… kun spøg?

- om & omkring et Bach-tema -

Knud Brant Nielsen

maj ´96

INDHOLDSOVERSIGT

Forord 3

TONALITET & ATONALITET 4

… kun spøg?

I. 12-TONAL NOTATION fig.1

II. MODULATION 7 fig. 2-3 II.1. Dux fig. 4-5 II.1.2 En harmonisering fig. 6II.2. Comes fig. 7II.3 Dux-Comes fig. 8 II.4 Excitation

III.KERNE (MIDTDEL) / SYMMETRIDEL / SEUFZERDEL 13 III.1 14-struktur III.1.1. Symmetrier fig. 9-10 III.1.2. Atonale /neutrale strukturer fig.11 III.1.3. Talforhold for varigheder fig. 12 III.1.3. ”Seufzer"-struktur - syv 12-tonale 'halvtrin' fig.13-14 III.1.4. Bi-7-tonal kanon fig. 15 III.2. 10-struktur III.2.1. Fem 12-tonale 'heltrin' fig. 16-17 III.2.2. Bi-5-tonalt kontrapunkt fig. 18-19

IV 16-STRUKTUR - "MANDALA" 18IV.1. Intervaller - komplementariteten antal& spændingsgrad fig. 20IV.1.1. Ét fløj-interval fig. 21 IV.1.2. To formindskede tertser - to ditonus fig. 22-23 IV.1.3. Tre forst. sekunder / form. septimer fig. 24-25 IV.2. BACH fig 26-27 IV.2.1. Udvikling og forvandling fig.28 IV.2.3. "Mandala"

V. DYNAMISK STRUKTUR 22

VI. TRIN & GRAD 23VI.1. Trin & grad skaber tonalitet fig. 30-33

3

Forord

Denne studie begyndte som en undersøgelse af en unik Dux-Comes med chronomatikkens tonalteori som arbejdsredskab, men synes lige så meget at have udviklet sig til en undersøgelse af værktøjet selv, den chronomatiske tonalteori, således som jeg forstår den. Den chronomatiske tonalteori muliggør samtidig - og fuldstændig ligestillet - 7- tonal & 12-tonal notation og læsning. Det fører selvsagt til nye overvejelser og forestillinger om det komponerede, i dette tilfælde et tema. Ikke at man dermed kan vide, hvad eller hvordan komponisten har tænkt, højst hvad der måske intuitivt har foresvævet ham. Mange komponister har fulgt funktionsteorien uden at kende den, som eftertidens teoretikere har påvist. Tilsvarende kan komponister have skrevet 12-tonalt uden at kende 7-tonalitet og 12-tonalitet som et kontinuum, som en organisk sammenhæng, der opstår, idet 7-tonaliteten vokser ud over sig selv og føder en konsekvent analog 12-tonalitet.

…

Nodeeksempler og tekst er så vidt muligt anbragt på samme side. Heraf megen plads til læserens egne kommentarer og noter!

Knud Brant Nielsen

Sørup i maj 1996

4

TONALITET & ATONALITET

Tonalitet og atonalitet er uadskillelige modsætninger. De betinger hinanden: historisk var først tonalitet, siden skilte atonaliteten sig ud ved at være erklæret ikke-tonal.

A-tonalitet er karakteriseret ved ligedelthed, som tonalitet ved ikke-ligedelthed. Som ligedeltheden har fået et analyse-syntese-redskab i 'Forte-metoden', kalder ikke-ligedeltheden på et analogt analyse-syntese-redskab, en 'Piano-metode', der forsøger sig 'con parole piane', med enkle ord - ”så enkelt som muligt, men ikke enklere", som én udtrykte sig.

Arnold Schönbergs dodekafone atonalitet og Frede Schandorfs dia-12-tonalitet er nok modsætninger, men har streng konsekvens til fælles, en uvurderlig egenskab for et godt intellektuelt arbejdsredskab. Fælles er også brugen af kongruens modulo, her modulo 12: 'oktav' og 'prim' regnes for identiske, hvilket muliggør oktavomlægning.

Ellers er det forskellene, der dominerer: den atonale skala har lige store trin, den tonale skala derimod to trinstørrelser: dia-minus/'halvtrin' (=7-tonalt halvtrin) og dia-plus 'heltrin' (=7-tonalt kromatisk halvtrin). Som konsekvens heraf har atonalitet 11 forskellige intervaller (oktaven ikke medregnet), men tonalitet 2 x 11 intervaller: 11 små og 11 store intervaller. Og mens de atonale intervaller alle er spændingsfri, neutrale, er tonalitetens små intervaller alle sammentrækkende (kontraktive) / konvergente og dens store intervaller alle udvidende (ekspansive) / divergente. Dodekafonien har således 12 toner - og kun de 12 - og de noteres, i det gængse 7- tonale notationssystem såkaldt enharmonisk: C og His repræsenterer konsekvent samme neutrale tone. Dia-l2-tonaliteten læser lige så konsekvent C og His = M og M♯ som to forskellige toner, idet M og M♯ udgør et 12-tonalt kroma(tisk halvtrin).

I denne grundlæggende forskel mødes modsætningerne: det atonale "ligesvævende" neutral-trin er samtidig det punkt som de såkaldt enharmoniske toner afviger fra: C/M er lavere, His/M♯ er højere. Mens dodekafonien kun har neutrale, ligesvævende trin, har dia-12-tonaliteten kun grad-afvigelser fra ligedelte trin: C/M er 2 grader dybere, His/M♯ 10 grader højere.

I tonalitet er de neutrale trin det skelet, tonerne afviger fra, heraf den tonale spænding, tonaliteten. Den ligesvævende neutralitet er altså forudsætningen for gradafvigelserne. Atonaliteten er således tonaliteten iboende. Dette bekræfter 12-notation på 7-linie-system, hvor hvert trin har sin selvstændige plads: enhver dodekafon komposition vil fremtræde uden fortegn overhovedet, mens dia-l2-tonal musik benytter faste fortegn og accidentalier efter behov, ganske som 7-tonal musik. Dodekafonien kan transponere de 12 toner inden for det lukkede 12-neutrale rum, mens dia-l2-tonaliteten som gængs 7-tonalitet frit modulerer i ♯- eller ♭-retning.

5

Hvorfor er dia-l2-tonaliteten da først opdaget et kvart årtusind efter at Bach udformer det unikke h-mol-fugatema i 1722? Hvordan har denne analoge tonalitet kunnet skjule sig for så mange efterfølgende generationer af begavede musikere, komponister og teoretikere? Svaret er måske enkelt. 7-tonalitet og 12-tonalitet er et kontinuum, hvor 12-tonaliteten har kunnet leve sit hemmelige liv forklædt som 7-kromatik, idet den 12-tonale skala er identisk med den 7-tonale kromatiske skala; og - sammen-hængende hermed - idet 12-tonalitetens 11 store intervaller optræder i 7- tonaliteten som store eller forstørrede, og de 11 små intervaller som små eller formindskede. Sagt anderledes: de samme 11 intervaller er udvidende/divergente i begge tonaliteter, og de øvrige samme 11 intervaller er sammentrækkende/ konvergente i begge tonaliteter. Hvortil kommer, at vi indtil for nylig kun har haft det 7-tonale skriftsprog at tænke i: 12-notationen er det sesam der åbner døren til et nyt og større rum, der igen har vinduer ud til bogstaveligt talt uendelige tonale horisonter ...

I det efterfølgende kastes et blik ind i det 7&12-tonale kontinuum som det udfolder sig i Johann Sebastian Bachs h-mol-fugatema fra Das Wohltemperierte Clavier, bind I.

… kun spøg? I 1950 - som 75-årig - indleder Arnold Schönberg et radioforedrag1 om J.S.Bach med ordene: "Jeg plejede at sige: Bach er den første tolvtonekomponist. Det var naturligvis spøg. Jeg vidste ikke engang, om ikke nogen før ham fortjente denne titel. Men sandheden som denne konstatering er baseret på er, at fuga nr. 24 i h-mol af Det Veltempererede Klaver bd. I begynder med en Dux, i hvilken alle tolv toner forekommer. (...) Det er en undtagelse: selv i denne fuga består Comes kun af elleve forskellige toner, og af de tolv gentagelser og transpositioner er kun syv fuldstændige, mens fem udelader en eller to af de tolv toner. Måske kunne en undersøgelse af kontrasubjekter og episoder bringe yderligere interessante kendsgerninger for dagen. Men hvad der her er vigtigere: fugaen fortjener betegnelsen 'kromatisk fuga' meget mere med rette end de, der sædvanligvis benævnes sådan. Den nærmer sig en kromatisk stil på en måde der er anderledes end Bachs vanlige fremgangsmåde. (...) I denne fuga er de kromatisk altererede toner hverken udskiftninger eller bestanddele af skalaer. De besidder tydeligt en uafhængighed, der ligner den, der er mellem den kromatiske skalas gensidigt uafhængige toner i en tolvtonekompositions grundrække. Den eneste væsentlige forskel mellem deres natur og den moderne kromatik består i, at de ikke udnytter deres flertydighed som middel til modulatorisk retningsskift. (…)"

6

Såvidt Arnold Schönberg. Siden - i 1970'erne - fandt Frede Schandorf den trans-skriptionskode, der analogt omsætter 7-notation til 12-notation, altså omkoder et skriftsprog til et andet. Analogt, idet 7-tonal skrivemåde omkodes til 12-tonal skrivemåde (som altså ikke er atonal eller dodekafon, men netop tonal).

Som konsekvens heraf benytter efterfølgende artikel både 7-notation og 12-notation, noterer 7-tonal notation (på fem linier) oven over 12-tonal notation (på syv linier), altså parallelt, så at sige bifokalt. De mange gentagelser af samme nodebilleder med forskellige påtegninger har til hensigt at lette læsningen og dermed læserens kritiske vurdering af tekstens påstande og konklusioner.

Artiklen tager Schönbergs henvisning til h-moll-fugaen op og nærlæser de første seks takter, det indledende Dux-Comes.

Analyseredskabet er Frede Schandorfs tonalteoretiske tænkning, således som jeg har forstået den. Udformning og konklusioner er begrænset af min forståelse af elementære sider af Frede Schandorf omfattende oeuvre - og følgelig mit ansvar.

1"J.S.Bach" 10.3., 18.3. 1950 i Arnold Schönberg: Aufsätze zur Musik s.448 (S.Fischer)

I. 12-TONAL NOTATION

Koden, der transskriberer 7-notation til 12-notation er enkel: kvart/kvint-slangen noteret 7-tonalt og 12-tonalt:

7-notationen har 5 linier og benævner noderne ABCDEFG. Analogt har 12-notationen 7 linier og benævner IJKLMNOPQRST. Noderne, der står lodret under hinanden, lyder ens og har fælles eksponent (talbetegnelse). Eksponenten +1 er således fælles for 7-tonalt A og 12-tonalt J.

7

II. MODULATION

Med koden transskriberes Dux-Comes (de første 6 takter) af h-mol-fugaen fra "Das Wohltemperierte Klavier" bind I (1722).

Hvilken forskel! Dux alene kræver otte 7-tonale accidentalier mod kun ét 12- tonalt! Mens de mange alterationer i den 7-tonale notation slører en eventuel modulation, opfordrer den 12-tonale notation til nærlæsning: "Angiver det isolerede kryds en 12-tonal modulation - analogt med 7-tonal praksis?" Comes (med kontrapunkt) viser samme billede, her tretten mod tre. Det samlede 12-tonale forløb har fire alterationer, der indicerer et enkelt modulationsforløb.

8

Dux-Comes anvender i alt disse 14 forskellige toner. Ikke tilfældige toner, men et sammenhængende udsnit af kvart/kvint-slangen: fra -3 til +10. Af de midterste 12 toner i 12-notationen er 9 fortegnsløse og 3 med kryds. Heraf 12-notationens 3 faste krydser: L-12-transposition (oversat til 7-tonalt sprog: "H-12"-transposition). Tonen til højre M♯(His) kunne nu indicere udsving til Dominanten - og tonen til venstre R(F) tyde på udsving til Subdominanten.

II.1 Dux

De mange accidentalier i 7-notationen slører den umiddelbare oplevelse af modulationsforløbet, som ved nærlæsning viser sig at være enkelt: Dux modulerer 7-tonalt fra Tonika til Dominant ved at erstatte G(-1) med Gis(+6) - altså ved at springe 7 kvarter/kvinter til højre i slangen - hvorved hele 7-modulet flyttes én position til højre i slangen, fra h-mol til fis-mol.

Udtrykt i eksponenter er 7-modulationen fra Tonika til Dominant: h-mol: -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 fis-mol: 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

9

En 12-tonal modulation ville helt analogt skulle ske ved at springe 12 kvarter/kvinter til højre i slangen. Og det er netop hvad der sker: M(-2=7-tonalt C) udskiftes med M♯(+10=7-tonalt His), hvorved hele 12-modulet flyttes en position til højre, fra L-12 til S-12(=fra H-12 til Fis-12). Analogien er ligetil: som der er 7 kvarter/kvinter mellem tonerne i det 7-tonale kroma(tiske halvtrin), er der 12 kvarter/kvinter mellem tonerne i det 12-tonale kroma(tiske halvtrin).

Udtrykt i eksponenter er 12-modulationen fra Tonika til Dominant: H-12: -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 Fis-12: -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10

Dux er et stramt forløb i 3 dele: Tonika-del (brudt h-mol-treklang), Kerne (Midt-del) - og Dominant-del.

Dominantdelen er en tæt konstruktion af 12-modulator(=12-modulationstone): M♯(=His), brudt fis-mol-treklang, 7-modulator(=7-modulationstone): Gis(=I) - og fis-mol-grundtone = ny Tonikagrundtone: Fis(=S).

12-modulationen sker før 7-modulationen, idet modulatorerne er forskellige. Men fælles er den ny grundtone: Fis i fis-mol og S(=Fis) i S-12(="Fis-12"). Fælles for fis-mol og S-12 er også deres funktion: begge er Dominanttoneart.

Kort sagt: Dux modulerer både 7-tonalt og 12-tonalt til Dominanten.

10

II 1.2 En harmonisering

Ludwig Czackes: Analyse des Wohltemperiertes Klaviers- Form und Aufbau der Fuge bei Bach -

Bd. I, 1956

Ludwig Czaczkes harmonisering2 af Dux bekræfter: den 12-tonale notation viser med kun et accidentalt kryds et karakteristisk fortegnsbillede (analogt med fx Hasslers "Kirchengesang...simpliciter gesetzt" fra 1608): typisk viser et accidentalt kryds i første linies kadence, at kadencen modulerer3 til D. Det 7-tonale kryds hos Hassler ville være den ny dominants terts, mens det 12-tonale kryds i Bachs kadence er den ny vekseldominants terts.

2Ludwig Czackes: Analyse des Wohltemperierten Klaviers s. 223 (Paul Kaltscmid). 3Her bruges konsekvent ordet 'modulation', hvor nogle ville foretrække 'udsving til' e.l.

11

II. 2. Comes

Det er nærliggende at læse det 7-tonale forløb helt enkelt: fra Dominant igennem den accidentaliefyldte Kerne til Tonika, hvilket giver enkel symmetri og parallelitet:

Dux: Tonika Kerne Dominant Comes: Dominant Kerne Tonika

Tilbagekomsten til Tonika - idet Gis atter erstattes af G - sker på tenorstemmens højeste tone (t.5).

Lige så enkelt - men fyldigere - er det 12-tonale forløb: I takt 4 opløses M♯ til M (His bliver C) hvormed Tonika er genindført. I takt 5 opløses det faste kryds for R (Eis erstattes af F), hvorved der moduleres

til Subdominanten Q-12=("E-12"). I takt 6 genindføres R♯ (Eis) og dermed Tonika. Den 12-tonale modulator (modulationstone) kommer nu efter den 7-tonale.

12

II. 3. Dux-Comes

Det samlede modulatoriske forløb er således:

7-tonalt: (t.3) kryds for G til Dominant(t.5) kryds for G opløst tilbage til Tonika

Det vil sige: det enklest mulige: T D T.

12-tonalt: (t.3) kryds for M(=His) til Dominant(t.4) kryds for M opløst(=C) tilbage til Tonika(t.5) fast kryds for R opløst (=F) til Subdominant(t.6) igen fast kryds for R (=Eis) tilbage til Tonika

Altså: et enkelt, smukt symmetrisk forløb: T D T S T.

Udtrykt i eksponenter: 7-tonalt T D T:

h-mol: -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 fis-mol: 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6h-mol: -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

12-tonalt T D T S T:L-12(=H-12): -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9S-12(=Fis-12): -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10L-12(=H-12): -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9Q-12(=E-12): -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 L-12(=H-12): -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

Altså 7-tonalt: T-D-T, dvs. 2 forskellige funktioner: T D- og 12-tonalt: T-D-T-S-T, dvs. 3 forskellige funktioner: S T D

13

II.4 Excitation

7-&-12-tonaliteterne er organiske led i den kvart-kvint-frembragte excitation: tonalitetsrækken 2-, 3-, 5-, 7-, 12-, 17-, 29-, 41-, 53-, 94-, … -tonalitet, hvor de mindre tonaliteter indgår i de større tonaliteter som træets ældre årringe indeholdes i de yngre. T-grundtonen og D-grundtonen er identisk med 2-tonaliteten, mens S-grundtone, T-grundtone og D-grundtone er identisk med 3-tonaliteten - som de vækstringe de større tonaliteter vokser ud af. Som 12-tonaliteten er identisk med 7-tonalitetens kromatiske skala, således er 3- tonaliteten identisk med 2-tonalitetens kromatiske skala. Analogt er da det 12-tonale modulationsforløb med sine 3 forskellige funktioner en strikt (modulations-)kromatisk udvidelse af det 7-tonale modulationsforløb med dets 2 forskellige funktioner.Ingen kan vide hvor meget Bach var bevidst om. Men at hans indre muse arbejdede grundigt - og med chronomatisk konsekvens - det er til at se og høre.

III. KERNE (MIDTDEL)III.1. 14-strukturIII.1.1. Symmetrier

L-12-(H-12-)skalaens toner ses her i kvart-kvint-orden, dvs. som L-12-(H-12-)slange, der danner en smuk symmetri - omvendingskrebs - om aksen H-Fis:

De seks symmetrier (a, b, c, d, e, f) strukturerer 12-tonalitetens materiale til seks tonepar. Mens 7-slangen F C G D A E H har D som akse-/centraltone, er 12- slangens midte et imaginært punkt. I stedet for aksetone må således træde akseinterval, her H-Fis, fugatemaets T- og D-grundtoner.

De seks tonepar tredeler Kerne og Dominant-del:

I. Symmetrierne a og e har fælles akse i Fis-H.II. Symmetrierne a, b, d, f har fælles akse i H-Fis idet h-mol-kvarten selv danner

symmetri: Fis-H/H-Fis.III. Gentagelsen af Tonika-kvarten 11-Fis i del 11 udskyder symmetrien c til

Dominant-delen. (I D-delens S-12-(Fis-12-)slange er den ny Tonikas kvint Cis-Fis-akse mellem 12-modulator M♯(=His) og 7-modulator (Gis!).

14

III. 1.2. Atonale / neutrale strukturer

De tre akser strukturerer et tre-delt kompleks af 14 toner, proportioneret ulige: '4:8:2', men potenseret af det lige tal 2: '22:23:21', altså oktavforhold. 12-notationen tydeliggør at de samme talforhold samt tallet 1 tegner intervalstørrelserne i de tre dele, idet intervalstørrelserne kan læses atonalt som additioner af lige store (ligesvævende) trinintervaller. Her er det ikke kun symmetri, men også imitation, der skaber det tætte væv. Altså atter oktavforhold: 1:2:4:8, dvs. igen potensering af 2: '20:21:22:23'.

III.1.3. Talforhold for varigheder

Målt i varighed: kernens todeling i forholdet 1:2 modsvares af forholdet 1:2 mellem Tonika-del og Dominant-del:

½ takt 1½ takt 1 takt Tonika-del Kerne Dominant-del

1:2 1 2

Således er desuden kerne og 'skal' ('skal'=T-del og D-del) vægtet ligebyrdigt: 1½ : 1½ = 1 : 1; 'struktur(analyse)del' og 'funktions(analyse)del' står lige.

15

III.1.4 "Seufzer"-struktur = syv 12-tonale 'halvtrin'

14-tonestrukturens toner kan ordnes som faldende L-12(=H-12)-skala (med Fis og H gentaget):

7-notationen er ideel til analyse/sortering af 12-skalaens trin: syv halvtrin (her med seufzerbuer) står til komponistens disposition: Bach benytter de seks - og gemmer den midterstes toner til D-delen. Det kunne tyde på målbevidst symmetri-tænkning - omkring og rettet mod akse-halvtrinnet A-Gis. Altså noteres de syv seufzere forsøgsvis som slange og skala og forsynes ad hoc med minus- og pluseksponenter ud fra A-Gis-aksen - og eksponenterne overføres til 14-strukturen:

Såvel "slangetal" som "skalatal" bekræfter de tre akser ! Adderes tallene parvis til tre slange-talsummer og tre skala-talsummer, viser disse et fælles forløb, helt sammenfaldende med funktionsanalysens sinuskurveagtige T S D (T): slangetal: -2 +2 +1 -3 +3 -1 slangesum: 0 - +"slangekadence": ”T” ”S” ”D”skalatal: -1 +1 -3 +2 -2 +3skalasum. 0 - +"skalakadence": "T" "S" ”D” kvart/kvint: Fis-H E-H Fis-Cis h-mol-kadence: T S D Og med A-Gis føres ”slangekadence”- og ”skalakadence”-kurven til ende på det fælles ”slange- og skalatal” 0 (”T”) - samtidig med h-mols forvandling til fis-mol.

16

III.1.5. Bi-7-tonal kanon

14-strukturen er en streng kanon i tætføring af G-durs og Fis-durs toner, 2 x 7 toner. De to skalaer har tonerne H og Fis fælles og består således af 12 forskellige toner: "H-12"(L-12). Hver skalatone bringes en gang i konsekvent vekslen mellem de to skalaer, der forenes i et harmonisk og spændingsfuldt forløb fra første til sidste tone, fra G til 7-modulator Gis. Således er 14-strukturen i samme åndedrag en selvstændig kredsen om strukturens midte Gis-A og en dynamisk harmonisk udvikling fra h-mol til fis-mol.

III.2. 10-struktur

III.2.1 Fem 12-tonale 'heltrin'

14-strukturens toner kan også ordnes som stigende L-12(=H-12)-skala (uden H og Fis) med akse-seufzerens A og Gis som ydertoner:

Her trækker 7-notationen de 5 kromatiske halvtrin frem: de enkelte kromatiske halvtrins to toner har fælles mellemrum eller linie, hvorved de afslører at de er heltrin i 12-tonaliteten. De 5 heltrin noteres - igen forsøgsvis - som slange og skala og udstyres ad hoc med minus- og pluseksponenter, nu med D-Dis som akse. For overskuelighedens skyld overføres kun "skalatallene" til 14-strukturen, der med udeladt Fis-H og H-Fis omdannes til 10-struktur:

17

10-strukturens 5 heltrin omslutter H-Fis-aksen i anden takt - på to forskellige måder: De to heltrin G-Gis og A-Ais - i skalaen inden i kvarten H-Fis - indrammer takt 2

med G-Gis yderst og Ais-A inderst; i takt 1 omslutter G og Ais kvarten Fis-H, i takt 3 omslutter A og Gis ny Tonika-grundtones Fis.

De 3 heltrin C-Cis, D-Dis og E-Eis - i skalaen uden om kvarten H-Fis - strukturerer sammen med H-Fis takt 2. Hvert heltrin bidrager med én tone før H-Fis, og efter H-Fis følger i tur og orden hvert heltrins anden tone, så elegant at E-Dis-C før H-Fis modsvares af tonalt streng omvendingskrebs Eis-D-Cis efter H-Fis - og idet taktens otte toner bindes sammen af syv sammentrækkende intervaller - vendt mod H-Fis' imaginære midte. Raffineret dia-12-toneteknik!

III.2. Bi-5-tonalt kontrapunkt

10-strukturen er opbygget af to femtonale skalaer: D-5 og Dis-5, 2x5 toner. Skalaernes centraltoner er 10-strukturens rammetoner med D øverst og Dis nederst. Ved oktavomlægning bliver A vertikalt midterste tone i D-5 og Gis vertikalt midterste tone i Dis-5. Oktavomlægning af henholdsvis 2 og 3 toner gør de to skalaer til indbyrdes krebsomvendinger om H-Fis-aksen.

Hvor 14-strukturen bestod af to 7-transpositioner i 5 kvart-kvinters afstand, identisk med H-12(L-12)-tonaliteten med fordoblet H-Fis, udgøres 10-strukturen af to 5-transpositioner i 7 kvart-kvinters afstand, identisk med H-12-tonaliteten med udeladt H-Fis. Ved fordelingen af de 5 heltrin i 12-skalaen og 10-strukturen og ved oktavomlægningen af 5-skalaerne træder tallene 2 og 3 frem - og antyder også her den større sammenhæng hvori 7- og 12-tonalitet indgår: den organisk voksende, uendelige excitation af tonaliteterne 2-, 3- ,5-, 7-, 12-, 17-, 29-, 41-, 53-, ...

18

IV. 16-STRUKTUR - "MANDALA"

IV.1. Intervaller - komplementariteten antal og spændingsgrad

Tonalitet opbygges af intervaller, og de sjældneste intervaller afgrænser transpositionen. Jo sjældnere intervallet er, des højere dets spændingsgrad: antal og spændingsgrad er komplementære: deres talsum er lig tonalitetens størrelse.

IV.1.1. Ét fløjinterval

I h-mol har intervallet G-Cis højeste spændingsgrad=6 og laveste intervalantal=1: G-Cis er h-mols stærkeste spændingsinterval og eneste forstørrede kvart og er således nok til at afgrænse transpositionen. G-Cis er h-mol-slangens yderste venstre & yderste højre toner: heraf benævnelsen fløj-interval. I fis-mol afløses G-Cis af D-Gis, idet G udskiftes med Gis. - Tilsvarende:I h-12: C-Eis(M-R♯) har højeste spændingsgrad=11 og laveste intervalantal=1 og er dermed stærkeste spændingsinterval, der alene kan repræsentere/tegne transpositionen H-12. I fis-12 erstattes C(M) af His(M4), hvorved h-12's C-Eis(M-R♯) afløses af G-His(T-M♯), som nu har den højeste spændingsgrad=11 og laveste intervalantal=1 og dermed bliver det stærkeste spændingsinterval, der alene kan repræsentere/tegne transpositionen Fis-12.

19

I Dux afgrænses midtdelen af h-mols fløjinterval G-Cis, idet G og Cis er første og sidste tone. Ved modulationen til fis-mol består det ny fløjinterval af Dux' højeste tone D og af modulatoren Gis. De to intervaller overlapper hinanden. H-12-fløjintervallet C-Eis(M-R♯) er symmetritoner i midtdelens afsnit II og afløses af Fis-12's G-His(T-M♯), altså midtdelens og modulationsdelens første toner. Her er ikke tale om overlapning: det afløsende fløjinterval favner vidt om det snævre afløste fløjinterval.

IV. I .2. To formindskede tertser - to ditonus

7-skalaer har én tritonus og én ditonus, begge udvidende; tilsvarende har 12-skalaer to ditonus, begge sammentrækkende – den ene centreret om Tonika-grundtonen, den anden centreret om Dominant-grundtonen. I Bachs musik spiller disse to ditonus en melodisk og harmonisk fremtrædende rolle.

De to h-mol-ditonus er brudt op i 1. & 5. seufzer og 2. og 4.seufzer, symmetrisk om 3. seufzer. Hver symmetridel har sin interne symmetri: venstre del er aksen Fis-H med 1. og 2. som indre seufzere, højre del er aksen H-Fis med 4. og 5. som ydre seufzere. Hvorved midtdelen - set sådan - afbalanceres i en indadvendt og en udadvendt del. Den sammenhængende ditonus D-Cis-His(O-N-M♯) er den for Bach melodisk-harmonisk karakteristiske neapolitanervending, her fra Dux-toptonen D(O) til 12- modulator His(M♯). Elegant sammenføjes midtdel og modulationsdel: fra toptone D gennem Cis til 12-modulator His over ny Tonikatreklang Cis-A-Fis til 7-modulator Gis, altså med fis-mol-fløjtonerne D-Gis som ramme.

IV.1.3. Tre forstørrede sekunder / formindskede septimer

20

H-12 og Fis-12 har hver tre forstørrede sekunder/formindskede septimer, hvoraf de to er fælles.

De forstørrede sekunder udvider sig til de (omrammede) rene kvarter, og de formindskede septimer sammentrækker sig til de (indrammende) rene kvinter. I stedet for treklangene S T D (kvart/kvint med terts) fremtræder her firestrukturerne "S" "T" "D"(kvart/kvint med hver to ledetoner)De tre H-12-strukturer danner traditionelt kadencemønster "T" "S" "D" og fører til Fis-12's "D":i "T" omrammer det udvidende G-Ais(T-K♯) kvarten Fis-H(S-L), i "S" omrammes kvinten E-H(Q-L) af det sammentrækkende Dis-C(P♯-M), i "D" omrammes kvinten Fis-Cis(Es-N) af det sammentrækkende Eis-D(R#-O) – og i Fis-12's "D" høres det udvidende His-A(M♯-J) og kvarten Cis-Gis(N-I), men nu flettet.

De 4 gange 4 toner (24=42) slutter sig sammen til en 16-struktur.

IV.2. B-A-C-H

BACH-motivet i slangenotation viser dets transpositionsmuligheder i H-12 og Fis-12, der tilsammen indeholder 6 muligheder for transposition, hvoraf Bach anvender:

1. C-H-D-Cis, kun i H-12,2. G-Fis-A-Gis, både i H-12 og Fis-12,3. E-Dis-Fis-Eis, både i H-12 og Fis-12,4. H-Ais-Cis-His, kun i Fis-12.

4 gange ses BACH-motivet, idet de 16 toner fordeler sig på 4 symmetrier med fælles akse midt i 2.takt, lige midt i Dux - og med H som nærmeste tone til venstre pegende mod h-mol og Fis som nærmeste tone til højre pegende mod fis-mol.

21

IV.2.1. Udvikling og forvandling

Men - det regelrette Cis-His er ombyttet til His-Cis: efter seks seufzere udløses den befriende bevægelse opad - og His-Cis-A-Gis(med udeladt Fis) afspænder i prolongation: ottendedel-ottendedel-fjerdedel-halvnode, altså 1:1:2:4.

I øverste linie ses 16-strukturens første 4 toner nodetro som motivet "to kvart/ kvintforbundne seufzere"(II og III med oktavomlægninger). Derpå gentages motivet i tre transpositioner (med to oktavomlægninger).

Med 1., 2., 3. og 4. node benævnt som 'a, b, c, d' tegner sig denne udvikling: I a b c d eksposition II c d a b de to seufzere bytter plads III c d a b gentagelse, hvorved opnås at II og III

forbindes ved H-FisIV d c a b ny gentagelse, men idet de første to toner

bytter plads, hvorved den tunge seufzergang ophører.

I omstilles til II der hæves til III før den endeligt forløsende forvandling i IV!

Teknikken er ombytning: i II byttes to seufzere, i IV byttes to toner, og forskellen er overvældende:

i IV følger trylleslag på trylleslag: His som 12-modulator til Dominanten,

His-Cis som opadgående seufzer-befrielse, Cis-A-Fis som ny Tonikatreklang, His-Cis-A-( )-Gis spændingsløsende prolongeret til ottendedel-ottendedel-

fjerdedel-halvnode (altså varighed 1:1:2:4), - ogGis som 7-modulator og med (fugaens eneste) trillo om midtdelens imaginære

akse mellem A og Gis.

IV.2.3. ”Mandala"1

Hvem kan vide hvordan og hvad komponisten har tænkt. Men med I-II-III løses opgaven "at forbinde 6 seufzere om akserne Fis-H/H-Fis til 2 symmetrier (i forholdet 1:2) bestående af 3 motiver med fælles 4-tone-struktur" - og med IV forløses 12-tonestrukturen på eventyrlig vis . Altså I-II-III&IV=3:1. Som "alle gode gange tre - og den bedste fjerde"!

22

Alt imens 16 forbliver = 4 x 4 = 42 = 24 = kvadratet på 2's kvadrat. Ligedelt fuldkommenhed, som en mandala, som firedelt enhed. Og karakteristisk for en mandala er netop 3:1, hvor det fjerde led også indeholder varians eller forandring: dyb, intuitiv viden for en komponist som vel med god grund kunne formodes at have funderet over den dybere mening med de initierende ord i dét af den klassiske Pythagoras-traditions kerneskrifter, hvor Platon lader Sokrates indlede: "En, to tre; men hvor har vi den fjerde, kære Timaios"... - en komponist ”som først skrev efter at have grundet længe”, som sønnen C.P.E.Bach fortæller. 1 C.G.Jung: ”Mandala” s, 16: henvisningen til Timaios herfra.

V. DYNAMISK STRUKTUR

Dux opbygges således af 3 takter i forholdet 2:1. Første del med treklang efterfulgt af I-II-III - og anden del med treklang og IV flettet. En udviklingsdel og en forvandlingsdel, en T-del og en D-del, fra h-mol og H-12 til fis-mol og Fis-12. Fis er første og sidste tone, men et Fis der optræder fem gange og forvandles fra Tonika-kvint til Tonika-grundtone. Som fælles element for udviklingsdel og forvandlingsdel tiltrækker sig da de to moltreklange opmærksomheden og fortæller deres historie som et dramatisk eventyr om at forvandles fra en gammel Tonika til en ny Tonika: et sandt springavancement og dog med kun en lille grad til forskel, historien om på samme tid at være og at blive sig selv. Således afslutter Bach sit første veltempererede bind med en Dux, der sammenføjer statik og dynamik til strømmende struktur og forener diatonisk 7-& 12-tonalitet til en elegant, organisk, ubesværet helhed. Og som en nøgle til ny oplevelse af denne samlingens længste fuga peger temaets tonale fletværk på satsens opbygning, der veksler mellem indsatser af det 12-tonalt dominerede, dybt originale tema og 7-tonalt afspændende, i samtiden gængse sekvenskæder. Tema og sekvens, originalt og gængs, 12-tonalitet og 7-tonalitet. Alt sammen "til nytte og brug for lærebegærlig musikalsk ungdom såvel som for dem der allerede er habile" - måske også for langt senere generationer ...

23

Ikke sært at Arnold Schönberg fascineredes af denne Dux - og dog underligt, at han ikke af de 13 forskellige noder kommer på tanken om en mulig 12-tonal modulation: at de to 'enharmoniske' noder C og His kunne være "middel til modulatorisk retningsskift". Men Schönberg havde valgt at tænke i ligedeling med dens 12 egale trin og havde dermed fravalgt makkerskabet trin & grad:

7- og 12-slangerne har fælles gradskala. Slange og skala er komplementære: til kvart/kvint-rækken som trin-slange svarer grad-rækken som grad-skala. 7-tonalt A og 12-tonalt J er begge 1 grad højere end det ligesvævende neutraltrin (selv om 7-tonal og 12-tonal gradstørrelse er forskellig): eksponenten +1 angiver '1 grad højere'- og gradskalaen noterer '1 grad højere' (end midterlinien = grad 0). Gængs notation viser tonens placering som ligesvævende trin, mens grad-notationen nøje angiver hvor mange grader tonen afviger fra det ligesvævende trin. - Gængs notation gør det grove, mens gradnotation justerer. I 7-tonal og 12-tonal notation er graden underforstået, med gradnotationen synliggøres den.

24

Ved hjælp af trinslanger&gradskala er Dux omkodet til gradnotation. Informationerne er legio, spændende fra de iøjnespringende til de mere middelbare oplysninger:

– det faldende seufzertrin er et stigende gradspring; – den faldende neapolitaner-ditonus er en stigning på 10 grader; – straks efter top-trin D følger top-grad 10; – kvartspringene er gradtrin; – komplementærintervallerne forstørret sekund/formindsket septim springer ni

grader op/ned; – 7-kromaet G-Gis springer 7 grader op, mens 12-cromaet C-His(M-M♯)

springer 12 grader op; – anden takts E-H-Fis-Cis stiger gradvis fra 2 til 3 til 4 til 5 grader; – samme takts faldende C-H-Fis-Eis har stigende gradtal: -2 +3 +4 +9, dvs. H-

transpositionens fløj-/ramme-interval C-Eis, symmetrisk udfyldt af H-Fis; – H- og Fis-12's fløj/rammeintervaller C-Eis og G-His er samme 11-grads-

interval, hævet en grad; – alle intervaller i 2. takt er sammentrækkende, idet gradintervaller i

modbevægelse til 7- og 12-noterede intervaller viser at disse er sammentrækkende (=små/formindskede).

… … ...

7- og 12-notationerne viser forholdet h-mol&fis-mol som to ens treklange i kvintafstand, opbygget af tre kvintspring Fis-Cis(S-N), D-A(O-J) og H-Fis(L-S). Gradnotationen tyder samme treklange som to ens strukturer i afstanden 1 grad, opbygget af tre gradintervaller: +2+3 og 0+1 og +1+2. Bevægelsen fra h-mol til fis-mol er i trinnotation et spring fra I. (I.) til V. (VIII.) trin og i gradnotation et 'tråd' fra Tonika til Dominant. Trinnotationen betoner afstanden, springet "fra I. til V. tast", mens gradnotationen understreger det nærest mulige, kun en grads interval, naboskabet, affiniteten.

25

Øverste gradnotation af Dux viser de tonale udsving, der kulminerer i spændet mellem nederste og øverste node: mellem -2 grader (C=M) og 10 grader (His=M♯), det 12-tonale kroma(tiske halvtrin). Gradnotationen viser det vi oplever når vi hører tonalt - også når vi ved "Zurechthören" oplever det komponisten har tænkt og noteret på trods af anvendt ligesvævende temperatur.

Nederste gradnotation af samme Dux viser den fysiske realitet ved brug af den i dag gængse ligesvævende temperatur, tunerens realisering af oktavens deling i 12 trin à 100 cent: dodekafoniens perfekte, absolut gradspændingsfri arbejdsmateriale. Gradnotationen viser spændingsfriheden: alle noder er 0 grader.

Med gradnotationens røntgenbillede synliggøres forskellen mellem tonalitet og a-tonalitet som den størst tænkelige, som kontrasten mellem bevægelse og ikke-bevægelse.

Maj 1996