س هو ۲ ﺮ ﻟای راﺪ - rahilzargarinejad.ir · لواﺶﺶ ﺖ تﺎﮐو ﻪ ﺣ : ﺤ...

وه س وه س۲۲ دار ی ال ر دار ی ال ر

))مم ھار ھار و ا ش و ا ش ((

را زر ی ادرا زر ی اد

ش اول ش اول اف ی ب ه و اف ی ب ه و

و ح هو ح ه ت ت کاتکاتو ح و ح

۲۲ دار ی ال ر دار ی ال ر

5صفحه

ستست کاتکاتگراف هاي شبکه و تجزیه و تحلیل حلقه و گراف هاي شبکه و تجزیه و تحلیل حلقه و ::بخش اولبخش اول 33

مقدمه -1-1

در این . آموختیم، فرض اولیه مسطح بودن گراف مداري بود 1در تمام روش هاي تحلیل مدار که در درس مدارهاي الکتریکی و حلقه می پردازیم که نسبت به روش هاي گره و مش داراي انعطاف پذیري ست کاتعرفی روش هاي تحلیل بخش به م

.بیشتري بوده و از جمله کاربردهاي آن در شبکه ها با گراف غیرمسطح می باشدو فقط گره ها و در این فصل مدارهاي الکتریکی را بعنوان یک گراف مورد بررسی قرار می دهیم یعنی اجزاي مداري را حذف

:شاخه ها را در نظر می گیریم

مدار به گراف تبدیل: 1-1شکل

:یادآوري 3

منظور از گراف، دسته اي از گره ها به همراه دسته اي از شاخه ها می باشد بطوریکه به هر دو سر هر شاخه، یک گره متصل .باشد

انواع گراف: 2-1شکل

:اگر شاخه هاي گراف، پیکان جهت دار، گراف را جهت دار گویند

گراف جهت دار و ساده: 3-1شکل

شاخه و bفرض کنید که یک گراف شامل . براي هر گراف جهت دار یک ماتریس متناظر به نام ماتریس تالقی تعریف می گرددtn ماتریس تالقی گره با شاخه . گره باشدaA به یک ماتریس با ابعادtn b× گفته می شود بطوریکه داشته باشیم:

اف ی ب ه و و ح ح ه و کات ت اف ی ب ه و و ح ح ه و کات ت: : ش اول ش اول

6صفحه

1-1 = ⎩⎪⎨⎪⎧ اگر شاخه با گره تالقی نداشته باشد 0اگر شاخه به گره وارد شود 1−اگر شاخه از گره خارج شود 1

و یک 1فقط شامل یک aAاز آنجا که هر شاخه از یک گره خارج شده و به یک گره دیگر وارد می شود، هر ستون ماتریس .بوده و تمام درایه هاي دیگر آن صفر است −1

:1- 1مثال 3 :ماتریس تالقی گراف شکل زیر را مشخص نمایید

:حل

:ماتریس تالقی بصورت زیر خواهد بود1 1 0 0 0 01 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 00 0 0 0 1 10 1 1 0 0 1

12345

1 2 3 4 5 6

aA

− − = − − − −

:ها و قانون جریان کیرشف ست کات - 1-2

اگر گره هاي یک شبکه مداري را توسط یک سطح گوسی به دو دسته تقسیم کنیم، بطوریکه دسته اي از گره ها در داخل و دسته دیگر خارج آن باشند، قانون جریان کیرشف الزم می دارد که مجموع جبري جریان هاي که از سطح گوسی خارج و یا

:با این تعمیم از قانون جریان کیرشف به تعریف جدیدي می رسیم .فر باشدداخل می شوند، مساوي ص

:تعریف :گویند، چنانچه ست کاتدسته اي از شاخه هاي یک گراف پیوسته را

.حذف تمام شاخه هاي این دسته موجب شود که گراف باقیمانده داراي دو جزء جدا از هم باشد) الف .یکی از آنها گراف را پیوسته باقی گذارد حذف تمام شاخه هاي این دسته بجز) ب

:2- 1مثال 3 :می باشد ست کاتکدام یک از دسته شاخه هاي معرفی شده زیر 1- 1براي گراف مداري مثال

1,2 )1 :حل

بودن شاخه باید دو شرط تعریف فوق را بررسی نماییم؛ براي بررسی شرط اول ابتدا تمام شاخه هاي بیان شده ست کاتبراي بررسی را حذف می کنیم تا مشخص شود که آیا گراف به دو قسمت تقسیم می گردد یا خیر؟


7صفحه

یک از شاخه هاي حذف شده به تنهایی گراف را پیوسته می کند یا اکنون که این شرط برقرار است، بررسی می کنیم که آیا رسم هر

خیر؟

.هستند ست کاتبنابراین این دسته شاخه ها

1,3,6 )2 :حل

از شاخه هاي حذف شده به تنهایی گراف را پیوسته می کند یا اکنون که این شرط برقرار است، بررسی می کنیم که آیا رسم هر یک

خیر؟41

2 36

5

هتسویپ

41

2 36

5

هتسویپ

41

2 36

5

هتسویپ .هستند ست کاتبنابراین این دسته شاخه ها

:3- 1مثال 3 :می باشد ست کاتبراي گراف مداري زیر کدام یک از دسته شاخه هاي معرفی شده زیر

2,9,8 )1

:حل

.نیست ست کاتگراف مجزا نخواهد شد بنابرین


8صفحه

1,9,8,10,5 )2 :حل

گراف را پیوسته می کند یا اکنون که این شرط برقرار است، بررسی می کنیم که آیا رسم هر یک از شاخه هاي حذف شده به تنهایی

خیر؟

.ستندنی ست کاتبنابراین این دسته شاخه ها

:، قانون جریان کیرشف را مجددا بررسی می کنیمست کاتاکنون با دانستن تعریف

:ست کاتبراي )KCL( قانون جریان کیرشفهر تمام شاخه هاي جریان هاي آن، جمع جبري ست کاتبراي هر شبکه فشرده و در هر لحظه از زمان و براي هر یک از

.مساوي صفر استآن ست کات

در نظر می گیریم و سپس در نوشتن معادله ست کاتبراي دلخواه، ابتدا یک جهت ست کاتبراي تعیین عالمت جبري هر :نکته .را مثبت و جریان هاي خالف جهت با آن را منفی لحاظ می کنیم ست کاتجریان، جریان هاي هم جهت با

.خواهند بود ست کاتتمام شاخه هاي متصل به یک گره در گراف مداري :نکته

:4- 1مثال 3 :را بیان کنید KCLقانون 3- 1مثال هاي نشان داده شده در گراف مداري ست کاتبراي

:حل

4 :1شماره ست کات 6 10 0i i i+ + = 2 :2شماره ست کات 9 8 10 0i i i i+ + − = 1 :3شماره ست کات 7 0i i− + =


9صفحه

: حلقه ها و قانون ولتاژ کیرشف - 3- 1

:تعریف :گویند اگر حلقهیک زیرگراف از گراف اصلی مداري را

.شاخه هاي این زیر گراف متصل باشند) الفبا شروع از هر گره در مسیر ایجاد شده توسط شاخه هاي این زیرگراف از هر گره تنها یکبار عبور کنیم و مجددا به گره اول ) ب

.بازگردیم

:5- 1مثال 3 :یک از دسته شاخه هاي معرفی شده زیر حلقه می باشندبراي گراف مداري زیر کدام

4,5,6,3 )1

:حلبنابراین مسیر . این چهار شاخه متصل هستند و با شروع از هر گره می توان با عبور از این چهار شاخه مجددا به گره اصلی بازگشت

.گوینداین شاخه ها را حلقه 4,2,1,7,9 )2

:حل .بنابراین حلقه نیست. بازگشت 1نمی توان با عبور از این پنج شاخه مجددا به گره 1این پنج شاخه متصل هستند اما با شروع از گره

6,5,7 )3 :حل

.بنابراین حلقه تشکیل نمی دهند. این سه شاخه متصل نیستند

.نیستند ست کاتبنابراین این دسته شاخه ها :حلقهبراي )KVL( کیرشف ولتاژقانون

مساوي ولتاژ شاخه هاي هر حلقههاي آن، جمع جبري حلقهبراي هر شبکه فشرده و در هر لحظه از زمان و براي هر یک از .صفر است

براي آم در نظر می گیریم و سپس در نوشتن معادله ولتاژ، دلخواهبراي تعیین عالمت جبري هر حلقه، ابتدا یک جهت :نکته .شاخه هاي هم جهت با حلقه را مثبت و شاخه هاي خالف جهت با آن را منفی لحاظ می کنیم

:6- 1مثال 3 .را بیان نمایید KVLقانون براي گراف مداري زیر


10صفحه

:حل

4 :1حلقه شماره 5 6 3 0v v v v− − + − = 5 :2حلقه شماره 8 11 9 0v v v v− + + − = 4 :3حلقه شماره 2 1 7 11 10 3 0v v v v v v v− + + + − + − =

و حلقه آشنا شدیم، می توانیم به تجزیه و تحلیل مدارهاي الکتریکی با استفاده از روش هاي مبتنی ست کاتاکنون که با تعاریف دیگر، بحث در چند نکتهبا بیان . این روشها عموما روشهایی براي حل مدار هاي پیچیده می باشند. و حلقه بپردازیم ست کاتبر

:خصوص این روش ها را آغاز می کنیم :تعریف

:گویند، اگر درختیک زیر گراف از گراف مداري را .زیرگراف متصل باشد) الف .شامل تمام گره هاي گراف اصلی باشد) ب .شامل هیچ حلقه اي نباشد )ج

:7- 1مثال 3 :براي حلقه هاي مشخص شده در گراف مداري زیر، قانون ولتاژ کیرشف را بیان نمایید

.هر سه شرط را داراست، بنابراین درخت است

.پس درخت نیستحلقه دارد

.را شامل نمی شود، درخت نیست 5گره

بطور مثال در گراف زیر . گویندلینک براي هر درخت از گراف اصلی، شاخه هایی از گراف را که شاخه درخت نباشند، :تعریف :شاخه هاي خط چین، لینک هاي درخت مشخص شده می باشند


11صفحه

:مهم تانک

1tnشاخه باشد، هر درخت از این گراف، داراي bگره و tnاگر یک گراف مداري، شامل n= )شاخه و − )1tb n= − −l یاb n= −l خواهد بودلینک.

2tnگره برابر tnیک گراف شامل ممکن قابل ترسیم بر روي تعداد درخت هايtn .می باشد −

:قضیه

:از آن را در نظر بگیرید Tشاخه و یک درخت bگره و tnبا gگراف متصل .، مسیر یکتایی از روي شاخه هاي درخت وجود دارد gمیان هر جفت گره از • .دهند تشکیل می حلقه اساسی، حلقه یکتایی به نام Tو مسیر یکتاي میان گره هاي دو سر آن روي شاخه هاي Tهر لینک از • ست اساسی کاتیکتایی به نام ست کاتصدق کنند، ست کاتبه همراه برخی از لینکهاي آن که در تعریف Tهر شاخه از درخت •

.تشکیل می دهند .است Tهاي اساسی به تعداد شاخه هاي درخت و تعداد حلقه هاي اساسی به تعداد لینک هاي درخت ست کاتتعداد •

:8- 1مثال 3 براي گراف زیر،

.درخت و تعداد لینک ها را مشخص نماییدتعداد شاخه هاي ) الف .یک درخت را مشخص نمایید) ب .هاي اساسی درخت قسمت ب را مشخص نمایید ست کاتحلقه ها و ) ج

:حل

5 1 426

t tn n nb nb

= = − = → = − == l

الف(

:بعنوان مثال. بعنوان درخت انتخاب نمودشاخه از این گراف که در تعریف درخت صدق کنند، را می توان 4هر ) ب

.یک درخت است

:ها و حلقه هاي اساسی بصورت زیر خواهند بود ست کات )ج


12صفحه

:هاي اساسی ست کات

1 ,3,4

2 ,3,4

6 ,4

5 ,4

:حلقه هاي اساسی

4 ,1, 2,6,5

3 ,1, 2

ها و حلقه هاي اساسی گراف ست کاتمی توان معادالت جریان و ولتاژ مربوط به ،اکنون با استفاده از تعاریف جدید ارائه شدهبا دسته بندي معادالت مداري به . بدست آوردمداري را مشخص نموده و با حل آنها ولتاژ و جریان تمام شاخه هاي مدار را

.ارائه می گردد ست کاتمعادالت مربوط به ولتاژ و معادالت مربوط به جریان شاخه ها دو روش جدید مبتنی بر تعاریف حلقه و

:تجزیه و تحلیل حلقه -1-4

:در روش تجزیه تحلیل حلقه مراحل زیر را انجام می دهیم

)این درخت . از آن را انتخاب کنید Tگره را در نظر گرفته و درخت دلخواه tnشاخه و bبا بهمگراف متصل یک .1 )1tn n= − )شاخه درخت و )1tb n= − −l لینک دارد.

.شماره گذاري می کنیم bتا l+1و شاخه هاي درخت را از lلینک ها را از یک تا .2 .گیریم براي حلقه ها در نظر می )هم جهت با لینک مربوطه(حلقه هاي اساسی درخت را مشخص نموده و یک جهت قرار دادي .3 :را که ماتریس حلقه اساسی خوانده می شود بصورت زیر تشکیل می دهیم Bماتریس .4

1-2 b×l = ⎩⎪⎨⎪⎧ 1 ∶ ∶ 1−اگر شاخه در حلقه و بوده و جهت قراردادي آنها یکسان باشد ∶ 0اگر شاخه در حلقه و بوده و جهت قراردادي آنها یکسان نباشد اگر شاخه در حلقه نباشد

1bvاگر بردار .5 :داریم Bبا استفاده از ماتریس . را بردار ولتاژ شاخه هاي گراف در نظر بگیریم ×

1-3 . 0B V =

:از آنجا که هر حلقه اساسی تنها یک لینک را شامل می شود، داریم. بیانگر معادالت ولتاژ گراف مداري می باشد 3- 1که معادله

1-4 [ ]|B I F×= l l

l×یک ماتریس یکه Iکه در آن l وF یک ماتریس n×l بدون شرط خاصی می باشد. ام آن کل امپدانس موجود kتشکیل می دهیم بطوریکه درایه روي قطر اصلی سطر Zاکنون یک ماتریس امپدانس قطري به نام .6

.باشد kدر شاخه شماره :را بصورت زیر محاسبه می کنیم Tماتریس امپدانس حلقه براي درخت .7

1-5 . . TZ B Z Bl @

.دهیم تشکیل می) SJ(و دیگري براي منابع جریان شاخه هاي گراف ) SV(یکی براي منابع ولتاژ شاخه ها ×1bدو بردار با ابعاد .8رت باشد، مثبت و در غیر اینصو شاخه مربوطهي جریان آنها هم جهت با براي نوشتن این دو بردار، منابع ولتاژي که جهت قرار داد

.منفی در نظر گرفته خواهند شد


13صفحه

:اکنون جریان حلقه هاي اساسی مدار بصورت زیر بدست می آید .9

1-6 . . .s s se BV B Z J− +@

1-7 1. si Z e−= l

.شامل جریان حلقه هاي اساسی می باشد l×1 یک بردار iکه در آن

:نکته .گیریم منابع جریان موازي با المانهاي دیگر را مجموعا یک شاخه در نظر می/ در ترسیم گراف مداري، منابع ولتاژ سري با المان هاي دیگر

.قبل از ترسیم گراف مداري، ابتدا مدار را تا جاي ممکن ساده می کنیم

:9- 1مثال 3 :شاخه هاي مدار زیر را به روش حلقه محاسبه نماییدجریان

20 0°R 30 90− °R

15 jΩ 5 jΩ−

10Ω

:حل

:ابتدا گراف مداري را رسم می کنیم

سپس . دهیم یک درخت از این گراف انتخاب نموده و شماره گذاري را بر اساس نکات فوق انجام می. شاخه دارد 3گره و 2این گراف

:حلقه هاي اساسی آن را مشخثص می کنیم1 2

3

1 22 1

23tn n

b= =

→ == l

:با توجه به این گراف، ماتریس هاي حلقه و امپدانس بصورت زیر خواهند بود

1 0 10 1 1

B = −

:1 هخاش:2 هخاش:3 هخاش


14صفحه

15 0 00 5 00 0 10

jZ j

= −

:نابراین ماتریس امپدانس حلقه بصورت زیر محاسبه می گرددب

15 0 0 0 0 00 0 0 0 5 00 0 10 0 0 10

15 0 0 1 0 15 01 0 1 1 0 1 15 0 10 0 0 10

0 5 0 0 1 0 50 1 1 0 1 1 0 0 10 0 5 10

0 0 10 1 1 10 10j

j

j jj

Z j jj

+ + + + + + − + + + + −

+ + + − = − = − = − − + − − + − −

l

14444244443

:اکنون بردارهاي منابع را مشخص می کنیم( ) ( )

( ) ( )20 0 20(cos 0 sin 0 ) 20

30 90 20(cos 90 sin 90 ) 30

j

j j

° = + =

− ° = − + − = −

R

R

20300

000

s

s

V j

J

− = − =

:اکنون داریم

( ) ( )

11

201 0 1 20 0 0 20

. . . 30 00 1 1 0 30 0 30

0

10 15 10 20 10 5 10 201.10 10 5 30 10 10 15 3010 15 10 5 100

s s s

s

e BV B Z J jj j

j ji Z e

j j j jj j

−

−

− − + + − + = − − + = − = − − +

+ − − = = = − − ++ − −

l

@

2

2

1

10 5 10 20 10 5 10 201 110 10 15 30 10 10 15 30100 50 150 75 100 75 100

200 100 300 200 200 2.24 0.321 1200 300 450 250 300 0.72 3.0475 100 75 100

j jj j j jj j j j

j j j jj j j jj j

i

− − = = + +− + − − +

− + + − = = = + + − + ++ +

→2

2.24 0.320.72 3.04

ji j

= − = +

:نمایش دهیم داریم Jبنابراین اگر جریان شاخه هاي مدار اصلی را با 1

2

3 1 2

2.24 0.320.72 3.04

1.53 3.36

j jj jj j j j

= − = + = − = −

:10- 1مثال 3 :را محاسبه نمایید 4Ωبا استفاده از روش حلقه، ولتاژ مقاومت


15صفحه

10 2 45οR12

90οΩ

R4Ω

6Ω2

90ο

−Ω

R

4 90ο− ΩR

8Ω

+−

:حل

:گراف مداري را رسم می کنیمابتدا


:حلقه هاي اساسی آن را مشخص می کنیم1 2

3

1 22 1

23tn n

b= =

→ == l

:ماتریس هاي حلقه و امپدانس بصورت زیر خواهند بود با توجه به این گراف،

1 0 10 1 1

B = −

8 4 0 00 4 12 00 0 6 2

jZ j

j

− = + −

4 90 412 90 122 90 2

jj

j

° = ° = → − ° = −

RR

R :بنابراین ماتریس امپدانس حلقه بصورت زیر محاسبه می گردد

8 4 00 4 126 2 6 2

8 4 0 0 1 0 8 4 01 0 1 1 0 1 14 6 6 2

0 4 12 0 0 1 0 4 120 1 1 0 1 1 6 2 10 10

0 0 6 2 1 1 6 2 6 2i

ii i

j ii i

Z j ii i

j i i−

+ − − +

− − − − + = + = + = − − − + + − − − − +

l

144444424444443

:ارهاي منابع را مشخص می کنیماکنون برد


16صفحه

( ) ( ) ( )2 210 2 45 10 2(cos 45 sin 45 ) 10 2( ) 10 12 2

j j j° = + = + = +R

10(1 )00

000

s

s

jV

J

− + = =

:اکنون داریم10(1 )

1 0 1 10(1 ) 10(1 ). . . 0 0

0 1 1 0 00

s s s

jj j

e BV B Z J− +

− + + − + = − + = − = −

@

( )11 14 6 6 2 10 1.

6 2 10 10 0s

i i ji Z e

i i

−− − − + +

= = − + + l

( ) ( )( )( )( )( )

1

2

10 10 10 1016 2 10 10140 60 140 60 36 24 4

100 100 100 100 2001 160 60 20 20 80 40168 104 168 104

0.5328 + 0.86070.4508 0.0410

j jj jj j j

j j jj j jj j

i ji j

+ + = − +− + + − − −

+ + − = = + − + −+ +

=→ = −

:برابر است با 4Ωولتاژ شاخه بنابراین 2(4 ) 4 1.8033 0.1639V i jΩ = = −

:11- 1مثال 3 :جریان مجهول را محاسبه نماییدبا استفاده از روش حلقه،

20V

2Ω

+−

5Ω 10Ω

20Ω 10Ω8iφ

iφ

:حل

:، براي این کار ابتدا مدار را تا جاي ممکن ساده می کنیمابتدا گراف مداري را رسم می کنیم


17صفحه

20V

2Ω 5Ω

20Ω

0.8iφ

iφ

20V

2Ω 10Ω

20Ω4iφ

iφ

10 ||105

Ω Ω

Ω=+−

:بنابراین

توجه کنید . دهیم یک درخت از این گراف انتخاب نموده و شماره گذاري را بر اساس نکات فوق انجام می. شاخه دارد 3گره و 2این گراف

آن را سپس حلقه هاي اساسیجهت جریان شاخه ها را دلخواه انتخاب نموده و . که در صورت سوال جهت جریان ها مشخص نشده است :مشخص می کنیم

1 23

1 22 1

23tn n

b= =

→ == l

:با توجه به این گراف، ماتریس هاي حلقه و امپدانس بصورت زیر خواهند بود

1 0 10 1 1

B = −

2 0 00 10 00 0 20

Z =

:انس حلقه بصورت زیر محاسبه می گرددبنابراین ماتریس امپد

2 00 1020 20

2 0 0 1 0 2 01 0 1 1 0 1 22 20

0 10 0 0 1 0 100 1 1 0 1 1 20 30

0 0 20 1 1 20 20Z

−

− = = = − − − − −

l

144424443

، با توجه به اینکه در این مدار منبع وابسته داریم، باید منبع وابسته را بصورت معادله اي از اکنون بردارهاي منابع را مشخص می کنیم2 :براي این کار می نویسیم. جریان حلقه هاي اساسی وارد کنیم 24 4i i i iφ φ= → =

:بنابراین


18صفحه

2040

000

s

s

V i

J

φ

− = =


22 2

2020 201 0 1

. . . 4 04 40 1 1

0s s se BV B Z J i

i i

− − − + = − + = − = −−

@

1

1

2 2

20 2022 20 0.1154 0.0769.

4 420 30 0.0769 0.0846si Z ei i

−− −

= = = − −− l

11 2 1 2

2 2 2 2

2.3 0.3 1.12 1.962.3 0.3 2.3 0.31.541.54 0.34 1.34 1.54 1.121.34

ii i i ii i i i

= − × ≅= − = − → → → = − = = ;

:ست کاتروش تجزیه و تحلیل -1-5

:تجزیه تحلیل حلقه مراحل زیر را انجام می دهیم در روش

)این درخت . از آن را انتخاب کنید Tگره را در نظر گرفته و درخت دلخواه tnشاخه و bیک گراف متصل بهم با .1 )1tn n= − )شاخه درخت و )1tb n= − −l لینک دارد.

.شماره گذاري می کنیم bتا l+1و شاخه هاي درخت را از lلینک ها را از یک تا .2ها در نظر ست کاتبراي ) هم جهت با شاخه درخت مربوطه(هاي اساسی درخت را مشخص نموده و یک جهت قرار دادي ست کات .3

.گیریم می :اساسی خوانده می شود، بصورت زیر تشکیل می دهیم ست کاترا که ماتریس Qماتریس .4

1-8 n b× = ⎩⎪⎨⎪⎧ 1 ∶ ∶ 1−اگر شاخه در کات ست و بوده و جهت قراردادي آنها یکسان باشد ∶ 0اگر شاخه در کات ست و بوده و جهت قراردادي آنها یکسان نباشد اگر شاخه در کات ست نباشد

1bJاگر بردار .5 :داریم Qبا استفاده از ماتریس . را بردار جریان شاخه هاي گراف در نظر بگیریم ×

1-9 . 0Q J =

اساسی تنها یک شاخه اساسی را شامل ست کاتاز آنجا که هر . بیانگر معادالت جریان گراف مداري می باشد 9- 1که معادله :شود، داریم می

1-10 [ ]| n nQ E I ×=

nیک ماتریس یکه Iکه در آن n× وE یک ماتریسn × l بدون شرط خاصی می باشد.


19صفحه

ام آن کل ادمیتانس موجود kتشکیل می دهیم بطوریکه درایه روي قطر اصلی سطر Yاکنون یک ماتریس ادمیتانس قطري به نام .6 .باشد kدر شاخه شماره

:را بصورت زیر محاسبه می کنیم Tي درخت برا ست کاتماتریس ادمیتانس .7

1-11 . . TqY QY Q@

.دهیم تشکیل می) SJ(و دیگري براي منابع جریان شاخه هاي گراف ) SV(یکی براي منابع ولتاژ شاخه ها ×1bدو بردار با ابعاد .8 .در نظر می گیریم و بقیه را منفی هستند را مثبت شاخهمنابع جریانی که هم جهت با

:هاي اساسی مدار بصورت زیر بدست می آید ست کاتاکنون ولتاژ .9

1-12 . . .s s si Q J Q Y V− +@

1-13 1.q se Y i−=

.هاي اساسی می باشد ست کاتشامل ولتاژ ×1nیک بردار eکه در آن

:12- 1مثال 3 :محاسبه نمایید ست کاتشاخه هاي مدار زیر را به روش ولتاژ

1 0 A°R 0.590

A°

R

10 jΩ

5Ω 10Ω

10 jΩ−

5 jΩ−

5 jΩ

:حل

:مدار را تا جاي ممکن ساده می کنیم ابتدا گراف مداري را رسم می کنیم، براي این کار ابتدا

( ) 2

5010 || 5 4 25 1010 5 5010 || 5 10

10 5 55010 || 5 2 4

10 51 0 1

0.5 90 0.5

jj jj

j j jj j jj j j

jj jj

j

−− = = − − × − −

− = = = − − → = = + +

° = ° =

R

R

1A 0.5 Aj

10 j−

4 2 j− 2 4 j+

:نیاربانب


.)جهت جریان شاخه ها دلخواه انتخاب شده است( :حلقه هاي اساسی آن را مشخص می کنیم


20صفحه

1

2 3

3

3 213

tn nb

= = → == l

2

:بصورت زیر خواهند بود و ادمیتانس ست کاتبا توجه به این گراف، ماتریس هاي

1 1 01 0 1

Q−

=

:1 هخاش

:2 هخاش

:3 هخاش

1 0 010 0.1 0 0

10 0 0 0.2 0.1 04 2

0 0 0.1 0.210 0

2 4

j jY j

jj

j

− = = + − − +

:بنابراین ماتریس امپدانس حلقه بصورت زیر محاسبه می گردد

0.1 0.10.2 0.1 0

0 0.1 0.2

0.1 0 0 1 1 0.1 0.11 1 0 1 1 0

0 0.2 0.1 0 1 0 0.2 0.1 01 0 1 1 0 1

0 0 0.1 0.2 0 1 0 0.1 0.2

0.2 0.2 0.10.1 0.1 0.1

q

j jj

j

j j jY j j

j j

j jj

− + −

− − − − = + = + − −

+ −=

− −

14444444244444443

j

:اکنون بردارهاي منابع را مشخص می کنیم000

01

0.5

s

s

V

Jj

= = −



21صفحه

01 1 0 1 1

. 0 11 0 1 0.5 0.5

0.5s si Q J

j jj

− − − + = − − = − = −

@

:نمایش دهیم داریم Vو ولتاژ شاخه هاي گراف را با eاکنون اگر ولتاژ شاخه هاي درخت را با 1

2

3

0.2 0.2 0.1 10.1 0.1 0.1 0.5

e j je

e j j

−+ − = = − − −

( ) ( ) ( )2

0.1 0.1 0.1 1 3 210.1 0.2 0.2 0.5 20.2 0.2 0.1 0.1 0.1

j j jj j jj j j

− − = = + −+ − −

( ) ( )1 3 2

2 2

3 3

2 3 2 1 23 22

V e e j jV e jV e

= − = − − = − +→ = = − = =

:13- 1مثال 3 :را محاسبه نمایید 4Ω، ولتاژ مقاومت ست کاتبا استفاده از روش

10 2 45οR

1290

οΩR

4Ω

6Ω2

90ο

−Ω

R

4 90ο− ΩR

8Ω

+−

:حل

:ابتدا گراف مداري را رسم می کنیم


:می کنیم حلقه هاي اساسی آن را مشخص

1 23

2 123

tn nb

= = → == l


22صفحه

:و ادمیتانس بصورت زیر خواهند بود ست کاتبا توجه به این گراف، ماتریس هاي

[ ]1 1 1Q = −

1 0 08 4 0.1 0.05 0 0

10 0 0 0.025 0.075 04 12

0 0 0.15 0.0510 0

6 2

j jY j

jj

j

− + = = − + + −

:بصورت زیر محاسبه می گردد بنابراین ماتریس امپدانس حلقه

[ ] [ ]

0.1 0.050.025 0.075

0.165

0.1 0.05 0 0 1 0.1 0.051 1 1 0 0.025 0.075 0 1 1 1 1 0.025 0.075 0.275 + 0.025

0 0 0.15 0.05 1 0.165q

j

j jY j j j

j− −

−

+ − − − = − − = − − = + 144444444424444444443

:اکنون بردارهاي منابع را مشخص می کنیم10(1 )

00

000

s

s

jV

J

− + = =


[ ]

0.5 1.500

0.1 0.05 0 0 10(1 )0 . . 1 1 1 0 0.025 0.075 0 0 0.5 1.5

0 0 0.15 0.05 0s s

j

j ji Q Y V j j

j− −

+ − + + = − − = + +

@

1444444444442444444444443

:نمایش دهیم داریم Vو ولتاژ شاخه هاي گراف را با eاکنون اگر ولتاژ شاخه هاي درخت را با

[ ] ( )13

1 0.5 1.5 2.2951 5.24590.275 + 0.025q se e Y i j j

j−

= = = + = +

34(4 ) 1.8033 0.1639

4 12V e j

jΩ

= = − +


23صفحه

:14- 1مثال 3 :، مدار زیر را تحلیل نماییدست کاتبا استفاده از روش

5A

1

0.2−Ω

1

0.8−Ω

1

0.3−Ω

ki4 ki

:حل

:بنابراین

سپس . دهیم یک درخت از این گراف انتخاب نموده و شماره گذاري را بر اساس نکات فوق انجام می. شاخه دارد 3و گره 3این گراف

.)جهت جریان شاخه ها دلخواه انتخاب شده است: (حلقه هاي اساسی آن را مشخص می کنیم

1

2 3

3

3 213

tn nb

= = → == l

2

:و ادمیتانس بصورت زیر خواهند بود ست کاتبا توجه به این گراف، ماتریس هاي

1 1 01 0 1

Q = −

:بنابراین ماتریس امپدانس حلقه بصورت زیر محاسبه می گردد

:1 هخاش

:2 هخاش

:3 هخاش

0.8 0 00 0.2 00 0 0.3

Y =


24صفحه

0.8 0.80.2 00 0.3

0.8 0 0 1 1 0.8 0.81 1 0 1 1 0 1 0.8

0 0.2 0 1 0 0.2 01 0 1 1 0 1 0.8 1.1

0 0 0.3 0 1 0 0.3qY

−

− − − = = = − − − 14444244443

:اکنون بردارهاي منابع را مشخص می کنیم000

05

4

s

s

k

V

Ji

= = −

:اکنون داریم0

51 1 0. 0 5

41 0 14

s sk

k

i Q Ji

i

− + = − − = −−

@

:اکنون باید جریان مجهول را به ولتاژ شاخه هاي درخت تبدیل کنیم

22

50.2

0.8k si e ie

= → = −

:نمایش دهیم داریم Vو ولتاژ شاخه هاي گراف را با eاکنون اگر ولتاژ شاخه هاي درخت را با 1

2

3 2 2

5 51 0.8 2.4 1.740.8 0.80.8 1.1 1.74 2.17

ee

e e e

−− = = = − −−

2 2 2 2

3 2 3 2 3

1 2 3

2 2

3 3

12 1.4 2.4 12 58.7 1.74 8.7 1.74 8.7 1.74 5 0

550

V

V

V

V

V

e e e ee e e e e

V e eV eV e

= − = = → → → = − = − = − × ≅ = − = = = = =

ش ش دومدوم

عادالت حا عادالت حا

عادالت حا عادالت حا : : ش دوم ش دوم

26صفحه

معادالت حالتمعادالت حالت ::بخش دومبخش دوم 33

2-

:مقدمه - 2-1

دیفرانسیل توصیف کننده مدار مربوطه داراي شکل براي شبکه هاي مداري که شامل عناصر سلف و خازن می باشند، معادالت کلی

2-1 ( , , )x f x w t=&

این معادالت، معادالت حالت توصیف کننده . ورودي مدار است wمولفه اي و nیک بردار xکه در این معادالت . می باشد :براي توصیف یک مدار به صورت فوق سه دلیل وجود دارد. مدار نامیده می شوند

.این نوع توصیف مداري براي برنامه نویسی مناسب تر است • .تعمیم این توصیف مداري به شبکه هاي غیرخطی از روش هاي دیگر راحت تر است • .ز مفاهیم نظریه اي سیستم ها، در این شکل به راحتی قابل کاربرد می باشدتعدادي ا •

:تعریف

0t، به همراه ورودي مدار، براي توصیف متغیرهاي مداري در 0tهر زمان با داشتن آنها دردسته اي از متغیرهاي مدار که t> .گویند متغیرهاي حالت مداررا کافی باشند

:معادالت حالت براي یک شبکه خطی بصورت زیر بیان می گردند

2-2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bw t

y t Cx t Dw t

= +

= +

&

)که در آن )x t ،بردار متغیرهاي حالت( )w t ورودي مدار و( )y t خروجی مورد نظر با مشخصات زیر می باشند: 2-3 1 1 1 1 1 1n n n m n m n mA B C D x w y× × × × × × × .تعداد متغیر هاي حالت است nتعداد ورودي و mکه در آن

:نکتهیا (و جریان هاي سلف هاي مدار ) بار خازنهایا (تحت شرایط کلی، حالت یک شبکه مداري، دلخواه بوسیله ولتاژ هاي خازن ها

:مشخص می گردد )شار سلف ها

) :سلف ) ( )

( ) ( )

LL

L L

di tv t L

dtt Li tφ

=

=

: خازن ( ) ( )

( ) ( )

CC

C C

dv ti t C

dtq t Cv t

=

=

:1-2مثال 3


27 صفحه

:آوریدمعادالت حالت مدارهاي زیر را بدست

sV

1R1L 2L

2RC ov+

−

:حل

:ابتدا متغیر هاي حالت مدار را مشخص می کنیم .این مدار دو سلف و یک خازن دارد

1

2

C

L

L

vx i

i

→ =

sV

1R1L 2L

2RC1i 2i

1Lv+ −2Lv+ −

Ci

∗1Li 2Li

ov+

−

:، معادالت حاکم بر ولتاژ سلف ها و جریان خازن را می نویسیم&x اکنون براي بدست آوردن بردار

1

2

1 1

2 2

1 2

0

0s L C

C L

C

V R i v v

v v R i

i i i

− + + + =

− + + = = −

:، براي این کار تمام متغیر ها را به متغیرهاي حالت و یا مشتقات آنها تبدیل می کنیمرا بدست می آوریم &xاکنون بردار

( )

( )

( )

1111

1 1

2 2

2 2 2 2

1 2

1 2 1 2

11 11

1 1 1

2 2 2 2 2 22

1 2

1

1

1

LLs L Cs L C

L s C s L CL L

L C C L C L C L

C L LC C

L L L L

didi V R i vL V R i v dt Ldtv V R i v V R i vdi di

v v R i v R i L v R i v R idt dt L

i i i i i dv dvC i i i idt dt C

= − −= − − = − − = − − = − = − → = − → = −

= − = − = − = −

:اکنون معادله خروجی را بدست می آوریم

2 22 2 2o R Lv v R i R i= = = :داریم 2- 2با مرتب کردن معادالت فوق بر اساس معادله


28صفحه

1 1

2 2

1

1 1 1

2

2 2

1 10 01 10

01 0

C C

L L s

L L

C Cv vRx i i V

L L Li iR

L L

− −− = = + × −

&&&&

[ ]1

2

20 0 0C

o L s

L

vv R i V

i

= + ×

sV

2Ω 1H Ci

15

F

ov+ −

:حل :ابتدا متغیر هاي حالت مدار را مشخص می کنیم. سلف و یک خازن داردمدار یک این

C

L

vx

i

→ =

sV

2Ω 1H

Lv+ −

15

F

Li ∗

Ci

i

ov+ −

:، معادالت حاکم بر ولتاژ سلف ها و جریان خازن را می نویسیم&xاکنون براي بدست آوردن بردار

2 00

s L C

C L

V i v vi i− + + + =

− = :را بدست می آوریم، براي این کار تمام متغیر ها را به متغیرهاي حالت و یا مشتقات آنها تبدیل می کنیم &xاکنون بردار

1

1

2 2

1 2 2

1 55

L s C s L C

C L

L Ls L C s L C

C CL L

v V i v V i v

i i

di diV i v V i vdt dtdv dvi idt dt

= − − = − −

= = − − = − − → → = =

:اکنون معادله خروجی را بدست می آوریم2 2o R Lv v i i= = =

:داریم 2- 2با مرتب کردن معادالت فوق بر اساس معادله


29 صفحه

[ ]

0 5 01 2 1

0 5 0

C

C Cs

L LL

Co s

L

dvv vdtx Vi idi

dtv

v Vi

= = = + × − −

= + ×

&& &

:بیان معادالت حالت مدار با استفاده از تعاریف کات ست و حلقه -2-2

آموختیم، بدست آوردن معادالتی که دقیقا به 1با استفاده از روش هاي مرسوم گره و مش که در درس مدارهاي الکتریکی بنابراین با استفاده از تعاریف جدید کات ست و حلقه . بودمعادالت حالت منجر شود، براي مدارهاي با ابعاد بزرگ مشکل خواهد

براي این منظور مراحل زیر باید طی .معادالت مدار را به معادالتی که دقیقا معادل معادالت حالت هستند، محدود می کنیم :شود

توجه . ها قرار داشته باشند ابتدا یک درخت شامل تمام خازن ها انتخاب می کنیم، بطوریکه سلف هاي موجود در مدار در لینک .1براي عناصر دیگر مدار نظیر مقاومت و منابع . کنید که هیچ شاخه درختی نباید شامل سلف و هیچ لینکی نباید شامل خازن باشد

.محدودیتی وجود ندارد .ولتاژ هاي خازن ها و جریان سلف ها را بعنوان متغیرهاي حالت در نظر می گیریم .2 .ه کات ست اساسی و براي هر سلف یک معادله حلقه اساسی می نویسیمبراي هر خازن یک معادل .3 .در معادالت بدست آمده تمام متغیرهاي اضافی را به متغیرهاي حالت، مشتقات آنها و ورودي تبدیل می کنیم .4

.گویند حلقه خازنیحلقه اي که تنها از خازن و منابع ولتاژ مستقل تشکیل شده باشد را :تعریف

حلقه خازنی: 1-2شکل

.گویند کات ست سلفیکات ستی که تنها از سلف ها و منابع جریان مستقل تشکیل شده باشد را :تعریف

کات ست سلفی: 2-2شکل

:حالت برابر است با، تعداد متغیرهاي بدون منبع وابستهبراي یک مدار خطی :نکته بسیار مهم


30صفحه

تعداد متغیرهاي حالت مدار= تعداد کل خازن هاي مدار+ تعداد کل سلف هاي مدار -تعداد حلقه خازنی - تعداد کات ست هاي سلفی

.وجود منابع وابسته می تواند تعداد متغیرهاي حالت مدار را کاهش دهد :نکته

1Li

2Li

12 Li

+−

1CV+ −2CV+ −

3C

V+−

13 CV

1 1 2 33 0C C C CV V V V− + + + =

1 1 22 0L L Li i i+ + =

.وابسته گاهی سبب وابستگی متغیرهاي حالت می گرددوجود منابع : 2-2شکل

:را مجددا به روش کات ست و حلقه بررسی می کنیم 1- 2 قسمت الف مثال مثال

:2-2مثال 3 :بدست آوریدبا استفاده از تعاریف کات ست و حلقه معادالت حالت مدارهاي زیر را

sV

1R1L 2L

2RC ov+

−

:حل

:ابتدا متغیر هاي حالت مدار را مشخص می کنیم. و یک خازن دارداین مدار دو سلف


31 صفحه

1

2

C

L

L

vx i

i

→ =

sV

1R1L 2L

2RC1i 2i

1Lv+ −2Lv+ −

Ci

∗1Li 2Li

ov+

−

:اکنون یک گراف مداري و یک درخت متناظر را به گونه اي رسم می کنیم که خازن در شاخه درخت و سلف ها در لینک ها قرار گیرند

1 23

2 123

tn nb

= = → == l

:کات ست هاي شامل خازن و حلقه هاي شامل سلف ها را می نویسیم، معادالت &xاکنون براي بدست آوردن بردار

1

2

1 1

2 2

1 2

0

0s L C

C L

C

V R i v v

v v R i

i i i

− + + + =

− + + = = −

:را بدست می آوریم، براي این کار تمام متغیر ها را به متغیرهاي حالت و یا مشتقات آنها تبدیل می کنیم &xاکنون بردار

( )

( )

( )

1111

1 1

2 2

2 2 2 2

1 2

1 2 1 2

11 11

1 1 1

2 2 2 2 2 22

1 2

1

1

1

LLs L Cs L C

L s C s L CL L

L C C L C L C L

C L LC C

L L L L

didi V R i vL V R i v dt Ldtv V R i v V R i vdi di

v v R i v R i L v R i v R idt dt L

i i i i i dv dvC i i i idt dt C

= − −= − − = − − = − − = − = − → = − → = −

= − = − = − = −

اکنون معادله

:خروجی را بدست می آوریم2 22 2 2o R Lv v R i R i= = =


[ ]

1 1

2 2

1

2

1

1 1 1

2

2 2

2

1 10 01 10

01 0

0 0 0

L L

L L s

C C

L

o L s

C

C Ci iRx i i V

L L Lv vR

L Li

v R i V

v

− −− = = + × −

= + ×

&

&&

&


32صفحه

:3-2مثال 3 :بدست آوریدبا استفاده از تعاریف کات ست و حلقه زیر را معادالت حالت مدار

3Ω

1Ω 2Ω

2Ω

1F 2F

1F

sVoi

:حل

:ابتدا متغیر هاي حالت مدار را مشخص می کنیم. که حلقه خازنی تشکیل نمی دهند خازن داردسه این مدار

1

2

3

C

C

C

v

x v

v

→ =

3Ω

1Ω 2Ω

2Ω

1F 2F

1F

sV

1Cv− +2Cv− +

3C

v+−

oi

:اکنون یک گراف مداري و یک درخت متناظر را به گونه اي رسم می کنیم که خازن ها در شاخه هاي درخت قرار گیرند

7

23

4 347

tn nb

= = → == l

4

56

1

:را می نویسیم هاکات ست ، معادالت &xاکنون براي بدست آوردن بردار

1 5 6 7

2 4 5 6

3 4 6

00

0

i i i ii i i ii i i

+ + + = + − − = + − =


1 243 0C Ci v v− − =

3Ω

1Ω

2Ω

2Ω

1F 2F

1F

sV

1Cv− +2Cv− +

3C

v+−

5i

3 251 0C Ci v v× − + =

4i

3 2 162 0C C C Si v v v V− + + + =

6i 37 0Ci v− =


33 صفحه

( )

( )

1 2

3 2 1 3

3 3 2

3 2

3 2 11 2

2 3 2

3 2 1

3 2 11 2

13

4

5

6

7

3 02 2

1 03 2

20

3 22

C CC C C S C

C C C

C C

C C C SC CC C C

C C C S

C C C SC CCC

v vi v v v V v

i v vv v

i v v v Vv vi v v

v v v Vi

v v v Vv viv

i

+= − − − + − + + =

−= − − −+ → + − − − = − − − = − − −+ + − = =

3

1 2 33 1 2 3

2

2 1 2 3 1 2 3

11 1 2 3 1 2 3

1 3 11 3 1 1 22 2 2 22 2 25 11 3 1 5 11 3 126 6 2 2 6 6 2 25 5 1 1 5 5 1 116 6 2 2 6 6 2 2

CC C C SC C C C S

CC C C C S C C C S

CC C C C S C C C S

dvv v v Vi v v v V dt

dvi v v v V v v v V

dtdvi v v v V v v v Vdt

= + − += + − + = − − + − → = − − + −

= − − + − = − − + −

3

1 2 3

2

1 2 3

1

1 2 3

1 3 122 2 2

5 11 3 112 12 4 45 5 1 16 6 2 2

CC C C S

CC C C S

CC C C S

dvv v v V

dtdv

v v v Vdt

dvv v v V

dt

= + − +

→ = − − + −

= − − + −

:اکنون معادله خروجی را بدست می آوریم 3 2

3 21C C

o C C

v vi v v

−= = −


[ ]

1 1

2 2

3 3

1

2

3

5 5 1 16 6 2 25 11 3 1

12 12 4 41 3 122 2 2

0 1 1 0

C C

C C s

C C

C

o C s

C

v v

v v V

v v

v

v v V

v

− − − = − − + − × −

= − + ×

&&&

:4-2مثال 3 :بدست آوریدبا استفاده از تعاریف کات ست و حلقه زیر را معادالت حالت مدار


34صفحه

1 2C F=1 2L H=

4Ωsi

2 1C F=

2Ω

1Ω 1Ωo

v+ −

:حل

متغیر هاي مدار را ساده نموده و ابتدا. تشکیل نمی دهندو کات ست سلفی که حلقه خازنی داردو یک سلف دارد خازن دو این مدار :حالت مدار را مشخص می کنیم

1 2C F=1 2L H=

4 si

2 1C F=

2Ω

1Ω 1Ω

1CV+ −

2CV+ −

Lv+ −

Li

1Ci

2Ci

1

2

C

C

L

v

x v

i

→ =

4Ω

قرار و سلف در لینک اکنون یک گراف مداري و یک درخت متناظر را به گونه اي رسم می کنیم که خازن ها در شاخه هاي درخت

:مشخص می کنیم کات ست و براي شاخه درخت هایی که خازن دارند حلقهسلفی یک تنها براي لینک . گیرند

1

2 3

4 5

3 235

tn nb

= = → == l

:را می نویسیم و حلقه کات ست ها، معادالت &xاکنون براي بدست آوردن بردار

1 2 4

1 3 5

4 5 1

000

i i ii i i

v v v

− + + =− + + = + + =

1

2

1 2

2

3

1

0

0

0

C

C

L

L

C C

i i i

i i i

v v v

− + + =→ − + + =

+ + =

:را بدست می آوریم، براي این کار تمام متغیر ها را به متغیرهاي حالت و یا مشتقات آنها تبدیل می کنیم &xبردار اکنون


35 صفحه

1

1

1 1

2

22 2

1 2

2

3

1

1 0

01

6 4 0

6 4

C

C

CC

L C

CL CC

L s L C C

L s L

vi v

i v iv

i v ii v

i i v v v

v i i v

= =

− + + = → − + + == =

− + + + =

= − + 1

11

2

22

1 2

1

1

2

2

1 2

2

1

2 6 4

1 12 2

1 1 3 22 2

C

C

CC L

CC L

LL C C L s

CC L

CC L

LC C L s

dvi v i

dtdv

i v idt

div v v i idt

dvv i

dtdv

v idt

di v v i idt

= = − +

→ = = − + = = − − − +

= − +

→ = − + = − − − +

:اکنون معادله خروجی را بدست می آوریم1 2

6 4o L C C L sv v v v i i= = − − − + :داریم 2- 2مرتب کردن معادالت فوق بر اساس معادله با

[ ]

1 1

2 2

1

2

1 10 02 20 1 1 01 1 232 2

1 1 6 4

C C

C C s

L L

C

o C s

L

v v

v v i

i i

v

v v i

i

− = − + × − − −

= − − − +

&&&

اگر ظرفیت خازن ها و ضریب القاي سلف ها متغیر با زمان باشد آنگاه معادالت جریان و ولتاژ سلف و خازن بصورت زیر تغییر :کند می

2-4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )C CC C

d C t v t d v t d C tdq ti t C t v t

dt dt dt dt= = = +

2-5 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )L LL L

d L t i t d L t i t d L td tV t L t i t

dt dt dt dtφ

= = = +

:4-2مثال 3در نظر 2Rخروجی را ولتاژ مقاوت . زیر را با استفاده از تعاریف کات ست و حلقه بدست آورید معادالت حالت مدار

:بگیرید


36صفحه

( )1L t( )2L t

( )C t

1R2R 3R

si

:حل

ابتدا متغیر هاي حالت مدار را مشخص . تشکیل نمی دهنداین مدار یک خازن و دو سلف دارد دارد که حلقه خازنی و کات ست سلفی :می کنیم

( )1L t( )2L t

( )C t

1R2R 3R

1Li 2Li

Ci

1 sR i

1

2

C

L

L

vx i

i

→ =

1Lv+

−2Lv

+

−

Cv+

−

اکنون یک گراف مداري و یک درخت متناظر را به گونه اي رسم می کنیم که خازن ها در شاخه هاي درخت و سلف در لینک قرار

:ه خازن دارند کات ست مشخص می کنیمتنها براي لینک سلفی یک حلقه و براي شاخه درخت هایی ک. گیرند

14

3

2

:، معادالت کات ست ها را می نویسیم&xاکنون براي بدست آوردن بردار

1 1

2 2

1 2

1 1

2

3

0

0

0

L L s C

L L C

CL L C

v R i R i v

v R i v

vi i iR

+ + − = + − = + + + =



37 صفحه

1 1

2 2

1 2

1 1

2

3

L C L s

L C L

CC L L

v v R i R i

v v R i

vi i iR

= − − = − = − − −

:اکنون معادله خروجی را بدست می آوریم2 22R LV R i=

:داریم 2- 2با مرتب کردن معادالت فوق بر اساس معادله 1

11

1 1 1

2222 2 2

1 2 1

11 1 1 11 1 1

222 22 2

3 3

1

LLC L sL L C L s

LLC LL L C L

C C CC C L L C L

di dLdidL L v R i R iv i L v R i R i dt dtdt dt

didi dLdL L v R iv i L v R i dt dtdt dtdv vdC dv dCi v C i i C v i idt dt R dt dt R

= − + − = + = − − → = − += + = −

= + = − − − = − + − − 2L

[ ]

1 1

2 2

1

2

3

1 11

1 1 1

22

2 2

0 2

1 1 1 10

1 1 0

01 10

0 0 0

C C

L L s

L L

C

L s

L

dCC dt R C C

v vdL Ri R i i

L L dt Li i

dL RL L dt

vV R i i

i

− − − −

= − + + − × − +

= + ×

&&&

ش ش مم و و

بد ل الپالس بد ل الپالس و کار د آن ل دار ی ال ر و کار د آن ل دار ی ال ر


39صفحه

تبدیل الپالس و کاربرد آن در حل مدارهاي الکتریکیتبدیل الپالس و کاربرد آن در حل مدارهاي الکتریکی: : ومومسسبخش بخش 33

1-

:مقدمه -3-1

پیش . تغییر ناپذیر با زمان استتبدیل الپالس بعنوان یک ابزار قدرتمند ریاضی یک روش بسیار مفید در تحلیل مدارهاي خطی :از آنکه به بررسی مدارهاي الکتریکی با استفاده از تبدیل الپالس بپردازیم، چند یادآوري خواهیم داشت

:تبدیل الپالس -1-1- 3

0tبراي یک تابع زمانی که فقط براي :تعریف شده است تبدیل الپالس بصورت زیر تعریف می گردد ≤3-1 ( ) ( )

0( ) stF s f t f t e dt

+∞ −= = ∫L

:عکس تبدیل الپالس نیز بصورت زیر تعریف می گردد3-2 ( )

0

1( ) ( )2

stf t F s F s e dsjπ

+∞= = ∫-1L

:جدول زوج تبدیالت الپالس بصورت زیر بوجود آمده است 2- 3و 1- 3بر اساس معادالت

جدول زوج تبدیالت الپالس 1-3جدول ( )F s ( )f t ردیف

1 ( )tδ 1

1s

( )1 00 0

tu t

t≥

= < 2

2

1s . ( )t u t 3

1

!n

ns + . ( )nt u t 4

1s a+ ( )ate u t− 5

02 2

0sω

ω+ ( )0sin ( )t u tω 6

2 20

ss ω+ ( )0cos ( )t u tω 7

( )2 20

s as a ω

+

+ + ( )0cos ( )ate t u tω− 8

( )02 2

0s aω

ω+ + ( )0sin ( )ate t u tω− 9

( ) 1!

nn

s a ++ ( )n att e u t−

10

بد ل الپالس و کار د آن ل دار ی ال ر بد ل الپالس و کار د آن ل دار ی ال ر : : ش وم ش وم

40صفحه

. براي توابعی که در جدول فوق وجود ندارند با استفاده از خواص اساسی تبدیل الپالس، عمل می کنیم

در زیر جدول خواص . بهترین روش براي محاسبه چنین توابعی است ترکیب جدول زوج تبدیالت و جدول خواص تبدیل الپالس :الپالس بصورت خالصه شده آمده است

جدول خواص تبدیل الپالس 2-3جدول

( )X z [ ]x n ردیف خاصیت

( ) ( )1 2F s F sα β+ ( ) ( )1 2f t f tα β+ 1 )خطی بودن(جمع آثار 0 ( )t se F s− ( )0f t t− 2 انتقال

( )0F s s− ( )0s te fx t انتقال حوزهs 3

1 sFa a

( )f at - 4

( )F s ( )f t 5 مزدوج مختلط

( ) ( ) ( ) ( )11 2

1

0 00 ...

kk k k

k

df dfs F s s f s

dt dt

−− −

−− − − − ( )k

kd f tdt

6 مشتق گیري

( )F ss

( )0

t

f dτ τ∫ 7 انتگرال گیري

1 2( ). ( )F s F s ( ) ( )1 2f t f t∗ 7 کانولوشن

:مقدار اولیهقضیه

3-3 ( ) ( )0 lims

f sF s→∞

=

:قضیه مقدار نهایی3-4 ( ) ( )

0lim lims s

f t sF s→∞ →

=

براي استفاده از جدول به منظور . می بینیم که تبدیل الپالس تمام توابع بیان شده فرم کسري دارند 1- 3با توجه به جدول .به فرم تجزیه شده تبدیل نماییممحاسبه عکس تبدیل الپالس الزم است تا توابع کسري را

:تجزیه به کسرهاي جزئی - 1-2- 3

)براي تابع )F x ضرایب مربوط به کسرهایی که شامل ریشه هاي ساده مخرج می باشند، بصورت: 3-5 ( )

00lim ( )i x x

A x x F x→

= −

. محاسبه می گردند)ام که داراي مخرج jضرایب مربوط به کسر . کسر مجزا تجزیه می گردد kبه kهمچنین هر ریشه مکرر از مرتبه )0

jx x− :باشد بدین صورت محاسبه می شود می

3-6 ( )( )0

01 lim ( )

( )!

k jk

j k jx x

dA x x F xk j dx

−

−→= −

−


41صفحه

:تحلیل مدارهاي الکتریکی به روش تبدیل الپالس -3-2

:دهیم براي تحلیل مدار به روش الپالس مراحل زیر را انجام می

اگر مدار شامل سلف و خازن باشد، شرایط اولیه مدار . براي مدارهاي شامل کلید زنی، ابتدا شرایط اولیه مدار را محاسبه می کنیم .1 . براي محاسبه شرایط اولیه، قبل از کلید زنی سلف ها را اتصال کوتاه و خازن ها را مدار باز می کنیم. براي تحلیل آن الزم است

:دهد جدول زیر حوزه الپالس المان هاي مداري را نشان می. ی، مدار را از حوزه زمان به حوزه الپالس منتقل می کنیمپس از کلیدزن .2

معادل حوزه الپالس المان هاي اصلی مدار: 3-3 جدول روابط و نماد حوزه الپالس روابط و نماد حوزه زمان المان مداري

) مقاومت الکتریکی )Rv t+ −

R( )Ri t

( ) ( )R Rv t Ri t=

( )RV s+ −

R( )RI s

( ) ( )R RV s RI s=

سلف( ) L

Ldiv t Ldt

=

( )LV s+ −

Ls( )LI s

( ) ( ) ( ) 0L LV s Ls I s LI= −

0LI

) خازن )Cv t+ −

C( )Ci t

( ) ( )CC

dv ti t C

dt=

0V

( )CV s+ −

1Cs

( )CI s

( ) ( ) 01C C

VV s I sCs s

= +

0Vs

.نویسیممعادالت مدار را در حوزه الپالس می .3 .پس از محاسبه پاسخ مورد نظر، با استفاده از عکس تبدیل الپالس، معادل حوزه زمانی متغیر مورد نظر را بدست می آوریم .4

:به نکته زیر توجه کنید

:نکته بسیار مهمقرار داشته و سپس به xکلید براي مدت زمانی طوالنی در وضعیت "، اغلب عبارت DCدر مسائل شامل کلید زنی با حضور منابع •

این عبارت بدین معناست که پاسخ سلف و خازن، پاسخ حالت ماندگار است و خازن مدار باز و . دیده می شود "رود می yوضعیت .سلف اتصال کوتاه شده است

( )Lv t+ −

L( )Li t

( )

0I


42صفحه

:یعنی. براي خازن و سلف به ترتیب قانون پیوستگی ولتاژ و جریان برقرار است •( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

L L

C C

i t i t

v t v t

+ −

+ −

=

=

.ا چند مثال این روش به خوبی توضیح داده خواهد شدب

:1- 3مثال 3

0tدر . بوده است 1کلید مدار شکل زیر، براي مدت طوالنی در موقعیت . می رود 2کلید بطور ناگهانی به موقعیت =( )0v t 0را برايt .محاسبه نمایید ≤

3A50Ω 1

5

F 5Ω

2.5H

0t =

( )0v t+

−

:حل

منظور از شرایط اولیه ولتاژ اولیه خازن و جریان اولیه . ابتدا مدار را قبل از کلید زنی تحلیل نموده و شرایط اولیه را محاسبه می کنیم :سلف را اتصال کوتاه می کنیم بدین منظور مدار را مجدد قبل از کلید زنی رسم نموده و خازن را مدار باز و. سلف است

3A50Ω ( )0Cv −

+

−

5Ω

( )0Li−

همچنین ولتاژ اولیه . با توجه به این مدار می بینیم که شاخه سلفی در هیچ حلقه اي قرار ندارد بنابراین جریان اولیه سلف صفر است

:گی ولتاژ خازن و جریان سلف داریمبر طبق قانون پیوست. برابر است 50Ωخازن با ولتاژ مقاومت ( ) ( )( ) ( )0 0 0

0 0 3 50 150

L L

VC C

i i

v v

+ −

+ −

= =

= = − × = −

:اکنون مدار را پس از کلید زنی به حوزه الپالس می بریم


43صفحه

( )Cv t+

−

1 515

ss=

5Ω

2.5s

( )0 0ALi

+ =( )0 150VCv + = −

( )Li t

150s

−

0

I

5Ω

15

F

( )Ov t

+

− :مربوطه به حلقه مدار داریم KVLبا نوشتن معادله

( )( )

2 2

2

2

150 5 150 5( ) 5 ( ) 2.5 ( ) 0 0 ( ) 2.5 ( ) 5 ( ) 0

5 150( ) 2.5 5

150150 60( ) 5 5 2.5 5 2 22.5 5

150( ) 2.52 2

4 8 4 0150 1 1150( )

2 2 1

o

o

I s I s sI s I s sI s I ss s s s

I s ss s

sI ss s s ss

ssV s sI

s s

ssV ss s s

−− + + + − = → + + + =

− → + + =

−− −

→ = = =+ + + ++ +

−→ = =

+ +∆ = − = − <

− + −−→ = =

+ + +

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0

2 2 2

2 2

3.11, 1

150 1 1501 1 1 1 1

150 1 1501 1 1 1

150 cos ( ) 150 sin ( ) 150 cos sin ( )

o

T t t toa

ss s

sv t

s s

v t e t u t e t u t e t t u tω− − −

= =

− += +

+ + + + +

− +→ = +

+ + + +

→ = − + = − −

-1L

:2- 3مثال 3

0tدر . بوده است 1کلید مدار شکل زیر، براي مدت طوالنی در موقعیت . می رود 2کلید بطور ناگهانی به موقعیت =( )0i t 0را برايt .محاسبه نمایید ≤

Impulse Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

System: ansSettling Time (sec): 3.46


44صفحه

40V1200Ω

116

F

10Ω

1H

0t =400Ω

10V

( )0i t

:حل

منظور از شرایط اولیه ولتاژ اولیه خازن و جریان اولیه . کلید زنی تحلیل نموده و شرایط اولیه را محاسبه می کنیم ابتدا مدار را قبل از :بدین منظور مدار را مجدد قبل از کلید زنی رسم نموده و خازن را مدار باز و سلف را اتصال کوتاه می کنیم. سلف است

40V1200Ω

10Ω400Ω

10V

( )0Cv −

+

− ( )0Li−

همچنین ولتاژ اولیه . ین مدار می بینیم که شاخه سلفی در هیچ حلقه اي قرار ندارد بنابراین جریان اولیه سلف صفر استبا توجه به ا

:بر طبق قانون پیوستگی ولتاژ خازن و جریان سلف داریم. برابر است 1200Ωخازن با ولتاژ مقاومت ( ) ( )( ) ( )

0 0 0

12000 0 40 301200 400

L L

VC C

i i

v v

+ −

+ −

= =

= = × =+

:را پس از کلید زنی به حوزه الپالس می بریم اکنون مدار

10Ω

10V

116

F

1H

1 161

16ss

=

10Ω

s30s

I

10s

( )0 0ALi

+ =

()

030

VC

v+

=

:مربوطه به حلقه مدار داریم KVLبا نوشتن معادله

30 16 10 16 20( ) 10 ( ) ( ) 0 ( ) 10I s I s sI s I s ss s s s s

− + + + + = → + + =


45صفحه

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2 2

8 8

2020( ) 16 10 1610

20 20( ) ( )10 16 2 8 2 8

20 10lim 2 ( ) lim8 3

20 10lim 8 ( ) lim2 3

o

s s

s s

sI ss ss

sA BI s I s

s s s s s s

A s I ss

B s I ss

→− →−

→− →−

→ = =+ ++ +

→ = = = = ++ + + + + +

= + = =+

= + = = −+

( ) ( ) ( )2 810 1 1 10

3 2 8 3t t

oi t e e u ts s

− − = − = − + +

-1L

:3- 3مثال 3

0tدر . کلید مدار شکل زیر، براي مدت طوالنی در موقعیت بسته بوده است ). کلید بطور ناگهانی باز می شود = )1Lv .را محاسبه نمایید

6Ω9A

0t =

1H1V

0.5Ω

1F

:حل

منظور از شرایط اولیه ولتاژ اولیه خازن و جریان اولیه . را محاسبه می کنیمابتدا مدار را قبل از کلید زنی تحلیل نموده و شرایط اولیه :بدین منظور مدار را مجدد قبل از کلید زنی رسم نموده و خازن را مدار باز و سلف را اتصال کوتاه می کنیم. سلف است

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

System: ansSettling Time (sec): 2.33


46صفحه

( )0 0Li+ =

6Ω9A 1V

0.5Ω

( )0Cv +

+

−

همچنین . یک شاخه اتصال کوتاه است بنابراین ولتاژ اولیه خازن صفر استبا توجه به این مدار می بینیم که شاخه خازن موازي

:بر طبق قانون پیوستگی ولتاژ خازن و جریان سلف داریم. برابر است 0.5Ωجریان اولیه سلف با جریان مقاومت

( ) ( )( ) ( )

10 0 9 70.5

0 0 0

A

L L

C C

i i

v v

+ −

+ −

= = − + = = =

:الپالس می بریماکنون مدار را پس از کلید زنی به حوزه

7

s1s

0.5Ω

1s1H

1V

0.5Ω

1F

( )0 7ALi

+ =

( )0 0VCv + =

x

:در مدار داریم xمربوطه به گره KCLبا نوشتن معادله

( )

( )

( ) ( )( )

22

1

1( )( ) 7 ( ) 1 7 20 ( ) 21 0.5

99 9( ) ( ) 1 2 1 12

9

1 9 3.34

xx x

x

x L

tL

L

V sV s V s s V s ss s s s

s

sV s V ss s ss

sv t te u t

v e

−

−

− − − − + + = → + + = − −

−− −

→ = = = =+ + ++ +

= −

→ = − = −

Time (sec)

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10 12-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

System: sysTime (sec): 1Amplitude: -3.31


47صفحه

:تابع تبدیل مدار و تحلیل از طریق تابع تبدیل -3-3

ضربه است، بعنوان نسبت حوزه فرکانسی تبدیل الپالس خروجی تابع تبدیل که در واقع تبدیل الپالس پاسخ مدار به ورودي در محاسبه تابع تبدیل شرایط اولیه را صفر در نظر می . تعریف می گردد) منابع ورودي(به تبدیل الپالس ورودي ) پاسخ مدار(

:گیریم

( )x t ( )y t

)بلوك دیاگرام یک سیستم الکتریکی با ورودي : 1-3شکل )x t و خروجی( )y t

3-7 ( )( )

( )Y s

H sX s

=

3-8 ( ) ( )( ).Y s H s X s=

تابع تبدیل بصورت 1همچنین قطب و صفرهاي. خواهد بود sبراي مدارهاي خطی فشرده، تابع تبدیل همواره کسري متعارف از اگر بخواهیم پاسخ مدار به منابع محدود پایدار بوده و با گذشت زمان بصورت نامحدود افزایش نیابد، . مزدوج مختلط خواهند بود

.تابع تبدیل مدار مربوطه باید قطب هایی در نیم صفحه چپ صفحه مختلط داشته باشد( )Im s

( )Re s

مختلط و ناحیه پایدار و ناپایداري قطب هاصفحه : 2-3شکل

:با دو مثال این بحث را ادامه می دهیم

:4- 3مثال 3

.انرژي اولیه ذخیره شده در مدار زیر در لحظه اي که منابع به مدار متصل می گردند، صفر است .تابع تبدیل مدار را بدست آورید) الف)اگر ) ب ) ( ) ( ) ( )2 , 0.025s sv t u t i t u t= .باشند، خروجی را محاسبه نمایید =

.ریشه هاي مخرج تابع تبدیل را قطب و ریشه هاي صورت تابع تبدیل را صفرهاي آن می نامند 1


48صفحه

( )sv t ( )si t

10Ω

20Ω

12.5mF

10H

( )ov t+

−

:حل

:براي محاسبه تابع تبدیل، ابتدا مدار را به حوزه الپالس منتقل می کنیم

( )sV s( )sI s

10Ω

20Ω

1000 8012.5s s

=

10s

( )OV s+

−

:با ساده سازي مدار داریم

( )sV s ( )20 sI s

10Ω

20Ω

10s

( )OV s+

−

x

80s

:داریم xبا نوشتن معادله گره در گره

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10

20 1 1 1 2008010 20 10 10 80 20 10 10 20 10

201 20 1 21 1 18 2 2 1 1

8 2 8 2

x s x x sx s s

x s s x s s

V s V s V s V s I s sV s V s I ss s s

s

s sV s V s I s V s V s I ss ss ss s

×

− − + + = → + + = + + + +

+→ + + = + → = + + + + + + ++ +

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

201 2

8 2 2 88 2

x O ssV s V s V s

s s ss

+→ = = + + + + +

+ ( ) ( )

( )8 2 2 8

8 2s s s

s+ + + +

+

( )sI s

( ) ( ) ( ) ( )1 2

2 2

( ) ( )

8 2 16010 24 10 24O s s

H s H s

sV s V s I s

s s s s+

→ = ++ + + +1442443 1442443

:اکنون با داشتن توابع تبدیل می توان پاسخ به هر ورودي را محاسبه نمود


49صفحه

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2

20 0

4

22

0.0250.025

8 2 8 2160 2 160 0.02510 24 10 24 10 24 10 24

16 364 610 24

16 36lim lim 1.510 24

lim 4 lim

s s

s s

O s s

Os s

Os s

v t u t V ss

i t u t I ss

s sV s V s I s

s s s s s s s s s ss A B C

s s ss s s

sA sV ss s

B s V s

→ →

→− →−

= → =

= → =

+ +→ = + = × + ×

+ + + + + + + ++

= = + ++ ++ +

+= = =

+ +

= + =( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

6 6

4 6

16 36 3.56

16 36lim 6 lim 54

1.5 3.5 5 1.5 3.5 54 6

Os s

t tO o

ss s

sC s V ss s

V s v t e e u ts s s

→− →−

− −

+=

+

+= + = = −

+

→ = + − → = + −+ +

:5- 3مثال 3

:براي مدار شکل روبرو تبدیل تابع) الف پایداري مطلق) ب3پاسخ سیستم به ورودي ) ج ( )gi u t=

.را محاسبه نمایید

8Ωgi

1H

15

Fov

+

− :حل


0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Impulse Response

Time (sec)

Ampl

itude


50صفحه

8Ω( )gI s

1s

5s ( )oV s

+

−

x

:داریم xبا نوشتن معادله گره

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

158 8 5

8 58 5

x xg x

g x

V s V s sI s V sss

s

s sI s V ss

= + = + + +

+ + → = +

:از طرفی

( ) ( ) ( )2 2

55 5

5 5 5o x x

sV s V s V ss ss

s

= = =+ ++

( )28 5s +

( )2 8 5 gI ss s

+ +

( ) ( )( ) 2

408 5

o

g

V sH s

I s s s→ = =

+ +

:براي بررسی پایداري باید قطب هاي تابع تبدیل را محاسبه کنیم2

1,2

8 5 064 20 44

7.38 440.682

s s

s

+ + =→ ∆ = − =

−− ±→ = = −

3براي محاسبه خروجی مدار به ورودي . بنابراین مدار پایدار است ( )gi u t= داریم:

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

20 0

7.3 7.3

33 ( )

40 40 38 5 8 5 7.3 0.68

120lim lim 248 5

120lim 7.3 lim 2.50.68

g g

oo

g

Os s

Os s

i u t I ss

V s A B CH s V sI s s s s s s s s s

A sV ss s

B s V ss s

→ →

→− →−

= → =

→ = = → = × = + ++ + + + + +

= = =+ +

= + = =+

( ) ( ) ( )0.68 0.68

120lim` 0.68 lim 26.57.3Os s

C s V ss s→− →−

= + = = −+

( ) ( ) ( ) ( )7.3 0.6824 2.5 26.5 24 2.5 26.57.3 0.68

so oV s v t e e u t

s s s− −= + − → = + −

+ +


51صفحه

:رابطه تابع تبدیل و پاسخ حالت دائمی سینوسی -3-4

در . اگر تابع تبدیل مداري در دسترس باشد، براي محاسبه پاسخ حالت دائمی سینوسی دیگر نیازي به محاسبات فازوري نیست)اینصورت پاسخ مدار به یک ورودي سینوسی به فرم ) ( )cosx t A tω θ= )با استفاده از تابع تبدیل + )H s بصورت زیر

:خواهد بود3-9 ( ) ( ) cos( ( ))ssy A H j t H jω ω θ ω∞ = + +R

.با استفاده از این معادله محاسبات حالت دائمی سینوسی بسیار راحت خواهد بود

:6- 3مثال 3

منبع ولتاژ سینوسی مدار روبرو داراي ولتاژي بصورت ( ) ( )120cos 5000 30iv t t= + °

). می باشد )ssOv .را محاسبه نمایید ∞

1000Ω

1 Fµ

( )ov t

+

−50mH

250Ω

( )iv t

:حل


1000Ω

( )gV s610

s ( )oV s

+

−

x

0.05s

250Ω

:داریم xبا نوشتن معادله گره

0 1 2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

Time (sec)

Ampl

itude


52صفحه

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

6 6

6 3

6

1 1 10101000 250 0.05 1000 250 0.05 10 1000

111000

1 1 100011000 250 0.05 10 250 0.05 10

1000 250 0.051000 250 0.05 10 250 0.05

1000 250 0.0

x i x xx i

x o i i

i

V s V s V s V s sV s V ss s

s

V s V s V s V ss ss s

sV s

s s s

− + + = → + + = + +

→ = = =+ + + +

+ ++

=+ + + +

+=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )2 2 6

2 6

5 1000 50000.05 300 1250000 6000 5 10

1000 50006000 5 10

i i

o

i

s sV s V s

s s s sV s s

H sV s s s

+=

+ + + + ×+

= =+ + ×

)براي محاسبه خروجی مدار به ورودي ) ( )120cos 5000 30iv t t= + :داریم °

( ) ( )120

120cos 5000 30 500030

i

Av t t ω

θ

== + ° → = = °

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

22 6 2 66

2 26 6

1000 5000 1000 5000 1000 50006000 25 10 6000 25 106000 25 10

1000 5000 1000 5000 5000 1 15000 16 66000 25 10 5000 6000 5000 25 10

250006

5000 45

s j jH s H j

s s jj j

j j jH j j j

jj j j

H j

H j

ω ωω

ω ωω ω

ω

ω ω

+ + += → = =

+ + × − + + ×+ + ×

+ + +→ = = = = − +

+ + × − + × + ×

=→

= −R

( ) ( ) ( )2120 cos 5000 30 45 20 2 cos 5000 156ov t t t

°

→ = × + ° − ° = − °

:7- 3مثال 3

)اگر ولتاژ ورودي ) ( )30iv t u t= به مداري اعمال گردد، پاسخ مدار بصورت( ) ( ) ( )8000 500050 20 Vt tov t e e u t− −= −

)پاسخ مدار را به ورودي . خواهد بود ) ( )120cos 6000 Viv t t= محاسبه نمایید.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-30

-20

-10

0

10

20

30

Time (sec)

Ampl

itude


53صفحه

:حل :براي محاسبه تابع تبدیل، رابطه بین تبدیل الپالس ورودي و خروجی را بدست می آوریم

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

8000 5000

2

3030

50 5000 20 80001 150 20 50 208000 5000 8000 5000

30 900008000 500030 900008000 5000 3000

30 8000 5000

i i

Vt to o

o

v t u t V ss

s sv t e e u t V s

s s s ssV s

s ss

s s s sH ss s

s

− −

= → =

+ − + = − → = − = + + + + +

→ =+ +

++ + +

→ = =+ +

)اکنون براي محاسبه خروجی مدار به ورودي ) ( )120cos 6000iv t t= داریم:

( ) ( )120

120cos 6000 60000

i

Av t t ω

θ

== → = = °

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

26000 3000 60006000 0.21 0.47 0.51 66.37

6000 8000 6000 5000

120 0.51cos 6000 66.37 61.2cos 6000 66.37o

j jH j j

j j

v t t t

+= = + = °

+ +

→ = × + ° = + °

R

:8- 3مثال 3

220اگر ورودي مدار موج 5- 3براي مدار مثال 2 cos(100 )gi t= باشد، ولتاژ خروجی را محاسبه نمایید. :حل

تابع تبدیل سیستم بصورت 5-3در مثال

( ) ( )( ) 2

408 5

o

g

V sH s

I s s s= =

+ +

220اکنون براي محاسبه خروجی مدار به ورودي . بدست آمد 2 cos(100 )gi t= داریم:

( )( )

( )

32

220 2220 2 cos(100 ) 100

040100 3.98 10 175

100 800 5

220 2 0.12cos(100 175 ) 1.24cos(100 175 )

g

o

Ai t

H jj j

v t t t

ωθ

−

== → = = °

= = × − °+ +

→ = × − ° = − °

R


54صفحه

ش ش ھارم ھارم ضایای دار ضایای دار


55صفحه

قضایاي مدارقضایاي مدار: : چهارمچهارمبخش بخش 33اصلی تحلیل مدار قضایاي . در این فصل چندین قضیه اساسی و مهم مدارهاي الکتریکی را بصورت خالصه مرور می کنیم

:عبارتند از

قضیه مدار معادل تونن و نورتن • قضیه جمع آثار • قضیه هم پاسخی • قضیه تلگان •

:اکنون به بررسی این چهار قضیه اصلی می پردازیم

2-

:قضیه مدار معادل تونن و نورتن -4-1

دو سر دلخواه می توان با یک منبع را در هر) .نشان می دهیم Nکه در اینجا آن را با یک شبکه خطی به نام (هر مدار خطی .جایگزین نمود) مدار معادل نورتن(و یا منبع جریان موازي با مقاومت ) مدار معادل تونن(ولتاژ سري با مقاومت

NINR

thV

thR

مدار معادل نورتن) مدار معادل تونن ب) الف: 1- 4شکل

: نکته .توان مدارهاي معادل تونن و نورتن را به یکدیگر تبدیل نمودبا استفاده از روش تبدیل منبع می

ه ی دار ه ی دار: : ش ھارم ش ھارم

56صفحه

NINRthV

thR

thN

th

N th

VIR

R R

= =

تبدیل دو طرفه مدار معادل تونن به مدار معادل نورتن: 2- 4شکل

:نکته .نورتن جایگزین می شود/ نورتن با امپدانس تونن/ در مدارهاي شامل سلف و خازن، مقاومت تونن

:یادآوري :ه مقادیر مدار معادل تونن بصورت زیر عمل می کنیمبراي محاسب

، ابتدا تمام منابع مستقل را bو a، براي محاسبه مقاومت معادل تونن دیده شده از سر هاي نباشداگر مدار شامل منابع وابسته • .حذف می کنیم، سپس مقاومت دیده شده از سرهاي مورد نظر برابر مقاومت معادل تونن خواهد بود

، ابتدا تمام منابع مستقل را حذف bو a، براي محاسبه مقاومت معادل تونن دیده شده از سر هاي باشداگر مدار شامل منابع وابسته •ومت تونن برابر نسبت مقا. کنیم متصل می) tI(با جریان تست ) tV(می کنیم، سپس به سرهاي مورد نظر یک منبع ولتاژ تست

t

t

VI

.خواهد بود

اگر بخواهیم مدار معادل تونن دو سر المانی را محاسبه کنیم، (را مدار باز کرده bو aهاي ابتدا سر) thV(براي محاسبه ولتاژ تونن • thVرا اختصاص داده و مدار را بر حسب thVبه سرهاي مورد نظر ولتاژ سپس .) شاخه مربوط به آن را در مدار، مدار باز می کنیم

. تحلیل می کنیم

:براي محاسبه مقادیر مدار معادل نورنن بصورت زیر عمل می کنیم

، ابتدا تمام منابع مستقل را bو a، براي محاسبه مقاومت معادل نورتن دیده شده از سر هاي نباشداگر مدار شامل منابع وابسته • .خواهد بود نورتنحذف می کنیم، سپس مقاومت دیده شده از سرهاي مورد نظر برابر مقاومت معادل

، ابتدا تمام منابع مستقل را حذف bو a، براي محاسبه مقاومت معادل نورتن دیده شده از سر هاي باشداگر مدار شامل منابع وابسته •برابر نسبت نورتنمقاومت . کنیم متصل می) tI(با جریان تست ) tV(می کنیم، سپس به سرهاي مورد نظر یک منبع ولتاژ تست

t

t

VI

.خواهد بود

اگر بخواهیم مدار معادل نورتن دو سر المانی را محاسبه (را اتصال کوتاه کرده bو aهاي ابتدا سر) NI( نورتنبراي محاسبه جریان •مدار را اختصاص داده و NIسپس به شاخه اتصال کوتاه شده جریان .) کنیم، شاخه مربوط به آن را در مدار، اتصال کوتاه می کنیم

. تحلیل می کنیم NIرا بر حسب

:1- 4مثال 3

.را در مدار شکل زیر محاسبه نمایید bو aمدار معادل تونن دیده شده از سرهاي


57صفحه

120 0°R

12Ω

60Ω +−

120Ω

10 xVxV

+

−

40 jΩ−

:حل

تمام منابع مستقل را حذف می کنیم، سپس به سرهاي از آنجا که در این مدار منبع وابسته وجود دارد، براي محاسبه امپدانس تونن، ابتدا

a وb یک منبع ولتاژ تست)tV ( با جریان تست)tI (برابر نسبت توننامپدانس . کنیم متصل میt

t

VI

:خواهد بود

12Ω

60Ω +−

120Ω

10 xVxV

+

−

40 jΩ−

tV

tI60 ||1260 12 10

72

Ω Ω

Ω

=×

=+−

120Ω

10 xVxV

+

−

40 jΩ−

tV

tI

:داریم aبا نوشتن معادله گره

( ) ( )( )

10120 10 40 1 1 10 1 1 10 1010 120 10 40 120 120 10 40 120 10 40

10 40

120 10 4010 40 120 100 30 40120 10 40 120 10 40 3

t x tt

t t x t t

x t

tt t t th

t

V V VIj

I V V V Vj j jV V

j

jVj jI V V Zj j I

− = + − → = + − = + − − − − = −

−− + − −→ = = → = = − −

91.2 38.40 40

jj

≅ −−

سپس . را اختصاص می دهیم thVرا مدار باز کرده، سپس به سرهاي مورد نظر ولتاژ bو aهاي ابتدا سر) thV(براي محاسبه ولتاژ تونن

:با تبدیل منبع داریم


58صفحه

120V

12Ω

60ΩxV

+

−

...

...

60ΩxV

+

−

...

...

12Ω10A

xV+

−

...

...

10A 10Ω

+−

120Ω

10 xV

40 jΩ−

thV+

−

x

100V

10Ω

...

...

100V

10Ω

xV+

−

xV+

−I

:داریم در حلقه نشان داده شدهبا نوشتن معادله . تحلیل می کنیم thVاکنون مدار را بر حسب

( ) ( )100 10 40 120 10 0 100 130 40 10x xI j I I V j I V− + − + + = → = − + :از طرفی

100 10xV I= − :بصورت زیر محاسبه می گردد xVبنابراین . می باشد

( ) ( ) ( )

( )

100 130 40 10 100 10 130 40 100 1000

900 30 40

900 18 126.8730 40

100 10 208 144x

j I I j I

j I

Ij

V I j

= − + − = − − +

→ − = −

−= = − ° =

−

= − = +

R

:در نهایت داریم10 120 784 288Th xV V I j= + = −

:بنابراین مدار معادل تونن بصورت زیر خواهد بود91.2 38.4thZ j= −

784 288 VthV j= −

نورتن، محاسبه ولتاژ و جریان المان هاي غیر خطی است که بخاطر خاصیت غیرخطی / یکی از کاربردهاي مهم مدار معادل تونن

نورتن دو سر آنها و نوشتن / با بدست آوردن مدار معادل تونن. بودن آنها نمی توان روش هاي معمول مداري را براي آنها بکار برد :به مثال زیر توجه کنید. ن ولتاژ یا جریان المان مورد نظر را محاسبه نمودمربوطه می توا KVL/KCLمعادله


59صفحه

:2- 4مثال 3

.با استفاده از قضیه مدار معادل تونن، ولتاژ و جریان عنصر غیر خطی مدار زیر را محاسبه نمایید

3KΩ

10mA

20mA 0.8KΩ

2KΩ

i

v− +

210 5( 4 )i v v= −

:حلاز آنجا که در این مدار منبع وابسته وجود ندارد، براي محاسبه . ابتدا مدار معادل تونن دو سر المان غیرخطی را محاسبه می کنیم

تمام منابع مستقل را حذف می کنیم، سپس مقاومت دیده شده از سرهاي مورد نظر برابر مقاومت معادل تونن خواهد امپدانس تونن، ابتدا :بود

3KΩ 0.8KΩ

2KΩ

i

v− +

:با توجه به مدار ساده شده، مقاومت معادل دیده شده از سرهاي المان غیرخطی، برابر است با

( ) 2 32 || 3 0.8 0.8 25thR Ω×

= + = + =

: را اختصاص می دهیم thVرا مدار باز کرده، سپس به سرهاي مورد نظر ولتاژ bو aهاي ابتدا سر) thV(براي محاسبه ولتاژ تونن

3KΩ

10mA

20mA 0.8KΩ

2KΩ

thV− +

:تحلیل می کنیم thVاکنون مدار را بر حسب


60صفحه

( )20 0.8 16

410 2 || 3 12

a Vth a b

b

VV V V

V= × = → = − = = × =

:بنابراین مدار معادل تونن بصورت زیر خواهد بود

2KΩ

i

v− +4V

:بنابراین

2

442 4 0 2

2 10 5( 4 )

vivi v ii v v

− =− − + = → = → = −

( ) ( )2 1410 5( 4 ) 5 4 5 442

vv v v v v vv

= −− → = − → − = − − → =

:قضیه جمع آثار - 4-2

با . می باشد) منابع مستقل(براي هر شبکه خطی با چندین ورودي، پاسخ کامل برابر جمع پاسخ هاي مدار به تک تک ورودي ها :یک مثال این قضیه مهم را یادآوري می کنیم

:3- 4مثال 3

100یک منبع ولتاژ bو aدر سرهاي 1-4اگر به مدار مثال j 60متصل گردد، ولتاژ مقاومتΩ را به روش جمع آثار .محاسبه نمایید

:حل100با حضور منبع 1- 4مدار مثال j بصورت زیر خواهد بود:

12Ω

60Ω +−

12Ω

10 xVxV

+

−

40 jΩ−

100 j

12Ω

60ΩxV

+

−

40 jΩ−

100 j120V V120V

اکنون مدار داراي دو منبع ورودي است به روش جمع آثار هر بار یکی از منابع را حذف نموده و پاسخ مدار را به حضور تک منبع بررسی

:می کنیم


61صفحه

:120Vحذف منبع -1

12Ω

60Ω1x

V+

−

40 jΩ−

100 j

( )( )1

60 ||12100

60 ||12 4010 100

10 4023.5294 + 5.8824

xV jj

jj

j

→ = ×−

= ×−

= −

100حذف منبع -2 Vj:

12Ω

60Ω2xV

+

−

40 jΩ−

120V

( )( )2

60 || 40120

60 || 40 1294.11 23.52

x

jV

jj

−→ = ×

− +

= −

:بنابراین ولتاژ خروجی برابر است با

1 270.61 17.64x x xV V V j= + = −

: قضیه هم پاسخی -4-3

براي یک شبکه خطی و تغییر ناپذیر با زمان، بدون حضور منابع وابسته و مستقل سه بیان زیر به نام قضیه هم پاسخی برقرار :است

:پاسخیبیان اول قضیه هم

)منبع ولتاژ )1e t را به سرهايa وb متصل کرده و پاسخ جریان حالت صفر( )2j t را که از اتصال کوتاه کردن سرهايc وd )سپس همان منبع . بدست می آید محاسبه می کنیم )1e t را به سرهايc وd وده و جریان حالت صفر متصل نم( )1j t را که

قضیه هم پاسخی بیان می دارد که توپولوژي و مقادیر . بدست می آید محاسبه می کنیم bو aاز اتصال کوتاه کردن سرهاي :اجزاي شبکه هر چه باشد، همواره خواهیم داشت

( ) ( )1 2j t j t=


62صفحه

( )1e t ( )2j t ( )1e t( )1j t

( ) ( )1 2j t j t=

بیان اول قضیه هم پاسخی: 3- 4شکل

:بیان دوم قضیه هم پاسخی

)منبع جریان )1i t را به سرهايa وb متصل کرده و پاسخ ولتاژ حالت صفر( )2v t را که از مدار باز کردن سرهايc وd )سپس همان منبع . بدست می آید محاسبه می کنیم )1i t را به سرهايc وd متصل نموده و پاسخ ولتاژ حالت صفر( )1v t را

قضیه هم پاسخی بیان می دارد که توپولوژي و مقادیر . بدست می آید محاسبه می کنیم bو aکه از مدار باز کردن سرهاي :تاجزاي شبکه هر چه باشد، همواره خواهیم داش

( ) ( )1 2v t v t=

( )1i t ( )2v t+

−

( ) ( )1 2v t v t=

( )1v t+

−( )2i t

بیان دوم قضیه هم پاسخی: 4- 4شکل

:بیان سوم قضیه هم پاسخی

)منبع جریان )1i t را به سرهايa وb متصل کرده و پاسخ جریان حالت صفر( )2j t را که از اتصال کوتاه کردن سرهايc وd سپس منبع . بدست می آید محاسبه می کنیم( ) ( )2 1e t i t= را به سرهايc وd متصل نموده و پاسخ ولتاژ حالت صفر

( )1v t را که از مدار باز کردن سرهايa وb ی بیان می دارد که توپولوژي و قضیه هم پاسخ. بدست می آید محاسبه می کنیم : مقادیر اجزاي شبکه هر چه باشد، همواره خواهیم داشت

( ) ( )1 2v t j t=


63صفحه

( )1i t

( ) ( )1 2v t j t=

( )1v t+

−( ) ( )2 1e t i t=( )2j t

بیان سوم قضیه هم پاسخی: 5- 4شکل :4- 4مثال 3

1براي مدارهاي شکل زیر نشان دهید که ) الف 2j j=. 5Ω

1F

1H

1Ω

1V

1j

5Ω

1F 1H

1Ω

1V

2j

:حل

بنابراین . اگر منبع ولتاژ را بعنوان ورودي مدار هاي فوق در نظر بگیریم، مابقی مدار یک شبکه خطی و تغییرناپذیر با زمان خواهد بودبب می شود که در مدارهایی که شامل سلف و خازن هستند س DCحضور منابع . قضیه هم پاسخی بر قرار خواهد بود 1شرایط بیان

:سلف اتصال کوتاه شده و خازن مدار باز شود5Ω

1Ω

1V

2j 216

A

j→ =

5Ω

1Ω

1V

1j

116

A

j→ =

1براي مدارهاي شکل زیر نشان دهید که ) ب 2v v=.

5Ω1F

1H

1Ω

( )1 2cos 26

i t t π = +

2v+

−5Ω

1F

1H

1Ω

1v+

−

( )2 2cos 26

i t t π = +

بنابراین . خواهد بوداگر منبع جریان را بعنوان ورودي مدار هاي فوق در نظر بگیریم، مابقی مدار یک شبکه خطی و تغییرناپذیر با زمان


64صفحه

ورودي مدارها سینوسی است بنابراین براي محاسبه پاسخ حالت دائمی سینوسی ابتدا . قضیه هم پاسخی بر قرار خواهد بود 2شرایط بیان :مدار را به حوزه الپالس منتقل نموده و سپس پاسخ را محاسبه می کنیم

5Ω

1s

s

1

( )1I s

( )2V s+

−

x( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2 2

1 2

1 115 1 5 1

1 11

1 11 15 1

x x xx

x x

V s V s V sI s V s s

s ss

V s V s V s s V ss

I s s s V s ss

= + + = + + + + = → = + +

→ = + + + = + +

( ) ( )( )

1 5 1 55 1

s s ss

+ + + +

+( )

( ) ( )( )

2

22

1

55 6 6

V s

V sH s

I s s s

→ = =+ +

:بنابراین

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

1

22

1

222cos 2

66

5 525 6 6 5 2 6 2 6

2 0.27

2 139

2 0.27cos 2 30 139 0.54cos 2 109

A

i t t

H s H js s j j

H j

H j

v t t t

π ωπ

θ

= = = + →

=

= → =+ + + +

=→ = − °

→ = × + ° − ° = − °

R

:براي مدار دوم داریم

1s s

5Ω

1Ω( )2I s

( )1V s+

−

x

1s s

5Ω1Ω( )1V s

+

−

x

( )2I s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1 1 1 21 2

12

2

1 1 1015 1 5 1 1

151

1 1 5 6 65 1

V s V s V s I sV s s I s

s s ss

V s sH sI s s ss

s

− + + = → + + = + + +

+→ = = =+ ++ +

+

:تابع تبدیل و ورودي مدارها یکسان است بنابراین داریم( ) ( )1 2cos 2 109v t t→ = − °


65صفحه

1براي مدارهاي شکل زیر نشان دهید که ) ج 2v j=.

5Ω1F

1H

1Ω

( )tδ

( )2j t

5Ω1F 1H

1Ω

( )tδ

( )2v t+

−

. اگر منبع جریان و ولتاژ را بعنوان ورودي مدار هاي فوق در نظر بگیریم، مابقی مدار یک شبکه خطی و تغییرناپذیر با زمان خواهد بود

حالت دائمی ورودي مدارها سینوسی است بنابراین براي محاسبه پاسخ . قضیه هم پاسخی بر قرار خواهد بود 3بنابراین شرایط بیان :سینوسی ابتدا مدار را به حوزه الپالس منتقل نموده و سپس پاسخ را محاسبه می کنیم

5Ω 1s

s

1

( ) 1tδ =L

( )2J s

x( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

1 11 115 1 1

5 111 1 5 6 6

15

1 5 6 6

x x xx

x

x

V s V s V sV s s

s s ss

sV s

s sss s

V sJ s

s s s

= + + → + + = + +

+→ = =

+ + + + +

→ = =+ + +

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 22 2

2 22 2 2 2 2 2 2

0.84

0.62

5 1 1 1 0.925 6 6 1.2 1.2 0.920.6 0.92 0.6 0.92

1.2 1.2 2 0.6 0.6 1.2 0.6 2 0.6 0.6 0.92 0.6 0.92

1.09 sin 0.92t

J ss s s s s s

s s s s s s s

j t e t u t=

−

→ = = = = ×+ + + + + + + +

+ + = + × + + − = + × + + = + +

=

14243

:براي مدار دوم داریم

5Ω

1

( )2v t+

−

1s

s

( ) 1tδ =L

x

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2 22

2 2

0.62

1 1 1 115 1 5 1 1

151

1 1 5 6 65 1

1.09 sin 0.92t

V s V s V sV s s

s s ss

sV ss ss

sv t e t u t−

− + + → + + = + + +

+→ = =+ + + + +

=

:نکته


66صفحه

تغییرناپذیر با زمان، تابع تبدیل شبکه ثابت است و به جنس نتیجه مهم قضیه هم پاسخی اینست که براي شبکه هاي خطی .سیگنال ورودي و یا جایگاه آن بستگی ندارد

:5- 4مثال 3

. نتایج زیر حاصل شده است Nدر آزمایش انجام شده بر روي شبکه خطی و تغییرناپذیر با زمان

N1v+

−

1i 2i

2v+

−

2 21 2( ) ( ) ( ) (1 ) ( )V t t Av t t i t e te u tδ − −= → = − −

2ولتاژ ورودي این شبکه را به ازاي ( ) 20sin(2 90)v t t V= .محاسبه نمایید − :حل

بر طبق بیان سوم قضیه هم پاسخی، اگر تابع تبدیل مدار در دسترس باشد، . شبکه داده شده در شرایط قضیه هم پاسخی صدق می کند2با داشتن ورودي ( ) 20sin(2 90)v t t V= )1می توان خروجی − )v tبراي محاسبه تابع تبدیل شبکه از ورودي . را محاسبه نمود–

:خروجی داده شده استفاده می کنیم( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

1 1

2 22 2 2

2 22

2 21

( ) ( ) 11 1 1( ) (1 ) ( )

2 2

2 21 1 12 2 2

V

t t A

v t t V s

i t e te u t I ss s s

I s s s s s sH sV s s s s s s

δ

− −

= → = = − − → = − − + +

+ − + −→ = = − − = =

+ + +

24 4s s+ + −

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

2 2

12

2

2

2 42 2

42

20( ) 20sin(2 90) 20cos 2 2

0

s s ss s s s

V s sH sV s s s

Av t t t ω

θ

− − +=

+ +

+→ = =

+

== − = → = = °

( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

2 2

1

2 0.282 44 2 0.25 0.1252 153.52 2 2 2

20 0.28cos 2 153.5 5.6cos 2 153.5

H jjsH s H j jH js s j j

v t t t

=++ = → = = − − → = − °+ +

→ = × − ° = − °

R

:6- 4مثال 3

. نتایج زیر حاصل شده است Nدر آزمایش انجام شده بر روي شبکه خطی و تغییرناپذیر با زمان

1v+

−

1i 2i

2v+

−


67صفحه

3 31 2( ) ( ) ( ) (1 ) ( )t tv t u t V v t e te u t V− −= → = − −

2ولتاژ ورودي این شبکه را به ازاي ( ) 50cos( )i t t V= محاسبه نمایید. :حل

قضیه هم پاسخی، اگر تابع تبدیل مدار در دسترس باشد، سومبر طبق بیان . شبکه داده شده در شرایط قضیه هم پاسخی صدق می کند2با داشتن ورودي ( ) 50cos( )i t t V= 1می توان خروجی( )v tخروجی –براي محاسبه تابع تبدیل شبکه از ورودي . را محاسبه نمود

:داده شده استفاده می کنیم

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

1 1

2 22 2 2

2

22

1

1( ) ( )

1 1 1( ) (1 ) ( )3 3

3 31 1 12 2

1

V

t t A

v t u t V ss

v t e te u t V ss s s

s s s ss sV s s s

H sV s

s

− −

= → = = − − → = − −

+ +

+ − + −− −

+ +→ = = =

( )23 21s

+ 2s=

26 9s s+ + −

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

2 2

12

2

2

2 2

1

3 2 93 3

2 93

50( ) 50cos( ) 1

02 9 2 9 0.84 0.38

3 3

0.92

24.34

0.92 50cos 24.347 46cos 24.347

s s ss s

V s sH sV s s

Ai t t

s jH s H j js j

H j

H j

v t t t

ωθ

− − +=

+ +

+→ = =

+

== → = = °

+ += → = = −

+ +

=→ = − °

→ = × − ° = − °

R

:قضیه تلگان -4-4

اگر ولتاژ و . گره داشته باشد tnشاخه و bشبکه مداري فشرده اي دلخواهی را به گونه اي در نظر بگیرید که گراف مداري آن :نامگذاري کنیم، داریم kjو kvام این گراف را kجریان شاخه

4-1 1

0b

k kk

v j=

=∑

:نکتهیعنی توان تولیدي برابر توان مصرفی مدار . نتیجه مهم قضیه تلگان، برقراري تعادل توان در شبکه هاي فشرده ایده آل است

.است


68صفحه

ام گراف مداري باشد که در قوانین جریان و ولتاژ کیرشف صدق می کنند، براي همان شاخه kولتاژ و جریان شاخه kjو kvاگر :تاژ کیرشف صدق می کنند، داریمکه در قوانین جریان و ولkjو kvˆولتاژ و جریان دیگري نظیر با

4-2 1

ˆ 0b

k kk

v j=

=∑

4-3 1

ˆ 0b

k kk

v j=

=∑

4-4 1

ˆˆ 0b

k kk

v j=

=∑

:7- 4مثال 3

: با استفاده از قضیه تلگان، تعادل توان را در مدار زیر بررسی کنید

10Ω30A

10Ω

5Ω 2Ω

:حل

:مدار داریمبا ساده سازي 30A

( )( )80 1010 80 8072 || 5 10 ||10 10 ||10 ||10 1507 7 15

7

Ω× + = + = = =

V−

+

:اکنون توان مقاومت و منبع بصورت زیر محاسبه می گردد

( )22 80 900 8030 480015 15803015

WR R

R

P I R

V I R

×= = × = =

→ = = − ×

80. 30 30 480015

WIP I V = = − × = −

.بنابراین تعادل توان در مدار برقرار است

:8- 4مثال 3

.بررسی کنید 9-1با استفاده از قضیه تلگان، تعادل توان را در مدار مثال :حل


69صفحه

20V 30 Vj−

15 jΩ 5 jΩ−

10Ω

1 2.24 0.32j j= −2 0.72 3.04j j= +

3 1.53 3.36j j= −

:توان تک تک المان هاي مدار برابر است با

( ) ( )( ) ( ) ( )

120

230

20 20 2.24 0.32 44 6.4

30 30 0.72 3.04 91.2 21.6

V

Vj

P j j j

P j j j j j−

= × − = × − − = − −

= − × = − − = − −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 215 1

2 210 3

2 25 2

5

15 10 1520 301

15 2.24 0.32 15 76.8

10 1.53 3.36 10 136.305

5 0.72 3.04 5 48.8

44 6.4 91.2 21.6 76.8 136.305 48.80

V V

j

j

k j jjk

P j j j j j

P j j

P j j j j j

P P P P P P

j j j j

−

−=

= = − =

= = − =

= − = + − = −

= + + + +

= − − + − − + + + −

≅

∑

.بنابراین تعادل توان در مدار برقرار است :9- 4مثال 3

.بررسی کنید 10-1با استفاده از قضیه تلگان، تعادل توان را در مدار مثال :حل

10(1 )j+

12j

4Ω

6Ω2

j−

4 j−

8Ω

1 0.5328 + 0.8607j j=2 0.4508 0.0410j j= −

:ابتدا امپدانس معادل مدار را محاسبه می کنیم

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

6 2 4 128 4 6 2 || 4 12 8 4 13.6 3.2

6 2 4 12j j

j j j j jj j

− +− + − + = − + = −

− + +

:بنابراین داریم( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )10 10 1

2 213.6 3.2 1

10 10 10 10 0.5328+0.8607 13.935 3.279

13.6 3.2 13.6 3.2 0.5328 0.8607 13.935 3.279

j

j

P j j j j j

P j j j j j

+

−

= + × − = + × − = − +

= − × = − + + = + −


70صفحه

.بنابراین تعادل توان در مدار برقرار است :10- 4مثال 3

.را محاسبه نمایید 3V. اندازه گیري شده اند 50Hzجریان و ولتاژ سه شاخه در فرکانس RLCدر یک شبکه 1 11 1

2 2 2 2

3 3 3 3

ˆ ˆ5 5 12 4010 20 2 25ˆ ˆ12 35 10 10 15 20 8 10ˆ ˆ5 15 14.93 68 ? 10 15

V IV IV I V IV I V I

= ° = °= ° = ° = ° = − ° = − ° = ° = ° = ° = = °

R RR RR R R R

R R R

:حل :طبق قضیه تلگان براي این سه شاخه داریم

1 11 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1

1 1 2 2 3 34

ˆ ˆ5 5 12 4010 20 2 25ˆ ˆ12 35 10 10 15 20 8 10ˆ ˆ5 15 14.93 68 ? 10 15

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

b b

k k k kk k

b

k kk

V IV IV I V IV I V I

V I V I

V I V I V I V I

= =

=

= ° = °= ° = ° = ° = − ° = − ° = ° = ° = ° = = °

=

→ + + +

∑ ∑

∑

R RR RR R R R

R R R

1 1 2 2 3 34

ˆ ˆ ˆ ˆb

k kk

V I V I V I V I=

= + + + ∑

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

3

3

3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

10 20 12 40 12 35 8 10 5 15 10 15ˆ5 5 2 25 15 20 10 10 14.93 68

ˆ120 60 96 45 50 30 10 30 150 30 14.93 68

ˆ 17.3876 + 4.6686

V I V I V I V I V I V I

V

V

V j

→ + + = + +

→ ° ° + ° ° + ° °

= ° ° + − ° − ° + °

→ ° + ° + ° = ° + − ° + °

→ =

R R R R R R

R R R R R

R R R R R R

ش ش م م دو ی دو ی


72صفحه

دوقطبی هادوقطبی ها: : بخش پنجمبخش پنجم 33

۳۳-- :مقدمه -5-1

در برخی از . در تحلیل تمام مدارهایی که تا کنون بررسی کردیم، رفتار مدار در یک زوج سر ورودي خروجی بررسی شده استبخصوص حالتهایی که ورودي از طریق یک زوج سر وارد . کاربردهاي مداري، محاسبه ولتاژ و جریان در دو زوج سر الزم است

.به شبکه هایی که داراي دو زوج سر ورودي خروجی هستند دوقطبی گوییم. ودشبکه شده و از یک زوج سر دیگر خارج می ش

1v+

−

1i 2i

2v+

−

a

b

c

d

شبکه دو قطبی: 1-5شکل

:در تحلیل مدارهاي دو قطبی چند شرط کلی را در نظر می گیریم

.مدار صفر است) شرایط اولیه(انرژي اولیه • .نداردهیچ منبع مستقلی در شبکه دو قطبی وجود • .قرار گیرد dو cیا bو aهر اتصال خارجی تنها می تواند بین سرهاي •

:معادالت سرهاي یک دو قطبی -5-2

توصیف شبکه هاي دو قطبی عموما در حوزه . مشخص شود 2iو 1v،1i،2vبراي تحلیل یک شبکه دو قطبی باید روابط بین از آنجایی که بین این چهار متغیر، تنها دو متغیر مستقل وجود دارد، بسته به اینکه سیگنالهاي . الپالس صورت می گیرد

روش تنها 6 از این. حالت مختلف براي معادالت سرها بوجود می آید 6خروجی کدام یک از این چهار سیگنال باشند، - ورودي :سه روش بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد

روش امپدانسی -4 روش ادمیتانسی -5 روش هیبریدي - 6

:روش امپدانسی - 1- 2- 5

باشد؛ معادالت سرها بصورت 2vو سیگنال خروجی 1iسیگنال ورودي 1- 5اگر در شبکه دو قطبی شکل

دو ی دو ی : : ش م ش م

73 صفحه

5-1 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

v z i z i

v z i z i

= +

= +

1از آنجا که جنس ماتریس ضرایب. خواهند بود 11 12 1

2 21 22 2

v z z iv z z i

=

گویند روش امپدانسیامپدانسی است، این روش را .

:بصورت زیر عمل می کنیم Zبراي محاسبه پارامترهاي دوقطبی

:مدار باز شود 2وقتی که قطب 1امپدانس دیده شده از قطب 2

111

1 0i

vzi

=

=

:مدار باز شود 1وقتی قطب 2به جریان قطب 1امپدانس انتقالی معادل ولتاژ قطب 1

112

2 0i

vzi

=

=

:مدار باز شود 2وقتی قطب 1به جریان قطب 2امپدانس انتقالی معادل ولتاژ قطب 2

221

1 0i

vzi

=

=

:مدار باز شود 1وقتی قطب 2امپدانس دیده شده از قطب 1

222

2 0i

vzi

=

=

:روش ادمیتانسی -2- 2- 5

باشد؛ معادالت سرها بصورت 2iو سیگنال خروجی 1vسیگنال ورودي 1- 5اگر در شبکه دو قطبی شکل

5-2 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

i y v y v

i y v y v

= +

= +

1از آنجا که جنس ماتریس ضرایب. خواهند بود 11 12 1

2 21 22 2

i y y vi y y v

=

روش ادمیتانسیادمیتانسی است، این روش را

:بصورت زیر عمل می کنیم Yبراي محاسبه پارامترهاي دوقطبی . گویند

:اتصال کوتاه شود 2وقتی که قطب 1ادمیتانس دیده شده از قطب 2

111

1 0v

iyv

=

=

:اتصال کوتاه شود 1وقتی قطب 2به ولتاژ قطب 1انتقالی معادل جریان قطب ادمیتانس 1

112

2 0v

iyv

=

=

:اتصال کوتاه شود 2وقتی قطب 1به ولتاژ قطب 2ادمیتانس انتقالی معادل جریان قطب 2

221

1 0v

iyv

=

=

:شوداتصال کوتاه 1وقتی قطب 2ادمیتانس دیده شده از قطب 1

222

2 0v

iyv

=

=

:روش هیبریدي - 3- 2- 5

باشد؛ معادالت سرها بصورت 2iو سیگنال خروجی 1iسیگنال ورودي 1- 5اگر در شبکه دو قطبی شکل


74صفحه

5-3 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

v h i h v

i h i h v

= +

= +

1ضرایباز آنجا که جنس ماتریس . خواهند بود 11 12 1

2 21 22 2

v h h ii h h v

=

گویند روش هیبریديهیبریدي است، این روش را .

:بصورت زیر عمل می کنیم Hبراي محاسبه پارامترهاي دوقطبی

:اتصال کوتاه شود 2وقتی که قطب 1امپدانس دیده شده از قطب 2

111

1 0v

vhi

=

=

:باشدمدار باز 1بهره ولتاژ معکوس وقتی قطب 1

112

2 0i

vhv

=

=

:اتصال کوتاه باشد 2بهره جریان مستقیم وقتی که قطب 2

221

1 0v

ihi

=

=

:مدار باز باشد 2ادمیتانس خروجی وقتی که قطب 1

222

2 0i

ihv

=

=

:1-5مثال 3

:شبکه مقاومتی زیر را محاسبه نمایید Zپارامترهاي

1v

+

−

20Ω

5Ω

15Ω

2i1i

2v

+

−

:حل :معادالت گره ها را می نویسیم 2vو 1vآوردن معادالت سرها در دو گره براي بدست

1 1 21

2 2 12

20 5

15 5

V V VI

V V VI

− = + − = +

:مرتب می کنیم 1-5اکنون معادالت را به فرم معادالت


75 صفحه

1 1 2 1 21 1

2 22 1 2 1 2

1 1

1 1

2 2

1 1 1 1 1 1 120 5 5 4 5 4 5

1 41 1 1 1 45 155 15 5 5 15

1 1 1 110 7.54 5 4 5

1 4 1 45 15 5 15

I V V V VI VI V

I V V V V

V IZ

V I

− −

= + − = − − → = −= − + + = − +

− − → = → = =

− −

7.5 9.375

:2-5مثال 3

:شبکه مقاومتی زیر را محاسبه نمایید Yپارامترهاي

1v

+

−

20Ω 4Ω

10Ω

2i1i

2v

+

−

8Ω

x

:حل

:معادالت گره ها را می نویسیم xو 2vو 1vآوردن معادالت سرها در گره هاي براي بدست

1 1 21 1 21

2 2 12 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1 120 8 8 2020 81 1 1 1

4 8 8 4 8 41 1 1 1 1 2 1 50

10 20 4 10 20 4 20 4 20

xx

xx

x x x

x x

V V V V I V V VI

V V V VI I V V V

V V V V VV V V V

− − = + − −= +

− − = + → = − + + −

− − + + + + = + + = + → 120

=

1

520

V + 2

1 1 2 1 2 1 2

1 2

2 1 2 1 2 1 2

1 1

1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 520 8 8 20 8 8 20 8 160 8 1601 5

8 8 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 58 4 8 4 8 8 8 32 4 8 32

27 3160 4

x

V

I V V V V V VV V V

I V V V V V V

I V

= + − − + = + − + − − → = + → = − + + − + = − − + + −

= −→

2

2 1 2

27 5160 32

5 7 5 732 32 32 32

VY

I V V

− → = = − + −

:نکته

.با یکدیگر نسبت عکس دارند Yو Zماتریس هاي


76صفحه

:3-5مثال 3

:شبکه مقاومتی زیر را محاسبه نمایید Hپارامترهاي

1v

+

−

10Ω 20Ω

20Ω

2i1i

2v

+

−

80Ω 80Ω

x

:حل

:معادالت گره ها را می نویسیم xو 2vو 1vآوردن معادالت سرها در گره هاي براي بدست

1 11 11

2 22 2 2

1 2

1 2

1 1 110 80 1010 801 1 1

20 80 20 80 201 1 1 1 1 2 1 10

20 10 20 10 20 20 10 20 20

xx

xx

x x x

x x

V V V I V VI

V V VI I V V

V V V V VV V V V

− = + −= +

− = + → = + −

− − + + + + = + + = + →

220

=

1

120

V + 2

1 1 1 2 1 2

1 2

2 2 1 2 1 2

1 1 1 2 1 5 210 80 10 4 4 80 802 1

4 4 1 1 1 2 1 1 220 80 20 4 4 40 40

x

V

I V V V V VV V V

I V V V V V

= + − + = − → = + → = + − + = − +

:مرتب می کنیم 3-5اکنون معادالت را به فرم معادالت

( )

1 1 2 1 1 2

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

5 2 80 280 80 5 5

1 2 1 2 16 216 0.4 0.4 0.0440 40 40 40 40 40

16 0.40.4 0.09

I V V V I V

I V V I V V I V I V

H

= − → = + − = − + = − + + = + = − +

→ = −

:4-5مثال 3

:شبکه زیر را محاسبه نمایید Hپارامترهاي

1i 2i

2v

+

−

5Ω

1v

+

−

15sΩ 5Ω15sΩ

10s

Ω

x


77 صفحه

:حل :معادالت گره را می نویسیم xآوردن معادالت سرها در گره براي بدست

( )

( ) ( )

( ) ( )

11

1 1 1 22

2

2 2 1 2

1 2 1 2

105 15 5 15

105 15 5 1510

10

x

x

xx

V VIs s I V I IV V sIs s I V I IV sI I V I I

ss

−

= + + = − +− = → + + = − + + = → = +

1 1 2

2 2 1

10 105 15

1 1010 105 15 5 15

V s I Is s

I V Is s s

s s

= + + + → = − + + + +

1 1 2 1

2 2 1

1 1 22

10 10 1 105 1510 105 15 5 15

1 1010 105 15 5 15

10 100 10 15 1510 105 15 5 15

V s I V Is s s s s

s s

I V Is s s

s s

V s I Vs ss s s

s s

I

= + + + − + + + + → = −

+ + + +

= + + − +

+ + + + →

( )

2 1 2

2

1 1 22

2 1 2

10 110 105 15 5 15

10 105 15 5 15 10 5 15 10010 1

10 105 15 5 15

10 110 105 15 5 15

I Vs s s

s s

s s s s ss sV I V

ss s ss s

I I Vs s s

s s

= − +

+ + + + + + + + + + − = +

+ + + + →

= − + + + + +

3 2

1 1 22 2

2 1 22 2

225 150 325 100 1015 5 10 15 5 10

1015 5 10 15 5 10

s s sV I Vs s s s

sI I Vs s s s

+ + += + + + + + →

= − + + + + +


78صفحه

3 2

2 2

2 2

225 150 325 100 1015 5 10 15 5 1010

15 5 10 15 5 10

s s ss s s sH

ss s s s

+ + + + + + + = − + + + +

7- 8- 8-1- 8-2 -

:اتصال دو قطبی ها -5-3

:روش می توان دو قطبی ها را به یکدیگر متصل نمود 1به چهار

اتصال سري -1 اتصال موازي -2 موازي –اتصال سري -3 سري –اتصال موازي -4

:در این بخش انواع این اتصاالت را بررسی می کنیم

:اتصال سري -3-1- 5

:نحوه این اتصال به صورت زیر است. هم ورودي و هم خروجی شبکه ها بصورت سري به یکدیگر متصل گردنداتصال سري یعنی

11v+

−

11i 12i

12v+

−

21v+

−

21i 22i

22v+

−

1i

1i

2i

2i

1v

+

−

2v

+

−

.اتصال متوالی در این جزوه بررسی نخواهد شد 1


79 صفحه

:در اتصال سري داریم1 2

1 11 21

2 12 22

1 11 12

2 21 22

Z Z Zi i ii i iv v vv v v

= + = = = = = + = +

:اتصال موازي - 3-2- 5

نحوه این اتصال به صورت زیر . متصل گردنداتصال موازي یعنی هم ورودي و هم خروجی شبکه ها بصورت موازي به یکدیگر :است

11v+

−

11i 12i

12v+

−

21v+

−

21i 22i

22v+

−

1i

1i

2i

2i

1v

+

−

2v

+

−

:در اتصال موازي داریم

1 2

1 11 21

2 12 22

1 11 12

2 21 22

Y Y Yi i ii i iv v vv v v

= + = + = + = = = =

:موازي -اتصال سري - 3-3- 5نحوه این اتصال به صورت زیر . موازي یعنی ورودي بصورت سري و خروجی بصورت موازي به یکدیگر متصل گردند - اتصال سري

:ستا


80صفحه

11v+

−

11i 12i

12v+

−

21v+

−

21i 22i

22v+

−

1i

1i

2i

2i

1v

+

−

2v

+

−

:موازي داریم -در اتصال سري

1 2

1 11 21

2 12 22

1 11 12

2 21 22

H H Hi i ii i iv v vv v v

= + = = = + = + = =

:سري - اتصال موازي - 3-3- 5

نحوه این اتصال به صورت . سري یعنی ورودي بصورت موازي و خروجی بصورت سري به یکدیگر متصل گردند -اتصال موازي :عکس حالت فوق است و داریم

1 1 11 2

1 11 21

2 12 22

1 11 12

2 21 22

H H Hi i ii i iv v vv v v

− − − = +

= + = = = = = +

:5-5مثال 3

موازي دو شبکه مقاومتی زیر را رسم نمایید و در هر حالت ماتریس ضرایب مربوطه را –اتصاالت سري، موازي و سري :محاسبه نمایید


81 صفحه

1v

+

−

1Ω 1Ω

1Ω

2i1i

2v

+

−

x

1N

1v

+

′

− 1Ω 1Ω

2i′1i′

2v

+

′

−

2N

1Ω

:حل

:امپدانس، ادمیتانس و هیبرید را محاسبه می کنیم هر دو شبکه یکسان هستند بنابراین ابتدا براي یک شبکه هر سه ماتریس1

1

1 1 1 1 1 22

2 2 2

2 2 1 21 2 1 2 1 2

1 113 3

1 1 11 13 3 30 3 31 1 1

x

xx

x

x x x x x

V VII V V I V V V

V VI I V VI V V VV V V V V V V V V V V

− = = − = − + − = → = − → = − + − − = + → = + + + =

1 1 2

1 2

2 1 2

2 1 2 13 3 3 3

1 2 1 23 3 3 3

I V VY Y

I V V

= − − → → = = = − + −

1

11 2

2 1 2 1 2 12 113 3 3 3 3 334 11 2 1 2 1 2 1 2

9 93 3 3 3 3 3

Z Z Y

−

−

− → = = = = = =

−−

1 1 2 1 1 2

1 2

2 1 2 1 2 2 1 2

2 1 3 1 3 13 3 2 2 2 2

1 2 1 3 1 2 1 1 1 13 3 3 2 2 3 2 2 2 2

I V V V I VH H

I V V I V V I V

= − → = + → → = = = − + = − + + = − + −

:اتصال سري2 1 2 1 4 21 2 1 2 2 4

Z = + =


82صفحه

1v

+

−

1Ω 1Ω

1Ω

2i1i

2v

+

−

1v

+

′

−1Ω

1Ω1Ω

2i′1i′

2v

+

′

−

1Ω 1Ω

2Ω

1Ω1Ω

:اتصال موازي

2 1 2 1 4 23 3 3 3 3 31 2 1 2 2 43 3 3 3 3 3

Y

− − − = + =

− − −

1v

+

−

1Ω 1Ω

1Ω

2i1i

2v

+

−

1v

+

′

−1Ω

1Ω1Ω

2i′1i′

2v

+

′

−

:موازي - اتصال سري 3 1 3 1

3 12 2 2 21 1 1 1 1 12 2 2 2

H

= + = − − −

س هو ۲ ﺮ ﻟای راﺪ - rahilzargarinejad.ir · لواﺶﺶ ﺖ تﺎﮐو ﻪ ﺣ : ﺤ...

Documents