜃2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑟 cos 𝜃
𝐿 = 𝑇 − 𝑈
𝐿 =𝑚
2 𝑟2 + 𝑟2 𝜃2 −𝑚𝑔𝑟 cos 𝜃
𝜕𝐿
𝜕𝑟−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑟+ 𝜆
𝜕𝑔
𝜕𝑟= 0
𝜕𝐿
𝜕𝜃−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝜃+ 𝜆
𝜕𝑔
𝜕𝜃= 0
𝜕𝑔
𝜕𝑟= 1
𝜕𝑔
𝜕𝜃= 0
สมการ (10.1)
สมการ (10.2)
สมการ (10.3)
สมการ (10.4)
สมการ (10.5)
สมการ (10.6)
สมการ (10.7)
สมการ (10.8)
สมการ (10.9)
𝑚
𝜃0
𝑟 = 𝑎
เมอแทนคา 𝐿 ลงในสมการการเคลอนทของ Lagrange ไดดงน𝑚𝑟 𝜃2 −𝑚𝑔 cos 𝜃 − 𝑚 𝑟 + 𝜆 = 0
𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃 − 𝑚𝑟2 𝜃 − 2𝑚𝑟 𝑟 𝜃 = 0
เมอแทนคา 𝑟 = 𝑎 ดงนน 𝑟 = 𝑟 = 0
𝑚𝑎 𝜃2 −𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝜆 = 0
𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃 − 𝑚𝑎2 𝜃 = 0
𝜃 =𝑔
𝑎sin 𝜃
จากสมการ (10.13) จะไดวา
จาก Chain rule จะได 𝜃 =𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝜃
𝑑𝑡=
𝑑 𝜃
𝑑𝑡=
𝑑 𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡= 𝜃
𝑑 𝜃
𝑑𝜃
สมการ (10.10)
สมการ (10.11)
สมการ (10.12)
สมการ (10.13)
สมการ (10.14)
สมการ (10.15)
𝑚
𝜃0
𝑟 = 𝑎
จากเงอไขของการเคลอน 𝜃 = 0 ท t = 0 เมอ𝜃 = 0 แทนคา 𝜃 ในสมการของ 𝜆 ไดดงน12𝑚𝑎 −
𝑔
𝑎cos 𝜃 +
𝑔
𝑎−𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝜆 = 0
𝜃 𝑑 𝜃 =𝑔
𝑎 sin 𝜃 𝑑𝜃
จะไดวา 𝜆 = 𝑚𝑔 3 cos 𝜃 − 2
เมอแทนคา 𝜃 = 𝜃𝑑 𝜃
𝑑𝜃กลบไปในสมการ (10.14)
𝜃
2= −
𝑔
𝑎cos 𝜃 +
𝑔
𝑎
จากเงอไขมวลจะหลดจากผวโครงเมอ 𝜆 = 0 ดงนนจะคา 𝜃 ทมากทสดท คอ
𝜆 = 0 = 𝑚𝑔 3 cos 𝜃 − 2𝜃0 = cos−1
2
3
สมการ (10.16)
สมการ (10.17)
สมการ (10.18)
สมการ (10.19)
สมการ (10.20)
ตวอยาง ทนยมกนในการแกปญหาแบบ Lagrange
ตวอยาง 10.1
𝜃𝑅
𝑦
𝛼
𝑔
𝑦
𝑥
𝑚1
𝑚1
ตวอยาง 10.2
𝜃1
𝜃2
𝑔
ตวอยาง ทนยมกนในการแกปญหาแบบ Lagrange
ตวอยาง 10.3
𝑔
𝑚1
𝑚3𝑚3
𝛼
𝑔
𝑀
ตวอยาง 10.4
𝑣
1. Σ 𝐹 = 0
2. Σ 𝐹 = 𝑚 𝑥3. 𝐹 = − 𝐹
Sir Isaac Newton
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞𝑖+ 𝜆
𝜕𝑔
𝜕𝑞𝑖= 0
Joseph-Louis Lagrange
สรป : Newton’s Law และ Lagrange’s Equations
แรง พลงงาน
เวกเตอร สเกลาร